Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов
Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) Ne, Ar, Kr и Xe исследованы в модели деформируемых и поляризуемых атомов. Рассчитаны модули упругости Фукса и коэффициент упругой анизотропии Зенера с учетом многочастичного и квадрупольного взаимодействий в широком интервале давлений. Проведен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физика и техника высоких давлений |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107343 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов / Е.П. Троицкая, И.В. Жихарев, Е.А. Пилипенко // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 3-4. — С. 26-38. — Бібліогр.: 54 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860102577610293248 |
|---|---|
| author | Троицкая, Е.П. Жихарев, И.В. Пилипенко, Е.А. |
| author_facet | Троицкая, Е.П. Жихарев, И.В. Пилипенко, Е.А. |
| citation_txt | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов / Е.П. Троицкая, И.В. Жихарев, Е.А. Пилипенко // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 3-4. — С. 26-38. — Бібліогр.: 54 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физика и техника высоких давлений |
| description | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) Ne, Ar, Kr и Xe исследованы в модели деформируемых и поляризуемых атомов. Рассчитаны модули упругости Фукса и коэффициент упругой анизотропии Зенера с учетом многочастичного и квадрупольного взаимодействий в широком интервале давлений. Проведено сравнение с экспериментом и результатами других авторов. В Хе при сжатии 0.6 наблюдается обращение в нуль сдвигового модуля В₄₄, что соответствует ГЦК–ГПУ-переходу при 75 GPa.
Пружні властивості стислих кристалів інертних газів (КIГ) Ne, Ar, Kr і Xe досліджено в моделі атомів, що можуть деформуватися та поляризуватися. Розраховано модулі пружності Фукса й коефіцієнт пружної анізотропії Зенера з урахуванням багаточасткової та квадрупольної взаємодій у широкому інтервалі тисків. Проведено порівняння з експериментом і результатами інших авторів. У Хе при стисненні 0.6 спостерігається спрямування до нуля зсувного модуля В₄₄, що відповідає ГЦК–ГПУ-переходу при 75 GPa.
The elastic properties of compressed rare-gas crystals (RGC) Ne, Ar, Kr and Xe are investigated in the model of deformable and polarizable atoms. The Fuchs elastic moduli and Zener elastic anisotropy coefficient have been calculated with inclusion of the threebody and quadrupole interactions over a wide range of pressures. We have compared the obtained results with the experiment and the results of other authors. We observe the vanishing of the shear modulus В₄₄ for Хе at a compression of 0.6, which corresponds to the transition from the fcc phase to the hcp phase at 75 GPa.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:29:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
© Е.П. Троицкая, И.В. Жихарев, Е.А. Пилипенко, 2014
PACS: 62.50.+p, 62.65.+k, 64.10.+h, 64.70.Kb
Е.П. Троицкая, И.В. Жихарев, Е.А. Пилипенко
УПРУГИЕ СВОЙСТВА СЖАТЫХ КРИСТАЛЛОВ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ
В МОДЕЛИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ АТОМОВ
Донецкий физико-технический институт им. А.А. Галкина НАН Украины
ул. Р. Люксембург, 72, г. Донецк, 83114, Украина
Статья поступила в редакцию 7 мая 2014 года
Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) Ne, Ar, Kr и Xe ис-
следованы в модели деформируемых и поляризуемых атомов. Рассчитаны модули
упругости Фукса и коэффициент упругой анизотропии Зенера с учетом многочас-
тичного и квадрупольного взаимодействий в широком интервале давлений. Прове-
дено сравнение с экспериментом и результатами других авторов. В Хе при сжа-
тии 0.6 наблюдается обращение в нуль сдвигового модуля В44, что соответствует
ГЦК–ГПУ-переходу при 75 GPa.
Ключевые слова: кристаллы инертных газов, деформация электронных оболочек,
квадрупольное взаимодействие, многочастичное взаимодействие, высокое давле-
ние, короткодействующее отталкивание, коэффициент упругой анизотропии Зенера
Пружні властивості стислих кристалів інертних газів (КIГ) Ne, Ar, Kr і Xe
досліджено в моделі атомів, що можуть деформуватися та поляризуватися. Роз-
раховано модулі пружності Фукса й коефіцієнт пружної анізотропії Зенера з ура-
хуванням багаточасткової та квадрупольної взаємодій у широкому інтервалі
тисків. Проведено порівняння з експериментом і результатами інших авторів. У
Хе при стисненні 0.6 спостерігається спрямування до нуля зсувного модуля В44, що
відповідає ГЦК–ГПУ-переходу при 75 GPa.
Ключові слова: кристали інертних газів, деформація електронних оболонок, квад-
рупольна взаємодія, багаточасткова взаємодія, високий тиск, короткодіюче
відштовхування, коефіцієнт пружної анізотропії Зенера
1. Введение
Теория динамики решетки, развитая К.Б. Толпыго на основе «первых
принципов» [1–4], успешно применялась для описания свойств щелочно-
галоидных кристаллов, полупроводников и диэлектриков [5–10] при нуле-
вом давлении.
В серии работ (см. [11–14] и ссылки там) развита неэмпирическая версия
модели К.Б. Толпыго для изучения межатомного взаимодействия и динами-
ческой теории решеток ГЦК-кристаллов, подвергнутых всестороннему сжа-
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
27
тию. В предыдущей работе [14] на основании общей теории, представлен-
ной в [12,15], и модели, разработанной в [13], проведено количественное ис-
следование упругих модулей Бирча и соотношения Коши для всего ряда Ne–
Xe в широком интервале давлений. Показано, что наблюдаемое отклонение
от соотношения Коши δ(р) для каждого из кристаллов есть результат двух
конкурирующих взаимодействий – многочастичного и квадрупольного, про-
являющегося в квадрупольной деформации электронных оболочек атомов
при смещениях ядер. Представленные ab initio рассчитанные зависимости
упругих модулей Бирча ( )ij pB и δ(р) хорошо согласуются с экспериментом.
Исследование упругих свойств сжатых КИГ не было бы полным без рас-
четов упругих модулей типа Фукса Bij и коэффициента упругой анизотропии
Зенера AZ.
Коэффициент Зенера AZ является наиболее известной мерой упругой ани-
зотропии и применяется для кубического монокристалла. Впервые это поня-
тие было введено в 1947 г. при изучении β-латуни [16]. С течением времени
в литературе был описан широкий спектр единиц измерений упругой анизо-
тропии. Авторы наряду с коэффициентом Зенера для кубических кристаллов
использовали различные комбинации упругих постоянных для кристаллов с
симметрией низшего порядка [17–20].
В 2006 г. Ледбеттер и Миглиори в работе [21] предложили способ вычис-
ления упругой анизотропии, связанный с коэффициентом Зенера, который
может быть применен ко всем кристаллическим системам, т.е. не зависимый
от симметрии кристалла. Авторы, используя уравнение Кристоффеля, полу-
чили выражение для коэффициента анизотропии как отношение максималь-
ной и минимальной скоростей сдвиговых звуковых волн. Для кристаллов с
кубической симметрией этот коэффициент равен коэффициенту Зенера.
Недавно был предложен универсальный индекс упругой анизотропии AU,
который определяется через сдвиговые и объемные модули, различным об-
разом усредненные [22]. В случае изотропности материала этот индекс ра-
вен нулю.
Настоящая публикация продолжает цикл работ [12–14], посвященных
неэмпирическим расчетам упругих свойств Ne, Ar, Kr и Xe в актуальной об-
ласти давлений – обращения в нуль фундаментальной щели. Расчеты прове-
дены в модели деформируемых и поляризуемых атомов с учетом многочас-
тичного взаимодействия. Исследованы упругие модули типа Фукса Bij и ко-
эффициент упругой анизотропии Зенера AZ для сжатых кристаллов ряда Ne–
Xe. Рассмотрена проблема устойчивости ГЦК-решетки.
2. Упругие свойства сжатых кристаллов
При изучении упругих свойств напряженного кристалла необходимо ис-
пользовать теорию конечных деформаций [23,24]. При наличии напряжения
различают три вида модулей упругости: коэффициенты разложения свобод-
ной энергии Cikl… (модули типа Браггера), коэффициенты пропорционально-
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
28
сти в законе Гука в напряженном кристалле Bikl… (модули Бирча) и коэффи-
циенты распространения звука в напряженном кристалле Aikl…. Обычно при
этом в качестве параметров разложения применяют лагранжевый тензор
дисторсии uαβ. Модули Браггера Cα,β,γ общеприняты, однако иногда удобнее
использовать параметры деформации γi, которые имеют наглядный физиче-
ский смысл.
Параметры γi вводятся так, чтобы они обращались в нуль при исчезнове-
нии деформации, а соответствующими им деформациями являются: всесто-
роннее сжатие γ1, одноосные сжатия γ2, γ3 и сдвиги γ4, γ5, γ6. Если имеются
несколько атомов в элементарной ячейке, то параметры γ7, γ8, … описывают
относительные смещения этих атомов при деформации кристалла. По опре-
делению для одноатомного кристалла тензор дисторсии uαβ выражается че-
рез γi следующим образом (см., напр., [25]):
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1/3 1/3 1/ 2
11 1 2 3 1 1 2 3
1/3 1/3 1/ 2
22 1 2 3 2 1 2 3
1/ 3 2 / 3
33 1 2 3 1 2
23 4 13 5 12 6 32 31 21
1 1 1 1 , , ,
1 1 1 1 , , ,
1 1 1 , ,
, , , 0.
u f
u f
u f
u u u u u u
− −
− −
+ = + γ + γ + γ = γ γ γ
+ = + γ + γ + γ = γ γ γ
+ = + γ + γ = γ γ
= γ = γ = γ = = =
(1)
Производная свободной энергии F(γ) по параметрам γ1–γ6 определяет уп-
ругие модули типа Фукса, физически наглядные при больших деформациях
...
0
1 ( )
...
n
i l
i l
FB
γ=
⎛ ⎞∂ γ
= ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ∂γ ∂γ⎝ ⎠
. (2)
В дальнейшем поведение сжатого кристалла будем описывать этими мо-
дулями Bik.
Покажем связь между модулями Браггера Cik, Фукса Bik и Бирча Bij в на-
пряженном кристалле (p ≠ 0):
11 11 33
4
3
C B B p= + + , (3)
12 11 33
2
3
C B B p= − − , (4)
44 44C B p= + . (5)
Модули Бирча Bij выражаются как
( )C pαβγϑ αβγϑ αγ βϑ αϑ βγ αβ γϑ= − δ δ + δ δ − δ δB ,
11 44 33 11
4
3
B B C p= + = −B , (6)
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
29
12 11 33 12
2
3
B B C p= − = +B ,
44 44 44B C p= = −B .
Модули типа Браггера Cij зависят от давления p, а Bik можно скомпоно-
вать только из модулей Бирча Bij, которые в случае кубического кристалла
непосредственно измеряются в ультразвуковых экспериментах. Игнориро-
вание этого обстоятельства приводит к путанице численных значений коэф-
фициента упругости напряженных кристаллов.
3. Результаты расчетов
В работах [12–14] для всего ряда сжатых КИГ были рассчитаны бариче-
ские зависимости упругих модулей Бирча Bij и отклонений от соотношения
Коши δ(р) с учетом многочастичного взаимодействия и деформации элек-
тронных оболочек. Сравнение теоретических величин δ(р) с эксперимен-
тальными показало адекватность построения теории и модели расчета пара-
метров.
Запишем модули Фукса Bij через полученные параметры в виде
[ ]
2
11 4
2
33 4
2
44 4
2 2 2 2.710107 ,
6
4 8 2 2 0.231934 ,
8
2 4 8 0.52494 .
4
t
q t
q t
eB G H F E V D
a
eB G H F E V V D
a
eB G H F V V D
a
= − − + − −
⎡ ⎤= + + + − + −⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + − + −⎣ ⎦
(7)
Здесь H = H0 + δH, G = G0 + δG (H0 и G0 являются первой и второй произ-
водными парного короткодействующего потенциала отталкивания Vsr = E(0) +
+ W2 для равновесных расстояний первых соседей; δH, δG – трехчастичные
поправки, приводящие к нецентральности парного взаимодействия); F, E –
короткодействующие силы между вторыми соседями; Vt, Vq – параметры
соответственно трехчастичного и квадрупольного взаимодействий; D опре-
деляет взаимодействие Ван-дер-Ваальса.
Модули Фукса (7) можно представить как
[ ]
[ ]
[ ]
0
2
11 11 4
33 33
44 44
,
1 ( ) 2 , 0, ( ) ,
3 2
1 1( ) 4 , ( ) ,
4 2
1 ( ) 2 , ( ) 4 ,
2
qt
ij ij ij ij
qt
t
qt
t q
qt
t q
B B B B
eB K p G H V B K p
a
B K p G H V B K p V
B K p G H V B K p V
= + +
= δ −δ − = =
⎡ ⎤= δ + δ + = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= δ + δ + = −⎣ ⎦
(8)
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
30
0
ijB – рассчитанные нами ранее модули упругости Фукса с парным потен-
циалом в моделях М1, М3 и М5 [26]. В модели М5 короткодействующая
часть потенциала отталкивания рассчитана по точной формуле для квадра-
тичной поправки W2 (см. формулу (6) в [27]) Vsr = E(0) +W2(Sn), в других мо-
делях М3 и М1 W2 рассчитывается в приближении S2. Кроме того, в моделях
М3 и М5 переопределена константа Ван-дер-Ваальса C → C(1 – Aeβr) и уч-
тены в расчетах короткодействующих сил «вторые» соседи [26]. В самой
простой модели М1 A = β = 0 и учтены только первые соседи.
На рис. 1 [28,29] приведены результаты расчетов модулей упругости
Фукса Bij с учетом трехчастичного и квадрупольного взаимодействий в
зависимости от сжатия u = ΔV/V0 (ΔV = V0 – V(p), где V0 – объем при p = 0)
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0
5
10
15
20
25
30
B 11
, G
Pa
u
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
20
40
60
B 33
, G
Pa
u
а б
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
10
20
30
40
50
60
70
B 44
, G
Pa
u
в
Рис. 1. Зависимость модулей Фукса В11
(а), В33 (б), В44 (в) от сжатия u для Ne, Ar,
Kr, Xe: –■–, –♦–, –▲–, –●– – настоящий
расчет с учетом трехчастичного и квадру-
польного взаимодействий Bij = B0
ij (M3) +
+ Bt
ij + Bq
ij; -- -- – B11 = B0
11(M5) + Bt
11 +
+ Bq
11 для Ne [26]; – – – B11 = B0
11(M1) +
+ Bt
11 + Bq
11 для Ar (B0
ij (M3), B0
ij (M5),
B0
ij (M1) – расчет модулей Фукса с пар-
ным потенциалом в моделях М3, М5 и
М1 соответственно); □, ◊, △, ○ – экспе-
риментальные значения B11 [28] для Ne,
Ar, Kr и Xe соответственно; – экспе-
риментальное значение B44 для Kr [29]
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
31
для Ne, Ar, Kr и Xe. Как видно из рис. 1,а, согласие теоретической величины
B11 и экспериментальной [28] хорошее и зависит от выбора модели расчета
парного потенциала. Так, для Ne в качестве базовой необходимо использовать
модель М5 [26], для Ar – М1, а для тяжелых кристаллов инертных газов Kr и
Xe – М3 [26]. В отклонениях теории (расчет на основе моделей М3 и М5) от
эксперимента заметна определенная тенденция: теоретический модуль B11
ложится несколько выше экспериментальных кривых для всего ряда Ne–Xe.
Зависимость сдвигового модуля B33 от сжатия имеет тот же характер, что
и B11(u), хотя монотонность в ряду Ne, Ar, Kr, Xe нарушается (рис. 1,б).
В Xe при сжатиях u = 0.6 сдвиговый модуль B44 обращается в нуль. Это
указывает на появление абсолютной неустойчивости и необходимости фазо-
вого перехода. Действительно, такой переход был экспериментально обна-
ружен в [30]. Это переход из промежуточной плотноупакованной в ГПУ-
фазу при 75 GPa непосредственно перед металлизацией, происходящей при
u = 0.65 (132 GPa) [31].
Отметим, что при высоком давлении учет трехчастичного и квадруполь-
ного взаимодействий приводит к нарушению линейной барической зависи-
мости, характерной для 0 ( )ijB p и 0
11( )B p [14,26].
4. Упругая анизотропия Зенера
Анизотропия является следствием того, что в структуре кристалла в раз-
ных направлениях различны расстояния и силы связи между атомами, и про-
является тем сильнее, чем ниже симметрия кристаллов. Количественно упру-
гую анизотропию оценивают по максимальному различию модулей упруго-
сти. Так, коэффициент упругой анизотропии Зенера для кристаллов с кубиче-
ской симметрией определяется как отношение двух сдвиговых модулей:
44 44
Z
11 12 33
2 BA
B
= =
−
B
B B
, (9)
где AZ = 1, если материал изотропный. Модуль B44 относится к сдвигу всей
плоскости (100) в произвольном направлении, а B33 – к сдвигу через плоско-
сти (110) в направлении [1 1 0] [16].
На рис. 2 [19,29,32–35] упругая анизотропия Зенера AZ представлена как
функция давления для Ne, Ar, Kr и Xe. Для экспериментальных данных Ne
характерно быстрое уменьшение от 4.9 при р = 5 GPa до 3.6 при р = 7 GPa
[32]. Как видно из рис. 2,а, наш расчет AZ для Ne расположен ниже экспери-
ментальной кривой [32] и расчетов в теории функционала плотности (density
functional theory – DFT) [19].
Экспериментальная зависимость коэффициента Зенера АZ от давления
была определена до 30 GPa [33] и 70 GPa [34] для Ar и до 8 GPa [29] –
для Kr. На рис. 2,б,в видно, что полученные нами значения АZ ложатся
между 2.8 и 2.5 и с ростом давления стремятся к изотропному пределу АZ = 1.
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
32
4 6 8 10 12 14
1
2
3
4
5
A Z
p, GPa
0 10 20 30 40 50 60 70
1
2
3
4
A Z
p, GPa
а б
0 2 4 6 8 10 12
1
2
3
4
p, GPa
A Z
0 4 8 12 16 20
1
2
3
4
p, GPa
A Z
в г
Рис. 2. Зависимость коэффициента упругой анизотропии Зенера AZ от давления для
Ne (а), Ar (б), Kr (в) и Xe (г): –■– – настоящий расчет с учетом трехчастичного и
квадрупольного взаимодействий; -- -- – наш расчет на основе парного потенциала;
– – – расчет в DFT [19]; – эксперимент для Ne [32], Ar [34], Kr [29], Xe [35];
–▲– – теоретический расчет AZ, полученный в работе [33]; △ – эксперимент [33]
Как можно видеть, наши результаты для Ar и Kr согласуются с эксперимен-
том [29,34] и расчетами других авторов [19,33] довольно хорошо. На примере
Ar хорошо видно различие в экспериментальных данных, полученных груп-
пами авторов Шимизу и др. [34] и Гримсдич и др. [33]. Это различие объясня-
ется тем, что авторы [33,36] измеряли барическую зависимость продольной
акустической скорости для произвольных неизвестных направлений в моно-
кристаллах Ar и Kr без определения ориентации кристалла. В отличие от них
Шимизу с коллегами [29,32,34,35] при измерении модулей упругости прово-
дили идентификацию ориентации кристалла для каждого давления.
Как видно на рис. 2,г, наш расчет AZ для Хе, основанный на парном по-
тенциале, находится в хорошем согласии с экспериментом [35] и соответст-
вует классической зависимости АZ(p). Рассчитанные величины АZ с учетом
трехчастичного и квадрупольного взаимодействий ложатся несколько выше,
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
33
чем экспериментальные данные, и начиная с 15 GPa быстро стремятся к нулю,
демонстрируя неустойчивость ГЦК-фазы. В работе [30] при рентгеновском
исследовании сжатого Хе было показано, что ГЦК-Хе начиная с р = 14 GPa
превращается в промежуточную плотноупакованную фазу, а затем полно-
стью преобразуется в ГПУ-структуру при 75 GPa.
Как можно увидеть из рис. 2, общим для экспериментальных результатов
всего ряда Ne–Xe [29,32–35] является уменьшение коэффициента упругой
анизотропии Зенера АZ с ростом давления и стремление к изотропному пре-
делу АZ = 1. Однако, как отмечается в работах [37,38], для КИГ характерно
увеличение теоретической упругой анизотропии с ростом давления, что
противоречит эксперименту. Результат расчетов коэффициента упругой ани-
зотропии Зенера в широком интервале давления (сжатия) представлен в таб-
лице и на рис. 3. Полученные нами величины AZ постепенно увеличиваются
до определенного сжатия подобно другим теоретическим работам [33,37,38].
Однако начиная со сжатий u = 0.6 в легких кристаллах Ne и Ar, u = 0.4 – в Kr
и u = 0.5 – в Xe наблюдается уменьшение АZ и стремление его к изотропно-
му пределу АZ = 1, что соответствует эксперименту.
Таблица
Коэффициент упругой анизотропии Зенера AZ с учетом многочастичного
и квадрупольного взаимодействий
Ne Ar Kr Xe
u p, GPa AZ p, GPa AZ p, GPa AZ p, GPa AZ
0 0.12577 1.077625 0.016293 2.434 0.003 2.175 –0.034 2.7025
0.1 0.39583 1.160236 0.507104 2.560 0.543 2.340 0.527 3.0353
0.2 0.99819 1.22918 1.650368 2.651 1.749 2.464 1.740 3.3602
0.3 2.40156 1.285417 4.358211 2.703 4.468 2.533 4.349 3.6952
0.4 5.9108 1.32799 11.12668 2.702 10.870 2.523 10.096 3.9254
0.5 15.64443 1.352117 29.70535 2.629 27.190 2.349 23.454 2.4811
0.6 47.04933 1.344672 88.87489 2.452 74.576 1.977 57.653 0.6841
0.7 174.8627 1.272939 328.9479 2.137 245.234 1.447 – –
0.8 952.7774 1.058673 1842.881 1.662 – – – –
0.5 0.6 0.7 0.8
0
1
2
3
A Z
u
Рис. 3. Зависимость коэффициента уп-
ругой анизотропии Зенера AZ от сжатия
для ряда Ne–Xe: –■–, –♦–, –▲–, –●– –
настоящий расчет с учетом трехчастич-
ного и квадрупольного взаимодействий
для Ne, Ar, Kr и Xe соответственно
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
34
5. Заключение
В 2000 г. авторы [39] на примере выборочных термодинамических и уп-
ругих свойств неона при р = 0 показали, что ни один из имеющихся простых
модельных потенциалов не может адекватно описать сколько-нибудь значи-
тельную совокупность свойств КИГ в хорошем согласии с экспериментом
даже при нормальном давлении.
Для описания свойств КИГ под давлением в современных теоретических
работах [19,37,38,40–42] авторы используют различные модели и приближе-
ния для межатомных потенциалов, а именно к парным эмпирическим потен-
циалам добавляют многочастичные поправки (модель Лубера [43]) [40,42],
используют многочастичный потенциал Лундквиста [38], включающий в
себя вклад энергии нулевых колебаний [44], разрабатывают аналитический
межатомный потенциал отталкивания за счет перекрытия атомов окружения
на основе теории неортогональной сильной связи для систем с заполненны-
ми оболочками [41].
Из большого числа теоретических работ по атомным и электронным
свойствам сжатых КИГ за последние 10–15 лет следует выделить ab initio
расчеты на основе DFT [45] и приближения локальной плотности (local den-
sity approximation – LDA) для обменно-корреляционного потенциала [46].
Это работы по упругим свойствам, фазовым переходам, электронной струк-
туре и колебательным свойствам КИГ под давлением [19,37,47–50]. Авторы
работы [19] предполагают, что увеличение плотности заряда в результате
сжатия приведет к улучшению приближения LDA, хотя известно, что LDA
плохо описывает системы, связанные такими слабыми силами, как силы
Ван-дер-Ваальса [51]. В работе [50] авторы «представляют впервые ab initio
исследование динамики решетки ГЦК-Xe. Не только как исследование, по-
лезное для получения термодинамических свойств ксенона самого по себе,
но также и для того, чтобы проверить пригодность техники функционала
плотности и псевдопотенциала для этого класса материалов».
Как в теории функционала плотности, так и в различных моделях трех-
частичного взаимодействия в КИГ удается довольно успешно описать ГЦК–
ГПУ-переход [43,47], уравнения состояния [42,19], упругие свойства, вклю-
чая отрицательное отклонение от соотношения Коши в КИГ в широкой об-
ласти давления [19,37,38,40,41 и др.]. Однако хорошее согласие с экспери-
ментом рассчитанного отклонения от соотношения Коши δ(p) получилось у
ряда авторов только для Ar [19,37,38,40,41], поскольку в нем преобладает
многочастичное взаимодействие. Основной ошибкой в этих работах при
описании свойств КИГ является недостаточный учет или игнорирование де-
формации электронных оболочек атомов.
Общий подход (см. [12] и ссылки там) к построению адиабатического по-
тенциала U для ряда Ne–Xe позволяет выяснить наиболее важные взаимо-
действия в них, т.е. структуру межатомных потенциалов. Обоснованная дос-
таточно точная форма адиабатического потенциала, полученная ранее в
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
35
предположении парного межатомного взаимодействия [52–54], была обоб-
щена на случай для n-атомного взаимодействия [15]. Развитая теория позво-
ляет вычислить короткодействующий потенциал отталкивания индивиду-
ально для каждого кристалла ряда Ne–Xe с учетом многочастичного и квад-
рупольного взаимодействий. Для Ne в короткодействующем парном потен-
циале отталкивания требуется включение в адиабатический потенциал сла-
гаемых высших порядков по интегралам перекрытия. Для остальных кри-
сталлов ряда достаточно ограничиться квадратичным приближением по ин-
тегралам перекрытия.
Проведенный анализ расчетов и измерений модулей упругости напря-
женного кристалла показал, что межатомный потенциал с учетом трехчас-
тичного взаимодействия и деформации электронных оболочек атомов отра-
жает все существенные черты поведения КИГ под давлением.
В заключение подведем итоги исследованию упругих свойств и сделаем
ряд замечаний.
1. Из сравнения различных экспериментальных данных [29,32–36] видно,
что измерение упругих модулей очень чувствительно к методике и началь-
ным условиям.
2. Важна правильная интерпретация типов измеряемых упругих модулей.
3. Линейная барическая зависимость модулей упругости при высоком
давлении, характерная для 0B ( )ij p , рассчитанных на основе парного потен-
циала, нарушается при учете трехчастичного и квадрупольного взаимодей-
ствий. Это обеспечивает обращение в нуль сдвигового модуля В44 для Xe
при 75 GPa, что соответствует ГЦК–ГПУ-переходу.
4. Индивидуальная зависимость отклонения от соотношения Коши δ(р)
для каждого из кристаллов есть результат двух конкурирующих взаимодей-
ствий – многочастичного и квадрупольного, проявляющегося в квадруполь-
ной деформации электронных оболочек атомов при смещениях ядер.
5. Адекватное воспроизведение экспериментальной барической зависи-
мости отклонения от соотношения Коши δ(р) может служить основным кри-
терием правильности построения теории.
6. В эмпирических потенциалах при определении поправки к парному по-
тенциалу за счет трехчастичного взаимодействия следует опираться не на
экспериментальный сдвиговый модуль B44, а на B12, поскольку именно в
этот модуль основной вклад вносит трехчастичное взаимодействие, а в мо-
дуль B44 – квадрупольное взаимодействие.
7. Ab initio теория функционала плотности недостаточно точно учитывает
деформацию электронных оболочек, а эмпирические расчеты ее игнорируют.
1. К.Б. Толпыго, ЖЭТФ 20, 497 (1950).
2. К.Б. Толпыго, УФЖ 2, 242 (1957).
3. К.Б. Толпыго, УФЖ 4, 72 (1959).
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
36
4. К.Б. Толпыго, ФТТ 3, 943 (1961).
5. И.Г. Заславская, К.Б. Толпыго, УФЖ 1, 226 (1956).
6. З.А. Демиденко, Т.И. Кучер, К.Б. Толпыго, ФТТ 3, 2482 (1961).
7. З.А. Демиденко, К.Б. Толпыго, ФТТ 3, 3435 (1961).
8. К.Б. Толпыго, Е.П. Троицкая, ФТТ 13, 1135 (1971).
9. K.B. Tolpygo, Phys. Status Solidi B56, 591 (1973).
10. О.Н. Болонин, К.Б. Толпыго, ФТТ 15, 1674 (1973).
11. Е.П. Троицкая, Вал.В. Чабаненко, Е.Е. Горбенко, ФТТ 49, 2055 (2007).
12. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.А. Пилипенко,
ФТВД 21, № 4, 7 (2011).
13. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.А. Пилипенко,
ФТВД 22, № 2, 37 (2012).
14. Е.П. Троицкая, В.В. Чабаненко, Е.А. Пилипенко, Е.Е. Горбенко, ФТВД 23, № 4,
20 (2013).
15. Е.П. Троицкая, Вал.В. Чабаненко, И.В. Жихарев, Е.Е. Горбенко, Е.А. Пилипенко,
ФТВД 20, № 2, 1 (2010).
16. C. Zener, Phys. Rev. 71, 846 (1947).
17. B.B. Karki, L. Stixrude, S.J. Clark, M.C. Warren, G.J. Ackland, J. Crain, American
Mineralogist 82, 51 (1997).
18. F. Jona, P.M. Marcus, J. Phys.: Condens. Matter 13, 5507 (2001).
19. T. Tsuchiya and K. Kawamura, J. Chem. Phys. 117, 5859 (2002).
20. V.D. Farajov, Z.A. Iskenderzade, E.K. Kasumova, E.M. Kurbanov, Inorg. Mater. 41,
911 (2005).
21. H. Ledbetter, A. Migliori, J. Appl. Phys. 100, 063516 (2006).
22. S.I. Ranganathan, M. Ostoja-Starzewski, Phys. Rev. Lett. 101, 055504 (2008).
23. F.D. Murnaghan, Finite Deformation of Elastic Solids, J. Wiley, New York (1951).
24. D. Wallace, Solid State Phys. 25, 301 (1970).
25. В.Г. Барьяхтар, Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, Методы вычислительной фи-
зики в теории твердого тела. Атомные свойства металлов, Наукова думка, Киев
(1990).
26. E.V. Zarochentsev, V.N. Varyukhin, E.P. Troitskaya, Val.V. Chabanenko, and E.E. Hor-
benko, Phys. Status Solidi B243, 2672 (2006).
27. Е.П. Троицкая, Е.А. Пилипенко, ФТВД 24, № 2, 7 (2014).
28. M.S. Anderson, C.A. Swenson, J. Phys. Chem. Solids 36, 145 (1975).
29. H. Shimizu, N. Saitoh, and S. Sasaki, Phys. Rev. В57, 230 (1998).
30. A.P. Jephcoat, H.K. Mao, L.W. Finger, D.F. Lox, R.J. Hemley, C.S. Zha, Phys. Rev.
Lett. 59, 2670 (1987).
31. K.A. Goettel, J.H. Eggert, I.F. Silvera, W.C. Moss, Phys. Rev. Lett. 62, 665 (1989).
32. H. Shimizu, H. Imaeda, T. Kume, and S. Sasaki, Phys. Rev. B71, 014108 (2005).
33. M. Grimsditch, P. Loubeyre, A. Polian, Phys. Rev. B33, 7192 (1986).
34. H. Shimizu, H. Tashiro, T. Kume, and S. Sasaki, Phys. Rev. Lett. 86, 4568 (2001).
35. S. Sasaki, N. Wada, T. Kumi, and H. Shimizu, J. Raman Spectroscopy 40, 121 (2009).
36. A. Polian, J.V. Desson, M. Grimsditch, and W.A. Grosshans, Phys. Rev. В39, 1332
(1989).
37. T. Iitaka and T. Ebisuzaki, Phys. Rev. B65, 012103 (2001).
38. S. Gupta, S.C. Goyal, Sci China Ser D-Earth Sci 52, 1599 (2009).
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
37
39. D. Acocella, G.K. Horton, E.R. Cowley, Phys. Rev. B61, 8753 (2000).
40. E. Pechenic. I. Kelson, G. Makov, Phys. Rev. B78, 134109 (2008).
41. M. Aoki and T. Kurokawa, J. Phys.: Condens. Matter 19, 236228 (2007).
42. Yu.A. Freiman and S.M. Tretyak, ФНТ 33, 719 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 545
(2007)].
43. P. Loubeyre, Phys. Rev. B37, 5432 (1988).
44. M.P. Verma, R.K. Singh, Phys. Status Solidi 33, 769 (1969).
45. P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. B136, 864 (1964).
46. W. Kohn and L.J. Sham, Phys. Rev. A140, 1133 (1965).
47. I. Kwon, L.A. Collins, J.D. Kress, and N. Troullier, Phys. Rev. B52, 15165 (1995).
48. W.A. Caldwell, J.H. Nguyen, B.G. Pfrommer, F. Mauri, S.G. Louie, and R. Jeanloz,
Science 277, 930 (1997).
49. M. Springbord, J. Phys.: Condens. Matter 12, 9869 (2000).
50. J.K. Dewhurst, R. Ahuja, S. Li, and B. Johansson, Phys. Rev. Lett. 88, 075504
(2002).
51. W. Kohn, Y. Meir, and D.E. Makarov, Phys. Rev. Lett. 80, 4153 (1998).
52. Е.П. Троицкая, Автореф. дисс. … докт. физ.-мат. наук, Киев (1987).
53. Ю.В. Еремейченкова Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ТМФ 102, 498 (1996).
54. Е.В. Зароченцев, Е.П. Троицкая, ФТТ 43, 1292 (2001).
E.P. Troitskaya, I.V. Zhikharev, E.A. Pilipenko
ELASTIC PROPERTIES OF COMPRESSED RARE-GAS CRYSTALS
IN THE MODEL OF DEFORMABLE ATOMS
The elastic properties of compressed rare-gas crystals (RGC) Ne, Ar, Kr and Xe are in-
vestigated in the model of deformable and polarizable atoms. The Fuchs elastic moduli
and Zener elastic anisotropy coefficient have been calculated with inclusion of the three-
body and quadrupole interactions over a wide range of pressures. We have compared the
obtained results with the experiment and the results of other authors. We observe the
vanishing of the shear modulus В44 for Хе at a compression of 0.6, which corresponds to
the transition from the fcc phase to the hcp phase at 75 GPa.
Keywords: rare-gas crystals, deformation of electron shells, quadrupole interaction,
many-body interactions, high pressure, short-range repulsion, Zener elastic anisotropy
coefficient
Fig. 1. Dependence of the Fuchs elastic moduli В11 (а), В33 (б), В44 (в) on the compres-
sion u for Ne, Ar, Kr, Xe: –■–, –♦–, –▲–, –●– – the presented calculation with inclusion
of the three-body and quadrupole interactions 0 (M3) + qt
ij ij ij ij
B B B B= + ; -- -- – 11B =
0
11 11 11
(M5) qtB B B= + + for Ne [26]; – – – 0
11 11 11 11
(M1) qtB B B B= + + for Ar ( 0
ijB (М3),
0
ijB (М5), 0
ijB (М1) – calculation of the Fuchs elastic moduli with pair interaction poten-
tials previously calculated in the models М3, М5 and М1, respectively); □, ◊, △, ○ – ex-
perimental data B11 [28] for Ne, Ar, Kr и Xe respectively; – experimental data B44 for
Kr [29]
Физика и техника высоких давлений 2014, том 24, № 3–4
38
Fig. 2. Pressure dependences of the Zener elastic anisotropy coefficient AZ for Ne (а), Ar
(б), Kr (в) and Xe (г): –■– – the presented calculation with inclusion of the three-body
and quadrupole interactions; -- -- – calculation based on the pair interaction potentials;
– – – DFT calculation [19]; – experiment for Ne [32], Ar [34], Kr [29], Xe [35]; –▲– –
theoretical calculation AZ result obtained in ref. [33]]; △ – experiment [33]
Fig. 3. Dependence of the Zener elastic anisotropy coefficient AZ on the compression u
for the series Ne–Xe: –■–, –♦–, –▲–, –●– – the presented calculation with inclusion of
the three-body and quadrupole interactions for Ne, Ar, Kr and Xe, respectively
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-107343 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0868-5924 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:29:29Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Троицкая, Е.П. Жихарев, И.В. Пилипенко, Е.А. 2016-10-18T15:19:22Z 2016-10-18T15:19:22Z 2014 Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов / Е.П. Троицкая, И.В. Жихарев, Е.А. Пилипенко // Физика и техника высоких давлений. — 2014. — Т. 24, № 3-4. — С. 26-38. — Бібліогр.: 54 назв. — рос. 0868-5924 PACS: 62.50.+p, 62.65.+k, 64.10.+h, 64.70.Kb https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107343 Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов (КИГ) Ne, Ar, Kr и Xe исследованы в модели деформируемых и поляризуемых атомов. Рассчитаны модули упругости Фукса и коэффициент упругой анизотропии Зенера с учетом многочастичного и квадрупольного взаимодействий в широком интервале давлений. Проведено сравнение с экспериментом и результатами других авторов. В Хе при сжатии 0.6 наблюдается обращение в нуль сдвигового модуля В₄₄, что соответствует ГЦК–ГПУ-переходу при 75 GPa. Пружні властивості стислих кристалів інертних газів (КIГ) Ne, Ar, Kr і Xe досліджено в моделі атомів, що можуть деформуватися та поляризуватися. Розраховано модулі пружності Фукса й коефіцієнт пружної анізотропії Зенера з урахуванням багаточасткової та квадрупольної взаємодій у широкому інтервалі тисків. Проведено порівняння з експериментом і результатами інших авторів. У Хе при стисненні 0.6 спостерігається спрямування до нуля зсувного модуля В₄₄, що відповідає ГЦК–ГПУ-переходу при 75 GPa. The elastic properties of compressed rare-gas crystals (RGC) Ne, Ar, Kr and Xe are investigated in the model of deformable and polarizable atoms. The Fuchs elastic moduli and Zener elastic anisotropy coefficient have been calculated with inclusion of the threebody and quadrupole interactions over a wide range of pressures. We have compared the obtained results with the experiment and the results of other authors. We observe the vanishing of the shear modulus В₄₄ for Хе at a compression of 0.6, which corresponds to the transition from the fcc phase to the hcp phase at 75 GPa. ru Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України Физика и техника высоких давлений Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов Elastic properties of compressed rare-gas crystals in the model of deformable atoms Article published earlier |
| spellingShingle | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов Троицкая, Е.П. Жихарев, И.В. Пилипенко, Е.А. |
| title | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов |
| title_alt | Elastic properties of compressed rare-gas crystals in the model of deformable atoms |
| title_full | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов |
| title_fullStr | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов |
| title_full_unstemmed | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов |
| title_short | Упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов |
| title_sort | упругие свойства сжатых кристаллов инертных газов в модели деформируемых атомов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107343 |
| work_keys_str_mv | AT troickaâep uprugiesvoistvasžatyhkristallovinertnyhgazovvmodelideformiruemyhatomov AT žihareviv uprugiesvoistvasžatyhkristallovinertnyhgazovvmodelideformiruemyhatomov AT pilipenkoea uprugiesvoistvasžatyhkristallovinertnyhgazovvmodelideformiruemyhatomov AT troickaâep elasticpropertiesofcompressedraregascrystalsinthemodelofdeformableatoms AT žihareviv elasticpropertiesofcompressedraregascrystalsinthemodelofdeformableatoms AT pilipenkoea elasticpropertiesofcompressedraregascrystalsinthemodelofdeformableatoms |