Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома

Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома

Based on the Landauer–Datta–Lundstrom transport model, the generalized model of heat transfer by phonons is formulated. Similarly to the Fermi window for electron conductivity, the concept of the Fermi window for phonon conductivity is introduced and used to obtain the general expression for the lat...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Date:2015
Main Author: Кругляк, Ю.А.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2015
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107296
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 3. — С. 549-576. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-107296
record_format dspace
spelling Кругляк, Ю.А.
2016-10-17T15:59:03Z
2016-10-17T15:59:03Z
2015
Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 3. — С. 549-576. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
1816-5230
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107296
PACS numbers: 63.22.-m, 65.80.-g, 72.15.Jf, 72.20.Pa, 73.50.Lw, 74.25.fg, 84.60.Rb, 85.80.Fi
Based on the Landauer–Datta–Lundstrom transport model, the generalized model of heat transfer by phonons is formulated. Similarly to the Fermi window for electron conductivity, the concept of the Fermi window for phonon conductivity is introduced and used to obtain the general expression for the lattice thermal conductivity with the quantum of thermal conductance appearing at the very beginning. There are emphasized the similarity and differences in the construction of the theory of electron conductivity and the theory of heat conduction. There are discussed the thermal conductivity of the conductors, the physical sense of proportionality between the thermal conductivity and the specific heat capacity at constant volume, the relationship between the transmission coefficient and the mean-free-path, the calculation of the number of phonon modes and density of phonon states, the Debye model of heat conductivity and scattering of phonons, the temperature dependence of the lattice thermal conductivity, the difference between the lattice thermal conductivity and electron conduction, and quantization of thermal conductivity.
ru
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
Heat Flux by Phonons within the Scope of the Landauer–Datta–Lundstrom Transport Model
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
spellingShingle Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
Кругляк, Ю.А.
title_short Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_fullStr Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full_unstemmed Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_sort транспорт тепла фононами в модели ландауэра–датты–лундстрома
author Кругляк, Ю.А.
author_facet Кругляк, Ю.А.
publishDate 2015
language Russian
container_title Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
format Article
title_alt Heat Flux by Phonons within the Scope of the Landauer–Datta–Lundstrom Transport Model
description Based on the Landauer–Datta–Lundstrom transport model, the generalized model of heat transfer by phonons is formulated. Similarly to the Fermi window for electron conductivity, the concept of the Fermi window for phonon conductivity is introduced and used to obtain the general expression for the lattice thermal conductivity with the quantum of thermal conductance appearing at the very beginning. There are emphasized the similarity and differences in the construction of the theory of electron conductivity and the theory of heat conduction. There are discussed the thermal conductivity of the conductors, the physical sense of proportionality between the thermal conductivity and the specific heat capacity at constant volume, the relationship between the transmission coefficient and the mean-free-path, the calculation of the number of phonon modes and density of phonon states, the Debye model of heat conductivity and scattering of phonons, the temperature dependence of the lattice thermal conductivity, the difference between the lattice thermal conductivity and electron conduction, and quantization of thermal conductivity.
issn 1816-5230
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107296
citation_txt Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 3. — С. 549-576. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kruglâkûa transportteplafononamivmodelilandauéradattylundstroma
AT kruglâkûa heatfluxbyphononswithinthescopeofthelandauerdattalundstromtransportmodel
first_indexed 2025-11-24T02:16:46Z
last_indexed 2025-11-24T02:16:46Z
_version_ 1850408384553025536
fulltext 549 Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2015, т. 13, № 3, сс. 549–576  2015 ІÌÔ (Іíстèтóт ìåтàëîôіçèêè іì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàїíè) Íàäðóêîâàíî â Óêðàїíі. Ôîтîêîïіþâàííя äîçâîëåíî тіëüêè âіäïîâіäíî äî ëіöåíçії PACS numbers: 63.22.-m, 65.80.-g, 72.15.Jf, 72.20.Pa, 73.50.Lw, 74.25.fg, 84.60.Rb, 85.80.Fi Транспорт тепла фононами в модели Ландауэра–Датты–Лундстрома Ю. À. Êðóгëяê Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, 65016 Одесса, Украина С ïîçèöèй тðàíсïîðтíîй ìîäåëè Лàíäàóэðà–Дàтты–Лóíäстðîìà стðîèтся îбîбщёííàя ìîäåëü ïåðåíîсà тåïëà ôîíîíàìè. Àíàëîгèчíî ôåðìèåâсêîìó îêíó эëåêтðîííîй ïðîâîäèìîстè ââîäèтся ïîíятèå ôåðìèåâсêîгî îêíà ôîíîííîй ïðîâîäèìîстè è чåðåç íåгî âыâîäèтся îбщåå âыðàжåíèå äëя ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстè, â êîтîðîì с сàìîгî íàчàëà ôèгóðèðóåт êâàíт тåïëîïðîâîäíîстè. Пîäчёðêèâàþтся ïîäîбèå è ðàçëèчèя â ïîстðîå- íèè тåîðèè эëåêтðîííîй ïðîâîäèìîстè è тåîðèè тåïëîïðîâîäíîстè. Пî- äðîбíî ðàссìàтðèâàåтся тåïëîïðîâîäíîстü ïðîâîäíèêîâ, âсêðыâàåтся ôè- çèчåсêèй сìысë ïðîïîðöèîíàëüíîстè ìåжäó óäåëüíîй тåïëîïðîâîäíî- стüþ è óäåëüíîй тåïëîёìêîстüþ ïðè ïîстîяííîì îбъёìå, âыâîäèтся сâяçü ìåжäó êîэôôèöèåíтîì ïðîхîжäåíèя è сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî ïðîбå- гà, îбсóжäàþтся âычèсëåíèå чèсëà ôîíîííых ìîä è ïëîтíîстè ôîíîííых сîстîяíèй, îсîбåííîстè äåбàåâсêîй ìîäåëè тåïëîïðîâîäíîстè è ðàссåяíèя ôîíîíîâ, тåìïåðàтóðíàя çàâèсèìîстü ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстè, ðàç- ëèчèå ìåжäó ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстüþ è эëåêтðîííîй ïðîâîäèìî- стüþ è êâàíтîâàíèå тåïëîïðîâîäíîстè. З ïîçèöій тðàíсïîðтíîгî ìîäåëþ Лàíäàóåðà–Дàттè–Лóíäстðîìà бóäóєтü- ся óçàгàëüíåíèй ìîäåëü ïåðåíåсåííя тåïëà ôîíîíàìè. Àíàëîгічíî Ôåðìі- йîâîìó âіêíó åëåêтðîííîї ïðîâіäíîстè ââîäèтüся ïîíяття Ôåðìійîâîгî âіêíà ôîíîííîї ïðîâіäíîстè і чåðåç íüîгî âèâîäèтüся çàгàëüíèй âèðàç äëя ґðàтíèöåâîї тåïëîïðîâіäíîстè, â яêîìó ç сàìîгî ïîчàтêó ôіґóðóє êâàíт тåïëîïðîâіäíîстè. Піäêðåсëþþтüся ïîäібíістü і âіäìіííîсті â ïîбóäîâі тåîðії åëåêтðîííîї ïðîâіäíîстè і тåîðії тåïëîïðîâіäíîстè. Дîêëàäíî ðîçг- ëяäàєтüся тåïëîïðîâіäíістü ïðîâіäíèêіâ, ðîçêðèâàєтüся ôіçèчíèй çìіст ïðîïîðöійíîстè ìіж ïèтîìîþ тåïëîïðîâіäíістþ і ïèтîìîþ тåïëîìістêіс- тþ ïðè ïîстійíîìó îб’єìі, âèâîäèтüся çâ’яçîê ìіж êîåôіöієíтîì ïðîхî- äжåííя і сåðåäíüîþ äîâжèíîþ âіëüíîгî ïðîбігó, îбгîâîðþþтüся îбчèс- 550 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ ëåííя чèсëà ôîíîííèх ìîä і гóстèíè ôîíîííèх стàíіâ, îсîбëèâîсті Дåбà- йîâîгî ìîäåëþ тåïëîïðîâіäíîстè і ðîçсіяííя ôîíîíіâ, тåìïåðàтóðíà çà- ëåжíістü ґðàтíèöåâîї тåïëîïðîâіäíîстè, âіäìіííістü ґðàтíèöåâîї тåïëîï- ðîâіäíîстè âіä åëåêтðîííîї ïðîâіäíîстè і êâàíтóâàííя тåïëîïðîâіäíîстè. Based on the Landauer–Datta–Lundstrom transport model, the generalized model of heat transfer by phonons is formulated. Similarly to the Fermi win- dow for electron conductivity, the concept of the Fermi window for phonon conductivity is introduced and used to obtain the general expression for the lattice thermal conductivity with the quantum of thermal conductance ap- pearing at the very beginning. There are emphasized the similarity and dif- ferences in the construction of the theory of electron conductivity and the theory of heat conduction. There are discussed the thermal conductivity of the conductors, the physical sense of proportionality between the thermal conductivity and the specific heat capacity at constant volume, the relation- ship between the transmission coefficient and the mean-free-path, the calcu- lation of the number of phonon modes and density of phonon states, the Debye model of heat conductivity and scattering of phonons, the temperature de- pendence of the lattice thermal conductivity, the difference between the lat- tice thermal conductivity and electron conduction, and quantization of ther- mal conductivity. Ключевые слова: íàíîôèçèêà, íàíîэëåêтðîíèêà, ôîíîííый тðàíсïîðт, êâàíт тåïëîïðîâîäíîстè, êîэôôèöèåíт ïðîхîжäåíèя, ôîíîííыå ìîäы, äåбàåâсêàя ìîäåëü, ðàссåяíèå ôîíîíîâ. Ключові слова: íàíîôіçèêà, íàíîåëåêтðîíіêà, ôîíîííèй тðàíсïîðт, êâàíт тåïëîïðîâіäíîстè, êîåôіöієíт ïðîхîäжåííя, ôîíîííі ìîäè, Дåбàїâ ìî- äåëü, ðîçсіяííя ôîíîíіâ. Key words: nanophysics, nanoelectronics, phonon transport, thermal conduc- tion quantum, passage coefficient, phonon modes, Debye model, scattering of phonons. (Получено 18 марта 2015 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ Пðè тðàíсïîðтå эëåêтðîíîâ ïåðåíîсèтся êàê çàðяä, тàê è тåïëî. Â ìåтàëëàх ïîчтè âсå тåïëî ïåðåíîсèтся эëåêтðîíàìè, à â ïîëó- ïðîâîäíèêàх тîëüêî ìåíüшàя чàстü тåïëà ïåðåíîсèтся эëåêтðî- íàìè, è ïîчтè âсå тåïëî ïåðåíîсèтся ôîíîíàìè. Пîтîê тåïëà, âыçâàííый тðàíсïîðтîì ôîíîíîâ âäîëü ïðîâîä- íèêà (îсü х) ph Qx L dT J k dx   [Âт/ì2], (1) гäå êîэôôèöèåíтîì ïðîïîðöèîíàëüíîстè ïîтîêà тåïëà гðàäèåíтó ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 551 тåìïåðàтóðы яâëяåтся óäåëüíàя ðåшётîчíàя тåïëîïðîâîäíîстü kL. Ó àëìàçà, îäíîгî èç ëóчшèх ïðîâîäíèêîâ тåïëà, kL 2000 Âт/(ìÊ), ó тàêîгî ïëîхîгî ïðîâîäíèêà тåïëà êàê стåêëî kL 1 Âт/(ìÊ), à ó âîçäóхà kL0,025 Âт/(ìÊ). Есëè эëåêтðèчåсêàя ïðîâîäèìîстü тâёðäых ìàтåðèàëîâ ìåíяåтся íà 20 è бîëüшå ïî- ðяäêîâ, тî èх ðåшётîчíàя тåïëîïðîâîäíîстü èçìåíяåтся âсåгî íà 3–4 ïîðяäêà. Тåì íå ìåíåå, åстü ìíîгî îбщåгî â îïèсàíèè ïåðå- íîсà тåïëà эëåêтðîíàìè è ôîíîíàìè â ðàìêàх тðàíсïîðтíîй ìî- äåëè Лàíäàóэðà–Дàтты–Лóíäстðîìà (ЛДЛ) [1–4]. Дàëåå óïîìяíåì ëèшü íåîбхîäèìыå íàì сâåäåíèя î ôîíîíàх. Ôèçèêà ôîíîíîâ ïîäðîбíî èçëîжåíà â [5–8]. Хàðàêтåðíый хîä äèсïåðсèè E(k) äëя эëåêтðîíîâ êàчåстâåííî ïîêàçàí íà ðèс. 1, а Рис. 1. Óïðîщёííàя çîííàя стðóêтóðà. Шèðèíà çîíы ïðîâîäèìîстè ïî- ìåчåíà êàê BW (Band Width). Чàстî èсïîëüçóåìàя ïàðàбîëèчåсêàя äèс- ïåðсèя ïîêàçàíà ïóíêтèðîì.1 Рис. 2. Óïðîщёííый хîä äèсïåðсèè äëя ôîíîíîâ. Пóíêтèðîì ïîêàçàíы ïðîстåйшèå ìîäåëè Эйíштåйíà è Дåбàя.2 552 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ äèсïåðсèè ħ(q) äëя ôîíîíîâ — íà ðèс. 2. Êðèстàëëèчåсêàя ðåшётêà ïåðèîäèчíà â ðåàëüíîì ïðîстðàí- стâå, à äèсïåðсèя — â k-ïðîстðàíстâå. Àíàëîгèчíî äëя ôîíîíîâ: тîëüêî â q-ïðîстðàíстâå. Â îбîèх сëóчàях ðåшåíèя ðåàëèçóþтся â çîíå Бðèëëþэíà è шèðèíы îбîèх çîí êîíåчíы. Дëя êðèстàëëèчåсêèх 3D-ïðîâîäíèêîâ ïðè ðàсïðîстðàíåíèè êîëåбàíèй ïî ðåшётêå âîçìîжíы тðè сîстîяíèя ïîëяðèçàöèè: îäíî ïðîäîëüíîå, â íàïðàâëåíèè ðàсïðîстðàíåíèя êîëåбàíèй (longitudinal—L) è äâà ïîïåðåчíых (transverse—T). Â îбëàстè íèçêèх эíåðгèй ôîíîííыå ìîäы íàçыâàþт àêóстèчåсêèìè (A). Â íóëåâîì ïðåäåëå âîëíîâых чèсåë (q0) ó àêóстèчåсêèх ìîä äèс- ïåðсèя ëèíåйíàя. Дëя ïðîäîëüíîй àêóстèчåсêîй ìîäы LA ( ) s q v q  , (2à) с  elas s eff k v m , (2б) гäå сêîðîстü çâóêà s îïðåäåëяåтся óïðóгîй ïîстîяííîй kelas è ìàссîй meff. Хàðàêтåðíыå сêîðîстè çâóêà ïîðяäêà 5103 ì/c, чтî ïðèìåðíî â 20 ðàç ìåíüшå сêîðîстè эëåêтðîíîâ. Иç óðàâíåíèй (2) сëåäóåт, чтî ó âåщåстâ с тяжёëыìè àтîìàìè сêîðîстü çâóêà ìåíüшå è сîîтâåтстâåííî ìåíüшå шèðèíà ôîíîííîй çîíы äèсïåð- сèè ïî сðàâíåíèþ с âåщåстâàìè èç ëёгêèх àтîìîâ. Íà ðèсóíêå 3 ïîêàçàíы тàêжå тðè îïтèчåсêèå ìîäы. Дèсïåð- сèя этèх ìîä íåçíàчèтåëüíà: чàстîтà îïтèчåсêèх ìîä L è T сðàâ- íèтåëüíî ìàëî çàâèсèт îт q. Рàçëèчèå ìåжäó àêóстèчåсêèìè è îïтèчåсêèìè ìîäàìè сîстîèт â тîì, чтî â îбëàстè ìàëых q0 сî- сåäíèå àтîìы сìåщàþтся â îäíîì è тîì жå íàïðàâëåíèè äëя àêó- стèчåсêèх ìîä è â ïðîтèâîïîëîжíых íàïðàâëåíèях äëя îïтèчå- сêèх ìîä. Â ïîëяðíых âåщåстâàх сâåт âçàèìîäåйстâóåт с îïтèчå- сêèìè ìîäàìè; îтсþäà è èх íàçâàíèå. Сêîðîстü ôîíîíîâ îïðåäå- ëяåтся íàêëîíîì çàâèсèìîстè чàстîты îт сìåщåíèя (q): àêóстè- чåсêèå ìîäы хàðàêтåðèçóþтся îтíîсèтåëüíî бîëüшåй сêîðîстüþ ôîíîíîâ ïî сðàâíåíèþ с îïтèчåсêèìè ìîäàìè. Пîэтîìó ìîжíî îжèäàтü, чтî èìåííî àêóстèчåсêèå ìîäы ïåðåíîсят бîëüшóþ чàстü тåïëà. Â êàчåстâå ðåàëèстèчåсêîгî ïðèìåðà ïðèâîäèì ôîíîííый сïåêтð гðàôåíà (ðèс. 4), ïîстðîåííый íà îсíîâå эêсïåðèìåíтàëü- íых äàííых, хîðîшî сîгëàсóþщèхся с ðåçóëüтàтàìè ðàсчётîâ ìå- тîäàìè тåîðèè ôóíêöèîíàëà ïëîтíîстè [9–11]. Â эëåìåíтàðíîй ячåйêå гðàôåíà äâà àтîìà óгëåðîäà, чтî îбó- сëîâëèâàåт íàëèчèå â сïåêтðå äèсïåðсèè гðàôåíà шåстè ôîíîí- ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 553 íых âåтâåй — тðёх îïтèчåсêèх (LO, TO, ZO) è тðёх àêóстèчåсêèх (LA, TA, ZA). Пîсëåäíèå сâяçàíы сî сìåщåíèåì âсåй ячåйêè èç ïîëîжåíèя ðàâíîâåсèя, à îïтèчåсêèì ìîäàì îтâåчàþт сäâèгè àтîìîâ â сàìîй эëåìåíтàðíîй ячåйêå с сîхðàíåíèåì ïîëîжåíèя öåíтðà ìàсс. Ôîíîííыå ìîäы LA è TA сîîтâåтстâóþт ïðîäîëüíыì è ïîïå- ðåчíыì êîëåбàíèяì àтîìîâ óгëåðîäà â ïëîсêîстè гðàôåíà, à ìîäà ZA (flexural mode) — êîëåбàíèяì àтîìîâ óгëåðîäà â íàïðàâëå- íèè, ïåðïåíäèêóëяðíîì íàïðàâëåíèþ êîëåбàíèй ìîä LA è TA, с âыхîäîì àтîìîâ èç ïëîсêîстè гðàôåíà. Ìîäы LA è TA хàðàêтå- ðèçóþтся ëèíåйíîй äèсïåðсèåй; сîîтâåтстâóþщèå этèì ìîäàì сêîðîстè çâóêà сîстàâëяþт 21300 è 13600 ì/c сîîтâåтстâåííî. Âсå тåïëîôèçèчåсêèå сâîйстâà гðàôåíà (тåïëîïðîâîäíîстü, тåïëî- Рис. 3. Дèсïåðсèîííыå êðèâыå äëя ôîíîíîâ.3 Рис. 4. Ôîíîííый сïåêтð гðàôåíà, îïèðàþщèйся íà сîâîêóïíыå эêсïå- ðèìåíтàëüíыå è ðàсчётíыå äàííыå.4 554 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ ёìêîстü è äð.) îïðåäåëяþтся ôîíîíàìè. 2. ОБОБЩЁННАЯ МОДЕЛЬ ЛДЛ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА ФОНОНАМИ Эëåêтðèчåсêèй тîê â îбîбщёííîй тðàíсïîðтíîй ìîäåëè ЛДЛ [3, 4, 12]  1 2 2 ( ) ( ) el el q I T E M E f f dE h   [À] (3) ïðîïîðöèîíàëåí ïðîèçâåäåíèþ êîэôôèöèåíтà ïðîхîжäåíèя ( ) el T E èëè èíàчå âåðîятíîстè ïðîхîжäåíèя эëåêтðîíîì âсåй äëè- íы ïðîâîäíèêà ïî êàíàëó ïðîâîäèìîстè эíåðгèè E, чèсëó ìîä ïðîâîäèìîстè ( ) el M E ïðè этîй эíåðгèè è ðàçíîстè ôåðìèåâсêèх ôóíêöèй íà êîíтàêтàх ïðîâîäíèêà. Дëя îïèсàíèя тðàíсïîðтà ôîíîíîâ íàì íåîбхîäèìî óðàâíåíèå, àíàëîгèчíîå (3). Êàê è â сëóчàå эëåêтðîíîâ, êîíтàêты íà êîíöàх ïðîâîäíèêà счèтàþтся äîстàтîчíî ìàссèâíыìè íàстîëüêî, чтîбы ïîääåðжèâàтü тåïëîâîå ðàâíîâåсèå ôîíîíîâ ïðè ðàçíых тåìïåðà- тóðàх êîíтàêтîâ. Есëè â сëóчàå эëåêтðîíîâ сîстîяíèя êîíтàêтîâ çàсåëяþтся â сîîтâåтстâèè сî стàтèстèêîй Ôåðìè–Дèðàêà, тî â сëóчàå ôîíîíîâ — â сîîтâåтстâèè сî стàтèстèêîй Бîçå– Эйíштåйíà 0 / 1 ( ) 1kT n e    . (4) Пóстü тåìïåðàтóðà íà ëåâîì è ïðàâîì êîíтàêтàх бóäåт сîîтâåт- стâåííî Т1 è Т2. Êàê è â сëóчàå эëåêтðîíîâ, ïðåäïîëàгàåтся, чтî êîíтàêты èäåàëüíыå, äðóгèìè сëîâàìè, îтðàжåíèå ôîíîíîâ íà êîíтàêтàх íå ïðîèсхîäèт, è êîэôôèöèåíт ïðîхîжäåíèя äåйстâè- тåëüíî сîîтâåтстâóåт ïðîхîжäåíèþ ôîíîíîâ чåðåç âåсü êàíàë ïðîâîäèìîстè. Тåïåðü ëåгêî ïåðåïèсàтü âыðàжåíèå (3) ïðèìåíèтåëüíî ê ôî- íîíàì. Дëя ïîтîêà ôîíîíîâ эíåðгèþ эëåêтðîíîâ E çàìåíèì эíåð- гèåй ôîíîíîâ ħ. Â сëóчàå эëåêтðîíîâ ïåðåíîсятся çàðяäы q, à â сëóчàå ôîíîíîâ — êâàíты эíåðгèè ħ: çàìåíèì q íà ħ è âíåсёì ħ ïîä çíàê èíтåгðàëà. Дâîйêà â óðàâíåíèè (3) äëя тîêà эëåêтðî- íîâ сîîтâåтстâóåт âыðîжäåíèþ ïî сïèíó. Исêëþчèì åё èç óðàâ- íåíèя äëя ôîíîíîâ, à чèсëî сîстîяíèй ïîëяðèçàöèè ôîíîíîâ âêëþчèì â чèсëî ôîíîííых ìîä ( ) ph M  . Оêîíчàтåëüíî äëя тåï- ëà, ïåðåíîсèìîгî ôîíîíàìè, èìååì:  1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph Q T M n n d h       [Âт]. (5) ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 555 Êàê è â сëóчàå эëåêтðîíîâ, íàс èíтåðåсóåт ðåжèì ëèíåйíîгî îтêëèêà, èëè èíàчå êâàçèðàâíîâåсíîгî тðàíсïîðтà. Â этîì ðåжè- ìå 1 2T T è 0 1 2 0n n n n   , чтî ïîçâîëяåт ðàçëîжèтü n2 îтíîсè- тåëüíî n1 â ðяä Тåйëîðà è îгðàíèчèтüся ïåðâыì ïîðяäêîì: 0 2 1 n n n T T      , (6) тàê чтî íóжíàя íàì ðàçíîстü 0 1 2 n n n T T       . (7) Пðîèçâîäíóþ 0 /n T  íàхîäèì äèôôåðåíöèðîâàíèåì бîçåâсêîгî ðàсïðåäåëåíèя (4): 0 0 ( ) n n T T           , (8) гäå / 0 / 2 1 ( ) ( 1) kT kT n e kT e           . (9) Тåïåðü óðàâíåíèå (5) äëя ìàëîй ðàçíîстè тåìïåðàтóð íà êîí- тàêтàх ìîжíî ïåðåïèсàтü сëåäóþщèì îбðàçîì: L Q K T   , (10) гäå ðåшётîчíàя тåïëîïðîâîäíîстü 22 0( ) ( ) ( ) ( )L ph ph nk T K T M d h kT                     [Âт/Ê]. (11) Óðàâíåíèå (10) åстü çàêîí тåïëîïðîâîäíîстè Ôóðüå, сîгëàсíî êîтîðîìó ïîтîê тåïëà àíтèíàïðàâëåí гðàäèåíтó тåìïåðàтóðы. Пîëåçíî îбðàтèтü âíèìàíèå íà сëåäóþщóþ схîжåстü тåïëîïðî- âîäíîстè (11) è эëåêтðîííîй ïðîâîäèìîстè 2 02 ( ) ( ) el el fq G T E M E dE h E      . (12) Пðîèçâîäíàя 0( ) el f W E E      , (13) èçâåстíà êàê ôåðìèåâсêîå îêíî ïðîâîäèìîстè, âыäåëяþщåå тå 556 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ ìîäы ïðîâîäíèêà, êîтîðыå тîëüêî è ìîгóт âíåстè âêëàä â эëåê- тðîííóþ ïðîâîäèìîстü. Оêíî ïðîâîäèìîстè íîðìèðîâàíî íà 1: 0 1 f dE E        . (14) Àíàëîгèчíóþ ðîëü îêíà ïðîâîäèìîстè äëя ôîíîíîâ èгðàåт сëå- äóþщåå âыðàжåíèå: 0 2 3 ( ) ( )ph n W kT               , (15) â êîтîðîì чèсëåííый êîэôôèöèåíт íåîбхîäèì äëя íîðìèðîâêè íà åäèíèöó âыðàжåíèя â êâàäðàтíых сêîбêàх óðàâíåíèя (11): Рис. 5. Оêíî ïðîâîäèìîстè äëя эëåêтðîíîâ (13) ïðè äâóх ðàçíых тåìïå- ðàтóðàх. Эíåðгèя E ìîжåт бытü êàê бîëüшå ôåðìèåâсêîй, тàê è ìåíüшå åё.5 Рис. 6. Оêíî ïðîâîäèìîстè äëя ôîíîíîâ (15) ïðè äâóх ðàçíых тåìïåðà- тóðàх. Эíåðгèя ôîíîíîâ ìîжåт бытü тîëüêî ïîëîжèтåëüíîй.6 ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 557 2 2 0 0 ( ) ( ) 3 n d kT                , (16) тàê чтî îêîíчàтåëüíî ðåшётîчíàя тåïëîïðîâîäíîстü 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3L ph ph ph k T K T M W d h       . (17) Â этîì âыðàжåíèè чèсëåííый êîэôôèöèåíт    2 2 13 2 0 (3 ) (9,456 10 Âт/Ê )g k T h T , (18) êîтîðый ìы îбсóäèì ïîçжå, åстü êâàíт тåïëîïðîâîäíîстè, âïåð- âыå ïîäтâåðжäёííый эêсïåðèìåíтàëüíî â 2000 гîäó [13]. Сðàâíèâàя âыðàжåíèя äëя ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстè (17) è эëåêтðîííîй ïðîâîäèìîстè (12), îïятü óбåжäàåìся â èх схîжå- стè: è тà è äðóгàя ïðîâîäèìîстè ïðîïîðöèîíàëüíы сîîтâåтстâó- þщåìó êâàíтó ïðîâîäèìîстè, óìíîжåííîìó íà èíтåгðàë îт ïðî- èçâåäåíèя тðёх âåëèчèí — êîэôôèöèåíтà ïðîхîжäåíèя, чèсëà ìîä è îêíà ïðîâîäèìîстè. Пðîôèëè îêîí ïðîâîäèìîстè äëя эëåê- тðîíîâ è ôîíîíîâ ïîêàçàíы íà ðèс. 5 è 6. Оêíà ïðîâîäèìîстè äëя эëåêтðîíîâ è ôîíîíîâ íå тîëüêî схîжè, íî è èìåþт ïðèбëè- çèтåëüíî îäèíàêîâóþ шèðèíó â 2kT  . 2.1. Теплопроводность массивных проводников Тåïëîïðîâîäíîстü äèôôóçèîííых ïðîâîäíèêîâ яâëяåтся èх êëþ- чåâыì сâîйстâîì, îïðåäåëяþщèì ðàбîтîсïîсîбíîстü ðàçíîîбðàç- íых эëåêтðîííых óстðîйстâ. Пî àíàëîгèè с тðàíсïîðтîì эëåêтðîíîâ (ô-ëà (86) èç [12]) êî- эôôèöèåíт ïðîхîжäåíèя äëя ôîíîíîâ            ( ) ( ) ( ) ( ) | ph ph ph ph L ph T L L , (19) гäå L — äëèíà 3D-ïðîâîäíèêà, à ( ) ph   — äëèíà сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíà чàстîты . Êðîìå тîгî, чèсëî ôîíîííых ìîä ïðî- ïîðöèîíàëüíî ïëîщàäè ïîïåðåчíîгî сåчåíèя 3D-ïðîâîäíèêà: ( ) ph M A  , (20) Óìíîжàя è äåëя óðàâíåíèå (10) íà A/L, ïîëóчàåì L L T Q K A A L       , (21) 558 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ îтêóäà сëåäóåт ïîстóëèðîâàííîå â сàìîì íàчàëå óðàâíåíèå (1) äëя ïîтîêà тåïëà: ph Qx L Q dT J k A dx    (22) с óäåëüíîй ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстüþ L L L k K A  , (23) èëè ïîсëå ïîäстàíîâêè (19) â (17) â ðàçâёðíóтîì âèäå îêîíчà- тåëüíî ïîëóчàåì 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ph L ph ph Mk T k W d h A       . (24) Пîсêîëüêó èìåííî îêíî ïðîâîäèìîстè ôîíîíîâ ( ) ph W  îïðå- äåëяåт, êàêèå èìåííî ôîíîííыå ìîäы ìîгóт ïðèíèìàтü óчàстèå â ïðîâîäèìîстè тåïëà, åстåстâåííî ââåстè сðåäíåå чèсëî àêтèâíых ôîíîííых ìîä íà åäèíèöó ïëîщàäè ïîïåðåчíîгî сåчåíèя ïðîâîä- íèêà ( ) / ( ) ( )ph ph ph M M A W d A     , (25) тàê чтî â êîìïàêтíîì âèäå 2 2 / 3L ph ph k T k M A h    , (26) гäå óсðåäíёííîå çíàчåíèå сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôî- íîíîâ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph ph ph ph ph M W d A M W d A             . (27) Итàê, ïàðå ôîíîííых тðàíсïîðтíых óðàâíåíèй (22) è (26) сî- îтâåтстâóåт схîжàя ïî ôîðìå ïàðà эëåêтðîííых тðàíсïîðтíых óðàâíåíèй [3, 4, 12]:  F x d E J q dx   , (28) 22 / el el q M A h    . (29) ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 559 Ãðàäèåíт эëåêтðîхèìèчåсêîгî ïîтåíöèàëà âыçыâàåт ïîтîê эëåêтðîíîâ è тåïëà, à гðàäèåíт тåìïåðàтóðы — ïîтîê тåïëà. Тåðìîэëåêтðèчåсêèå êîэôôèöèåíты (26) è (29) èìåþт îäèíàêî- âóþ стðóêтóðó. Этî âсåгäà ïðîèçâåäåíèå сîîтâåтстâóþщåгî êâàíтà ïðîâîäèìîстè íà чèсëî ìîä ïðîâîäèìîстè, óчàстâóþщèх â тðàíс- ïîðтå, è íà óсðåäíёííîå çíàчåíèå сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðî- бåгà сîîтâåтстâóþщåгî íîсèтåëя (тîêà èëè тåïëà). Ê îöåíêå этèх тðёх âåëèчèí äëя ôîíîíîâ ìы âåðíёìся ïîçжå. 2.2. УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЁМКОСТЬ Хîðîшî èçâåстíà ïðîïîðöèîíàëüíîстü ìåжäó óäåëüíîй тåïëîïðî- âîäíîстüþ è óäåëüíîй тåïëîёìêîстüþ ïðè ïîстîяííîì îбъёìå CV [5–8]. Óстàíîâèì этó сâяçü è ïîêàжåì, чтî êîэôôèöèåíт ïðîïîð- öèîíàëüíîстè ìåжäó íèìè îïðåäåëяåтся óсðåäíёííîй äîëжíыì îбðàçîì сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ ph  è сðåäíåй сêîðîстüþ ôîíîíîâ ph v , à èìåííî: 1 3L ph ph V k v C  . (30) Эíåðгèя ôîíîíîâ íà åäèíèöó îбъёìà, îчåâèäíî, äàётся âыðà- жåíèåì: 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph E D n d       , (31) гäå ( ) ph D  åстü ïëîтíîстü ôîíîííых сîстîяíèй. Пî îïðåäåëå- íèþ, 0 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 3 ph V ph ph ph ph E C D n d T T n k T D d D W d T                               (32) гäå èсïîëüçîâàëèсü óðàâíåíèя (8) è (15). Óìíîжåíèå è äåëåíèå êîэôôèöèåíтà тåïëîïðîâîäíîстè (24) íà тåïëîёìêîстü (32) äàёт èсêîìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîстü: 0 0 ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph ph L V ph ph M W d h A k C D W d                      . (33) 560 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ Дëя ïîëóчåíèя îêîíчàтåëüíîгî ðåçóëüтàтà â âèäå óðàâíåíèя (30) è êîððåêтíîй èíтåðïðåтàöèè êîэôôèöèåíтà ïðîïîðöèîíàëü- íîстè ìåжäó kL è VC íóжíî âåðíóтüся ê сâяçè ìåжäó сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî ïðîбåгà è êîэôôèöèåíтîì ïðîхîжäåíèя (19), èìåþщåй îäèíàêîâый âèä, êàê äëя эëåêтðîíîâ, тàê è äëя ôîíî- íîâ. 2.3. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ Сâяçü этèх äâóх âàжíåйшèх хàðàêтåðèстèê äèôôóçèîííîгî тðàíсïîðтà ïðîщå âсåгî ïðîèëëþстðèðîâàтü íà ïðèìåðå эëåê- тðîííîгî тðàíсïîðтà ïî 1D-ïðîâîäíèêó â äèôôóçèîííîì ðåжèìå (ðèс. 7). Рàссìîтðèì îäíîðîäíый 1D-ïðîâîäíèê â äèôôóçèîííîì ðåжè- ìå. Лåâый êîíтàêт âïðысêèâàåт эëåêтðîíы с тîêîì ( 0)I x  . Дîëя эëåêтðîíîâ Т âîйäёт â ïðàâый êîíтàêт с тîêîì ( ) ( 0).I x L TI x    Остàâшàяся äîëя âåðíётся â ëåâый êîíтàêт (ðàссåяíèå íàçàä) с тîêîì ( 0) ( 0)I x RI x    . Â îтсóтстâèè ïðîöåссîâ ðåêîìбèíàöèè 1T R  . Пðåäïîëàгàåтся тàêжå, чтî ïðàâый êîíтàêт èäåàëüíый, ïîгëîщàåт âсå âхîäящèå â íåгî эëåêтðîíы. Рåçóëüтèðóþщèй тîê, îчåâèäíî, бóäåт (1 ) (0) (0)I R I TI    . Тàê èëè èíàчå, â ïðîâîäíèêå èìåþт ìå- стî êàê ïðяìыå, тàê è îбðàтíыå ïîтîêè эëåêтðîíîâ, è íàì íåîб- хîäèìî îïèсàтü èх ïðîстðàíстâåííîå ðàсïðåäåëåíèå. Оïðåäåëèì îбðàтíîå çíàчåíèå сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбå- гà 1/ êàê âåðîятíîстü (íà åäèíèöó äëèíы) îбðàщåíèя ïîëîжè- тåëüíîгî ïîтîêà эëåêтðîíîâ â îтðèöàтåëüíый è íàîбîðîт. Иìåí- íî, èсхîäя èç этîгî îïðåäåëåíèя, âåëèчèíó  è íàçыâàþт èíîгäà сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî îбðàтíîгî ðàссåяíèя (mean-free-pass for backscattering) èëè ïðîщå сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî ïðîбåгà. Â äèôôóçèîííîì ïðîâîäíèêå íåêîтîðàя äîëя ïîëîжèтåëüíîгî ïî- тîêà â ðåçóëüтàтå ðàссåяíèя íàçàä îбðàщàåтся â îтðèöàтåëüíый. Â ïðîâîäíèêå ôîðìèðóåтся îтðèöàтåëüíый ïîтîê, è åгî íåêîтî- Рис. 7. Ê âыâîäó сâяçè ìåжäó êîэôôèöèåíтîì ïðîхîжäåíèя è сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî ïðîбåгà íà ïðèìåðå îäíîðîäíîгî 1D-ïðîâîäíèêà.7 ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 561 ðàя äîëя â ðåçóëüтàтå ðàссåяíèя íàçàä îбðàщàåтся, óсèëèâàя ïî- ëîжèтåëüíый ïîтîê. Â ðåçóëüтàтå гðàäèåíт ïîëîжèтåëüíîгî тîêà сêëàäыâàåтся èç äâóх âåëèчèí: ( ) ( ) ( )dI x I x I x dx         . (34) Пðåíåбðåгàя ïðîöåссàìè ðåêîìбèíàöèè, ðåçóëüтèðóþщèй тîê ( ) ( )I I x I x   (35) яâëяåтся ïîстîяííîй âåëèчèíîй, тàê чтî гðàäèåíт тîêà ( )dI x I dx     (36) яâëяåтся êîíстàíтîй. Дðóгèìè сëîâàìè, тîê сïàäàåт ëèíåйíî âäîëü ïðîâîäíèêà: ( ) (0) I I x I x    . (37) Âîсïîëüçóåìся ïîëóчåííыì óðàâíåíèåì äëя âычèсëåíèя тîêà, âхîäящåгî â ïðàâый êîíтàêт: ( ) (0) (0) ( ) ( ) (0) ( ) I L L I L I L I I L I L I I L                 , (38) гäå ìы âîсïîëüçîâàëèсü óðàâíåíèåì бàëàíсà (35) è тåì, чтî ïðà- âый êîíтàêт èäåàëüíый ( ( ) 0I L  ). Иç ïîсëåäíåгî ðàâåíстâà íàхîäèì ( ) (0) (0)I L I T I L        , (39) Есëè ïðîâåстè àíàëîгèчíыå ðàссóжäåíèя äëя âïðысêèâàíèя эëåêтðîíîâ ïðàâыì êîíтàêтîì, тî ïîëóчèì àíàëîгèчíîå óðàâíå- íèå äëя эëåêтðîíîâ, âхîäящèх â ëåâый êîíтàêт, à èìåííî: (0) ( )I T I L  . Дëя îäíîðîäíîгî ïðîâîäíèêà T T  . Пðîâîäíèê ïîä íàïðяжåíèåì íå яâëяåтся îäíîðîäíыì, íî íàс èíтåðåсóåт ðåжèì ëèíåйíîгî îтêëèêà, тàê чтî âïîëíå ïðèåìëåìî ïîëîжèтü T T  . Оêîíчàтåëüíî, â ïðåäïîëîжåíèè íåçàâèсèìîстè äðóг îт äðóгà ìîä ïðîâîäèìîстè ïîëóчàåì èсêîìîå óðàâíåíèå (19), сâя- çыâàþщåå êîэôôèöèåíт ïðîхîжäåíèя сî сðåäíåй äëèíîй сâîбîä- íîгî ïðîбåгà: ( ) ( ) ( ) E T E E L     . (40) 562 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ Âыâîä óðàâíåíèя (40) сäåëàí â ðàìêàх ïðîстîй ìîäåëè, чтî íèêàê íå ìåшàåт óсïåшíîìó è шèðîêîìó èсïîëüçîâàíèþ åгî íà ïðàêтèêå. Âàжíыì ìîìåíтîì â ïðîâåäёííых ðàссóжäåíèях яâëяåтся èí- тåðïðåтàöèя 1/ êàê âåðîятíîстè (íà åäèíèöó äëèíы) îбðàщåíèя ïîтîêà чàстèö â îбðàтíîì íàïðàâëåíèè â ðåçóëüтàтå ðàссåяíèя. Иìåííî ïîэтîìó сàìó äëèíó , êàê óжå óïîìèíàëîсü, чàстî íàçыâàþт сðåäíåй äëèíîй сâîбîäíîгî ðàссåяíèя íàçàä. Óстàíîâèì сâяçü ìåжäó  è âðåìåíåì ðàссåяíèя . Пóстü эëåê- тðîí сîâåðшàåт àêт ðàссåяíèя â èçîтðîïíîì 1D-ïðîâîäíèêå. Ó íåгî åстü äâå âîçìîжíîстè: ðàссåятüся âïåðёä è ðàссåятüся íàçàä. Тîëüêî ðàссåяíèå íàçàä сóщåстâåííî äëя îïðåäåëåíèя сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà. Отсþäà сëåäóåт, чтî сðåäíяя äëèíà ðàссåяíèя íàçàä ðàâíà óäâîåííîìó çíàчåíèþ сðåäíåй äëèíы ðàс- сåяíèя: 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) D E E v E E     . (41) Дëя ïðîâîäíèêà ïðîèçâîëüíîй ðàçìåðíîстè сðåäíяя äëèíà ðàс- сåяíèя íàçàä äàётся âыðàжåíèåì [14] 2( ) 2 | | x x E v v   , (42) гäå óсðåäíåíèå äëя 2D- è 3D-ïðîâîäíèêîâ âåäётся ïî óгëàì. Дëя èçîтðîïíых ïðîâîäíèêîâ 2 ( ) ( ) ( ) 2D E v E E     , (43) 3 4 ( ) ( ) ( ) 3D E v E E   . (44) Дëя âðåìåíè ðàссåяíèя  чàстî èсïîëüçóåтся стåïåííîй çàêîí 0( ) s C E E E kT         , (45) гäå çíàчåíèå ïîêàçàтåëя стåïåíè îтðàжàåт тîт èëè èíîй ìåхà- íèçì ðàссåяíèя. Дëя àêóстèчåсêèх ôîíîíîâ â 3D-ïðîâîäíèêàх с ïàðàбîëèчåсêîй äèсïåðсèåй 1/2s   , äëя ðàссåяíèя íà èîíèçè- ðîâàííых ïðèìåсях 3/2s   [15]. Àíàëîгèчíый стåïåííîй çàêîí чàстî èсïîëüçóåтся äëя сðåäíåй äëèíы ðàссåяíèя: 0( ) r C E E E kT         . (46) ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 563 Дëя ïàðàбîëèчåсêîй çîííîй стðóêтóðы 1/2( )v E E , тàê чтî 1/2r s  . Дëя àêóстèчåсêèх ôîíîíîâ, сîîтâåтстâåííî, r0, à äëя ðàссåяíèя íà èîíèçèðîâàííых ïðèìåсях r2. Âîçâðàщàясü ê íàшåй ïåðâîíàчàëüíîй çàäàчå — âыâîäó óðàâ- íåíèя (30) èç (33), äëя 3D-ïðîâîäíèêà, сîгëàсíî (44), èìååì: 4 ( ) ( ) ( ) 3ph ph ph v      , (47) гäå, сîгëàсíî (41), ( ) ( ) ( ) ph ph ph v       , (48) тàê чтî îêîíчàтåëüíî 4 ( ) ( ) 3ph ph      . (49) 2.4. ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ СОСТОЯНИЙ И ФОНОННЫЕ МОДЫ Рàíåå быëî ïîêàçàíî, чтî äëя 3D-ïðîâîäíèêà чèсëî ìîä è ïëîт- íîстü эëåêтðîííых сîстîяíèй сâяçàíы сîîтíîшåíèåì (ô-ëà (63) â [12]): 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 4el D x D h M E AM E A v E D E  . (50) Ìы хîтèì этó ôîðìóëó ïåðåïèсàтü ïðèìåíèтåëüíî ê ôîíîíàì. Сíàчàëà âсïîìíèì, чтî сïèíîâîå âыðîжäåíèå 2 S g  âхîäèт â ïëîтíîстü сîстîяíèй, тàê чтî â ïåðåсчётå íà îäèí сïèí 3 3( ) 2 ( ) D D D E D E . (51) Дàëåå, äëя сôåðèчåсêèх çîí â 3D ( ) ( ) 2 el x v E v E  . (52) Сîчåтàя (51) è (52) с (50) è ïåðåхîäя ê ôîíîíàì, ïîëóчàåì ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 4 ph ph ph ph ph vh h M A D A v D            . (53) Пîäстàâëяя (49) è (53) â (33), ïîëóчàåì îчåðåäíîй ïðîìåжó- тîчíый ðåçóëüтàт: 564 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ph ph ph ph L V ph ph v D W d k C D W d                        . (54) Óìíîжàя è äåëя (54) íà 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph ph v D W d      , (55) îêîíчàтåëüíî ïîëóчàåì èсêîìîå óðàâíåíèå (30) с êîэôôèöèåíтîì ïðîïîðöèîíàëüíîстè ìåжäó kL è CV â âèäå ïðîèçâåäåíèя сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph ph ph ph ph ph ph v D W d v D W d                 (56) è сðåäíåй сêîðîстè ôîíîíîâ 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ph ph ph ph ph ph v D W d v D W d             , (57) óсðåäíёííых äîëжíыì îбðàçîì. Óðàâíåíèå (30) чàстî èсïîëüçóåтся äëя âычèсëåíèя сðåäíåй äëèíы сâîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ èç ðåçóëüтàтîâ èçìåðåíèй тåï- ëîïðîâîäíîстè è тåïëîёìêîстè. Дëя этîгî íóжíî çíàтü сðåäíþþ сêîðîстü ôîíîíîâ, êîтîðàя íåðåäêî ïðåäïîëàгàåтся ðàâíîй ïðî- äîëüíîй сîстàâëяþщåй сêîðîстè çâóêà. Пðèâåäёííыå âышå âы- êëàäêè тîчíî îïðåäåëяþт сìысë óсðåäíåíèй ïðè âычèсëåíèè сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ è èх сðåäíåй сêîðî- стè. Íàïðèìåð, çàäàâшèсü äèсïåðсèåй ôîíîíîâ âсåгäà ìîжíî âы- чèсëèтü èх сðåäíþþ сêîðîстü ïî (57). Êàê ïðàâèëî, âычèсëåííàя тàêèì îбðàçîì сêîðîстü сèëüíî îтëèчàåтся îт ïðîäîëüíîй сîстàâ- ëяþщåй сêîðîстè çâóêà, чтî äàëåå âåäёт ê îшèбîчíыì ðåçóëüтà- тàì ïî сðåäíåй äëèíå сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ [16]. Рàссìîтðèì ïëîтíîстü ôîíîííых сîстîяíèй è чèсëî ôîíîííых ìîä с бîëåå îбщèх ïîçèöèй. Пëîтíîстü сîстîяíèй ôîíîíîâ îïðå- äåëяåтся àíàëîгèчíî ïëîтíîстè сîстîяíèй эëåêтðîíîâ, êàê чèсëî ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 565 ðàçðåшёííых ôîíîííых сîстîяíèй íà åäèíèöó эíåðгèè è åäèíè- öó äëèíы L äëя 1D-ïðîâîäíèêîâ, ïëîщàäè ïîïåðåчíîгî сåчåíèя А äëя 2D-ïðîâîäíèêîâ è íà åäèíèöó îбъёìà  LA äëя 3D- ïðîâîäíèêîâ. Â сëóчàå эëåêтðîíîâ чèсëî ðàçðåшёííых сîстîяíèй сî çíàчåíè- åì èìïóëüсà, ìåíüшèì, чåì çàäàííîå çíàчåíèå p, äëя ïðîâîäíè- êîâ ðàçìåðíîстè d{1, 2, 3} [17] —    2 3 4 ( ) 2 , , / 3/ / L LW LA N p h p h p h p         . (58) Àíàëîгèчíî, чèсëî ðàçðåшёííых ôîíîííых сîстîяíèй сî çíà- чåíèåì âîëíîâîгî âåêтîðà /k p ìåíüшèì, чåì çàäàííîå çíà- чåíèå k, 1 2 ( ) 2 /D k N k L   , (59à) 2 2 2 2 ( ) 4 /D k N k L    , (59б) 3 3 3 3 4 / 3 ( ) 8 /D k N k L    , (59â) гäå åäèíîîбðàçèя ðàäè äàëåå óäîбíî ïëîщàäü 2D-ïðîâîäíèêà îбî- çíàчèтü êàê 2L LW , à îбъåì äëя 3D-ïðîâîäíèêà êàê 3L LA   . Âåëèчèíó Ld óсëîâíî íàçîâёì «îбъёìîì» ïðîâîäíè- êà ðàçìåðíîстè d. Пëîтíîстü ôîíîííых сîстîяíèй, сîгëàсíî îïðåäåëåíèþ âышå, îчåâèäíî, тàêîâà: 1 1 ( )1 1 ( ) D D dN k D k L dk    , (60à) 2 2 2 ( )1 ( ) 2 D D dN k k D k L dk    , (60б) 2 3 3 3 2 ( )1 ( ) 2 D D dN k k D k L dk    . (60â) Пëîтíîстü ôîíîííых сîстîяíèй чàстî âыðàжàþт чåðåç гðóïïî- âóþ сêîðîстü ôîíîíîâ   ( ) g d v dk , (61) à èìåííî [18]: 566 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ 1 1 1 ( ) ( )1 1 1 ( ) ( ) D D D g dN k dN k dk D L d L dk d v         , (62à) 2 2 2 2 2 ( ) ( )1 1 ( ) ( ) 2 ( ) D D D g dN k dN k dk k D L d L dk d v          , (62б) 2 3 3 3 3 3 2 ( ) ( )1 1 ( ) ( ) 2 ( ) D D D g dN k dN k dk k D L d L dk d v          . (62â) Êîëèчåстâî тåïëà, ïåðåíîсèìîгî ôîíîíàìè, îïðåäåëяåтся âы- ðàжåíèåì (5), â êîтîðîì чèсëî сîстîяíèй ïîëяðèçàöèè ôîíîíîâ óчтåíî â чèсëå ôîíîííых ìîä ( ) ph M  . Пåðåïèшåì этî âыðàжå- íèå чåðåç èíтåгðàë ïî чàстîтå:  1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 ph ph Q T M n n d          . (63) Пðè ïåðåíîсå тåïëà ïî 1D-ïðîâîäíèêó ( ) ph M  åстü ïðîстî åäè- íèöà, ïî 2D-ïðîâîäíèêó ( ) ph M  ïðîïîðöèîíàëüíî шèðèíå ïðî- âîäíèêà, à ïî 3D-ïðîâîäíèêó — ïëîщàäè åгî ïîïåðåчíîгî сåчå- íèя:  1 2 3( ) ( ), ( ), ( ) ph D D D M M WM AM     . (64) Дëя âычèсëåíèя è èíтåðïðåтàöèè 2 ( ) D M  è 3 ( ) D M  íàì ïî- тðåбóþтся сîîтâåтстâóþщèå âыðàжåíèя äëя ïîтîêîâ тåïëà    (1 ), (2 ), (3 ) , / , /ph ph ph ph Qx Q Q Q J J D J D J D Q Q W Q A  , (65) сâяçàííых íåïîсðåäстâåííî с êîëèчåстâîì ïåðåíîсèìîгî тåïëà (33), à èìåííî [18]:  1 1 2 0 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ph Q ph g D J D T v D n n d            , (66à)  2 1 2 0 2 ( )1 (2 ) ( ) ( ) ( ) 2 gph Q ph D v J D T D n n d             , (66б)  3 1 2 0 ( )1 (3 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 gph Q ph D v J D T D n n d              , (66â) гäå ïëîтíîстè ôîíîííых сîстîяíèй îïðåäåëяþтся óðàâíåíèяìè (62). Óðàâíèâàя ïîтîêè тåïëà (66) с êîëèчåстâîì ïåðåíåсёííîгî тåïëà (63) сîгëàсíî (65) è óчèтыâàя âыðàжåíèя äëя ïëîтíîстè ôîíîííых сîстîяíèй (62), îêîíчàтåëüíî ïîëóчàåì: ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 567 1 1( ) ( ) ( ) 1 D g D M v D        , (67à) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )g D D v k M D            , (67б) 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 g D D v k M D            , (67â) èëè èíàчå чèсëî ôîíîííых ìîä (64), îïðåäåëяþщèх êîëèчåстâî ïåðåíåсёííîгî тåïëà (63), 1 2 2 3 2 1 ( ) ( ) 1, ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) D g g g ph D g g D g M v v v k M WM W v v k A M A v                                          (68) чтî ïîçâîëяåт èíтåðïðåтèðîâàтü чèсëî ìîä ( ) ph M  êàê ìàêсè- ìàëüíîå чèсëî äå-бðîйëåâсêèх ïîëóâîëí, óêëàäыâàþщèхся â «сå- чåíèè» ïðîâîäíèêà, ïîïåðåчíîì îтíîсèтåëüíî íàïðàâëåíèя äâè- жåíèя ôîíîíîâ. Дåйстâèтåëüíî, ïðåäïîëàгàя ëèíåйíóþ çàâèсè- ìîстü (k), чтî âïîëíå îбîсíîâàíî äëя LA è TA àêóстèчåсêèх ìîä, èìååì 2 /k    , тàê чтî óðàâíåíèя (68) сâîäятся ê 1 2 2 3 ( ) 1, ( ) ( ) / ( / 2), ( ) / [(4 / )( / 2) ], D ph D D M M W M W A M A                  (69) гäå ìíîжèтåëü 4/ ïîяâëяåтся â сâяçè с тåì, чтî ïîïåðåчíîå сå- чåíèå 3D-ïðîâîäíèêà ïðåäïîëàгàåтся êðóгîâыì с ïëîщàäüþ A, ðàâíîй êâàäðàтó äèàìåтðà îêðóжíîстè, äåëёííîìó íà 4/. Обðà- тèì тàêжå âíèìàíèå íà тî, чтî âыðàжåíèя â êâàäðàтíых сêîбêàх óðàâíåíèй (68) åстü íå чтî èíîå, êàê óсðåäíёííыå ïî âсåì óгëî- âыì ïåðåìåííыì çíàчåíèя сêîðîстè ôîíîíîâ â íàïðàâëåíèè èх äâèжåíèя (âäîëü îсè +x â íàшåì ðàссìîтðåíèè) [19]. 2.5. ДЕБАЕВСКАЯ МОДЕЛЬ Â сëóчàå эëåêтðîíîâ шèðèíà çîíы ïðîâîäèìîстè BW kT , тàê чтî çàíяты тîëüêî сîстîяíèя âбëèçè äíà çîíы ïðîâîäèìîстè è ïîэтîìó тàê íåïëîхî ðàбîтàåт ìîäåëü эôôåêтèâíîй ìàссы с ïàðà- 568 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ бîëèчåсêîй äèсïåðсèåй (ðèс. 1). Сîâсåì äðóгàя сèтóàöèя â сëóчàå ôîíîíîâ: BW kT (ðèс. 2). Зàíяты сîстîяíèя ïî âсåй çîíå Бðèë- ëþэíà. Àêóстèчåсêèå ìîäы тåì ëóчшå àïïðîêсèìèðóþтся äåбàåâ- сêèì ëèíåйíыì ïðèбëèжåíèåì (2), чåì бëèжå âîëíîâыå чèсëà ê öåíтðó çîíы Бðèëëþэíà (ðèс. 3 è 4). Пåðåïèшåì (2) â âèäå D v q  , (70) гäå ïîä äåбàåâсêîй сêîðîстüþ D ïîíèìàþт сðåäíþþ сêîðîстü ïðîäîëüíых è ïîïåðåчíых àêóстèчåсêèх ìîä. Тîгäà, ïî àíàëîгèè с эëåêтðîíàìè, ïëîтíîстü ôîíîííых сîстîяíèй 2 2 3 3( ) ( ) 2 ( )ph D D v     [Дж–1ì–3], (71) гäå ìíîжèтåëü 3 óчèтыâàåт тðè ïîëяðèçàöèè àêóстèчåсêèх ìîä. Обðàтèì âíèìàíèå, чтî â óчåбíèêàх ïëîтíîстü ôîíîííых сîстîя- íèй чàщå âыðàжàåтся â Ãö–1ì–3: ( ) ( ) ph ph D D  . Чèсëî ìîä íà åäèíèöó ïëîщàäè ïîïåðåчíîгî сåчåíèя ïðîâîä- íèêà âычèсëяåì ïî (53): 2 2 3( ) ( ) 4 ( )ph D M v     . (72) Пîсêîëüêó âсå сîстîяíèя â çîíå Бðèëëþэíà ïðè óìåðåííых тåìïåðàтóðàх стðåìятся бытü çàïîëíåííыìè, íóжíî ïðîêîíтðî- ëèðîâàтü, чтî äåйстâèтåëüíî óчтåíы âсå сîстîяíèя. Â êðèстàëëå с N/ àтîìàìè íà åäèíèöó îбъёìà èìååì 3N/ сîстîяíèй íà åäè- íèöó îбъёìà. Пîëíîå чèсëî сîстîяíèй äàётся èíтåгðàëîì 0 ( ) ( ) D ph D d    , (73) â êîтîðîì âåðхíèй ïðåäåë, îïðåäåëяåìый äåбàåâсêîй чàстîтîй, âыбèðàåтся тàêèì îбðàçîì, чтîбы ïîëóчèтü ïðàâèëüíîå чèсëî сî- стîяíèй 3N/, à èìåííî: 1/326 D D D N v kT        . (74) Дåбàåâсêàя чàстîтà яâëяåтся ïðåäåëüíîй, âышå êîтîðîй ôî- ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 569 íîííыå сîстîяíèя óжå íå сóщåстâóþт èëè íå óчèтыâàþтся. Этî îгðàíèчåíèå ìîжíî ââåстè è чåðåç äåбàåâсêèй âîëíîâîй âåêтîð qD èëè чåðåç äåбàåâсêóþ тåìïåðàтóðó TD ïîсðåäстâîì (74). Дëя  D T T çàíяты тîëüêî сîстîяíèя с q0, äëя êîтîðых хîðîшî âыïîëíяåтся äåбàåâсêîå ïðèбëèжåíèå. Тåïåðü èíтåгðèðîâàíèå â (24) ìîжíî âåстè тîëüêî äî äåбàåâ- сêîй эíåðгèè: 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 D ph L ph ph Mk T k W d h A        (75) è бðàтü чèсëî ôîíîííых ìîä ïî (72). Иíтåгðàë ìîжíî âçятü чèс- ëåííî èëè àíàëèтèчåсêè с ïðèåìëåìыì âыðàжåíèåì äëя сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ. Иìåííî тàê быëà âïåðâыå âычèсëåíà ðåшётîчíàя тåïëîïðîâîäíîстü [20, 21]. Дàëüíåйшåå ðàçâèтèå тåîðèя è ìåтîäы âычèсëåíèя тåðìîэëåêтðèчåсêèх тðàíсïîðтíых êîэôôèöèåíтîâ ïîëóчèëè â ðàбîтàх [14, 16, 22]. 3. РАССЕЯНИЕ ФОНОНОВ Ôîíîíы ðàссåèâàþтся íà íåçàðяжåííых äåôåêтàх, ïðèìåсíых àтîìàх, èçîтîïàх, íà äðóгèх ôîíîíàх, íà ïîâåðхíîстях è гðàíè- öàх, íà эëåêтðîíàх. Ôîíîí-ôîíîííîå ðàссåèâàíèå îбяçàíî тîìó, чтî ïîтåíöèàëüíàя эíåðгèя êîëåбëþщåгîся àтîìà â êðèстàëëå íå сîâсåì гàðìîíèчåсêàя. Âсå бîëåå âысîêèå ïîðяäêè óчèтыâàþтся â âèäå ïîтåíöèàëà ðàссåяíèя. Рàссìàтðèâàþт äâå âîçìîжíîстè ôî- íîí-ôîíîííîгî âçàèìîäåйстâèя. Â îбычíîì ïðîöåссå äâà ôîíîíà, âçàèìîäåйстâóя, ïîðîжäàþт тðåтèй ôîíîí с сîхðàíåíèåì èì- ïóëüсà è эíåðгèè:    1 2 3 1 2 3, q q q w w w . (76) Пîсêîëüêó сóììàðíый èìïóëüс сîхðàíяåтся, тî тàêîй ïðîöåсс íå ìîжåт äàтü сóщåстâåííый âêëàä â ïåðåíîс тåïëà. Â umklapp (U)-ïðîöåссàх ðàссåяíèя сóììàðíый èìïóëüс íå сî- хðàíяåтся, гåíåðèðóåìый ôîíîí хàðàêтåðèçóåтся èìïóëüсîì çà ïðåäåëàìè ïåðâîй çîíы Бðèëëþэíà. Этî ìîжåт бытü êàê àíгàð- ìîíèчåсêîå ôîíîí-ôîíîííîå, тàê è эëåêтðîí-ôîíîííîå âçàèìî- äåйстâèя. U-ðàссåяíèå яâëяåтся îсíîâíыì ïðîöåссîì â ïåðåíîсå тåïëà, îсîбåííî ïðè âысîêèх тåìïåðàтóðàх. Ощóтèìый âêëàä äàþт тàêжå ðàссåяíèå íà äåôåêтàх (D) è íà гðàíèöàх (B). Сêîðî- стè âсåх тðёх ïðîöåссîâ сêëàäыâàþтся, тàê чтî 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ph U D B            (77) 570 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ èëè чåðåç сîîтâåтстâóþщèå äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ph U D B            , (78) ïîсêîëüêó äëя 3D-сôåðèчåсêèх äèсïåðсèй  è  сâяçàíы óðàâíå- íèåì (47). Дëя âсåх ìåхàíèçìîâ ðàссåяíèя ïðåäëîжåíы âыðàжåíèя äëя сêîðîстåй [23]. Íàïðèìåð, ïðè ðàссåяíèè íà äåôåêтàх 41 ( ) D     , (79) чтî íàïîìèíàåт ðэëååâсêîå ðàссåяíèå сâåтà íà чàстèöàх ïыëè â àтìîсôåðå; âысîêîчàстîтíыå ôîíîíы îсîбåííî чóâстâèтåëüíы ê ðàссåяíèþ íà ìàëых äåôåêтàх. Пðè ðàссåяíèè íà гðàíèöàх è ïî- âåðхíîстях ( )1 ( ) ph B v L     , (80) гäå L — íàèìåíüшàя ïðîтяжёííîстü îбðàçöà. Сëîжíåå с U- ðàссåяíèåì. Обычíî èсïîëüçóåтся âыðàжåíèå /3 21 ( ) DT bT U T e     . (81) 4. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Тåìïåðàтóðíàя çàâèсèìîстü ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстè kL êðåìíèя ïðåäстàâëåíà íà ðèс. 8. Сîгëàсíî óðàâíåíèþ (26), kL ïðîïîðöèîíàëüíà чèсëó ôîíîííых ìîä / ph M A è óсðåäíёííîìó çíàчåíèþ сðåäíåй äëèíы сâîбîäíîгî ïðîбåгà ôîíîíîâ ph  . Иçìåíåíèå тåïëîïðîâîäíîстè с тåìïåðàтóðîй êàчåстâåííî ìîжíî îбъясíèтü сëåäóþщèì îбðàçîì. Иç îïðåäåëåíèя чèсëà ìîä (25) ìîжíî ïîêàçàтü, чтî ïðè íèçêèх тåìïåðàтóðàх 3 ph M T ( 0 Ê)T ; (82) быстðîå óâåëèчåíèå чèсëà çàсåëёííых ìîä с тåìïåðàтóðîй âыçы- âàåт ðîст тåïëîïðîâîäíîстè. Âàжíóþ ðîëü èгðàåт ðàссåяíèå íà гðàíèöàх. Пî ìåðå ðîстà тåìïåðàтóðы âсå бîëüшå ïðîäóöèðóåтся êîðîтêîâîëíîâых ôîíîíîâ (бîëüшèå çíàчåíèя q). Âîçðàстàåт ðîëü ðàссåяíèя тàêèх ôîíîíîâ íà äåôåêтàх. Пî ìåðå ïðèбëèжåíèя тåìïåðàтóðы ê äåбàåâсêîй çàсåëяþтся âсå ôîíîííыå ìîäы, è ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 571 äàëüíåйшåå óâåëèчåíèå тåìïåðàтóðы óжå íå óâåëèчèâàåт чèсëà ìîä. Бîëåå тîгî, âысîêèå тåìïåðàтóðы ïîðîжäàþт U-ïðîöåссы ðàссåяíèя, è тåïëîïðîâîäíîстü íàчèíàåт ïàäàтü. 5. РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ РЕШЁТОЧНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ Óжå ïîäчёðêèâàëîсü бëèçêîå ïîäîбèå ïàðы ôîíîííых тðàíсïîðт- íых óðàâíåíèй (22) è (26) è ïàðы эëåêтðîííых óðàâíåíèй (28) è (29). Дëèíы сâîбîäíых ïðîбåгîâ эëåêтðîíîâ è ôîíîíîâ îäíîгî ïîðяäêà. Пîчåìó жå эëåêтðèчåсêàя ïðîâîäèìîстü âåщåстâ ìåíя- åтся íà ìíîгî ïîðяäêîâ, тîгäà êàê тåïëîïðîâîäíîстü âсåгî ðàçíî- îбðàçèя âåщåстâ èçìåíяåтся ëèшü íà íåсêîëüêî ïîðяäêîâ? Отâåт êðîåтся â ðàçëèчèè ìåжäó îêíàìè ïðîâîäèìîстè äëя эëåêтðîíîâ (13) è ôîíîíîâ (15). Дëя тåх è äðóгèх ðîст тåìïåðàтóðы ðàсшè- ðяåт îêíà ïðîâîäèìîстè è тåì сàìыì óâåëèчèâàåт çàсåëёííîстü сîстîяíèй. Дëя эëåêтðîíîâ, îäíàêî, âсå çàâèсèт îт ïîëîжåíèя óðîâíя Ôåðìè, сäâèгàя êîтîðый ââåðх èëè âíèç ìîжíî ìåíятü ïðîâîäèìîстü íà ìíîгî ïîðяäêîâ. Дëя ôîíîíîâ жå шèðèíà îêíà ïðîâîäèìîстè îïðåäåëяåтся тîëüêî тåìïåðàтóðîй. Пîäчåðêíёì åщё îäíî ïðàêтèчåсêè âàжíîå ðàçëèчèå ìåжäó îïèсàíèåì эëåêтðîíîâ è ôîíîíîâ, сâяçàííîå с îсîбåííîстяìè çà- сåëåíèя сîстîяíèй. Â тåðìîэëåêтðèчåсêèх óстðîйстâàх F C E E è îêíà ïðîâîäèìîстè эëåêтðîíîâ è ôîíîíîâ схîжè. Ó эëåêтðîíîâ, Рис. 8. Тåìïåðàтóðíàя çàâèсèìîстü ðåшётîчíîй тåïëîïðîâîäíîстè êðåìíèя: эêсïåðèìåíтàëüíыå тîчêè ïî [24], ðàсчётíàя êðèâàя ïî [16].8 572 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ îäíàêî, шèðèíà çîí îчåíü бîëüшàя è ëèшü íåбîëüшîå чèсëî сî- стîяíèй âбëèçè äíà çîíы ïðîâîäèìîстè çàсåëåíî: хîðîшî ðàбîтà- åт ïàðàбîëèчåсêàя äèсïåðсèя è ëåгêî ïîëóчèтü àíàëèтèчåсêèå ðåшåíèя. Â сîïîстàâèìîй сèтóàöèè ó ôîíîíîâ шèðèíà çîí íåçíà- чèтåëüíàя, ïðè ïîâышåííых тåìïåðàтóðàх ïðàêтèчåсêè âсå сî- стîяíèя â çîíå Бðèëëþэíà çàсåëåíы è ïðîстыå àíàëèтèчåсêèå ìîäåëè äëя âычèсëåíèя тåïëîïðîâîäíîстè íå ðàбîтàþт. 6. КВАНТОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Пî àíàëîгèè с êâàíтîâàíèåì эëåêтðîííîй ïðîâîäèìîстè 22 ( )ball F q G M E h  (83) åщё 30 ëåт íàçàä Пåíäðè [25] ïîêàçàë, чтî äîëжíы сóщåстâîâàтü êâàíтîâыå îгðàíèчåíèя íà ïåðåíîс тåïëà. Дåйстâèтåëüíî, â óðàâ- íåíèè (17) ïðè T0 Ê îêíî ôîíîííîй ïðîâîäèìîстè ( ) ph W  стðåìèтся ê -ôóíêöèè, тàê чтî â ïðåäåëå 2 2 (0) (0) 3L ph ph k T K T M h   . (84) Дëя ìàссèâíых ïðîâîäíèêîâ ( ) 0 ph M   ïðè 0 , îäíàêî, äëя íàíîðàçìåðíых ïðîâîäíèêîâ âсåгäà åстü êîíåчíîå чèсëî ôî- íîííых ìîä. Â сëóчàå бàëëèстèчåсêîгî тðàíсïîðтà 1 ph T  è â этîì сëóчàå ìîжíî îжèäàтü чтî 2 2 3L ph k T K M h   . (85) Иìåííî этîт ðåçóëüтàт быë ïîäтâåðжäёí эêсïåðèìåíтàëüíî íà 4- ìîäîâîì íàíîðåçèстîðå ïðè T0,8 Ê [13]; ðåçóëüтàты èçìåðåíèй тåïëîïðîâîäíîстè ïîëíîстüþ сîгëàсóåтся с ïðåäсêàçàíèяìè äëя îäíîìåðíых бàëëèстèчåсêèх ðåçèстîðîâ [26–28]. Êâàíт тåïëîïðîâîäíîстè  2 2 0 / (3 )g k T h (86) åстü ìàêсèìàëüíàя эíåðгèя, ïåðåíîсèìàя â ïåðåсчётå íà îäíó ôî- íîííóþ ìîäó. Óäèâèтåëüíî, чтî êâàíт тåïëîïðîâîäíîстè íå çàâè- сèт îт стàтèстèêè чàстèö, ïåðåíîсящèх тåïëî, îí óíèâåðсàëåí äëя ôåðìèîíîâ, бîçîíîâ è ëþбых эíèîíîâ (anyons) [29–31]. Пîäâåäёì èтîгè. Â íàстîящåì îбçîðå ïîäчёðêèâàåтся, чтî êîí- öåïöèè, èсïîëüçóåìыå äëя îïèсàíèя эëåêтðîííîгî тðàíсïîðтà, с óсïåхîì ìîгóт бытü ïåðåíåсåíы íà ôîíîííый тðàíсïîðт. И â тîì è â äðóгîì сëóчàå ïîäхîä Лàíäàóэðà, îбîбщёííый âïîсëåäстâèè ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 573 Дàттîй è Лóíäстðîìîì, ïîçâîëяåт êîëèчåстâåííî îïèсàтü тðàíс- ïîðтíыå ïðîöåссы â ïðîâîäíèêàх ëþбîй ðàçìåðíîстè è ïðè ëþ- бых ðåжèìàх тðàíсïîðтà — îт äèôôóçèîííîгî äî бàëëèстèчåсêî- гî. Рåшётîчíàя тåïëîïðîâîäíîстü è эëåêтðîííàя ïðîâîäèìîстü îïèсыâàþтся îчåíü схîжèìè ïî ôîðìå óðàâíåíèяìè. Естü, îäíà- êî, äâà сóщåстâåííых îтëèчèя, сâяçàííых с ôèçèêîй эëåêтðîí- íых è ôîíîííых ïðîöåссîâ. Пåðâîå îтëèчèå êàсàåтся шèðèíы çîí. Â сëóчàå эëåêтðîíîâ шèðèíà çîí íàìíîгî ïðåâышàåт kT è ïðè êîìíàтíîй тåìïåðàтóðå çàсåëåíы ëèшü óðîâíè âбëèçè äíà çîíы ïðîâîäèìîстè. Шèðèíà ôîíîííых äèсïåðсèй âсåгî ëèшü ïîðяäêà kT è ïðè êîìíàтíîй тåìïåðàтóðå âсå àêóстèчåсêèå ìîäы â ïðåäåëàх âсåй çîíы Бðèë- ëþэíà ïðàêтèчåсêè çàсåëåíы. Â ðåçóëüтàтå äåбàåâсêàя ìîäåëü äëя àêóстèчåсêèх ìîä äàëåêî íå стîëü óсïåшíî ðàбîтàåт ïî сðàâ- íåíèþ с шèðîêîй ïðèìåíèìîстüþ ïàðàбîëèчåсêîй äèсïåðсèè äëя эëåêтðîíîâ. Âтîðîå сóщåстâåííîå ðàçëèчèå сâяçàíî с тåì, чтî â сëóчàå эëåêтðîíîâ çàсåëёííîстü ìîä ïðîâîäèìîстè, êîíтðîëèðóåìàя ôåðìèåâсêèì îêíîì ïðîâîäèìîстè, çàâèсèт íå тîëüêî îт тåìïåðà- тóðы, êàê этî èìååт ìåстî â сëóчàå ôîíîíîâ, íî è îт ïîëîжåíèя óðîâíя Ôåðìè. Иìåííî ïî этîй ïðèчèíå эëåêтðîííàя ïðîâîäè- ìîстü ðàçëèчíых ìàтåðèàëîâ ìîжåт èçìåíятüся â îчåíü шèðîêèх ïðåäåëàх, тîгäà êàê тåïëîïðîâîäíîстü èçìåíяåтся â îчåíü óçêèх ïðåäåëàх âсåгî íà íåсêîëüêî ïîðяäêîâ. Â îсíîâó íàстîящåгî îбçîðà ïîëîжåíы ëåêöèè Ìàðêà Лóíä- стðîìà ‘Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applica- tions’ [2], Сóïðèå Дàтты ‘Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts’ [1] è Тèìîтè Ôèшåðà ‘Thermal Energy at the Na- noscale’ [18], ïðîчèтàííых â 2011–2013 гîäàх â ðàìêàх èíèöèà- тèâы Purdue University / nanoHUB-U [www.nanohub.org/u], à тàêжå íàшè стàтüè [32, 33]. Бëàгîäàðþ Í. Е. Êðóгëяê çà ïîìîщü â ðàбîтå ïî ïîäгîтîâêå ðóêîïèсè ê ïåчàтè. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2012); www.nanohub.org/courses/FoN1. 2. M. Lundstrom and C. Jeong, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/resources/11763. 3. Yu. Kruglyak, J. Nanoscience, 2014, Article ID 725420, pp. 15; www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420. 4. Yu. A. Kruglyak, Russian J. Phys. Chem., 88, No. 11: 1826 (2014). 5. Дж. Зàйìàí, Электроны и фононы. Теория явлений переноса в твердых http://www.nanohub.org/courses/FoN1 http://www.nanohub.org/resources/11763 http://www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420 574 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ телах (Ìîсêâà: ИИЛ: 1962). 6. Дж. Зàйìàí, Принципы теории твердого тела (Ìîсêâà: Âысшàя шêîëà: 1974). 7. Ч. Êèттåëü, Введение в физику твердого тела (Ìîсêâà: Íàóêà: 1978). 8. Í. Àшêðîôт, Í. Ìåðìèí, Физика твердого тела (Ìîсêâà: Ìèð: 1979). 9. M. Mohr, J. Maultzsch, E. Dobardžić, S. Reich, I. Milošević, M. Damnjanović, A. Bosak, and M. Krisch, C. Thomsen, Phys. Rev. B, 76, No. 3: 035439 (2007). 10. À. Â. Еëåöêèй, И. Ì. Исêàíäàðîâà, À. À. Êíèжíèê, Д. Í. Êðàсèêîâ, УФН, 181: 227 (2011). 11. M. I. Katsnelson, Graphene: Carbon in Two Dimensions (New York: Cambridge University Press: 2012). 12. Ю. À. Êðóгëяê, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 11, № 3: 519 (2013); Erratum: ibidem, 12, No. 2: 415 (2014). 13. K. Schwab, E. A. Henriksen, J. M. Worlock, and M. L. Roukes, Nature, 404: 974 (2000). 14. C. Jeong, R. Kim, M. Luisier, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 107: 023707 (2010). 15. M. Lundstrom, Fundamentals of Carrier Transport (Cambridge, UK: Cambridge University Press: 2012). 16. C. Jeong, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 109: 073718 (2011). 17. Ю. À. Êðóгëяê, Í. Е. Êðóгëяê, Физич. образов. в вузах, 19, № 3: 99 (2013). 18. T. S. Fisher, Thermal Energy at the Nanoscale (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/courses/2. 19. Ю. À. Êðóгëяê, Í. Е. Êðóгëяê, Физич. образов. в вузах, 19, № 2: 161 (2013). 20. J. Callaway, Phys. Rev., 113, No. 4: 1046 (1959). 21. M. G. Holland, Phys. Rev., 132, No. 6: 2461 (1963). 22. C. Jeong, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 111: 093708 (2012). 23. Gang Chen, Nanoscale Energy Transport and Conversion: A Parallel Treatment of Electrons, Molecules, Phonons, and Photons (New York: Oxford University Press: 2005). 24. C. J. Glassbrenner and G. A. Slack, Phys. Rev., 134, No. 4A: A1058 (1964). 25. J. B. Pendry, J. Phys. A, 16: 2161 (1983). 26. D. E. Angelescu, M. C. Cross, and M. L. Roukes, Superlatt. Microstruct., 23: 673 (1998). 27. L. G. C. Rego and G. Kirczenow, Phys. Rev. Lett., 81: 232 (1998). 28. M. P. Blencowe, Phys. Rev. B, 59: 4992 (1999). 29. L. G. C. Rego and G. Kirczenow, Phys. Rev. B, 59: 13080 (1999). 30. I. V. Krive and E. R. Mucciolo, Phys. Rev. B, 60: 1429 (1999). 31. C. M. Caves and P. D. Drummond, Rev. Mod. Phys., 66: 481 (1994). 32. Ю. O. Êðóгëяê, Í. Ю. Êðóгëяê, Ì. Â. Стðіхà, Sensor Electronics Microsys. Tech., 13, No. 1: 6 (2013). 33. Ю. À. Êðóгëяê, Физ. обр. в вузах, 20, No. 1: 39 (2014). REFERENCES 1. S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport http://www.nanohub.org/courses/2 ТРÀÍСПОРТ ТЕПЛÀ ÔОÍОÍÀÌИ Â ÌОДЕЛИ ЛДЛ 575 (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2012); www.nanohub.org/courses/FoN1. 2. M. Lundstrom and C. Jeong, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/resources/11763. 3. Yu. Kruglyak, J. Nanoscience, 2014, Article ID 725420, pp. 15; www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420. 4. Yu. A. Kruglyak, Russian J. Phys. Chem., 88, No. 11: 1826 (2014). 5. J. M. Ziman. Electrons and Phonons. The Theory of Transport Phenomena in Solids (Oxford: Clarendon Press: 1960). 6. J. M. Ziman, Principles of the Theory of Solids (Cambridge: Cambridge Uni- versity Press: 1964). 7. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (New York: John Wiley: 1971). 8. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Philadelphia: Sand- ers College: 1979). 9. M. Mohr, J. Maultzsch, E. Dobardžić, S. Reich, I. Milošević, M. Damnjanović, A. Bosak, M. Krisch, and C. Thomsen, Phys. Rev. B, 76, No. 3: 035439 (2007). 10. A. V. Eletskii, I. M. Iskandarova, A. A. Knizhnik, and D. N. Krasikov, Sov. Physics Uspekhi, 54: 227 (2011); DOI: 10.3367/UFNe.0181.201103a.0233. 11. M. I. Katsnelson, Graphene: Carbon in Two Dimensions (New York: Cam- bridge University Press: 2012). 12. Yu. A. Kruglyak, Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies, 11, No. 3: 519 (2013); Erratum: ibidem, 12, No. 2: 415 (2014). 13. K. Schwab, E. A. Henriksen, J. M. Worlock, M. L. Roukes, Nature, 404, 974 (2000). 14. C. Jeong, R. Kim, M. Luisier, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 107: 023707 (2010). 15. M. Lundstrom, Fundamentals of Carrier Transport (Cambridge: Cambridge University Press: 2012). 16. C. Jeong, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 109: 073718 (2011). 17. Yu. A. Kruglyak and N. E. Kruglyak, Phys. High. Educ., 19, No. 3: 99 (2013). 18. T. S. Fisher, Thermal Energy at the Nanoscale (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/courses/2. 19. Yu. A. Kruglyak and N. E. Kruglyak, Phys. High. Educ., 19, No. 2: 161 (2013). 20. J. Callaway, Phys. Rev., 113, No. 4: 1046 (1959). 21. M. G. Holland, Phys. Rev., 132, No. 6: 2461 (1963). 22. C. Jeong, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 111: 093708 (2012). 23. Gang Chen, Nanoscale Energy Transport and Conversion: A Parallel Treat- ment of Electrons, Molecules, Phonons, and Photons (New York: Oxford University Press: 2005). 24. C. J. Glassbrenner and G. A. Slack, Phys. Rev. A, 134, No. 4: 1058 (1964). 25. J. B. Pendry, J. Phys. A, 16: 2161 (1983). 26. D. E. Angelescu, M. C. Cross, and M. L. Roukes, Superlatt. Microstruct., 23: 673 (1998). 27. L. G. C. Rego and G. Kirczenow, Phys. Rev. Lett., 81: 232 (1998). http://www.nanohub.org/courses/FoN1 http://www.nanohub.org/resources/11763 http://www.dx.doi.org/10.1155/2014/725420 http://www.nanohub.org/courses/2 576 Ю. À. ÊРÓÃЛЯÊ 28. M. P. Blencowe, Phys. Rev. B, 59: 4992 (1999). 29. L. G. C. Rego and G. Kirczenow, Phys. Rev. B, 59: 13080 (1999). 30. I. V. Krive and E. R. Mucciolo, Phys. Rev. B, 60: 1429 (1999). 31. C. M. Caves and P. D. Drummond, Rev. Mod. Phys., 66: 481 (1994). 32. Yu. A. Kruglyak, N. Yu. Kruglyak, and Ì. V. Strikha, Sensor Electronics Microsys. Tech., 13, No. 1: 6 (2013). 33. Yu. A. Kruglyak, Phys. High. Educ., 20, No. 1: 39 (2014). Odessa State Environmental University, Lvivs’ka Str., 15, 65016 Odessa, Ukraine 1 Fig. 1. Simplified band structure. The width of the conduction band is marked as BW (Band Width). A dotted line shows frequently used parabolic dispersion. 2 Fig. 2. A simplified behaviour of dispersion for phonons. The dashed lines show the sim- plest (Einstein and Debye) models. 3 Fig. 3. Phonon dispersion curves. 4 Fig. 4. Phonon spectrum of graphene based on the cumulative experimental and calculated data. 5 Fig. 5. The conduction window for electrons (13) at two different temperatures. The energy E can be more or less than the Fermi energy. 6 Fig. 6. The conduction window for phonons (15) at two different temperatures. The energy of phonons can only be positive. 7 Fig. 7. To the derivation of connection between the transmission coefficient and the average length of free path by the example of a homogeneous 1D conductor. 8 Fig. 8. Temperature dependence of lattice thermal conductivity of silicon: experimental data [24], calculated curve [16].

Similar Items