Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды
Предложен новый метод решения задач дифракции электромагнитных волн на ленточных решётках, расположенных на
 границе гиротропных ферромагнитных сред. В основе этого метода лежит процедура аналитической регуляризации, использующая
 явное решение краевой задачи Римана – Гильберта с коэ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10840 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук, А.С. Трощило // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 515-525. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860098560044826624 |
|---|---|
| author | Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. Трощило, А.С. |
| author_facet | Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. Трощило, А.С. |
| citation_txt | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук, А.С. Трощило // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 515-525. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложен новый метод решения задач дифракции электромагнитных волн на ленточных решётках, расположенных на
границе гиротропных ферромагнитных сред. В основе этого метода лежит процедура аналитической регуляризации, использующая
явное решение краевой задачи Римана – Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты возбуждающей волны.
Разработаны численные алгоритмы и компьютерные программы, реализующие этот метод. Проведены исследования зависимости коэффициента отражения ленточной решётки с идеальной ферромагнитной средой от частоты возбуждающей волны.
Установлен частотный диапазон, где имеет место явление полного отражения Е-поляризованной плоской волны.
В длинноволновой области для амплитуд основных гармоник дифракционного спектра получены приближённые формулы. Установлен частотный диапазон, где они могут быть использованы.
Запропоновано новий метод розв’язання задач дифракції електромагнітних хвиль на стрічкових гратках, що розташовані на межі гіротропних феромагнітних середовищ. Основою цього методу є процедура аналітичної регуляризації, що використовує явний розв’язок граничної задачі Рімана-Гільберта з коефіцієнтом спряження, який залежить від частоти збуджуючої хвилі. Розроблено чисельні алгоритми та комп’ютерні програми, що реалізують цей метод. Проведено дослідження залежності коефіцієнту відбиття стрічкової гратки з ідеальним феромагнітним середовищем від частоти збуджуючої хвилі. Встановлено той частотний діапазон, де має місце явище повного відбиття Е–поляризованої плоскої хвилі. У довгохвильовій області для амплітуд основних гармонік дифракційного спектру одержано наближені формули. Встановлено частотний діапазон, де вони можуть бути застосовані.
A new method is suggested for solving the problem of electromagnetic
wave diffraction by a strip grating placed at the boundary
of a hyrotropic ferromagnetic medium. The method is based on the
analytical regularization procedure and uses explicit solution of the
Riemann-Hilbert boundary value problem with the conjugation
coefficient depending on the excitation wave frequency.
Numerical algorithms and calculating programs realizing the method
have been designed. The reflection coefficient of a strip grating
attached to an ideal ferromagnetic medium is studied as a
function of the excitation wave frequency. The frequency region of
the total reflection of an E-polarized plane wave has been found.
Long-wavelength approximation formulas describing the principal harmonics of diffraction spectrum have been obtained. The frequency range of their application is shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:28:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
__________
ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 12, № 3, 2007, с. 515-525 © ИРЭ НАН Украины, 2007
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ВОЛН
УДК 535.37.421
ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА РЕШЁТКЕ, РАСПОЛОЖЕННОЙ
НА ГРАНИЦЕ ГИРОМАГНИТНОЙ СРЕДЫ
А. В. Бровенко, П. Н. Мележик, А. Е. Поединчук, А. С. Трощило
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина
E-mail: sbornik@ire.kharkov.ua
Предложен новый метод решения задач дифракции электромагнитных волн на ленточных решѐтках, расположенных на
границе гиротропных ферромагнитных сред. В основе этого метода лежит процедура аналитической регуляризации, использующая
явное решение краевой задачи Римана – Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты возбуждающей волны.
Разработаны численные алгоритмы и компьютерные программы, реализующие этот метод. Проведены исследования за-
висимости коэффициента отражения ленточной решѐтки с идеальной ферромагнитной средой от частоты возбуждающей волны.
Установлен частотный диапазон, где имеет место явление полного отражения Е-поляризованной плоской волны.
В длинноволновой области для амплитуд основных гармоник дифракционного спектра получены приближѐнные форму-
лы. Установлен частотный диапазон, где они могут быть использованы. Ил. 5. Табл. 1. Библиогр.: 23 назв.
Ключевые слова: ленточная решѐтка, гиромагнитная среда, система парных сумматорных уравнений, метод аналитиче-
ской регуляризации, дифракция волн.
В настоящее время актуальными явля-
ются исследования процессов распространения,
дифракции и излучения электромагнитных волн
при наличии границы раздела различных сред:
магнетиков, ферромагнетиков, плазменноподоб-
ных и киральных сред, метаматериалов и др. [1-3].
Это обусловлено, с одной стороны, развитием
технологий синтезирования новых материалов,
обладающих в микроволновом диапазоне ранее
неизвестными свойствами, а с другой – потребно-
стями в разработке высокоотражающих и погло-
щающих электромагнитные волны периодиче-
ских структур с управляемыми рассеивающими
свойствами [4]. В связи с этим несомненный ин-
терес представляют электродинамические струк-
туры, образованные различного типа дифракци-
онными решѐтками и слоями из магнитоактивных
сред [5, 6]. Как было показано в работах [5, 6],
наличие на границе раздела таких сред решѐтки
приводит к появлению специфических резонанс-
ных эффектов. Кроме того, присущие магнитоак-
тивным средам эффекты, как например, эффект
невзаимности [7-9], эффект Фарадея [8, 9] и др. в
присутствии периодической границы также могут
проявляться необычным образом.
К настоящему времени дифракция волн на
плоских металлических решетках как в свободном
пространстве, так и с различного типа однородны-
ми изотропными средами, а также с анизотропны-
ми средами, когда между плоскостью решѐтки и
границей соответствующей среды находится ваку-
умный или изотропный магнитодиэлектрический
слой, исследована достаточно полно (см., напри-
мер [10-12] и содержащуюся в них библиографию,
а также [13, 14]). Однако следует отметить, что
непосредственное применение традиционных ме-
тодов [10-14] для решения задач дифракции волн
на металлических решетках, расположенных на
границах гиротропных сред, сталкивается с труд-
ностями, обусловленными тем, что эти методы не
учитывают поведение дифракционного поля в ок-
рестности геометрических сингулярностей реше-
ток, находящихся на границах раздела гиротроп-
ных сред [15].
Исследованию дифракции волн на лен-
точной металлической решѐтке, расположенной
на границе среды, материальные параметры кото-
рой и - в общем недиагональные тензоры,
посвящена работа [16], где исходная краевая за-
дача дифракции сведена к интегральному сингу-
лярному уравнению. В результате применения к
последнему квадратурных формул [17] была по-
лучена система линейных алгебраических урав-
нений первого рода, решение которой требует
проведения дополнительных исследований, на-
пример, на устойчивость решения, на скорость
роста числа обусловленности с увеличением раз-
мера соответствующих матриц и др. [18].
Цель настоящей работы - создание стро-
гого, в математическом отношении, метода реше-
ния задач дифракции электромагнитных волн на
бесконечно тонких, идеально проводящих лен-
точных решѐтках, расположенных на границах
гиротропных ферромагнитных сред, и проведение
исследований зависимости коэффициента отра-
жения от частоты возбуждающей волны при ва-
риациях магнитных, диэлектрических и геомет-
рических параметров указанного типа открытых
периодических структур.
1. Постановка задачи. Решѐтка, образо-
ванная бесконечно тонкими идеально проводя-
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
516
щими лентами параллельными оси 0z с перио-
дом l и шириной щели d , расположена в плос-
кости 0x (рис. 1).
Рис. 1. Поперечное сечение структуры
Полупространство , : , 0x y y x
заполнено однородной гиромагнитной средой
(ферритом) с диэлектрической проницаемостью
1 и тензором магнитной проницаемости
среды (постоянное магнитное поле 0H
полагается
параллельным оси 0z )
0
0
0 0 1
a
a
i
i
,
где
2 2
=1- H M
H
;
2 2
M
a
H
,
а
; ; = .
2 2 2 c
H M
H M
l l l
c c
Здесь - частота падающего (первично-
го) поля, 0H H - круговая частота ферромаг-
нитного резонанса; 4M M - частота, ха-
рактеризующая намагниченность до насыщения
среды ( - гиромагнитное отношение для электро-
на, см. [8, 9]); c - скорость света в вакууме.
В полупространстве , : , 0x y y x
вдоль оси x (нормальное падение) распростра-
няется плоская E -поляризованная электромаг-
нитная волна вида
ikxe
( k
c
, временная за-
висимость характеризуется множителем
tie
,
который в дальнейшем опускается).
Требуется определить функции 1( , )U x y
и 2 ( , )U x y , являющиеся решением следующей
краевой задачи:
а) 1 2( , ), ( , )U x y U x y удовлетворяют урав-
нениям
2 2 2
2
2
2
1 1
( , ) ( )
( , ) 0, 0
( , ) ( , ) 0, 0
aU x y k
U x y x
U x y k U x y x
(1)
б) условию периодичности
( , ) ( , ), 1,2;j jU x y l U x y j (2)
в) граничным условиям на лентах решѐтки
1 20, 1, 0, 0U y U y ,
2
d
y nl (3)
и соответственно на щелях
1
2 2
(0, )
(0, ) (0, )
0,
; 0, 1, 2,... ;
2
a
U y
x
U y U y
i ik
x y
d
y nl n
(4)
г) условию Мейкснера [18, 19] на любом
компакте в плоскости XOY ;
д) условиям излучения
2
Г
1
2
Г ( )
2 2 2
, , 0
, , 0
( )
ReГ 0, ImГ 0
ReГ 0, ImГ 0 ,
n
n
n
i y
i x l
n
n
n
i y
i x l
n
n
a
n n
n n
U x y a e e x
b e e
U x y x
k
k
(5)
где
2 2
2 22 2
Г ; Г ;n n
n n
k k
l l
;
2 2 2 2
1
2 2
0
a
;
0 ( )H H M -граничная частота магни-
тостатической волны и 1 H M - антирезо-
нансная частота.
Функции 1 ,U x y и 2 ,U x y связаны с
,zE x y компонентой рассеянного поля сле-
дующим образом:
1
2 2
2
, , 0,
,
, , 0 .
z
a
U x y x
E x y
U x y x
Используя условие излучения (5) из
уравнений Максвелла (Гельмгольца) получаем
представления для компонент электромагнитного
поля в виде:
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
517
2
Г
2
Г
2
Г
2
Г
, 0,
( , )
, 0,
1
Г , 0,
( , )
1 2
(Г ) , 0.
n
n
n
n
iny
i xikx l
n
n
z
inyi x l
n
n
iny
i xikx l
n n
n
y
inyi x l
n n
n
e a e e x
E x y
b e e x
e a e e x
k
H x y
i
b n e e x
k l
(6)
___________________________________________
Здесь
2 2
0
M
, а na и nb - подлежа-
щие определению неизвестные амплитуды ди-
фракционных гармоник.
2. Сведение граничной задачи к систе-
ме линейных алгебраических уравнений вто-
рого рода. Удовлетворяя условиям (3)-(4) с уче-
том (6) получаем систему парных сумматорных
уравнений вида
___________________________________________
2
2
0
, 0
0,
2
Г ( ) Г 2 , ,
2
iny
l
n
n
iny
l
n nn n
n n
d
b e y
d
b n i e b y
(7)
___________________________________________
где
2 2
2 2
Г 1, Г 1,
sign( ).
n n n
n n
n
Амплитуды дифракционных гармоник связаны
между собой следующим образом:
0 01 ; n nb a b a при 0n .
Проводя над (7) ряд элементарных пре-
образований [5, 6, 10-12, 18], получаем
___________________________________________
1 1
, 0
0
, 0
1
, ,
1
0, ,
1 , .
in in i
n n
n n
in
n
n n
n
n
n n
nb e nb e f e
nb e
b b
(8)
___________________________________________
Здесь
2
;
d
y
l l
; а функция
if e
представима в виде
0
, 0
2
1 1
,
i
in
n n n
n n
f e ib i
n b e
где
1, 0,
;1
, 0
1
n
n
n
Г Г
1
1
n n n
n
n
i
i
Полученная система уравнений (8) пред-
ставляет собой обобщение известных систем пар-
ных сумматорных уравнений, эквивалентных за-
дачам дифракции волн на ленточных решетках,
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
518
расположенных в изотропной диэлектрической
среде, и совпадает с ними, когда 0M .
Наличие в первом уравнении системы (8)
множителя
1
1
не позволяет для построе-
ния решения (8) воспользоваться классическим
методом задачи Римана-Гильберта [10, 11], по-
скольку указанный выше множитель должен быть
равен “-1”, что возможно только, когда гиромаг-
нитная среда отсутствует ( 0M ).
Ниже предложен один из возможных ва-
риантов модификации классического метода за-
дачи Римана-Гильберта [10, 11]. Аналогично
[5, 6, 10-12, 18] введѐм две функции комплексной
переменной w :
1 1
;n n
n n
n n
B w nb w B w nb w
- ана-
литические соответственно внутри и вне кру-
га | | 1w .
Пусть 1 - дуга окружности 1w , со-
единяющая точки
ie
и
ie
, проходящая через
точку 1w , а 2 - дуга, которая дополняет 1
до окружности. С помощью функций
,B w B w
система (8) для
iw e
представляется в следующей форме, стандартной
для краевых задач в теории аналитических функ-
ций комплексного переменного [20]:
10, ;B B (9)
2
1
, .
1
B B f
(10)
Выражение
1
1
согласно [20] называется
коэффициентом сопряжения краевой задачи Ри-
мана (Римана-Гильберта) (9),(10).
Из (9) следует, что функция B w , оп-
ределенная следующим образом:
, 1,
, 1,
B w w
B w
B w w
продолжается до функции аналитической в ком-
плексной плоскости с разрезом вдоль дуги 2 .
Причѐм 1
2
1b
B w O
w w
, когда w .
Таким образом, система уравнений (8)
сведена к задаче о восстановлении функции
B w , аналитической вне дуги 2 по еѐ пре-
дельным значениям на этой дуге, удовлетворяю-
щим условию (10).
Ограничимся рассмотрением случая, когда
1
0
1
, который имеет место при следую-
щих условиях на частотный параметр : H
и
2
M
H H
, а также когда 1 .
Как следует из работы [20], решение за-
дачи Римана-Гильберта (10) может быть пред-
ставлено в следующей форме:
2
1
2
f t dt
B z G z C
i G t t z
, (11)
где
2
1 1
exp
2
i dt
G z z e i
t z
-
каноническое решение в самом широком классе
0
h (т. е. решение не ограничено на обоих концах
дуги 2 ; см. [20]) однородной задачи сопряжения,
которая соответствует (10),
11
ln
2 1
;
C - подлежащая определению постоянная, а
G t
- предельное значение функции G z из-
нутри круга единичного радиуса с центром в нуле.
Отметим, что G t
может быть пред-
ставлена следующим образом:
1
2
1
2
.
i
i i
i
i
i i
e e
G e ie
e e
(12)
Поведение функции iG e
в окрестно-
сти точек
ie
асимптотически совпадает с зави-
симостью соответствующих компонент дифракци-
онного поля вблизи ребер лент решетки. Легко
заметить, что при отсутствии гиромагнитной сре-
ды ( 0M ) параметр равен нулю и только в
этой ситуации компоненты дифракционного поля
могут иметь корневую особенность при прибли-
жении к ребрам лент решетки. В общем случае
0 и, как следует из (12), компоненты поля
сложным образом зависят от параметра , а сле-
довательно и от частоты возбуждающей волны.
Для функции G z справедливо пред-
ставление
0
1
0
exp 2 , , 1,
, , 1,
n
n
n
n
n
n
P z z
G z
z P z z
(13)
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
519
где ,nP - полиномы Поллачека [21], удовле-
творяющие рекуррентным соотношениям:
0 1
2
1
2
1
, 1; , cos 2 sin ;
,
1 2
2 cos sin ,
1
1 , ;
, exp 2 , .
n n
n
n
n n
P P
P
P
n n
P
n
P P
Представление, аналогичное (13), по-
видимому, впервые было приведено в работе [15],
где предложено обобщение метода задачи Рима-
на-Гильберта [10, 11] для предельного случая
0M
.
Нетрудно показать, что при 0M по-
линомы Поллачека переходят в полиномы Ле-
жандра.
Представляя (11) в виде
B z
G z
2
1
2
f t dt
C
i G t t z
, и применяя
формулы Сохоцкого – Племеля [20], а также учи-
тывая, что 2i iG e e G e , в результа-
те некоторых преобразований получаем пред-
ставление
2
1
i i
ia
a a
i
i
i
B e B e
f e
F e f t dt
CF e
i G t t e
(14)
справедливое для всех 0,2 .
Здесь
0 , ;
, ,
i
i
f e
f e
0, ;
1
, .
1
i
iF e
G e
Переходя в (14) к коэффициентам Фурье
и используя (13), сводим функциональную систе-
му уравнений (8) к системе линейных алгебраи-
ческих уравнений вида
, 0, 1, 2,...m mn n m
n
b M b w m
, (15)
матричные элементы, которой можно предста-
вить как mn mn nM A F ,
где
2 2
0
1
2 21
0
1
| |
( )( 2)
0,5 (| | ) ;
( 2)
( )( 2)
H M
n
H M
n
H M
n
F n i n
i R
2 2
2 2 21 0
0
0
( )( )
( )nR n
;
а правая часть
1
0
/ 2
m m
H M
w i A
.
Выражения mnA здесь определяются сле-
дующим образом:
______________________________________________________
2 2
1
( ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ), 0
( ( ) ( , ) ( )) ( ( , ) ( , ) ( , )), 0
mn mn m on m on
mn
n on n on
P W P P P W m
mA
P e R P W e R W m
,
где
1
, при ,
sin
, при ;
2
M
mn
M
H
d
m n
l
P dm n
l m n
m n
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
520
2
1
cos sin1
, при 0;
0, при 0.
2
M
n
M
H
n nd
n
P l n n
n
2
1 1
2
1
1
1
2
1 1 1
0
1 1
0
,
0, 1,
1
, , , , , при 1,
( )( ) ( , ) ( , ), 1,2
2( ( )) , , , при : 0,
2
, , , при : 1;
mn
m n m n
M
H
m m
n
M
H n s s n
s
n s s n
s
W
m n
m
e P P P P n m и n
m n
e P P n
P m n n
P m n n
1n
1
, 0
1
, , ;
n
n
n n
R P
n
2
1
2
1 11
2 2 2
2
1
2 2
,
, , , , при 0,
1
, , , , , при 0,( )( )
2
cos 2 sin , cos 2 sin 1 ,при 1,2( ( ))
2
1
, , ,
n
M
n n nH
M
H
n n
W
R e R n
R P e P n
n
e R e e n
e R P e
n
1 , , при 1.nP n
___________________________________________
Коэффициенты ,n здесь выража-
ются через полиномы Поллачека по следующим
рекуррентным формулам:
0 11; , cos 2 sin ;
1 2
, ,
2cos , ,
n n
n n
P
P P
при 2n .
Легко видеть, что при 0M величины
mnP и ( )nP обращаются в нуль, что свойствен-
но изотропным средам. Кроме того, ими можно
пренебречь при 1M
, что было сделано в
[15]. Однако при 1M
, предложенный в работе
[15], метод дает существенные погрешности, по-
скольку не учитывает поведение компонент ди-
фракционного поля в окрестности геометриче-
ских сингулярностей решетки.
Предлагаемый в этой работе метод, в от-
личие от [15], лишен указанных выше ограниче-
ний. Анализ матричных элементов mnM показал,
что ряд
,
mn
m n
M
сходится и, следовательно,
матрица
,mn m n
M
задаѐт в пространстве по-
следовательностей
2
l ядерный оператор, а систе-
ма (15) является бесконечной системой линейных
алгебраических уравнений второго рода.
Согласно альтернативе Фредгольма [22]
и теореме единственности задачи дифракции [19]
получаем, что решение системы (15) существует
единственно и может быть получено методом
редукции с любой наперѐд заданной точностью.
Таким образом, исходная краевая задача
(1)-(5) эквивалентным образом сведена к системе
линейных алгебраических уравнений (15).
Система уравнений (15) в длинно-
волновой области допускает приближенное ана-
литическое решение методом последовательных
приближений, что позволяет получить прибли-
женные представления для основных гармоник,
когда 1 :
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
521
2 2
00 1 0 0 1
0
2 2
00 1 0 0 1
2 2
00 1
0
2 2
00 1 0 0 1
( ) ( ) 2( )( )
2 ;
( ) ( ) 2( )( )
2
2 ( )
.
( ) ( ) 2( )( )
2
M
H
M
H
M
H
A i R
a
A i R
iA
b
A i R
(16)
___________________________________________
Отметим, что если частоту M положить
равной нулю, то выражения (16) перейдут в из-
вестные формулы Ламба [12] для решѐтки, нахо-
дящейся на границе диэлектрического полупро-
странства.
3. Анализ численных результатов. На
основе предлагаемого здесь метода были разра-
ботаны численные алгоритмы и компьютерные
программы, позволяющие рассчитывать с любой
наперед заданной точностью характеристики ди-
фракционного поля электродинамической струк-
туры – плоская ленточная решетка с ферромаг-
нитной средой.
Например, для расчета коэффициента отраже-
ния 0a (см. рис. 2, 3) с относительной погрешно-
стью, составляющей 0,1%, достаточно выбрать
порядок редукции системы линейных алгебраиче-
ских уравнений (СЛАУ) (15) | | 5N
,
где через ... обозначена целая часть числа.
Численные эксперименты проводились
для двух частотных диапазонов:
0
2
M
H
;
H M .
Характеристики феррита были выбраны
согласно [23], а именно: диэлектрическая прони-
цаемость 5,5 , нормированная частота фер-
ромагнитного резонанса 0,31H , и нормиро-
ванная частота намагниченности феррита
0,27M . Предполагалось, что потери в ферри-
те отсутствуют. При выбранных параметрах фер-
рита для первого частотного диапазона
( 0
2
M
H
) в зоне отражения ( 0x )
только нулевая пространственная гармоника яв-
ляется распространяющейся (см. (5)).
Для выбранных параметров феррита H ,
M и при 0,6d l в диапазоне частот
0 0,2 модуль коэффициента отражения
0| |a с графической точностью совпадает с моду-
лем коэффициента отражения для решетки на ди-
электрическом полупространстве (рис. 2). При
дальнейшем увеличении коэффициента заполне-
ния решетки ( 1d l ) электромагнитное поле
начинает активно проникать в ферритовое полу-
пространство даже при небольших значениях час-
тотного параметра . Интересно отметить, что в
случае отсутствия решетки ( 1d l ) коэффициент
отражения для ферритового полупространства
обращается в ноль при некотором значении нор-
мированной частоты M
1 H=
-1
, яв-
ляющемся корнем уравнения 0 .
Рис. 2. Зависимости модулей коэффициентов отражения
0| |a
и
0| |a от частотного параметра при различных значениях
коэффициента заполнения d l для 0 < <
2
M
H
. Расче-
ты проводились для 5,5 и 0,31; 0,27H M
Поэтому при 1d l зависимость модуля
коэффициента отражения имеет ярко выраженный
минимум в окрестности этого значения частоты.
Как показали численные эксперименты,
в частотном диапазоне 00,2 0,4194
зависимость модуля коэффициента отражения
имеет слабо выраженные характерные «изломы»
на дискретном множестве частот (аномалии типа
Вуда). Эти значения частот могут быть вычис-
лены по формуле
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
522
2
2 2 2 2 2 2
1 1 0_
4
2
n
n n n
,
где 1; 2; 3;....n
Как легко видеть, при n эти часто-
ты стремятся к граничной частоте магнитостати-
ческой волны ферритового полупространства
0 = 0,4194H H M .
В диапазоне частот
0 0,445
2
M
H
имеет место полное
отражение Е-поляризованной электромагнитной
волны (вектор напряженности электрического
поля параллелен лентам решетки) как от решетки
с ферритом, так и от ферритового полупростран-
ства (см. рис. 2). Это объясняется тем, что при
0
2
M
H
эффективная магнитная про-
ницаемость феррита принимает отрицатель-
ные значения ( 0 ) и, следовательно, даже в
отсутствии потерь электромагнитное поле в фер-
ромагнитной среде экспоненциально убывает от
ее границы.
Для поведения модуля коэффициента от-
ражения в частотном диапазоне > M H ха-
рактерны следующие особенности. Существуют
два типа значений частотного параметра , при
которых зависимость модуля коэффициента от-
ражения 0| |a претерпевает ярко выраженные
«изломы» (аномалии Вуда). Им соответствуют
следующие значения частотного параметра:
2
2 2 2 2 2 2
1 1 0+
4
2
n
n n n
и
0
n n , где 1,2,3,....n
Причем значения n зависят от па-
раметров ферромагнитной среды, а
0
n
( 1n ) определяются только решеткой (напом-
ним, что рассматривается нормальное падение
возбуждающей волны).
Легко показать, что при n значение
частотного параметра n
стремится к значению
n
, которое соответствует аномалии Вуда для
решетки, расположенной на изотропном полу-
пространстве с диэлектрической проницаемостью
. Кроме того, в диапазоне частот
+
1<H M модуль коэффициента отраже-
ния 0| |a имеет локальный минимум, значение
которого уменьшается с увеличением коэффици-
ента заполнения решетки (см. рис. 3). Интересно
также то, что с увеличением параметра
d l ( 1d l ) значения модуля коэффициента
отражения, отвечающие указанному выше мини-
муму, располагаются на линии, характеризующей
зависимость модуля коэффициента отражения от
ферритового полупространства (см. рис. 3).
Рис. 3. Зависимости модулей коэффициентов отражения
0| |a
и
0| |a от частотного параметра при различных значениях
коэффициента заполнения d l для + <H M . Расчеты
проводились для 5,5 и 0,31; 0,27H M
Из рис. 3, что в окрестности частоты
+
1= поведение коэффициента отражения 0a
имеет резонансный характер, что обусловлено
возникновением в ферритовом полупространстве
высших распространяющихся пространственных
гармоник при
+
1> . При дальнейшем увеличе-
нии >>1 значения 0| |a стремятся к коэф-
фициенту отражения для решетки, расположен-
ной на изотропном диэлектрическом полупро-
странстве.
Для практических приложений представ-
ляет интерес выяснение границы применимости
приближенного представления для коэффициента
отражения 0a и (16). На рис. 4 приведены срав-
нения зависимостей 0| |a от нормированной час-
тоты, полученных из системы уравнений (15) и
приближенной формулы (16). Из рис. 4 видно,
что аномалии Вуда приближенной формулой не
описываются. Графическое совпадение для «точ-
ных» и «приближенных» кривых имеет место в
диапазоне частот 0 0,15 . Действительно,
как видно из таблицы, расхождение между точным
и приближенным значениями модуля коэффици-
ента отражения составляет при 0,15 - 1,14%,
при 0,2 уже 3,1%, а при 0,3 - 11%.
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
523
Рис. 4. Графики расчѐтов модуля коэффициента отражения по
1 - «точным» и 2 - «приближѐнным» формулам
Таблица
|a0| - точное |a0| - приближенное
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,25
0,3
0,999183
0,996686
0,992458
0,98647
0,978719
0,969222
0,958022
0,945181
0,930782
0,914918
0,897696
0,879228
0,859625
0,838999
0,817452
0,795073
0,771938
0,748097
0,723574
0,698356
0,555284
0,41671
0,999183
0,99669
0,992479
0,986539
0,978887
0,96957
0,958664
0,946265
0,932492
0,917478
0,901364
0,884297
0,866423
0,847883
0,828812
0,809333
0,789556
0,769579
0,749483
0,729336
0,629207
0,530131
Результаты, полученные при проведении
исследований коэффициента отражения в одно-
волновом диапазоне <1 , дают полную ин-
формацию о дифракционном поле в дальней зоне
от решетки, т. е. при >> 1
x
l
. Тем не менее, для
различных приложений несомненный интерес
представляет структура дифракционного поля в
ближней зоне ( 1
x
l
) решетки, расположенной
на границе ферромагнитной среды (идеального
феррита). Одним из возможных способов описа-
ния структуры дифракционного поля является
изображение линий равных амплитуд и равных
фаз компонент электромагнитного поля. На рис. 5
приведены распределения линий равных ампли-
туд zE -компоненты ( | ( , ) | constzE x y ) напря-
женности электрического поля при резонансных
значениях частотного параметра . Из рис. 4
видно, что при 0,4018 модуль коэффициента
отражения 0| |a имеет ярко выраженный мини-
мум. Структура поля при этом значении частот-
ного параметра приведена на рис 5,а.
а)
б)
Рис. 5. Распределение линий равных амплитуд
| ( , ) | constzE x y при различных значениях частотных и гео-
метрических параметров: а) 0,27;M 0,31;H 5,5;
0,8;d l = 0,4018; б) 0,27;M 5,5; 0,31;H
0,9;d l = 0,6195
Интересно то, что, несмотря на нормаль-
ное падение на решетку с ферромагнитной средой
возбуждающей волны
ikx
zE e , линии равных
амплитуд дифракционного поля имеют и притом
ярко выраженную асимметрию. Этот эффект обу-
словлен невзаимностью ферромагнитной среды.
На рис. 5,б приведены линии
| ( , ) | constzE x y для одного из резонансов отра-
жения в диапазоне > + H M (см. рис. 3).
Видно (рис. 5,б), что в этом случае дифракцион-
ное поле локализовано в окрестности границы
ферромагнитной среды.
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
524
Выводы. Таким образом, предложен ме-
тод решения задач дифракции E-поляризованных
электромагнитных волн на ленточных решѐтках,
расположенных на границе гиротропных ферро-
магнитных сред.
В основе этого метода лежит процедура
аналитической регуляризации, использующая
явное решение краевой задачи Римана-Гильберта
с коэффициентом сопряжения, зависящим от час-
тоты возбуждающей волны.
В случае H-поляризации рассматри-
ваемая электродинамическая задача эквивалентна
задаче дифракции плоской волны на ленточной
решетке, расположенной на границе диэлектриче-
ского полупространства. При рассмотрении ука-
занной задачи используется классическая проце-
дура метода задачи Римана-Гильберта [10, 11].
Разработаны численные алгоритмы и ком-
пьютерные программы, реализующие этот метод.
Проведены исследования зависимости коэффици-
ента отражения ленточной решѐтки с идеальной
ферромагнитной средой. Установлен частотный
диапазон, где имеет место явление полного отра-
жения E-поляризованной плоской волны.
Получены приближѐнные формулы для
расчѐта амплитуд основных пространственных
гармоник дифракционного поля. Установлены
границы частотного диапазона, где погрешность
этих формул составляет около 1% .
В заключение отметим, что предла-
гаемый здесь метод исследования задач дифрак-
ции плоских волн на решетках, расположенных
на границах анизотропных (гиротропных) сред,
несложно обобщить на случаи, когда падение
плоских волн - наклонное (произвольное).
1. Бабушкин А. В., Бучельников В. Д., Бычков И. В. Отраже-
ние электромагнитных волн от поверхности феррита ку-
бической симметрии // Физика твердого тела. - 2002. - 44,
вып.12. - С.2183-2188.
2. Вашковский А. В., Локк Э. Г. Поверхностные магнитоста-
тические волны в структуре феррит-диэлектрик, окру-
жѐнной полупространством с отрицательной диэлектри-
ческой проницаемостью // Радиотехника и электроника. -
2002. - 1. - С.97-102.
3. Вашковский А. В., Локк Э. Г. Обратные поверхностные
электромагнитные волны в композитных структурах, ис-
пользующих ферриты // Радиотехника и электроника. -
2003. - 48. - С.169-176.
4. Масалов С. А., Рыжак А. В., Сухаревский О. И., Шкиль В. М.
Физические основы диапазонных технологий типа «Стелс».
- Санкт-Петербург: ВИКУ им. Можайского. - 1999. - 163 с.
5. Бровенко А. В., Мележик П. Н., Поединчук А. Е. Дифрак-
ция плоской электромагнитной волны на металлической
решѐтке с магнитоактивной плазмой // Известия вузов.
Радиофизика. - 2004. - XLVII, №8. - С.638-649.
6. Brovenko A., Melezhik P., Poyedinchuk A., Yashina N. and
Granet G. Surface Resonances of metal stripe Grating on the
Plane boundary of metamaterial // Progress in Electromagnetic
Research. - 2006. - N63. - P.209-222.
7. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в
плазме. - М.: Наука, 1967. - 683 с.
8. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. -
М.: Физматгиз, 1994. - 464 с.
9. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория
волн. - М.: Наука, 1990. - 433 с.
10. Агранович З. С., Марченко В. А., Шестопалов В. П. Ди-
фракция электромагнитных волн на плоских металличе-
ских решетках // Журн. техн. физики. - 1962. - 32, №4. -
С.381-394.
11. Шестопалов В. П., Литвиненко Л. Н., Масалов С. А., Со-
логуб В. Г. Дифракция волн на решѐтках. - Харьков: Изд-
во Харьк. ун-та, 1973. - 278 с.
12. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А., Сирен-
ко Ю. К. Дифракционные решѐтки. - Киев: Наук. думка,
1986. - 232 с. - (Резонансное рассеяние волн: в 2-х т., Т.1).
13. Абдулкадыров В. А., Гестрина Г. Н. Взаимодействие элек-
тромагнитной волны с анизотропной диэлектрической
подложкой при наличии периодических экранов // Радио-
физика и электроника. - Харьков: Ин-т радиофизики и
электрон. НАН Украины. - 2004. -9, №1. - С.185-90.
14. Абдулкадыров В. А., Гестрина Г. Н. Отражательные осо-
бенности системы периодических экранов с гиротропным
заполнением // Электромагнитные волны и электрон. сис-
темы. - 2004. - 9, №3-4. - С.52-58.
15. Хорошун В. В. Дифракция плоских электромагнитных
волн на металлической решѐтке с гиромагнитной средой //
Радиотехника. - 1967. - Вып.4. - С.20-25.
16. Gandel Yu. V., Khoroshun V. V. The vortex Lattice Method in
the electromagnetic wave Diffraction on the Method grating
with gyrotropic Layer // International Conference on Mathe-
matical methods in electromagnetic theory MMET 2000,
Kharkov, Ukraine, September 12-15. - Р.578-580.
17. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в
сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985. -
256 с.
18. Шестопалов В. П., Тучкин Ю. А., Поединчук А. Е., Сирен-
ко Ю. К. Новые методы решения прямых и обратных задач
теории дифракции. Аналитическая регуляризация краевых
задач электродинамики. - Харьков: Основа, 1997. - 285 с.
19. Хѐнл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. - М.:
Мир, 1964. - 428 с.
20. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравне-
ния. - М.: Физматгиз, 1962. - 599 с.
21. Сегѐ Г. Ортогональные многочлены. - М.: Физматгиз,
1962. - 500 с.
22. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. -
М.: Наука, 1984. - 750 с.
23. Елисеева С. В., Семенцов Д. И. Спектр собственных элек-
тромагнитных волн периодической структуры ферромаг-
нетик-полупроводник // Журн. техн. физики. - 2005. - 75,
вып.7. - С.106-11.
THE WAVE DIFFRACTION BY A GRATING
ATTACHED TO HYROMAGNETIC MEDIUM
BOUNDARY
A. V. Brovenko, P. N. Melezhik,
A. Ye. Poyedinchuk, A. S. Troshchylo
A new method is suggested for solving the problem of electro-
magnetic wave diffraction by a strip grating placed at the boundary
of a hyrotropic ferromagnetic medium. The method is based on the
analytical regularization procedure and uses explicit solution of the
Riemann-Hilbert boundary value problem with the conjugation
coefficient depending on the excitation wave frequency.
Numerical algorithms and calculating programs realizing the me-
thod have been designed. The reflection coefficient of a strip grat-
ing attached to an ideal ferromagnetic medium is studied as a
function of the excitation wave frequency. The frequency region of
the total reflection of an E-polarized plane wave has been found.
Long-wavelength approximation formulas describing the principal
А. В. Бровенко и др. / Дифракция волн на решетке…
_________________________________________________________________________________________________________________
525
harmonics of diffraction spectrum have been obtained. The fre-
quency range of their application is shown.
Key words: strip grating, hyromagnetic medium, system of dual series
equations, analytical regularization technique, wave diffraction.
ДИФРАКЦІЯ ХВИЛЬ НА ГРАТЦІ, ЩО
РОЗТАШОВАНА НА МЕЖІ ГІРОМАГНІТНОГО
СЕРЕДОВИЩА
А. В. Бровенко, П. М. Мележик,
А. Ю. Поєдинчук, О. С. Трощило
Запропоновано новий метод розв’язання задач диф-
ракції електромагнітних хвиль на стрічкових гратках, що
розташовані на межі гіротропних феромагнітних середовищ.
Основою цього методу є процедура аналітичної регуляризації,
що використовує явний розв’язок граничної задачі Рімана-
Гільберта з коефіцієнтом спряження, який залежить від часто-
ти збуджуючої хвилі.
Розроблено чисельні алгоритми та комп’ютерні
програми, що реалізують цей метод. Проведено дослідження
залежності коефіцієнту відбиття стрічкової гратки з ідеальним
феромагнітним середовищем від частоти збуджуючої хвилі.
Встановлено той частотний діапазон, де має місце явище пов-
ного відбиття Е–поляризованої плоскої хвилі.
У довгохвильовій області для амплітуд основних
гармонік дифракційного спектру одержано наближені форму-
ли. Встановлено частотний діапазон, де вони можуть бути
застосовані.
Ключові слова: стрічкові гратки, гіромагнітне се-
редовище, система парних сумарних рівнянь, метод аналітич-
ної регуляризації, дифракція хвиль.
Рукопись поступила 22 июня 2007 г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10840 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-821X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:28:05Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. Трощило, А.С. 2010-08-09T09:15:53Z 2010-08-09T09:15:53Z 2007 Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды / А.В. Бровенко, П.Н. Мележик, А.Е. Поединчук, А.С. Трощило // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 515-525. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1028-821X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10840 535.37.421 Предложен новый метод решения задач дифракции электромагнитных волн на ленточных решётках, расположенных на
 границе гиротропных ферромагнитных сред. В основе этого метода лежит процедура аналитической регуляризации, использующая
 явное решение краевой задачи Римана – Гильберта с коэффициентом сопряжения, зависящим от частоты возбуждающей волны.
 Разработаны численные алгоритмы и компьютерные программы, реализующие этот метод. Проведены исследования зависимости коэффициента отражения ленточной решётки с идеальной ферромагнитной средой от частоты возбуждающей волны.
 Установлен частотный диапазон, где имеет место явление полного отражения Е-поляризованной плоской волны.
 В длинноволновой области для амплитуд основных гармоник дифракционного спектра получены приближённые формулы. Установлен частотный диапазон, где они могут быть использованы. Запропоновано новий метод розв’язання задач дифракції електромагнітних хвиль на стрічкових гратках, що розташовані на межі гіротропних феромагнітних середовищ. Основою цього методу є процедура аналітичної регуляризації, що використовує явний розв’язок граничної задачі Рімана-Гільберта з коефіцієнтом спряження, який залежить від частоти збуджуючої хвилі. Розроблено чисельні алгоритми та комп’ютерні програми, що реалізують цей метод. Проведено дослідження залежності коефіцієнту відбиття стрічкової гратки з ідеальним феромагнітним середовищем від частоти збуджуючої хвилі. Встановлено той частотний діапазон, де має місце явище повного відбиття Е–поляризованої плоскої хвилі. У довгохвильовій області для амплітуд основних гармонік дифракційного спектру одержано наближені формули. Встановлено частотний діапазон, де вони можуть бути застосовані. A new method is suggested for solving the problem of electromagnetic
 wave diffraction by a strip grating placed at the boundary
 of a hyrotropic ferromagnetic medium. The method is based on the
 analytical regularization procedure and uses explicit solution of the
 Riemann-Hilbert boundary value problem with the conjugation
 coefficient depending on the excitation wave frequency.
 Numerical algorithms and calculating programs realizing the method
 have been designed. The reflection coefficient of a strip grating
 attached to an ideal ferromagnetic medium is studied as a
 function of the excitation wave frequency. The frequency region of
 the total reflection of an E-polarized plane wave has been found.
 Long-wavelength approximation formulas describing the principal harmonics of diffraction spectrum have been obtained. The frequency range of their application is shown. ru Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України Распространение и рассеяние волн Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды Дифракція хвиль на гратці, що розташована на межі гіромагнітного середовища The wave diffraction by a grating attached to hyromagnetic medium boundary Article published earlier |
| spellingShingle | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды Бровенко, А.В. Мележик, П.Н. Поединчук, А.Е. Трощило, А.С. Распространение и рассеяние волн |
| title | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды |
| title_alt | Дифракція хвиль на гратці, що розташована на межі гіромагнітного середовища The wave diffraction by a grating attached to hyromagnetic medium boundary |
| title_full | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды |
| title_fullStr | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды |
| title_full_unstemmed | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды |
| title_short | Дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды |
| title_sort | дифракция волн на решётке, расположенной на границе гиромагнитной среды |
| topic | Распространение и рассеяние волн |
| topic_facet | Распространение и рассеяние волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10840 |
| work_keys_str_mv | AT brovenkoav difrakciâvolnnarešetkeraspoložennoinagranicegiromagnitnoisredy AT meležikpn difrakciâvolnnarešetkeraspoložennoinagranicegiromagnitnoisredy AT poedinčukae difrakciâvolnnarešetkeraspoložennoinagranicegiromagnitnoisredy AT troŝiloas difrakciâvolnnarešetkeraspoložennoinagranicegiromagnitnoisredy AT brovenkoav difrakcíâhvilʹnagratcíŝoroztašovananamežígíromagnítnogoseredoviŝa AT meležikpn difrakcíâhvilʹnagratcíŝoroztašovananamežígíromagnítnogoseredoviŝa AT poedinčukae difrakcíâhvilʹnagratcíŝoroztašovananamežígíromagnítnogoseredoviŝa AT troŝiloas difrakcíâhvilʹnagratcíŝoroztašovananamežígíromagnítnogoseredoviŝa AT brovenkoav thewavediffractionbyagratingattachedtohyromagneticmediumboundary AT meležikpn thewavediffractionbyagratingattachedtohyromagneticmediumboundary AT poedinčukae thewavediffractionbyagratingattachedtohyromagneticmediumboundary AT troŝiloas thewavediffractionbyagratingattachedtohyromagneticmediumboundary |