Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис"
Теоретично досліджуються дипольно-обмінні спінові коливання в композитній наночастинці типу «нанорис» (витягнутий еліпсоїд обертання). Розглядається нанорис з немагнетним ядром та оболонкою з одноосьового феромагнетику, що має локальний тип «легка вісь». Спінова динаміка в такій системі описується л...
Saved in:
| Published in: | Металлофизика и новейшие технологии |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106992 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" / Ю.І. Горобець, В.В. Куліш // Металлофизика и новейшие технологии. — 2014. — Т. 36, № 8. — С. 1023-1033. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859470485707816960 |
|---|---|
| author | Горобець, Ю.І. Куліш, В.В. |
| author_facet | Горобець, Ю.І. Куліш, В.В. |
| citation_txt | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" / Ю.І. Горобець, В.В. Куліш // Металлофизика и новейшие технологии. — 2014. — Т. 36, № 8. — С. 1023-1033. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Металлофизика и новейшие технологии |
| description | Теоретично досліджуються дипольно-обмінні спінові коливання в композитній наночастинці типу «нанорис» (витягнутий еліпсоїд обертання). Розглядається нанорис з немагнетним ядром та оболонкою з одноосьового феромагнетику, що має локальний тип «легка вісь». Спінова динаміка в такій системі описується лінеаризованим рівнянням Ландау—Ліфшиця (у магнетостатичному наближенні) з доданками, що враховують магнетну диполь-дипольну взаємодію, обмінну взаємодію та ефекти анізотропії. Після виключення намагнетованости з рівняння Ландау—Ліфшиця одержано рівняння для магнетного потенціялу описаних вище спінових коливань. Для випадку тонкої оболонки з відношенням півосей еліпсоїда, близьким до одиниці, одержано також дисперсійне співвідношення для таких спінових коливань.
Теоретически исследуются дипольно-обменные спиновые колебания в композитной наночастице типа «нанорис» (вытянутый эллипсоид вращения). Рассматривается нанорис с немагнитным ядром и оболочкой из одноосного ферромагнетика, имеющего локальный тип «лёгкая ось». Спиновая динамика в такой системе описывается линеаризованным уравнением Ландау—Лифшица (в магнитостатическом приближении) со слагаемыми, учитывающими магнитное диполь-дипольное взаимодействие, обменное взаимодействие и эффекты анизотропии. После исключения намагниченности из уравнения Ландау—Лифшица получено уравнение для магнитного потенциала описанных выше спиновых колебаний. Для случая тонкой оболочки с отношением полуосей эллипсоида, близким к единице, получено также дисперсионное соотношение для таких спиновых колебаний.
Dipole—exchange spin excitations in composite ‘nanorice’-type nanoparticle (as oblate spheroid) are theoretically investigated. A nanorice with a nonmagnetic core and a shell composed of a uniaxial ferromagnet with the local ‘easy axis’ type is considered; dissipation effects are neglected. Spin dynamics in the above-mentioned nanosystem is described by the linearized Landau—Lifshitz equation (within the magnetostatic approximation) with the addends, which allow for the magnetic dipole—dipole interaction, the exchange interaction, and the anisotropy effects. Considering the system symmetry, a prolate spheroidal co-ordinate system is used. After using one of the Maxwell equations, magnetization in the Landau—Lifshitz equation is eliminated, and an equation for the magnetic potential of the above-mentioned spin excitations is obtained. A solution for the above-mentioned equation is proposed in the form of a combination of the generalized spheroidal functions; this combination cannot be considered as the solution of the equation in general case, however, it can be considered as an approximate solution for the case of a thin shell with the internal ellipsoid semi-axes ratio close to one. For the above-described case, a dispersion relation for such spin excitations is also found.
|
| first_indexed | 2025-11-24T09:05:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
1023
PACS numbers: 62.23.St, 75.30.Ds, 75.40.Gb, 75.50.Tt, 75.75.Jn, 75.90.+w
Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці
типу «нанорис»
Ю. І. Горобець, В. В. Куліш
*
Інститут магнетизму НАН та МОН України,
бульв. Акад. Вернадського, 36-б,
03680, МСП, Київ-142, Україна
*Національний технічний університет України «КПІ»,
просп. Перемоги, 37,
03056 Київ, Україна
Теоретично досліджуються дипольно-обмінні спінові коливання в компо-
зитній наночастинці типу «нанорис» (витягнутий еліпсоїд обертання). Ро-
зглядається нанорис з немагнетним ядром та оболонкою з одноосьового
феромагнетику, що має локальний тип «легка вісь». Спінова динаміка в
такій системі описується лінеаризованим рівнянням Ландау—Ліфшиця (у
магнетостатичному наближенні) з доданками, що враховують магнетну
диполь-дипольну взаємодію, обмінну взаємодію та ефекти анізотропії. Пі-
сля виключення намагнетованости з рівняння Ландау—Ліфшиця одержа-
но рівняння для магнетного потенціялу описаних вище спінових коли-
вань. Для випадку тонкої оболонки з відношенням півосей еліпсоїда, бли-
зьким до одиниці, одержано також дисперсійне співвідношення для таких
спінових коливань.
Теоретически исследуются дипольно-обменные спиновые колебания в
композитной наночастице типа «нанорис» (вытянутый эллипсоид враще-
ния). Рассматривается нанорис с немагнитным ядром и оболочкой из од-
ноосного ферромагнетика, имеющего локальный тип «лёгкая ось». Спино-
вая динамика в такой системе описывается линеаризованным уравнением
Ландау—Лифшица (в магнитостатическом приближении) со слагаемыми,
учитывающими магнитное диполь-дипольное взаимодействие, обменное
взаимодействие и эффекты анизотропии. После исключения намагничен-
ности из уравнения Ландау—Лифшица получено уравнение для магнитно-
го потенциала описанных выше спиновых колебаний. Для случая тонкой
оболочки с отношением полуосей эллипсоида, близким к единице, полу-
чено также дисперсионное соотношение для таких спиновых колебаний.
Dipole—exchange spin excitations in composite ‘nanorice’-type nanoparticle
(as oblate spheroid) are theoretically investigated. A nanorice with a nonmag-
Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol.
2014, т. 36, № 8, сс. 1023—1033
Оттиски доступны непосредственно от издателя
Фотокопирование разрешено только
в соответствии с лицензией
2014 ИМФ (Институт металлофизики
им. Г. В. Курдюмова НАН Украины)
Напечатано в Украине.
1024 Ю. І. ГОРОБЕЦЬ, В. В. КУЛІШ
netic core and a shell composed of a uniaxial ferromagnet with the local ‘easy
axis’ type is considered; dissipation effects are neglected. Spin dynamics in
the above-mentioned nanosystem is described by the linearized Landau—
Lifshitz equation (within the magnetostatic approximation) with the addends,
which allow for the magnetic dipole—dipole interaction, the exchange interac-
tion, and the anisotropy effects. Considering the system symmetry, a prolate
spheroidal co-ordinate system is used. After using one of the Maxwell equa-
tions, magnetization in the Landau—Lifshitz equation is eliminated, and an
equation for the magnetic potential of the above-mentioned spin excitations is
obtained. A solution for the above-mentioned equation is proposed in the form
of a combination of the generalized spheroidal functions; this combination
cannot be considered as the solution of the equation in general case, however,
it can be considered as an approximate solution for the case of a thin shell with
the internal ellipsoid semi-axes ratio close to one. For the above-described
case, a dispersion relation for such spin excitations is also found.
Ключові слова: композитна наноструктура, нанорис, спінове збудження,
дипольно-обмінна теорія.
(Отримано 7 липня 2014 р.)
1. ВСТУП
Спiновi хвилі, тобто хвилі намагнетованости у магнетовпорядкова-
них матеріялах [1, 2], активно досліджуються у останні десятиріч-
чя – як теоретично, так і експериментально. Спiновi хвилі є
об’єктом дослідження для нових галузей фізики – магнонiки [2] та
спiнтронiки [3] – та є перспективними для численних практичних
застосувань, зокрема, для створення нових пристроїв зберігання,
передачі та обробки даних [4, 5].
Особливо актуальним та перспективним з точки зору практичних
застосувань є дослідження спінових коливань у наноструктурах.
Відомо, що магнетнi властивості наноструктур залежать суттєво від
їх форми та розмірів, тому спінові хвилі досліджуються у наносис-
темах різних конфігурацій окремо. Так, у останні роки досліджу-
ються спiновi хвилі у тонких феромагнетних плівках [6], мiкронно-
розмiрних магнетних квантових точках [7—9], нанодротах [10—12]
та інших наноструктурах.
У останні роки дослідники наноструктур приділяють особливу
увагу композитним наноструктурам. Композитні наноструктури
характеризуються низкою унікальних властивостей, не притаман-
них суцільним наноструктурам. Відомо, що при дослідженні ком-
позитних наноструктур – як теоретичному, так і експерименталь-
ному – увага приділяється, перш за все, наноструктурам зі сфери-
чною та циліндричною симетрією, а також багатошаровим плівкам.
Такі наноструктури, як нанорис (композитні наночастинки у формі
еліпсоїду обертання, що складаються з ядра з одного матеріялу та
СПІНОВІ КОЛИВАННЯ У ФЕРОМАГНЕТНІЙ НАНООБОЛОНЦІ ТИПУ «НАНОРИС» 1025
оболонки з іншого [13]) залишаються відносно малодослідженими.
Проте, такі наносистеми проявляють унікальні властивості, що не
спостерігаються у наночастинок з більшим ступенем симетрії. До
останнього часу синтезувались немагнетні наночастинки такого
типу, їх дослідження обмежувалось переважно оптичними власти-
востями, зокрема пов’язаними з плазмонним резонансом [13]. Про-
те, у останні роки були синтезовані також магнетні наночастинки
такого типу, зокрема нанорис з немагнетним ядром та феромагнет-
ним покриттям [14—16]. Цей факт робить дослідження магнетних
властивостей нанорису, зокрема спінових збуджень у таких нано-
частинках, актуальним.
Дана робота присвячена теоретичному дослідженню дипольно-
обмінних спінових коливань в оболонці композитної наночастинки
типу «нанорис» (витягнутий еліпсоїд обертання). Наночастинка,
що досліджується, складається з немагнетного ядра та оболонки з
одноосьового феромагнетику. Для описаних вище спінових коли-
вань одержано рівняння для магнетного потенціялу у магнетоста-
тичному наближенні з урахуванням магнетної диполь-дипольної
взаємодії, обмінної взаємодії та ефектів анізотропії. Рівняння
розв’язано наближено для випадку нанорису з тонкою оболонкою,
відношення півосей внутрішньої межі якої близьке до одиниці.
Одержано дисперсійне співвідношення для такого випадку.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо нанооболонку у формі витягнутого еліпсоїду обертан-
ня, що складається з немагнетного ядра (еліпсоїд обертання з піво-
сями
(1)
||
R та
(1)R ) та феромагнетної оболонки (зовнішня границя
якої є еліпсоїдом обертання з півосями
(2)
||
R та
(2)R ).
Введемо сфероїдальну систему координат (, , ) (див. Додаток).
Вважатимемо, що феромагнетик, з якого складається оболонка,
має локально тип «легка вісь», так що рівноважна намагнетова-
ність M0 всюди у оболонці спрямована уздовж осі (криволінійність
якої у межах оболонки вважаємо несуттєвою) та постійна за моду-
лем. Будемо також вважати, що феромагнетик характеризується
наступними параметрами: константа обмінної енергії , константа
одновісної анізотропії (вважається постійною), гіромагнетне від-
ношення (вважається постійним). Згасання для спінових хвиль у
оболонці вважаємо несуттєвим, нехтуючи релаксаційним доданком
у рівнянні Ландау—Ліфшиця.
Нехай в описаній вище феромагнетній оболонці розповсюджу-
ються спінові коливання (стоячі хвилі) з малими збуреннями нама-
гнетованости M та, відповідно, внутрішнього магнетного поля H
(i).
Таким чином, для збурення m густини магнетного моменту викону-
ється m M0, для збурення h магнетного поля –
( )i 0h H , де
1026 Ю. І. ГОРОБЕЦЬ, В. В. КУЛІШ
( )i
0H – рівноважне значення внутрішнього магнетного поля.
Задача даної роботи полягає у знаходженні диференційного рів-
няння для магнетного потенціялу, а також дисперсійного співвід-
ношення для описаних вище спінових коливань.
3. БАЗОВІ СПІВВІДНОШЕННЯ
Оскільки ми вважаємо відхили намагнетованости m та магнетного
поля всередині феромагнетику h від їх рівноважних значень мали-
ми, для опису спінових коливань у системі, описаної у попередньо-
му розділі, ми можемо використати лінеаризоване рівняння Лан-
дау—Ліфшиця без релаксаційного доданку. Таке рівняння має на-
ступний вигляд [1]:
2
2 ( ) 2
02
[ ( ( ) ( ( ) ) )];
i
i i
M
t x
0 0 0 0
m m
M h n mn M H M n m (1)
тут n – одиничний вектор у напрямку осі анізотропії системи.
Нехай нанооболонка, яку ми розглядаємо, обмежено двома еліп-
соїдами обертання 1 та 2, так що півосі внутрішньої межі
оболонки дорівнюють
(1) (1) 2
1 1||
, 1,R a R a (2)
а зовнішньої –
(2) (2) 2
2 2||
, 1 .R a R a (3)
Згідно з обраною моделлю, рівноважна намагнетованість M0 спря-
мована всюди уздовж орту e та, відповідно, уздовж напрямку n.
При відсутності зовнішнього поля рівноважне магнетне поле всере-
дині феромагнетної оболонки буде також спрямовано уздовж цього
напрямку:
( )
0
4 ||
i
0NM H e
; тут N
– тензор знемагнетувальних
коефіцієнтів. За цієї умови підставимо у рівняння (1) величини m
та h у вигляді періодичних за часом коливань:
( , ) ( , , ) exp( ), ( , ) ( , , ) exp( ).t i t t i t 0 0m r m h r h (4)
Зважаючи на те, що
( )|| || ||i
0 0M H n e , 0m e , ми одержимо:
2
( )
0 0 02
[ ( ( / ) )].i
i i
i M H M
x
0
0 0 0
m
m e h m (5)
Для виключення збурення намагнетованости з рівняння Ландау—
Ліфшиця ми маємо доповнити його ще одним співвідношенням між
СПІНОВІ КОЛИВАННЯ У ФЕРОМАГНЕТНІЙ НАНООБОЛОНЦІ ТИПУ «НАНОРИС» 1027
величинами m та h. Для цього використаємо магнетостатичне на-
ближення [1], вважаючи поле h потенціяльним: h , h0 0,
де – магнетний потенціял поля h, 0 – потенціял амплітуди цьо-
го поля h0, так що 0(r)exp(it). З Максвеллового рівняння
div(h) 4div(m) одержуємо шукане співвідношення
div( ) /(4 ). m (6)
Використовуючи систему рівнянь (5) та (6), знайдемо рівняння
для магнетного потенціялу 0, а також дисперсійне рівняння для
спінових хвиль, яких ми розглядаємо.
4. РІВНЯННЯ ДЛЯ МАГНЕТНОГО ПОТЕНЦІЯЛУ
Одержимо рівняння для магнетного потенціялу 0 спінової хвилі,
виключивши з системи (5), (6) збурення густини намагнетованости
m0. Записавши систему (5), (6) у вигляді
( )
0 0 0
0
0
[ ( ( / ) )],
div( ) /(4 ),
ii
H M
M
0 0 0
0
m e m m
m
(7)
векторно помножимо перше рівняння системи зліва на орт e. Ми
одержимо
( ) 2
0 0
0 2 2
0 0
1 1
[ ] .
iHi
M M a
0 0 0e m m m e (8)
Візьмемо диверґенцію від обох частин рівняння. Підставляючи
div(m0) з другого рівняння системи (7), маємо
2 0
0 2 2 2
0
( )
0 0 0
4
div([ ]) ( 1)
( )
( [ / ]) /(4 ).
i
i
M a
H M
0e m
(9)
Тепер застосуємо до обох частин рівняння (9) оператор
( )
0 0
( / )
iH M . Після перетворень шукане диференційне рів-
няння для магнетного потенціялу запишемо у наступному вигляді:
2 2 2 ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
( ) 2 0
0 0 2 2 2
/( ) / 4 /
4
4 / ( 1) 0.
( )
i i
i
M H M H M
H M
a
(10)
Таким чином, ми одержали рівняння для магнетного потенціялу
1028 Ю. І. ГОРОБЕЦЬ, В. В. КУЛІШ
спінового коливання у феромагнетній оболонці, яку ми розглядає-
мо. Використаємо це рівняння для знаходження дисперсійного
співвідношення такого спінового коливання.
5. ДИСПЕРСІЙНЕ СПІВВІДНОШЕННЯ
При дослідженні спінових хвиль у циліндричній нанотрубці або
нанодроті розв’язок аналогічного до (10) рівняння шукається у ви-
гляді лінійної комбінації циліндричних функцій. Як ми побачимо,
використати повністю аналогічний підхід, шукаючи розв’язок (10)
у вигляді комбінації сфероїдальних функцій, в загальному випадку
не можна. Проте, це можливо зробити наближено за деяких умов.
Отже, запишемо розв’язок рівняння (10) у вигляді комбінації
сфероїдальних функцій:
0
( , , ) ( ) ( ) exp( ),R S im (11)
тут – константа розділення змінних. Такий вигляд 0 задоволь-
няє Гельмгольцовому рівнянню:
2
0 0
.k (12)
Оскільки мета даного дослідження – знайти параметер, який
має сенс хвильового числа, перенормуємо функції R та S наступним
чином: R() R1(ka), S() S1(ka), так що
0 1 1
( , , ) ( ) ( ) exp( ),R ka S ka im (13)
а функції R1 та S1 задовольняють рівнянням:
2
2 21
12 2 2
2
2 21
12 2 2
1
( 1) ( 1) 0,
( ) ( ) 1
1
(1 ) (1 ) 0.
( ) ( ) 1
dRd m
R
d d ka ka
dSd m
S
d d ka ka
(14)
Підстановка розв’язку (13) у рівняння (10) трансформує його на-
ступним чином:
2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2
0 0 0 0 0 0
/( ) / 4 /i iM k H M k H M k (15)
( ) 2 2 2 2
0 0 02 2 2
4
4 / [ ( ) ( 1) /( 1)] 0.
( )
iH M ka m
a
Як ми бачимо, функції вигляду (13) не є розв’язком (10), оскільки
СПІНОВІ КОЛИВАННЯ У ФЕРОМАГНЕТНІЙ НАНООБОЛОНЦІ ТИПУ «НАНОРИС» 1029
одержане рівняння (15) містить змінну величину
2 2 2 2
2 2 2
( ) ( 1) /( 1)
( )
ka m
a
. Проте ми можемо вважати (13) на-
ближеним розв’язком (10) у випадках, коли ця змінна величина є
наближено постійною. Проаналізуємо цю можливість.
Нехай оболонка є досить тонкою для того, щоб можна було вва-
жати 2 1 1
( )/ 1 (що еквівалентно умові
(2) (1) (1)
|| || ||
( )/ 1R R R ),
і не є витягнутою настільки, щоб не можна було вважати
2
1
1
(що еквівалентно умові
(1) 2 (1) 2 (1) 2
|| ||
(( ) ( ) )/( ) 1R R R ). За таких умов
величину
2 2 2 2
2 2 2
( ) ( 1) /( 1)
( )
ka m
a
можна вважати наближено
постійною. Справді, в такому випадку ми можемо записати
2 2 4 22 2 2 2
0 0
2 2 2 2 4
0
( )( ) ( 1) /( 1)
const,
( )
ka mka m
a a
(16)
де величина
2 2
0 1 2
( )/2 – усереднене значення всередині
оболонки. При цьому рівняння (15) перепишеться
2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2
0 0 0 0 0
2 ( ) 2 2 4 2 2 4
0 0 0 0 0
/( ) / 4 /
4 / ( ) /( ) 0.
i i
i
M k H M k H M k
k H M ka m a
(17)
Конкретизуємо вигляд константи розділення змінних. Зауважи-
мо, що параметр k має сенс ефективного хвильового числа для спі-
нових коливань у «радіяльному» (уздовж координати ) напрямку
і, отже, для тонкої оболонки має порядок 1/d, де d – середня тов-
щина оболонки. Якщо оболонка є досить тонкою для того, щоб мо-
жна було покласти a/d 1, тоді ka 1, і ми можемо використову-
вати наступне розвинення константи розділення змінних (див., на-
приклад, [17]):
2
( ) (2( ) 1),lm ka ka l m (18)
тут l, m – відповідні квантові числа. Підставляючи такий вигляд
у рівняння (17) та зауваживши, що
4 2
0 0
, одержуємо
2
2 ( ) 2 ( ) 2
0 0 0 02 2
0
2 2 4 2
2 ( )0 0
0 02 4
0
/ 4 /
(2( ) 1) ( )
4 / 0.
i i
i
k H M k H M k
M
ka l m ka m
k H M
a
(19)
1030 Ю. І. ГОРОБЕЦЬ, В. В. КУЛІШ
Звідси одержуємо дисперсійне співвідношення для спінового збу-
дження у наступному вигляді:
2 6 4 30
2
0
1/2
2
2 2 2 2
02 4 2 4
0 0
(2( ) 1)
2 4
4 4
( (2( ) 1) ) ;
M l m
k k k
k a
m
k a l m k m
a a
(20)
тут ми позначили
( )
0 0
/
iH M .
Зауважимо, зважаючи на те, що довжина спінової хвилі має бути
більше або порядку за довжину обмінної взаємодії (яка складає по-
рядку кількох нанометрів для типових феромагнетиків), для нано-
оболонок, середня товщина яких порядку обмінної довжини або не-
набагато її перевищує (що виконується для типових оболонок), мо-
жливе збудження тільки однієї ненульової радіяльної моди з
k 2/(b a).
6. ВИСНОВКИ
Таким чином, в роботі досліджено дипольно-обмінні спінові коли-
вання (стоячі спінові хвилі) у феромагнетній нанооболонці у формі
витягнутого еліпсоїду обертання («нанорис»). Розглянуто випадок,
коли феромагнетик, з якого складається оболонка, є одноосьовим
та має локальний тип «легка вісь». Одержано рівняння для магнет-
ного потенціялу малих спінових збуджень у такій системі з ураху-
ванням магнетної диполь-дипольної взаємодії, обмінної взаємодії
та ефектів анізотропії. Для нанорису, оболонка якого є тонкою (у
поздовжньому напрямку) порівняно з його поздовжніми розміра-
ми, а відношення півосей близьке до одиниці (так що
(1) 2 (1) 2
||
(( ) ( ) )/R R (1) 2
||
/( ) 1R ), одержано дисперсійне співвідно-
шення для описаних вище спінових коливань.
ДОДАТОК
Сфероїдальні координати
При знаходженні розв’язку рівняння Ландау—Ліфшиця для спіно-
вих коливань у нанооболонці, що має форму еліпсоїду обертання,
ми користуємося сфероїдальними координатами (див., наприклад,
[17]). У цьому розділі наведено основні співвідношення для цих ко-
ординат.
Сфероїдальні координати (u, w, ) пов’язані з Декартовими
(x, y, z) співвідношеннями:
СПІНОВІ КОЛИВАННЯ У ФЕРОМАГНЕТНІЙ НАНООБОЛОНЦІ ТИПУ «НАНОРИС» 1031
sh sin cos ,
sh sin sin ,
ch cos ,
x a u w
y a u w
z a u w
(21)
де а – постійний параметер. Межі, в яких можуть змінюватися ці
координати:
( , ), [0, ], [0,2 ).u w (22)
В роботі ми використовуємо інший варіянт сфероїдальних коор-
динат (, , ), пов’язаних з Декартовими наступними співвідно-
шеннями:
2 2
2 2
( 1)(1 ) cos ,
( 1)(1 ) sin ,
.
x a
y a
z a
(23)
Ці координати змінюються в наступних межах:
ch [1, ), cos [ 1,1], [0,2 ).u w (24)
Координата еквівалентна полярному куту у сферичних коорди-
натах. Рівняння const описує еліпсоїд обертання з півосями
2 1/2
||
, ( 1)R a R a (R – піввісь, спрямована уздовж вісі обе-
ртання еліпсоїду Oz, R – піввісь, спрямована ортогонально до Oz),
причому
2 2 2
||
.a R R (25)
Рівняння const є рівнянням гіперболоїду і має вигляд
2 2 2
2
2 2
( )
,
z x y
c
a b
(26)
тут b, c – константи. Верхня (z 0) частина гіперболоїду – гіпер-
бола, що обирається при , нижня – при . Коефіцієнти Ля-
ме для сфероїдальних координат мають вигляд:
2 2 2 2
1 2 32 2
, , .
1 1
h a h a h a
(27)
При перетворенні рівняння Ландау—Ліфшиця у роботі викорис-
товується також запис Ляпласового оператора у сфероїдальних ко-
ординатах. Він має наступний вигляд:
1032 Ю. І. ГОРОБЕЦЬ, В. В. КУЛІШ
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
4
( 1) (1 ) .
( ) ( 1)(1 )a
(28)
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский, Спиновые волны
(Москва: Наука: 1967).
2. V. V. Kruglyak, S. O. Demokritov, and D. Grundler, J. Phys. D: Appl. Phys., 43,
No. 26: 264001 (2010).
3. S. D. Bader and S. S. P. Parkin, Ann. Rev. Condens. Matter Phys., 1: 71 (2010).
4. S. Neusser and D. Grundler, Adv. Mater., 21, No. 28: 2927 (2009).
5. T. Schneider, A. A. Serga, B. Leven, B. Hillebrands, R. L. Stamps, and
M. P. Kostylev, Appl. Phys. Lett., 92, No. 2: 022505 (2008).
6. M. Bauer, O. Büttner, S. O. Demokritov, B. Hillebrands, V. Grimalsky,
Yu. Rapoport, and A. N. Slavin, Phys. Rev. Lett., 81, No. 17: 3769 (1998).
7. K. Yu. Guslienko and A. N. Slavin, J. Appl. Phys., 87, No. 9: 6337 (2000).
8. F. G. Aliev, J. F. Sierra, A. A. Awad, G. N. Kakazei, D.-S. Han, S.-K. Kim,
V. Metlushko, B. Ilic, and K. Yu. Guslienko, Phys. Rev. B, 79, No. 17: 174433
(2009).
9. J. Jorzick, S. O. Demokritov, C. Mathieu, B. Hillebrands, B. Bartenlian,
C. Chappert, F. Rousseaux, and A. N. Slavin, Phys. Rev. B, 60, No. 22: 15194
(1999).
10. R. Arias and D. L. Mills, Phys. Rev. B, 63, No. 13: 134439 (2001).
11. R. Skomski, M. Chipara, and D. J. Sellmyer, J. Appl. Phys., 93, No. 10: 7604
(2003).
12. S. M. Chérif, Y. Roussigné, C. Dugautier, and P. Moch, J. Magn. Magn. Mater.,
222, No. 3: 337 (2000).
13. H. Wang, D. W. Brandl, F. Le, P. Nordlander, and N. J. Halas, Nano Lett., 6,
No. 4: 827 (2006).
14. S. I. Cha, C. B. Mo, K. T. Kim, and S. H. Hong, J. Mater. Res., 20, No. 8: 2148
(2005).
15. R. Rajendran, R. Muralidharan, R. S. Gopalakrishnan, M. Chellamuthu,
S. U. Ponnusamy, and E. Manikandan, Eur. J. Inorganic Chem., 2011, No. 35:
5384 (2011).
16. H. Chen, D. C. Colvin, B. Qi, T. Moore, J. He, O. T. Mefford, F. Alexis,
J. C. Goreb, and J. N. Anker, J. Mater. Chem., 22, No. 25: 12802 (2012).
17. И. В. Комаров, Л. И. Пономарев, С. Ю. Славянов, Сфероидальные и куло-
новские сфероидальные функции (Ред. В. С. Булдырев) (Москва: Наука:
1976).
REFERENCES
1. A. I. Akhiezer, V. G. Bar’yakhtar, and S. V. Peletminskiy, Spinovye Volny
(Spin Waves) (Moscow: Nauka: 1967) (in Russian).
2. V. V. Kruglyak, S. O. Demokritov, and D. Grundler, J. Phys. D: Appl. Phys., 43,
No. 26: 264001 (2010).
3. S. D. Bader and S. S. P. Parkin, Ann. Rev. Condens. Matter Phys., 1: 71 (2010).
СПІНОВІ КОЛИВАННЯ У ФЕРОМАГНЕТНІЙ НАНООБОЛОНЦІ ТИПУ «НАНОРИС» 1033
4. S. Neusser and D. Grundler, Adv. Mater., 21, No. 28: 2927 (2009).
5. T. Schneider, A. A. Serga, B. Leven, B. Hillebrands, R. L. Stamps, and
M. P. Kostylev, Appl. Phys. Lett., 92, No. 2: 022505 (2008).
6. M. Bauer, O. Büttner, S. O. Demokritov, B. Hillebrands, V. Grimalsky,
Yu. Rapoport, and A. N. Slavin, Phys. Rev. Lett., 81, No. 17: 3769 (1998).
7. K. Yu. Guslienko and A. N. Slavin, J. Appl. Phys., 87, No. 9: 6337 (2000).
8. F. G. Aliev, J. F. Sierra, A. A. Awad, G. N. Kakazei, D.-S. Han, S.-K. Kim,
V. Metlushko, B. Ilic, and K. Yu. Guslienko, Phys. Rev. B, 79, No. 17: 174433
(2009).
9. J. Jorzick, S. O. Demokritov, C. Mathieu, B. Hillebrands, B. Bartenlian,
C. Chappert, F. Rousseaux, and A. N. Slavin, Phys. Rev. B, 60, No. 22: 15194
(1999).
10. R. Arias and D. L. Mills, Phys. Rev. B, 63, No. 13: 134439 (2001).
11. R. Skomski, M. Chipara, and D. J. Sellmyer, J. Appl. Phys., 93, No. 10: 7604
(2003).
12. S. M. Chérif, Y. Roussigné, C. Dugautier, and P. Moch, J. Magn. Magn. Mater.,
222, No. 3: 337 (2000).
13. H. Wang, D. W. Brandl, F. Le, P. Nordlander, and N. J. Halas, Nano Lett., 6,
No. 4: 827 (2006).
14. S. I. Cha, C. B. Mo, K. T. Kim, and S. H. Hong, J. Mater. Res., 20, No. 8: 2148
(2005).
15. R. Rajendran, R. Muralidharan, R. S. Gopalakrishnan, M. Chellamuthu,
S. U. Ponnusamy, and E. Manikandan, Eur. J. Inorganic Chem., 2011, No. 35:
5384 (2011).
16. H. Chen, D. C. Colvin, B. Qi, T. Moore, J. He, O. T. Mefford, F. Alexis,
J. C. Goreb, and J. N. Anker, J. Mater. Chem., 22, No. 25: 12802 (2012).
17. I. V. Komarov, L. I. Ponomarev, and S. Yu. Slavyanov, Sferoidal’nye i
Kulonovskie Sferoidal’nye Funktsii (Spheroidal and Coulomb Spheroidal
Functions) (Ed. V. S. Buldyrev) (Moscow: Nauka: 1976) (in Russian).
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200076006f006e002000640065006e0065006e002000530069006500200068006f006300680077006500720074006900670065002000500072006500700072006500730073002d0044007200750063006b0065002000650072007a0065007500670065006e0020006d00f60063006800740065006e002e002000450072007300740065006c006c007400650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0064006500720020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003c003bf03c5002003b503af03bd03b103b9002003ba03b103c42019002003b503be03bf03c703ae03bd002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003c003c103bf002d03b503ba03c403c503c003c903c403b903ba03ad03c2002003b503c103b303b103c303af03b503c2002003c503c803b703bb03ae03c2002003c003bf03b903cc03c403b703c403b103c2002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-106992 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1024-1809 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T09:05:19Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горобець, Ю.І. Куліш, В.В. 2016-10-10T18:57:05Z 2016-10-10T18:57:05Z 2014 Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" / Ю.І. Горобець, В.В. Куліш // Металлофизика и новейшие технологии. — 2014. — Т. 36, № 8. — С. 1023-1033. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1024-1809 PACS: 62.23.St, 75.30.Ds, 75.40.Gb, 75.50.Tt, 75.75.Jn, 75.90.+w DOI: http://dx.doi.org/10.15407/mfint.36.08.1023 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106992 Теоретично досліджуються дипольно-обмінні спінові коливання в композитній наночастинці типу «нанорис» (витягнутий еліпсоїд обертання). Розглядається нанорис з немагнетним ядром та оболонкою з одноосьового феромагнетику, що має локальний тип «легка вісь». Спінова динаміка в такій системі описується лінеаризованим рівнянням Ландау—Ліфшиця (у магнетостатичному наближенні) з доданками, що враховують магнетну диполь-дипольну взаємодію, обмінну взаємодію та ефекти анізотропії. Після виключення намагнетованости з рівняння Ландау—Ліфшиця одержано рівняння для магнетного потенціялу описаних вище спінових коливань. Для випадку тонкої оболонки з відношенням півосей еліпсоїда, близьким до одиниці, одержано також дисперсійне співвідношення для таких спінових коливань. Теоретически исследуются дипольно-обменные спиновые колебания в композитной наночастице типа «нанорис» (вытянутый эллипсоид вращения). Рассматривается нанорис с немагнитным ядром и оболочкой из одноосного ферромагнетика, имеющего локальный тип «лёгкая ось». Спиновая динамика в такой системе описывается линеаризованным уравнением Ландау—Лифшица (в магнитостатическом приближении) со слагаемыми, учитывающими магнитное диполь-дипольное взаимодействие, обменное взаимодействие и эффекты анизотропии. После исключения намагниченности из уравнения Ландау—Лифшица получено уравнение для магнитного потенциала описанных выше спиновых колебаний. Для случая тонкой оболочки с отношением полуосей эллипсоида, близким к единице, получено также дисперсионное соотношение для таких спиновых колебаний. Dipole—exchange spin excitations in composite ‘nanorice’-type nanoparticle (as oblate spheroid) are theoretically investigated. A nanorice with a nonmagnetic core and a shell composed of a uniaxial ferromagnet with the local ‘easy axis’ type is considered; dissipation effects are neglected. Spin dynamics in the above-mentioned nanosystem is described by the linearized Landau—Lifshitz equation (within the magnetostatic approximation) with the addends, which allow for the magnetic dipole—dipole interaction, the exchange interaction, and the anisotropy effects. Considering the system symmetry, a prolate spheroidal co-ordinate system is used. After using one of the Maxwell equations, magnetization in the Landau—Lifshitz equation is eliminated, and an equation for the magnetic potential of the above-mentioned spin excitations is obtained. A solution for the above-mentioned equation is proposed in the form of a combination of the generalized spheroidal functions; this combination cannot be considered as the solution of the equation in general case, however, it can be considered as an approximate solution for the case of a thin shell with the internal ellipsoid semi-axes ratio close to one. For the above-described case, a dispersion relation for such spin excitations is also found. uk Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України Металлофизика и новейшие технологии Строение и свойства наноразмерных и мезоскопических материалов Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" Спиновые колебания в ферромагнитной нанооболочке типа «нанорис» Spin Excitations in ‘Nanorice’-Type Ferromagnetic Nanoshell Article published earlier |
| spellingShingle | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" Горобець, Ю.І. Куліш, В.В. Строение и свойства наноразмерных и мезоскопических материалов |
| title | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" |
| title_alt | Спиновые колебания в ферромагнитной нанооболочке типа «нанорис» Spin Excitations in ‘Nanorice’-Type Ferromagnetic Nanoshell |
| title_full | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" |
| title_fullStr | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" |
| title_full_unstemmed | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" |
| title_short | Спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" |
| title_sort | спінові коливання у феромагнетній нанооболонці типу "нанорис" |
| topic | Строение и свойства наноразмерных и мезоскопических материалов |
| topic_facet | Строение и свойства наноразмерных и мезоскопических материалов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/106992 |
| work_keys_str_mv | AT gorobecʹûí spínovíkolivannâuferomagnetníinanooboloncítipunanoris AT kulíšvv spínovíkolivannâuferomagnetníinanooboloncítipunanoris AT gorobecʹûí spinovyekolebaniâvferromagnitnoinanooboločketipananoris AT kulíšvv spinovyekolebaniâvferromagnitnoinanooboločketipananoris AT gorobecʹûí spinexcitationsinnanoricetypeferromagneticnanoshell AT kulíšvv spinexcitationsinnanoricetypeferromagneticnanoshell |