Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів

Досліджується точність та спроможність чисельних алгоритмів, розроблених на базі методу геометричної та фізичної оптики (ГО/ФО) та методу кінцевих різностей у часовій області (FDTD) щодо точного опису електромагнітних властивостей двовимірних напівеліптичних діелектричних лінз з невеликими хвильовим...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Authors:	Борискін, А.В., Годі, Г., Ролланд, А., Соло, Р., Носич, О.Й.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2007
Subjects:	Электродинамика СВЧ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10813
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів / А.В. Борискін, Г. Годі, А. Ролланд, Р. Соло, О.Й. Носич // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 306-318. — Бібліогр.: 41 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859768709892014080
author	Борискін, А.В. Годі, Г. Ролланд, А. Соло, Р. Носич, О.Й.
author_facet	Борискін, А.В. Годі, Г. Ролланд, А. Соло, Р. Носич, О.Й.
citation_txt	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів / А.В. Борискін, Г. Годі, А. Ролланд, Р. Соло, О.Й. Носич // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 306-318. — Бібліогр.: 41 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	Досліджується точність та спроможність чисельних алгоритмів, розроблених на базі методу геометричної та фізичної оптики (ГО/ФО) та методу кінцевих різностей у часовій області (FDTD) щодо точного опису електромагнітних властивостей двовимірних напівеліптичних діелектричних лінз з невеликими хвильовими розмірами, що є ключовими елементами сучасних компактних діелектричних лінзових антен (ДЛА) для систем мілімітрового та субмілімітрового діапазонів довжин хвиль. У якості еталонного методу використовується метод граничних рівнянь типа Мюллера (ГІРМ), що забезпечує контрольовану точність чисельного розв?язку задачі дифракції електромагнітної хвилі на діелектричному циліндрі довільного поперечного перетину. Чисельні результати отримані для обох поляризацій і стосуються характеристик фокусування та формування хвильового пучка напівеліптичними діелектричними лінзами, виготовленими із рексоліту, кварцу та силікону. При аналізі особлива увага приділена резонансним явищам у середині лінзи. Исследуются точность и применимость численных алгоритмов, основанных на методах геометрической и физической оптики (ГО/ФО), методе конечных разностей во временной области (FDTD) для анализа электромагнитных свойств двумерных полуэллиптических линз с небольшими волновыми размерами, которые являются ключевыми элементами современных интегрированных линзовых антенн в системах мм и субмм диапазона длин волн. Эталонное решение получено методом граничных интегральных уравнений типа Мюллера, которые обеспечивают контролируемую точность численного решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения. Численные результаты получены для обеих поляризаций и касаются характеристик полей в ближней и дальней зонах полуэллиптических линз, изготовленных из рексолита, кварца и силикона. При анализе особое внимание уделяется резонансным явлениям в середине линзы. The aim of the paper is to assess the accuracy and relevance of numerical algorithms based on FDTD and a combination of Geometrical and Physical Optics (GO/PO) principles for the analysis of reduced-size dielectric lenses used in integrated antennas for mm and sub-mm wave applications. As a benchmark solution, we use the Muller?s boundary integral equations (IE) discretized with the trigonometric Galerkin scheme that has guaranteed and fast convergence as well as controllable accuracy. The lens cross-section is chosen typical for practical applications, namely an extended hemiellipse whose eccentricity satisfies the GO focusing condition. The analysis concerns homogeneous lenses made of rexolite, quartz, and silicon with a cross-section size varying between 3 and 20 wavelengths in free space. We consider the problem in 2-D formulation. The lens is excited by either a plane wave or a line current in receiving or emitting modes, respectively. Both E- and H-polarizations are considered. The comparison characteristics are extracted from both near- and far-field analysis.
first_indexed	2025-12-02T06:14:47Z
format	Article
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 12, №2, 2007, с. 306-318 © ИРЭ НАН Украины,2007 УДК 621.396.677.73 ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ ЧИСЕЛЬНИХ АЛГОРИТМІВ НА БАЗІ ГО/ФО, FDTD ТА ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДЛЯ АНАЛІЗУ КОМПАКТНИХ ДІЕЛЕКТРИЧНИХ ЛІНЗ ДЛЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ АНТЕН МІЛІМЕТРОВОГО ТА СУБМІЛІМЕТРОВОГО ДІАПАЗОНІВ А. В. Борискін, Г. Годі * , А. Ролланд * , Р. Соло * , О. Й. Носич Інститут радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України 12, вул. Ак. Проскури, Харків, 61085, Україна Е-mail: a_boriskin@yahoo.com * Інститут електроніки та телекомунікацій університету м. Рен 1, Франція IETR, University of Rennes 1, Campus de Beaulieu, bat 11D, 35042 Rennes Cedex, France Досліджується точність та спроможність чисельних алгоритмів, розроблених на базі методу геометричної та фізичної оп- тики (ГО/ФО) та методу кінцевих різностей у часовій області (FDTD) щодо точного опису електромагнітних властивостей двовимі- рних напівеліптичних діелектричних лінз з невеликими хвильовими розмірами, що є ключовими елементами сучасних компактних діелектричних лінзових антен (ДЛА) для систем мілімітрового та субмілімітрового діапазонів довжин хвиль. У якості еталонного методу використовується метод граничних рівнянь типа Мюллера (ГІРМ), що забезпечує контрольовану точність чисельного розв‟язку задачі дифракції електромагнітної хвилі на діелектричному циліндрі довільного поперечного перетину. Чисельні резуль- тати отримані для обох поляризацій і стосуються характеристик фокусування та формування хвильового пучка напівеліптичними діелектричними лінзами, виготовленими із рексоліту, кварцу та силікону. При аналізі особлива увага приділена резонансним яви- щам у середині лінзи. Ил. 19. Табл.1. Библиогр.: 41 назв. Ключові слова: діелектричні лінзові антени, чисельний алгоритм, ГО, ФО, FDTD, інтегральні рівняння. Інтегральні лінзові антени є удосконале- ною модифікацією ДЛА (рис. 1), що добре заре- комендували себе при освоєнні сантиметрового діапазону довжин хвиль [1, 2]. Перехід до більш короткохвильового діапазону, що став необхідні- стю через перевантаження радіодіапазону та поя- ви нових технічних застосувань, таких як системи локального зв‟язку, призвів до виникнення ряду проблем із забезпеченням необхідного рівня ефе- ктивності випромінювання та формування потрі- бних діаграм спрямованості (ДС). Для печатних антен, що є базовими випромінювачами більшо- сті антен у міліметровому (мм) та субміліметро- вому (субмм) діапазонах довжин хвиль, покра- щення цих показників стало можливим завдяки технологій безпосереднього поєднання (інтегра- ції) печатного елементу та діелектричної лінзи, що забезпечує придушення поверхневих хвиль, що збуджуються у діелектричній підложці, та дозволяє скоригувати ДС інтегральної ДЛА [3]. Крім того, ця технологія забезпечує механічну та антикорозійну стійкість і простоту використання таких антен, що є важливим з практичної точки зору. Серед сучасних технічних застосувань, що було реалізовано на базі інтегрованих ДЛА, можна відзначити наступні: системи локального, мобільного та супутникового зв‟язків [4-7]; рада- ри, зокрема автомобільні системи запобігання зіткненням на дорогах [8-10]; системи терагерце- вого спектроскопії [11-12]; Т-сенсори навколиш- нього середовища [13]; радіоастрономії [14] то- що. Рис. 1. Класифікація діелектричних антен за принципом дії Ключовими елементами інтегрованої ДЛА є діелектричні лінзи, які використовуються для колімації, фокусування та розсіювання або керування пучком електромагнітних хвиль в за- лежності від передбаченого застосування. На практиці найбільш широко використовуються обертально симетричні лінзи напівеліптичної або напівсферичної форми. Це пояснюється тим, що у наближенні ГО усі проміні, що розповсюджують- ся уздовж більшої півосі еліптичної лінзи, збира- ються у її дальньому фокусі, якщо ексцентриси- тет еліпсу співвідноситься з діелектричною про- никністю матеріалу лінзи як 1e . (1) У випадку, коли розмір лінз є досить ве- ликим у порівнянні з довжиною хвилі, викорис- тання таких лінз забезпечує вузьку ДС, яка утри- мується майже незмінною у широкому частотно- му діапазоні. Проте розмір антени (а, відповідно, її вага та собівартість) є критичними характерис- тиками антен, що потребують зменшення. З метою зменшення розмірів інтегрова- них ДЛА та адаптації їх характеристик випромі- нювання до вимог сучасних технічних застосу- вань було запропоновано використовувати ДЛА з лінзами більш складної форми (рис. 2), синтезо- Резонаторні антени Лінзові антени Квазіоптичні Інтегральні Стержневі антени Діелектричні антени А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 307 ваної для забезпечення потрібної ДС та малими хвильовими розмірами [6, 15, 16]. Такі антени успішно реалізовано і названо „компактними” через їх зменшені розміри. Недоліком цих антен стало звуження робочої смуги частот та немож- ливість точного теоретичного опису їх властивос- тей із використанням існуючих методів. Рис. 2. Фото обертально симетричної інтегральної ДЛА з первинним джерелом у вигляді щілинної антени (f = 60 ГГц) Незабаром було продемонстровано [17, 18], що робочу смугу компактних ДЛА мож- ливо поширити за умов використання двошаро- вих (або шаруватих) діелектричних лінз. На від- знаку від відомих раніш лінз типа Люнебурга, Максвела та ін. [19] параметри шарів лінз для компактних інтегрованих ДЛА, а саме матеріал, форма і товщина, обчислюються шляхом спільної оптимізації усіх параметрів антени. Очевидно, що геометрія таких лінз може бути знайдена тільки шляхом попереднього комп‟ютерного моделювання та синтезу. Така задача є досить складною, тому що такі лінзи, як правило, мають невеликі хвильові розміри та ви- готовляються із щільних матеріалів, що приво- дить до необхідності точного урахування резо- нансних ефектів у середині лінз. Це, а також не- обхідність поєднання алгоритмів розв‟язку задачі дифракції з алгоритмами глобальної оптимізації, висуває високі потреби до точності та швидкодії чисельних алгоритмів аналізу. Серед існуючих алгоритмів аналізу ДЛА найбільш популярними є ті, що базуються на принципах ГО та ФО [1-6, 15, 16, 20, 21]. Вони швидкі та прості у реалізації, але дозволяють отримати достатню точність лише для лінз із вели- кими хвильовими розмірами. Як було нещодавно продемонстровано, коректне урахування внутріш- ніх віддзеркалень дозволяє підвищити точність та поширити область використання цих методів для аналізу ДЛА у режимі випромінювання [6, 16, 20- 22]. Не зважаючи на це, неможливість урахування кривизни контуру лінзи і хвильового фронту, що є непереборним дефектом всіх високочастотних ме- тодів, обмежує можливості їх використання для точного аналізу та синтезу ДЛА, особливо ДЛА на базі лінз з довільним поперечним перетином та малими хвильовими розмірами. Урахування цих ефектів можливо лише через використання повно-хвильових методів, що базуються на інтегральних або диференціальних рівняннях. Серед цих методів найбільш широко використаним є метод FDTD. Він являється по- тужним та універсальним інструментом розв‟язку широкого кола електромагнітних задач [23] у то- му числі моделювання ДЛА [24]. Чисельні алго- ритми на базі FDTD є простими для реалізації та відрізняються гнучкістю до форми діелектричної лінзи та металевих елементів випромінювача. Але, незважаючи на популярність, FDTD має й недоліки. Найбільш важливим серед них є непо- мірність вимог до системних ресурсів та комп‟ютерного часу, особливо для відкритих за- дач та таких, що містять добротні резонанси. Це робить малоефективним поєднання FDTD- алгоритмів із програмами оптимізації. Зменшення цих вимог можливо шляхом реалізації двовимір- них (2-D) версій FDTD алгоритмів, які можуть успішно використовуватися для аналізу оберта- льно симетричних ДЛА [25]. Іншим недоліком FDTD, спільним для усіх 2-D та 3-D версій, є втрата точності поблизу добротних резонансів [26]. Хоча потенційно метод FDTD дає можли- вість досягти необхідної точності для будь-яких параметрів системи, відсутність вбудованого кри- терію точності не дозволяє автоматично адапту- вати параметри чисельного алгоритму, що робить помилку обчислення неконтрольованою. Саме це є найбільш тонким місцем використання FDTD алгоритмів для вивчення електромагнітних влас- тивостей діелектричних лінз, які значною мірою визначаються внутрішніми резонансами [27-28]. Нажаль, дотепер існує досить обмежена кількість публікацій щодо точності FDTD при аналізі добротних резонансів у відкритих діелек- тричних резонаторах [29]. За відсутності вбудо- ваного критерію точності встановити точність FDTD алгоритмів можливо лише шляхом порів- няльного аналізу з алгоритмами, що гарантують контрольовану точність, наприклад таких, що базуються на методі інтегральних рівнянь типа Мюллера (ГІРМ), які відомі для 2-D та 3-D розсі- ювачів [30]. Декілька прикладів алгоритмів, реа- лізованих на базі ГІРМ 2-D, наведено у роботах [31-33]. Ціллю даної роботи є оцінка точності та визначення області використання чисельних ал- горитмів на базі ГО/ФО та FDTD для точного аналізу двовимірних моделей діелектричних лінз із малими хвильовими розмірами (рис. 3). Форма (подовжений напівеліпс), розміри (від 3 до 200) та матеріали лінз (рексоліт, кварц та силікон), що вивчаються у роботі, є типовими для сучасних систем мм та субмм діапазону довжин хвиль. А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 308 y  S2 S1 основа лінзи x al1 a al2 f - f апертура подовження лінзи точкове джерело S   a -a -b b Рис. 3. 2-D модель подовженої напівеліптичної лінзи: ---- - про- менева картина фокусування.; - віртуальна апертура, що вико- ристовується для вивчення фокусуючих властивостей лінзи Стаття побудована наступним чином: пі- сля короткого опису методів, що використову- ються в роботі, наводяться результати аналізу 2-D напівеліптичних лінз, які виконані методами ГО/ФО та методом FDTD, у режимах фокусуван- ня плоскої хвилі та формування спрямованого випромінювання відповідно. Точність алгоритмів оцінюється шляхом порівняння результатів, отриманих методами ГО/ФО, FDTD та методом ГІРМ, що має контрольовану точність. 1. Методи аналізу. Геометрична та фізична оптика (ГО/ФО). Спираючись на принци- пи ГО та ФО можливо побудувати алгоритм розв‟язання поставленої задачі дифракції наступ- ним шляхом. По-перше, представити падаючу плоску хвилю через хвильові трубки кінцевої ши- рини. Потім вичислити коефіцієнти переломлення та віддзеркалення променів у кожній трубці, кори- стуючись законами Снеліуса, та визначити еквіва- лентні електричні та магнітні токи на границі лін- зи. Кількість віддзеркалень у лінзі, що треба вра- хувати для адекватного опису резонансних ефек- тів, може бути визначено завдяки контролю за до- лею енергії, що залишається у трубці після кожно- го наступного віддзеркалення (рис. 4). Після цього для розрахунку полів у бли- жній зоні можна скористатися формулами фізич- ної оптики, в основі яких лежить принцип Кирх- гофа, що призводить до інтегрування по контуру лінзи. Алгоритм може бути реалізовано для 2-D та 3-D розсіювачів [20-22]. Основні переваги такого підходу поляга- ють у простоті формулювання; високій швидкодії алгоритму; дуже низьких вимогах до системних ресурсів; можливості визначення вкладу кожного з внутрішніх віддзеркалень на характеристики поля у ближній або далекій зонах та розумній точності аналізу для лінз із достатньо великими хвильовими розмірами. a) б) Рис. 4. Залишок енергії у променевих трубках після кожного наступного віддзеркалення відносно до сумарної енергії, що проникла у середину лінзи (у відсотках) Найважливішим недоліком методу є не- можливість контролю за точністю алгоритму. Це ускладнює аналіз діелектричних лінз невеликих розмірів і унеможливлює побудову на базі цього методу, надійних алгоритмів оптимізації лінзи. Метод скінчених різностей у часовій об- ласті (FDTD). Для побудови алгоритму на основі методу FDTD було використано стандартний під- хід, що базується на чисельному розв‟язанні сис- теми диференціальних рівнянь Максвела у часо- вій області. Метод успішно використовується для розв‟язання широкого кола електромагнітних задач [23]. Чисельний алгоритм було побудовано наступним чином: - при дискретизації простору шаг сітки оби- рався з дотриманням критерію стабільності Ку- ранта; - кількість кроків у часовій області, що врахову- валася для розв‟язання задачі, визначалася завдяки контролю за рівнем залишкової енергії у середині обчислювального вікна; - поля у дальній зоні визначалися за допомо- гою перетворення між полем у ближній та дале- кій зонах; - параметри так званого ідеально поглинаю- чого шару (ІПШ, або „perfectly matching layer” [34]), що обмежує обчислювальне вікно, обира- лися такими, щоб забезпечити коефіцієнт погли- нання на рівні не вищому за -50 дБ у всьому ро- 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 Порядок віддзеркалення Рексоліт Кварц Силікон Е- пол. 100 % 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 Порядок віддзеркалення Рексоліт Кварц Силікон Н- пол. % А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 309 бочому діапазоні частот (для нормального падін- ня плоскої хвилі); - первинне джерело модулювалося лінійним током із амплітудою, модульованою у часовій області гаусовим імпульсом. Перевагами методу є простота реалізації чисельного алгоритму, можливість аналізу лінзи з довільним поперечним перетином (однорідної або шаруватої), одночасне отримання результатів у всьому частотному інтервалі (що є можливим завдяки розв‟язанню задачі у часовій області), та швидкодія (у порівнянні з 3-D версіями). Недолі- ками, спільними для будь-якого FDTD алгоритму, є втрата точності поблизу добротних резонансів системи та відсутність критерію точності. Граничні інтегральні рівняння типа Мю- ллера (ГІРМ). Метод ГІРМ спирається на пред- ставлення полів у вигляді комбінації поверхневих потенціалів простого і подвійного шарів на кон- турі розсіювача:           s S sjsj s sj sj j dlrrGrq n rrG rp ru                 , , ; (2) jDr   , Srs   ,  21 SSS  , j 1, 2 , (3) де функцією, яку треба знайти, є значення поля та його похідні на контурі розсіювача    sjsj rurp   ,     n ru rq sj sj      , (4) а функція G у ядрах інтегралів є двовимірною функцією Грина однорідного простору з діелект- ричною проникністю j ( 11  ,  2 )  sjsj rrkH i rrG   )1( 0 4 ),( . (5) У випадку ізольованого однорідного діе- лектричного циліндру довільного поперечного перетину використання (2) та відповідних гранич- них умов приводить до системи ГІР типа Фредго- льма другого роду, відомих у математиці як ГІР Мюллера [30]. Після параметризації контуру (кон- тур повинен бути гладким та мати безперервні першу та другу похідні) система приймає вигляд                                                           ,, , 2 1 , , 0 2 0 1 2 0 1 1 2 1 0 2 0 1 2 0 11 n tu tLdtttDtq dtttCtp tq tutLdtttBtq dtttAtptp sss sss sss sss       (6) де  s, 0,2t t , функція L(t) є Якобіан контуру S       2 2  L t dx dt dy dt , (7) ядра інтегральних операторів визначаються як                   ss s n G n G tLttA 21, , (8)              2 2 1 1, GGtLttB s   , (9)                   nn G nn G tLttC ss s 2 2 1 2 , , (10)                   n G n G tLttD s 2 2 11,   , (11) а параметр j приймає значення 1 або j для ви- падку E- та H- поляризації відповідно. Відзначимо, що фредгольмовість отри- маних інтегральних рівнянь гарантує існування та одиничність розв‟язку для довільного набору па- раметрів задачі, що робить цей метод придатним для точного аналізу компактних ДЛА. Хоча слабка (логарифмічна) сингуляр- ність ядер (8), (9) та (10) дозволяє використати методи прямої дискретизації, швидкість збіжності алгоритму у цьому випадку може бути досить повільною. Швидкодію розробленого алгоритму було покрашено шляхом виділення і наступного аналітичного обернення сингулярних (еталонних) частин ядер інтегральних операторів, зв‟язаних з функцією Грина на контурі круга з радіусом а:         2 sin2 4 ),( )1( 0 0 s jsj tt akH i ttG . (12) Ця процедура відома як метод аналітич- ної регуляризації [35]. Дискретизація ГІР (6) виконується за ме- тодом Гальоркіна з базисними функціями у ви- гляді кутових експонент         m imt nep i tLtp  2 . (13) Такий вибір базисних функцій є зручним, тому що кутові експоненти також є ортогональ- ними власними функціями еталонних операторів (12). Після дискретизації система ГІР (6) перетво- рюється у нескінченну систему лінійних алгебра- їчних рівнянь (СЛАР) типу Фредгольма другого роду:                    .)( )( k m kmkmm m kmm k m kmm m kmkmm uDqCp uBqAp   (14) А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 310 Тут km є символом Хронікера, а матрич- ні елементи kmkmkmkm DCBA ,,, та вектори правих частин kk uu , ( ..,2,1,0 k ) розра- ховуються як коефіцієнти подвійних та одинар- них рядів Фур‟є для гладких функцій. Розв‟язок такої СЛАР має швидку збіжність для будь-яких параметрів задачі. Точність алгоритму, що базується на ГІР, визначається декількома факторами, серед яких: точність розрахунку коефіцієнтів рядів Фур‟є та циліндричних функції; помилка, пов‟язана з усі- канням нескінченої СЛАР (14); точність чисель- ного інтегрування при знаходження полів. За ви- ключенням помилки усічення нескінченої СЛАР (14) усі інші можуть бути мінімізовані стандарт- ними методами. Тому ключовим моментом в ро- боті алгоритму є вибір параметра усічення мат- риці N, який потрібно адаптувати до фізичних параметрів задачі. Наше дослідження довело, що параметр усічення, необхідний для забезпечення заданої точності розв‟язку СЛАР, визначається хвильо- вим розміром лінзи і максимальною кривизною її контуру. Для опису контуру напівеліптичної лін- зи ми використовуємо формулу супер-еліпсу, що моделює прямокутник із гладкими кутами, кри- визна яких визначається параметром  [36]:     1 22   byax . (15) За цих умов оцінити відносну помилку розв‟язку задачі e(N), по нормі 2 2l можна як   NNN ZZZNe /1 , (16) де  N n N n N qpZ , є вектор-розв‟язок СЛАР (14), кожний блок якого було усічено до N рівнянь. Як видно із рис. 5, швидка збіжність розв‟язку до- зволяє обмежуватися розглядом СЛАР, розмір блоків якого складають лише 50 – 150 рівнянь (в залежності від матеріалу та розмірів лінзи), що майже на порядок менше, ніж потрібно для FDTD алгоритмів. Емпірична формула для забезпечення точності розв‟язку задачі (для обраної геометрії лінзи та інтервалу параметрів) на рівні трьох зна- ків після коми, може бути записана у наступному вигляді: 20   N ka , (17) де ka – нормований хвильовий розмір лінзи,  – діелектрична проникність матеріалу;  – пара- метр, що визначає кривизну контуру (15). Основними перевагами розробленого алгоритму є контрольована точність, тобто мож- ливість мінімізувати помилку розв‟язку задачі для довільного нaбору параметрів антени, вклю- чаючи розмір, форму, матеріал, шляхом послі- довного збільшення параметру усічення нескін- ченої СЛАР; стабільність алгоритму поблизу власних резонансів розсіювача, що є майже не- можливим для наближених методів; низькі вимо- ги до системних ресурсів у порівнянні з алгорит- мами на базі FDTD; відсутність так званих “чисе- льних резонансів”, що є проблемою алгоритмів, побудованих на так званих елементарних ГІР [37]. Додаткову інформацію щодо властивостей алгоритму можна знайти в роботі [33]. Рис. 5. Відносна помилка обчислення елементів СЛАР (14) від порядку усічення матриці 2. Верифікація алгоритму на базі ГО/ФО (фокусування плоскої хвилі). Вивчен- ня фокусуючих властивостей 2-D діелектричних лінз такого типу, що використовуються в компа- ктних інтегрованих ДЛА, виконується шляхом розв‟язання задачі розсіяння плоскої хвилі на однорідному діелектричному циліндрі відповід- ного поперечного перетину. Ключовими питан- нями дослідження є спроможність ГО/ФО алго- ритму до опису розмірів, форми та положення фокальної плями таких лінз для різних кутів опромінювання. Ця інформація є важливою для моделювання багатосенсорних ДЛА, що викори- стовуються як базові станції систем локального та мобільного зв‟язків [5, 7]. 2-D лінза моделюється наступним чи- ном. Контур лінзи складається із двох кривих, гладко поєднаних у точках, що визначені хрес- тиками на рис. 1, а саме: половинки еліпсу із ексцентриситетом, що визначається згідно (1), та половинки супер-еліпсу (15). Для вивчення фо- кусуючих властивостей лінзи у її середині пер- пендикулярно до осі симетрії (рис. 2) розташо- вано віртуальну апертуру розміром 2b (b  e/2, де e є довжина хвилі у діелектрику). Зсув апертури у середину лінзи визначається параметром a, який в роботі обрано a  e/10. Інтенсивність поля в апертурі визначається як:   b 2 b ,    aI x y dy , 1 Дa ax al  , (18) де  Ez або Hz для випадку E- або H- поляризації відповідно. Усі характеристики поля у ближній зоні є нормованими на амплітуду па- даючого поля та подані на графіках у безрозмір- 20 40 60 80 100 120 140 1E-5 1E-4 1E-3 0,01 0,1 Силікон ka = 12,56 ka = 12,56 Рексоліт Кварц ka = 12,56 ka = 25,12 ka = 6,28 N e ( N ) А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 311 них одиницях. Геометричні параметри задачі є нормованими на довжину хвилі у вільному прос- торі (k  2/0), тому наведені результати є спра- ведливими для будь-якого частотного діапазону. Для зручності нормовані параметри лінз наведені у таблиці. Параметри лінз, що досліджуються Матеріал  l1 l2 k kal1 - - kа kb Рексоліт 2,53 0,81 1,29 0,40 7,60 1,97 Кварц 3,80 0,60 1,17 0,32 5,68 1,61 Силікон 11,70 0,31 1,05 0,18 2,92 0,92 На рис. 6 подані діаграми розподілу ін- тенсивності поля у середині лінз, виготовлених із різних матеріалів. Видно, що для рексолітової лінзи резонансні явища не грають важливої ролі, про що свідчить розподіл поля у середині лінзи, який візуально нагадує променеву картинку фо- кусування. Специфічні діаграми розподілу поля у середині лінз, виготовлених із кварцу та силі- кону, вказують на значний вклад внутрішніх віддзеркалень у їх формування. Опис електрома- гнітних (резонансних) властивостей таких лінз методами ГО/ФО не є досконалим, що видно з порівняння діаграм на рис. 6. Більш детально дослідити до чого приз- водять неточності, що характерні для ГО/ФО, при аналізі характеристик поля поблизу геомет- ричного фокусу (який співпадає з фокусом лінзи у наближені ГО) компактних лінз дозволяють графіки розподілу інтенсивності поля уздовж основи та вісі симетрії лінзи (рис. 7 та 8 відпові- дно). Видно, що урахування багаторазових від- дзеркалень для ГО/ФО дозволяє покращити точ- ність опису полів у середині лінзи, але не дає достовірну інформацію щодо розміру фокальної плями навіть для рексолітової лінзи (рис. 7,а). Для кварцової та особливо для силіконової лінз можна також відзначити підвищення рівню бо- кових пелюстків діаграми. Така помилка може бути критичною для моделювання багатосенсо- рних ДЛА, де важливим параметром є розв‟язка по рівню приймального сигналу між сусідніми елементами антенного масиву. Для з‟ясування точності ГО/ФО при ана- лізі лінз з більшими хвильовими розмірами було досліджено залежність інтенсивності поля у вір- туальній апертурі, що визначається згідно (18), від нормованої частоти kа (рис. 9). -15 -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 Rexolite Rexolite E-PW: = 0 ka = 10.0 L1 = 0.808 L2 = 1.286 0 0,7000 1,400 2,100 2,800 3,500 Рексоліт -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 Quartz Quartz E-PW: = 0 ka = 10.0 L1 = 0.598 L2 = 1.165 0 0,9000 1,800 2,700 3,600 4,500 Кварц -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 Silicon Silicon E-PW: = 0 ka = 10.0 L1 = 0.306 L2 = 1.046 0 0,9000 1,800 2,700 3,600 4,500 Силікон а) б) Рис. 6. Розподіл інтенсивності поля у ближній зоні напівеліп- тичних рексолітової, кварцової та силіконової лінз (ka =10), які опромінюється плоскою Е-поляризованою хвилею ( = 0): а) – ГІРМ; б) – ГО/ФО з урахуванням віддзеркалень Характер кривих вказує на важливу роль, що грають внутрішні резонанси при фор- муванні фокальної плями. Як видно із рис. 9 в, для силіконової лінзи такі резонанси починають грати визначальну роль, що призводить до появи на графіку добротних резонансів. За своєю пері- одичністю ці резонанси можна поділити на два типи: А і В. Портрети розподілу інтенсивності поля у середині лінзи у резонансах обох типів наведено на рис. 10. Однозначно класифікувати ці резонанси лише за портретами розподілу поля (рис. 10) до- сить складно, проте можна відзначити, що за фор- мою А резонанс нагадує трикутний, або напівме- теликовий (half-bowtie), резонанс, що спостеріга- ється у еліптичних діелектричних резонаторах[38], а В резонанс скоріш всього є резонансом типу Фабрі-Перо, що добру відомий для задачі про відкритий резонатор [39]. Оскільки метою даної роботи є з‟ясування здатності методів до опису електромагнітних властивостей лінз, то залишимо детальний аналіз і класифікацію резонансів для роботи, яка буде містити розв‟язання відповідної А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 312 задачі на власні значення, та відмітимо, що, як видно із рис. 10, ГО/ФО навіть з урахуванням багаторазових віддзеркалень не дозволяє реаліс- тично описувати резонансні явища у середині діелектричних лінз із малими розмірами. Це тра- питься через неможливість урахування кривизни контуру та накопичені помилки на кожному від- дзеркалені. -10 -8 -6 -4 -2 0 -30 -20 -10 0 E - пол. Рексоліт IEs GO/PO (10 refl) GO/PO (0 refl) ky Normalized Intensity along lens flat bottom (dB)  = 2.53 ka = 10.0 0 2 4 6 8 10 -30 -20 -10 0 Н - пол. ГІРМ ГO/ФO (10 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) IEs GO/PO (10 refl) GO/PO (0 refl) ky Normalized Intensity along lens flat bottom (dB)  = 2.53 ka = 10.0 а) -10 -8 -6 -4 -2 0 -30 -20 -10 0 Кварц E - пол. dB IEs GO/PO (10 refl) GO/PO (0 refl) ky Normalized Intensity along lens flat bottom (dB)  = 3.8 ka = 10.0 0 2 4 6 8 10 -30 -20 -10 0 ГІРМ ГO/ФO (10 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) Н - пол. dB ky Normalized Intensity along lens flat bottom (dB)  = 3.8 ka = 10.0 б) -10 -8 -6 -4 -2 0 -30 -20 -10 0 E - пол. Силікон dB IEs GO/PO (10 refl) GO/PO (0 refl) ky N o rm a liz e d I n te n s it y a lo n g l e n s f la t b o tt o m ( d B )  = 11.7 ka = 10.0 0 2 4 6 8 10 -30 -20 -10 0 dB ГІРМ ГO/ФO (10 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) Н - пол. ky N o rm a liz e d I n te n s it y a lo n g l e n s f la t b o tt o m ( d B )  = 11.7 ka = 10.0 в) Рис. 7. Нормована інтенсивність поля уздовж основи лінзи у плоскості, що співпадає з віртуальною апертурою (рис. 2): ка = 10; а) – рексоліт, б) – кварц, в) – силікон. З метою поширення результатів на лінзи більших розмірів та довільного кута опроміню- вання було побудовано залежність інтенсивності поля у віртуальній апертурі рексолітової лінзи від нормованої частоти (рис. 9). Як видно, інтенсивність поля у апертурі зростає пропорційно до ширини основи лінзи, а віднос- ний внесок резонансних явищ у формування по- ля поблизу фокусу лінзи зменшується. Таким чином поведінка лінзи наближається до квазіоптиної. Проте визначити область, коли точність ГО/ФО стане задовільною, є складним, тому що, як видно із рис. 11, а, внутрішні резонанси продо- вжують відігравати помітну роль навіть для лінз із шириною основи близько 200 (особливо для Е-поляризації, що пояснюється різницею у „про- зорості” границі для хвилі з різною поляризацією, рис. 4). -10 -5 0 5 0,1 1 10 ГІРМ ГO/ФO (10 віддзер.) ГO/ФO (0 віддзер.) kx Рексоліт a.u. = e /10 E - пол.  = 2.53 ka = 10.0 L1 = 1.29 L2 = 0.80 7.0 7.6 2.0 а) -10 -5 0 5 0,1 1 10 E - пол. ГІРМ ГO/ФO (10 віддзер.) ГO/ФO (0 віддзер.) kx Кварц a.u. = e /10  = 3.8 ka = 10.0 L1 = 1.17 L2 = 0.60 17.0 5.68 3.5 б) -10,0 -7,5 -5,0 -2,5 0,0 2,5 0,1 1 10 E - пол. ГІРМ ГO/ФO (10 віддзер.) ГO/ФO (0 віддзер.) kx Силікон = e /10  = 11.7 ka = 10.0 L1 = 1.05 L2 = 0.31 20.0 2.92 3.0 в) Рис. 8. Інтенсивність поля уздовж осі симетрії напівеліптичної лінзи із: а) рексоліту; б) кварцу; в) силікону, що симетрично опромінюється плоскою Е-поляризованою хвилею. Вертика- льна пунктирна лінія відзначає положення віртуальної апер- тури у середині лінзи. Штриховані області справа та зліва обмежують простір у середині лінзи Стосовно адекватності опису зсуву фока- льної плями уздовж основи лінзи за умов довіль- ного кута опромінювання, можна констатувати, спираючись на рис. 12, що ГО/ФО досить точно вказує на положення центра фокальної плями для різних кутів опромінювання, але, як і для випадку симетричного опромінювання, надає недостовір- ну інформацію щодо форми та розміру плями. Крім того, слід також відзначити й неточність при описі положення та форми бокових плям, що спо- стерігаються для усіх трьох лінз. 3. Верифікація алгоритму на базі FDTD (формування спрямованого випромінювання). В режимі випромінювання діелектрична лінза А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 313 використовується для коригування діаграми спрямованості первинного джерела (печатної ан- тени або відкритого кінця хвилеводу), що розта- шовано поблизу геометричного фокусу лінзи. 0 1 2 3 4 5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 15 20 25 E - пол. Рексоліт ГІРМ ГO/ФO (5 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) a.u.  = 2.53 I n te n s it y i n t h e a p e rt u re o f 2 b =  e ka а) 0 2 4 6 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 10 20 30 ГІРМ ГO/ФO (8 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) Кварц E - пол. a.u.  = 3.8 I n te n s it y i n t h e a p e rt u re o f 2 b =  e ka б) 0 2 4 6 8 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 10 20 30 ГІРМ ГO/ФO (10 від.) ГO/ФO (0 від.) (B )1 1 .3 9 (A )1 1 .3 4(A ) 9 .5 8 (A )1 0 .9 1 (B )1 1 .0 6 a.u. (A ) 1 0 .0 4  = 11.7 I n te n s it y i n t h e a p e rt u re o f 2 b =  e ka (A ) 1 0 .4 6 5Силікон E - пол. в) Рис. 9. Інтенсивність поля у віртуальній апертурі від нормова- ної частоти. Основа лінз проходить через геометричний фокус еліпсу (l1= 0,306). Ліва ось – ГІРМ, права – ГО/ФО Вивчити властивості лінзи до формуван- ня спрямованого випромінювання можна, розгля- нувши задачу дифракції циліндричної хвилі, що випромінюється точковим джерелом, розташо- ваним зовні лінзи близько до її геометричного фокусу, на однорідному діелектричному циліндрі відповідного поперечного перетину, що моделю- ватиме діелектричну лінзу (рис. 3). Хоча така модель випромінювача не є реалістичною, вона дозволяє дослідити резонансні явища у середині лінзи та оцінити погрішність обчислення полів у ближній та далекій зонах на частотах, що відпо- відають внутрішнім резонансам, та поза ними. -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 Silicon E-PW: = 0 ka = 10.465 L1 = 0.306 L2 = 1.046 0 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 а) -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 Silicon E-PW: = 0 ka = 11.06 L1 = 0.306 L2 = 1.046 0 0,9000 1,800 2,700 3,600 4,500 б) Рис. 10. Портрет розподілу інтенсивності поля у ближній зоні напівеліптичних силіконових лінз, параметри яких відповіда- ють резонансам на рис. 9. Лінзи симетрично ( = 0) опромі- нюються плоскою Е-поляризованою хвилею: зліва – ГІРМ, зправа – ГО/ФО з урахуванням віддзеркалень: а) ka = 10,465, б) ka = 11,06. 0 5 10 15 20 25 30 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 Рексоліт E - пол. ГІРМ ГO/ФO (5 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) a.u.  = 2.53 I n te n s it y i n t h e a p e rt u re o f 2 b =  e ka а) 10 20 30 40 50 60 20 30 40 50 60 50 100 150 200 250 Рексоліт H - пол. ГІРМ ГO/ФO (5 віддз.) ГO/ФO (0 віддз.) a.u.  = 2.53 I n te n s it y i n t h e a p e rt u re o f 2 b =  e ka б) Рис. 11. Інтенсивність поля у віртуальній апертурі від нормо- ваної частоти для рексолітової лінзи. Основа лінз проходить через геометричний фокус еліпсу. Ліва ось – ГІРМ, права – ГО/ФО: а) – Е-поляризація, б) – Н- поляризація А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 314 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 -10 -5 0 5 10 dB  = 0 віддз.  = 5 віддз. ГО/ФО ГІРМ E - пол. Рексоліт  = 10 0  = 20 0 a) -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 -10 -5 0 5 10 dB  = 0 віддз.  = 8 віддз. ГІРМ ГО/ФО E - пол. Кварц  = 10 0  = 20 0 б) -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 -10 -5 0 5 10 ГІРМ ГО/ФО  = 0 віддз.  = 10 віддз. dB E - пол. Силікон  = 10 0  = 20 0 в) Рис. 12. Нормована інтенсивність поля уздовж основи лінзи у плоскості, що співпадає з віртуальною апертурою для різних кутів опромінювання . Криві для ГО/ФО обчислені з та без урахування багаторазових віддзеркалень На рис. 13 можна бачити нормовану діаг- раму спрямованості точкового джерела, що опро- мінює напівеліптичні кварцову (зліва) та силіко- нову (справа) лінзи, обчислені методами ГІРМ та FDTD. Розмір лінзи становить 3, а її подовжен- ня обрано так, щоб основа лінзи проходила через геометричний фокус повного еліпсу, що є типо- вим для ДЛА мм діапазону довжин хвиль. Із рис. 13 видно, що напівеліптична лінза з малими хвильовими розмірами дозволяє сформувати на- правлену діаграму випромінювання; FDTD де- монструє досить високу точність щодо моделю- вання полів у далекій зоні, зокрема якщо обрані параметри лінзи не відповідають одному із внут- рішніх резонансів. 0 60 120 180 240 300 360 -30 -20 -10 0 -30 -20 -10 0 Кварц Силікон dB FDTD-2D ГІРМ Рис. 13. Нормована ДС Е-поляризованого точкового джерела З метою дослідження точності методу до опису резонансних властивостей напівеліптичної лінзи було обчислено залежність коефіцієнту спрямованої дії (КСД) від параметру, що визначає розмір подовження лінзи (рис. 14-15). З одного боку, в літературі відзначається, що збільшення подовження лінзи дозволяє підвищити КСД напі- веліптичної ДЛА [3, 14, 40-41]. З іншого, було доведено, що це може призводити до збудження так званих напівметеликових (half-bowtie) резо- нансів [38], що можуть значною мірою впливати на електромагнітні властивості лінз [27]. Як видно із рис. 14, 15, розмір подов- ження лінзи, що відповідає положенню геомет- ричного фокусу (відповідне значення параметру l1 відмічено вертикальною пунктирною лінією), не є оптимальним з точки зору забезпечення ма- ксимального КСД. Наявність помітних осциля- цій на графіках для кварцової лінзи та добре означених резонансів для силіконової підтвер- джують висновки розд. 2 про значний вклад внутрішніх резонансів у поведінку таких лінз. Класифікувати ці резонанси, та дослідити точ- ність FDTD щодо їх опису дозволяють портрети розподілу інтенсивності поля у середині лінз, параметри яких відповідають двом послідовним резонансам, відміченим трикутниками на рис. 9. Характерна форма резонансів (відмічена пунк- тирною лінією на рис. 16, а) свідчить про те, що ці резонанси є ті самі напівметеликові резонан- си, що можна бачити на рис. 10,а. Такі резонан- си класифікуються за кількістю варіацій поля уздовж сторін трикутника, як ті, що наведені на рис. 16, можуть бути класифіковані як BTR19,11 та BTR19,12. Відображені на рис. 14 графіки нормованої ДС точкового джерела, що опромінює напівеліпти- чну лінзу з різними подовженнями, демонструють вплив внутрішніх резонансів на характеристики поля в далекій зоні. Видно, що збудження резонан- А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 315 сів призводить до провалу головного максимуму ДС та підвищенню рівня бокових пелюстків. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 2 4 6 8 10 12 14 16 Кварц H - пол. E - пол. 0.58 положення фокусу FDTD ГІРМ КСД у прямому напрямку l 1 Рис. 14. Залежність КСД точкового Е-поляризованого джере- ла, що опромінює напівеліптичну кварцову лінзу (ka = 9,42), від розміру подовження лінзи 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 2 4 6 8 10 12 14 КСД у прямому напрямку Силікон H - пол. E - пол. 0.31 0.50 0.51 0.35 0.36 FDTD ГІРМ l 1 Рис. 15. Теж саме, що рис. 14, для силіконової лінзи Щодо точності FDTD, аналіз графіків на рис. 13-17 доводить, що для обраних параметрів лінзи (матеріалу, форми та розміру), FDTD до- зволяє досить точно описати резонансні явища у середині лінзи (крім зсуву частот) та їх вплив на характеристики полів у далекій зоні. З метою узагальнення результатів та ви- вчення частотних властивостей лінзи на рис. 17 приведено залежність КСД точкового джерела, що опромінює лінзу, від нормованої частоти (рис. 18). Стрілками на графіку відмічені чітко означені резонанси, періодичність яких свідчить про їх належність до одного сімейства. Характер- ні картинки розподілу поля у середині лінз (рис. 19) доводять, що ці резонанси теж є тими самими напівметеликовими резонансами. Відзна- чимо, що ці резонанси відповідають модам BTRn,m та BTRn+1,m+1, а не модам BTRn,m та BTRn,m+1, як це є для залежності КСД від параме- тру подовження лінзи (рис. 16). Порівнюючи криві, отримані різними методами (рис. 18), можна бачити, що помилка FDTD зростає з ростом частоти. Це зумовлю- ється двома факторами: зростанням добротнос- ті резонансів та збільшенням хвильових розмі- рів комірки сітки FDTD. -15 -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 kx HBT 19,11 ka = 9.42 l 1 = 0.36 Silicon l 1 = 0.36  = 11.7 ka = 9.42 l 1 = 0.36 0 0,4800 0,9600 1,440 1,920 2,400 a) l1 = 0.35 б) -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 kx ka = 9.42 l 1 = 0.51 HBT 19,12 Silicon l 1 = 0.51  = 11.7 ka = 9.42 l 1 = 0.51 0 0,2800 0,5600 0,8400 1,120 1,400 в) l1 = 0.50 г) Рис. 16. Портрети розподілу інтенсивності поля у середині силіконових напівеліптичних лінз (ka = 9,42), що опроміню- ється Е-поляризованим точковим джерелом: а), в) – ГІРМ; б), г) – FDTD. Розміри подовжень лінз відповідають резонанс- ним значенням, що відмічено трикутниками на рис. 15. Пунк- тирний трикутник на рис 16,а окреслює форму резонансу 0 60 120 -30 -20 -10 0 dB l 1 = 0.36 l 1 = 0.306 l 1 = 0.35 (FDTD) l 1 = 0.36 (MBIE)  = 11.7 ka = 9.42 E-pol: Xs=1 FDTD MBIE 240 300 360 -30 -20 -10 0 FDTD ГІРМ dB l 1 = 0.51 Normalized radiation pattern, dB  = 11.7 ka = 9.42 E-pol: Xs=1 l 1 = 0.306 l 1 = 0.505 (FDTD) l 1 = 0.510 (MBIE) Рис. 17. Нормовані ДС точкового джерела, що опромінює напівеліптичну силіконову лінзу, розміри подовження якої обрано відповідно до резонансів, відмічених трикутниками на рис. 15 (зліва/справа). Симетрична точкова лінія відображає ДС точкового джерела, що освітлює лінзу із подовженням, що проходить через дальній фокус лінзи (l1 = 0,306) Відзначимо, що при побудові частотних залежностей шаг сітки FDTD завжди є перемін- ною величиною, тому що розв‟язок задачі здійс- нюється у часовій області та переводиться у час- тотну через фур‟є-перетворення. А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 316 9 10 11 12 13 14 15 5 10 15 20 30 40 50 60 Силікон 1 3 .3 3 1 3 .4 9 1 3 .0 2 1 1 .1 8 1 1 .6 6 NT1D=2 14 , NT2D=2 11 ГІРМ, FDTD  ~ 0.42 1 0 .8 4 1 0 .4 1 9 .9 7 9 .5 3 step_ka = 0.01 ka КСД у прямому напрямку M Рис. 18. Залежність КСД точкового Е-поляризованого джере- ла, що опромінює напівеліптичну силіконову лінзу (зліва), та параметр сітки FDTD (зправа) від нормованої частоти. Подо- вження лінзи відповідає положенню фокусу (l1 = 0,306) На рис. 18 шаг сітки для кожної частотної точки графіку D(ka) може бути визначено за зна- ченням параметру М, як e/M. Відповідна точко- ва крива пов‟язана із правою віссю. -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 10 HBT 19,11 kx ka = 9.54 l 1 = 0.31 E-CSP: kb=0  = 11.7 k = ka(l 1 +0.024) ka = 9.54 0 0,2800 0,5600 0,8400 1,120 1,400 a) б) Рис. 19. Діаграма розподілу інтенсивності поля у ближній зоні та середині силіконової напівеліптичної лінзи, що опроміню- ється Е-поляризованим точковим джерелом. Параметри лінзи відповідають резонансу, вказаному трикутником на рис. 18: a) – ГІРМ, б) – FDTD. Висновки. В роботі наведено результати порівняльного аналізу чисельних алгоритмів, ро- зроблених на базі методів ГО/ФО, FDTD та ГІРМ щодо точності опису електромагнітних властиво- стей двовимірних напівеліптичних діелектричних лінз з невеликими хвильовими розмірами, що є ключовими елементами ДЛА мм та субмм діапа- зонів довжин хвиль. Було показано, що внутрішні резонанси у таких лінзах грають визначальну роль при формуванні полів у ближній та далекій зонах. Зокрема, продемонстровано, що збудження напівметеликового резонансу у силіконовій лінзі призводить до розщеплення однопелюсткової діаграми спрямованості та значного підвищення рівня бокових пелюстків. Стосовно точності наближених методів до опису резонансних явищ можна констатувати, що ГО/ФО не може забезпечити необхідну точ- ність результатів (навіть з урахуванням багатора- зових віддзеркалень) і не може ефективно вико- ристовуватися для аналізу ДЛА у режимі прийо- му. Але відмітимо, що цей висновок не може бути поширеним на ДЛА в режимі випромінювання, так як в цьому випадку доля енергії, що утриму- ється у середині лінзи після першого віддзерка- лення, є незначною і не може значно змінити діа- граму спрямованості ДЛА у далекій зоні (щонай- менше для лінз, виготовлених із матеріалів з не- великою діелектричною проникністю). Щодо точності FDTD то, як видно із на- ведених результатів порівняльного аналізу полів у ближній та далекій зонах, цей метод дозволяє вивчити електромагнітні властивості лінз із роз- мірами, формою та матеріалами, що дослідували- ся у роботі (окрім зсуву резонансних частот). Але необхідно відзначити, що достатня точність може бути досягнута тільки за умов відповідного вибо- ру параметрів алгоритму: розміру сітки та рівня віддзеркалення від поглинаючої границі обчис- лювального вікна. Таким чином, можна зазначи- ти, що алгоритми на базі FDTD можуть бути ви- користані для аналізу компактних ДЛА з напіве- ліптичними лінзами, але потребують особливої уваги, якщо використовуватимуться для аналізу діелектричних лінз із довільним поперечним пе- рерізом та виготовлених із щільних матеріалів. Роботу було виконано у рамках програми спі- льних наукових досліджень між ІРЕ НАН України та IETR, Франція (гранти PECO-NEI-17111-18978 та ДНІПРО-М82-2005). Перший автор також отримав фінансову підтримку Фонду фундаментальних дослі- джень через грант Президента України для підтримки наукових досліджень молодих учених (GP/F11/8-2006). 1. Зелкин Е. Г., Петрова Р. А. Линзовые антенны. - М., Сов. Радио, 1974. - 280 с. 2. Salema C., Fernandes C., Jha R. T. Solid Dielectric Horn Antennas. - Boston, Artech House, 1998. - 241 р. 3. Filippovic D. F., Gearhart S. S., Rebeiz G. M. Double slot on extended hemispherical and elliptical silicon dielectric lenses // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. - 1993. - 41, N10. - P.1738–1749. 4. Fernandes C. A., Fernandes J. G. Performance of lens antennas in wireless indoor millimeter-wave applications // IEEE Trans. Micro- wave Theory Techniques. - 1999. - 47, N6. - P.732-738. 5. Wu X., Eleftheriades G. V., van Deventer-Perkins T. E. Design and characterization of single- and multiple-beam mm-wave circularly polarized substrate lens antennas for wireless com- munications // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech- niques. - 2001. - 49, N3. - P.431-441. 6. Lemaire D., Fernandes C. A., Sobieski P., Barbosa A. A method to overcome the limitations of GO in axis-symmetric dielectric lens shaping // Int. J. Infrared and Millimeter waves. - 1996. - 17, N8. - P.1377-1390. 7. Uehara K., Miyashita K., Natsume K.I., Hatakeyama K., Mi- zuno K. Lens-coupled imaging arrays for the mm and sub- mm-wave regions // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. - 1992. - 40, N5.- P.806-811. 8. Raman S., Barker N. S., Rebeiz G. M. A W-band dielectric- lens-based integrated monopulse radar receiver // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. - 1998. - 46, N12. - P.2308-2316. А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 317 9. Eleftheriades G. V., Brand Y., Zürcher J., Mosig J. R. ALPSS: a millimeter-wave aperture-coupled patch antenna on a substrate lens // Electronics Letters. - 1997. - 33, N3. - P.169-170. 10. Schoenlinner B., Wu X., Ebling J.P., Eleftheriades G.V., Re- beiz G.M. Wide-scan spherical-lens antennas for automotive radars // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. - 2002. - 50, N9. - P.2166-2175. 11. Siegel P., Terahertz Technology // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. - 2002. - 50, N3. - P.910-929. 12. Rudd J. V., Mittleman D. Influence of substrate-lens design in terahertz time-domain spectroscopy // Journal Optical Society of America B. - 2002. - 19, N2. - P.319-328. 13. R. Jacobsen, et al // Optics Lett. - 1996. - 21. - P.2011-2016. 14. Büttgenbach T. H. An improved solution for integrated array optics in quasioptical mm and submm receivers: The hybrid antenna // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques. - 1993. - 41, N10. - P.1750-1761. 15. Fernandes, C. A., Fernandes, J. G. Shaped dielectric lenses for wireless millimeter-wave communications // IEEE Antennas and Propagation Magazine. - 1999. - 41, N5. - P.141-152. 16. Chantraine-Barès B., Sauleau R., Le Coq L., Mahdjoubi K. A new accurate design method for millimeter-wave homogeneous dielec- tric substrate lens antennas of arbitrary shape // IEEE Trans. An- tennas and Propagation. - 2005. - 53, N3. - P.1069-1075. 17. Silveirinha M. G. M. V., Fernandes C. A. Shaped double-shell dielectric lenses for wireless millimeter wave communications // Proc. IEEE AP-S Int. Symp. Dig. - Salt Lake City, 2000. - 3. - P.1674-1677. 18. Godi G., Sauleau R., Thouroude D. Single- and double-shell shaped lens antennas with asymmetrical radiation characteris- tics // Proc. European conf. Antennas and Propagation (Eu- CAP). - Nice, 2006. 19. Greenwood A. T., Jin J.-M. A field picture of wave propaga- tion in inhomogeneous dielectric lenses // IEEE Antennas and Propagation Magazine. - 1999. - 41, N5. - P.9-18. 20. Pasqualini D., Maci S. High-frequency analysis of integrated dielectric lens antennas // IEEE Trans. Antennas Propag. - 2004. - 52, N3. - P.840-847. 21. Neto A., Pasqualini D., Toccafondi A., Maci S. Mutual coupl- ing between slots printed at the back of elliptical dielectric lenses // IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 1999. - 47, N10. - P.1504-1507. 22. Pavasic A. P., del Rio D. L., Mosig J. R., Eleftheriades G. V. Three-dimensional ray-tracing to model internal reflections in off-axis lens antennas // IEEE Trans. Antennas and Propaga- tion. - 2006. - 54, N2. - P.604-613. 23. Shlager K. L., Schneider J. B. A selective survey of the finite- difference time-domain literature // IEEE Antennas Propaga- tion Magazine. - 1995. - 37, N4. - P.39-57. 24. Godi G., Sauleau R., Thouroude D., Performance of reduced size substrate lens antennas for millimetre-wave communica- tions // IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 2005. - 53, N4. - P.1278-1286. 25. van der Vorst M. J. M., de Maagt P. J. I. Efficient body of revolution finite-difference time-domain modeling of inte- grated lens antennas // IEEE Microw. Wireless Compon. Lett. - 2002. - 12, N7. - P.258-260. 26. Hower G. L., Olsen R. G., Earls J. D., Schneider J. B. Inaccu- racies in numerical calculations of scattering near natural fre- quencies of penetrable objects // IEEE Trans. Antennas and Propagation. - 1993. - 41, N7. - P.982-986. 27. Boriskin A. V., Boriskina S. V., Nosich A. I., Benson T. M., Sewell P., Altintas A. Lens or resonator? – electro-magnetic behavior of an extended hemielliptical lens for a sub-mm wave receiver // Microwave Optical Techn. Letters. - 2004. - 43, N6. - P.515-158. 28. Boriskin A. V., Boriskina S. V., Sauleau R. Exact near fields of 2-D models of extended hemielliptic lenses made of rexolite, quartz and silicon // Proc. Int. Conf. Math Methods in EM Theory (MMET*06). - Kharkiv, 2006. - P.109-111. 29. Muller C. Foundations of the mathematical theory of electro- magnetic waves. – Berlin: Springer, 1969. - 350 р. 30. Sirenko Y. K., Pazynin V. L., Vyazmitinova A. I., Sirenko K. Y. Compact obstacles in free space: virtual boundaries for scalar and vector „open‟ initial boundary-value problems in electro- magnetic wave scattering theory // Electromagnetic Waves and Electronic Systems. - 2003. - 8, N11&12. - P.33-54 (in Russian). 31. Rokhlin V. Rapid solution of integral equations of scattering theory in two dimensions // J. of Computational Physics. - 1990. - 86. - P. 414-439. 32. Wang L., Allex Cox J., Friedman A. Modal analysis of homo- geneous optical waveguides by the boundary integral formula- tion and the Nystrom method // J. Optical Soc. America A. - 1998. - 15. - P.92-100. 33. Boriskina S. V., Benson T. M., Sewell P., Nosich A. I. Accurate simulation of 2D optical microcavities with uniquely solvable boundary integral equations and trigonometric-Galerkin discretiza- tion // J. Optical Soc. America A. - 2004. - 21, N3. - P.393-402. 34. Berenger L.-P. Perfectly matched layer for the FDTD solution of wave-structure interaction problem // IEEE Trans. Anten- nas Propag. - 1996. - 44, N1. - P.110-118. 35. Nosich A. I. MAR in wave-scattering and eigenvalue prob- lems: foundations and review of solutions // IEEE Antennas and Propagation Magazine. - 1999. - 41, N3. - P.34-49. 36. Gardner M. Mathematical games // Scient. American. - 1965. - 213, N3. - P.222-232. 37. Amini S., Kirkup S.M. Solutions of Helmholtz equation in the exterior domain by elementary boundary integral methods // Journal Computational Physics. - 1995. - 118. - P.208-221. 38. Gmachl C., Capasso F., Narimanov E. E., Nöckel J. U., Stone A. D., Faist J., Sivco D. L., Cho A. Y. High-power directional emission from microlasers with chaotic resonators // Science. - 1998. - 280. - P.1556-1564. 39. Вайнштейн Л. А., Открытые резонаторы и открытые вол- новоды // - М:. Сов. радио, 1966. - 475 c. 40. Otero P., Alvarez-Melcon A., Zurcher J.-F., Mosig J.R. A microstrip-coupled slot-loop antenna for integrated receivers in the millimeter-wave band // Microwave & Optical Technol. Lett. - 1998. - 18, N2. - P.91-95. 41. Kobayashi H., Yasuoka Y. Receiving Properties of Extended Hemispherical Lens Coupled Slot Antennas for 94-GHz Mil- limeter Wave Radiation // Electronics Communications in Ja- pan, part 1. - 2001. - 84, N6. - P.32-40. COMPARATIVE STUDY ON ACCURACY OF FDTD-, GO/PO-, AND IE-BASED ALGORITHMS WITH APPLICATION TO COMPACT INTEGRATED LENSES ANALYSIS A. V. Boriskin, G. Godi, A. Rolland, R. Sauleau , A. I. Nosich The aim of the paper is to assess the accuracy and relevance of numerical algorithms based on FDTD and a combination of Geometrical and Physi- cal Optics (GO/PO) principles for the analysis of reduced-size dielectric lenses used in integrated antennas for mm and sub-mm wave applica- tions. As a benchmark solution, we use the Muller‟s boundary integral equations (IE) discretized with the trigonometric Galerkin scheme that has guaranteed and fast convergence as well as controllable accuracy. The lens cross-section is chosen typical for practical applications, namely an extended hemiellipse whose eccentricity satisfies the GO focusing condition. The analysis concerns homogeneous lenses made of rexolite, quartz, and silicon with a cross-section size varying between 3 and 20 wavelengths in free space. We consider the problem in 2-D formulation. The lens is excited by either a plane wave or a line current in receiving or emitting modes, respectively. Both E- and H-polarizations are considered. The comparison characteristics are extracted from both near- and far-field analysis. Key words: dielectric lens antennas, numerical algorithms, GO, PO, FDTD, Muller‟s integral equations. А. В. Борискін / Порівняльний аналіз чисельних… _________________________________________________________________________________________________________________ 318 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ НА БАЗЕ ГО/ФО, FDTD И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА КОМПАКТНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНЗ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ АНТЕНН МИЛИМИТРОВЫХ И СУБМИЛИМИТРОВЫХ ДИАПАЗОНОВ А. В. Борискин, Г. Годи, А. Ролланд, Р. Соло, А. И. Носич Исследуются точность и применимость численных алгоритмов, основанных на методах геометрической и физи- ческой оптики (ГО/ФО), методе конечных разностей во вре- менной области (FDTD) для анализа электромагнитных свойств двумерных полуэллиптических линз с небольшими волновыми размерами, которые являются ключевыми элемен- тами современных интегрированных линзовых антенн в сис- темах мм и субмм диапазона длин волн. Эталонное решение получено методом граничных интегральных уравнений типа Мюллера, которые обеспечивают контролируемую точность численного решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом цилиндре произвольного попереч- ного сечения. Численные результаты получены для обеих поляризаций и касаются характеристик полей в ближней и дальней зонах полуэллиптических линз, изготовленных из рексолита, кварца и силикона. При анализе особое внимание уделяется резонансным явлениям в середине линзы. Ключевые слова: диэлектрическая линзовая ан- тенна, численный алгоритм, ГО, ФО, FDTD, интегральные уравнения. Рукопис надійшов 14 лютого 2007 р.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10813
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-821X
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-02T06:14:47Z
publishDate	2007
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
record_format	dspace
spelling	Борискін, А.В. Годі, Г. Ролланд, А. Соло, Р. Носич, О.Й. 2010-08-06T16:39:15Z 2010-08-06T16:39:15Z 2007 Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів / А.В. Борискін, Г. Годі, А. Ролланд, Р. Соло, О.Й. Носич // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 306-318. — Бібліогр.: 41 назв. — укр. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10813 621.396.677.73 Досліджується точність та спроможність чисельних алгоритмів, розроблених на базі методу геометричної та фізичної оптики (ГО/ФО) та методу кінцевих різностей у часовій області (FDTD) щодо точного опису електромагнітних властивостей двовимірних напівеліптичних діелектричних лінз з невеликими хвильовими розмірами, що є ключовими елементами сучасних компактних діелектричних лінзових антен (ДЛА) для систем мілімітрового та субмілімітрового діапазонів довжин хвиль. У якості еталонного методу використовується метод граничних рівнянь типа Мюллера (ГІРМ), що забезпечує контрольовану точність чисельного розв?язку задачі дифракції електромагнітної хвилі на діелектричному циліндрі довільного поперечного перетину. Чисельні результати отримані для обох поляризацій і стосуються характеристик фокусування та формування хвильового пучка напівеліптичними діелектричними лінзами, виготовленими із рексоліту, кварцу та силікону. При аналізі особлива увага приділена резонансним явищам у середині лінзи. Исследуются точность и применимость численных алгоритмов, основанных на методах геометрической и физической оптики (ГО/ФО), методе конечных разностей во временной области (FDTD) для анализа электромагнитных свойств двумерных полуэллиптических линз с небольшими волновыми размерами, которые являются ключевыми элементами современных интегрированных линзовых антенн в системах мм и субмм диапазона длин волн. Эталонное решение получено методом граничных интегральных уравнений типа Мюллера, которые обеспечивают контролируемую точность численного решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения. Численные результаты получены для обеих поляризаций и касаются характеристик полей в ближней и дальней зонах полуэллиптических линз, изготовленных из рексолита, кварца и силикона. При анализе особое внимание уделяется резонансным явлениям в середине линзы. The aim of the paper is to assess the accuracy and relevance of numerical algorithms based on FDTD and a combination of Geometrical and Physical Optics (GO/PO) principles for the analysis of reduced-size dielectric lenses used in integrated antennas for mm and sub-mm wave applications. As a benchmark solution, we use the Muller?s boundary integral equations (IE) discretized with the trigonometric Galerkin scheme that has guaranteed and fast convergence as well as controllable accuracy. The lens cross-section is chosen typical for practical applications, namely an extended hemiellipse whose eccentricity satisfies the GO focusing condition. The analysis concerns homogeneous lenses made of rexolite, quartz, and silicon with a cross-section size varying between 3 and 20 wavelengths in free space. We consider the problem in 2-D formulation. The lens is excited by either a plane wave or a line current in receiving or emitting modes, respectively. Both E- and H-polarizations are considered. The comparison characteristics are extracted from both near- and far-field analysis. Роботу було виконано у рамках програми спільних наукових досліджень між ІРЕ НАН України та IETR, Франція (гранти PECO-NEI-17111-18978 та ДНІПРО-М82-2005). Перший автор також отримав фінансову підтримку Фонду фундаментальних досліджень через грант Президента України для підтримки наукових досліджень молодих учених (GP/F11/8-2006). uk Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Электродинамика СВЧ Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів Сравнительный анализ численных алгоритмов на базе ГО/ФО, FDTD и интегральных уравнений для анализа компактных диэлектрических линз для интегральных антенн милимитровых и субмилимитровых диапазонов Comparative study on accuracy of FDTD-, GO/PO-, and IE-based algorithms with application to compact integrated lenses analysis Article published earlier
spellingShingle	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів Борискін, А.В. Годі, Г. Ролланд, А. Соло, Р. Носич, О.Й. Электродинамика СВЧ
title	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів
title_alt	Сравнительный анализ численных алгоритмов на базе ГО/ФО, FDTD и интегральных уравнений для анализа компактных диэлектрических линз для интегральных антенн милимитровых и субмилимитровых диапазонов Comparative study on accuracy of FDTD-, GO/PO-, and IE-based algorithms with application to compact integrated lenses analysis
title_full	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів
title_fullStr	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів
title_full_unstemmed	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів
title_short	Порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі ГО/ФО, FDTD та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів
title_sort	порівняльний аналіз чисельних алгоритмів на базі го/фо, fdtd та інтегральних рівнянь для аналізу компактних діелектричних лінз для інтегральних антен міліметрового та субміліметрового діапазонів
topic	Электродинамика СВЧ
topic_facet	Электродинамика СВЧ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10813
work_keys_str_mv	AT boriskínav porívnâlʹniianalízčiselʹnihalgoritmívnabazígofofdtdtaíntegralʹnihrívnânʹdlâanalízukompaktnihdíelektričnihlínzdlâíntegralʹnihantenmílímetrovogotasubmílímetrovogodíapazonív AT godíg porívnâlʹniianalízčiselʹnihalgoritmívnabazígofofdtdtaíntegralʹnihrívnânʹdlâanalízukompaktnihdíelektričnihlínzdlâíntegralʹnihantenmílímetrovogotasubmílímetrovogodíapazonív AT rollanda porívnâlʹniianalízčiselʹnihalgoritmívnabazígofofdtdtaíntegralʹnihrívnânʹdlâanalízukompaktnihdíelektričnihlínzdlâíntegralʹnihantenmílímetrovogotasubmílímetrovogodíapazonív AT solor porívnâlʹniianalízčiselʹnihalgoritmívnabazígofofdtdtaíntegralʹnihrívnânʹdlâanalízukompaktnihdíelektričnihlínzdlâíntegralʹnihantenmílímetrovogotasubmílímetrovogodíapazonív AT nosičoi porívnâlʹniianalízčiselʹnihalgoritmívnabazígofofdtdtaíntegralʹnihrívnânʹdlâanalízukompaktnihdíelektričnihlínzdlâíntegralʹnihantenmílímetrovogotasubmílímetrovogodíapazonív AT boriskínav sravnitelʹnyianalizčislennyhalgoritmovnabazegofofdtdiintegralʹnyhuravneniidlâanalizakompaktnyhdiélektričeskihlinzdlâintegralʹnyhantennmilimitrovyhisubmilimitrovyhdiapazonov AT godíg sravnitelʹnyianalizčislennyhalgoritmovnabazegofofdtdiintegralʹnyhuravneniidlâanalizakompaktnyhdiélektričeskihlinzdlâintegralʹnyhantennmilimitrovyhisubmilimitrovyhdiapazonov AT rollanda sravnitelʹnyianalizčislennyhalgoritmovnabazegofofdtdiintegralʹnyhuravneniidlâanalizakompaktnyhdiélektričeskihlinzdlâintegralʹnyhantennmilimitrovyhisubmilimitrovyhdiapazonov AT solor sravnitelʹnyianalizčislennyhalgoritmovnabazegofofdtdiintegralʹnyhuravneniidlâanalizakompaktnyhdiélektričeskihlinzdlâintegralʹnyhantennmilimitrovyhisubmilimitrovyhdiapazonov AT nosičoi sravnitelʹnyianalizčislennyhalgoritmovnabazegofofdtdiintegralʹnyhuravneniidlâanalizakompaktnyhdiélektričeskihlinzdlâintegralʹnyhantennmilimitrovyhisubmilimitrovyhdiapazonov AT boriskínav comparativestudyonaccuracyoffdtdgopoandiebasedalgorithmswithapplicationtocompactintegratedlensesanalysis AT godíg comparativestudyonaccuracyoffdtdgopoandiebasedalgorithmswithapplicationtocompactintegratedlensesanalysis AT rollanda comparativestudyonaccuracyoffdtdgopoandiebasedalgorithmswithapplicationtocompactintegratedlensesanalysis AT solor comparativestudyonaccuracyoffdtdgopoandiebasedalgorithmswithapplicationtocompactintegratedlensesanalysis AT nosičoi comparativestudyonaccuracyoffdtdgopoandiebasedalgorithmswithapplicationtocompactintegratedlensesanalysis

Institution

Similar Items