Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов

Приведены новые признаки существования максимальных неотрицательных подпространств, инвариантных относительно J-диссипативных операторов. New sufficient conditions for the existence of maximal nonnegative invariant subspaces of J-dissipative operators are given....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Азизов, Т.Я., Гриднева, И.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10953
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов / Т.Я. Азизов, И.В. Гриднева // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 1-15. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10953
record_format	dspace
spelling	Азизов, Т.Я. Гриднева, И.В. 2010-08-10T10:40:52Z 2010-08-10T10:40:52Z 2009 Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов / Т.Я. Азизов, И.В. Гриднева // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 1-15. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10953 Приведены новые признаки существования максимальных неотрицательных подпространств, инвариантных относительно J-диссипативных операторов. New sufficient conditions for the existence of maximal nonnegative invariant subspaces of J-dissipative operators are given. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов On invariant subspaces of J-dissipative operators Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов
spellingShingle	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов Азизов, Т.Я. Гриднева, И.В.
title_short	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов
title_full	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов
title_fullStr	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов
title_full_unstemmed	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов
title_sort	об инвариантных подпространствах j-диссипативных операторов
author	Азизов, Т.Я. Гриднева, И.В.
author_facet	Азизов, Т.Я. Гриднева, И.В.
publishDate	2009
language	Russian
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	On invariant subspaces of J-dissipative operators
description	Приведены новые признаки существования максимальных неотрицательных подпространств, инвариантных относительно J-диссипативных операторов. New sufficient conditions for the existence of maximal nonnegative invariant subspaces of J-dissipative operators are given.
issn	1810-3200
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10953
citation_txt	Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов / Т.Я. Азизов, И.В. Гриднева // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 1-15. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT azizovtâ obinvariantnyhpodprostranstvahjdissipativnyhoperatorov AT gridnevaiv obinvariantnyhpodprostranstvahjdissipativnyhoperatorov AT azizovtâ oninvariantsubspacesofjdissipativeoperators AT gridnevaiv oninvariantsubspacesofjdissipativeoperators
first_indexed	2025-11-26T00:08:21Z
last_indexed	2025-11-26T00:08:21Z
_version_	1850592045351043072
fulltext	Український математичний вiсник Том 6 (2009), № 1, 1 – 15 Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов Томас Я. Азизов, Ирина В. Гриднева (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. Приведены новые признаки существования макси- мальных неотрицательных подпространств, инвариантных относи- тельно J-диссипативных операторов. 2000 MSC. 47B50, 46C20. Ключевые слова и фразы. Пространство Крейна, J-диссипатив- ный оператор, инвариантное подпространство. 1. Введение Настоящая статья посвящена проблеме существования максима- льных семидефинитных инвариантных подпространств у операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой. Как изве- стно, вопрос о наличии у оператора инвариантного подпространства, тем более специального, является одним из ключевых в теории опе- раторов и различных ее приложениях. Впервые обсуждаемый нами вопрос для самосопряженного оператора в пространстве, впослед- ствии названном пространством Понтрягина Πκ, был решен в 1944 г. Л. С. Понтрягиным [10], а для случая κ = 1 годом ранее С. Л. Соболе- вым [11]. С основной канвой дальнейшего развития этого вопроса до 90-х годов прошлого столетия читатель может ознакомиться в [3, 4]. Здесь мы только упомянем, что для J-диссипативного оператора в Статья поступила в редакцию 12.12.2008 Работа поддержана грантом РФФИ 08-01-00566-а ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 2 Об инвариантных подпространствах... Πκ теорема об инвариантном подпространстве была получена неза- висимо одним из авторов [1] и М. Г. Крейном и Г. К. Лангером [8], затем в [2] — для диссипативных операторов в пространстве Крейна, удовлетворяющих условию (L) (определение см. ниже). В последнее время этой проблеме посвящен ряд статей А. А. Шкаликова [12–17], в частности, в работах [15] и [17] вместо упомянутого выше условия (L) предложены другие, более слабые. Следует отметить, что статья [17] является первой в этом направлении, в которой не предполагается наличие регулярных точек у исследуемого оператора. Прежде чем сформулировать цели настоящего исследования, напомним некото- рые понятия из теории пространств с индефинитной метрикой. Более подробно с ними можно ознакомиться, например, в монографии [4]. Пусть на линейном пространстве H задана полуторалинейная эр- митова форма [·, ·], называемая в дальнейшем индефинитной метри- кой. Если пространство H допускает разложение в ортогональную прямую сумму H = H+[+̇]H−, (1.1) где {H±,±[·, ·]} — гильбертовы пространства и [x+, x−] = 0, при всех x± ∈ H±, то {H, [·, ·]} называют пространством Крейна, а разложе- ние (1.1) — фундаментальным. Это разложение порождает ортопрое- кторы из H на H±, которые мы будем обозначать P± соответственно. Пространство H со скалярным произведением (x, y) = [x+, y+] − [x−, y−], x±, y± ∈ H± является гильбертовым; обозначим ‖x‖ = √ (x, x). В этом случае, [ ·, ·] = (J ·, ·), где J — фундаментальная симметрия, J — само- сопряженный и одновременно унитарный оператор, J = P+ − P−, P± = 1 2(I ± J). Подпространство L пространства Крейна {H, [·, ·]} называется не- отрицательным, если [x, x] ≥ 0 для всех x ∈ L; положительным, если [x, x] > 0 для всех x ∈ L \ {0}; и равномерно положительным, если на L нормы [x, x]1/2 и ‖x‖ эквивалентны, т.е. (с учетом неравен- ства [x, x] ≤ ‖x‖2) для некоторого ε > 0 при всех x ∈ L выполняется неравенство [x, x] ≥ ε‖x‖2. Аналогично определяются неположитель- ные, отрицательные и равномерно отрицательные подпространства. Понятие равномерно дефинитного подпространства допускает некоторое обобщение: неотрицательное (неположительное) подпрост- ранство L пространства Крейна H назовем подпространством класса h + (класса h −), если оно допускает разложение L = L0[+̇]L+ Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 3 (L = L0[+̇]L−) в прямую сумму конечномерного изотропного под- пространства L0 (dimL0 < ∞, L0 = L ∩ L[⊥]) и равномерно положи- тельного (равномерно отрицательного) подпространства L+ (L−). Ограниченный оператор K, заданный соотношением: K = P−(P+\|L)−1, K : P+L → H−, называется угловым оператором не- отрицательного подпространства L. Для любого неотрицательного подпространства L существует угловой оператор K и L = {x = x+ + Kx+ \| x+ ∈ L+}, где L+ = P+L. Символами (M+(H) =)M+ (M−(H) =)M− обозначим множество максимальных неотрицательных и максимальных неположительных подпространств пространства H. Определим некоторые классы линейных операторов, действую- щих в пространствах с индефинитной метрикой. Оператор V : H → H назовем J-несжимающим, если: [V x, V x] ≥ [x, x], x ∈ H. Если одновременно с оператором V J-несжимающим будет и со- пряженный V ∗, то V называют J-бинесжимающим оператором. Оператор A, действующий в пространстве Крейна H, называется J-диссипативным, если Im[Ax, x] ≥ 0 для всех x ∈ dom A; domA — область определения оператора A. Оператор A называется макси- мальным J-диссипативным, если он не допускает нетривиальных J- диссипативных расширений. Напомним, что аналогично случаю гильбертова пространства, J- диссипативный оператор называется максимальным в существенном, если его замыкание — максимальный J-диссипативный оператор. Укажем на очевидную связь между диссипативными и J-дисси- пативными операторами: A является J-диссипативным оператором тогда и только тогда, когда оператор JA (а потому и AJ) являе- тся диссипативным. При этом A — максимальный J-диссипативный оператор тогда и только тогда, когда JA (а потому и AJ) является максимальным диссипативным. При J = I наше определение совпадает с определением диссипа- тивного оператора по М. С. Лившицу, описывающее класс DL опе- раторов, содержащий симметрические и, в частности, самосопряжен- ные операторы. Другое определение диссипативного оператора дано Р. С. Филлипсом: Re(Bx, x) ≤ 0 и этот класс DPh описывает про- цессы, связанные с вопросами устойчивости системы, диссипацией. Следующее тривиальное утверждение связывает эти классы опера- торов. 4 Об инвариантных подпространствах... Предложение 1.1. A ∈ DL ⇐⇒ B = −iA ∈ DPh; (1.2) при этом A — максимальный диссипативный по Лившицу тогда и только тогда, когда B = −iA — максимальный диссипативный оператор по Филлипсу. Будем говорить, что оператор A в пространстве Крейна H удов- летворяет условию (L) и писать A ∈ (L), если H+ ⊂ domA. Условие (L) было введено Г. Лангером [7] при установлении существования максимальных неотрицательных инвариантных подпространств у са- мосопряженных операторов в пространстве Крейна. Как обычно, символами σ(A), ρ(A), domA и ranA будем обо- значать спектр, резольвентное множество, область определения и область значений оператора A, соответственно. Множество вполне непрерывных (компактных) операторов, действующих в H, обозна- чим S∞. Напомним, что под преобразованием Кэли–Неймана оператора A в точке (λ 6=)λ /∈ σp(A) мы будем понимать оператор U = I + (λ − λ)(A−λI)−1. При этом, обратное преобразование Кэли-Неймана опре- деляется равенством A = λI + (λ − λ)(U − I)−1. Пусть A — J-диссипативный оператор, являющийся замыканием оператора A′ := A\|(H+∩dom A)⊕(H−∩dom A) = [ A′ 11 A′ 12 A′ 21 A′ 22 ] . (1.3) Скажем, что J-диссипативный оператор A удовлетворяет условию (S1) : A ∈ (S1) , если: (a) −A′ 22 — максимальный диссипативный оператор в гильбертовом пространстве {H−,−[·, ·]}; (b) при Im µ > 0 оператор (A′ 22 − µ)−1A′ 21 — ограничен и плотно задан в H+; (c) замыкание оператора A′ 12(A ′ 22 − µ)−1 — компактный оператор; (d) передаточная функция M(µ) = A′ 11−A′ 12(A ′ 22−µ)−1A′ 21 — огра- ниченный плотно заданный в H+ оператор. Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 5 Если выполнены только условия (a)–(c), то будем говорить, что A ∈(S2) . Условия (S1) и (S2) введены А. А. Шкаликовым в [15] и [17], соответственно. В [15] приведен пример оператора, для которого выполнены условия (S1) , но не выполнено условие (L). Нетрудно привести пример оператора, принадлежащего множеству (S2) \ (S1) . Основная цель данной работы — развить результаты [15], а также получить новые теоремы об инвариантном подпространстве для J- диссипативного оператора. 2. Инвариантные подпространства J-диссипативного оператора Доказательству основного результата этого раздела, теоремы 2.1, предпошлем следующую лемму, представляющую самостоятельный интерес. Лемма 2.1. Пусть A′ = [ A′ 11 A′ 12 A′ 21 A′ 22 ] — плотно заданный J-диссипативный оператор, −A′ 22 — максималь- ный в существенном диссипативный оператор в {H−,−[·, ·]}. Пусть A — замыкание оператора A′. Если существует λ с Im λ > 0 такое, что λ ∈ ρ(A) и оператор M(λ) = A′ 11 − λ − A′ 12(A ′ 22 − λ)−1A′ 21 плотно задан, то A — макси- мальный J-диссипативный оператор тогда и только тогда, когда оператор T (λ) := M(λ) + λ (2.1) является максимальным в существенном диссипативным в {H+, [·, ·]}. Доказательство. В приводимых ниже рассуждениях мы использу- ем известные результаты о связи классов операторов в пространстве Крейна (см., например, [4, Глава II]). Так как A — J-диссипативный оператор, λ ∈ ρ(A), то его преобразование Кэли–Неймана U = (A − λ)(A − λ)−1 — J-несжимающий оператор. В самом деле, пусть f = (A − λ)x — произвольный вектор из H. Тогда из равенства [Uf, Uf ] − [f, f ] = 4 Im λ Im[Ax, x] (2.2) 6 Об инвариантных подпространствах... следует, что U является J-несжимающим тогда и только тогда, ко- гда A — J-диссипативный оператор. Более того, A — максималь- ный J-диссипативный оператор тогда и только тогда, когда U — J- бинесжимающий оператор. Пусть U = [ U11 U12 U21 U22 ] — матричное представление J-несжимающего оператора U относитель- но (1.1). Непосредственно проверяется, что U11 — замыкание опера- тора U ′ 11 = (T (λ) − λ)(T (λ) − λ)−1 (2.3) и ‖U11x +‖ ≥ ‖x+‖ при всех x+ ∈ H+. Из равенства, аналогичного (2.2), получаем, что T (λ) — диссипативный оператор в {H+, [·, ·]}. Так как U — J-бинесжимающий оператор в том и только том слу- чае, когда 0 ∈ ρ(U11), а это, в свою очередь, эквивалентно плотности области значений оператора T (λ)−λ в H+, то T (λ) — максимальный в существенном диссипативный оператор тогда и только тогда, когда A — максимальный J-диссипативный оператор. Первая часть (i) следующей ниже теоремы 2.1 совпадает с основ- ным результатом из [15], однако отличается подходом к доказательст- ву, что позволило сформулировать и доказать также и вторую часть (ii). Теорема 2.1. Пусть J-диссипативный оператор A ∈(S1) . Тогда: (i) у оператора A существует инвариантное подпространство L ∈ M +, L ⊂ dom A и Im σ(A\|L) ≥ 0 [15]; (ii) если L+ — неотрицательное инвариантное подпространство оператора A : L+ ⊂ dom A, AL+ ⊂ L+, то найдется L̃+ ∈ M + такое, что L+ ⊂ L̃+, L̃+ ⊂ dom A и AL̃+ ⊂ L̃+, т.е. каждое неотрицательное инвариантное относительно А под- пространство допускает расширение до максимального с тем же свойством. Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу леммы 2.1 опе- ратор A является максимальным J-диссипативным. Следовательно, его преобразование Кэли–Неймана U = (A−λ)(A−λ)−1 — J-бинесжи- мающий оператор. Условие (c) определения класса (S1) влечет ком- пактность оператора U12 = (U11 − I)A12′(A′ 22 − λ)−1. Следователь- но [5], [4, Теорема 3.2.8], оператор U имеет инвариантное подпро- странство L ∈ M + такое, что \|σ(U \|L)\| ≥ 1. Для доказательства (i) Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 7 достаточно проверить, что L инвариантно относительно A и посколь- ку тогда A\|L — обратное преобразование Кэли–Неймана оператора U \|L, то останется воспользоваться связью спектров оператора и его преобразования Кэли–Неймана. Итак, докажем, что L инвариантно относительно A. Пусть K — угловой оператор подпространства L. Тогда операторы U \|L и U11 + U12K подобны: U \|L = (P+\|L)−1(U11 + U12K)(P+\|L). Так как 1 6∈ σp(U), то 1 6∈ σp(U \|L), а потому 1 6∈ σp(U11 + U12K). Поскольку в силу условия (d) класса (S1) оператор M(λ) ограничен и плотно задан, то из (2.1) и (2.3) следует, что 1 ∈ ρ(U11). Из ком- пактности U12K заключаем тогда, что 1 ∈ ρ(U11 + U12K). Последнее эквивалентно условию 1 ∈ ρ(U \|L), т.е. (U − I)L = L. Отсюда следует, что L ⊂ dom A = ran(U − I) и потому L инвариантно относительно A. Перейдем теперь к доказательству (ii). Для этого сперва про- верим, что в domA существует равномерно положительное подпро- странство H+ 1 ∈ M +. Для этого рассмотрим операторы Aε = A+ iεJ . Эти операторы J-диссипативные, dom Aε = dom A и при достаточно малом ε > 0 вместе с A принадлежат классу (S1) . Более того, Im[Aεx, x] ≥ ε‖x‖2. (2.4) Согласно части (i) оператор Aε имеет инвариантное подпространство Lε ∈ M +, причем Lε ∈ domAε = domA и Im σ(Aε\|Lε) ≥ 0. Пусть Gε — оператор Грама подпространства Lε. Проверим, что 0 ∈ ρ(Gε). В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы нормированная последовательность векторов xn ∈ Lε, ‖xn‖ = 1, такая, что Gεxn → 0 при n → ∞. Но тогда и Im[Aεxn, xn] → 0, что невозможно в силу (2.4). Таким образом, 0 ∈ ρ(Gε), что равносильно равномерной по- ложительности Lε. Остается положить H+ 1 = Lε. Без ограничения общности можно считать H+ 1 = H+, т.е. H+ ⊂ dom A и по определе- нию A ∈ (L). Для оператора A ∈ (L) согласно [4, Теорема 3.1.13] существует такая точка λ ∈ C +, что неотрицательные инвариантные подпро- странства оператора A и его преобразования Кэли–Неймана U сов- падают, причем λ можно выбрать с достаточно большой мнимой ча- стью. Выберем λ таким, что λ, λ ∈ ρ(A\|L+), что возможно поскольку по условию L+ ⊂ domA и потому A\|L+ — ограниченный оператор. Следовательно, L+ — инвариантное подпространство преобразования 8 Об инвариантных подпространствах... Кэли–Неймана U оператора A и, более того, UL+ = L+. Воспользуем- ся [4, Теорема 3.3.9] и получим существование такого подпространс- тва L̃+ ∈ M +, что U L̃+ = L̃+ и L+ ⊂ L̃+. В силу выбора λ согла- сно [4, Теорема 3.1.13] подпространство L̃+ — искомое максимальное неотрицательное подпространство, инвариантное относительно A, яв- ляющееся расширением заданного неотрицательного инвариантного подпространство L+. 3. Инвариантные подпространств полугруппы класса C0 Пусть U(t), t ∈ [0;∞), — однопараметрическая полугруппа класса C0, состоящая из J-бинесжимающих операторов. Пусть B = −iA — генератор этой полугруппы: Bx = lim t→0 U(t)x − x t . (3.1) Напомним, что B является замкнутым оператором, определенным на тех векторах x ∈ H, для которых существует предел в правой части равенства (3.1) Поскольку функции [U(t)x, U(t)x] и [U(t)∗x, U(t)∗x] неубывающие при каждом x ∈ H, то A — максимальный J-дисси- пативный оператор. В самом деле, это доказывается стандартным приемом, а именно дифференцированием функций [U(t)x, U(t)x] и [U(t)∗x, U(t)∗x] по t с учетом того, что производная неубывающей функции неотрицательна: [U(t)x, U(t)x]′ = 2 Re[U ′(t)x, U(t)x] = 2 Re(−i[AU(t)x, U(t)x]) = 2 Im[AU(t)x, U(t)] ≥ 0, в частности, при t → 0 имеем Im[Ax, x] ≥ 0. Аналогично, Im[−A∗x, x] ≥ 0. Для завершения доказательства воспользуемся связью между J- диссипативными и диссипативными операторами, предложением 1.2 и тем, что (см., например, [9, Теорема I.4.4]) замкнутый диссипатив- ный оператор по Филлипсу является максимальным тогда и только тогда, когда сопряженный оператор также является диссипативным. Следует отметить, что в отличие от гильбертова случая, не ка- ждый максимальный J-диссипативный оператор порождает полу- группу класса C0, а также существуют не максимальные J-диссипа- тивные операторы, порождающие полугруппы класса C0. Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 9 Пример 3.1. Пусть A± : H± → H± — максимальные симметриче- ские операторы с ρ(A) = C −. Тогда оператор A = [ A+ 0 0 A− ] (3.2) является J-диссипативным, но не максимальным, поскольку −A− не является максимальным диссипативным в H−. Тем не менее опера- тор A порождает C0-полугруппу с генератором B = −iA. С другой стороны, рассмотрим максимальный J-диссипативный оператор Ã = [ A+ 0 0 Ã− ] , где −Ã− — максимальный диссипативный в H− оператор, являю- щийся расширением диссипативного оператора −A−. Оператор Ã не порождает C0-полугруппу, поскольку, например, у него нет регуляр- ных точек. Следующие ниже теоремы устанавливают связь между инвариан- тными подпространствами полугруппы, ее генератора и когенерато- ра. Теорема 3.1. Пусть U(t) — C0-полугруппа, ‖U(t)‖ ≤ M exp (ωt), M > 0, ω ≥ 0, −iA — генератор U(t), а V = (A+ω+I)(A−ω−I)−1 — когенератор для U(t). Тогда следующие условия эквивалентны: (i) Подпространство L инвариантно относительно U(t) при каждом t. (ii) Подпространство L инвариантно относительно A и ω + 1 ∈ ρ(A\| L). (iii) Подпространство L инвариантно относительно V . Доказательство. (i) ⇒ (ii) немедленно следует из того, что U(t)\| L — C0-полугруппа, ‖U(t)\| L‖ ≤ ‖U(t)‖ ≤ M exp (ωt) и ее генератор сов- падает с A\| L. (ii) ⇒ (iii) следует из того, что ω + 1 ∈ ρ(A\| L). (iii) ⇒ (ii). Подпространство L инвариантно относительно опера- тора (A − ω − 1)−1. Пусть ρω(A) = {λ ∈ C : Re λ > ω}. Так как все λ ∈ ρω(A) являются регулярными точками для A и ω+1 ∈ 10 Об инвариантных подпространствах... ρω(A), то L инвариантно относительно всех операторов (A−λ)−1 при λ ∈ ρω(A). Заметим, что A является сильным пределом операторов An := −λn − λ2 n(A − λn)−1 при вещественных λn → +∞, AnL ⊂ L, следовательно, domA\| L = dom A ∩ L и L инвариантно относительно A. Из инвариантности L относительно V имеем ω + 1 ∈ ρ(A\| L). (ii) ⇒ (i). Так как ρω(A) состоит их точек регулярного типа опе- ратора A\| L и ω + 1 ∈ ρ(A\| L), то ρω(A) ⊂ ρ(A\| L). Таким образом, L инвариантно относительно операторов (A−λ)−1 при λ > ω. Посколь- ку при x ∈ dom A и t > 0 справедливо равенство U(t)x = − 1 2πi σ+i∞∫ σ−i∞ exp(λt)(A − λ)−1x dλ, то x ∈ domA\| L влечет U(t)x ∈ L. Из непрерывности операторов U(t) следует U(t)L ⊂ L. Замечание 3.1. Если выполнены условия теоремы 3.1 и подпро- странство L инвариантно относительно V , то операторы −iA\| L и V \| L являются генератором и когенератором C0-полугруппы U(t)\| L, соо- тветственно. Скажем, что оператор A принадлежит классу H, если у него есть хотя бы одна пара L± ∈ M ± инвариантных подпространств и каждые такие подпространства принадлежат h ± соответственно. Будем гово- рить, что оператор A принадлежит классу K(H), если существует такой J-бинесжимающий оператор B ∈ H, что резольвенты операто- ров A и B коммутируют (BA ⊆ AB). Аналогичным образом определяется принадлежность классам H и K(H) C0-полугруппы U(t). В работе [6] было доказано утверждение: Лемма 3.1. Пусть A — максимальный J-диссипативный оператор и Ca + = {λ \| Im λ > a} ⊂ ρ(A). Тогда для λ ∈ Ca +: A ∈ H ⇐⇒ U = (A − λ)(A − λ)−1 ∈ H. И более того, инвариантные подпространства операторов A и U совпадают. Теорема 3.2. Пусть U(t) — C0-полугруппа J-бинесжимающих опе- раторов, −iA — производящий оператор этой полугруппы. Тогда справедливы следующие импликации: (i) U(t) ∈ H ⇐⇒ A ∈ H; Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 11 (ii) U(t) ∈ K(H) ⇐⇒ A ∈ K(H). Доказательство. (i) Пусть U(t) ∈ H. Согласно определению сущест- вуют подпространства L± такие, что L± ∈ M ± ∩ h ± и U(t)L± ⊂ L± для каждого t ∈ (0;∞). Тогда для любого элемента x ∈ L± имеем: (A − λI)−1x = ∞∫ 0 e−λtU(t)x dt ∈ L±. Это эквивалентно тому, что UL± ⊂ L±, т.е. U ∈ H. Следовательно, согласно лемме 3.1 имеем A ∈ H. Если же A ∈ H, т.е. можно указать подпространства M± ∈ M ± ∩ h ±, удовлетворяющие условию A(M±∩domA) ⊂ M±, то для любого x ∈ M± и U(t) выполнено равенство U(t)x = 1 2πi ∞∫ 0 eλt(A − λI)−1x dλ ∈ M±. Таким образом, U(t)M± ⊂ M± и на основании леммы 3.1 имеем U(t) ∈ H. (ii) Пусть U(t) ∈ K(H). Это означает, что найдется оператор V из класса H, коммутирующий с U(t) для каждого t ∈ (0;∞). Поскольку Ax = limt→t0 U(t)−I it x (x ∈ domA), то оператор A будет также комму- тировать с V : V Ax = lim t→0 V U(t) − I it x = lim t→0 U(t) − I it V x = AV x, следовательно, A ∈ K(H). Предположим, что A ∈ K(H). Тогда существует оператор V ∈ H такой, что V A ⊆ AV . Последнее условие эквивалентно равенству: (A − λ)−1V = V (A − λ)−1 при λ ∈ ρ(A). Отсюда для любого оператора U(t) имеет место соотношение: U(t)V x = 1 2πi ∞∫ 0 eλt(A − λI)−1x dλV = V 1 2πi ∞∫ 0 eλt(A − λI)−1x dλ = V U(t)x. Теорема доказана полностью. 12 Об инвариантных подпространствах... Приведем примеры операторов класса H. Для этого рассмотрим задачу Коши: { ẍ + iBẋ − Cx = 0, x(0) = x0, ẋ(0) = ẋ0; (3.3) для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве G. Здесь C — положительный непрерывный оператор, а −B — диссипа- тивный оператор. Предположим, что выполнено хотя бы одно из условий: а) C — вполне непрерывный оператор, а точка λ = 0 — либо ре- гулярная точка оператора −B, либо это изолированная точ- ка спектра, являющаяся конечнократным собственным значе- нием, т.е. нормальной точкой диссипативного оператора [4, определение 2.1.4]. б) B = D +F , где D−1 и D−1F — вполне непрерывные операторы. Рассмотрим элемент x = C−1/2z, тогда ẋ = C−1/2ż. Полагая y = −iC−1/2ż, запишем задачу в виде: ( ż ẏ ) = i ( 0 C1/2 −C1/2 B )( z y ) , ( z(0) y(0) ) = ( C1/2x0 −iẋ0 ) . Обозначим через W = ( z y ) , A = ( 0 C1/2 −C1/2 B ) , W (0) = W0, где W0 = ( C1/2x0 −iẋ0 ) . Тогда (3.3) примет вид: Ẇ = iAW, W (0) = W0. (3.4) Заметим, что оператор A является J-диссипативным в пространс- тве H = H+ ⊕H−, H± = G, J = ( I 0 0 −I ) . Покажем, что каждое из условий а) и б) влечет принадлежность оператора A классу H. Пусть, например, выполнено а). Тогда в силу выполненного условия H+ ⊂ dom A у оператора A существует ин- вариантное неположительное подпространство L = {x + Kx}x∈P+L, где K — угловой оператор для L. Условие инвариантности AL ⊂ Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 13 L эквивалентно тому, что для каждого x ∈ H+ найдется y ∈ H+, являющийся решением уравнения A(x + Kx) = y + Ky, т.е.: ( 0 C1/2 −C1/2 B )( x Kx ) = ( y Ky ) . Отсюда сразу следует равенство: −C1/2 + BK − KC1/2K = 0. (3.5) Поскольку λ = 0 — регулярная точка оператора B, то умножая последнее равенство на B−1, будем иметь: −B−1C1/2 + K − B−1KC1/2K = 0 или K = B−1C1/2 + B−1KC1/2K. В силу компактности операторов, стоящих в правой части, делаем вывод о компактности оператора слева, т.е. оператора K. Остается воспользоваться результатами упражнения 18 [1, с. 84] и получить, что L ∈ h +. Таким образом, заключаем, что A ∈ H. Если же выполнено условие б), то подставляя в (3.4) вместо опе- ратора B сумму D + F и умножая затем на D−1, снова будем иметь компактность оператора K. Следовательно, оператор −iA является производящим для полугруппы {exp(−itA)}∞t=0 ∈ H и решение за- дачи (3.4) представляется в виде W (t) = exp(−itA)W0. А потому, решение исходной задачи Коши (3.3) имеет вид x(t) = C−1/2PW (t), где P — проектор на G ⊕ 0. Из теорем 3.1 и 3.2 сразу получаем следующий результат. Теорема 3.3. Если A ∈ K(H), то у полугруппы U(t) класса C0 J-бинесжимающих операторов существует максимальное неотри- цательное подпространство класса h + и максимальное неположи- тельное подпространство класса h −. Более того, если L± ∈ h ± — инвариантные подпространства оператора A, то существуют подпространства L̃± ∈ h ± ∩ M ±, L± ⊂ L̃± инвариантные относительно U(t). 14 Об инвариантных подпространствах... Литература [1] Т. Я. Азизов, Инвариантные подпространства и критерии полноты кор- невых векторов J-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина Πκ // ДАН СССР, 200 (1971), N 5, 1015–1017. [2] Т. Я. Азизов, Е. И. Иохвидов, Об инвариантных подпространствах макси- мальных J-диссипативных операторов // Матем. заметки, 12 (1972), N 6, 747–754. [3] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Линейные операторы в пространстве с ин- дефинитной метрикой, Итоги науки и техники, ВИНИТИ. Математический анализ, т. 17, М.: Наука, 1979. [4] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Основы теории линейных операторов в про- странствах с индефинитной метрикой, М.: Наука, 1986. [5] Т. Я. Азизов, С. А. Хорошавин, Об инвариантных подпространствах опера- торов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой // Функц. анализ и его прилож., 14 (1980), N 4, 1–7. [6] И. В. Гриднева, Однопараметрические полугруппы классов H и K(H) // Ве- стник Воронежского государственного университета, 2 (2004), 143–147. [7] H. Langer, Eine Veralgemeinerung eines Satz von L. S. Pontrjagin // Math. Ann., 152 (1963), N 5, 434–436. [8] М. Г. Крейн, Г. К. Лангер, О дефектных пространствах и обобщенных ре- зольвентах эрмитова оператора в пространстве Πκ // Функц. анализ и его прил., 5 (1971), N 2, 59–71; 5 (1971), N 3, 54–69. [9] С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространс- тве, М.: Наука, 1967. [10] Л. С. Понтрягин, Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой // Известия АН СССР, сер. матем., 8 (1944), 243–280. [11] Л. С. Соболев, Движение симметрического волчка с полостью, заполненной жидкостью // Журнал матем. и техн. физики, 3 (1960), 20–55. [12] А. А. Шкаликов, О существовании инвариантных подпространств у дисси- пативных операторов в пространстве с индефинитной метрикой // Фун- даментальная и прикладная математика, 5 (1999), N 2, 627–635. [13] A. A. Shkalikov, On invariant subspaces of dissipative operators in a space with indefinite metrix, arXiv.math/0412116v1 [math.FA] 6 Dec 2004. [14] A. A. Shkalikov, On the invariant subspace problem for dissipative operators in Krein spaces, arXiv.math/0512465v2 [math.FA] 22 Dec 2005. [15] А. А. Шкаликов, Инвариантные подпространства диссипативных операто- ров в пространстве с индефинитной метрикой // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 248 (2005), 294–303. [16] А. А. Шкаликов, Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Ин- вариантные подпространства и свойства сужений, arXiv.math/0701410v1 [math.SP] 15 Jan 2007. [17] А. А. Шкаликов, Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Ин- вариантные подпространства и свойства сужений // Функц. анализ и его прил., 2007, 41 (2007), N 2, 93–110. Т. Я. Азизов, И. В. Гриднева 15 Сведения об авторах Томас Яковлевич Азизов Математический факультет Воронежский государственный университет Университетская пл., 1 Воронеж, 394006 Россия E-Mail: azizov@math.vsu.ru Ирина Владимировна Гриднева Агроинженерный факультет Воронежский государственный аграрный университет им. К. Д. Глинки ул. Мичурина, 1 Воронеж, 394087 Россия E-Mail: gridneva_irina@bk.ru

Об инвариантных подпространствах J-диссипативных операторов

Institution

Ähnliche Einträge