Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами

Методом компьютерного моделирования исследована конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн (ВСА) в неравновесной диссипативной системе, обладающей возбудимостью и двухканальным механизмом диффузии возбуждений. Система состоит из локально взаимодействующих активных центров (АЦ),...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Маковецкий, Д.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2007
Schlagworte:	Радиофизика твердого тела и плазмы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10817
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами / Д.Н. Маковецкий // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 1. — С. 209-222. — Бібліогр.: 46 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10817
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-108172025-02-09T14:43:19Z Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами Конкуренція самоорганізованих обертових спіральних автохвиль у нерівноважній дисипативній системі з трирівневими активними центрами Competition of self-organized rotating spiral autowaves in nonequilibrium dissipative system with three-level active centers Маковецкий, Д.Н. Радиофизика твердого тела и плазмы Методом компьютерного моделирования исследована конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн (ВСА) в неравновесной диссипативной системе, обладающей возбудимостью и двухканальным механизмом диффузии возбуждений. Система состоит из локально взаимодействующих активных центров (АЦ), свойства которых близки к свойствам АЦ в фазере (микроволновом фононном лазере). При слабой конкуренции ВСА наблюдалась динамическая стабилизация и сосуществование ВСА с различными топологическими зарядами. Для случая сильно конкурирующих ВСА обнаружено самоиндуцированное обращение знака топологического заряда и установлен механизм этого нелинейного явления. Обсуждаются перспективы исследования ВСА в неравновесных диссипативных системах с возбудимыми трехуровневыми АЦ. Методом комп'ютерного моделювання досліджена конкуренція самоорганізованих обертових спіральних автохвиль (ОСА) у нерівноважній дисипативній системі, яка має властивості збуджуваності та двоканальний механізм дифузії збуджень. Система складається із локально взаємодіючих активних центрів (АЦ), що мають властивості близькі до властивостей АЦ у фазері (мікрохвильовому фононному лазері). При слабкій конкуренції ОСА спостерігалась їх динамічна стабілізація та співіснування ОСА з різними топологічними зарядами. У випадку сильно конкурируючих ОСА виявлено самоіндуковане обернення знаку топологічного заряду та встановлено механізм цього нелінійного явища. Обговорюються перспективи дослідження ОСА у нерівноважних дисипативных системах зі збуджуваними трирівневими АЦ. Competition of self-organized rotating spiral autowaves (RSA) is computationally studied in a nonequilibrium dissipative system possessing excitability and the two-channel diffusion of excitations. Such the system consists of locally interacting three-level active centers (AC) having properties close to ones for AC in the phaser (microwave phonon laser). Dynamical stabilization and coexistence of RSA with different topological charges were observed under conditions of their weak competition. A phenomenon of self-induced reversing of the sign of topological charge was revealed for the case of strongly competing RSA; the mechanism of this nonlinear phenomenon is found. Perspectives of investigations of RSA in nonequilibrium dissipative systems with excitable three-level AC are discussed. Автор выражает искреннюю признательность С. Д. Маковецкому (Microsoft CP) за возможность использовать разработанные им программы Three-Level Model of excitable system (TLM) и Three-Level Laser model (TLL), а также за постоянное сотрудничество в проведении компьютерных экспериментов. Автор глубоко благодарен О. Л. Бандман (Институт вычислительной математики и математической геофизики, Новосибирск), Е. Д. Маковецкому (Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, кафедра физической оптики) и Р. Д. Петерсу (Department of Physics, Mercer University, Georgia, USA) за конструктивные замечания, советы и важную библиографическую информацию. 2007 Article Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами / Д.Н. Маковецкий // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 1. — С. 209-222. — Бібліогр.: 46 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10817 537.86:530.182 ru application/pdf Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Радиофизика твердого тела и плазмы Радиофизика твердого тела и плазмы
spellingShingle	Радиофизика твердого тела и плазмы Радиофизика твердого тела и плазмы Маковецкий, Д.Н. Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
description	Методом компьютерного моделирования исследована конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн (ВСА) в неравновесной диссипативной системе, обладающей возбудимостью и двухканальным механизмом диффузии возбуждений. Система состоит из локально взаимодействующих активных центров (АЦ), свойства которых близки к свойствам АЦ в фазере (микроволновом фононном лазере). При слабой конкуренции ВСА наблюдалась динамическая стабилизация и сосуществование ВСА с различными топологическими зарядами. Для случая сильно конкурирующих ВСА обнаружено самоиндуцированное обращение знака топологического заряда и установлен механизм этого нелинейного явления. Обсуждаются перспективы исследования ВСА в неравновесных диссипативных системах с возбудимыми трехуровневыми АЦ.
format	Article
author	Маковецкий, Д.Н.
author_facet	Маковецкий, Д.Н.
author_sort	Маковецкий, Д.Н.
title	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
title_short	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
title_full	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
title_fullStr	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
title_full_unstemmed	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
title_sort	конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Радиофизика твердого тела и плазмы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10817
citation_txt	Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами / Д.Н. Маковецкий // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 1. — С. 209-222. — Бібліогр.: 46 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT makoveckijdn konkurenciâsamoorganizovannyhvraŝaûŝihsâspiralʹnyhavtovolnvneravnovesnojdissipativnojsistemestrehurovnevymiaktivnymicentrami AT makoveckijdn konkurencíâsamoorganízovanihobertovihspíralʹnihavtohvilʹunerívnovažníjdisipativníjsistemíztrirívnevimiaktivnimicentrami AT makoveckijdn competitionofselforganizedrotatingspiralautowavesinnonequilibriumdissipativesystemwiththreelevelactivecenters
first_indexed	2025-11-26T23:36:23Z
last_indexed	2025-11-26T23:36:23Z
_version_	1849897975967383552
fulltext	__________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 12, №1, 2007, с. 209-222 © ИРЭ НАН Украины, 2007 УДК 537.86:530.182 КОНКУРЕНЦИЯ САМООРГАНИЗОВАННЫХ ВРАЩАЮЩИХСЯ СПИРАЛЬНЫХ АВТОВОЛН В НЕРАВНОВЕСНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ТРЕХУРОВНЕВЫМИ АКТИВНЫМИ ЦЕНТРАМИ Д. Н. Маковецкий Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины, 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: makov@ire.kharkov.ua Методом компьютерного моделирования исследована конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных ав- товолн (ВСА) в неравновесной диссипативной системе, обладающей возбудимостью и двухканальным механизмом диффузии возбуждений. Система состоит из локально взаимодействующих активных центров (АЦ), свойства которых близки к свойствам АЦ в фазере (микроволновом фононном лазере). При слабой конкуренции ВСА наблюдалась динамическая стабилизация и сосущест- вование ВСА с различными топологическими зарядами. Для случая сильно конкурирующих ВСА обнаружено самоиндуцирован- ное обращение знака топологического заряда и установлен механизм этого нелинейного явления. Обсуждаются перспективы ис- следования ВСА в неравновесных диссипативных системах с возбудимыми трехуровневыми АЦ. Ил. 3. Библиогр.: 46 назв. Ключевые слова: вращающиеся спиральные автоволны, самоорганизация, фазер. Исследование нелинейных динамических явлений в неравновесных диссипативных систе- мах относится к числу актуальных физических проблем [1, 2], имеющих не только фундамен- тальные, но и важные прикладные аспекты. В частности, на протяжении последних лет интен- сивно изучаются эффекты спонтанного возникно- вения, развития, конкуренции и стабилизации самоорганизованных диссипативных структур (ДС) в различных физических и физико- химических системах [3-7]. Значительный интерес представляют не- линейные явления, приводящие к самоорганиза- ции ДС в многочастичных детерминированных неравновесных системах. В таких системах пе- реход из слабо структурированного (почти од- нородного) начального состояния в высокоорга- низованное неоднородное состояние, содержа- щее те или иные ДС, не связан с традиционным механизмом флуктуационной перестройки воз- буждений в активной среде. При этом, как ука- зывается, например, в монографии [8], посвя- щенной исследованию автосолитонов, "малые неоднородности, всегда присутствующие в ре- альных системах, проявляются как зародыши, вблизи которых в результате локального пробоя происходит спонтанное образование автосоли- тонов. Динамическая перестройка ДС и спон- танное образование автосолитонов не связаны с наличием в системе флуктуаций. Наличие флук- туаций приводит лишь к конечной вероятности возникновения локального пробоя при уровнях возбуждения системы, несколько меньших кри- тических значений" (см. [8], с. 97). Механизм Кернера-Осипова [8] является примером самоиндуцированного детерминиро- ванного кооперативного эффекта, когда все этапы эволюции ДС (возникновение, развитие, конку- ренция и стабилизация) не связаны ни с внешни- ми дестабилизирующими факторами (модуляцией накачки, инжекцией насыщающего сигнала и т. п.), ни с влиянием внутренних шумов в системе. Подобная же ситуация может иметь место и в инверсных системах лазерного типа, хотя в таких системах могут возникать гораздо более сложные ДС, чем автосолитоны, а конкретный сценарий возникновения указанных лазерных ДС обуслов- лен не локальным пробоем [8], а другими порого- выми эффектами [9]. Реальные физические объекты, естествен- но, всегда содержат внутренние источники флук- туаций (шумов). В этом плане микроволновые не- равновесные низкотемпературные системы имеют определенные преимущества как по сравнению с лазерами оптического диапазона, так и с радиочас- тотными инверсными системами на основе ядерно- го магнитного резонанса (ЯМР). Действительно, для таких систем шумовая температура, обуслов- ленная спонтанным излучением, обычно составля- ет всего лишь несколько градусов выше абсолют- ного нуля, тогда как на оптических частотах она порядка 10000 K [10]. С другой стороны, на срав- нительно низких частотах (порядка нескольких мегагерц), где работают ЯМР-лазеры [11], уже ста- новится заметным вклад f/1 -шумов, причем ин- тенсивность генерируемого ЯМР-лазером излуче- ния значительно ниже, чем в других, более высо- кочастотных системах. Примером микроволновой многочастич- ной неравновесной системы, обладающей очень низким уровнем внутреннего шума, является фазер (квантовый парамагнитный усилитель и генератор гиперзвука), созданный в ИРЭ НАНУ [12-14] в результате экспериментальных и теоретических Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 210 исследований на стыке квантовой радиофизики, квантовой акустики, физики низких температур и нелинейной динамики. Как показали дальнейшие исследования, при определенных условиях фазер- ный генератор демонстрирует возникновение сложных самоорганизованных динамических структур автоволнового типа [15-17], переход от регулярных спин-фононных движений к низко- размерным режимам детерминированного хаоса [18], сосуществование пространственных облас- тей с регулярными и хаотическими состояниями активной среды [19] и т. д. При этом частота ге- нерируемого фазером акустического излучения (гиперзвука) обычно составляет 3 - 10 ГГц, а дли- на волны лежит в области 1 - 3 мкм. Это соответ- ствует типичным длинам волн лазерного излуче- ния (ближний инфракрасный диапазон). Таким образом, фазер является акустическим аналогом лазера, однако уровень спонтанного излучения в фазере на 12 - 15 порядков ниже, чем в оптиче- ском лазере (в силу кубической зависимости ин- тенсивности спонтанного излучения от частоты). 1. Современное состояние проблемы и цель работы. Стандартные термодинамические модели активных сред [20, 21], использовавшие- ся, в частности, для интерпретации эксперимен- тов по фазерному усилению слабых (ненасы- щающих) акустических полей [14, 22, 23], не яв- ляются адекватными для генерирующего фазера. Действительно, фазер, находящийся ниже порога самовозбуждения и работающий в режиме линей- ного усиления, подвергается действию только одного сильного микроволнового поля, каковым является электромагнитное поле накачки. В этом случае существует выделенная система координат, вращающаяся вместе с резонансной циркулярной компонентой поля накачки. В такой системе коор- динат можно ввести макроскопический параметр - спиновую температуру [20], что, в частности, по- зволяет существенно упростить задачу о насыще- нии многочастичной фазерной системы по каналу накачки [14]. Если электронная парамагнитная подсистема связана с ядерной подсистемой, то до- полнительно вводится ядерная зеемановская тем- пература [21]. И наконец, при учете электронных диполь-дипольных взаимодействий используется третий макроскопический параметр - температура резервуара этих взаимодействий [20,21]. Тогда для описания эффекта усиления гиперзвука в много- частичной системе достаточно решить уравнения для трех указанных температур, описывающих свя- занные тепловые резервуары системы. На этой ос- нове были объяснены экспериментально обнару- женные нестационарные эффекты в фазерных уси- лителях [14, 22, 23]. Однако, если накачка фазера приводит к надпороговой инверсии электронной спин- системы, когда усиление гиперзвука превышает его потери и соответственно начинается самовоз- буждение гиперзвука, концепция спиновых тем- ператур перестает быть подходящим инструмен- том для описания нелинейных процессов, проис- ходящих в активной среде. Действительно, мно- гомодовый характер фазерной генерации указы- вает на обособление и сосуществование ряда не- зависимых подсистем в фазерной среде [13, 14]. Поведение этих подсистем (в зависимости от ус- ловий накачки) демонстрирует либо регулярный характер в виде движения нескольких крупных самоорганизованных ДС [15-17], либо же более сложный характер, указывающий на формирова- ние гораздо бóльшего количества (>10 2 –10 3 ) сла- бо связанных мелкомасштабных ДС [19]. Соот- ветственно макроскопическое описание поведе- ния подобных неравновесных диссипативных систем на основе представлений спиновой термо- динамики представляется неоправданным. По- этому актуальной является проблема решения многочастичных задач, касающихся микроскопи- ческого моделирования эволюции таких систем. При этом количество АЦ, содержащихся в систе- ме, должно быть, по крайней мере, мезоскопиче- ски большим - порядка 10 4 –10 6 и более. Совершенно очевидно, что на данном этапе для таких систем не может быть и речи об использовании стандартных методов имитацион- ного моделирования (simulation) [24], поскольку ресурсы современных ЭВМ явно недостаточны для решения пространственных задач при столь большом количестве взаимодействующих частиц, каждая из которых требует индивидуального опи- сания на всем протяжении эволюции системы. Для преодоления данной трудности можно обра- титься к развитым в последнее время альтерна- тивным методам моделирования многочастичных систем, например, на основе клеточных автома- тов [25], сетей возбудимых элементов [26], ней- ронных сетей [27] или клеточно-нейронных моде- лей [28], которые гораздо экономнее используют ресурсы компьютера благодаря возможности прямого отображения используемых алгоритмов на архитектуру вычислительной машины. Отли- чительной особенностью рассматриваемых нами активных систем с инверсной населенностью яв- ляется использование дискретных АЦ, имеющих небольшое количество рабочих уровней. Обычно таких уровней три или четыре, причем только на нижнем уровне активная частица может нахо- диться сколь угодно длительное время, а осталь- ные уровни имеют конечные времена релаксации, что характерно для так называемых возбудимых систем [29-31]. Моделирование пространственно- временной динамики многочастичных систем с Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 211 малым числом рабочих уровней, в том числе воз- будимых систем, является особенно эффективным в случае использования дискретных отображений типа клеточных автоматов [25, 29, 30], эмули- рующих параллельную обработку информации на обычных однопроцессорных вычислительных машинах. Этот подход был использован в работах [31-33] для построения дискретных отображений, воспроизводящих основные черты динамики дис- сипативной неравновесной системы, которая со- стоит из однотипных, локально взаимодействую- щих трехуровневых АЦ (что соответствует слу- чаю однородной по Нейману среды [34]). В ре- зультате для указанной системы были найдены условия самоорганизованного формирования ВСА, представляющих собой один из видов вих- ревых ДС, несущих топологический заряд 0TQ . Напомним, что абсолютная величина топологического заряда TQ соответствует ко- личеству "рукавов" спирали в окрестности ядра ВСА, а sgn TQ определяется следующим обра- зом: sgn 1TQ при направлении вращения спирали по часовой стрелке, 1sgn TQ - в противоположном случае. Необычные свойства ВСА, возникающих как результат процессов пространственной само- организации в диссипативных системах, привле- кают в настоящее время внимание как исследова- телей из различных областей современного есте- ствознания [3, 4], так и специалистов в области компьютерной техники [35, 36]. В частности, большой интерес вызывают явления, связанные с несохранением TQ - так называемые топологиче- ские реакции, которые исследовались ранее в консервативных системах со специально введен- ными резкими, "контрастными" пространствен- ными неоднородностями и при внешнем возбуж- дении оптических вихрей недиссипативной при- роды (т. е. неавтоволновых спиральных структур) [37]. С другой стороны, вихревые структуры типа ВСА могут быть использованы в ряде областей современной технологии, например, для захвата, удержания и перемещения мезоскопических объ- ектов (наночастиц) [38], что имеет несомненный практический интерес. В работах [31-33] было показано, что в неравновесных диссипативных системах с дис- кретными трехуровневыми АЦ возникновение ВСА может происходить самопроизвольно, без какого-либо внешнего воздействия, причем не требуется и введение тех или иных специальных неоднородностей в тело активной среды, тем бо- лее резких неоднородностей типа рассмотренных в работе [37]. В частности, в работах [31-33] было обнаружено самоиндуцированное уменьшение модуля суммарного топологического заряда TQ (вплоть до 1TQ ) для системы ВСА, имеющих одинаковые индивидуальные TQsgn . Существенно, что указанные явления са- моорганизации ДС могут реализоваться даже в параметрически однородных активных средах, вообще не имеющих каких-либо статических не- однородностей. При этом начальная нуклеация возбуждений (зарождение вихревых сердцевин), приводящая в итоге к самоорганизации ВСА, воз- никает благодаря слабой динамической неодно- родности пространственного распределения ин- версной населенности, имеющей место на на- чальном этапе эволюции системы. Целью настоящей работы является моде- лирование процессов самоорганизации ВСА в многочастичной детерминированной неравновес- ной диссипативной системе с трехуровневыми АЦ (на основе клеточно-автоматного представле- ния активной среды [25, 29, 30]). Основные зада- чи работы - выполнение численных эксперимен- тов, направленных на исследование явлений кон- куренции самоорганизованных ВСА, на изучение условий сосуществования ВСА с противополож- ными TQsgn и на выяснение возможности само- индуцированного обращения TQsgn при тополо- гических реакциях между ВСА в ограниченной неравновесной диссипативной среде. 2. Модель диссипативной среды, на- чальные и граничные условия. В качестве ба- зовой модели выбрана клеточно-автоматная мо- дель Зыкова-Михайлова (ЗМ), которая была предложена ранее в работе [29] как дискретный вариант известной континуальной модели Вине- ра-Розенблюта [30]. Существенно, что в модели ЗМ учтено конечное время релаксации верхнего уровня возбудимой среды, что характерно и для интересующих нас микроволновых активных сис- тем фазерного типа. В оригинальной модели Ви- нера-Розенблюта релаксация верхнего уровня предполагалась "мгновенной", что затрудняло применение такой математической модели для описания реальных систем. Модель ЗМ не содер- жит подобных упрощающих предположений о процессах релаксации АЦ. Как и многие другие решеточные модели, рассматриваемая здесь модель ЗМ позволяет вы- полнить своеобразное проецирование сложной континуальной системы на дискретную двумер- ную (2D) решетку. Это позволяет произвести не только построение эффективной (полиномиаль- ной по времени) алгоритмической процедуры, но и представить результаты моделирования в виде Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 212 наглядных и легко воспринимаемых геометриче- ских образов. Более подробное обоснование вы- бора модели ЗМ в качестве базовой для исследо- вания возбудимых систем содержится в работах [31-33]. В рамках модели ЗМ [29, 30] эволюция 2D-системы, содержащей XYD трехуровневых АЦ, может быть описана посредством дискрет- ных отображений для матрицы состояний АЦ, имеющей вид )()( n ij n , где )(n ij - целочис- ленные неотрицательные величины; n - дискрет- ное время, принимающее целые неотрицательные значения на интервале Nn0 (минимальный шаг итерационного процесса, как и в [29, 30], со- ставляет 1minn ); ji, - пространственные ко- ординаты АЦ на ограниченной решетке, форми- рующей активную область; XMi1 ; YMj1 ; N - заключительный шаг эволюции; XM и YM - размеры решетки (целые положи- тельные числа); XYYX DMM . Каждый из АЦ с координатами ji, в ка- ждый момент времени n может находиться толь- ко на одном из уровней KL , где }IIIII;I;{K , причем IIIIII LLL . Следуя принятой в тео- рии возбудимых систем терминологии [29, 30], будем называть уровень IL основным, уровень IIL - рефрактерным, а уровень IIIL - возбужден- ным. Активная среда, состоящая из дискретных АЦ, предполагается однородной в смысле Нейма- на [34], т. е. свойства всех АЦ с координатами ),( ji одинаковы во всей области XMi1 ; YMj1 . При Nn0 значения матричных эле- ментов )(n ij для всех АЦ определены на интерва- ле ],0[)( re n ij , что соответствует макси- мально возможному времени замыкания цикла IIIIIII LLLL для каждого из АЦ. Здесь e и r - времена релаксации для возбуж- денного и рефрактерного уровней соответствен- но. Времена релаксации ,e r в рассматриваемой дискретной модели, как и в рамках модели ЗМ [29, 30], представляют собой целые неотрица- тельные числа (обычно ,e r N ). Время ре- лаксации e представляет собой максимальное время жизни АЦ на уровне IIIL , которое дости- гается при полном отсутствии влияния соседних АЦ [29, 30]. Время релаксации r для возбуди- мой среды всегда равно времени жизни АЦ на уровне IIL (в силу отсутствия каких-либо взаимо- действий с соседними АЦ [29, 30]). Для подобных дискретных моделей лю- бой параметр, характеризующий развитие систе- мы во времени, должен измеряться количеством шагов итерационного процесса. Как было указано выше, минимальный шаг итерационного процесса в нашей модели, как и в [29, 30], составляет 1minn . Именно по этой причине времена ре- лаксации e и r в клеточно-автоматных моде- лях типа ЗМ должны быть целыми неотрицатель- ными числами. По определению для всех АЦ при Nn0 имеют место следующие взаимно- однозначные соотношения между текущими уровнями KL и значениями )(n ij [29, 30]: ( ) ( ) I ( ) ( ) III ( ) ( ) II [ ( , ) ] ( 0), [ ( , ) ] (0 ) , [ ( , ) ] ( ) . n n K ij n n K ij e n n K e ij e r L i j L L i j L L i j L (1) Начальные условия )0()0( ij , т. е. совокупность состояний всех АЦ при 0n , где 1;1;0)0( eij , отвечают пространственным распределениям АЦ по уровням KL в момент времени 0n : (0) (0) I (0) (0) III (0) (0) II 0, ( ( , ) ),IF 1, IF ( ( , ) ), IF1, ( ( , ) ). ij K ij K ij e K L i j L L i j L L i j L (2) В качестве граничных условий нами ис- пользованы условия нулевого потока возбужде- ний через границы активной среды. Для форму- лировки таких граничных условий в данной моде- ли достаточно ввести виртуальные пассивные центры (ВПЦ), обрамляющие активную среду, т. е. имеющие координаты wv, , для которых ).1()1()0()0( YX MwMvwv Определив величины const)( qn vw , где ],0[ req , можно считать, что все ВПЦ при Nn0 неизменно находятся на некото- ром уровне KLL0 . Далее, объединяя актив- ную область и область ВПЦ в единую решетку с 10 XMi ; 10 YMj и полагая для оп- Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 213 ределенности 1q , можно сформулировать ни- жеследующий алгоритм итеративного процесса. 3. Алгоритм итеративного процесса. Итеративный процесс строится следующим обра- зом [31-33]. Сначала вычисляются значения вспомогательной матрицы )1(1)(U n ij n u на шаге 1n с учетом как предыдущих значений )(n iju , так и диффузии возбуждений от соседних АЦ. При этом считается, что 0)0( iju , а после- дующие значения ...;; )2()1( ijij uu определяются формулой ( 1) ( ) ( ) , , ( , ) ,n n n ij ij i p j q p q u gu C p q J (3) где коэффициенты ),( qpC задают активную ок- рестность соседних АЦ, а величины )( , n qjpiJ яв- ляются весовыми коэффициентами, определяю- щими характер диффузии возбуждений. В на- стоящей работе активной является так называемая окрестность Мура, содержащая возбужденные АЦ лишь в первой координационной сфере (что соот- ветствует слабой диффузии возбуждений): 0 0 0 0 ( , ) 1, IF ( 1) ( 1) , 0, IF NOT ( 1) ( 1) , p q p q C p q p q p q (4) причем, как и в работах [29, 30], весовые коэффи- циенты определяются следующим образом: ( ) ( ) ( ) 1, IF (0 ), 0, IF NOT (0 ). n ij en ij n ij e J (5) На основной стадии каждой итерации осуществляется преобразование матрицы состоя- ний )()( n ij n [29 - 33], выполняемое колмо- горовским оператором эволюции  [39] )()()1()1( n ij nn ij n  . (6) Эволюционный оператор  для рас- сматриваемой задачи содержит четыре ортого- нальные ветви 0  , I  , II  , III  , задающие итеративный процесс в области определения пе- ременных ],1[ reij : ).],0[(IF ,)(IF ,)0(IF ,)0(IF , , , , )( )( )( )( )( 0 )( II )( III )( I )()1( re n ij re n ije e n ij n ij n ij n ij n ij n ij n ij n ij      (7) Первая ветвь I  является активной при ILL K и имеет следующий вид: ,)()0( ,)()0( IF IF ,1 ,0 )1()( )1()( )( I hu hu n ij n ij n ij n ij n ij  (8) где h - пороговое значение, соответствующее переходу АЦ из устойчивого основного состояния в возбужденное, т. е. переходу IIII LL . Вторая ветвь II  активна для IILLK . Она описывает рефрактерное состояние АЦ .)( ;)( IF IF ,0 ,1 )( )()( )( II re n ij re n ije n ij n ij  (9) Определенные таким образом ветви I  и II  в точности соответствуют модели ЗМ [29, 30]. Однако в используемой здесь модели [31-33] третья ветвь III  , активизирующаяся при IIILL K , содержит (в отличие от модели ЗМ [29, 30]) второй канал диффузии, соответствую- щий локальному ингибированию возбуждений. Причина введения в модель дополни- тельного канала диффузии состоит в следующем. В трехуровневой активной системе лазерного (фазерного) типа имеется, вообще говоря, три различных канала диффузии возбуждений. Среди подобных систем, принадлежащих к классу B , можно выделить важный подкласс, для которого третий канал диффузии оказывается не столь эф- фективным, как первые два. Примером такой сис- темы является фазерная система 2 2 3Ni :Al O где один из спиновых переходов строго запрещен для Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 214 магнито-дипольных взаимодействий. Следова- тельно, модель ЗМ нуждается в модификации для учета как минимум еще одного канала диффузии в многочастичной активной (возбудимой) среде. Здесь, как и в [31-33], мы ограничимся случаем локального ингибирования возбуждений АЦ c IIILL K окружающими АЦ с ILLK . Исходя из этого, ветвь III  может быть определена следующим образом [31-33]: , ,)( IF IF ,2 ,1 )( )0()( )( )( )( III Z ZZ n ij n ij n ij  (10) где )0()( ,ZZ - булевские выражения: )()0( )1()()( fzZ n ije n ij ; (11) e n ijZ )()0( ; (12) )()0( )1()()( fzZ n ije n ij . (13) Здесь f - пороговое значение для параметров )1(n ijz , описывающих второй канал диффузии (диффузии "антивозбуждений") за счет ингибиро- вания АЦ c IIILL K окружающими АЦ с ILLK , что ведет к переходам IIIII LL : qp n qjpi n ij QqpCz , )( , )1( ),( , (14) а весовые коэффициенты имеют вид .)0( ,)0( IF IF ,0 ,1 )( , )( ,)( , n qjpi n qjpin qjpiQ (15) На завершающей стадии каждой из ите- раций определяется распределение АЦ по уров- ням KL согласно соотношениям (1). Полученное распределение ),( )1( jiL n K может быть визуали- зировано и (или) сохранено на диске, а следую- щая итерация осуществляется с использованием текущего состояния системы. Инициализация системы (импульсное возбуждение неравновесного состояния) осуще- ствляется путем генерации случайных простран- ственных распределений АЦ по уровням KL , причем статистические свойства этих распреде- лений удовлетворяют следующим требованиям относительно соотношений между )0( KS , где )0( KS - суммарные количества АЦ, принадлежащих уровням KL в момент времени 0n : )0( III )0( I SS ; (16) XYDSS )0( III )0( I ; (17) )0( II )0( III 2SS ; (18) XYDSSS )0( III )0( II )0( I . (19) Неравенства (16), (17) соответствуют фи- зическому условию насыщения перехода IIII LL стартовым импульсом накачки, нера- венство (18) означает сильную инверсию насе- ленностей перехода IIIII LL при 0n , а усло- вие (19) является очевидным в силу сохранения общего количества АЦ. Завершение итеративного процесса мо- жет происходить либо автоматически (после вы- хода системы на аттрактор), либо же по предо- пределенной точке останова, что определяется настройками программ, реализующих компью- терное моделирование. Основная часть компьютерных экспери- ментов в настоящей работе проведена с использо- ванием программ Three-Level Laser model (TLL) [40] и Three-Level Model of excitable system (TLM) [41], имеющих оконные интерфейсы, наборы до- полнительных утилит для работы как с символь- ными, так и с битовыми представлениями образов активной среды, а также эмуляторы импульсного возбуждения (инициализации) среды со случай- ным пространственным распределением АЦ по уровням KL . Исходный код программы TLL написан на языке C++, эта программа оптимизирована по скорости выполнения итеративного процесса, но она предназначена только для работы на плат- форме Windows. Исходный код программы TLM написан на языке Java, скорость ее работы не- сколько ниже, чем у программы TLL, однако про- грамма TLM является кросс-платформенной и компилируется для работы не только под Win- dows, но и под Unix, Linux, FreeBSD и другими платформами, для которых реализована вирту- альна машина Java. Обе указанные программы разработаны C. Д. Маковецким в Харьковском национальном университете радиоэлектроники в 2002 - 2006 гг. Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 215 4. Сосуществование самоорганизован- ных ВСА в условиях слабой конкуренции вих- рей с различными топологическими заряда- ми. Перейдем к изложению результатов компью- терного моделирования процессов самоорганиза- ции и конкуренции ВСА в многочастичных де- терминированных неравновесных системах с трехуровневыми АЦ. Рассмотрим сначала типич- ный случай слабой конкуренции самоорганизо- ванных ВСА, наблюдавшийся, в частности, при 300X YM M ; 1g ; 2f ; 60e ; 46r ; 51h (рис. 1). Черным, серым и белым цветом на рис. 1 обозначены соответственно воз- бужденные IIIL , рефрактерные IIL и основные IL состояния АЦ. Числа под паттернами соответ- ствуют шагам эволюции n . Рис. 1. Слабоконкурентная эволюция самоорганизованных ВСА, приводящая к динамической стабилизации вихревой структуры с различными знаками топологического заряда Первая стадия процесса самоорганизации носит "взрывной" характер: за относительно ко- роткое время система переходит от начального состояния со случайным распределением АЦ по KL (рис. 1, 0n ) к состоянию явно выраженной нуклеации (рис. 1, 1000n ). Подобный характер нуклеации уже наблюдался нами ранее в компью- терных экспериментах для системы, имеющей те же размеры ;X YM M и то же значение парамет- ра g , но при других значениях времен релакса- ции e и r , а также при других параметрах f и h (см. рис. 1 из работы [32]). Однако уже на второй стадии конкурен- ция между лабиринтными структурами и зарож- дающимися локальными ВСА (рис. 1, 3000n и 10000n ) приводит к гораздо более быстрому развитию обособленных ВСА, чем в работе [32]. Третья стадия на рис. 1 значительно от- личается от таковой для рис. 1 из работы [32] - вместо одного крупномасштабного вихря, вытес- няющего лабиринтную структуру, возникает не- сколько вихревых областей (рис. 1, 30000n ), подавляющих лабиринтные образования. Эти вихри имеют различные sgn TQ , однако в целом превалируют вихри с sgn 1TQ . В результате подобного направления то- пологических реакций постепенно происходит динамическая стабилизация распределений ВСА по пространству. При этом "положительные" ВСА, имеющие sgn 1TQ и "отрицательные" ВСА, обладающие sgn 1TQ , конкурируют все слабее, локализуясь в тех или иных областях ак- тивной возбудимой среды. В результате на по- следней стадии все ВСА уже сосуществуют, не конкурируя (рис. 1, 300000n ). Это соответст- вует выходу системы на периодический аттрак- тор. Периодическое движение происходит в фор- ме синхронных вращений всех составляющих вихревого кластера из шести ВСА, четыре из ко- торых имеют sgn 1TQ , а у оставшихся двух sgn 1TQ . Таким образом, для данной системы са- моорганизованная многовихревая структура с 2TQ является устойчивой и не разрушается с течением времени. Данный тип слабоконку- рентной самоорганизации ВСА обусловлен по- степенным затуханием скорости дрейфа их ядер. Благодаря этому ВСА, находящиеся далеко от поглощающих границ, не успевают столкнуться с этими границами вплоть до завершения стабили- зации положения их ядер. При других стартовых паттернах данная система ведет себя точно так же: слабая конку- ренция между самоорганизованными ВСА приво- дит к формированию групп сосуществующих, динамически устойчивых вихрей, хотя результи- Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 216 рующие величина и знак TQ зависят от началь- ных условий (эффект мультистабильности, иссле- довавшийся в работе [32] при 100X YM M ). Типичные времена переходных процессов tran (от стартового возбуждения системы до ее выхода на периодический аттрактор) оказались столь же большими, как и в случаях, рассмотренных ранее в работе [32], а именно 310tran rel для систем с 300X YM M . Подчеркнем, что рассмотренные выше процессы возникновения, развития и динамической стабилизации ВСА происходят, как уже указыва- лось выше, в среде, которая является параметриче- ски однородной по Нейману [34]. В этом плане механизм формирования спиральных пространст- венных структур качественно отличается как от механизма формирования оптических вихрей в сингулярной оптике, так и от соответствующего механизма в модели Винера-Розенблюта [30]. Так, вихри в сингулярной оптике образуются за счет специально введенных неоднородностей показате- ля преломления, задающих следующую простран- ственно-временную зависимость комплексной ам- плитуды поля ),,( tRa в окрестности центра не- однородности двумерной среды (см. [42] и ссылки в этой работе): ( ) 0 0( , , ) Ti Qia R t a e a e , (20) где R и - полярные координаты (соответст- венно радиус-вектор и полярный угол), отсчиты- ваемые от центра неоднородности; t - время; 0 0 ( , )a a R t - действительная амплитуда поля, причем 0 0 ( )a a ; ( , , )R t - фаза поля; 0 ( 0) 0a R ; 1 0( , ) ( )R t t R . Как видно из (20), в центре неоднородно- сти имеется сингулярность, где амплитуда поля равна нулю, а фаза не определена. На практике вместо сингулярности в оптической среде изго- тавливается малая конечная область с разрывом показателя преломления - своего рода отверстие, которое с топологической точки зрения эквива- лентно отверстию в модели Винера-Розенблюта [30]. В то же время наша среда по определению является топологически односвязной (в смысле Неймана [34]), поэтому возникновение ВСА не связано с классическим винеровским механизмом циркуляции возбуждения по периметру неодно- родности [30]. В этом смысле сходство между ВСА и оптическими спиралями является чисто внешним. Более того, если в сингулярной оптике рассматриваются пóлевые вихревые структуры, то описываемые здесь ВСА представляют собой спиральные динамические распределения насе- ленностей уровней АЦ по пространству. Подоб- ная "вихревая материя" образуется и в других системах, где, например, АЦ являются не возбу- димыми, а осцилляторными [42]. С другой стороны, механизмы стабили- зации ВСА в нашей системе носят качественно иной характер по сравнению с [42], хотя пере- ходные процессы и в нашей возбудимой среде, и в среде взаимодействующих осцилляторов [42] могут иметь, вообще говоря, очень большую длительность. Особенно интересными (и совер- шенно непохожими на осцилляторные системы [42]) оказываются возбудимые системы с силь- ной конкуренцией между самоорганизованными ВСА, к рассмотрению которых мы и переходим далее. 5. Самоиндуцированное обращение знака топологического заряда в условиях сильной конкуренции ВСА. Как показали наши дальнейшие компьютерные эксперименты, с уве- личением размеров системы величина tran также возрастает, достигая значений 5 610 10tran уже при 310X YM M . Вопрос о времени пе- реходных процессов, в течение которого сосуще- ствуют структуры с различными sgn TQ , привле- кает в настоящее время внимание не только физи- ков, но и других исследователей, в том числе спе- циалистов в области биологической эволюции [43]. Основное внимание здесь уделяется меха- низмам подавления одних структур другими (достижения монокиральности, т. е. стабилизации структур с определенным sgn TQ [43]). При этом ускользают от внимания менее очевидные сценарии эволюции самоорганизую- щихся структур, возможные в однородных дисси- пативных системах (но запрещенные в однород- ных консервативных системах). Речь идет, в ча- стности, о самоиндуцированном обращении знака топологического заряда для системы ВСА в не- равновесной диссипативной ограниченной среде. В неограниченной диссипативной среде, как и в консервативных системах, выполняется закон сохранения суммарного топологического заряда const)(nQ T [30]. В системе с одноканальной диффузией наличие поглощающей границы приво- дит к разрушению ядер дрейфующих ВСА, если эти ядра оказываются в опасной близости к такой границе, а именно, если расстояние от ядра до гра- ницы становится меньше винеровской длины вол- ны W (т. е. расстояния между витками ВСА) [30]. Соответственно для случая одноканальной диффу- зии в ограниченной диссипативной среде суммар- ный топологический заряд не сохраняется, причем Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 217 при 12 nn выполняются соотношения )()( 12 nQnQ TT ; (21) )(sgn)(sgn 12 nQnQ TT . (22) где nn1 ; Nn2 ; n - время завершения нук- леации вихрей в среде; ren . В ограниченной среде с двухканальной диффузией ситуация оказывается гораздо более сложной, что уже отмечалось в работе [31]. Сово- купность полученных ранее результатов [31-33] и выполненных в настоящей работе исследований позволяет выделить следующие группы явлений, которые на разных этапах протекают в различных по площади областях активного пространства (аренах) SA : – конкурентные взаимодействия между высокоорганизованными вихревыми пространст- венно-временными структурами - локализован- ными ВСА, конгломератами взаимно синхрони- зированных ВСА; самоорганизованными источ- никами концентрических волн (пейсмейкерами) и др. Эти взаимодействия обычно возникают на аренах умеренных размеров XYSW DA2 и лишь потом постепенно захватывают всю пло- щадь активной среды; – конкурентные взаимодействия между высокоорганизованными (например, ВСА) и низ- коорганизованными (например, лабиринтными) пространственно-временными структурами. Эти взаимодействия изначально реализуются при S XYA D , хотя возможны также варианты S XYA D . Как и для предыдущей группы явле- ний, здесь обычно выполняется 2 S WA ; – образование динамических дефектов и регенерация ВСА, наблюдающиеся соответствен- но в форме появления дислокаций и нелинейных "отражений" ВСА от границы активной среды, а также деление ВСА на несколько самостоятель- ных компонент. Ареной этих явлений всегда яв- ляется поверхностный слой активной системы ( 2 S W XYA D ). Детальное исследование каждого из пе- речисленных выше эффектов в достаточно широ- ком диапазоне сочетаний времен релаксации и управляющих параметров требует отдельной ра- боты. Здесь мы остановимся на подробном опи- сании конкурентных взаимодействий между вы- сокоорганизованными вихревыми пространствен- но-временными структурами, когда наблюдается упомянутое выше явление самоиндуцированного обращения знака топологического заряда для сис- темы ВСА. В целом ареной, на которой происхо- дят соответствующие конкурентные взаимодейст- вия между ВСА, является вся активная среда ( S XYA D ), однако на определенных этапах су- щественную роль играют поглощающие границы среды. В частности, эпизоды, определяющие гло- бальное направление эволюции системы, разыгры- ваются первоначально на малых участках поверх- ностного слоя активной среды, т. е. в областях с площадью порядка W , где - толщина поверх- ностного слоя (в нашей системе 1 2 ). Отме- тим, что подобное явление наблюдалось в наших компьютерных экспериментах только при двухка- нальной диффузии возбуждений. На рис. 2 и 3 показаны состояния актив- ной системы, имеющей параметры 1g ; 3f ; 50e r h , после ее длительной эволюции, а именно при 610n . Случайное начальное рас- пределение АЦ по уровням (при 0n ) - пример- но того же вида, что и на рис. 1, но имеет гораздо большие размеры: 900X YM M , т. е. 60,81 10XYD . Черным цветом показаны АЦ, находящиеся на уровне IIIL (возбужденные АЦ). Все остальные АЦ (находящиеся на уровнях IL и IIL ) показаны на рис. 2 и 3 белым цветом. При 61,48 10n (рис. 2, верхний пат- терн) имеет место практически полная "синхро- низация" ВСА как по модулю, так и по знаку TQ - все ВСА вращаются по часовой стрелке ( 1TQ ). Имеется лишь одна дислокация в верхней части паттерна 61,48 10n (рис. 2, верхний паттерн), вращающаяся против часовой стрелки, но она (вместе с порождающей ее ВСА) окружена кольцевыми автоволнами с 0TQ . Соответственно 1TQ , sgn 1TQ . При этом вся активная область оказывается разбитой на вихревые домены, а роль доменных стенок играют ударные волны, возникающие вследствие расталкивания ВСА, имеющих одинаковые знаки топологического заряда. Эта стадия абсолютного доминирования ВСА с положительным топологи- ческим зарядом является результатом сильной конкуренции первичных вихревых структур на стадии перехода от лабиринтно-вихревых ДС к чисто спиральным ДС (подробно этот сценарий конкуренции ДС был рассмотрен в работе [32]). Интуитивно кажется, что последующая эволюция системы (вследствие указанного рас- талкивания одноименно заряженных ВСА) долж- на протекать по сценарию постепенного умень- Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 218 шения TQ при сохранении TQsgn , тем бо- лее, что указанный сценарий уже наблюдался в компьютерных экспериментах работы [32] на по- хожей, хотя и гораздо меньшей по размерам сис- теме. И действительно, вплоть до 61085,1n так и происходит. При 61085,1n (рис. 2, ниж- ний паттерн) во всей системе остаются лишь три ВСА. Две из них, имеющие 1TQ , приближа- ются к границе, а ядро третьей ВСА уже находит- ся на границе активной среды. Рис. 2. Фрагменты эволюции самоорганизованных ВСА в условиях их сильной конкуренции (стадия абсолютного до- минирования ВСА с положительным топологическим заря- дом) Однако далее эволюционный процесс по- лучает совсем другое направление, которое нель- зя было предсказать на основе интуитивных со- ображений. Рассмотрим наиболее важные стадии этого процесса. При 6 61,85 10 1,88 10n почти вертикальная доменная стенка изгибается, а расположенная у западной границы активной сре- ды ВСА движется вдоль этой границы, постепен- но прижимаясь к ней. Одновременно почти по- средине южной границы рождается дислокация, растущая в северном направлении. По мере роста данная дислокация постепенно закручивается, образуя ВСА с 1TQ . Эта ВСА при 61089,1n уже составляет заметную конкурен- цию по отношению к прежним двум ВСА, имею- щим 1TQ (рис. 3, верхний паттерн). Резуль- татом конкуренции является гибель обеих ВСА с 1TQ (в результате разрушения их ядер на границах среды) и образование монодоменной структуры - ВСА с 1T TQ Q и почти пра- вильной формой типа архимедовой спирали (рис. 3, нижний паттерн). Итак, в системе проис- ходит самоиндуцированное обращение знака то- пологического заряда, не связанное с флуктуаци- онной перестройкой состояния системы. Интересно сопоставить поведение нашей вихреобразующей системы, составленной из воз- будимых элементов, с поведением вихреобра- зующей системы из осцилляторных элементов [42]. Уединенные возбудимые элементы (трех- уровневые АЦ) сами по себе не могут совершать колебания, а описанные выше кооперативные динамические эффекты образования ВСА опреде- ляются характером взаимодействия каждого дан- ного АЦ со своим ближайшим окружением. Соответственно при возникновении коле- бательных и (или) волновых процессов в возбу- димой среде поведение АЦ, находящихся в по- верхностном слое, может сильно отличаться от поведения всех других АЦ. Для систем, рассмот- ренных в работе [42] это различие не столь силь- ное, поскольку здесь определяющую роль играют процессы синхронизации элементов, которые из- начально уже совершают колебания, в том числе и будучи уединенными. В результате в возбуди- мой среде, в отличие от среды из осцилляторных элементов, типичным является процесс рождения динамических дефектов (дислокаций) на границах системы, что и приводит к развитию новых ВСА, знак TQ для которых может отличаться от знака ВСА в доминирующем ансамбле последних. Да- лее все решается тем, какая (какие) ВСА побеж- дают в конкуренции, что и показано на рис. 3. Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 219 Рис. 3. То же, что и на рис. 2, но на стадии самоиндуцирован- ного перехода к отрицательному топологическому заряду системы К вышесказанному следует добавить, что подобная детерминированная трансформация TQ является строго запрещенной как в консерватив- ной 2D-системе, так и в неограниченной диссипа- тивной 2D-системе. Именно наличие границ сре- ды и определяет возможность несохранения не только модуля, но и знака топологического заряда в диссипативной системе, где эволюционирует доменная вихревая структура. Конкретный меха- низм, приводящий впоследствии к обращению знака топологического заряда, связан со сравни- тельно быстрыми эффектами рождения дислока- ций (зародышей ВСА) на границах системы. Од- нако общее время переходного процесса достига- ет гигантских значений, на много порядков пре- вышающих времена релаксации уединенных АЦ, что обусловлено медленной перестройкой вихре- вой структуры по всему активному пространству. Такие процессы несохранения TQ , проявляю- щиеся в результате длительной эволюции ДС в нелинейных системах, привлекают в настоящее время внимание специалистов в области нелиней- ной динамики [44], что указывает на перспектив- ность продолжения работ в этом направлении. Перед тем, как переходить к итогам данной рабо- ты, укажем также и другие возможные направле- ния исследований ДС в трехуровневых системах. 6. Направления дальнейших исследо- ваний. Перспективным направлением исследова- ния ДС и, в частности, ВСА является динамика многокомпонентных неоднородных возбудимых сред рассмотренного нами типа (ограниченных сред с двухканальной диффузией возбуждений). Пусть возбудимая среда содержит несколько пе- ремешанных в пространстве групп АЦ с разли- чающимися временами рефрактерности ),( jirr . В диссипативных системах с одно- канальной диффузией указанная пространствен- ная неоднородность возбудимой среды, как из- вестно [30], может приводить к спонтанному на- растанию количества ВСА (репликации ВСА) в пределах всей среды, причем для этих же систем зачастую характерен и быстрый дрейф ВСА. В то же время в указанных системах с одноканальной диффузией возбуждений столкновение ядра ВСА с поглощающими границами, как уже отмечалось выше, обычно приводит к разрушению ВСА [30]. Таким образом, имеется конкуренция между про- цессами объемной репликации ВСА и их поверх- ностным поглощением. Оценим условия возник- новения неустойчивости (нарастания количества ВСА) в подобной системе. Пусть ( )W n - количество всех ВСА в 2D-системе на момент времени n . Тогда крите- рий нарастания количества ВСА ( ) ( ) 0W W n n W n можно сформули- ровать по аналогии с критерием возбуждения цепной реакции в расщепляющейся среде. Если считать, что площадь нашей активной 2D-среды очень большая 2 1M , где ~ XYM D - ха- рактерный линейный размер среды, а статическое пространственное распределение АЦ с различны- ми r является случайным, то вероятность воз- никновения новой ВСА примерно одинакова для каждого из узлов активной среды. В этом случае количество ВСА ( ) 1CW , которые генерируются по всей площади среды с одноканальной диффузией Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 220 в течение отрезка времени n составляет ( ) 2 1C ( )W W n M , где - коэффициент, кото- рый в первом приближении не зависит от n . С другой стороны, количество ВСА, ко- торые вследствие дрейфа за время n достигают границ и там разрушаются, составляет ( ) 1C ( )W W n M M , где - коэффициент, который также в первом приближении можно считать не зависящим от n ; M - ширина при- граничного слоя, из которого ВСА могут достиг- нуть границы за время n . Если считать, что / constM n , то, вводя M , получа- ем, что количество генерируемых в среде ВСА превышает их потери на границах при ( ) ( ) 1C 1C/ ( / ) 1W W M , т. е. в случае однока- нальной диффузии автоволновая неустойчивость ( 01CW ) развивается только в системах, имеющих достаточно большой размер: 1C crM M , где /crM . В этом состоит одно из качественных различий между возбудимыми средами с однока- нальной и двухканальной диффузиями. В ограни- ченной возбудимой среде с двухканальной диффу- зией, как было показано выше, при определенных условиях на границе может происходить не рас- пад, а регенерация ВСА. Следовательно, в среде с двухканальной диффузией имеем, с одной сторо- ны, ( ) ( ) 2C 1CW W и, с другой стороны, ( ) ( ) 2C 1CW W , т. е. порог автоволновой неустой- чивости при наличии второго канала диффузии резко понижается, а при ( ) 2C 0W порог по пара- метру M , очевидно, отсутствует вообще. На практике это означает, что возбужде- ние автоволновой неустойчивости в среде с двух- канальной диффузией может происходить в сис- темах с умеренными размерами 2CM , для кото- рых 2C 1CM M (при этом, однако, все еще должно соблюдаться условие 2C WM ). Раз- витие неустойчивости на некотором этапе эволю- ции будет, естественно, ограничиваться теми или иными эффектами насыщения, когда величина ( )W n перестанет испытывать экспоненциальный рост и будет в большей или меньшей степени не- регулярно осциллировать относительно некоторо- го среднего значения. Однако динамическая ста- билизация (т. е. выход на аттрактор, где осцилля- ции W становятся периодическими или же пре- кращаются вообще) в дискретной возбудимой среде может настолько затянуться, что доступным для наблюдения остается только та или иная часть переходного процесса. Подобные сверхмедлен- ные процессы рассматривались ранее [45] для 1D систем с непрерывным спектром состояний АЦ [46], где была обнаружена гиперэкспоненциаль- ная зависимость tran от размера системы. Поиск подобных процессов в системах с дискретным спектром состояний АЦ и, в частности, в систе- мах с трехуровневыми АЦ может быть выполнен с помощью методов и программных средств, применявшихся в настоящей работе. Выводы. Таким образом, методами ком- пьютерных экспериментов исследованы процессы детерминированной самоорганизации ВСА в ог- раниченной, параметрически однородной среде, содержащей трехуровневые АЦ, связанные как локальной активацией, так и локальным ингиби- рованием возбуждений. Основное внимание уде- лено особенностям конкуренции ВСА на различ- ных этапах длительных переходных процессов в такой системе при ее импульсной инициализации и нулевом потоке возбуждений на границах. При слабой конкуренции ВСА происхо- дит их стабилизация, причем наблюдается сосу- ществование ВСА с различными знаками тополо- гического заряда. При сильной конкуренции ВСА обнаружены процессы, приводящие к самоинду- цированному обращению знака топологического заряда. Механизм обращения знака топологиче- ского заряда связан с нелинейными явлениями на границах среды, где происходит рождение дисло- каций - зародышей ВСА. Исследованные нами явления конкурен- ции самоорганизованных автоволн в неравновес- ных диссипативных системах с трехуровневыми активными центрами имеют некоторые аналогии с экспериментально наблюдавшимися ранее авто- волновыми явлениями в фазерных системах [15- 19]. В частности, время переходных процессов и в тех и в других системах может достигать гигант- ских значений, которые на много порядков пре- вышают времена релаксации уединенных АЦ. Автор выражает искреннюю признатель- ность С. Д. Маковецкому (Microsoft CP) за воз- можность использовать разработанные им про- граммы Three-Level Model of excitable system (TLM) и Three-Level Laser model (TLL), а также за постоянное сотрудничество в проведении компь- ютерных экспериментов. Автор глубоко благода- рен О. Л. Бандман (Институт вычислительной математики и математической геофизики, Ново- сибирск), Е. Д. Маковецкому (Харьковский на- циональный университет им. В. Н. Каразина, ка- федра физической оптики) и Р. Д. Петерсу (De- partment of Physics, Mercer University, Georgia, USA) за конструктивные замечания, советы и важную библиографическую информацию. Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 221 1. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с. 2. Гинзбург В. Л. О некоторых успехах физики и астрономии за последние три года // Успехи физ. наук. - 2002. - 172, № 2. - С.213-219. 3. Weiss C. O., Vaupel M., Staliunas K., Slekys G., Taranen- ko V. B. Solitons and Vortices in Lasers // Appl. Phys. B. - 1999. - 68, N 2. - P.151-168. 4. Ванаг В. К. Волны и динамические структуры в реакци- онно-диффузионных системах. Реакция Белоусова- Жаботинского в обращенной микроэмульсии // Успехи физ. наук. - 2004. - 174, № 9. - С.991-1010. 5. Кандаурова Г. С. Новые явления в низкочастотной дина- мике коллектива магнитных доменов // Успехи физ. наук. - 2002. - 172, № 10. - С.1165-1187. 6. Makovetsky E. D., Miloslavsky V. K., Ageev L. A. Spontane- ous Grating Formation in Thin Light-Sensitive AgCl-Ag Films at Linear P/S-Polarization of a Laser Beam // Journ. Op- tics A: Pure Appl. Optics. - 2005. - 7, N 7. - P.324-332. 7. Sheka D. D., Gaididei Yu. B, Caputo J. G. et al. A Limit Cycle in the Dynamics of a Magnetic Vortex in a Two- Dimensional Nanodot // Ukr. J. Phys. - 2005. - 50, N 11. - P.1278-1287. 8. Кернер Б. С., Осипов В. В. Автосолитоны: Локализован- ные сильно неоднородные области в однородных дисси- пативных системах. - М,: Наука, 1991. - 197 с. 9. Staliunas K., Weiss C. O. Nonstationary Vortex Lattices in Large-Aperture Class B Lasers // J. Opt. Soc. Amer. B. - 1995. - 12, N 6. - P.1142-1149. 10. Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. - М.: Наука, 1972. - 400 с. 11. Brun E., Deighetti B., Meier D. et al. Observation of Order and Chaos in a Nuclear Spin-Flip Laser // J. Opt. Soc. Amer. B. - 1985. - 2, N 1. - P.156-167. 12. Ганапольский Е. М., Маковецкий Д. Н. Квантовый пара- магнитный усилитель гиперзвука на частоте 9,4 ГГц // Докл. АН СССР. - 1974. - 217, № 2. - С.303-306. 13. Ganapolskii E. M., Makovetskii D. N. Generation of Coherent Phonons in Ruby // Solid State Commun. - 1974. - 15, N 8. - P.1249-1252. 14. Ганапольский Е. М., Маковецкий Д. Н. Усиление и гене- рация когерентных фононов в рубине в условиях инвер- сии населенностей спиновых уровней // Журн. эксперим. и теорет. физики. - 1977. - 72, вып 1. - С.203-217. 15. Маковецкий Д. Н. Нелинейная динамика индуцированно- го излучения фононов в микроволновом неавтономном акустическом квантовом генераторе при сверхнизкочас- тотной модуляции накачки // Письма в Журн. техн. физи- ки. - 2001. - 27, вып. 12. - С.57-64. 16. Маковецкий Д. Н. Резонансная дестабилизация микровол- нового индуцированного излучения фононов в акустиче- ском квантовом генераторе (фазере) при периодической модуляции накачки // Журн. техн. физики. - 2004. - 74, вып. 2. - С.83-91. 17. Маковецкий Д.Н. Микроволновые спектры индуцирован- ного излучения фононов в акустическом квантовом гене- раторе (фазере) с модулированной накачкой // Укр. физ. журн. - 2002. - 47, № 6. - С.538-544. 18. Makovetskii D. N. Nonlinear Dynamics of the Phonon Stimu- lated Emission in Microwave Solid-State Resonator of the Nonautonomous Phaser Generator // Telecommunications and Radioengineering. - 2002. - 58, N 11-12. - P.93-107. 19. Makovetskii D. N. Slowing-Down of Transient Processes upon the Formation of the Power-Spectrum Fine Structure of a Microwave Phonon Laser (Phaser) // Ukr. J. Phys. - 2006. - 51, N 5. - P.449-459. 20. Ацаркин В. А., Родак М. И. Спиновая температура в элек- тронном парамагнитном резонансе // Проблемы магнит- ного резонанса. - М.: Наука, 1978. - С.187-205. 21. Ацаркин В. А. Динамическая поляризация ядер в твердых диэлектриках. - М.: Наука, 1980. - 196 с. 22. Ганапольский Е. М., Маковецкий Д. Н. Влияние ядер 27Al на процессы инвертирования спин-системы Cr3+ и усиле- ние гиперзвука в рубине // Укр. физ. журн. - 1982. - 27, № 4. - С.618-620. 23. Ганапольский Е. М., Маковецкий Д. Н. Возникновение отрицательной спиновой температуры в рубине при на- сыщении ЭПР ионов Cr3+ в условиях неравновесной по- ляризации ядер Al27 // Физика твердого тела. - 1982. - 24, вып. 7. - С.1960-1965. 24. Law A.M., Kelton W.D. Simulation Modeling and Analysis (3-rd Edition). - N.Y.: McGraw Hill, 2000. - 847 p. 25. Бандман О.Л. Клеточно-автоматные модели пространст- венной динамики // Системная информатика. - Новоси- бирск: Изд-во СО РАН, 2006. - Вып. 10. - С.57-113. 26. Lewis T. J., Rinzel J. Self-Organized Synchronous Oscilla- tions in a Network of Excitable Cells Coupled by Gap Junc- tions // Network Comput. Neural Syst. - 2000. - 11. - P.299- 320. 27. Albers D. J. A Qualitative Numerical Study of High- Dimensional Dynamical Systems: Ph. D. Thesis (Physics). - Wisconsin-Madison: University of Wisconsin-Madison Press, 2004. – 115 p. 28. Roska T., Chua L. O. The CNN Universal Machine: 10 Years Later // J. Circuits, Systems and Computers. - 2003. - 12, N 4. - P.377-388. 29. Зыков В. С., Михайлов А. С. Вращающиеся спиральные волны в простой модели возбудимой среды // Докл. АН СССР. - 1986. - 286, № 2. - С.341-344. 30. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с. 31. Makovetskiy S. D., Makovetskii D. N. A Computational Study of Rotating Spiral Waves and Spatio-Temporal Transient Chaos in a Deterministic Three-Level Active System. - Cor- nell (USA). - 2005. - 38 p. - (Preprint / Condensed Matter Re- pository. Cornell University; № cond-mat/0410460, ver.2). 32. Маковецкий Д. Н. Нестационарные пространственные структуры, медленные переходные процессы и мульти- стабильность при слабой диффузии возбуждений в рас- пределенных неравновесных системах с трехуровневыми активными центрами // Радиофизика и электроника. - Харьков: Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. - 2005. - 10, № 3. - С.466-475. 33. Makovetskiy S. D. Numerical Modeling of Coexistence, Com- petition and Collapse of Rotating Spiral Waves in Three-Level Excitable Media with Discrete Active Centers and Absorbing Boundaries. - Cornell (USA). - 2006. - 15 p. - (Preprint / Condensed Matter Repository. Cornell University; № cond- mat/0602345). 34. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся авто- матов / Под ред. А. Беркса. - М.: Мир, 1971. - 382 с. 35. Petras I., Rekeczky Cs., Roska T. et al. Exploration of Spatio- Temporal Dynamic Phenomena in a 32x32-Cell Stored Program - Two-Layer CNN Universal Machine Chip Prototype // J. Cir- cuits, Systems and Computers. - 2003. - 12, N 6. - P.691-710. 36. Oya T., Asai T., Fukui T., Amemiya Y. Reaction-Diffusion Systems Consisting of Single-Electron Oscillators // Int. J. Unconvential Computing. - 2005. - 1. - P.177-194. 37. Денисенко В. Г. Эволюция и характеристики лазерных пучков с оптическими сингулярностями: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Киев: Ин-т физики НАН Украины, 2004. - 21 с. 38. Cojoc D., Garbin V., Ferrari E. et al. Laser Trapping and Micro-Manipulation using Optical Vortices // Intl. Conf. on Microprocesses and Nanotechnology 2004: Digest of Papers. - Piscataway (NJ, USA): IEEE Publishing. - 2004. - P.260-261. 39. Успенский В. А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов. - М.: Наука, 1987. - 288 с. 40. Маковецкий С. Д. Программа для моделирования про- Д. Н. Маковецкий / Конкуренция самоорганизованных вращающихся… _______________________________________________________________________________________________________________ 222 странственно-временных структур в трехуровневых лазе- рах // Тр. 9-го Международ. форума "Радиоэлектроника и молодежь в ХХI веке" (19 - 21 апреля 2005). - Харьков: ХНУРЭ, 2005. -348 с. 41. Маковецкий С. Д. Метод численного моделирования не- стационарных процессов в трехуровневых возбудимых средах и его программная реализация на языке Java // Тр. 10-го Юбилейного Международ. форума "Радиоэлектро- ника и молодежь в ХХI веке" (10 - 12 апреля 2006). - Харьков: ХНУРЭ, 2006. - 357 с. 42. Brito C., Aranson I. S., Chate H. Vortex Glass and Vortex Liquid in Oscillatory Media // Phys. Rev. Lett. - 2003. - 90, N 6. - P.068301. 43. Brandenburg A. How Long can Left and Right Handed Life Forms Coexist? - Cornell (USA). - 2004. - 15 p. - (Preprint / Quantitative Biology Repository. Cornell University; № q- bio/0407008). 44. Singh R.-P., Roychowdhury S. Nonconservation of Topologi- cal Charge: Experiment with Optical Vortex // Journ. Modern Optics. - 2004. - 51, N 2. - P.177-181. 45. Crutchfield J. P., Kaneko K. Are Attractors Relevant to Tur- bulence? // Phys. Rev. Letters. - 1988. - 60, N 26. - P.2715- 2718. 46. Kaneko K. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipa- tive Systems. - Singapore: World Scientific, 1986. - 264 p. COMPETITION OF SELF-ORGANIZED ROTATING SPIRAL AUTOWAVES IN NONEQUILIBRIUM DISSIPATIVE SYSTEM WITH THREE-LEVEL ACTIVE CENTERS D. N. Makovetskii Competition of self-organized rotating spiral autowaves (RSA) is computationally studied in a nonequilibrium dissipative system possessing excitability and the two-channel diffusion of excita- tions. Such the system consists of locally interacting three-level active centers (AC) having properties close to ones for AC in the phaser (microwave phonon laser). Dynamical stabilization and coexistence of RSA with different topological charges were ob- served under conditions of their weak competition. A phenomenon of self-induced reversing of the sign of topological charge was revealed for the case of strongly competing RSA; the mechanism of this nonlinear phenomenon is found. Perspectives of investiga- tions of RSA in nonequilibrium dissipative systems with excitable three-level AC are discussed. Key words: rotating spiral autowaves, self-organization, phaser. КОНКУРЕНЦІЯ САМООРГАНІЗОВАНИХ ОБЕРТОВИХ СПІРАЛЬНИХ АВТОХВИЛЬ У НЕРІВНОВАЖНІЙ ДИСИПАТИВНІЙ СИСТЕМІ З ТРИРІВНЕВИМИ АКТИВНИМИ ЦЕНТРАМИ Д. М. Маковецький Методом комп'ютерного моделювання досліджена конкуренція самоорганізованих обертових спіральних автох- виль (ОСА) у нерівноважній дисипативній системі, яка має властивості збуджуваності та двоканальний механізм дифузії збуджень. Система складається із локально взаємодіючих активних центрів (АЦ), що мають властивості близькі до властивостей АЦ у фазері (мікрохвильовому фононному лазе- рі). При слабкій конкуренції ОСА спостерігалась їх динамічна стабілізація та співіснування ОСА з різними топологічними зарядами. У випадку сильно конкурируючих ОСА виявлено самоіндуковане обернення знаку топологічного заряду та встановлено механізм цього нелінійного явища. Обговорю- ються перспективи дослідження ОСА у нерівноважних диси- пативных системах зі збуджуваними трирівневими АЦ. Ключові слова: обертові спіральні автохвилі, самоор- ганізація, фазер. Рукопись поступила 1 ноября 2006 г.

Конкуренция самоорганизованных вращающихся спиральных автоволн в неравновесной диссипативной системе с трехуровневыми активными центрами

Institution

Ähnliche Einträge