Нелинейные модели теплофизики геотехносферы
Стисло розглянуті нелінійні математичні моделі процесів переносу імпульсу, маси та тепла в гірничих масивах та виробітках шахт, рудників та підземних споруд. Дана класифікація моделей, сформульовані базисні задачі розвитку парадигми. Запропонований новий метод розв’язання крайових задач. Nonlinear m...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физико-технические проблемы горного производства |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107643 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелинейные модели теплофизики геотехносферы / И.Р. Венгеров // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 9. — С. 121-140. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-107643 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Венгеров, И.Р. 2016-10-23T10:16:13Z 2016-10-23T10:16:13Z 2006 Нелинейные модели теплофизики геотехносферы / И.Р. Венгеров // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 9. — С. 121-140. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. XXXX-0016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107643 622.2:536.21 Стисло розглянуті нелінійні математичні моделі процесів переносу імпульсу, маси та тепла в гірничих масивах та виробітках шахт, рудників та підземних споруд. Дана класифікація моделей, сформульовані базисні задачі розвитку парадигми. Запропонований новий метод розв’язання крайових задач. Nonlinear mathematical models of the momentum, mass and heat transfer processes in mining massifs and excavations of mines, pits and underground constructions. A model classification is done and main problems of the paradigm development are formulated. A novel method of the boundary value problem solution is proposed. ru Інститут фізики гірничих процесів НАН України Физико-технические проблемы горного производства Физика горных процессов на больших глубинах Нелинейные модели теплофизики геотехносферы Nonlinear models of teplophisicks of geotechnosfera Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы |
| spellingShingle |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы Венгеров, И.Р. Физика горных процессов на больших глубинах |
| title_short |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы |
| title_full |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы |
| title_fullStr |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы |
| title_full_unstemmed |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы |
| title_sort |
нелинейные модели теплофизики геотехносферы |
| author |
Венгеров, И.Р. |
| author_facet |
Венгеров, И.Р. |
| topic |
Физика горных процессов на больших глубинах |
| topic_facet |
Физика горных процессов на больших глубинах |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физико-технические проблемы горного производства |
| publisher |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Nonlinear models of teplophisicks of geotechnosfera |
| description |
Стисло розглянуті нелінійні математичні моделі процесів переносу імпульсу, маси та тепла в гірничих масивах та виробітках шахт, рудників та підземних споруд. Дана класифікація моделей, сформульовані базисні задачі розвитку парадигми. Запропонований новий метод розв’язання крайових задач.
Nonlinear mathematical models of the momentum, mass and heat transfer processes in mining massifs and excavations of mines, pits and underground constructions. A model classification is done and main problems of the paradigm development are formulated. A novel method of the boundary value problem solution is proposed.
|
| issn |
XXXX-0016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/107643 |
| citation_txt |
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы / И.Р. Венгеров // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 9. — С. 121-140. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vengerovir nelineinyemodeliteplofizikigeotehnosfery AT vengerovir nonlinearmodelsofteplophisicksofgeotechnosfera |
| first_indexed |
2025-11-27T06:55:27Z |
| last_indexed |
2025-11-27T06:55:27Z |
| _version_ |
1850805953512865792 |
| fulltext |
Физика горных процессов на больших глубинах
121
УДК 622.2:536.21
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОФИЗИКИ
ГЕОТЕХНОСФЕРЫ
к.ф.-м.н. Венгеров И.Р. (ДонФТИ им. А.А. Галкина НАН Украины)
Стисло розглянуті нелінійні математичні моделі процесів переносу
імпульсу, маси та тепла в гірничих масивах та виробітках шахт, рудників
та підземних споруд. Дана класифікація моделей, сформульовані базисні
задачі розвитку парадигми. Запропонований новий метод розв’язання
крайових задач.
NONLINEAR MODELS OF TEPLOPHISICKS
OF GEOTECHNOSFERA
Vengerov I.R.
Nonlinear mathematical models of the momentum, mass and heat transfer
processes in mining massifs and excavations of mines, pits and underground
constructions. A model classification is done and main problems of the paradigm
development are formulated. A novel method of the boundary value problem
solution is proposed.
1. Введение
В геотехносферу входят [1]: шахты, рудники, подземные со-
оружения производственно-складского назначения, геотехнологи-
ческие и пластовые системы. Математическое моделирование про-
цессов переноса импульса, массы и тепла обычно осуществляется
для двух обобщенных объектов геотехносферы – горных массивов
и выработок.
Модели переноса импульса – движение газов, жидкостей и их
композиций (флюидов) в угольных и породных пластах, в вырабо-
танных пространствах, в геотехнологических и пластовых системах
базируются, в основном, на нелинейных уравнениях теории фильт-
рации. Нелинейны и уравнения движения газовоздушных смесей в
горных выработках [2-6].
Модели массопереноса используют уравнения диффузии: твер-
дотельной, конвективной и турбулентной. Для большинства техно-
логических и аварийных режимов эти уравнения также нелинейны.
Физика горных процессов на больших глубинах
122
Теплоперенос в горных массивах моделируется нелинейными
уравнениями при наличии в них фазовых переходов влаги или высо-
котемпературных процессов (подземных пожарах) [4, 6]. Все модели
нелинейного переноса базируются на параболических или гипербо-
лических уравнениях в частных производных, преимущественно од-
номерных [7].
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы репрезента-
тивно представлены моделями шахтной теплофизики [2-7]. В каче-
стве характерных можно указать модели: теплопереноса при пожа-
рах в подземных сооружениях [8]; теплового режима в подземных
хранилищах радиоактивных отходов [9]; теплового режима нефтега-
зовых скважин и трубопроводов [10-12]; термической обработки
нефтяных пластов и движения нефти в них [13-16]; геотехнологиче-
ских процессов [17-18]; бурения скважин термическими и термохи-
мическими методами [19-20]; замораживания горных пород и их
термического разрушения [21-22].
Математические модели позволяют систематизировать данные
наблюдений, измерений и экспериментов, прогнозировать ход тех-
нологических и аварийных режимов, разрабатывать и проектировать
новую технику и технологию, что делает совершенствование и раз-
витие методов математического моделирования актуальной задачей
исследования.
2. Модели переноса в массивах
2.1. Перенос импульса осуществляется путем фильтрации флюи-
дов в пористых и трещиновато-пористых средах [2]. Различают од-
нородные и изотропные системы и неоднородные (анизотропные,
слоисто-неоднородные, градиентные, градиентно-слоистые) и ре-
жимы фильтрации: жесткий, упругий (пьезопроводность), ламинар-
ный, турбулентный. Основные уравнения движения газов в порис-
тых средах были получены Л.С. Лейбензоном [23], а уравнения
движения метана в угольных пластах – Р.М. Кричевским [24, 25].
Анализ представительного массива работ показывает, что подав-
ляющее большинство из них обобщается двумя уравнениями, полу-
ченными автором и названные им уравнениями Лейбензона – Кри-
чевского (УЛК).
В случае изотермической фильтрации газа УЛК имеет вид:
Физика горных процессов на больших глубинах
123
( )
( )2
, ,
1
i
m abRT Pm P x t P
P tbP
∂ ∂ + + =
∂ ∂ +
( )
( ) ( )2
, ,
,i i
i
i i
K P x t P mP W x t P
x P x t
∂ ∂ ∂
= +β −
∂ µ ∂ ∂
, (1)
Для политропической фильтрации:
( ) ( )
( )
1 / 1
2
, ,
1
n ni nm P x t m ab PP P
n P tbP
−
∂ β ∂ + + =
∂ ∂ +
( )
( ) ( ), 1 1
2
,
,i i n n
i
i i
K P x t P mP W x t P
x P x t
∂ ∂ ∂
= + β −
∂ µ ∂ ∂
, (2),
где – Р=Р(xi, t) – давление газа; t – время; xi – декартовы координаты
(i =1, 2, 3); m (P, xi, t) – пористость пласта; a, b – постоянные Лен-
гмюра; Т – абсолютная температура; Ki (P, xi, t) – коэффициент про-
ницаемости; µ (Р) – вязкость газа; β, n – постоянные; W2 (xi, t) – ли-
нейная функция плотности источников (стоков). Последние члены
правых частей (1) и (2) – нелинейные источники (эффективные).
В [2] показано, что из (1) и (2) можно получить, как частные слу-
чаи, большое число уравнений движения газа. Для стационарной
неоднородной среды с m = m (xi), Ki = Ki (xi), уравнения (1), (2) с
помощью подстановок (перехода от Р (xi, t) к другим функциям)
можно привести либо к «t-нелинейному» виду:
( ) ( ), i i i
i i
F FA F x K x
t x x
∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂
, (3)
либо к «x-нелинейному» виду:
( ) ( )i i
i i
K xV VB V
t x x
∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ µ ∂
, (4)
в которых соответственно:
Физика горных процессов на больших глубинах
124
( ) 1 nF P P dP= ∫ , ( )P g F= , ( ) ( )
( )2 1
,
( ) 1
i
i n
m x abA F x
ng F bg g
β = µ +
+
, (5)
V = V (Р, xi, t), ( )P G V= , ( ) ( )
( )
1
21
n nim xV ab PP
t n tbP
−
∂ β ∂ = +
∂ ∂ +
,
1( ) ( )n GB V G V
V
− ∂
=
∂
. (6)
2.2. Перенос массы в массивах обобщается уравнениями [2]:
( ), ,i i
i i
C CD C x t
t x x
∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂
, (7)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,i i i i i
i i
Cm x t C x t V C m x t D C x t
t x x
∂ ∂ ∂ + ∇ = ∂ ∂ ∂
, (8)
где – С (xi, t) – поле концентраций; Di (С, xi, t) – коэффициенты ани-
зотропной (ортотропной) диффузии; m (xi, t) – пористость неодно-
родного и нестационарного массива; V – вектор скорости фильтра-
ции флюида – переносчика примеси. Из (7), (8) видно, что они могут
быть представлены в виде (4). Уравнение, близкое к (8), впервые
было получено (в модели фильтрационного массопереноса в выра-
ботанном пространстве) Л.П. Фельдманом [26].
В моделях массопереноса при подземных пожарах [6], уравнения
типа (8) содержат, иногда, в правой части функцию стока кислорода
(сорбируемого углем), содержащую Сn (n ≠ 1), т.е. нелинейную и
коэффициенты – аналоги m (xi, t) – также нелинейные: Пi = Пi (C, xi,
t) (i = 1, 2).
2.3. Перенос тепла в массивах осуществляется теплопровод-
ностью, конвективным теплопереносом и теплопереносом при
наличии фазовых переходов влаги. Большинство нелинейных мо-
делей относятся к моделированию подземных пожаров и процес-
сов теплопереноса в льдосодержащих массивах [6, 7]. В первом
случае используются уравнения типа (3), (4), во втором – задачи
типа Стефана [7, 27].
Физика горных процессов на больших глубинах
125
3. Модели переноса в выработках
3.1. Перенос импульса (движение газо-воздушных смесей) моде-
лируется уравнениями Навье-Стокса и Рейнольдса (для турбулент-
ных потоков) [3, 5-7]. Уравнение движения вентиляционной струи в
участковой выработке, учитывающее притечки (утечки) из вырабо-
танного пространства, было получено в виде [28]:
2
2
0
cp
x
PQ D Q SФ Q
t S x x SR
∂∂ ∂ λ
+ = − −
∂ ∂ ρ ∂
, (9)
где – Q (x, t) – переменный расход воздуха; x, t – продольная коор-
дината и время; D, S, Фх, ρ, λ, R0 – постоянные параметры модели;
Рср – среднее по сечению выработки давление воздуха. Нелиней-
ность уравнения (9) обусловлена последними членами в обеих его
частях. Аналогичное (9) уравнение движения воздуха в перфориро-
ванном воздуховоде для стационарного случая ( ) 0Q t∂ ∂ = было
получено Б.И. Медведевым [29].
Уравнение Рейнольдса обычно используется в линеаризованной
форме [3], когда главное внимание уделяется зависимости коэффи-
циента турбулентной вязкости от поперечной (радиальной – в слу-
чае цилиндрической выработки) координаты.
Нестационарные аэродинамические процессы в выработках с пе-
ременным расходом воздуха, характерные для аварийных режимов
(взрывы, обрушения, внезапные выбросы) описываются моделями,
содержащими системы уравнений, приводимых к гиперболическому
(телеграфному) уравнению [3, 7]. Нелинейные задачи для таких
уравнений не рассматривались.
3.2. Перенос массы осуществляется турбулентным перемешива-
нием (в струях), турбулентной диффузией, дисперсией примесей
(одномерный массоперенос при стержневом течении и эффективном
коэффициенте турбулентной диффузии – коэффициенте дисперсии).
Эти модели, как правило, линейны. Нелинейные модели возникают
при описании переноса «активных» примесей, когда существенную
роль играют архимедовы силы. В этих моделях используют «эффек-
тивные» скорости потоков и коэффициенты турбулентной диффу-
зии, зависящие от концентрации примесей.
Обобщенное, содержащее все частные случаи, уравнение массо-
переноса имеет вид [3]:
Физика горных процессов на больших глубинах
126
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,i
i i
C Cdiv VC m t C D C m t J m t
t x x
∂ ∂ ∂
+ + γ = + ∂ ∂ ∂
, (10)
где - V - вектор скорости потока; γ (m, t) – зависящий от точки m и
времени коэффициент поглощения примеси; Di (C, m, t) – коэффи-
циенты «активной» диффузии; J (m, t) – функция плотности источ-
ников (стоков) примеси.
В моделях массопереноса при подземных пожарах используется
уравнение типа (10), но с нелинейными функциями плотности ис-
точников J = J (C, m, t) [6].
3.3. Перенос тепла в выработках при штатных режимах модели-
руется, как правило, на основе обыкновенных (балансовых) диффе-
ренциальных уравнений [4]. Параболические уравнения в частных
производных, в том числе – нелинейные – используются в моделях
пожаров [6]. Обобщенное уравнение теплопереноса в выработке [7]:
( ) ( ) ( ), , , , ,p
TC T m t V T T m t T
t
∂ + ∇ + γ = ∂
( ) ( ), , , ,i
i i
TT m t F T m t
x x
∂ ∂
= λ + ∂ ∂
, (11)
где – Т (m, t) – температура струи воздуха; Ср (Т, m, t) – его тепло-
емкость, λ (Т,ºm, t) – теплопроводность; V - скорость потока; F (Т,
m, t) – функция плотности источников (стоков) тепла; γ (Т, m, t) –
коэффициент температурной конверсии. Уравнение (11), если ис-
ключить источники тепла, также сводится к (3) или (4).
4. Классификация моделей
Нелинейные модели теплофизики геотехносферы (НМТГТ), как
следует из вышеизложенного, базируются, в основном, на нелиней-
ных параболических уравнениях в частных производных. Согласно
классификации краевых задач математической физики «7НЕ» [1],
эти модели одновременно являются прямыми и локальными моде-
лями. Далее сужаем класс рассматриваемых моделей, вычленяя из
НМТГТ только ординарные, одномерные и однородные модели. По-
следнее означает, что в коэффициентах всех уравнений, зависимо-
Физика горных процессов на больших глубинах
127
стью их от xi и t пренебрегаем (в частности проницаемость массива:
Ki (P, xi, t) → Ki (P)).
В рассмотренных моделях (уравнениях) встречались две, преоб-
разуемых друг в друга, вида нелинейности: х – нелинейности и t –
нелинейности. Граничные условия в моделях также могут быть не-
линейными (простейший пример: условия ІІ-го рода на границе теп-
лоизлучающего тела). В правой части уравнения может присутство-
вать нелинейно зависящая от потенциала переноса функция плотно-
сти источников (стоков) массы или тепла. Последний упоминавший-
ся вид нелинейностей – задачи типа Стефана.
Классификация нелинейных задач переноса предложена Л.А.
Коздобой [30], она носит общетеплофизический характер, но недос-
таточно наглядна. Математики называют уравнения, коэффициенты
которых зависят от потенциала переноса, квазилинейными, а урав-
нения, где нелинейна правая часть – функция плотности источников
(стоков) – полулинейными. Мы предлагаем следующую, более
удобную для прикладных исследований, классификацию. Квазили-
нейные задачи будем называть задачами с внутренней нелинейно-
стью. Задачи с нелинейными граничными условиями и (или) функ-
циями плотности источников – задачами с внешней нелинейностью.
Задачи Стефана относим к третьему классу НМТГТ.
Методы решения нелинейных краевых задач теплофизики весь-
ма многообразны и постоянно пополняются новыми, что свидетель-
ствует об отсутствии среди них достаточно общего и строгого, но
доступного для прикладников. Широкий обзор этих методов, их
преимущества и недостатки можно найти в [7, 13-16, 27, 30-33].
Ранее была обоснована [7] необходимость разработки гибридно-
го, аналитико-числового метода решения задач теплофизики геотех-
носферы, базирующегося на методах П.В. Цоя и функций Грина
[34]. Необходимы различные версии метода: для задач с внутренней
нелинейностью; для задач с внешней нелинейностью; для задач типа
Стефана; для комбинаций вышеприведенных; для многомерных за-
дач; для всех задач при необходимости учета неоднородности и не-
стационарности среды; для обратных задач всех классов.
Реализация столь сложной и обширной программы потребует
коллективных усилий, использования современных аналитических и
численных методов, учета результатов фундаментальных работ (в
частности [35-37]). Далее излагается метод решения краевых задач с
внутренней нелинейностью – базисных среди НМТГТ.
Физика горных процессов на больших глубинах
128
5. Метод решения задач с внутренней нелинейностью
5.1. Постановка задачи. В силу известных аналогий моделей
процессов переноса, будем использовать (не ограничивая общности)
язык теории теплопроводности. Рассматриваем область х ∈ (0, L), t
∈ (0, tm). Т.к. упрощение нелинейных уравнений путем их преобра-
зования к «односторонне-нелинейным» уравнениям (3), (4) иллю-
зорно (приходится наряду с новой искомой функцией переходить к
новым начальным и граничным условиям, а затем «возвращаться»;
все этапы не тривиальны), будем рассматривать нелинейное одно-
мерное уравнение в общей форме:
( ) ( )T TC T T
t x x
∂ ∂ ∂ = λ ∂ ∂ ∂
, х ∈ (0, L), t ∈ (0, tm), Т ∈ (Т1, Т2), (13)
Для диапазона изменения Т (х, t) ∈ (Т1, Т2) считаем известными:
[ ] 1
1 2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) T TC T C T C T C T
T T
−
= + − −
α
,
[ ] 1
1 2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) T TT T T T
T T
−
λ = λ + λ − λ −
β
(14)
где – α, β = const, а функции С (Т) и λ (Т) монотонные. Если моно-
тонными функциями (14) имеющиеся данные аппроксимировать
нельзя, то интервал (Т1, Т2) разбивается на подинтервалы монотон-
ности, для каждого из которых устанавливаются зависимости (14).
Поскольку предлагаемый метод – аналитико-числовой, возникаю-
щие усложнения устраняются его компьютерной компонентой.
Краевые условия к (13) имеют вид:
Т (х, 0) = Т0 (х), х ∈ (0, L), Т (0, t) = µ(-) (t),
T (L, t) = µ(+) (t), t ∈ (0, tm), (15)
где функции Т0 (х), µ(±) (t) – известные. Поскольку все температуры
T (х, t) лежат внутри диапазона (Т1, Т2), общие зависимости (14) не-
обходимо уметь пересчитывать для более узких диапазонов темпе-
ратуры [µ(-) (t), µ(+) (t)], в зависимости от которых вместо α и β поя-
вятся другие параметры – n и m. Способ такого пересчета укажем на
Физика горных процессов на больших глубинах
129
простом примере. Пусть f (x) > 0 монотонно возрастает от f (x1) до f
(x2) в интервале х ∈ [x1, x2]. Аналитическое выражение f (x) извест-
но, но эту функцию мы хотим представить в виде:
[ ] 1
1 2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) x xf x f x f x f x
x x
n∧ −
= + − −
, n = const (16)
Определение n ∈ [0, ∞) решает задачу, т.к. x1, x2, f (x1), f (x2) извест-
ны. Требуем равенства норм || f (x)||L1 и || ( )f x
∧
||L1:
2 2
1 1
1 1|| ( ) || ( ) || ( ) || ( )
x x
L L
x x
f x f x dx f x f x dx
∧ ∧
= = =∫ ∫ , (17)
и подставив (16) в (17), получаем:
2
1
( )
( )
f x f
n
f f x
−
=
−
, ( )
2
1
1
2 1 ( )
x
x
f x x f x dx−= − ∫ . (18)
Применив этот прием к (14), получим
~ ~
( )n n= α и
~ ~
( )m m= β :
( )
( )
( )
~
( )
( )
( )
T Ф
n
T Ф
+
−
∆
θ − θ
∆µ=
∆
θ − θ
∆µ
α
α ,
( )
( )
( )
~
( )
( )
( )
T Ф
m
T Ф
+
−
∆
θ − θ
∆µ=
∆
θ − θ
∆µ
β
β , (19)
( )
( ) 1
( )
T
t
−
− µ −
θ =
∆µ
,
( )
( ) 1
( )
T
t
+
+ µ −
θ =
∆µ
,
( ) ( )1 1( ) ( )
( )
1
Ф
ν+ ν++ −
ν
θ − θ
θ =
ν +
, (20)
2 1T T T∆ = − , ( ) ( )( ) ( ) ( )t t t+ −∆µ = µ −µ , ,ν = α β .
При совпадении интервалов ∆ Т и ∆ µ из (19), (20) следует: n = α,
m = β.
5.2. Идея метода. В математической физике известен метод Ротэ
[38], заключающийся в переходе к дискретным временным отсчетам
Физика горных процессов на больших глубинах
130
tj = jτ, j = 0,N , N τ = tm и в «замораживании» переменных коэффици-
ентов параболического уравнения в частных производных на каж-
дом из интервалов t ∈ [jτ, (j + 1)τ]. Аналогичный метод «смены ста-
ционарных состояний» был предложен Л.С. Лейбензоном [39]. При
анализе основ неравновесной термодинамики [40] было обнаружено,
что введение неравновесной энтропии в нелинейном случае кор-
ректно лишь в случае дискретного изменения теплофизпараметров
элементарного объема.
Исходя из изложенного, предлагается метод «крупных шагов»
(т.к. «шаговые» интервалы τ << tm, но существенно превышают та-
ковые в конечно-разностных схемах), состоящий в том, что с момен-
та t0 = 0 решается линейная задача с переменными параметрами С0
(х) и λ0 (х). Зависимости этих параметров от координаты устанавли-
ваются пересчетами от температурных зависимостей (14): С0 (х) = С
(Т(х, 0)) = С (Т0 (х)), λ0 (х) = λ (T0 (x)). Решение определяется для t =
τ: T (x, t) = T (x, τ) = T1 (x).
Перед вторым шагом теплофизпараметры вновь пересчитывают-
ся, принимая значения С1 (х) = С (Т1 (х)) и λ1 (х) = λ (Т1 (х)) и «замо-
раживаются» (по температуре; зависимость от х остается). Началь-
ным условием для решения краевой задачи – второго шага – служит
функция Т1 (х). Далее процесс продолжается, так, что на j-м шаге
начальной функцией является решение предыдущего шага – Тj-1 (x),
по которой пересчитываются параметры Cj-1 (x) = C (Tj-1 (x)), λj-1 (x)
= λ (Tj-1 (x)) используемые на j-м шаге.
Т.о., нелинейная задача сводится к последовательности линей-
ных задач с параметрами, зависящими от пространственной коорди-
наты. Методы решения последних весьма громоздки и известны для
частных видов функций С (х) и λ (х) [41-43]. Поэтому реализация
метода «крупных шагов» требует предварительного решения ряда
подзадач: 1. Перейти к обобщенной постановке краевой задачи для
неоднородной одномерной области и определить структуру реше-
ния. 2. Определить (унифицированным образом) элементы структу-
ры решения. 3. Найти функцию Грина задачи. 4. Решить задачу, по-
лучив формулы, описывающие какой-либо (т.к. описание всех шагов
стандартно) шаг. Далее коротко изложены решения этих подзадач.
5.3. Обобщенная формулировка и структура решения задачи.
Согласно [41], уравнение теплопроводности в неоднородной
среде:
Физика горных процессов на больших глубинах
131
( ) ( )T TC x x
t x x
∂ ∂ ∂ = λ ∂ ∂ ∂
, t > 0, x ∈ (0, L) (21)
с начальным
Т (х, 0) = Т0 (х), x ∈ (0, L) (22)
и граничными условиями
T (0, t) = µ(-) (t), T (L, t) = µ(+) (t), t > 0 (23)
представляет собой первую краевую задачу в классической поста-
новке. Для перехода к обобщенной постановке [44] умножаем (21) –
(23) на )t(θ (единичную ступенчатую функцию Хевисайда, произ-
водная которой есть δ-функция) и записываем задачу относительно
~
( , ) ( ) ( , )T x t t T x t= θ . Попутно переходим к безразмерной координате
Lx=η и получаем:
~
2 ( ) ( ) ( , )L C T t
t
∂ ∂ ∂
η − λ η η = ∂ ∂η ∂η
L{
~
T(η,t)} 2
0( ) ( ) ( )L C T t= η η δ . (24)
( )~ ~
(0, ) ( )T t t
−
= µ ,
( )~ ~
(1, ) ( )T t t
+
= µ ,
( )~
( )( ) ( ) ( )t t t
±
±µ = θ µ . (25)
Обобщенную краевую задачу (24), (25) приводим к однородной, ис-
пользуя структуру решения вида:
~ ~ ~
( , ) ( , ) ( , )T t u t tη = η +ϑ η , (26)
где
~
( , )u tη удовлетворяет нулевым граничным условиям и уравне-
нию:
Z{~u(η,t)} = ~F(η,t) = L2C(η,t)T0(η)δ(t) – Z{~
ϑ(η,t)} (27)
Функция )t,(
~
ηϑ простейшего вида, удовлетворяющая граничным
условиям:
Физика горных процессов на больших глубинах
132
( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~
( , ) ( ) ( ) ( )t t t t
− + −
ϑ η = µ + µ −µ η
. (28)
Подстановка (28) в (27) дает:
L
~ ~
{ ( , )} ( , )u t F tη = η =
=
( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~
2
0
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L C T t t t t t
t
− + − ∂ ∂λ η η η δ − µ + µ −µ η + ∆µ ∂ ∂η
,
( ) ( )~ ~ ~
( ) ( ) ( )t t t
+ −
∆µ = µ −µ . (29)
Уравнение (29) дает искомую обобщенную формулировку задачи,
решение для которой может быть сразу представлено в виде [44]:
( ) ( )
1~
' ' ' ' ' '
0 0
( , ) , , ,
t
u t d dt G t t F tη = η η η − η∫ ∫ , (30)
где - ( )' ',F tη определено (29), а ( )', ,G tη η - функция Грина задачи,
удовлетворяющая условиям:
L ( ){ } ( )' ', , ( )G t tη η = δ η−η δ , ( ) ( )' '0, , 1, , 0G t G tη = η = . (31)
Т.о. структура решения задачи определена.
5.4. Определение структурных элементов решения.
Для использования (30) на каждом из шагов, надо получить уни-
фицированные выражения для ( , )F tη и ( )', ,G tη η . Для первого шага
имеем 1( , )F tη , определяемую по (29), где С(η) = С0(η), λ(η) = λ0(η),
Т0(η) – начальное распределение температуры из (22), а функция
( ) ( )t±µ изменяется известным образом в интервале t ∈ (0, τ]. Для
второго шага используем 2 ( , )F tη , также согласно (29), но при
С(η) = С1(η), λ(η) = λ1(η). Вместо Т0 (η) подставляется решение, по-
лученное на первом шаге – Т (η, τ) = Т1 (η), а динамика ( ) ( )t±µ со-
Физика горных процессов на больших глубинах
133
ответствует интервалу времени (τ, 2τ]. Аналогичным образом имеем
для j-го шага (j = 1,N , t ∈ ((j-1)τ, jτ]):
( ) ( )2 ( ) ( ) ( )
1 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j jF t L C T t t t t
t
− + −
− −
∂ η = η η δ − µ + µ −µ η + ∂
,
1( ) jt −∂λ
+ ∆µ
∂η
(32)
Все температуры Tj (η) представляем унифицированной степен-
ной функцией:
1( ) ( ) ( )
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) j
j j j jT t t t −γ− + −
− − − − η = µ + µ −µ η ,
γj-1 = const, tj-1 = (j-1)τ. (33)
Показатели степени γj определяются согласно (18):
( )
1 1
1 ( )
1 1
( ) ( )
( ) ( )
j j
j
j j
t T
T t
+
− −
− −
− −
µ − η
γ =
η −µ
,
1
1 1
0
( ) ( )j jT d T− −η = η η∫ , j = 1, N . (34)
Для первого шага (j = 1) в (33) и (34) вместо ( ) (0)±µ подставля-
ются, соответственно, Т0 (0) и Т0 (1). Параметры пересчета от общих
(для Т ∈ [T1, T2]) формул (14) к формулам:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
( ) ( )
T tC T C t C t C t
t t
n−
− + −
+ −
− µ = µ + µ − µ µ −µ
, (35)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
( ) ( )
T tT t t t
t t
m−
− + −
+ −
− µ λ = λ µ + λ µ − λ µ µ −µ
, (36)
определяются (19), (20), откуда для 0, 1j N= − следует:
Физика горных процессов на больших глубинах
134
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
jj
j
j
j j
j
T Ф
n T Ф
+ α
− α
∆
θ − θ
∆µ
=
∆
θ − θ
∆µ
; ( ) ( )( ); ( ) ( )j j j j jm n t t+ −= α→β ∆µ = µ −µ ;
( )
1( ) ( )j
j
j
t T−
− µ −
θ =
∆µ
;
( )
1( ) ( )j
j
j
t T+
+ µ −
θ =
∆µ
;
( ) ( )1 1( ) ( )
( )
1
j j
jФ
+ −ν+ ν+θ − θ
θ =
ν +
; ,ν = α β (37)
Величины 0n и 0m находятся аналогично, но принимается
( ) ( )
0 0(0) (0), (0) (1)T T− +µ = µ = . Необходимые для расчета ( , )jF tη со-
гласно (32) величины Сj-1(η) и λj-1(η). определяются подстановками в
(35) и (36): t = tj-1, T = Tj-1 (согласно (33)). В результате находим:
( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) jn
j j j jC C t C t C t −− + −
− − − −
η = µ + µ − µ η , (38)
( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) jm
j j j jt t t −− + −
− − − −
λ η = λ µ + λ µ − λ µ η , (39)
где – nj-1 = γj-1⋅ n , 1j jm m−= γ ⋅ .
5.5. Определение функции Грина.
Задачу (31) решаем приближенно [34]. Преобразовав (31) по Ла-
пласу, получаем:
–
L{ }' '( , , ( )G pη η = δ η−η , ' '(0, , ) (1, , ) 0G p G pη = η = . (40)
Здесь р – параметр Лапласа, черта сверху обозначает функции-
изображения и
–
L 2 ( ) ( )L C p
∂ ∂
= η − λ η ∂η ∂η
.
Приближенное решение (n-е приближение) (40) ищем в виде:
Физика горных процессов на больших глубинах
135
( ) ' '
1
( , , ) ( , ) ( )
n
n
k k
k
G p B p
=
η η = η Ψ η∑ , (41)
где ( )kΨ η - семейство координатных функций ( )( ) (1 ) k
kΨ η = −η η ,
а '( , )kB pη определяются из условий ортогональности операторной
невязки ( ){ } ( ){ }( ) ' ( ) ', , , ,n nG p G pε = η η − η η ко всем координат-
ным функциям: ( ) ( )( ) , 0, 1,n
j j nε Ψ = = . Отсюда следует система из n
алгебраических уравнений относительно n неизвестных – коэффи-
циентов '( , )kB pη :
{ }( ) ( )( )' '
1
( , ) , , , 1,
n
k j k j
k
B p Z j n
=
η Ψ Ψ = Ψ δ η−η =∑ . (42)
Выбор достаточного числа приближений в (41) (т.е. n) обуслов-
лен величиной «крупного» шага τ. С одной стороны, чем τ меньше,
тем больше точность решения. С другой стороны, используемый
метод таков, что при малых τ требуется увеличивать n в (41).
В [34] проведено сравнение приближенных решений рядя задач с
точными их решениями, из которого вытекает, что первое прибли-
жения метода П.В. Цоя удовлетворительно согласуется с точным
решением при τ ≥ τ1 = 0,025 L2/а (а – температуропроводность сре-
ды). Второе приближение практически совпадает с точным решени-
ем при τ2 = 0,0125 L2/ а. Критерием «малости» промежутка времени
τ в теории теплопроводности обычно принимают такое его значение,
для которого можно область х ∈ (0, L) заменить на х ∈ (0, ∝), т.е.
для которого зона термического влияния границы х = 0 не достигает
точки х = L/2. Поскольку для оценки ширины зоны термического
влияния можно использовать формулу ( ) 4 аδ τ = τ [40], то «ма-
лым» следует считать значение τ = τ0 = 0,0156 L2/ а. Т.к. τ2 < τ0, то τ
= τ2 = 0,0125 L2/ а (F0 = а τ2 /L2 = 0,0125) можно считать достаточно
малым, но в то же время и «крупным» шагом, для которого второе
приближение (т.е. n = 2 в (41), (42)) будет достаточным.
Функция Грина во втором приближении:
Физика горных процессов на больших глубинах
136
( ) ( ) ( ) ( ) ( )(2) ' ' '
1 1 2 2, , , ,G p B p B pη η = η Ψ η + η Ψ η (43)
определяется из системы двух уравнений (42). После довольно гро-
моздких вычислений эта система была решена и обратное преобра-
зование Лапласа в (43) дало:
( )(2) ', ,jG tη η =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)' '
111 1 12 2exp expj j j jt N p t N p t− − − − +θ η − + η − Ψ η +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)' '
221 1 22 2exp expj j j jt N p t N p t− − − − +θ η − + η − Ψ η
. (44)
Полученные выражения для ( 1)j
rsN − (r, s = 1, 2; j = 1, N ) и
( )( 1) 1,2jp −
ν ν = не приводим в силу их громоздкости (которая, впро-
чем, при конкретных числовых расчетах на компьютере не сущест-
вена). Таким образом, по найденной функции Грина (44), используя
(32) и (30) можно, последовательно осуществляя шаги j = 1, 2,…., N
найти решение задачи для t ∈ (0, tm].
Выводы
1. Математические модели процессов переноса в теплофизике
геотехносферы преимущественно нелинейны, их построение и ис-
следование – актуальная задача.
2. Классификация моделей как характеризующихся внутренней и
внешней нелинейностью и задач типа Стефана удобна для приклад-
ных исследований. Базисными моделями являются, как наиболее
распространенные, модели с внутренней нелинейностью.
3. Известные методы исследования таких моделей (решение
краевых задач) весьма трудоемки, громоздки и недостаточно (для
многообразия ситуаций в теплофизике геотехносферы) общи. Тре-
буется разработка нового метода.
4. Метод решения задач с внутренней нелинейностью – аналити-
ко-числовой, базирующийся на методах П.В. Цоя и функций Грина
предложен в настоящей работе. Его последующая «компьютериза-
ция» позволит решать широкий круг задач, важных для разработки и
проектирования технологических систем и прогноза их функциони-
рования в штатных и аварийных условиях.
Физика горных процессов на больших глубинах
137
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 1. Введение в анализ парадигмы.– Пре-
принт ДонФТИ.-2002.-1.-Донецк: ДонФТИ им. А.А. Галкина
НАН Украины, 2002.-36с.
2. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 2. Массоперенос в горных массивах.– Пре-
принт ДонФТИ.-2002.-2.-Донецк: ДонФТИ им. А.А. Галкина
НАН Украины, 2002.-104с.
3. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 3. Массоперенос в горных выработках.–
Препринт ДонФТИ.-2002.-3.-Донецк: ДонФТИ им. А.А. Галкина
НАН Украины, 2002.-101с.
4. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 4. Теплоперенос в горных массивах.– Пре-
принт ДонФТИ.-2002.-4.-Донецк: ДонФТИ им. А.А. Галкина
НАН Украины, 2002.-101с.
5. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 5. Теплоперенос в горных выработках.–
Препринт ДонФТИ.-2002.-5.-Донецк: ДонФТИ им. А.А. Галкина
НАН Украины, 2002.-103с.
6. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 6. Процессы переноса при подземных по-
жарах.– Препринт ДонФТИ.-2002.-6.-Донецк: ДонФТИ им. А.А.
Галкина НАН Украины, 2002.-88с.
7. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Мате-
матические модели). 7. Принципы развития парадигмы.– Пре-
принт ДонФТИ.-2002.-7.-Донецк: ДонФТИ им. А.А. Галкина
НАН Украины, 2002.-111с.
8. Черняк В.П., Фиалко Н.М., Меронова Н.О. Об учете нелинейно-
стей при математическом моделировании процессов теплопере-
носа в условиях нагрева горного массива пожарными газами.-
ДАН Украины, сер. А, 1994, №10, с. 67-70.
9. Черняк В.П., Полубинский А.С. Достижения и новые задачи
горной теплофизики.– Промышленная теплотехника, 1997, т. 19,
№№ 2-3, с. 9-19.
Физика горных процессов на больших глубинах
138
10. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Моделирование воздействия
горных пород на нефтегазовые скважины в рамках контактных
задач Стефана.– ИФЖ, 1990, т. 59, № 4, с. 698.
11. Красовицкий Б.А. Динамика оледенения подземного трубопро-
вода.– ИФЖ, 1986, т. 51, № 5, с. 802-809.
12. Хомченко А.Н. Модели конечных элементов для расчетов тем-
пературных полей подземных трубопроводов.– ИФЖ, 1985, т.
49, № 2, с. 321-323.
13. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых
систем.– Пер. с англ.– М.: Недра, 1982.– 407 с.
14. Огибалов П.М. Мирзаджанзаде А.Х. Механика физических про-
цессов.– М.: Изд-во МГУ, 1976.– 370 с.
15. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей
и газов в природных пластах.– М.: Недра, 1984.– 211 с.
16. удовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической тео-
рии теплопроводности в приложении к расчетам температурных
полей в нефтяных пластах при заводнении.– Казань: Изд-во
КГУ,1978.– 188 с.
17. Храмченков М.Г., Старосуд А.М. Математическая модель не-
равновесного вымывания соли в условиях изменяющейся порис-
тости среды без учета продольной дисперсии.– ФТПРПИ, 1989,
№ 2, с. 95-98.
18. Колоколов О.В., Эйшинский А.М., Микенберг А.М. Математи-
ческие алгоритмы термохимической геотехнологии.– Днепро-
петровск: Изд-во ДГУ, 1992.– 216 с.
19. Чистяков В.К., Саламатин А.Н., Фомин С.А., Чугунов В.А. Теп-
ломассоперенос при контактном плавлении (применительно к
условиям теплового бурения).– Казань: Изд-во КГУ, 1984.– 176 с.
20. Галидов В.А., Мамедкеримов В.И. и др. К вопросу распределе-
ния температуры в призабойной зоне скважин при их термохи-
мической обработке.– ИФЖ, 1991, т. 61, № 3, с. 414-421.
21. Аренс В.Ж., Дмитриев А.П., Дядькин Ю.Д. и др. Теплофизиче-
ские аспекты освоения ресурсов недр / Колл. монография.– Л.:
Недра, Л.о., 1988.– 336 с.
22. Базов В.Ф., Филиппов Н.Ф., Образцов А.П., Ицхакин В.Д. Элек-
тротермическое и электротермомеханическое разрушение креп-
ких горных пород.– Киев: Техніка, 1989.– 144 с.
23. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в по-
ристой среде.– М.-Л.: Гостехтеориздат, 1947.– 244 с.
Физика горных процессов на больших глубинах
139
24. Кричевский Р.М. О выделении метана из угольного массива в
подготовительные выработки.– Бюлл. МакНИИ.– Макеевка,
1947, № 16, с. 22-31.
25. Айруни А.Т. Теория и практика борьбы с рудничными газами на
больших глубинах.– М.: Недра, 1981.– 335 с.
26. Фельдман Л.П. Исследование движения и диффузии газовых
смесей в выработанных прострнствах участков угольных шахт
численными методами.– Известия ВУЗов. Горный журнал, 1977,
№ 2, с. 74-81.
27. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана.– Рига: Звайгзне, 1967.–
457 с.
28. Абрамов Ф.А., Фельдман Л.П., Святный В.А. Моделирование
динамических процессов рудничной аэрологии.– Киев: Наукова
думка, 1981, 284 с.
29. Медведев Б.И. К расчету неплотных воздухопроводов с оттоком
воздуха.– В кн.: Разработка месторождений полезных ископае-
мых, вып. 62 / Респ. межвед. сб-к.– Киев: Техніка, 1982, с. 3-9.
30. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопровод-
ности.– М.: Наука, 1975.– 230 с.
31. Колесников П.М. Методы теории переноса в нелинейных сре-
дах.– Минск: Наука и техника, 1981.– 336 с.
32. Михайлов Ю.А., Глазунов Ю.Т. Вариационные методы в теории
нелинейного тепло- и массопереноса.– Рига: Зинатне, 1985.– 190
с.
33. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика.– Киев: Наукова
думка, 1992.– 224 с.
34. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса.– М.: Энер-
гоатомиздат, 1984.– 416 с.
35. Христианович С.А., Коваленко Ю.Ф. Об измерении давления
газа в угольных пластах.– ФТПРПИ, 1988, № 3, с. 3-24.
36. Малышев Ю.Н., Трубецкой К.Н., Айруни А.Т. Фундаментально-
прикладные методы решения проблемы метана угольных пла-
стов.– М.: Изд-во Академии горных наук, 2000.– 519 с.
37. Алексеев А.Д., Фельдман Э.П., Василенко Т.А. и др. Массопере-
нос метана в угле, обусловленный совместной фильтрацией и
диффузией.– ФТВД, 2004, т. 14, № 3, с. 107-118.
38. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической функции.–
М.: Наука, 1973.– 408 с.
Физика горных процессов на больших глубинах
140
39. Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой механике.–
М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1931.– 147 с.
40. Венгеров И.Р. Хроноартефакты термодинамики.– Донецк: Норд-
Пресс, 2005.– 236 с.
41. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса.–
М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.
42. Лыков А.В. Теория теплопроводности.– М.: Высшая школа,
1967.– 600 с.
43. Райченко А.И. Математическая теория диффузии в приложени-
ях.– Киев: Наукова думка, 1981.– 396 с.
44. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.– Изд-е 3-е.–
М.: Наука, 1976.– 528 с.
|