Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных
Дана формулировка метода определения рельефа поверхности по полю наклонов и поля наклонов по исходным изображениям. Показано, что при корректном статистическом подходе к задаче она может быть успешно решена как в случае переопределённой, так и в случае недоопредел?нной систем уравнений, связывающих...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10832 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных / И.А. Дулова, Ю.В. Корниенко, С.И. Скуратовский // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 408-415. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859862262034989056 |
|---|---|
| author | Дулова, И.А. Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И. |
| author_facet | Дулова, И.А. Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И. |
| citation_txt | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных / И.А. Дулова, Ю.В. Корниенко, С.И. Скуратовский // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 408-415. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дана формулировка метода определения рельефа поверхности по полю наклонов и поля наклонов по исходным изображениям. Показано, что при корректном статистическом подходе к задаче она может быть успешно решена как в случае переопределённой, так и в случае недоопредел?нной систем уравнений, связывающих рельеф с исходными данными. Возможности метода
продемонстрированы на компьютерных моделях.
Сформульовано метод визначення рел’єфу поверхні за полем нахилів та поля нахилів за вихідними зображеннями. Показано, що при коректному статистичному підході до задачі її можна успішно розв’язати як у випадку перевизначеної, так і у випадку недовизначеної систем рівнянь, що зв’язують рел’єф з вихідними даними. Можливості метода продемонстровано на комп’ютерних моделях.
The method of determining both the surface relief from the slope field and the slope field from initial images has been formulated in the present paper. It is shown that the problem can be successfully solved when using a correct statistical approach in the case of overdetermined and underdetermined system of equations that relates relief to initial data. The possibilities of the method are illustrated by computerized models.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:46:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
__________
ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 12, № 2, 2007, с. 408-415 © ИРЭ НАН Украины, 2007
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
УДК 52.17:621.391.266
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЬЕФА ПОВЕРХНОСТИ КЛИНОМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
ПРИ ИЗБЫТКЕ ИЛИ НЕДОСТАТКЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
И. А. Дулова, Ю. В. Корниенко, С. И. Скуратовский
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина
E-mail: ss_snake@ukr.net
Дана формулировка метода определения рельефа поверхности по полю наклонов и поля наклонов по исходным изобра-
жениям. Показано, что при корректном статистическом подходе к задаче она может быть успешно решена как в случае переопре-
делѐнной, так и в случае недоопределѐнной систем уравнений, связывающих рельеф с исходными данными. Возможности метода
продемонстрированы на компьютерных моделях. Ил. 3. Библиогр.: 12 назв.
Ключевые слова: клинометрический метод определения рельефа, некорректность задачи, статистический подход.
В работе [1] была поставлена и решена
задача определения наиболее вероятного рельефа
участка поверхности планеты по серии его изо-
бражений, полученных в оптическом и радиодиа-
пазоне. В частности, было показано, что задача
может быть корректно поставлена и содержа-
тельно решена при избытке или недостатке ис-
ходных данных, т. е. в условиях, когда система
уравнений, связывающих рельеф с изображения-
ми, переопределена или недоопределена. В по-
следнем случае возможность определения релье-
фа основана на учѐте априорной информации о
нѐм, заключѐнной в заданном условием задачи
априорном распределении рельефа.
Однако в работе [1] рассмотрена весьма
общая задача: неизвестным является не только
рельеф, но также зависимость радиооптических
параметров поверхности от координат и взаимная
координатная привязка изображений. Кроме того,
в этой работе учитывается возможность замытия
изображений поверхности заданным ядром (ат-
мосфера, несовершенства изображающей систе-
мы, смаз и т. д.). Всѐ это усложняет полученный
результат, делает его менее прозрачным и за-
трудняет обсуждение ряда частных вопросов,
наиболее актуальных при первых попытках при-
менить предложенный метод на практике.
Настоящая работа посвящена более де-
тальному рассмотрению клинометрического ме-
тода в простейшем случае, когда неизвестной
функцией является только рельеф. Упор в статье
делается на случаи избытка или недостатка дан-
ных, полученных в ходе эксперимента.
1. Сущность клинометрического мето-
да. Возможность определения рельефа участка
поверхности по серии его изображений этим ме-
тодом основана на зависимости видимой яркости
элемента поверхности от его ориентации при
данных условиях освещения и наблюдения. Это
позволяет, зная радиооптические свойства по-
верхности, определить по двум изображениям
поле наклонов, а затем, интегрируя поле накло-
нов, найти рельеф. Идея этого метода была изло-
жена в работе [2]. Он неоднократно применялся
астрономами [3, 4, 5] и получил название метода
ван Диггелена.
Недостатком метода ван Диггелена явля-
ется то, что он хорошо работает только в отсутст-
вие шума. При наличии шума проявляется некор-
ректность задачи определения рельефа по полю
наклонов: измеренное поле наклонов из-за при-
сутствия шумовой добавки имеет ненулевой ро-
тор и потому не является градиентом никакого
рельефа. На это было указано в работе [6]; там же
был предложен корректный статистический под-
ход к этой задаче, приводящий в простейшем
случае к уравнению Пуассона для искомого рель-
ефа.
Между тем, задача определения рельефа
по оптическим и радиолокационным изображени-
ям всѐ чаще возникает на практике при исследо-
вании планетных тел Солнечной системы [5, 7, 8].
Поэтому назревает потребность лучше уяснить
возможности этого метода и пути его корректно-
го применения при решении практических задач.
Клинометрический метод может приме-
няться в разных диапазонах длин волн. При на-
земных наблюдениях это будет скорей всего ви-
димый участок спектра. В орбитальных экспери-
ментах изображения часто получают с помощью
радиолокатора бокового обзора. Этому случаю
посвящена работа [9].
2. Постановка задачи. Пусть имеется n
изображений одного и того же участка поверхно-
сти, имеющего неизвестный рельеф ( , )H x y ,
полученных при разных условиях освещения.
Зависимость яркости iI от вектора наклона
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
409
t H
(1)
на i -м изображении выражается известной функ-
цией
( )i iI F t
. (2)
Требуется найти рельеф исследуемого района.
(Здесь и далее через обозначен двумерный
градиент).
При отсутствии шума это означает найти
по исходным изображениям поле наклонов
( , )t x y
, используя совокупность равенств (2) как
систему уравнений, а затем рельеф ( , )H x y ,
удовлетворяющий уравнению
( , ) ( , )H x y t x y
. (3)
При наличии шума это означает найти
наиболее вероятную оценку рельефа ( , )H x y ,
исходя из заданных изображений и априорной ста-
тистики сигнала и шума. Эта статистика может
быть задана по-разному. Здесь мы пойдѐм про-
стейшим путѐм. Будем считать, что рельеф
( , )H x y является реализацией стационарного га-
уссова случайного процесса со спектральной
плотностью S , постоянной в некотором квадрате
на частотной плоскости и равной нулю за его пре-
делами. Это позволит нам упростить не только
выкладки и машинный счѐт, но и систему понятий,
лежащих в основе изложения. Последнее связано с
тем, что в силу теоремы Котельникова - Найквиста
в этом случае функцию ( , )H x y можно однознач-
но представить набором еѐ значений в узлах квад-
ратной решѐтки, т. е. представить массивом N
чисел без потери информации и избыточности.
Тогда статистический ансамбль таких функций
можно определить плотностью вероятности в
N -мерном векторном пространстве и тем са-
мым избежать необходимости оперировать со
статистикой в гильбертовых пространствах. При
наших предположениях эта (априорная) плотность
вероятности является гауссовой функцией
2( ) exp( )H j
j
H N H (4)
(средняя высота исследуемого района полагается
равной нулю).
Будем считать, что аналогичную стати-
стику имеет и шум. Он аддитивен, а плотность
его априорного распределения на i -м изображе-
нии равна
2( ) exp( )i i i j
j
N . (5)
При этом шум на разных изображениях распре-
делѐн независимо.
Требуется найти такой рельеф ( , )H x y ,
на котором апостериорная плотность распределе-
ния рельефа при заданном наборе исходных изо-
бражений достигает максимума.
3. Решение задачи методом ван Дигге-
лена. В этом методе шум не учитывается, поэто-
му задача состоит в определении поля наклонов
по двум изображениям из системы алгебраиче-
ских уравнений
1 1
2 2
( ),
( )
I F t
I F t
(6)
и решении системы дифференциальных уравне-
ний для рельефа
( , )
( , ) ,
( , )
( , ) ,
x
y
H x y
t x y
x
H x y
t x y
y
(7)
где xt и yt - проекции вектора наклона на оси x
и y . Здесь и дальше мы полагаем исследуемую
поверхность радиооптически однородной, поэто-
му зависимость функций 1( )F t
, 2( )F t
от радио-
оптических параметров отсутствует. Чтобы опре-
деление поля наклонов из системы (6) было ус-
пешным, необходимо, чтобы якобиан
1 2( , )
( , )x y
D F F
d
D t t
(8)
был отличен от нуля и достаточно велик. Это
обеспечивается надлежащим выбором условий
освещения на исходных изображениях: наилуч-
ший результат будет получен при ортогональном
освещении, когда азимуты освещения отличаются
примерно на 90
0
; наихудшим является случай
одинакового или встречного освещения.
Определив поле наклонов ( , )t x y
, можно
приступить к решению системы уравнений (7).
Решение легко найти, интегрируя наклон ( , )t x y
по любому контуру от некоторой фиксированной
точки 0 0( , )x y до каждой точки ( , )x y . В отсут-
ствие шума величина этого интеграла не зависит
от пути интегрирования. При наличии шума воз-
никает вопрос, как лучше выбрать этот контур.
Один из наиболее естественных вариантов состо-
ит в том, чтобы интегрировать наклон вдоль ха-
рактеристик уравнения
( , ) ( , )
x y x x y y
H x y H x y
a a a t a t
x y
, (9)
которое получается из (7), если известна только
одна проекция вектора наклона t
на некоторое
направление a
. Такая ситуация возникает при
попытке определить рельеф методом ван Дигге-
лена по единственному изображению исследуе-
мого района. Однако эта попытка в своѐм перво-
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
410
начальном виде не может иметь успеха, так как
восстановленный таким путѐм рельеф распада-
ется на множество никак не связанных между
собой топографических разрезов в направлении
a
, содержащих произвольные константы интег-
рирования. Чтобы связать их, необходимо знать
рельеф вдоль какого-либо контура, пересекаю-
щего характеристические контуры уравнения
(9). Его можно найти из другого изображения с
другим направлением освещения a
, однако при
этом информация о рельефе, содержащаяся во
втором изображении, будет использована лишь
частично. Но даже и при таком подходе взаим-
ная привязка этих топографических разрезов
останется несовершенной, так как они будут
содержать в качестве аддитивного шума незави-
симые реализации винеровского случайного
процесса, который получается в результате ин-
тегрирования белого шума в поле наклонов.
Результаты машинного эксперимента по
определению рельефа методом ван Диггелена
представлены на рис. 1.
___________________________________________
а) б) в)
г) д) е) ж)
з) и) к) л)
м) н) о) п)
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
411
Рис. 1. Модельный рельеф участка поверхности (а); изображения, построенные по нему, для угла освещения-90 (б) и 0 (в); вос-
становленный методом ван Диггелена рельеф для отношения сигнал-шум (ОСШ)=10, 100, 1000 и случая отсутствия шума (г-ж);
изображения рельефа для тех же случаев (з-л); его топографические разрезы (м-п)
Для этого был синтезирован рельеф уча-
стка кратерированной поверхности (рис. 1, а).
Изображения этого участка при освещении в на-
правлениях оси x и оси y представлены на
рис. 1, б, в. В качестве исходных данных исполь-
зовалось поле ( , )yt x y , каким оно могло бы быть
определено из изображения на рис. 1, б. Для этого
к dH dy был добавлен стационарный некорре-
лированный гауссов шум, такой, что ОСШ стало
равно 10 (рис. 1, г, з, м), 100 (рис. 1, д, и, н) и
1000 (рис. 1, е, к, о). Для сравнения эксперимент
был также поставлен в отсутствие шума
(рис. 1, ж, л, п). Полученные карты рельефа пред-
ставлены на рис. 1, г
-
ж. Под ними на рис. 1, з
-
л
представлены изображения восстановленного
рельефа при освещении вдоль оси x . На каждом
из них белыми линиями отмечены контуры, по
которым сделаны топографические разрезы, по-
казанные ниже, на рис. 1, м
-
п.
Из приведенных результатов хорошо
видно следующее. В отсутствие шума метод ван
Диггелена работает безупречно. При весьма хо-
рошем отношении сигнал-шум, равном 1000, не-
совершенство взаимного согласования соседних
топографических разрезов (вдоль оси y ) уже
вполне заметно. При отношении сигнал-шум 100
оно существенно портит карту, а при отношении
сигнал-шум 10 делает еѐ непригодной, так как
превышает местами высоту деталей рельефа.
Полученный результат хорошо иллюст-
рирует и без того ясный факт, что задачу нужно
решать другим путѐм, на основе статистического
подхода [10].
4. Определение поля наклонов при на-
личии шума. Если поле наклонов определяется
по двум изображениям, эта процедура ничем не
отличается от случая, когда шума нет. Однако
определение поля наклонов теперь уже не являет-
ся абсолютно точным и полезно оценить его по-
грешность.
Полагая наклоны t
малыми, разложим
функции 1( )F t
, 2( )F t
в (6) в ряд Тейлора по t
,
ограничиваясь первым членом,
0( )i i ix x iy yF t F a t a t
(10)
и подставим эти выражения в (6). Тогда система
(8) станет линейной и примет вид
,t JA
(11)
где
1 1
2 2
1 2
0
;
, ;
.
x y
x y
i i i
a a
a a
J J J
J I F
A
(12)
В силу линейности этой системы можно
заключить, что погрешность ( , )x y
определения
поля наклонов ( , )t x y
из этой системы будет равна
1( , ) ( , )x y j x yA
, (13)
где ( , )j x y
- двумерный вектор погрешностей,
содержащихся в ( , )J x y
. Поэтому, если шум на
исходных изображениях является гауссовым и
некоррелированным, как предполагается с самого
начала (разд. 2), такой же будет и погрешность в
определении поля наклонов. Автоковариацион-
ную матрицу этой погрешности для каждого эле-
мента поверхности
2
2
x x y
x y y
, (14)
где черта означает усреднение по статистическо-
му ансамблю, можно получить из (13), вычисляя
внешнее произведение
на
и усредняя произ-
ведение по ансамблю реализаций шума
1 1 1 1( ) ( )j jA A A A
. (15)
Здесь крест означает сопряжение (в случае веще-
ственных элементов - транспозицию), а - авто-
ковариационную матрицу погрешностей яркости
на исходных изображениях. В силу независимо-
сти погрешностей яркости на разных изображе-
ниях матрица равна
1
2
0
0
, (16)
где 1 и 2 - значения дисперсии погрешности
яркости на исходных изображениях.
Пусть эти дисперсии равны и имеют зна-
чение . Тогда есть единичная матрица, ум-
ноженная на , и из (15) окончательно получим
1 1( )A A . (17)
Общий случай, когда дисперсии 1 и 2
не равны, сводится к этому случаю умножением
одного из уравнений (11) на подходящую кон-
станту.
С целью уменьшения погрешности опре-
деления наклонов можно произвести избыточные
измерения яркости и определять поле наклонов
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
412
не по двум, а по большему числу исходных изо-
бражений. Если все исходные изображения полу-
чены только при двух различных направлениях
освещения, найденные из эксперимента яркости
можно предварительно усреднить (для каждого
направления освещения в отдельности) и по-
прежнему иметь дело с двумя уравнениями для
компонент наклона. Однако типичным является
случай, когда все исходные изображения получе-
ны при разных направлениях освещения, и пря-
мое усреднение яркости невозможно. В этом слу-
чае суммируется «информационный эффект» от
полученных изображений путѐм отыскания оп-
тимальной статистической оценки [11] искомого
наклона, которое в простейшем случае сводится к
методу наименьших квадратов Гаусса.
В этом случае система уравнений (11)
принимает вид
t JA
, (18)
где A - матрица, состоящая из n строк вида
( , )ix iya a , i - номер исходного изображения, n -
их число; J
- n -мерный вектор, i -я компонента
которого представляет собой яркость на i -м изо-
бражении (минус 0iJ ). Из-за влияния шума эта
система с вероятностью 1 не имеет решения. Оп-
тимальная статистическая оценка 0t
наклона t
при одинаковой дисперсии погрешности на всех
изображениях и квадратичной функции потерь
[11] удовлетворяет уравнению
0t KM
, (19)
где
, K JM A A A
. (20)
Это так называемая нормализованная система
уравнений. Если среди уравнений (18) есть хотя
бы одна пара, для которой определитель d отли-
чен от нуля, то определитель матрицы M отличен
от нуля, и решение системы (19) можно записать в
виде
1
0t JM A
. (21)
Это окончательный результат определе-
ния поля наклонов участка поверхности по серии
его изображений.
5. Определение рельефа по полю на-
клонов при наличии шума. В присутствии шу-
ма оптимальная оценка поля наклонов 0 ( , )t x y
с
вероятностью 1 не совпадает с истинным полем
наклонов ( , )t x y
. Это отличие можно рассматри-
вать как шум в поле наклонов, порождѐнный шу-
мом в исходных изображениях. В силу предпо-
ложений, сделанных в разд. 2, он также распреде-
лѐн независимо для разных элементов поверхно-
сти и в силу (10) - нормально. Как уже было ска-
зано (разд. 1), задача отыскания рельефа по полю
наклонов при наличии шума с вероятностью 1 не
имеет решения, поскольку ротор поля наклонов,
содержащего погрешность, с вероятностью 1 от-
личен от нуля, хотя для существования решения
должен быть равным нулю. Поэтому, вместо за-
дачи определения рельефа из уравнений (7), в
этом случае следует ставить задачу отыскания
оптимальной статистической оценки рельефа при
условии, что из наблюдения получено поле на-
клонов ( , )t x y
, связанное с рельефом ),( yxH в
отсутствие шума уравнениями (7). Для этого надо
задать функцию потерь. Здесь мы будем считать
еѐ квадратичной, как и в большинстве задач об-
работки результатов научного эксперимента. При
этом оптимальной оказывается та оценка, которая
наименее уклоняется (в смысле апостериорной
дисперсии 7) от истинного значения искомой ве-
личины (отсюда метод наименьших квадратов).
При гауссовом распределении сигнала и шума,
принятом в наших предположениях, эта оценка
совпадает с оценкой по максимуму апостериор-
ной плотности вероятности [11, 10]. Апостериор-
ная плотность вероятности рельефа ),( yxH в
соответствии с формулой Байеса [11] равна
по до( ( , )) ( ( , ))
( ( , ) | ( , )),
H x y A H x y
t x y H x y
(22)
где A - нормирующий множитель; до ( ( , ))H x y -
априорная плотность вероятности рельефа
),( yxH ; ( ( , ) | ( , ))t x y H x y
- условная плот-
ность вероятности получения поля наклонов
( , )t x y
при рельефе ),( yxH .
Учитывая, что в нашем случае ограни-
ченного спектра сигнал и шум однозначно опре-
деляются своими значениями в дискретном набо-
ре точек, запишем (22) в виде
по до( ) ( ) ( | )AH H T H , (23)
где H и T - совокупность всех N значений соот-
ветственно H и t
. Положение максимума функ-
ции по ( )H определяется обоими сомножителями
в (23). Если максимум первого сомножителя
намного шире, чем второго (когда о рельефе за-
ранее известно очень мало), его можно исключить
из рассмотрения и оценивать H только по макси-
муму второго сомножителя (в литературе это на-
зывается оценкой по максимуму правдоподобия).
Функцию правдоподобия )|( HT в
нашем случае можно записать в виде произведе-
ния плотностей для каждого элемента в отдель-
ности, откуда получим
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
413
0
1
( | )
exp( ( ) ( )),
N
A t H t H
T H
(24)
где 0A - нормирующий множитель; - матрица,
обратная (см. разд. 4). Искомое наиболее
правдоподобное значение H минимизирует
квадратичную форму в (24). Как показано в рабо-
те [6], в случае изотропного априорного распре-
деления погрешностей в определении поля на-
клонов рельеф H0, обеспечивающий еѐ минимум,
удовлетворяет уравнению Пуассона
0( , ) ( , )H x y t x y
. (25)
Общий случай анизотропного распреде-
ления сводится к этому же, если перейти к системе
координат yx , , оси которой направлены вдоль
собственных векторов матрицы , и надлежащим
образом изменить масштаб вдоль одной из осей.
Результат определения рельефа по полю
наклонов этим методом представлен на рис. 2.
Эксперимент был проведен с рельефом, представ-
ленным на рис. 1, а
- в. В качестве исходных дан-
ных был использован градиент этого рельефа, к
которому был добавлен стационарный аддитивный
некоррелированный гауссов шум с ОСШ, равным
10. Результат определения рельефа с помощью
уравнения (25) представлен в виде карты на
рис. 2, а, изображение полученного рельефа - на
рис. 2, б, а топографические разрезы - на рис. 2, в.
Полученный рельеф даже при ОСШ 10 визуально
неотличим от исходного. Это может служить на-
глядной иллюстрацией эффективности метода.
____________________________________________
а) б) в)
Рис. 2. Восстановленный по полю наклонов путѐм решения уравнения Пуассона рельеф (а), его изображение (б) и топографические
разрезы (в) для ОСШ=10 (чѐрная линия на графиках показывает разрез исходного рельефа, серая - восстановленного; на изображе-
ниях контуры разрезов указаны белыми линиями)
___________________________________________
6. Определение рельефа в случае из-
бытка исходной информации. Здесь речь идѐт о
случае, когда для повышения точности конечного
результата производится избыточное измерение
яркости исследуемого участка, которое под влия-
нием шума делает систему (19) несовместной.
Однако даже при минимальном необходимом
количестве изображений, равном двум, задача
уже переопределена, как это видно из разд. 3,
поскольку в отсутствие шума для определения
рельефа достаточно иметь одно изображение и
один фотометрический разрез, определяющий
зависимость радиояркости вдоль контура при
другом направлении освещения. На языке урав-
нений в частных производных это означает, что
задача определения рельефа по полю наклонов в
отсутствие шума имеет решение не для всякого
векторного поля. Таким образом, избыточность
исходных данных при определении рельефа кли-
нометрическим методом по достаточному набору
изображений имеет место всегда, и предыдущие
разделы отвечают на вопрос, как быть в этом слу-
чае. Более интересным кажется вопрос об опре-
делении рельефа в случае, когда исходных дан-
ных недостаточно для однозначного определения
рельефа даже в отсутствие шума, т. е. по одному
изображению. Может показаться, что эта задача
безнадѐжна, или же еѐ решение зависит от фанта-
зии исследователя. На самом же деле существует
возможность успешно решить еѐ на основе стро-
гого подхода с использованием априорной ин-
формации. Это будет видно ниже.
7. Определение рельефа по одному
изображению. Эта задача представляет большой
практический интерес, так как очень часто в рас-
поряжении исследователя имеется лишь одно
изображение исследуемого участка. Этому по-
свящѐн ряд публикаций, например [12]. Конечно,
это порождает и другую неоднозначность, на-
пример, связанную с радиооптической неодно-
родностью участка. Однако во многих случаях
есть основания полагать участок радиооптически
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
414
однородным и аналогичным по радиооптическим
свойствам другим, уже исследованным участкам.
Тогда неопределѐнность рельефа связана только с
отсутствием экспериментальной информации о
второй компоненте наклона. Конечно, рельеф
всегда определяется клинометрическим методом
только с точностью до неизвестного слагаемого,
что мы всѐ время подразумевали. Оно может
быть уверенно исключено только альтиметриче-
ской или фотограмметрической привязкой.
При статистическом подходе к задаче
[10], последовательно проводимом в работах [6,1]
и в данной статье, легко дать ответ, как поступать
в этом случае. Для этого надо положиться на ап-
риорную информацию о рельефе, содержащуюся
в заданном априорном распределении рельефа и
искать, как и во всех других случаях, рельеф, об-
ладающий наибольшей апостериорной плотно-
стью вероятности (23). В данном частном случае
из предположений, сделанных в начале статьи,
следует, что наибольшей априорной плотностью
вероятности обладает рельеф, интеграл от квад-
рата которого имеет наименьшее значение.
Пусть для простоты освещение на исход-
ном изображении направлено вдоль его строк,
т. е. вдоль оси x . Тогда при решении задачи ме-
тодом ван Диггелена решению подлежит первое
из уравнений (7), для чего необходимо проинтег-
рировать xt вдоль каждой из строк. Полученные
решения подлежат взаимной привязке через по-
средство граничного условия, получаемого из
второго изображения (разд. 3). Наш метод в дан-
ном частном случае приводит к уравнению
2
2
xtH
xx
, (26)
которое с точностью до генерального наклона в
направлении x и констант интегрирования при-
водит к тому же решению, что и метод ван Диг-
гелена. Отличие состоит только в дополнитель-
ном условии, которое теперь требует не совпаде-
ния найденного рельефа с разрезом, полученным
из другого изображения, а в минимизации апри-
орного слагаемого в выражении для логарифма
априорной плотности вероятности. Это обеспечи-
вается принудительным обращением в ноль инте-
грала от найденного рельефа и генерального на-
клона вдоль каждой строки изображения.
Такая возможность была исследована в
модельном компьютерном эксперименте. Полу-
ченные результаты представлены на рис. 3.
____________________________________________
а) б) в)
г) д) е)
Рис. 3. Восстановленный по одному изображению c ОСШ=100 рельеф, а также его изображения при углах освещения -90 и 0 для
случаев восстановления рельефа методом ван Диггелена (а-в) и путѐм решения уравнения Пуассона (г-е)
___________________________________________
Выводы. Задача определения рельефа
участка поверхности по его оптическим или ра-
диоизображениям часто возникает при обработке
результатов многочисленных космических экспе-
риментов, проводимых в последние десятилетия.
Идея клинометрического метода оказывается для
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
415
этого весьма продуктивной. Однако путь от фор-
мулировки физической задачи до получения кор-
ректного количественного результата перед раз-
работкой необходимых алгоритмов проходит че-
рез этап математической постановки задачи и
этап выбора или разработки математического
метода. Игнорирование этого положения приво-
дит к некорректным результатам.
Именно к таким результатам приводят
попытки использовать идею ван Диггелена для
определения рельефа поверхности по еѐ изобра-
жениям без детального анализа математической
сущности этой задачи. Чтобы преодолеть эту
трудность, необходимо ставить математическую
задачу с позиций байесовского статистического
подхода. Это приводит к такой постановке зада-
чи, при которой она единообразно решается как
при избытке, так и при недостатке исходных изо-
бражений.
В частности, это открывает путь к реше-
нию очень распространѐнной в космических ис-
следованиях задаче определения рельефа участка
поверхности по единственному изображению.
Понятно, что в общем случае эта задача не может
быть решена однозначно (что, в частности, над-
лежит учитывать при планировании космических
экспериментов).Однако формулировка этой зада-
чи как задачи оптимальной статистической оцен-
ки исследуемого рельефа при единственном за-
данном изображении оказывается разумной ма-
тематически и продуктивной практически.
Приведенная здесь точная математиче-
ская формулировка этой задачи пока ещѐ не про-
звучала должным образом в литературе. Практи-
ческие результаты, полученные в компьютерном
эксперименте и представленные здесь, подтвер-
ждают результативность постановки задачи и
эффективность предложенного метода обработки
результатов эксперимента.
Клинометрический метод в том виде, как
он предложен здесь, сможет принести пользу тем,
кто воспользуется им для обработки полученных
в эксперименте результатов или учтѐт его при
планировании новых экспериментов. Особенно
плодотворной оказалась бы оптимизация экспе-
римента по отношению его информативности по
Фишеру [10] к его цене.
Одна из проблем, связанных с определе-
нием рельефа по одному изображению, состоит в
возможной зависимости альбедо поверхности от
координат в пределах исследуемого участка, ко-
торая может значительно повысить неопределѐн-
ность трактовки полученных изображений. Эта
проблема должна стать предметом будущих ис-
следований. Однако для получения более опреде-
лѐнных результатов лучше планировать получе-
ние нескольких изображений исследуемого рай-
она при разных направлениях освещения и при-
менять для их обработки клинометрический ме-
тод в его полной форме [1].
1. Корниенко Ю. В., Дулова И. А., Нгуен Суан Ань Винеров-
ский подход к определению оптических характеристик по-
верхности планеты по результатам фотометрических на-
блюдений // Кинематика и физика небесных тел. - 1994. -
10, №5. - С.69-76.
2. Van Diggelen, J. A photometric investigation of the slopes
and heights of the ranges of hills in the maria of the Moon //
Netherlands Astron. Inst. Bull. - 1951. - 11. - P.283-289.
3. Wildey Robert L. Radarclinometry // Earth, Moon, and pla-
nets. - 1986. - N36. - P.217-247.
4. Watters Thomas R., Robinson Mark S. Radar and photoclino-
metric studies of wrinkle ridges on Mars // Journal of geo-
physical research. - 1997. - 102, NE5. - P.10889-10903.
5. Lohse Volker, Heipke Christian, Kirk Randolph L. Derivation
of planetary topography using multi-image shape-from-shading
// Planetary and space science. - 2006. - N54. - P.661-674.
6. Парусимов В. Г., Корниенко Ю. В. Об отыскании наиболее
вероятного рельефа поверхности планеты по еѐ оптиче-
скому изображению // Астрометрия и астрофизика. - 1973.
- Вып. 19. - С.20-24.
7. Wildey Robert L. Radarclinometry of the earth and Venus
from Space-Shuttle and Venera-15 imagery // Earth, Moon,
and Planets. - 1990. - 48. - P.197-231.
8. Watters T. R.; Robinson M. S. Radar and photoclinometric
studies of wrinkle ridges on Mars // J. Geophys. Res. - 1997. -
102, NE5. - P.10, 889.
9. Корниенко Ю. В., Нгуен Суан Ань Определение рельефа и
радиооптических параметров участка поверхности с помо-
щью радиолокатора с синтезированной апертурой // Радио-
физика и электроника. - Харьков: Институт радиофизики и
электрон. НАН Украины. - 1996. - 1. - С.129-133.
10. Корниенко Ю. В. Статистический подход к фильтрации и
информативность изображений // Радиофизика и электро-
ника. - Харьков: Институт радиофизики и электрон. НАН
Украины. - 2005. - 10, спец. вып. - С.652-676.
11. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. - М.:
Мир, 1974. - 491 с.
12. Kirk R. L., Barrett J. M., Soderblom L. A. Photoclinometry
made simple // Advances in planetary mapping. - Houston. -
2003.
SURFACE RELIEF DETERMINATION
BY CLINOMETRIC METHOD
IN THE CASE OF REDUNDANCY AND
DEFICIENCY OF THE INITIAL DATA
I. A. Dulova, Yu. V. Kornienko, S. I. Skuratovskiy
The method of determining both the surface relief from the slope
field and the slope field from initial images has been formulated in
the present paper. It is shown that the problem can be successfully
solved when using a correct statistical approach in the case of
overdetermined and underdetermined system of equations that
relates relief to initial data. The possibilities of the method are
illustrated by computerized models.
Key words: clinometric method of relief deformation, incorrect
problem, statistical approach.
ВИЗНАЧЕННЯ РЕЛ’ЄФУ ПОВЕРХНІ
КЛІНОМЕТРИЧНИМ МЕТОДОМ
ЗА НАДЛИШКОВИМИ АБО НЕДОСТАТНІМИ
ВХІДНИМИ ДАННИМИ
І. О. Дулова, Ю. В. Корнієнко,
С. І. Скуратовський
И. А. Дулова и др. / Определение рельефа поверхности…
_________________________________________________________________________________________________________________
416
Сформульовано метод визначення рел’єфу поверхні
за полем нахилів та поля нахилів за вихідними зображеннями.
Показано, що при коректному статистичному підході до зада-
чі її можна успішно розв’язати як у випадку перевизначеної,
так і у випадку недовизначеної систем рівнянь, що зв’язують
рел’єф з вихідними даними. Можливості метода продемонст-
ровано на комп’ютерних моделях.
Ключові слова: клінометричний метод візначення
рел’єфу, некоректність задачі, статистичний підхід.
Рукопись поступила 5 апреля 2007 г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10832 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-821X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:46:28Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дулова, И.А. Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И. 2010-08-09T08:44:52Z 2010-08-09T08:44:52Z 2007 Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных / И.А. Дулова, Ю.В. Корниенко, С.И. Скуратовский // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 2. — С. 408-415. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10832 52.17:621.391.266 Дана формулировка метода определения рельефа поверхности по полю наклонов и поля наклонов по исходным изображениям. Показано, что при корректном статистическом подходе к задаче она может быть успешно решена как в случае переопределённой, так и в случае недоопредел?нной систем уравнений, связывающих рельеф с исходными данными. Возможности метода продемонстрированы на компьютерных моделях. Сформульовано метод визначення рел’єфу поверхні за полем нахилів та поля нахилів за вихідними зображеннями. Показано, що при коректному статистичному підході до задачі її можна успішно розв’язати як у випадку перевизначеної, так і у випадку недовизначеної систем рівнянь, що зв’язують рел’єф з вихідними даними. Можливості метода продемонстровано на комп’ютерних моделях. The method of determining both the surface relief from the slope field and the slope field from initial images has been formulated in the present paper. It is shown that the problem can be successfully solved when using a correct statistical approach in the case of overdetermined and underdetermined system of equations that relates relief to initial data. The possibilities of the method are illustrated by computerized models. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Статистическая радиофизика Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных Визначення рел’єфу поверхні клінометричним методом за надлишковими або недостатніми вхідними данними Surface relief determination by clinometric method in the case of redundancy and deficiency of the initial data Article published earlier |
| spellingShingle | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных Дулова, И.А. Корниенко, Ю.В. Скуратовский, С.И. Статистическая радиофизика |
| title | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных |
| title_alt | Визначення рел’єфу поверхні клінометричним методом за надлишковими або недостатніми вхідними данними Surface relief determination by clinometric method in the case of redundancy and deficiency of the initial data |
| title_full | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных |
| title_fullStr | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных |
| title_full_unstemmed | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных |
| title_short | Определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных |
| title_sort | определение рельефа поверхности клинометрическим методом при избытке или недостатке исходных данных |
| topic | Статистическая радиофизика |
| topic_facet | Статистическая радиофизика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10832 |
| work_keys_str_mv | AT dulovaia opredelenierelʹefapoverhnostiklinometričeskimmetodompriizbytkeilinedostatkeishodnyhdannyh AT kornienkoûv opredelenierelʹefapoverhnostiklinometričeskimmetodompriizbytkeilinedostatkeishodnyhdannyh AT skuratovskiisi opredelenierelʹefapoverhnostiklinometričeskimmetodompriizbytkeilinedostatkeishodnyhdannyh AT dulovaia viznačennârelêfupoverhníklínometričnimmetodomzanadliškovimiabonedostatnímivhídnimidannimi AT kornienkoûv viznačennârelêfupoverhníklínometričnimmetodomzanadliškovimiabonedostatnímivhídnimidannimi AT skuratovskiisi viznačennârelêfupoverhníklínometričnimmetodomzanadliškovimiabonedostatnímivhídnimidannimi AT dulovaia surfacereliefdeterminationbyclinometricmethodinthecaseofredundancyanddeficiencyoftheinitialdata AT kornienkoûv surfacereliefdeterminationbyclinometricmethodinthecaseofredundancyanddeficiencyoftheinitialdata AT skuratovskiisi surfacereliefdeterminationbyclinometricmethodinthecaseofredundancyanddeficiencyoftheinitialdata |