Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)

Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)

В роботі показано, що методом зв’язаних хвиль (МЗХ), який використовують для аналізу дифракції електромагнітних хвиль на плоских 1D ґратках, при накладанні періодичних граничних умов можна швидко встановити, чи задана частота електромагнітної хвилі є дозволеною для поширення в 2D фотонному кристалі....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2007
Main Authors: Фітьо, В.М., Бобицький, Я.В.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2007
Subjects:
Радиофизика твердого тела и плазмы
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10847
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ) / В.М. Фітьо, Я.В. Бобицький // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 567-575. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10847
record_format dspace
spelling Фітьо, В.М.
Бобицький, Я.В.
2010-08-09T10:01:26Z
2010-08-09T10:01:26Z
2007
Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ) / В.М. Фітьо, Я.В. Бобицький // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 567-575. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
1028-821X
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10847
539.2: 537.86
В роботі показано, що методом зв’язаних хвиль (МЗХ), який використовують для аналізу дифракції електромагнітних хвиль на плоских 1D ґратках, при накладанні періодичних граничних умов можна швидко встановити, чи задана частота електромагнітної хвилі є дозволеною для поширення в 2D фотонному кристалі. Проблема зводиться до задачі вищої алгебри на власні значення та власні вектори типу A+X=ρA-X та перевірки, чи ρ за модулем рівне одиниці. Якщо |ρ|=1, то задана частота дозволена. Розмірність вектора X дорівнює подвоєному числу використаних зв’язаних хвиль (2N) при розрахунку, і визначається необхідною точністю аналізу. При N≥30 забезпечується висока точність визначення дозволених частот віток зонної структури, що визначають заборонену зону фотонного кристалу. Завдяки тому, що типові фотонні кристали мають симетричну просторову залежність діелектричної сталої, то використання симетрії в залежності від її виду дозволяє перейти до розмірності вектора X N±1 чи N без втрати точності аналізу з одночасним зменшенням часу розрахунку приблизно у вісім разів.
Показано, что методом связанных волн (МСВ), который используют для анализа дифракции электромагнитных волн на плоских 1D решетках, при наложении периодических граничных условий можно быстро определить, является ли данная частота разрешенной для распространения в 2D фотонном кристалле. Проблема сводится к задаче высшей алгебры на собственные значения и собственные векторы типа A+X=ρA-X и проверки на равенство модуля ρ единице. Если |ρ|=1, то заданная частота разрешена. Размерность вектора X равна удвоенному числу использованных связанных волн (2N) при расчете и определяется требуемой точностью анализа. При N≥30 обеспечивается высокая точность определения разрешенных частот веток зонной структуры, которые определяют запрещенную зону фотонного кристалла. Использование симметрии предоставляет возможность перейти к размерности вектора X N±1 или N без потери точности с одновременным уменьшением времени расчета примерно в восемь раз.
It is shown in work, that at imposition of a periodic boundary conditions it is possible quickly to define there is this frequency of allowed for distribution in 2D photonic crystal by the coupled waves method (CWM), which use for the analysis of diffraction of electromagnetic waves in plane 1D grating. A problem is reduced to the task of higher algebra on the eigenvalues and eigenvectors of type A+X=ρA-X and verification on equality of the module ρ to unit. If |ρ|=1, the intended frequency is allowed. The dimension of vector X is equal to the doubled number of the used coupled waves (2N) at a calculation, and is determined by the required accuracy of analysis. High accuracy of determination of the allowed frequencies of branches of band structure at N≥30, which determine the band gap of photonic crystal, is provided. The use of symmetry gives possibility to pass on to the dimension of X vector N±1 or N without the loss of accuracy with the simultaneous diminishing of time of calculation approximately in 8 times.
uk
Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
Радиофизика твердого тела и плазмы
Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
Определение разрешенных частот распространения электромагнитных волн в 2D фотонном кристалле методом связанных волн (МСВ)
Determination of the allowed frequencies of distribution of electomagnetic waves in 2D photonic crystal by the coupled waves method (CWM)
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
spellingShingle Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
Фітьо, В.М.
Бобицький, Я.В.
Радиофизика твердого тела и плазмы
title_short Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
title_full Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
title_fullStr Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
title_full_unstemmed Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)
title_sort визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2d фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (мзх)
author Фітьо, В.М.
Бобицький, Я.В.
author_facet Фітьо, В.М.
Бобицький, Я.В.
topic Радиофизика твердого тела и плазмы
topic_facet Радиофизика твердого тела и плазмы
publishDate 2007
language Ukrainian
publisher Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
format Article
title_alt Определение разрешенных частот распространения электромагнитных волн в 2D фотонном кристалле методом связанных волн (МСВ)
Determination of the allowed frequencies of distribution of electomagnetic waves in 2D photonic crystal by the coupled waves method (CWM)
description В роботі показано, що методом зв’язаних хвиль (МЗХ), який використовують для аналізу дифракції електромагнітних хвиль на плоских 1D ґратках, при накладанні періодичних граничних умов можна швидко встановити, чи задана частота електромагнітної хвилі є дозволеною для поширення в 2D фотонному кристалі. Проблема зводиться до задачі вищої алгебри на власні значення та власні вектори типу A+X=ρA-X та перевірки, чи ρ за модулем рівне одиниці. Якщо |ρ|=1, то задана частота дозволена. Розмірність вектора X дорівнює подвоєному числу використаних зв’язаних хвиль (2N) при розрахунку, і визначається необхідною точністю аналізу. При N≥30 забезпечується висока точність визначення дозволених частот віток зонної структури, що визначають заборонену зону фотонного кристалу. Завдяки тому, що типові фотонні кристали мають симетричну просторову залежність діелектричної сталої, то використання симетрії в залежності від її виду дозволяє перейти до розмірності вектора X N±1 чи N без втрати точності аналізу з одночасним зменшенням часу розрахунку приблизно у вісім разів. Показано, что методом связанных волн (МСВ), который используют для анализа дифракции электромагнитных волн на плоских 1D решетках, при наложении периодических граничных условий можно быстро определить, является ли данная частота разрешенной для распространения в 2D фотонном кристалле. Проблема сводится к задаче высшей алгебры на собственные значения и собственные векторы типа A+X=ρA-X и проверки на равенство модуля ρ единице. Если |ρ|=1, то заданная частота разрешена. Размерность вектора X равна удвоенному числу использованных связанных волн (2N) при расчете и определяется требуемой точностью анализа. При N≥30 обеспечивается высокая точность определения разрешенных частот веток зонной структуры, которые определяют запрещенную зону фотонного кристалла. Использование симметрии предоставляет возможность перейти к размерности вектора X N±1 или N без потери точности с одновременным уменьшением времени расчета примерно в восемь раз. It is shown in work, that at imposition of a periodic boundary conditions it is possible quickly to define there is this frequency of allowed for distribution in 2D photonic crystal by the coupled waves method (CWM), which use for the analysis of diffraction of electromagnetic waves in plane 1D grating. A problem is reduced to the task of higher algebra on the eigenvalues and eigenvectors of type A+X=ρA-X and verification on equality of the module ρ to unit. If |ρ|=1, the intended frequency is allowed. The dimension of vector X is equal to the doubled number of the used coupled waves (2N) at a calculation, and is determined by the required accuracy of analysis. High accuracy of determination of the allowed frequencies of branches of band structure at N≥30, which determine the band gap of photonic crystal, is provided. The use of symmetry gives possibility to pass on to the dimension of X vector N±1 or N without the loss of accuracy with the simultaneous diminishing of time of calculation approximately in 8 times.
issn 1028-821X
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10847
citation_txt Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ) / В.М. Фітьо, Я.В. Бобицький // Радіофізика та електроніка. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 567-575. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT fítʹovm viznačennâdozvolenihčastotpoširennâelektromagnítnihhvilʹu2dfotonnomukristalímetodomzvâzanihhvilʹmzh
AT bobicʹkiiâv viznačennâdozvolenihčastotpoširennâelektromagnítnihhvilʹu2dfotonnomukristalímetodomzvâzanihhvilʹmzh
AT fítʹovm opredelenierazrešennyhčastotrasprostraneniâélektromagnitnyhvolnv2dfotonnomkristallemetodomsvâzannyhvolnmsv
AT bobicʹkiiâv opredelenierazrešennyhčastotrasprostraneniâélektromagnitnyhvolnv2dfotonnomkristallemetodomsvâzannyhvolnmsv
AT fítʹovm determinationoftheallowedfrequenciesofdistributionofelectomagneticwavesin2dphotoniccrystalbythecoupledwavesmethodcwm
AT bobicʹkiiâv determinationoftheallowedfrequenciesofdistributionofelectomagneticwavesin2dphotoniccrystalbythecoupledwavesmethodcwm
first_indexed 2025-11-24T02:17:26Z
last_indexed 2025-11-24T02:17:26Z
_version_ 1850836684061540352
fulltext __________ ISSN 1028-821X Радиофизика и электроника, том 12, № 3, 2007, с. 567-575 © ИРЭ НАН Украины, 2007 УДК 539.2: 537.86 ВИЗНАЧЕННЯ ДОЗВОЛЕНИХ ЧАСТОТ ПОШИРЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ У 2D ФОТОННОМУ КРИСТАЛІ МЕТОДОМ ЗВ’ЯЗАНИХ ХВИЛЬ (МЗХ) В. М. Фітьо 1 , Я. В. Бобицький 1,2 1 Національний університет „Львівська політехніка” 12, вул. С. Бандери, Львів, 79013, Україна E-mail: polyana@polynet.lviv.ua 2 Інститут технології Жешувського університету 16, вул. Т. Рейтана, Жешув, 35-959, Польща E-mail: bobitski@polynet.lviv.ua В роботі показано, що методом зв’язаних хвиль (МЗХ), який використовують для аналізу дифракції електромагнітних хвиль на плоских 1D ґратках, при накладанні періодичних граничних умов можна швидко встановити, чи задана частота електро- магнітної хвилі є дозволеною для поширення в 2D фотонному кристалі. Проблема зводиться до задачі вищої алгебри на власні зна- чення та власні вектори типу X X A A   та перевірки, чи  за модулем рівне одиниці. Якщо 1  , то задана частота дозво- лена. Розмірність вектора X  дорівнює подвоєному числу використаних зв’язаних хвиль  2N при розрахунку, і визначається не- обхідною точністю аналізу. При 30N  забезпечується висока точність визначення дозволених частот віток зонної структури, що визначають заборонену зону фотонного кристалу. Завдяки тому, що типові фотонні кристали мають симетричну просторову залеж- ність діелектричної сталої, то використання симетрії в залежності від її виду дозволяє перейти до розмірності вектора X  1N  чи N без втрати точності аналізу з одночасним зменшенням часу розрахунку приблизно у вісім разів. Рис. 6. Бібліограф.: 20 назв. Ключові слова: ґратка, фотонний кристал, дифракція, зонна структура, дозволена частота. Останнім часом проводяться інтенсивні дослідження фотонних кристалів, які стають ос- новою для розробки оптоелектронних приладів нового типу. Причому найбільше робіт присвяче- но 2D фотонним кристалам [1]. Згідно цієї роботи відносна кількість опублікованих праць, що ви- вчають 3D фотонні кристали дорівнює 2%, 1D - 15%, і 2D - більше ніж 80%. Такий статистичний розподіл визначається мабуть тим, що 1D фотонні кристали найбільш прості у виготовленні та іс- нують точні методи їх аналізу; вони досить давно використовуються, ще до встановлення терміну фотонні кристали [2, 3], проте не вичерпали своїх потенційних можливостей. 3D фотонні кристали найскладніші для аналізу, не існує надійної тех- нології їх виготовлення з керованими дефектами у просторовій структурі кристалу. З цієї точки зо- ру 2D фотонні кристали займають проміжне ста- новище: існуючий метод плоских хвиль для ана- лізу фотонної структури [4] забезпечує необхідну точність, хоча вимагає значного часу розрахунку, а також розроблені технології виготовлення таких фотонних кристалів. В теперішній час наукові праці присвячені переважно властивостям 2D фо- тонних кристалів та розробці пристроїв нового типу на їх основі [5, 6]. Висока зацікавленість фотонними криста- лами розпочалася з праць Е. Яблоновича [2, 3]; то- ді ж були запроваджені терміни: фотонний кристал та фотонна зонна структура. Ради справедливості слід відзначити, що вперше були запропоновані та вивчалися 3D структури на основі діелектричного середовища з періодичною зміною діелектричною сталою харківським вченим Хижняком М. А. ще у 1957 році [7]. Вченим такі структури були названі штучними анізотропними діелектриками [7, 8]. Показано [8], що такі структури можуть мати від’ємну ефективну діелектричну сталу (чи від’ємну ефективну магнітну сталу у випадку про- сторово модульованого магнітодіелектрика) в пев- ному діапазоні частот. В сучасній термінології фо- тонних кристалів це означає, що цей діапазон час- тот потрапляє у фотонну заборонену зону. В цих роботах для аналізу властивостей штучних анізот- ропних діелектриків використовувався метод функ- цій Гріна, який також застосовують для аналізу фо- тонних кристалів у теперішній час [10]. Найбільшого поширення аналізу власти- востей фотонних кристалів набув метод плоских хвиль [4], в якому електромагнітне поле у криста- лі подається у вигляді суми плоских хвиль, а до- зволені частоти визначаються як власні значення квадратної матриці розмірністю 2 2d dN N , де N - число плоских хвиль, які використовуються для одного напрямку: d - розмірність фотонного кристалу і може приймати значення 1, 2 або 3 [11]. Навіть для 2D фотонного кристалу для дося- гнення необхідної точності необхідно використа- ти по крайній мірі 529 плоских хвиль ( 23N  ) [12], тобто знаходити власні значення матриці ро- змірності 1058 1058. Очевидно, що для 3D фо- тонних кристалів задача стає ще складнішою, ви- магає багато часу для розрахунку і виникає про- блема збіжності результатів [13]. Слід також за- уважити, що у методі плоских хвиль дозволені mailto:polyana@polynet.lviv.ua mailto:bobitski@polynet.lviv.ua В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 568 частоти визначаються при заданому хвильовому векторі k  . На практиці досить часто виникає де- що інша задача: визначити, чи задана частота (наприклад частота генерації лазера) є дозволе- ною чи забороненою для поширення у 2D фотон- ному кристалі при заданій одній компоненті хви- льового вектора. Ця компонента може визначати- ся кутом падіння плоскої хвилі на фотонний кри- стал, який просторово обмежений площиною. Тому для швидкого аналізу 2D фотонних кристалів був запропонований МЗХ [11], який за- звичай використовують для аналізу одновимірних дифракційних ґраток. В цьому методі 2D фотонний кристал подають у вигляді стосу ґраток числом не менше 12, причому товщина ґратки рівна періоду фотонного кристалу в одному з напрямків, і від- повідно діелектрична стала ґратки також зміню- валась у цьому напрямку. Така система ґраток ро- зміщалась в однорідному середовищі. МЗХ роз- раховувались коефіцієнти пропускання та відби- вання від стосу ґраток в залежності від довжини хвилі. За величиною коефіцієнта відбивання (пропускання) можна судити про характер поши- рення електромагнітної хвилі заданої частоти. Але все рівно цей метод вимагає значного часу розрахунку, оскільки потрібно знайти розв’язок на інтервалі більше ніж 10 періодів. Проте порів- няння класичного методу [4] розрахунку зонної структури і методу, викладеного в роботі [11], та використання граничних умов у відповідності до тереми Флоке дозволяють зробити висновок, що достатньо мати розв’язок МЗХ лише на одному періоді фотонного кристалу, щоб визначити, чи задана частота дозволена чи заборонена. Тобто можна сформулювати метод, яким можна швидко розрахувати зонну структуру фотонного кристалу з високою точністю. Цей метод подано в роботі [14], і який по суті зводиться до задачі матричної алгебри на власні значення та власні вектори типу X XT R   . Квадратні матриці T і R визнача- лись МЗХ за стійким числовим алгоритмом [15] на одному періоді, причому розмірність квадрат- них матриць дорівнює 2 2N N , де N - число врахованих дифракційних порядків. Очевидно, що із збільшенням N зростають точність та час розрахунків. Цим методом побудована зонна структура фотонних кристалів з найпростішою елементарною коміркою квадратної форми із квадратними стерж- нями. Тобто цей метод апробований для найпрості- ших фотонних кристалів і не показано, як ним ко- ристуватись для 2D фотонних кристалів, наприклад, тригональної структури з круглими стержнями. Крім цього у методі, викладеному в роботі [14], не врахована просторова симетрія фотонних кристалів [16], хоча МЗХ дозволяє використати просторову симетрію ґратки та дифракції, та зменшити розра- хунок в чотири-вісім разів без втрати точності [17]. Заодно в роботі [14] використано стійкий числовий алгоритм, який достатньо громіздкий для організа- ції обчислень для 2D фотонних кристалів із стерж- нями не квадратного перерізу. Отже мета даної роботи полягає у вдоскона- ленні методу аналізу зонної структури 2D фотонних кристалів на основі МЗХ, дослідження особливостей його застосування, та демонстрації, що вдосконале- ний пропонований метод по своїй універсальності не поступається класичному методу плоских хвиль, проте має перевагу в тому, що в процесі обчислень потрібно оперувати з матрицями із значно меншою кількістю елементів, що неминуче позначається на точності та часу комп’ютерних розрахунків. 1. Метод зв’язаних хвиль. Коротко опишемо МЗХ для обох поляризацій. В наших дослідження передбачається, що хвильовий век- тор k  поширюваної хвилі у 2D фотонному крис- талі лежить в площині, яка перпендикулярна до паралельних осей циліндрів, що формують крис- тал. Якщо напруженість електричного поля елек- тромагнітної хвилі паралельна осям циліндрів, то маємо справу з хвилями ТЕ поляризації; якщо ж вектор напруженості магнітного поля паралель- ний осям циліндрів, то такі хвилі назвемо ТМ по- ляризованими. На рис. 1 представлено зображен- ня 2D фотонного кристалу з елементарною квад- ратною коміркою розміром a a з циліндрични- ми стержнями як нескінченний стос ґраток тов- щиною a в напрямку осі 0z . Ґратки періодичні в напрямку осі 0x з періодом a  . Відносна ді- електрична стала стержнів дорівнює a , а мате ріалу, що оточує стержні, - b . Рис. 1. Модель 2D фотонного кристалу як нескінченний стос ґраток „Виріжмо” із фотонного кристалу одну ґратку товщиною a в напрямку осі 0z двома пло- a x a 0 а b bm hm hm z В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 569 щинами / 2z a і / 2z a . В такій ізольованій ґратці для аналізу полів можна використати МЗХ, причому напруженість полів при будь-якому z ви- разимо через поля в площині 0.z  Система рів- нянь, що описує поширення електромагнітної хвилі ТЕ поляризації в такій ґратці має вигляд [14, 15, 18]             0 2 0 0 , , n n n nx n pn p p dG z ik F z dz dF z k i G z dz k ik z G z        (1) де ( )nG z та  nF z - фур’є-компоненти розкладу тангенціальних складових напруженостей елект- ричного та магнітного полів електромагнітної хвилі; 0 2 / ;k   0 2 / ;nx xk k n   n - ціле число; 0xk - проекція хвильового вектора на вісь 0x нульової фур’є-компоненти;   n p z  - мат- риця Теплиця складена на основі коефіцієнтів ро- зкладу  ,x z в ряд Фур’є як періодичної фун- кції від .x Електричне та магнітне поля в ґратці можна розкласти таким чином [15, 18]:               , exp , , exp , y n nx n x nx z nz nx n E x z e G z ik x H x z e F z e F z ik x                де , ,x y ze e e    - одиничні вектори, які направлені вздовж трьох осей координат, ,nx nF F 0 .nx nz n k F G k  Система рівнянь для зв’язаних хвиль ТМ поляризації має такий вигляд [18, 19]:               0 1 0 1 0 , 1 . n n nx px pn p p n p p n p dG z ik F z dz k i z k F z k dF z ik G z dz z               (2) Електричне та магнітне поля в ґратці для цього випадку можна подати таким чином [15, 18]:      , exp ,y n nx n H x z e F z ik x           , exp ,x nx z nz nx n E x z e G z e G z ik x         де nzG визначається з системи алгебраїчних рів- нянь  0 ,nx n pzn p p k F k z G    а .n nxG G Системи рівнянь (1) і (2) можна звести до системи диференціальних рівнянь другого поряд- ку, які в матричному вигляді матимуть вид 2 1 22 , d dz  G B B G (3) 2 2 12 , d dz  F B B F (4) де матриці 1B і 2B відповідають першій та другій підсистемам систем рівнянь (1) і (2). Системою рівнянь (3) зручніше користуватися для хвиль ТЕ поляризації (з точки зору кількості обчислень), а системою (4) - для хвиль ТМ поляризації. Розмірність систем рівнянь (3) і (4) від- повідає числу врахованих дифракційних поряд- ків, в даному випадку N . Розділимо інтервали    0, / 2 , 0, / 2a a на M шарів. Кожен шар має товщину .mh Кількість шарів залежить від виду функції  ,z x , і будемо вважати, що в межах кожного шару зміною залежності  ,z x від z можна нехтувати, тобто на кожному шарі     1 2 m m B B не міняється. Знайшовши власні значен- ня матриці     1 2 m m B B для ТЕ поляризації (     2 1 m m B B для ТМ поляризації) на кожному шарі, які дорівнюють 2 ,m n , і відповідні власні вектори, що формують матрицю mU , розв’язок системи (1) на інтервалі  0, mh подамо так:           1 2exp exp m m m m mG z z C z C  A A   ; (5)           1 2 exp exp , m m m m m m m z z C z C      F Q A Q A   (6) де матриця 1 m m m m A U Г U , mГ - діагональна матриця, яка сформована на основі впорядкованої послідовності власних чисел 2 , , ,m n m n   від- повідно     1exp exp ;m m m m m mh h   A U Г U 0 m m i k  A Q ;   1 m C  і   2 m C  - вектори, які визнача- ються граничними умовами при 0z  . Для кож- ного шару z міняється від 0z  до mz h , або від 0z  до mz h  при від’ємних ,z тобто ви- користовується локальна система координат. Для цієї локальної системи координат розв’язок (5) і В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 570 (6) при mz h можна представити через значення mG і mF при 0z  таким чином [18]:                     11 12 21 22 0 0 , 0 0 , m m m m m m m m m m m m h A h A     G G A F F G A F (7) де матриці в правій частині системи (7) дорівнюють                          11 22 12 1 1 21 1 1 1 exp exp , 2 1 exp exp , 2 1 exp exp . 2 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h                         A A A A A A A A B A A A A B (8) Якщо ж z міняється від 0z  до mz h  , то   11 m A і   22 m A залишаються без змін, а   12 m A та   21 m A міняють знак на протилежний в порівнянні з виразом (8). Для хвиль ТМ поляризації справедливі співвідношення (7) та перша підсистема системи (8). Друга та третя підсистеми системи (8) приймуть вид          1 12 2 1 exp exp , 2 m m m m m m mh h       A B A A A        1 21 2 1 exp exp . 2 m m m m m m mh h     A B A A A Таким чином, розв’язок при mz h можна подати матричній формі                       11 12 21 22 0 0 0 , 0 m m m m m m m m m m m m m h h                           G GA A F FA A G A F (9) а при mz h  розв’язок виразимо так                       11 12 21 22 0 0 0 . 0 m m m m m m m m m m m m m h h                             G GA A F FA A G A F (10) Завдяки симетричності діелектричної сталої відносно площини 0z  , знайшовши мат- рицю  m A , ми можемо зразу ж визначити  m A . Таким чином, розв’язок при / 2z a та / 2z a з врахуванням виразів (9) та (10) можна подати так                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 2 0 / 2 0 0 , 0 / 2 0 / 2 0 0 . 0 M m m M m m a a a a                                                  G G A F F G A F G G A F F G A F (11) Останні шари Mh і Mh для фотонного кристалу з квадратною коміркою за товщиною до- рівнюють 1 1 / 2 / 2 , M M m m h a h a R       де R - радіус циліндра. Виникає питання, як вибирати товщину шарів ,mh тобто висоту прямокутника та ширину прямокутника mb , сукупність яких найкраще ап- роксимувало б коло. На наш погляд досить раціо- нальною апроксимацією є наступна:  1 sin sin , 2 2 2 cos . 2 m m mm h R M M m b R M           (12) В останніх виразах m міняється від 1до 1M  . Застосування виразів (12) для нижнього та верхнього кола дозволяють апроксимувати коло ба- гатокутником, який має центральну симетрію та чо- тири осі симетрії. На рис. 2 подані апроксимаційні багатокутники при 3M  (хрест) та при 11.M  Очевидно, що зростом M точність апроксимації кола покращується. При 2M  маємо квадрат. Рис. 2. Апроксимація кола багатокутником при 3M  та 11M  В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 571 2. Симетризація рівнянь МЗХ. В роботі [16] подано цілий ряд типів 2D фотонних криста- лів, які в переважній більшості симетричні за сво- єю будовою      , , , .x z x z x z      До добутку матриць 1 2B B в правій частині систем диференціальних рівнянь другого порядку (3), (4) відносно напруженостей електричного і магнітного полів відповідно введемо додаткові індекси e та m . Отже матриці тепер відповідно для хвиль ТЕ і ТМ матимуть таке позначення: eB і mB . Матриці eB і mB будуть мати певну симетрію при таких двох умовах: 0 , 0, n n xk     (13) 0 , / . n n xk        (14) Умова (13) виконується при падінні пучка на ґратку по нормалі. В цьому випадку при розрахунках бажано враховувати 12 1N N  дифракційних порядків. Той дифракційний порядок, який поширюється по нормалі до ґратки, буде нульовим порядком і має амплітуду 0 0( )G F . Відповідно перша і остання компоненти векторів  G z  і  F z  будуть мати позначення: 1 1 ,N NG G і 1 1 ,N NF F . Умова (14) виконується при падінні пучка на ґратку під кутом Брегга. В цьому випадку при розрахунках доцільно враховувати 12N дифракційних порядків. Той дифракційний порядок, для якого 0 /xk   , буде нульовим порядком і має амплітуду 0 0( )G F . Відповідно перша і остання компоненти векторів  G z  і  F z  будуть мати позначення: 1 11,N NG G  і 1 11, .N NF F  При такому впорядкуванні векторів  G z  і  F z  елементи ,n pb матриць eB і mB задовольняють таким умовам симетрії: 1 1 1 1 , 2 2 ,2 2 0 , 2 1 ,2 1 0 , якщо 0, , якщо . n p N n N p x n p N n N p x b b k b b k                (15) Крім умови (15) елементи ,n pb матриці eB задовольняють ще такій додатковій умові: , ,n p p nb b . Спочатку, використовуючи властивості симетричності (15), перейдемо від систем рівнянь (3) і (4) до рівнозначних у сукупності двох систем диференціальних рівнянь, але вдвічі меншого порядку. Для утворення першої системи рівнянь додамо перше і останнє рівняння системи (3), друге і передостаннє і так далі. В результуючих рівняннях, кількість яких 1N , погрупуємо члени і виділимо суми, які позначимо таким чином: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 , , ... ..., . N N N N N N G G G G G G G G G                      В результаті отримаємо лінійну систему диференціальних рівнянь розмірності 1N відносно нових змінних, причому матричні елементи ,n pb матриці e  B зв'язані з елементами ,n pb матриці eB таким чином: 1 1 1 1, , 1,n p N n N p N n N pb b b       . (16) Для утворення другої системи рівнянь від першого віднімемо останнє рівняння системи (3), потім таку саму операцію проведемо з другим і передостаннім і так далі. В результуючих рівняннях, кількість яких 1N , погрупуємо члени і виділимо різниці, які позначимо таким чином: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 , , ... ..., . N N N N N N G G G G G G G G G                      В результаті отримаємо лінійну систему диференціальних рівнянь розмірності 1N відносно нових змінних, причому матричні елементи ,n pb матриці e  B зв'язані з елементами ,n pb матриці eB таким чином: 1 1 1 1, , 1,n p N n N p N n N pb b b       . (17) Якщо пучок на ґратку падає по нормалі, і система (3) має 12 1N  рівнянь, то ми поступає- мо аналогічним чином. Але в цьому випадку нульовий порядок дифракції немає пари. Як наслідок отримаємо таку заміну змінних: 1 1 1 1 1 1 2 0 1 , ... ..., , . N N NG G G G G G G G                 Отже, при додаванні отримаємо лінійну систему диференціальних рівнянь відносно нових змінних розмірності 1 1N  , причому матричні В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 572 елементи ,n pb матриці e  B зв'язані з елементами ,n pb матриці eB таким чином 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1,2 2 1,2 2 , 2 , 2 2 , / 2 / 2, 1, , 1. n p N N p N N p n p N n N p N n N p b b b n b b b n                        (18) Для отримання додаткової системи диференціальних рівнянь відносно різниці змінних, віднімаємо відповідні рівняння системи (3). Отримаємо таку заміну змінних: 1 1 1 1 1 1 2 , ... ..., . N N NG G G G G G              В цьому випадку матричні елементи матриці ,n pb матриці e  B зв'язані з елементами ,n pb матриці eB так 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1,2 2 1,2 2 , 2 , 2 2 , / 2 / 2, 1, , 1. n p N N p N N p n p N n N p N n N p b b b n b b b n                        (19) З (19) випливає, що елементи першого рядка і першого стовпця матриці e  B дорівнюють нулю. Звідси можна зробити висновок, що додаткова система рівнянь має в своєму складі 1N рівнянь. Отже, в результаті симетризації маємо чотири випадки, і елементи симетризованих матриць e  B ( m  B ) визначаються через елементи вихідних матриць 1 2B B системи рівнянь (3) ( 2 1B B системи рівнянь (4)) за виразами (16) - (19). Ці випадки реалізуються при дослідженні зонної структури фотонних кристалів МЗХ, при цьому переходимо від системи рівнянь розмірності 12N чи 12 1N  до систем розмірності 1N чи 1 1N  і 1N , тим самим можна очікувати істотне скорочення часу коп’ютерного розрахунку, приблизно у 32 разів [20]. 3. Числовий аналіз 2D фотонних кристалів МЗХ. З теорії фотонних кристалів [4] виходить, що справедливе таке співвідношення:           / 2 / 2 exp / 2 / 2 z z z z z z a a ik a a a              G G F F . (20) Врахувавши вираз (11), формулу (20) можна переписати таким чином:           1 1 1 1 0 0 exp 0 0 z zik a              G G A A F F . Знову маємо задачу на власні числа та власні вектори такого типу:         1 1 1 1 0 0 . 0 0               G G A A F F (21) Щоб електромагнітна хвиля вільно поширювалась по кристалу без затухання, необхідно щоб zk було дійсною величиною, тобто власне значення  за- дачі (21) за модулем дорівнювало б одиниці. Звід- си можна розрахувати zk за таким виразом  arg /z zk a . (22) Для фотонного кристалу з елементарною квадратною коміркою z xa a a  або 2 ;z xa a a  якщо ж елементарна комірка три- гональна, то , 3z xa a a a  або ,xa a 3 .za a В наших викладках ,xa   тобто завжди дорівнює періоду дифракційної ґратки, на які розкладається фотонний кристал. В процесі розрахунку ми задаємо частоту, яка дорівнює / 2 / ,a c a   0x xk k , і який може при на- ших розрахунках приймати два значення у відпо- відності до виразів (13) і (14). Потім шукаємо ма- триці A і A та ті власні числа  задачі (21), які за модулем дорівнюють 1. Якщо такі числа іс- нують, а їх завжди повинно бути парна кількість, тоді визначаємо zk по формулі (22); відповідна частота дозволена. Послідовно змінюючи частоту ми можемо побудувати зонну структуру фотон- ного кристалу. На основі власних векторів, ми можемо розрахувати електромагнітне поле дозво- лених мод. На рис. 3 подана зонна структура фо- тонного кристалу квадратної комірки з такими характеристиками: 8,9; 1; 0,38 .a b R a    Рис. 3. Зонна структура фотонного кристалу з квадратною коміркою Точки Г, Х і М називаються точками ви- сокої симетрії. На шляху від точки Г до точки Х 0xk  , а zk змінюється від 0 до / .a Отже еле- В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 573 менти симетризованої матриці можемо визначати за виразами (18) або (19). На шляху від точки Х до точки М / ,xk a а zk міняється від 0 до / .a Тобто маємо інший вид симетрії, а елемен- ти симетризованої матриці визначаються за вира- зами (16) та (17). На шляху від точки М до точки Г x zk k і синхронно міняються від / a до нуля. Щоб розрахувати зонну структуру на цьому інте- рвалі розвернемо систему координат 0x z на / 4, а її початок сумістимо з центром циліндра. В новій системі координат виділимо знову елеме- нтарну комірку, але її розміри будуть вже інши- ми: 2x za a a  , при цьому в новій системі координат 0,xk  а zk змінюється від 2 / a до нуля, тобто елементи симетризованої матриці ви- значаються за виразами (18) або (19). На рис. 3 на нижні вітки зонної структури нанесені хрести, тобто використані формули (16) або (18), і круги - використані формули (17) і (19), відповідні моди є симетричними або антисиметричними, проте в точках високої симетрії для одної і тої ж частоти одночасно можуть існувати дві моди, які назива- ються виродженими [4]. Слід зауважити, що зон- на структура, що наведена на рис. 3, якісно і кіль- кісно співпадає з рис. 13 розд. 5 монографії [4]. На рис. 4, а наведена зонна структура 2D фотонного кристалу тригональної структури при таких параметрах: 13; 1; 0,24 ,a b R a    а на рис. 4, б - мінімальна частота верхньої вітки (крива 2) та максимальна частота нижньої вітки (крива 1), які визначають ширину забороненої зо- ни в залежності від радіусів циліндрів. Від точки Г до точки М розрахунок про- водиться при ,xa a 3 ,za a при цьому 0,xk  а zk мінявся від нуля до 2 / 3 .a Для по- будови віток зонної структури від точки М до точ- ки Г (проміжна точка К) необхідно розвернути осі координат на / 2 , при цьому в новій системі ко- ординат 3 ,xa a ,za a 0,xk  zk змінюєть- ся від 2 / a до 0. Між точками М і К zk зміню- ється від 2 / a до 4 /3 ,a відповідно між точ- ками К і Г - від 4 /3a до 0. Тобто для побудови зонної структури фотонного кристалу тригональ- ної структури достатньо використовувати при си- метризації правила згідно виразів (18) і (19). На рис. 5, а наведені залежності zk від N (квадратики, M=50) та від M (кола, N=29) при та- ких умовах: 0;xk  0,48 ;R a 1; 13a b   при частотах / 2a c  , які відповідно дорівню- ють 0,3 (точки 1) і 0,58 (точки 2). На рис. 5, б ві- дображено залежність часу розрахунку у віднос- них одиницях від N (хрести) при 87M  та від M (кола) при 29N  . Інші умови такі: 0;xk  13; 1;a b   0,24 ;R a / 2 0,2.a c   Час maxt - час розрахунку zk , який необхідний з вико- ристанням симетризації при 87M  та 29N  . а) б) Рис. 4. Зонна структура 2D фотонного кристалу тригональної структури (циліндри в повітрі) З рис. 5, а випливає, що для сукупності точок 1, тобто для частоти 0,3 отримуються стабільні результати вже при 10N  та при 10,M  в той же час для частоти 0,58 розрахунки потрібно приводити при N більших 20 та при M більших 50. Тому наші розрахунки зонної структури приводились при 25N  та 50.M  На рис. 5, б відношення max/t t стосується залежності часу розрахунку від M . Бачимо, що ця залежність (позначена  ) практично лінійна, тому збільшення M не приводить до кардинального збільшення часу розрахунку. Проте час в залежності від N різко, зростає при збільшенні N , приблизно у вісім разів при збільшенні N в два рази, про що свідчить сукупність точок ( 3 max/t t ) позначених  , які асимптотично лягають на пряму лінію. В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 574 а) б) Рис. 5. Залежності zk та відносного часу розрахунку від N та M Нами також розрахована методом, що пропонується, зонна структура фотонного кристалу з тригональною коміркою при таких її параметрах: 0,48 ;R a 1; 13a b   . Ця зонна структура відображена на рис. 6, а. На рис. 6, б наведені мінімальна частота верхньої ві- тки (крива 2) та максимальна частота нижньої ві- тки (відповідно крива 1), які визначають ширину забороненої зони в залежності від .b Можна переконатись, що залежність подана на рис. 6,а не лише якісно, а й кількісно співпадає з графіками, поданими в книзі [4] (рис. 10, розд. 5). Згідно наших розрахунків при 13b  відношення ширини забороненої зони до середньої частоти зони складає 0,189, що добре узгоджується з даними роботи [4], в якій відповідне співвідношення становить 0,186. Також рис. 6, б добре корелює з даними рис. 5 статті [12]. Висновки. Розвинуто метод аналізу зонної структури 2D фотонних кристалів МЗХ, який запропоновано в роботі [14]. Накладання періодичних умов приводить до розв’язку задачі на власні значення типу X X A A   та пере- вірки, чи  за модулем дорівнює одиниці. Якщо 1  , то задана частота дозволена. а) б) Рис. 6. Зонна структура фотонного кристалу з тригональною коміркою Розмірність вектора X  дорівнює подво- єному числу зв’язаних хвиль 2N, які використо- вуються при аналізі, і визначається необхідною точністю розрахунку дозволеної частоти. Завдя- ки просторовій симетричності залежності діелек- тричної сталої можна перейти до розмірності ве- ктора X  1N  чи N без втрати точності аналізу з одночасним зменшенням часу розрахунку при- близно у вісім разів. Точність розрахунку визначається кількіс- тю врахованих дифракційних порядкі в N та чис- лом ,M яке визначає кількість прямокутників, якими апроксимується переріз циліндра. З ростом частоти хвиль, що поширюються у фотонному кристалі необхідно збільшувати як N так і .M При 30N  забезпечується висока точність роз- рахунку дозволених частот віток зонної структури. Час розрахунку досить точно зростає за лінійним законом від M та у третьому степені від .N Пропонований алгоритм простий в реалізації у вигляді програмного продукту, проте в загальному випадку чисельно нестійкий, хоча в даній роботі актуальність проблеми стійкості суттєво зменшена N, M/3 k z N, M/3 b В. М. Фітьо, Я. В. Бобицький / Визначення дозволених частот… _________________________________________________________________________________________________________________ 575 за рахунок більш загальної задачі на власні зна- чення типу .X X A A   Метод, що пропону- ється реалізовано для фотонних кристалів з квад- ратною та тригональною елементарними комірка- ми з круглими циліндричними стержнями. Наступний розвиток цього методу поляга- тиме в розробці чисельно стійкого алгоритму для 2D фотонних довільної структури та в створенні анало- гічного методу для 3D фотонних кристалів на основі МЗХ для 2D ґраток. Там також передбачається сут- тєвий виграш в часі та в точності розрахунку. 1. Karachevceva I. A. Two-dimensional photonic crystals as per- spective materials of modern nanoelectronics // Semiconductor Physics, Quan-tum Electronics & Optoelectronics. - 2004. - 7, N4. - P.430-435. 2. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Phys. Rev. Lett. - 1997. - 58, N17. - P.2059-2065. 3. Yablonovitch E., Gmitter T. J. Leung K. M. Photonic band structure: the face-centered-cubic case employing non spherical atoms // Phys. Rev. Lett. - 1991. - 67, N17. - P.2295-2298. 4. Joannopoulis J. D., Meade R. D., Winn J. N., Photonic Crystals: Mold- ing the Flow of Light. - Princeton: University Press, 1995. - 137 p. 5. Foteinopoulou S., Soukoulis C. M. Negative refraction and left-hand behavior in two-dimensional photonic crystals // arXiv:cond-mat / 0212434. - 18 dec, 2002. -5 p. 6. Xu U., Wang J., He Q., Cao L., Su P., Jin G. Optical filter based on contra-directional waveguide coupling in 2D photonic crystal with square lattice of dielectric rods // Optics Express. - 2005. - 13, N15. - P.5608-5613. 7. Хижняк Н. А. Искусственная анизотропия диэлектриков // Журн. техн. физики. - 1957. - 27, №9. - С.2006-2033. 8. Скирта Е. А., Хижняк Н. А. Дисперсионные свойства искусственных анизотропных диэлектриков. - Харьков: Издание ИРЭ АН УССР, 1982. - 39 с. 9. Хижняк Н. А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. - Киев: Наук. думка, 1986. - 280 с. 10. Seydon F., Ramahi O. M., Duraiswami R., Seppanen T. Nu- merical computation of the Green’s function for two- dimensional finite-size photonic crystals of infinite length // Optics Express. - 2006. - 14, N23. - P.11362-11371. 11. Dansas P., N. Paraire N. Fast modeling of fotonic bandgap structures by use of diffrac-tion-grating approach // J. Opt.Soc. Am. A. - 1998. - 15, N6. - P.1586-1597. 12. Glushko A. E., Glushko E. Ya., Karachevceva I. A. Theory of two-dimensional photonic crystals with lamellar cylindrical pores // Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectronics. - 2005. - 8, No1. - P.64-71. 13. Sözüer H. S., Haus J. W., Inguva R. Photonic bands: Conver- gence problems with the plane-wave method // Phys. Rev. B. - 1992-II. - 45, N24. - P.13962-13073. 14. Фітьо В. М., Бобицький Я. В., Лаба Г. П. Аналіз зонної структури 1D і 2D фотонних кристалів методом зв’язаних хвиль // Радиофизика и электроника.- Харьков: Ин-т радиофизики и электрон. НАН Украины. - 2005. - 10, №1. - С.123 - 131. 15. Moharam M. G., Grann E. B., Pommet D. A., Gaylord T. K., Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary grating // J. Opt. Soc. Am. A. - 1995. - 12, N5. - P.1068-1076. 16. Luan Pi-G., Ye Zh. Two dimensional photonic crystals // Ar- Xiv: cond-mat/0105428 1. - 22 may 2001. - 15 p. 17. Фітьо В. М., Бобицький Я. В. Аналіз планарних ґраток з симетрійними властивостями (МЗХ) // Вісник Націона- льного університету „Львівська політехніка”. - “Електро- ніка”. - 2004. - № 513. - С.203-213. 18. Fitio V. M., Bobitski Y. V. Diffraction analysis by periodic structures using a method of coupled waves // OPTO- ELECTRONICS REVIEW. - 2005. - 13, N4. - P.331-339. 19. Li L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures // J.Opt. Soc. Am. A. - 1995. - 12, N5. - P.1870-1876. 20. Li L. Note on the S-matrix propagation algoritm // J. Opt. Soc. Am. A. - 2003. - 20, - N4. - P.655-660. DETERMINATION OF THE ALLOWED FREQUENCIES OF DISTRIBUTION OF ELECTOMAGNETIC WAVES IN 2D PHOTONIC CRYSTAL BY THE COUPLED WAVES ME- THOD (CWM) V. M. Fitio, Ya. V. Bobitski It is shown in work, that at imposition of a periodic boundary condi- tions it is possible quickly to define there is this frequency of allowed for distribution in 2D photonic crystal by the coupled waves method (CWM), which use for the analysis of diffraction of electromagnetic waves in plane 1D grating. A problem is reduced to the task of high- er algebra on the eigenvalues and eigenvectors of type X X A A   and verification on equality of the module  to unit. If 1  , the intended frequency is allowed. The dimension of vector X  is equal to the doubled number of the used coupled waves  2N at a calculation, and is determined by the required accuracy of analysis. High accuracy of determination of the allowed frequencies of branches of band structure at 30N  , which determine the band gap of photonic crystal, is provided. The use of symmetry gives pos- sibility to pass on to the dimension of X  vector 1N  or N with- out the loss of accuracy with the simultaneous diminishing of time of calculation approximately in 8 times. Key words: grating, photonic crystal, diffraction, band structure, allowed frequency. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗРЕШЕННЫХ ЧАСТОТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В 2D ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ МЕТОДОМ СВЯ- ЗАННЫХ ВОЛН (МСВ) В. М. Фитьо, Я. В. Бобицкий Показано, что методом связанных волн (МСВ), ко- торый используют для анализа дифракции электромагнитных волн на плоских 1D решетках, при наложении периодических граничных условий можно быстро определить, является ли данная частота разрешенной для распространения в 2D фо- тонном кристалле. Проблема сводится к задаче высшей ал- гебры на собственные значения и собственные векторы типа X X A A   и проверки на равенство модуля  единице. Если 1  , то заданная частота разрешена. Размерность вектора X  равна удвоенному числу использованных связан- ных волн  2N при расчете и определяется требуемой точно- стью анализа. При 30N  обеспечивается высокая точность определения разрешенных частот веток зонной структуры, которые определяют запрещенную зону фотонного кристал- ла. Использование симметрии предоставляет возможность перейти к размерности вектора X  1N  или N без потери точности с одновременным уменьшением времени расчета примерно в восемь раз. Ключевые слова: решетка, фотонный кри- сталл, дифракция, зонная структура, разрешенная частота. Рукопись поступила 5 мая 2007 г.

Similar Items