Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта
Рассмотрены ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин в газонасыщенном угольном пласте. Установлены закономерности их развития на каждом из этапов. Розглянуто ударний і фільтраційний етапи розвитку магістральних тріщин у газонасиченому вугільному пласті. Встановлено закономірності...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Физико-технические проблемы горного производства |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/108266 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта / Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. научн. тр. — 2013. — Вип. 16. — С. 58-70. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-108266 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. 2016-11-01T19:21:25Z 2016-11-01T19:21:25Z 2013 Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта / Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. научн. тр. — 2013. — Вип. 16. — С. 58-70. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/108266 622.831: 622.537.86 Рассмотрены ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин в газонасыщенном угольном пласте. Установлены закономерности их развития на каждом из этапов. Розглянуто ударний і фільтраційний етапи розвитку магістральних тріщин у газонасиченому вугільному пласті. Встановлено закономірності їхнього розвитку на кожному з етапів. The impact and filtrational stages of main crack evolution in gas-saturated coal seam are considered. Consistent patterns of their development on each of stages are determined. ru Інститут фізики гірничих процесів НАН України Физико-технические проблемы горного производства Физика угля и горных пород Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта Ударний і фільтраційний етапи розвитку магістральних тріщин поблизу оголеної поверхні газонасиченого вугільного пласта Impact and filtrational stages of evolution of main cracks near exposed surface of gas-saturated coal seam Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта |
| spellingShingle |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. Физика угля и горных пород |
| title_short |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта |
| title_full |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта |
| title_fullStr |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта |
| title_full_unstemmed |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта |
| title_sort |
ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта |
| author |
Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. |
| author_facet |
Фельдман, Э.П. Василенко, Т.А. Калугина, Н.А. |
| topic |
Физика угля и горных пород |
| topic_facet |
Физика угля и горных пород |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Физико-технические проблемы горного производства |
| publisher |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Ударний і фільтраційний етапи розвитку магістральних тріщин поблизу оголеної поверхні газонасиченого вугільного пласта Impact and filtrational stages of evolution of main cracks near exposed surface of gas-saturated coal seam |
| description |
Рассмотрены ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин в газонасыщенном угольном пласте. Установлены закономерности их развития на каждом из этапов.
Розглянуто ударний і фільтраційний етапи розвитку магістральних тріщин у газонасиченому вугільному пласті. Встановлено закономірності їхнього розвитку на кожному з етапів.
The impact and filtrational stages of main crack evolution in gas-saturated coal seam are considered. Consistent patterns of their development on each of stages are determined.
|
| issn |
XXXX-0016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/108266 |
| citation_txt |
Ударный и фильтрационный этапы развития магистральных трещин вблизи обнаженной поверхности газонасыщенного угольного пласта / Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. научн. тр. — 2013. — Вип. 16. — С. 58-70. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT felʹdmanép udarnyiifilʹtracionnyiétapyrazvitiâmagistralʹnyhtreŝinvbliziobnažennoipoverhnostigazonasyŝennogougolʹnogoplasta AT vasilenkota udarnyiifilʹtracionnyiétapyrazvitiâmagistralʹnyhtreŝinvbliziobnažennoipoverhnostigazonasyŝennogougolʹnogoplasta AT kaluginana udarnyiifilʹtracionnyiétapyrazvitiâmagistralʹnyhtreŝinvbliziobnažennoipoverhnostigazonasyŝennogougolʹnogoplasta AT felʹdmanép udarniiífílʹtracíiniietapirozvitkumagístralʹnihtríŝinpoblizuogolenoípoverhnígazonasičenogovugílʹnogoplasta AT vasilenkota udarniiífílʹtracíiniietapirozvitkumagístralʹnihtríŝinpoblizuogolenoípoverhnígazonasičenogovugílʹnogoplasta AT kaluginana udarniiífílʹtracíiniietapirozvitkumagístralʹnihtríŝinpoblizuogolenoípoverhnígazonasičenogovugílʹnogoplasta AT felʹdmanép impactandfiltrationalstagesofevolutionofmaincracksnearexposedsurfaceofgassaturatedcoalseam AT vasilenkota impactandfiltrationalstagesofevolutionofmaincracksnearexposedsurfaceofgassaturatedcoalseam AT kaluginana impactandfiltrationalstagesofevolutionofmaincracksnearexposedsurfaceofgassaturatedcoalseam |
| first_indexed |
2025-11-25T23:07:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:07:33Z |
| _version_ |
1850578448072835072 |
| fulltext |
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
58
УДК 622.831: 622.537.86
Э.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.А. Калугина
УДАРНЫЙ И ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ
МАГИСТРАЛЬНЫХ ТРЕЩИН ВБЛИЗИ ОБНАЖЕННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ГАЗОНАСЫЩЕННОГО УГОЛЬНОГО ПЛАСТА
Институт физики горных процессов НАН Украины
Рассмотрены ударный и фильтрационный этапы развития магистральных тре-
щин в газонасыщенном угольном пласте. Установлены закономерности их разви-
тия на каждом из этапов.
Ключевые слова: магистральная трещина, газ, угольный пласт, фильтрация
Угольный пласт в нетронутом состоянии характеризуется наличием системы
пор, трещин и каналов. В этом так называемом фильтрационном объеме газ
находится в свободном состоянии. Обычно более половины данного объема
приходится на трещины. В контексте настоящей работы можно считать, что вся
пустотность γ (т.е. отношение фильтрационного объема ко всему объему
угольного пласта) приходится на трещины. Макроструктура трещиноватости
угля характеризуется отношением γ к удельной площади поверхности S, отгра-
ничивающей фильтрационный объем от тела угольного материала. Отношение
z = γ/S (1) имеет размерность длины, и в случае, когда пустотность формирует-
ся одинаковыми трещинами, z представляет собой зияние (раскрытие) трещин.
В работах [1,2] найден термодинамический потенциал Гиббса угольного
пласта и показано, что основными составляющими этого потенциала явля-
ются поверхностная энергия
z
(χ – удельная поверхностная энергия угля)
и энергия газа ln
T
P
P
P
(P – давление газа), заключенного в фильтрацион-
ном объеме (все величины берутся в расчете на единицу объема пласта).
Упругая энергия угольного каркаса играет существенную роль только в том
случае, когда основные составляющие компенсируют друг друга, т.е. когда
ln TPP
P z
. (2)
Если пластовое давление газа P меньше критического Pcr, оцениваемого
приближенным равенством (2), то термодинамически невыгодно развитие
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
59
трещиноватости. Поскольку, как показано в [2], для обычных значений дав-
ления ln 7TP
P
, то имеем следующее условие, при выполнении которого
трещины не растут:
7
crP P
z
. (3)
Условие (3) устанавливает лишь в обобщенном виде тенденцию сохране-
ния стабильной трещиноватости; оно не детализирует вида напряженного
состояния в концевых участках пласта при его отработке. К тому же при за-
мене неравенства (3) на противоположное, т.е. для P Pcr, мы получаем
лишь необходимое условие развития трещиноватости. Для детализации и
для нахождения достаточных условий развития трещин необходимо рас-
смотреть схему призабойного участка угольного пласта (рис. 1), в основном
заимствованную из [3].
Следуя идеологии «среднего поля» (mean-field approximation), выделяем
из всех трещин одну, «магистральную», плоскость залегания которой парал-
лельна обнаженной поверхности пласта, поскольку трещины именно такой
ориентации наиболее склонны к развитию. Остальные трещины фильтраци-
онно связаны с выделенной и играют роль источников (или стоков) газа.
Давление газа в полости выделенной трещины обозначим через Р, оно мо-
жет изменяться со временем и зависеть от положения трещины. Окружаю-
щий трещину фильтрационный объем заполнен газом с давлением Pe, кото-
рое, вообще говоря, зависит от координат и времени.
В нетронутом пласте за геологические промежутки времени устанавли-
ваются такое напряженное состояние и такое газовое (пластовое) давление
P0, при которых трещины не развиваются. Все компоненты напряжений
сжимающие, и поэтому трещины «зажаты». В момент вскрытия и в даль-
нейшем происходит разгрузка пласта от компоненты напряжений, попереч-
ной по отношению к обнаженной поверхности. В плоской задаче, которую
мы рассматриваем с целью упрощения выкладок (но без потери общности),
имеется лишь одна поперечная компонента ; она становится малой в кра-
евом участке пласта, так что действующее на берега трещины напряжение
Рис. 1. Схема расположения трещин в
газонасыщенном угольном пласте
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
60
P может оказаться растягивающим, и основную роль в процессе разру-
шения пласта начинает играть давление газа.
Рассмотрим ситуацию, когда вскрытие массива происходит внезапно,
например за счет взрыва. В этот момент длина выделенной трещины равна
L0 (см. рис. 1), давление газа в ней равно исходному пластовому давлению
Р0, а объем полости трещины (в плоской задаче это площадь её поперечного
сечения) равен V0. В момент вскрытия происходит очень быстрое, практиче-
ски мгновенное, разбухание трещины – увеличение её зияния. Длина трещи-
ны в этот момент не растет, поскольку силы сцепления берегов трещины
нарастают и удерживают трещину в равновесии. Количество молекул газа
внутри трещины за столь короткий промежуток времени не меняется, по-
этому давление газа падает от Р0 до значения Р1, определяемого законом
Бойля–Мариотта (температуру считаем неизменной):
1 1 0 0PV PV . (4)
При этом объем трещины V1 после разбухания находим из решения хо-
рошо известной задачи теории упругости [4]:
21
1 0 0
P
V V L
B
,
(1 )
G
B
, (5)
где G – модуль сдвига угля, – коэффициент Пуассона.
Поскольку V1 > V0, то P1 < P0.
Если объем V1 много больше исходного объема трещины, и при этом дав-
ление Р1 намного превышает поперечное напряжение , то из (5) следует
такая оценка зияния трещины после её разбухания:
1
0
1
P
z L
B
, (6)
где Р1 – это давление, которое установится в трещине сразу после разгрузки
пласта.
Если теперь заменить Р1 на Р, вспомнить, что параметр и есть зияние
трещины, и вставить (6) в (3), то получим критерий неразрушаемости в виде
0
2 7
B
P L
, (7)
где Р находится из решения системы уравнений (4)–(5).
Из [5] известно, что критерий нераспространения трещины по Гриффитсу
состоит в выполнении неравенства
0
2
cP L M
, (8)
где Мc – характеристика материала – его модуль сцепления, равный (с точ-
ностью до несущественного множителя) квадратному корню из произведе-
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
61
ния упругого модуля на удельную поверхностную энергию. Это означает,
что мы пришли к критерию Гриффитса, исходя из (3). Иными словами, кри-
терий (3) является обобщением критерия Гриффитса на случай газонасы-
щенного трещиноватого материала, такого, как угольный пласт.
Оценка давления P1 в трещине после ее первичного разбухания в общем
случае находится из решения уравнения ( которое следует из системы (4), (5)):
1 21
2
0 0
1
P PP
a
P P
, (9)
где введен параметр 0 0
0
P L
a
Bz
, 0
0
0
V
z
L
– начальное зияние трещины. Оче-
видно, что, если для параметров нетронутого пласта выполняется гриффит-
совский критерий нераспространения трещины, т.е. если
0 0
2
cP L M
, (10)
то с тем большим запасом выполняется неравенство (по сути эквивалентное (3)):
1 0
2
cP L M
, (11)
поскольку из (3) видно, что P1 < P0. Поэтому при выполнении (10) трещины
лишь разбухают, но не распростаняются.
Если же выполняется противоположное неравенство, то согласно Гриф-
фитсу трещина должна немедленно вырасти и разрушить материал. Однако,
поскольку речь идет о газонаполненной трещине, когда нагрузка на её берега
уменьшается по мере её роста [6], процесс разрушения происходит иначе –
чаще всего в два этапа, которые можно назвать ударным и фильтрационным.
После первичного разбухания трещины могут выполняться неравенства
как 1 0
2
cP L M
, так и
1 0
2
cP L M
.
В первом из этих случаев немедленного увеличения длины трещины не
произойдет, и может быть лишь запущен процесс фильтрационного натека-
ния газа в полость магистральной трещины из окружающих трещин и пор,
так как в окружающем материале возникает градиент давления, т.е. сила,
движущая молекулы газа к трещине.
Во втором случае сразу после первичного разбухания произойдет скачок
длины трещины ( ударный этап развития трещины) от начального значения
L0 до значения L2 с одновременным падением давления в ней до P2 такого,
что выполняется гриффитсовское равенство 2 2
2
cP L M
. Величи-
ны L2, P2 и V2 определяются из решения системы трех уравнений
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
62
2 2 0 0
22
2 0 2
2 2
,
,
.
2
c
P V P V
P
L V V
B
P L M
(10)
Система (10) приводит к следующему кубическому уравнению для квад-
ратного корня из относительной длины трещины 2
0
L
L
:
2
3 0
0 0 0
0c cM P M
a
M P M
, (11)
где 0 0 0
2
M P L
, 00 P .
Графо-аналитическое исследование уравнения (11) показывает, что его
решение с 1 , соответствующее скачку длины трещины, появляется лишь
при выполнении определенных критериальных неравенств относительно па-
раметров уравнения (11). Именно, можно показать, что скачкообразный рост
магистральной трещины, который можно трактовать как внезапное разру-
шение, реализуется при выполнении неравенства
2
0 0
0 0
2
c
c
P L M
M
a
M M
. (12)
Из (12) видно, что для выполнения критерия внезапного разрушения необхо-
димо (но недостаточно) выполнить критерий Гриффитса 0 1 0
2
cP P L M
.
Кроме этого, условиями внезапного разрушения согласно (12) являются до-
статочно малая трещиностойкость Мс (т.е. малая удельная поверхностная
энергия), достаточно большие зияния трещин и высокое исходное пластовое
давление (в особенности обращаем внимание на роль исходного зияния
трещин).
На рис. 2 приведены результаты численного решения уравнения (12)
для представительных значений входящих в него параметров. Видно, что
в ряде случаев, хотя и сравнительно редко встречающихся на практике,
трещины могут внезапно вырасти в несколько раз, т.е. происходит их
«стреляние».
При использовании критерия (12) следует иметь в виду, что давление ме-
тана в отрабатываемом угольном пласте ( оно входит в критерий через па-
раметр P0) зависит от координат и времени, поскольку газ выходит через
обнаженную поверхность в выработанное пространство.
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
63
а б
Рис. 2. Численные решения уравнения (12) при: а –
2
2
0 0
4
0.01cM
P B
,
0
0.9cM
M
; б –
2
2
0 0
4
0.1cM
P B
,
0
0.9cM
M
Параметр определяется расстоянием от обнаженной поверхности до
плоскости залегания трещины. При проведении выемочных работ это рас-
стояние зависит от времени, поэтому выполнение или невыполнение крите-
рия (12) определяется скоростью подвигания забоя.
Переходим к вопросу о дальнейшей динамике трещин после их первично-
го разбухания или «выстреливания». В обоих этих случаях стартует процесс
натекания газа из окружающего объема в полость трещины – фильтрацион-
ный этап развития трещины. В первом из этих случаев на начальном (удар-
ном) этапе длина трещины остается неизменной, во втором – увеличивается.
Начнем с подробного рассмотрения вопроса о натекании газа из фильтра-
ционного объема в трещину. Строго говоря, для решения этого вопроса
необходимо записать и решить уравнение фильтрации (диффузии) газа с
должными граничными условиями на поверхности трещины. Однако, если
длина трещины велика по сравнению с известными диффузионными длина-
ми, то можно считать плотность потока газа одинаковой вдоль поверхности
трещины. Поэтому скорость натекания, т.е. скорость изменения количества
молекул метана внутри трещины, определяется известной формулой
2( )
2 ( ) ( )s
f s s
LDdN t
LD P
dt T
, (13)
где ()s – градиент плотности газа на поверхности трещины, Df – коэффи-
циент массопереноса (фильтрации или диффузии), – плотность газа, Т –
абсолютная температура в энергетических единицах.
Из теории уравнений в частных производных параболического типа [7]
известно «импедансное» отношение между плотностью газа и ее производ-
ной по нормали на границе:
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
64
( )1
( )
t
e
s
f o
d
d
dtD t
, (14)
где е – плотность газа вдали от трещины; () – плотность на границе раз-
дела, в силу граничного условия она равна искомой плотности газа в поло-
сти трещины.
Имеем:
2 ( ) ( )( )
t
f e
o
L t D P PdN t d
dt
dt dtT t
. (15)
Добавим сюда уравнение состояния идеального газа
P(t)V(t) = N(t)T (16)
и зависимость объема трещины от давления газа в ней
2
0
( )
( ) ( )
P t
V t V L t
B
. (17)
Система (15)–(17) состоит из трех уравнений с четырьмя неизвестными.
Если речь идет о первом подслучае, когда трещина разбухает, но не «вы-
стреливает», длину трещины считаем постоянной, равной исходной длине,
т.е. и тогда выписанных уравнений достаточно для нахождения зависимости
Р(t) (и V(t)). Если трещина «выстреливает», то к этим трем уравнениям сле-
дует добавить предельное уравнение Гриффитса
( ) ( )
2
cP t L t M
. (18)
Рассмотрим сначала более простой случай, когда L(t) = L0. При этом из
(15) имеем
02 ( )
( )
t
f e
o
j
L D P P
N t N dt
T t
. (19)
Выражая N(t) и N0 из уравнения состояния, получаем
0
0
2 ( )
( ) ( )
t
f e
o
j
L D P P
P t V t P V dt
t
. (20)
Подставляя V(t) из (17) в (20) при L(t) = L, приходим к уравнению для
определения временной зависимости P(t):
02
0 0 0 0
2 ( )( )
( )
t
f e
j
L D P PP t
P t V L P V dt
B t
. (21)
Интегральные уравнения типа (21) подробно изучены в математической
литературе. Предварительно уравнение (21) следует обезразмерить и запи-
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
65
сать в несколько иной форме. Все параметры размерности давления будем
измерять в единицах P0, например
0 0
( )
( ),
P t
p t s
P P
.
После такого обезразмеривания уравнение (21) преобразуется к виду
2
0
2 ( )
( ) ( ) ( ) 1
t
f e
j
D p p
p t p t p t s a dt
z t
. (22)
Напомним теперь, что давление р1 в трещине непосредственно после пер-
вичного разбухания подчиняется уравнению (9), т.е.
2
1 1 1 1p p p s a
. (23)
С учетом этого обстоятельства, а также обезразмеривания по времени на
2
(1) 0
* 24 f
z
t
D
, (24)
окончательно выписываем (22) в форме
2 2
1 1 1
( )
( ) ( ) ( ( ) )
t
e
j
p p
p t p a p t p p t p s dt
t
. (25)
Здесь время безразмерно.
В несколько иной форме (25) трансформируется к виду
1 1
0
( )
( ( ) ) 1 ( ( ) )
t
ep p
p t p a p t p s dt
t
, (26)
В начальный момент р(0) = р1. На малых временах в правой части (26)
можно положить p() = p1. Тогда интеграл вычисляется и получаем следую-
щую асимптотику:
1
1
1
2( )
( )
1 (2 )
ep p t
p t p
a p s
, (27)
т.е. рост давления происходит быстро, по корневому закону.
На больших временах скорость роста дaвления определяется тем, являет-
ся ли пластовое давление pe постоянной величиной или зависит от времени.
Если считать, что ре = const, то на больших временах давление выходит на
эту константу, скорость выхода устанавливается из асимптотического ана-
лиза, так что
1 1( ) 1 ( )
( )
e e
e
p p a p p s
p p t
t
, (28)
т.е. приближение к ре происходит снизу по закону обратного корня.
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
66
Грубая оценка времени te набора давления базируется на формулах (27) и
(28), в которых полагается ре ~ р1 ~ 1, s << 1.
Обе эти формулы дают одинаковую оценку:
ta ~ (1 + a)2
или (в размерных единицах)
ta ~ t
*
(1 + a)2. (29)
Если a << 1, то ta ~ t
*
; если же a >> 1, то ta ~ t
*
a2.
Иными словами, если a << 1, то ta ~
2
0
24 f
z
D
, если же a >> 1, то ta ~
~
2
0 0
2 24 f
L P
D B
.
Но чаще всего давление в трещине не выходит на уровень ре, поскольку в
какой-то момент давление достигает гриффитовского уровня Рg, когда
0( )
2
g cP L M
. В этот момент начинается распространение трещины
в длину, и давление в ней падает. Это явление описывается таким же обра-
зом, как и динамика трещины после ее «выстреливания». Численное реше-
ние уравнения (25) представлено на рис. 3.
Перейдем к рассмотрению случая «стреляния» трещин. Для упрощения
выкладок положим = 0 и произведем ряд преобразований, исходя из (15).
Имеем:
2 ( )1 ( )
( )
t
f e
o
D P PdN t d
d
L t dt dtT t
.
Далее, используя соотношения (16)–(18), получаем
42 2 2
02 4 4
0
216 ( )( ) ( )
( )
4 ( )
t
fc e
c
DM P PP t d P t d
P t V d
dt B dtT tM T P t
. (30)
Рис. 3. Численное решение уравнения
(25) при a = 10, s = 0,5
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
67
Будем измерять давление в единицах Р0, а время обезразмерим на
42
(2) 0 0
* 24 cf
z M
t
MD
.
Кроме того, нормированное давление будем обозначать малой буквой р, а
безразмерное время, как и размерное, – буквой t. Равенство (30) перепишем
следующим образом:
4
2
2
0 0
( )1
( ) ( )
( )
t
c eM p pd d
p t p t a d
dt M dt tp t
(31)
или
4
3
0 0
( )1 1 ( )
( ) 2
3 ( )
t
c eM p pd dp t d
p t a d
dt M p t dt dt t
. (32)
Если теперь учесть, что за начальный мы принимаем момент, когда дав-
ление в трещине равно р2, то из (32) получим
4
3 3
2
0 2 0
( )1 ( )
( ( ) ) 2 ln
3
t
c eM p pp t
p t p a d
M p t
. (33)
Это и есть уравнение, определяющее временную зависимость давления в
трещине в рассматриваемом случае. Длину трещины и ее развитие во време-
ни находим через p(t) из уравнения (18).
В случае рe = const асимптотический анализ уравнения (33) позволяет сделать
определенные важные заключения. На малых временах в правой части (33) мож-
но положить р() = р2. Тогда для добавки p(t) p(t) – p2 получим соотношение
4
2
2 2
2 0
1
2 ( ) 2( )c
e
M
p a p t p p t
p M
. (34)
В процессе развития трещины ее длина может только возрастать, поэтому
давление может лишь убывать, т.е., в частности, должно быть p(t) < 0. По-
скольку в правой части (34) положительная величина (давление в фильтраци-
онном объеме больше давления в трещине), то для убывания дaвления необ-
ходимо выполнение условия
4
3
2
0
2 0cM
p a
M
. (35)
Детальный анализ системы (16)–(18) показывает, что неравенство (35) мо-
жет быть переписано в виде
4
2
2
0
3 cM
p a
M
. (36)
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
68
Этот же анализ показывает, что до тех пор, пока
4
0
4
3
9
cM
a
M
, неравен-
ство (36) выполняется, т.е. давление газа в трещине убывает, несмотря на
приток газа из фильтрационного объема. Убывание происходит из-за роста
объема трещины при увеличении ее длины. Если же
4
0
4
3
9
cM
a
M
, (37)
то система (16)–(18) не имеет решения. Это означает, что при выполнении
(37) распределение трещины происходит мгновенно и фильтрационный этап
ее развития отсутствует.
При наличии фильтрационного этапа на больших временах можно в правой
части (33) положить р() = 0. Тогда правая часть будет стремиться к бесконеч-
ности при t . Значит, в левой части можно оставить только логарифмиче-
ское слагаемое, поскольку оно также стремится к бесконечности. Как след-
ствие, получаем закон изменения давления в трещине на больших временах:
2 4
0
( ) exp e
c
p t
p t p
M
a
M
, (38)
т.е. давление экспоненциально быстро убывает, соответственно длина тре-
щины экспоненциально нарастает по закону
2 4
0
2
( ) exp e
c
p t
L t L
M
a
M
. (39)
Численная зависимость давления от времени в трещине в случае «стреля-
ния» и изменение ее длины представлены на рис. 4 и 5. Оценка времени ро-
ста трещины (фактически – времени разрушения материала) следует из при-
равнивания единице показателя экспоненты в формуле (38), т.е. в безраз-
мерных единицах:
8
2
2
0
1
~ c
e
M
t a
M p
. (40)
Если учесть, что при грубой оценке можно положить pe = 1, то в размерных
единицах получим
4
3 2 2 2
0
4
~ c
f
f
M
t
D B P
. (41)
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
69
Рис. 4. Численное решение уравнения (33) при a = 10, s = 0,5,
0
0,9cM
M
Рис. 5. Изменение длины трещины на ударном этапе
Из (41) видно, что время «фильтрационного разрушения» угля очень су-
щественно сокращается с уменьшением поверхностной энергии, с ростом
пластового давления и пористости.
Итак, доказано, что развитие трещин, плоскость залегания которых па-
раллельна обнаженной поверхности забоя, осуществляется после разгрузки
пласта в два этапа. На первом их них, который можно назвать «ударным»,
происходит внезапный рост зияния трещин, а в ряде случаев – и длины. По-
сле этого начинается процесс фильтрации газа в полость трещины. Заполне-
ние газом полости трещины сопровождается либо ростом давления газа и
разбуханием трещины, либо ростом трещины в длину, уменьшением давле-
ния газа с последующим разрушением материала. Выписаны соответствую-
щие критерии ( роста либо падения давления газа в полость трещины) и
оценены времена фильтрации.
1. Алексеев А.Д. Равновесное распределение газов в угольных пластах /
А.Д. Алексеев, Э.П. Фельдман // Письма в Журнал техн. физики. – 2008. –
Т. 34, № 14. – С. 48–53.
2. Алексеев А.Д. Термодинамика газоугольного массива и неоднородное
распределение газов в угольном пласте / А.Д. Алексеев, Э.П. Фельдман,
Н.А. Калугина // Журнал техн. физики. – 2010. – Т. 80, № 12. – С. 57–61.
3. Шевелев Г.А. Динамика выбросов угля, породы и газа / Г.А. Шевелев;
Отв. ред. Н.С. Поляков; АН УССР. Ин-т геотехнической механики. – К:
Наук. думка, 1989. – 160 с.
4. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д.
Ландау, Е.М. Лифшиц. – М: Физматлит, 2003.– 264 с.
5. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образу-
ющихся при хрупком разрушении / Г.И. Баренблатт // Прикл. механика и
техн. физика. – 1961. – №4. – С. 3–53.
Физико-технические проблемы горного производства 2013, вып. 16
70
6. Фельдман Э.П. Докритический рост трещин в газосодержащих материа-
лах / Э.П. Фельдман, В.М. Юрченко, В.А. Стрельцов, Е.В. Володарская //
ФТТ. – 1992. – Т. 34, № 2. – С. 618–627.
7. Араманович И.Г. Уравнения математической физики (2-е изд.) / И.Г. Ара-
манович, В.И. Левин. – М.: Наука, 1969. – 288 с.
Е.П. Фельдман, Т.А. Василенко, Н.О. Калугiна
УДАРНИЙ І ФІЛЬТРАЦІЙНИЙ ЕТАПИ РОЗВИТКУ МАГІСТРАЛЬНИХ
ТРІЩИН ПОБЛИЗУ ОГОЛЕНОЇ ПОВЕРХНІ ГАЗОНАСИЧЕНОГО
ВУГІЛЬНОГО ПЛАСТА
Розглянуто ударний і фільтраційний етапи розвитку магістральних тріщин у газо-
насиченому вугільному пласті. Встановлено закономірності їхнього розвитку на
кожному з етапів.
Ключові слова: магістральна тріщина, газ, вугільний пласт, фільтрація
E.P. Feldman, T.A. Vasilenko, N.A. Kalugina
IMPACT AND FILTRATIONAL STAGES OF EVOLUTION OF MAIN
CRACKS NEAR EXPOSED SURFACE OF GAS-SATURATED COAL
SEAM
The impact and filtrational stages of main crack evolution in gas-saturated coal seam
are considered. Consistent patterns of their development on each of stages are deter-
mined.
Keywords: main crack, gas, coal layer, filtration
|