Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра

На основе метода Галеркина разработан численный алгоритм расчета спектра осесимметричных электромагнитных колебаний объемных резонаторов в виде тел вращения с идеально проводящей граничной поверхностью. Рассмотрены вопросы устойчивости и сходимости алгоритма при увеличении числа базисных функций мет...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Попков, А.Ю., Поединчук, А.Е., Кузьмичев, И.К.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2008
Schlagworte:	Электродинамика СВЧ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10794
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра / А.Ю. Попков, А.Е. Поединчук, И.К. Кузьмичев // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 3. — С. 473-480. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859813726653251584
author	Попков, А.Ю. Поединчук, А.Е. Кузьмичев, И.К.
author_facet	Попков, А.Ю. Поединчук, А.Е. Кузьмичев, И.К.
citation_txt	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра / А.Ю. Попков, А.Е. Поединчук, И.К. Кузьмичев // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 3. — С. 473-480. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	На основе метода Галеркина разработан численный алгоритм расчета спектра осесимметричных электромагнитных колебаний объемных резонаторов в виде тел вращения с идеально проводящей граничной поверхностью. Рассмотрены вопросы устойчивости и сходимости алгоритма при увеличении числа базисных функций метода Галеркина. Общие возможности алгоритма проанализированы на примере сферического резонатора. Исследованы спектры собственных частот резонаторов, границы которых образованы сферической, конической и цилиндрической поверхностями. Обнаружены собственные колебания, аналогичные по своей структуре колебаниям типа «прыгающего мячика», квазиоптических открытых двухзеркальных резонаторов со сферическими зеркалами. На основі метода Галеркіна розроблено чисельний алгоритм розрахунку спектра вісесиметричних електромагнітних коливань об’ємних резонаторів у вигляді тіл обертання з ідеально провідною граничною поверхнею. Розглянуто питання стійкості та збіжності алгоритму при збільшенні числа базисних функцій методу Галеркіна. Загальні можливості алгоритму проаналізовані на прикладі сферичного резонатора. Дослідженно спектри власних частот резонаторів, межі яких утворені сферичною, конічною та циліндричною поверхнями. Знайдені власні коливання, аналогічні за своєю структурою коливанням типу «м’ячика, що стрибає», квазіоптичних відкритих дводзеркальних резонаторів зі сферичними дзеркалами. Bubnov-Galerkin method is applied for calculation axially symmetrical types of electromagnetic field oscillations for cavity rotational symmetry resonators with infinite conductivity boundaries. The problems of algorithm convergence and stability when the number of the basics functions in Bubnov-Galerkin method increases are considered. The general algorithm abilities is analyzed with spherical shape resonator. The eigen-frequency spectrums for resonators constructed by spherical, cone and cylindrical shaped surfaces is examined. The oscillations with existence of caustic which is typical for quasi-optical resonators with spherical shaped reflectors are found.
first_indexed	2025-12-07T15:21:24Z
format	Article
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 13, № 3, 2008, с. 473-480 ИРЭ НАН Украины, 2008 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЧ УДК 537.8:621.372.413 ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ В ВИДЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ: ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СПЕКТРА А. Ю. Попков, А. Е. Поединчук, И. К. Кузьмичев Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: lytc@yandex.ru На основе метода Галеркина разработан численный алгоритм расчета спектра осесимметричных электромагнитных ко- лебаний объемных резонаторов в виде тел вращения с идеально проводящей граничной поверхностью. Рассмотрены вопросы ус- тойчивости и сходимости алгоритма при увеличении числа базисных функций метода Галеркина. Общие возможности алгоритма проанализированы на примере сферического резонатора. Исследованы спектры собственных частот резонаторов, границы которых образованы сферической, конической и цилиндрической поверхностями. Обнаружены собственные колебания, аналогичные по своей структуре колебаниям типа «прыгающего мячика», квазиоптических открытых двухзеркальных резонаторов со сферически- ми зеркалами. Ил. 6. Табл. 1. Библиогр.: 9 назв. Ключевые слова: объемные резонаторы, расчет спектра. В работе [1] описан полусферический от- крытый резонатор (ОР), в центре плоского зерка- ла которого расположен отрезок сверхразмерного круглого волновода. В такой открытой электро- динамической системе могут возбуждаться акси- ально-симметричные типы колебаний. Экспери- ментально показано, что в диапазоне перестройки порядка длины волны в таком резонаторе суще- ствует только одно колебание. По этой причине такая резонансная система может найти широкое применение в различных приборах и устройствах мм и субмм диапазонов длин волн. В частности, она может быть использована для измерения электрофизических свойств веществ с большими потерями. В этом случае при расположении ис- следуемого образца вдоль оси отрезка сверхраз- мерного круглого волновода ослабляется его связь с полем, что и позволяет производить необ- ходимые измерения. Кроме этого, устраняется неоднозначность в определении резонансной час- тоты ОР с образцом. С другой стороны, резо- нансные системы подобного типа могут найти применение при создании накопителей СВЧ мощности в мм диапазоне длин волн. Вместе с тем на практике ОР такого типа часто необходимо помещать в металлические оболочки. Поэтому вопрос о спектре резонансных частот такой открытой электродинамической сис- темы остается открытым. Представляет также определенный практический интерес изучение структуры полей различных типов колебаний в такой резонансной системе. Рассмотрению этих вопросов и посвящена работа. 1. Постановка задачи. Рассматривается объемный резонатор в виде тела вращения с иде- ально проводящей граничной поверхностью. Ре- зонатор заполнен однородной изотропной средой с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями  и  соответственно. Вве- дем цилиндрическую систему координат ),,( zr  с осью ,z совпадающей с осью симметрии резо- натора. Тогда граничная поверхность резонатора может быть задана уравнениями .20,sin)( ;0,cos)(     zby lzzbx (1) Здесь ),,( zyx – декартовы координаты; )(zb – образующая граничной поверхности, ко- торая является кусочно-дифференцируемой функцией на интервале lz 0 , где l – длина резонатора вдоль оси z (см. рис. 1). a1 a2 0 r z l R h H b(z) Рис. 1. Геометрия резонатора mailto:lytc@yandex.ru А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 474 Задача о собственных частотах и собст- венных колебаниях электромагнитного поля ре- зонатора состоит в определении значений частот  , при которых существуют нетривиальные ре- шения однородных уравнений Максвелла, удов- летворяющие условию равенства нулю тангенци- альных составляющих электрического поля на граничной поверхности резонатора и условию Мейкснера [2] в окрестности ребер граничной поверхности (если такие имеются). В дальнейшем ограничимся осесиммет- ричными колебаниями, а именно: будем предпо- лагать, что напряженности электрических и маг- нитных полей не зависят от азимутального угла             0,0   HE . В этом случае уравнения Максвелла сводятся к двум независимым систе- мам уравнений                                             , 1 , , ; 1 , , z zr r z zr r E c irH rr H c iE r E z E c iH z H c irE rr E c iH r H z H c iE z                   (2) где c – скорость света в вакууме. Системы урав- нений (2) описывают колебания H-типа ,0( E )0H и колебания E-типа )0,0(   EH . Ограничимся рассмотрением колебаний H-типа (аналогично могут быть рассмотрены колебания E-типа). Легко показать, что в этом случае исход- ная граничная задача о собственных колебаниях H-типа эквивалентна нахождению волновых чи- сел   c k  , при которых существуют нетри- виальные решения уравнения 0 1 2 2        U r kUrz (3) в области )}(0,0:),{( zbrlzzr  и удовле- творяют граничным условиям .0)),((,0),0(  zzbUzU (4) Здесь 2 2 2 2 1 zrrr rz          – двумер- ный оператор Лапласа. Как известно [3, 4], существует множест- во   1nnk значений волнового числа ,k при ко- торых задача (3), (4) имеет нетривиальные реше- ния .nU Собственные частоты и собственные колебания могут быть определены по формулам ).( 1 ; ;, )( )( )( n n n z n n n r n n nn rU rri c H z U i c H UE c k             (5) 2. Численный алгоритм. Численный алгоритм решения задачи (3), (4) основан на ме- тоде Галеркина [4], основная идея которого со- стоит в следующем. Пусть  1),( nn zr – некото- рая известная система функций, удовлетворяю- щих граничным условиям (4). Предположим, что эта система функций полна в области )}(0,0:),{( zbzlzzrD  , где )(zb – об- разующая граничной поверхности резонатора. Пусть k и ),( zrU соответственно собст- венное волновое число и собственная функция задачи (3), (4). Тогда, в силу полноты системы функций  1),( nn zr , задача (3), (4) эквивалентна следующей цепочке проекционных соотношений:   ....,2,1 ,0),( 0 )( 0 2    n rdzzrUkLUdz n l zb  (6) Здесь через 2 1 r L rz  обозначен дифференциальный оператор, порожденный за- дачей (3), (4). В соответствии с методом Галеркина приближенное решение задачи (6) будем искать в виде    N n nn zrczrU 1 ).,(),(  (7) Подставляя (7) в (6), приходим к алгеб- раической задаче на собственные значения ,0 2  BCAC k (8) где N nnc 1)( C – вектор-столбец искомых коэффи- циентов (см. (7)), N nmmna 1, A , N nmmnb 1, B – матрицы с матричными элементами, задаваемыми по формулам А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 475 ; 0 )( 0 2 rdr r dza l zb mn mnmn            (9) . 0 )( 0   l zb mnmn rdrdzb  (10) Таким образом, исходная задача (3), (4) сводится к поиску тех значений волнового числа ,k при которых существуют нетривиальные ре- шения уравнения (8). Эффективное, с вычислительной точки зрения, решение задачи (8), а, следовательно, и задачи (3), (4), предполагает: во-первых, выбор добстаточно простой базисной системы функций  1),( nn zr , удовлетворяющих граничным усло- виям (4), и, во-вторых, вычисление матричных элементов (4), (10) с гарантированной точностью. В качестве базисных функций  1),( nn zr выбе- рем систему функций, по-видимому, впервые предложенную в [5] ,sin )( )(),( 1 1 z l m r zb Jzbzr p n             (11) где         r zb J p )( 1  – функция Бесселя первого поряд- ка; ),( mpn  ; ...,2,1, mp ; p – p -й корень функции Бесселя   01 pJ  . Функции из (11) удовлетворяют граничным условиям (4). Кроме того, можно показать (см., например, [6]), что эта система функций обладает свойством сильной ми- нимальности в энергетическом пространстве, по- рождаемом дифференциальным оператором в (6). Это свойство системы функций (11) гарантирует устойчивость численного алгоритма решения уравнения (8) по отношению к погрешности в рас- чете матричных элементов (9) и (10). Подставляя (11) в (9) и (10), после ряда преобразований получаем ___________________________________________                                                                 ;,sincossincos sinsin2 )( )(4 ,,sinsin 3 1 2 2 )( 0 2 22 22 0 22 0 0 22 2 2 0 2 ppdxxmmxmmxxmm a a xmmx a a J J ppxdxmmx a l a a mm l J a pp pp ppp ppp pmm ppp mm             (12) ,...,,2,1,,...,,2,1,, 2 )(2 0 PppMmm lJ b ppmm ppp mm       (13) ___________________________________________ где         lx bxa )( ; точка обозначает операцию дифференцирования; mm  – символ Кронекера. Используя полученные представления для матричных элементов (12), (13), можно пред- ставить (8) в следующей векторной форме: ....,,2,1,0 1 2 PpkC P p ppppp     CBAC (14) Здесь   Ppc M m p m p ,...,2,1, 1   C – неиз- вестные вектор-столбцы; BA ,pp  – квадратные матрицы порядка ,M матричные элементы кото- рых имеют вид ___________________________________________                                                                  ;,sincossincos sinsin2 )( 4 ,,sinsin 3 1 0 2 22 22 0 22 0 0 222 ppdxxmmxmmxxmm a a xmmx a a Jmm J ppdxxmmx a l a a mm a pp pp ppp ppp p pp mm            (15) , mm b mmpp mm      (16) А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 476 где  kl k  – нормированное волновое число. Таким образом, если k и ,p C Pp ,...,2,1 – решение уравнения (14), то при- ближенное решение задачи (3), (4) можно пред- ставить в виде .sin )( )( ),( 1 1 1 1 z l m r zb Jzbc zrU p P p M m p m                (17) На основании метода Галеркина можно утверждать, что при увеличении P и M решение задачи (14) стремится к реше- нию задачи (3), (4). Покажем теперь, что уравнения (14) яв- ляются хорошо известной обобщенной задачей на собственные значения и собственные векторы матриц конечного порядка. С этой целью введем матрицы A€ , B€ и вектор-столбец C€ по форму- лам ,€, 00 00 00 € ,€ 2 1 21 22211 11211 P PPPP P P C C C C B B B B AIAA AAIA AAAI A               где I – единичная матрица порядка ,M а PP A и B – квадратные матрицы порядка M (см. (15), (16)). В этих обозначениях (14) принимает вид .0€€€€ 2  CBCA k (18) Следовательно, уравнение (18) является обобщенной задачей на собственные значения 2k и собственные векторы C€ пары матриц конечно- го порядка .MP  Матричные элементы этих матриц могут быть вычислены по формулам (15), (16) с помо- щью соответствующих квадратурных формул. Как следует из (15), эти матричные элементы являются интегралами от быстро осциллирующих функций. Поэтому при их расчетах использовались специа- лизированные квадратурные формулы Филона [7]. Заметим, что матрицы M mm pp mm pp a 1,     A обла- дают свойствами симметрии, а именно: pp mm pp mm aa   и pp mm p ppp mm a J J a      )( )( 0 0   . Учет этих свойств позволяет сократить время расчета мат- ричных элементов матриц pp  A . Численное решение уравнения (18) мо- жет быть проведено стандартными методами [8]. К сожалению, получить оценку скорости сходи- мости ),(  MP приближенных волно- вых чисел к точным в общем случае )(( zb – дос- таточно произвольная функция) невозможно. По- этому при исследовании сходимости и устойчи- вости алгоритма определяющее значение имеет численный эксперимент. Прежде чем излагать результаты числен- ного эксперимента, отметим следующее. Пусть образующая граничной поверхности резонатора функция )(zb является постоянной величиной. Тогда легко показать, что из (15), (16) и (18) пря- мым вычислением получается явная формула для собственных волновых чисел задачи (3), (4) ,...,2,1,, 2 2 2 2  mp bl m k p mn  (19) которые соответствуют осесимметричным коле- баниям H -типа цилиндрического резонатора кру- говой формы с радиусом b и длиной l . Следова- тельно, в этом случае численный алгоритм (15)- (18) позволяет определять собственные волновые числа с точностью расчета корней p функции Бесселя ).(1 xJ Очевидно, это справедливо и при выполнении следующего условия на функ- цию :)(zb .0,1 )( )( lz zb zb   (20) Исследование сходимости и устойчиво- сти численного алгоритма при изменении коли- чества базисных функций (см. (17)) проверялось на примере резонатора сферической формы. Вы- бор такого резонатора обусловлен двумя причина- ми. Во-первых, собственные волновые числа осе- симметричных колебаний H -типа ),,( zr HHE такого резонатора могут быть вычислены с га- рантированной точностью, как корни функции Бесселя полуцелого индекса. Во-вторых, функ- ция ,)2()( zRzzb  ,20 Rz  является об- разующей сферического резонатора R( – ради- ус резонатора), и следовательно, отношение )2()( )( zRz zR zb zb     неограниченно возрастает при 0z и .2Rz  Поэтому этот резонатор, с гео- метрической точки зрения, существенно отлича- ется от цилиндрического резонатора, для которо- го алгоритм дает точный результат. Результаты расчета для сферического резонатора при различных наборах базисных функций (11) приведены на рис. 2 ( kR 4,4936 – кривая 1, kR 9,3612 – кривая 2, kR 15,0972 – кривая 3). Точные значения собственных волно- вых чисел, нормированных на радиус R резона- А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 477 тора, показаны горизонтальными пунктирными линиями. Треугольными метками изображены приближенные собственные волновые числа, полученные при решении уравнения (18) для 4P и нескольких значений параметра ,10M 60,...,20 . 0 10 20 30 40 50 4 6 8 10 12 14 M kR 5 7 9 11 16 15 1 2 3 Рис. 2. Сходимость алгоритма при вычислении собственных чисел на примере сферы С ростом параметра M прибли- женные значения волновых чисел монотонно убывают и стремятся к точным значениям. Сле- дует отметить, что такое поведение приближен- ных волновых чисел при увеличении числа ба- зисных функций характерно для вариационных методов расчета собственных чисел [4]: предло- женный алгоритм дает для собственных волно- вых чисел приближение с избытком. В таблице приведены некоторые собст- венные волновые числа сферического резонатора и их приближенные значения, полученные при )50,4(  MP . Колебания H01q для сферы М = 50, Р = 4 q Точная формула kR Расчет kR 1 4,493409 4,493583 2 5,763459 5,763985 3 6,987932 6,989512 4 8,182561 8,185459 5 9,355812 9,361185 6 10,512835 10,521794 7 11,657032 11,671593 8 12,790782 12,813638 9 13,915823 13,951820 10 15,033469 15,097158 Максимальная относительная погреш- ность не превосходит 0,5 %. Анализ результатов численного эксперимента показал, что в случае осесимметричных колебаний с малым числом вариаций по радиусу для расчета собственных волновых чисел с относительной погрешностью, не превышающей 1 % достаточно выбрать пара- метр  kRM 3 , где  kR – целая часть собствен- ного волнового числа kR . Наряду с собственными волновыми числами проводился расчет соответствующих им собственных векторов Ppc M m p m ,...,2,1,)( 1  (см. (17)). Для вычисления собственных векторов использовался алгоритм обратных итераций [8]. Результаты расчетов приведены на рис. 3, 4. В качестве критерия точности вычисления собст- венных векторов использовалась квадратичная норма , )( )10()( )( 1 1 2 1 1 2         P p M m p m P p M m p m p m Mc McMc M (21) где Ppc M m p m ,...,2,1,)( 1  – собственные векторы, полученные при фиксированном значении пара- метра P и меняющемся значении параметра M . Для трех приближенных значений собственных волновых чисел на рис. 3 показаны типичные за- висимости величины )(M как функции парамет- ра M ( kR 4,4936 – кривая 1; kR 9,3612 – кри- вая 2; kR 15,0972 – кривая 3). Как видно, с рос- том M функция )(M монотонно убывает и уже при 50M величина )(M не превосходит 10 -2 . 20 30 40 50 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 M  (M) 3 2 1 Рис. 3. Сходимость алгоритма при вычислении собственных векторов на примере сферы На рис. 4 изображены линии постоян- ных значений собственных электрических полей ( E – компонента) в плоскости const, отве- чающие этим собственным векторам (см. (17)). Поскольку собственные векторы могут быть определены с точностью до постоянного множи- А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 478 теля, то было использовано условие нормировки      P p M m p mc 1 1 2 1 . Отметим, что распределение полей собственных колебаний, приведенные на рис. 4, достаточно хорошо совпадают с соответствующи- ми распределениями, полученными при строгом решении задачи о собственных колебаниях сфери- ческого резонатора. Расчет проведен для тех же собственных волновых чисел, что и на рис. 3. _____________________________________________________ Рис. 4. Примеры распределения полей для сферы ___________________________________________ Таким образом, результаты численного эксперимента убедительно свидетельствуют об устойчивости и сходимости предложенного алго- ритма для расчета как собственных волновых чи- сел, так и отвечающих им собственных колебаний. С помощью разработанного алгоритма было проведено исследование спектра собствен- ных частот объемных резонаторов, границы кото- рых образованы тремя типами поверхностей: сфе- рической, конической и цилиндрической (см. рис. 1). Геометрические параметры резонатора были выбраны такими же, как в работе [1]: радиус кривизны и апертура сферического зеркала соот- ветственно R 39 мм и 12a 38 мм; радиус и длина цилиндрической части граничной поверхно- сти соответственно 2a 9 мм и h 12,5 мм. Резо- нансная длина волны резонатора изменялась в пределах 96   l , где l – длина резонатора вдоль оси симметрии (ось z0 ). На рис. 5 для рас- сматриваемого диапазона длин волн показаны линии равных амплитуд E компоненты элек- трического поля некоторых аксиально- симметричных собственных колебаний. Как вид- но, все колебания имеют довольно сложную структуру поля. Анализ численных результатов показал, что в рассматриваемом резонаторе суще- ствуют колебания, которые можно идентифици- ровать как колебания типа «прыгающего мячика» с собственными волновыми числами n kl   , где n – целое положительное число. Так, в указанном выше диапазоне длин волн это колебания с kl 49,713 и kl 52,785. Для формирования этих колебаний основную роль играют сферическая и цилиндрическая части граничной поверхности, а ее коническая часть находится в области экспо- ненциально слабого поля. С увеличением волно- вого числа kl поле таких колебаний все более локализуется в окрестности оси симметрии резо- натора. Такие свойства собственных колебаний позволяют сделать вывод о возможности сущест- вования их и в соответствующем открытом резо- наторе (отсутствует коническая часть граничной поверхности). Этот вывод хорошо согласуется с результатами работы [1], где экспериментально показано, что в таком открытом резонаторе воз- можно возбуждение аксиально-симметричных колебаний, которые близки по своей структуре колебаниям типа «прыгающего мячика». В этой связи было проведено сравнение результатов экспериментальных измерений и ре- зультатов расчетов с помощью разработанного алгоритма для резонатора, геометрия которого показана на рис. 1. На рис. 6 приведена расчетная зависимость резонансной частоты f от длины l резонатора для колебания с 16  kl (сплошная линия). Здесь же показана экспериментальная зависимость  lФf  треугольными метками. В эксперименте резонатор имел те же геометри- ческие размеры. Отличие состояло лишь в том, что в нем отсутствовала коническая часть гра- ничной поверхности (на рис. 5 она обозначена пунктирной линией). Как видно из рис. 6, наблю- дается удовлетворительное совпадение (различие составляет менее 1 %) расчетных и эксперимен- тальных значений частоты во всем диапазоне пе- рестройки резонатора по длине. kR = 4,493 kR = 9,356 kR = 15,033 А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 479 Рис. 5. Примеры распределения полей в исследуемом резонаторе __________________________________________ f, Г Г ц 33 34 35 36 37 68 70 72 74 76 l, мм Рис. 6. Зависимость резонансной частоты от длины резона- тора Выводы. Разработан численный алго- ритм для расчета спектра собственных частот и осесимметричных колебаний объемных резона- торов в виде тел вращения с идеально проводя- щей граничной поверхностью. Рассмотрены во- просы устойчивости и сходимости этого алго- ритма при увеличении числа базисных функций. Общие возможности численного алгоритма и основные особенности его реализации проиллю- стрированы на примере объемного резонатора сферической формы. Предложенный алгоритм был использован для исследования спектра соб- ственных частот объемного резонатора, граница которого образована сферической, конической и цилиндрической поверхностями. С помощью численных экспериментов обнаружены собст- венные колебания типа «прыгающего мячика», для которых коническая часть граничной по- верхности находится в области экспоненциально слабого поля. Это дает определенную основу для применения разработанного численного алго- ритма при расчете собственных частот некото- рых классов открытых резонаторов в виде тел вращения, в которых основным механизмом воз- буждения высокодобротных колебаний является образование внешних каустик (бочкообразные, двухзеркальные открытые резонаторы и т. п.). 1. Kuzmichev I. K., Melezhik P. N. and Poedinchuk A. Ye. An open resonator for physical studies // International Journal jf Infrared and Millimeter Waves. – 2006. – 27, No. 6. – P. 857-869. 2. Mexiner J. The behavior of electromagnetic fields at edges // IEEE Trans. – 1972. – V. AP-20, No. 7. – P. 442-446. 10 10 10 10 10 10 А. Ю. Попков и др. / Объемные резонаторы в виде… _________________________________________________________________________________________________________________ 480 3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физи- ки: в 2-х т. – М.: Гостехиздат, 1951. – Т. 1. – 476 с. 4. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физи- ки: в 2-х т. – М.: Гостехиздат, 1951. – Т. 2. – 544 с. 5. Канторович Л. В. Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. – Л.: Физматтиз, 1962. – 708 c. 6. Слепян Г. Я. К расчету собственных электромагнитных колебаний тел вращения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1977. – 17, № 3. – С. 776-780. 7. Ильинский А. С., Слепян Г. Я. Колебания и волны в элек- тродинамических системах с потерями. – М.: Изд-во МГУ, 1983. – 232 с. 8. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. – М.: Наука, 1970. – 832 с. 9. Уилксон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970. – 564 с. THE COMPLEX SHAPED CAVITY AXIALLY SYMMETRIC RESONATORS. THE NUMERICAL ALGORITHM FOR EIGENFREQUENCY SPECTRUM CALCULATION A. Y. Popkov, A. Ye. Poedinchuk, I. K. Kuzmichev Bubnov-Galerkin method is applied for calculation axially symmetrical types of electromagnetic field oscillations for cavity rotational symmetry resonators with infinite conduc- tivity boundaries. The problems of algorithm convergence and stability when the number of the basics functions in Bubnov- Galerkin method increases are considered. The general algorithm abilities is analyzed with spherical shape resonator. The eigen- frequency spectrums for resonators constructed by spherical, cone and cylindrical shaped surfaces is examined. The oscilla- tions with existence of caustic which is typical for quasi-optical resonators with spherical shaped reflectors are found. Key words: cavity resonators, eigenfrequency spec- trum. ОБ’ЄМНІ РЕЗОНАТОРИ У ВИГЛЯДІ ТІЛ ОБЕРТАННЯ СКЛАДНОЇ ФОРМИ: ЧИСЕЛЬНИЙ АЛГОРИТМ РОЗРАХУНКУ СПЕКТРА О. Ю. Попков, А. Є. Поєдинчук, І. К. Кузьмичов На основі метода Галеркіна розроблено чисельний алгоритм розрахунку спектра вісесиметричних електромаг- нітних коливань об’ємних резонаторів у вигляді тіл обер- тання з ідеально провідною граничною поверхнею. Розгля- нуто питання стійкості та збіжності алгоритму при збіль- шенні числа базисних функцій методу Галеркіна. Загальні можливості алгоритму проаналізовані на прикладі сферич- ного резонатора. Дослідженно спектри власних частот резо- наторів, межі яких утворені сферичною, конічною та цилін- дричною поверхнями. Знайдені власні коливання, аналогічні за своєю структурою коливанням типу «м’ячика, що стри- бає», квазіоптичних відкритих дводзеркальних резонаторів зі сферичними дзеркалами. Ключові слова: об’ємні резонатори, розрахунок спектра. Рукопись поступила 5 августа 2008 г.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10794
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:21:24Z
publishDate	2008
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Попков, А.Ю. Поединчук, А.Е. Кузьмичев, И.К. 2010-08-06T15:31:40Z 2010-08-06T15:31:40Z 2008 Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра / А.Ю. Попков, А.Е. Поединчук, И.К. Кузьмичев // Радіофізика та електроніка. — 2008. — Т. 13, № 3. — С. 473-480. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10794 537.8:621.372.413 На основе метода Галеркина разработан численный алгоритм расчета спектра осесимметричных электромагнитных колебаний объемных резонаторов в виде тел вращения с идеально проводящей граничной поверхностью. Рассмотрены вопросы устойчивости и сходимости алгоритма при увеличении числа базисных функций метода Галеркина. Общие возможности алгоритма проанализированы на примере сферического резонатора. Исследованы спектры собственных частот резонаторов, границы которых образованы сферической, конической и цилиндрической поверхностями. Обнаружены собственные колебания, аналогичные по своей структуре колебаниям типа «прыгающего мячика», квазиоптических открытых двухзеркальных резонаторов со сферическими зеркалами. На основі метода Галеркіна розроблено чисельний алгоритм розрахунку спектра вісесиметричних електромагнітних коливань об’ємних резонаторів у вигляді тіл обертання з ідеально провідною граничною поверхнею. Розглянуто питання стійкості та збіжності алгоритму при збільшенні числа базисних функцій методу Галеркіна. Загальні можливості алгоритму проаналізовані на прикладі сферичного резонатора. Дослідженно спектри власних частот резонаторів, межі яких утворені сферичною, конічною та циліндричною поверхнями. Знайдені власні коливання, аналогічні за своєю структурою коливанням типу «м’ячика, що стрибає», квазіоптичних відкритих дводзеркальних резонаторів зі сферичними дзеркалами. Bubnov-Galerkin method is applied for calculation axially symmetrical types of electromagnetic field oscillations for cavity rotational symmetry resonators with infinite conductivity boundaries. The problems of algorithm convergence and stability when the number of the basics functions in Bubnov-Galerkin method increases are considered. The general algorithm abilities is analyzed with spherical shape resonator. The eigen-frequency spectrums for resonators constructed by spherical, cone and cylindrical shaped surfaces is examined. The oscillations with existence of caustic which is typical for quasi-optical resonators with spherical shaped reflectors are found. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Электродинамика СВЧ Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра Об’ємні резонатори у вигляді тіл обертання складної форми: чисельний алгоритм розрахунку спектра The complex shaped cavity axially symmetric resonators. the numerical algorithm for eigenfrequency spectrum calculation Article published earlier
spellingShingle	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра Попков, А.Ю. Поединчук, А.Е. Кузьмичев, И.К. Электродинамика СВЧ
title	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра
title_alt	Об’ємні резонатори у вигляді тіл обертання складної форми: чисельний алгоритм розрахунку спектра The complex shaped cavity axially symmetric resonators. the numerical algorithm for eigenfrequency spectrum calculation
title_full	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра
title_fullStr	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра
title_full_unstemmed	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра
title_short	Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра
title_sort	объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра
topic	Электродинамика СВЧ
topic_facet	Электродинамика СВЧ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10794
work_keys_str_mv	AT popkovaû obʺemnyerezonatoryvvidetelvraŝeniâsložnoiformyčislennyialgoritmrasčetaspektra AT poedinčukae obʺemnyerezonatoryvvidetelvraŝeniâsložnoiformyčislennyialgoritmrasčetaspektra AT kuzʹmičevik obʺemnyerezonatoryvvidetelvraŝeniâsložnoiformyčislennyialgoritmrasčetaspektra AT popkovaû obêmnírezonatoriuviglâdítílobertannâskladnoíformičiselʹniialgoritmrozrahunkuspektra AT poedinčukae obêmnírezonatoriuviglâdítílobertannâskladnoíformičiselʹniialgoritmrozrahunkuspektra AT kuzʹmičevik obêmnírezonatoriuviglâdítílobertannâskladnoíformičiselʹniialgoritmrozrahunkuspektra AT popkovaû thecomplexshapedcavityaxiallysymmetricresonatorsthenumericalalgorithmforeigenfrequencyspectrumcalculation AT poedinčukae thecomplexshapedcavityaxiallysymmetricresonatorsthenumericalalgorithmforeigenfrequencyspectrumcalculation AT kuzʹmičevik thecomplexshapedcavityaxiallysymmetricresonatorsthenumericalalgorithmforeigenfrequencyspectrumcalculation

Объемные резонаторы в виде тел вращения сложной формы: численный алгоритм расчета спектра

Institution

Ähnliche Einträge