Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений

Рассмотрено применение сингулярных интегральных уравнений к решению ряда технологических задач. Разработана математическая модель, которая позволяет контролировать состояние наследственных дефектов типа отслоения по границе основного материала и покрытия, которые появляются на этапе их нанесения, и...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Усов, А.В., Батырев, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2010
Schlagworte:	Прикладная математика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10929
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений / А.В. Усов, А.А. Батырев // Проблемы машинострения. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 65-75. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10929
record_format	dspace
spelling	Усов, А.В. Батырев, А.А. 2010-08-10T08:35:54Z 2010-08-10T08:35:54Z 2010 Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений / А.В. Усов, А.А. Батырев // Проблемы машинострения. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 65-75. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10929 519.711.3 Рассмотрено применение сингулярных интегральных уравнений к решению ряда технологических задач. Разработана математическая модель, которая позволяет контролировать состояние наследственных дефектов типа отслоения по границе основного материала и покрытия, которые появляются на этапе их нанесения, и развитие этих дефектов в поверхностные трещины и сколы под действием термомеханических явлений, сопровождающих механическую обработку, а также условия сохранения равновесия указанных дефектов. Розглянуто застосування сингулярних інтегральних рівнянь до розв’язання деяких технологічних задач. Розроблено математичну модель, яка дозволяє контролювати стан спадкоємних дефектів типу відшарування межею основного матеріалу та покриття, що з’являються на етапі їх нанесення, та розвиток цих дефектів у поверхневі тріщини та сколи під дією термомеханічних явищ, які супроводжують механічну обробку, а також умови збереження рівноваги зазначених дефектів. ru Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України Прикладная математика Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений
spellingShingle	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений Усов, А.В. Батырев, А.А. Прикладная математика
title_short	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений
title_full	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений
title_fullStr	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений
title_full_unstemmed	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений
title_sort	математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений
author	Усов, А.В. Батырев, А.А.
author_facet	Усов, А.В. Батырев, А.А.
topic	Прикладная математика
topic_facet	Прикладная математика
publishDate	2010
language	Russian
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
format	Article
description	Рассмотрено применение сингулярных интегральных уравнений к решению ряда технологических задач. Разработана математическая модель, которая позволяет контролировать состояние наследственных дефектов типа отслоения по границе основного материала и покрытия, которые появляются на этапе их нанесения, и развитие этих дефектов в поверхностные трещины и сколы под действием термомеханических явлений, сопровождающих механическую обработку, а также условия сохранения равновесия указанных дефектов. Розглянуто застосування сингулярних інтегральних рівнянь до розв’язання деяких технологічних задач. Розроблено математичну модель, яка дозволяє контролювати стан спадкоємних дефектів типу відшарування межею основного матеріалу та покриття, що з’являються на етапі їх нанесення, та розвиток цих дефектів у поверхневі тріщини та сколи під дією термомеханічних явищ, які супроводжують механічну обробку, а також умови збереження рівноваги зазначених дефектів.
issn	0131-2928
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10929
citation_txt	Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений / А.В. Усов, А.А. Батырев // Проблемы машинострения. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 65-75. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT usovav matematičeskoemodelirovanieprocessovkontrolâpokrytiiélementovkonstrukciinabazesingulârnyhintegralʹnyhuravnenii AT batyrevaa matematičeskoemodelirovanieprocessovkontrolâpokrytiiélementovkonstrukciinabazesingulârnyhintegralʹnyhuravnenii
first_indexed	2025-11-24T15:46:14Z
last_indexed	2025-11-24T15:46:14Z
_version_	1850848557922254848
fulltext	ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 65 УДК 519.711.3 А. В. Усов, д-р техн. наук А. А. Батырев* * Национальный политехнический университет МОН Украины ** Отделение гидроакустики Морского гидрофизического института НАН Украины (г. Одесса, E-mail: usov-a-v@mbei.opu.ua) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНТРОЛЯ ПОКРЫТИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА БАЗЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрено применение сингулярных интегральных уравнений к решению ряда техно- логических задач. Разработана математическая модель, которая позволяет контроли- ровать состояние наследственных дефектов типа отслоения по границе основного ма- териала и покрытия, которые появляются на этапе их нанесения, и развитие этих де- фектов в поверхностные трещины и сколы под действием термомеханических явлений, сопровождающих механическую обработку, а также условия сохранения равновесия указанных дефектов. Розглянуто застосування сингулярних інтегральних рівнянь до розв’язання деяких тех- нологічних задач. Розроблено математичну модель, яка дозволяє контролювати стан спадкоємних дефектів типу відшарування межею основного матеріалу та покриття, що з’являються на етапі їх нанесення, та розвиток цих дефектів у поверхневі тріщини та сколи під дією термомеханічних явищ, які супроводжують механічну обробку, а та- кож умови збереження рівноваги зазначених дефектів. Введение В настоящее время при решении технологических задач, учитывающих наследствен- ность предыдущих операций при изготовлении деталей, эффективным средством для иссле- дования состояния рабочих поверхностей изделий, подверженных трещино- и сколообразо- ванию при механической обработке, являются сингулярные интегральные уравнения [1–5]. Различные технологические операции способствуют возникновению в поверхност- ном слое изготавливаемых деталей наследственных дефектов, которые являясь концентра- торами напряжений, способствуют трещинообразованию на рабочих поверхностях как в процессе их обработки , так и при эксплуатации готовых изделий. Особенно значительные потери от брака из-за наследственных дефектов на финиш- ных операциях. Шлифование, являясь для большинства деталей окончательной операцией, обеспечивающей существенное повышение эксплуатационных свойств за счёт высокой точ- ности, низкой шероховатости, сопровождается высокотемпературным воздействием, приво- дящим к прижогам и значительному браку от выхода годных изделий по причине образова- ния трещин. Снижение брака при шлифовании данных материалов, повышение эксплуатацион- ных свойств изделий из этих материалов является важной задачей, решение которой приво- дит к значительной экономии материальных ресурсов, трудоёмкости и себестоимости изго- товления деталей. Постановка задачи При исследовании напряженно-деформированного состояния тел с трещиноподоб- ными дефектами сингулярные интегральные уравнения используют для изучения распреде- ления напряжений в их окрестности и определения коэффициента интенсивности напряже- ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 66 ний, по величине которого можно судить о возможном раз- витии этих дефектов в магист- ральные трещины, приводящие к потере несущей способности конструкций [4, 6]. Рассмотрим модель для исследования термомеханиче- ских процессов в системе по- крытие-матрица при механиче- ской обработке. При исследова- нии механических свойств по- крытий обычно предполагают, что их разрушение происходит непосредственно в зоне воздей- ствия нагрузки, в особенности, если последняя локализована в малой зоне. Прочность покры- тия определяют по возникаю- щим в них напряжениям изгиба, а основания – по максимальным контактным напряжениям, которые имеют место непосредственно в зоне контакта инструмента. Однако локальные нагрузки в виде интенсивных тепловых потоков, вследствие ко- торых формируются термоупругие напряжения, приводят и к отрыву покрытий от деталей, в особенности при имеющихся дефектах частичного отслоения на этапе их нанесения. Для разработки критериев сохранения сплошности покрытия на стадии проектиро- вания технологических операций финишной обработки необходимо определить контактные напряжения в зоне положительного отрывающего направления (в предположении отсутст- вия отрыва покрытия) и сравнить их с напряжениями, разрушающими сцепление. Дифференциальное уравнение изгиба покрытия, лежащего на упругом основании, при безразмерных величинах нагрузок и размеров, в случае, когда нагрузка q(x, y), действуя на покрытие толщиной h, зависит от координаты y и x. Пусть по границе покрытие-матрица образовалось отслоение, занимающее плоскую область Ω. Задача заключается в отыскании коэффициентов интенсивности контактных напряжений в граничных точках Ω, с помощью которых, как известно ([6, 7]), можно решать вопрос о равновесном состоянии рассматри- ваемого дефекта, а значит, получить ответ на вопрос об условиях скалывания частично от- слоившегося покрытия. Предположим, что между покрытием и основным материалом нет касательного взаимодействия, т.е. отлично от нуля только контактные нормальные напряжения Р(у). Та- кое предположение оправдано тем, что при обработке шлифованием участка с частично от- слоившимся покрытием формирующийся тепловой поток направлен перпендикулярно обра- батываемой поверхности. Вследствие неравномерности прогрева и различных значений ко- эффициентов линейного расширения материалов покрытия и матрицы в области Ω частич- ного отслоения будут формироваться нормальные напряжения отрыва. Рассмотрим уравне- ние, описывающее состояние системы покрытие - матрица под действием термомеханиче- ской нагрузки q(у), которая формируется при механической обработке (рис. 1) [4]: Такая схема предопределяет тепловые и деформационные условия сопряжения слоя по границе раздела его с основным материалом. Поэтому задачу можно сформулировать в виде следующей системы: )(),()(4 4 1 ∞<<−∞−= ϖ yyqxP dy dD . (1) П М Р(у) -а +а q(у) x y Рис. 1. Расчетная схема ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 67 Здесь через D1 обозначена жесткость покрытия ( )2 1 1 112 μ− = hED ; E1 – модуль упругости мате- риала покрытия; h – толщина покрытия; μ – коэффициент Пуассона материала покрытия; Р(у) – нормальные контактные напряжения, действующие между покрытием и матрицей; q(y) – нагрузка, отрывающая покрытие от основного материала; w(y) – прогиб покрытия. Вертикальные смещения w3(y) поверхностных точек матрицы в области отслоения Ω (\|у\| ≤ а), которые можно интерпретировать как раскрытие трещины, согласно [6, 7, 8] могут быть представлены через основную матрицу-ядро в виде ( ) ( )∫ ∞ ∞− −β π −=ϖ dssPsyKDy )(0 2 3 , (2) где ( ) 2 2 2 2 12 E D μ− = ; Е2, μ2 – коэффициенты упругости и Пуассона основного материала; ( )syK −β0 – функция Макдональда, обладающая свойством ( ) γ+ − =−β ∞→β sy syK 1lnlim 0 . Так как контактные напряжения на участке \|у\| = \|s\| ≤ а отсутствуют, то имеет место условие P(s) ≡ 0, \|s\| < а (3) Неизвестную разность (скачок функции) χ(y) между прогибами покрытия w(y) и вер- тикальными смещениями w3(y) поверхностных точек основного материала в области Ω час- тичного отслоения представим в виде ayyyyWyW >≡χχ=− ,0)(),()()( 3 (4) Задачу (1)–(4) будем решать с помощью интегральных преобразований Фурье [1–3]. Трансформанты Фурье функций, содержащихся в выражениях (1)–(4), обозначим, как это принято в литературных источниках, посвященных данному вопросу, следующим образом: ( ) ∫ ∞ ∞− α αααα −ϖχ π =αϖχ dyesyKyqyyPyHqP yi)(),(),(),(),( 2 1),(,,,, 3 3 Перейдем в уравнениях (1)–(4) к изображениям Фурье, получим ( ) .т.к., ,)( 2 1, 22022 2)3( 4 1 α+β =−β α+βπ −=ϖ π =−=ϖα ∫ ∫ ∞ ∞− α αα − α αααα cdyesyKPcD dsesqqqPD yi a a si (5) В последнем выражении использована теорема о свертке функций-оригиналов [2, 3]. Трансформанта скачка прогибов основания и покрытия χα определяется равенством 222 2)3()3( , PcD α+βπ −χ=ϖ+χ=ϖχ=ϖ−ϖ ααααααα . Подставив выражение для ϖα в равенство (5), получим αααα −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α+βπ −χα qPPcDD 22 24 1 . Из этого уравнения находим трансформанту контактных напряжений ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 68 .)( 2 1; 1 ,1 22 4 21 4 1 4 122 4 21 ∫ − α α αα α ααα χ π =χ α+βπ α⋅ + +χα = +χα= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α+βπ α⋅ + a a si dses cDD qDP qDcDDP (6) Воспользовавшись формулой обращения и формулой свертки для трансформанты Фурье [2, 3, 5], из формулы (6) получим выражение для контактных напряжений π = α+β α + π +α α+β α + α π χ= ∫ ∫∫ ∫ − ∞ ∞− −α− − ∞ ∞− −α− cDDA A edssqd A eDdssyP a a syia a syi 21 22 4 22 4 4 1 , 12 1)( 12 1)()( . (7) Так как содержащиеся в приведенном выражении несобственные интегралы являют- ся расходящимися, то, дифференцируя дважды по у соотношение (7), перейдем к рассмотре- нию главных значений контактных напряжений в виде ∫ ∫ ∫ ∫ − ∞ ∞− − ∞ ∞− −α−−α− α α+π ⋅+ α+ α π χ= a a a a syisyi dedssqds A eDdss dy dyP 33 2 1 2 2 12 1)( 12 1)()( . (8) При этом использован предельный переход AA 3 22 4 0 lim α= α+β α →β . Второе слагаемое в соотношении (8) является регулярным слагаемым, т. е. несобст- венный интеграл – сходящийся. Для улучшения сходимости первого слагаемого в (8) представим его следующим об- разом: ( )[ ] ( )[ ] .cos cos 12 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 3 2 1 ∫∫ ∫∫ ∞ α−∞ α− ∞ α−α−∞ ∞− −α− α γ+α −−αα π +α γ+α α π = =α γ+α +−−αα π =α α+ α π desy A Dde A D deesy A Dd A eD syi (9) Выражение γ+α α 3 2 , где cDDA 21 1 π ==γ , запишем так: ( )γ+αα γ − α =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − γ+α α + α = α − α + γ+α α = γ+α α 33 2 3 2 3 2 11111 . Подставляя его в (9), получим: ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ γ+αα −−α γ−α α −−α π +α γ+α α π ∫∫∫ ∞ α−∞ α−∞ α− 0 3 0 1 0 3 2 1 )(cos)(cos esydesy A Dde A D . (10) В последнем выражении воспользуемся представлением [4, 7]: sy desy − =α α −−α ∫ ∞ α− 1ln)(cos 0 (11) тогда (10) примет вид ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 69 [ ] ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ γ+αα −−α π γ − −π +=α γ+α −αα π ∫∫ ∞ α−∞ 0 3 11 0 3 2 1 )(cos1ln)(cos esy A D syA DBdsy a D . (12) Здесь ∫ ∞ α− α γ+α α π = 0 3 2 1 de A DB . Возвращаясь к выражению (8) для главных значений контактных напряжений Р(у) и по-прежнему используя (11), получим ( ) ∫ ∫∫ ∫ − ∞ ∞− −α− − ∞ α− α α+γπ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α γ+αα −−α γ− − +∗χ π = a a syia a dsdesq A dsdesy sy Bs dy d A DyP 3 0 32 2 1 )( 2 1)(cos1ln)()( . Для нахождения неизвестной функции χ(у) реализуем условие равенства (3) кон- тактных напряжений в зоне частичного отслоения \|у\| ≤ а ( ) 0)( 2 1)(cos1ln)( 3 0 32 2 1 =α α+γπ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α γ+αα −−α γ− − +∗χ π ∫ ∫∫ ∫ − ∞ ∞− −α− − ∞ α− a a syia a dsdesq A dsdesy sy Bs dy d A D . (13) Полученное уравнение (13) представляет собой интегро-дифференциальное уравне- ние с логарифмическим ядром )()(1ln)(2 2 yfdssyR sy s dy d a a = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ − χ∫ − . (14) Для его решения в явном виде воспользуемся методом ортогональных многочленов [7]. Сущность этого метода базируется на замечательном свойстве классических многочле- нов: они являются собственными функциями многих интегральных операторов. Так, много- члены Чебышева U2n(y) – собственные функции интегрального оператора с логарифмиче- ским ядром. Наличие спектральных соотношений позволяет легко построить явное решение уравнения (14) в виде разложения по собственным функциям. Преобразуем уравнение (13) к виду (14). Предварительно с помощью замен s = aτ, y = at, dy = adt, dy2 = a2dt, ds = adτ сведем интервал интегрирования к промежутку [–1; 1]. С учетом сказанного получим ( ) .10 cos )( 2 1 )(cos1ln1ln)( 0 3 1 1 1 1 0 32 2 1 ≤=τα α+γ τ−α τ π + +τ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α γ+αα −τ−α γ−∗+ τ− +τχ π ∫∫ ∫ ∫ ∞ − − ∞ α− tdd ta aq A ddetaB ta a adt d A D (15) Введем обозначение q a d P( )τ τ = ∗ − ∫ 1 1 , что эквивалентно утверждению о постоянстве нагрузки на участке частичного отслоения покрытия. Тогда второе слагаемое (15) можно представить в виде ( )∫∫∫ ∞ − ∞ α α+γα αα π ∗ =ττ−α α+γ α π ∗ 0 32 1 10 3 sincos)(cos 2 daat a Pdtad A P , (16). С учетом (16) интегро-дифференциальное уравнение (15) запишем так: ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 70 ( ) .sincos)( )(cos1ln1ln)( 0 3 0 2 1 1 0 32 2 1 ∫∫ ∫ ∫ ∞∞ − ∞ α− α α+γ αα τ π ∗ = =τ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α γ+αα −τ−α γ−∗+ τ− +τχ π daataq a P ddetaB ta a dt d a D (17) Разыскиваем решение χ(аτ) уравнения (17) в виде следующего разложения по мно- гочленам Чебышева: ∑ ∞ = χτ−τ=τχ 0 2 2 1)()( n nnUa (18) Подставив (18) в уравнение (17), получим ∫∫∑∫ ∞∞ α−∞ =− α α+γ αα∗− =τ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ γ+αα −τ−α γ− τ− χτ π 0 3 10 3 0 2 1 1 2 2 1 sincos )( )(cos1ln)( daat aD Pdeta t U dt d a D n nn (19) Используя спектральное соотношение [7]: )()12()(11ln 2 1 1 2 2 2 2 tVndV tdt d nn +π−=τττ− τ−∫ − , а также равенство нулю слагаемых, не содержащих переменную t при дифференцировании, запишем (19) в виде .sincos )( )(cos1)()()12( 0 3 1 0 3 1 1 0 2 22 2 0 2 ∫ ∫∫∑∑ ∞ ∞ τ= − ∞ = ∞ = α α+γ αα∗ = =τα γ+αα −τ−α χτ−τγ+χ+ daat aD P ddetaV dt dtVn n n n n nn (20) Ортогонализируем уравнение (20), для чего домножим обе части на многочлен Че- бышева U2m(t) с весовой функцией √1 – t2 и проинтегрируем на отрезке [–1; 1]. Учитывая соотношение 2 )()(1 1 1 22 2 π δ=−∫ − nmnm dttUtUt [7] и процедуру дифференцирования второго слагаемого, уравнение (20) относительно искомых коэффициентов χn запишем как ( ) .cos1)( )( sin )( )(cos11)()(12 2 0 1 1 2 23 1 0 1 1 0 3 21 1 22 22 ∫ ∫ ∑ ∫ ∫∫ ∞ − ∞ = − ∞ − αα− α+γα α∗ = =τα γ+α τ−αα −τ−ττχγ−+χ π dtdatttUa aD P ddtdtaatUUm m n mnnm (21) Выражение (21) представим в виде, удобном для дальнейших преобразований, ис- пользуя следующее свойство интеграла: ∫∫ ∞ ∞− ατα−∞ α γ+α ⋅α =α γ+α τ−αα d ee dtaa iatia 3 0 3 2 2 1 )( )(cos , тогда ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 71 ( ) .cos1)( )( sin )( 1)(1)( 2 12 2 0 1 1 2 23 1 0 3 2 0 1 1 2 2 1 1 2 2 2 ∫ ∫ ∫∑ ∫∫ ∞ − ∞∞ = − α− − ατ αα− α+γα α∗ = = γ+αα α −ττ−τχ γ −+χ π dtdatttUa aD P dadtettUdeUam m n tia m ia nnm (22) Преобразуем выражение (22), используя соотношения [7]: . )!2( )()22()(1 )!2( )()22()1(cos1)(2cos1)( 21 1 1 2 2 21 1 0 2 2 1 1 2 2 na atJnдdeU am atymratdtttUatdtttU nia n n m mm α +π =τττ− α +π− =α−=α− + − ατ− + − ∫ ∫∫ тогда (21) примет вид . )( )(sin )!2( )22()1( )( )()( )!2()!2( )22()22()12( 2 0 32 21 2 1 0 3 2121 0 2 2 ∫ ∫∑ ∞ + ∞ ++ ∞ = α α+γα α⋅α+π∗− = α γ+αα αα++ χγπ−+χ π daJa maD mдP daJaJ mn mдnдm m m mn n nm (23) Несобственные интегралы в уравнении (23) являются быстро сходящимися интегра- лами, для которых можно использовать численную реализацию по формулам Симпсона. Введем следующие обозначения: ∫ ∞ + αα α+γα α+π∗− = 0 21322 1 )( )( sin )!2( )22()1( daJa maD mдPf mm ; (24) ∫ ∞ + αα α+γα α++γπ = 0 2132 2 )( )( sin )!2()!2( )22()22( daJa mn mдnдd mmn . (25) В результате приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений относи- тельно χm m n nm fdmn n nm = + + χ−+χ ∑ ∞ =0 12 12)12( . (26). Данную систему решают приближенно, используя метод редукции, т. е. заменяя сис- тему (26) на конечную Nm m f mn dmnm m N n n m ,0, 121212 12 0 = + = ++ χ ++χ ∑ = ∗ ∗ (27) и добиваясь нужной точности увеличением числа N. Здесь mm m χ+=χ∗ 12 , где 12 + χ =χ ∗ m m m . Подставляя полученные значения χm в формулы (18), (12) и (13), находим контакт- ные напряжения ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 72 . )( )( 2 1 )( )(cos1ln)(1)( 3 )( 0 1 1 0 32 2 2 2 1 ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ − ∞ ∞− −α− ∞ = − ∞ α− α α+γαπ = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α γ+αα −−α γ− − +−χ π = a a syi n mm dsdeasq A dsdesy sy BsaUs dy d A DyP (28) Коэффициенты интенсивности [6, 7, 8] определим из выражения (28), выделяя сла- гаемое при сингулярной части ядра, в качестве которого выбирается логарифмическое ядро. Имеются в виду выражения: )()(11ln 1 1 2 2 2 2 yPdssUs sydy d mm ∗ − =− −∫ , (29) тогда ∑ ∞ = ∗ +→ + χ−π π = 0 01 1 )()1(2lim m mmyI yPy A DK , (30) )()1(2lim 01 yPyK yI ∗−π= −→ − . (31) Чтобы выполнить предельные переходы (30), (31) необходимо продолжить спек- тральное соотношение P(y) на интервал \|y\| > 1. С этой целью воспользуемся соотношением [5]: .1, 1 1;2/1;12;22/3 1 1 )1( )12(2 1 1;2/3;22;22/3 )!2()1( )22(2 1 1;22;22/3 )22()22/3( )2/1( 1 1 1 1;2/3;22;22/3 )!2)(22/3( )2/1( )22/3( )!12)(22()1( )1()!2(2 )22/3()2()(11ln 22 12 22 222 2/1 1 1 12 22 222 2 2 2 2 >⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ++ −− − − + − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ++ − + = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ++ +∂+∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −− + ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ++ +∂ −∂ +∂ ++∂ − −π +∂ =− − + + + + − − + + + ∫ y y ymmF y y y m y ymmF my m y ymmF mmy y y ynmF mm m mm ym mdssUs sydy d m m m m m m m m (32) Располагая этим соотношением, легко подсчитать коэффициенты интенсивности на- пряжений (КИН) К1 ±. В силу симметрии данной задачи и пользуясь формулами (24), (25), (27), (29), (30), (31) и (32), находим ∑ ∞ = + + ± − + χ π = 0 22 212 1 !)2( )12(22 m m m mI m m A DK . (33) Коэффициенты χm в уравнении (33) являются решением бесконечной системы (27). На рис. 2 представлены зависимости КИН ayP K π)( 1 от отношения h/a при различ- ных значениях параметра ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ μ− = μ− ==μ=μ=β 2 2 2 22 1 1 121 2 1 )1(2; )1(12 ;3,0 E DhED D D , где D1 – жесткость покрытия; D2 – жесткость основного материала. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 73 Напряженно-деформированное состояние системы покрытие - матрица рассчитыва- лось, исходя из решения следующей задачи. Для установления расчетных зависимостей между технологическими параметрами обработки и явлением отрыва покрытий при условии их недостаточно прочного сцепления предлагается следующая модель. Система уравнений, определяющих тепловое и напряженно-деформированное со- стояние феррокерамического изделия с покрытием при механической обработке, содержит уравнение нестационарной теплопроводности [4]: )2(,)1(,0,,2 2 2 2 2 =∞≤≤=≤≤∞<<∞−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂τ ∂ kxhkhxy y Т x ТaТ kk k (34) и уравнение упругости Ламе в перемещениях )2,1(; 2 ),(; 2 ),( ~ ; ~ 21 1 === ∂ ∂ =Δ+ μ−∂ ∂θ k G VyxV G UyxU x ТbU x k k k k k k T kk k , (35) lπσ 1K 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,10 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 a/h 0=β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5 2 3 5 10 ∞→β Рис. 2. Зависимость КИН lπσ=± 33,0K от отношения a/h при различных значениях параметра β ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 74 ( ) 2 2 2 2 )( ; 21 14; ~ 21 1 yx Gb y ТbV y k t k kkT k kT kk k k ∂ ∂ + ∂ ∂ =Δα μ− μ+ = ∂ ∂ =Δ+ μ−∂ ∂θ , (36) где: Тk(х, у,τ) – температура в точке с координатами (х, у) и в любой момент времени τ (при k = 1 – в покрытии, при k = 2 – в основном материале); а – температуропроводность мате- риала; k tα – температурный коэффициент линейного расширения; μk, Gk – постоянные Ламе; Uk , Vk – компоненты вектора перемещений точки (х, у); 2 2 2 2 yx ∂ ∂ + ∂ ∂ =Δ – оператор Лапласа; h – толщина покрытия. Начальные условия для данной задачи можно взять в виде Т(х, у, 0) = 0. (37) Граничные условия для температурных и деформационных полей, учитывающие те- плообмен с поверхности вне зоны контакта круга с деталью и интенсивного тепловыделения в зоне обработки выглядят так: ( ) ,,0,,, 1 1 1 1 lyТ x Тlyyq x Т >=γ+ ∂ ∂ λ−< λ τ −= ∂ ∂ (38) ( ) ( ) 00 ,,,, == ττ=τσ xxyxx yxyx (39) где: q(у, τ) – интенсивность теплового потока, выделяемого в зоне контакта инструмента с обрабатываемой поверхностью; λ1 – коэффициент теплопроводности шлифуемого материа- ла; l – длина зоны контакта круга с обрабатываемой поверхностью; γ – коэффициент тепло- обмена с окружающей средой, σx, τix – нормальные и касательные напряжения. Условия сопряжения покрытия с основным материалом для температурных полей ),,0(),,0(),,,0(),,0( 2 2 1 121 τ+ ∂ ∂ λ=τ− ∂ ∂ λτ+=τ− yh x Tyh x TyhTyhT , (40) для деформационных полей и полей напряжения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yhyhyhVyhVyhUyhU xx ,0,0,,0,0,,0,0 21 2121 +σ=−σ+=−+=− . (41) Решение поставленной задачи (34)–(41) методами, изложенными в работе [4], позво- лили получить в явном виде выражения для расчета температуры как в покрытии, так и в основном материале в виде ( ) ( )[ ] ,1 )( 1 )(2 ,, )( 0 )(4 )()( 1 1 2 22 1 22 dtdte tt e Vgl cV yxT t l l ta yx kp η ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −τγΦ+γ+ −τπ−τππλ =τ −τγ τ − −τ η−+η− − ∫ ∫ (42) ( ) hxdtdxy a VgK t eyx Vgl cV yxT l l a yVg kp >η⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +η− −τπ η−+ πλ =τ ∫ ∫ τ − η− − ,)( 2)(2 )( ,, 22 22 1 0 2 )( 22 2 2 2 . (43) Температурные напряжения определяются формулами ∗∗ ++τ μ− α −=σ=σ 011 1 1 )1( )1()1( ),,( 1 b h xbyxTEt yx , (44) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++τ μ− α −=σ=σ ∗∗− 011 1 12 2 2 )2( )2()2( ),,( 1 b h xbmmyxTE h t yx , (45) где ( ) ( )[ ]∗∗ ∗ ∗ −−+= 11 2 21 0 1 1 26 NmmNmm N mb hh , (46) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2010, Т. 13, № 1 75 ( ) ( )[ ]∗∗ ∗ ∗ −−+= 21 2 1 3 1 0 1 0 322 NmmNmm N mb hh , (47) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ μ− α +τ μ− α = ∫∫ δ+ ∗ h h tt dxyxTEdxyxTE h N ),,( 1 ),,( 1 1 2 0 2 2 )2( 1 1 1 )1( 1 , (48) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ μ− α +τ μ− α = ∫∫ δ+ ∗ h h tt dxyx›TEdxyxTE h N ),,( 1 ),,( 1 1 2 0 2 2 )2( 1 1 1 )1( 32 , (49) ( )( ) ( ) h m E EmmmmmmmN hhhh δ = μ− μ− =−−++=∗ ; 1 1;34 2 1 1 2 1 2 1 23 110 . (50) Полученные зависимости (42)–(50) позволяют моделировать процесс шлифования изделий с покрытием с учетом прогнозирования качества обработанных поверхностей. Таким образом, на приведенной модели показано влияние напряженного состояния, возникающего в упругом теле, и взаимодействие трещиноподобного дефекта с границей те- ла. Оценка напряженно-деформированного состояния упругого тела с указанными дефекта- ми проведена с помощью разработанного с этой целью нового метода, основанного на тео- рии функций комплексного переменного и сингулярных интегральных уравнений, позво- ляющих с единых позиций решать весь спектр упругих задач для тел с неоднородностями типа трещин или включений. Как показано в работе [7], при решении задач о концентрации напряжений возле де- фектов формируются сингулярные интегро-дифференциальные уравнения, ядра которых ведут себя как степенные функции со степенью –3/4, у краев отслоившегося включения, а в окрестности трещиноподобных дефектов – со степенью –1/2. Выяснено, что в случае слои- стых тел имеется такое соотношение между упругими постоянными полуплоскостей, когда напряжения у отслоившегося включения имеют логарифмо-степенную особенность. Литература 1. Батырев А. А. Сингулярные интегральные уравнения в задачах синтеза сигналов // Крайові задачі диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. Чернівец. нац. ун-ту. – 2005. – С. 17–26. 2. Гахов Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. – М.: Наука, 1978. – 196 с. 3. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. –М.: Наука, 1977. – 448 с. 4. Усов А. В. Моделирование систем с распределенными параметрами / А. В. Усов, А. Н. Дубров, Д. В. Дмитришин. – Одесса: Астропринт, 2003. – 682 с. 5. Якимов А. В. Теплофизика механической обработки / А. В. Якимов, П. Т. Слободяник, А. В. Усов. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1991. – 240 с. 6. Осив П. Н. Численный анализ в плоских задачах теории трещин / П. Н. Осив, И. В. Прокопчук, М. П. Саврук. – Киев: Наук. думка, 1989. – 248 с. 7. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. – М.: Наука, 1982. – 428 с. 8. Панасюк В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, З. Т. Назарчук. – Киев: Наук. думка, 1984. – 344 с. Поступила в редакцию 01.06.09

Математическое моделирование процессов контроля покрытий элементов конструкций на базе сингулярных интегральных уравнений

Institution

Ähnliche Einträge