Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии
В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача Неймана для уравнения ut = div(u^m−1|Du|^λ−1Du), где 0 < m + λ ≤ 2. Устанавливаются двусторонние оценки L∞ нормы решения задачи, зависящие от геометрии неограниченной области (с некомпактной границей), в которой рассматривается задача. We...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10954 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 16-38. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859842993267146752 |
|---|---|
| author | Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. |
| author_facet | Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. |
| citation_txt | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 16-38. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача Неймана для уравнения ut = div(u^m−1|Du|^λ−1Du), где 0 < m + λ ≤ 2. Устанавливаются двусторонние оценки L∞ нормы решения задачи, зависящие от геометрии неограниченной области (с некомпактной границей), в которой рассматривается задача.
We present sharp bilateral bounds of the norm L∞ of a solution to the Neumann problem of doubly degenerate parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:37:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 1, 16 – 38
Оценки максимума решения задачи Неймана
для квазилинейных параболических
уравнений в неограниченных областях,
сужающихся на бесконечности.
Случай быстрой диффузии
Ольга М. Болдовская, Анатолий Ф. Тедеев
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. В настоящей работе рассматривается начально-крае-
вая задача Неймана для уравнения
ut = div(um−1|Du|λ−1
Du),
где 0 < m+λ ≤ 2. Устанавливаются двусторонние оценки L∞ нормы
решения задачи, зависящие от геометрии неограниченной области (с
некомпактной границей), в которой рассматривается задача.
2000 MSC. 35К55, 35К57, 35К60, 35К65.
Ключевые слова и фразы. Начально-краевая задача Неймана,
квазилинейное параболическое уравнение, некомпактная граница.
1. Введение
Рассматривается следующая вторая смешанная задача
ut − div(um−1|Du|λ−1Du) = 0, в QT = Ω × (0, T ), (1.1)
um−1|Du|λ−1 ∂u
∂−→n = 0, на ∂Ω × (0, T ), (1.2)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, (1.3)
где Ω ⊂ R
N , N ≥ 2, — неограниченная область, mesN Ω = |Ω|N = ∞,
Статья поступила в редакцию 4.11.2008
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 17
∂Ω — некомпактная достаточно гладкая граница Ω, −→n — внешняя
единичная нормаль к ∂Ω × (0, T ), T > 0. Предполагаем, что m + λ −
2 < 0, λ > 0, m + λ − 1 > max{0, 1 − λ+1
N }; u0(x) ≥ 0 п.в. x ∈ Ω и
u0 ∈ L1,loc(Ω). Известно [1], что при m + λ − 2 < 0, (1.1) относится к
уравнениям, описывающим процесс с быстрой диффузией.
Опишем класс областей, в котором рассматривается задача (1.1)–
(1.3). Определим функцию
l(v, ρ) = inf{|∂Q ∩ Ωρ|N−1 : Q ⊂ Ωρ, |Q|N = v, ∂Q — липшицева},
для всех ρ > 0 и 0 < v ≤ |Ωρ|N/2; где Ωρ = {x ∈ Ω : |x| < ρ},
предполагаем что Ωρ непусто.
Пусть V (ρ) = |Ωρ |N такое, что для всех δ > 0 выполнено нера-
венство
ν0(δ)V (ρ) ≤ V (δρ) ≤ ν1(δ)V (ρ), для всех ρ ≥ max
(
1,
1
δ
)
, (1.4)
где ν0, ν1 — две заданные неубывающие положительные функции,
такие что ν1(δ) < 1 для δ < 1. Также требуем, чтобы
l(v, ρ) ≥ c0 min
(
v
N−1
N ,
V (ρ)
ρ
)
:= g(v, ρ), (1.5)
для всех ρ ≥ 1, 0 < v ≤ V (ρ)/2, и подходящей константой c0 > 0. И
ρ 7→ ρ1−β
V (ρ)
не убывает для ρ ≥ 1, (1.6)
β > 2−m−λ
λ+1 .
Определение 1.1. Будем говорить, что неограниченная область
Ω ⊂ RN , N ≥ 2, принадлежит классу N0(g), если её граница ∂Ω
локально непрерывна по Липшицу и выполняются (1.4)–(1.6).
Отметим, что (1.5) — условие типа регулярности области, пер-
вая компонента, v
N−1
N , при v < 1 появляется благодаря классиче-
скому изопериметрическому неравенству в ограниченных областях с
липшицевой границей, вторая компонента, V (ρ)
ρ , имеет смысл пло-
щади Ω ∩ ∂Ωρ при достаточно больших ρ. Из (1.4) следует, что
|Ω|N = ∞. Класс N0(g) описывает области, “сужающиеся на бесконе-
чности”, то есть, [2], такие что lim ρ→∞
V (ρ)
ρ = 0; для таких областей
lim v→∞ l(v, ρ) = 0. Классы областей типа N0(g) были введены в ра-
ботах [3, 4] (см. также близкие к ним в работах [2, 5, 6]).
18 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Типичным представителем класса N0(g) является область [4]:
Ωǫ =
{
x = (x′, xN ) ∈ R
N : |x′| < x−ǫ
N , xN > d
}
⊂ R
N , d > 0,
для 0 < ǫ < 1
N−1 . Здесь V (ρ) = cρ1−ǫ(N−1), ρ = xN > 2d. Очевидно,
что |Ωǫ|N = ∞ и для всех v > 0 l(v,∞) = 0. Различные примеры
можно найти в работах [3, 4].
Цель настоящей работы — исследовать поведение решения задачи
(1.1)–(1.3) в QT в зависимости от геометрии области Ω, а именно
получить точные оценки сверху и снизу максимума решения u(x, t).
Одними из первых работ, где изучена вторая смешанная зада-
ча для линейных дивергентных равномерно параболических уравне-
ний с измеримыми коэффициентами, были [7,8]. В этих работах для
областей, “не сужающихся на бесконечности”, удовлетворяющих гло-
бальному условию изопериметрического типа, получены двусторон-
ние оценки
‖u(·, t)‖L∞,Ω ∼ ‖u0‖L1,ΩV (
√
t)
−1
(1.7)
для всех t > 1. Для получения этих оценок требовалась только ко-
нечность массы начальной функции. В работах [2, 5], где рассма-
тривались области, “сужающиеся на бесконечности”, точная оценка
‖u(·, t)‖L∞,Ω дается также (1.7), но помимо конечности ‖u0‖L1,Ω, тре-
буется дополнительно предположить конечность момента начальной
функции, то есть u0(x)|x| ∈ L1(Ω). Касаясь исследования начально-
краевых задач в областях с некомпактными границами, отметим та-
кже работы [9] (случай третьей краевой задачи) и [10] (случай задачи
Дирихле). В работе [11] получены оценки типа (1.7) для решения за-
дачи (1.1)–(1.3) при m = 1 в случае “не сужающихся” областей. Ока-
залось, что геометрической характеристикой, дающей точную оценку
‖u(·, t)‖L∞,Ω, также является V (ρ). При этом имеет место оценка
‖u(·, t)‖L∞,Ω ∼ ‖u0‖L1,ΩV (R(t))−1, (1.8)
где R(t) — обратная к sλ+1V (s)λ−1 функция. В работах [3, 4, 12] для
решения задачи (1.1)–(1.3) в случае медленной диффузии, то есть
при m + λ − 2 > 0, в узких и широких областях были получены
аналогичные (1.8) оценки. По духу данная работа близка к работам
[4] и [12].
Определение 1.2. Будем говорить, что u(x, t) — решение задачи
(1.1)–(1.3), если u(x, t) ≥ 0 такое, что u(x, t) ∈ C(0, T ; L2,loc(Ω)) ∩
L∞,loc(Ω × (0, T )), um−1|Du|λ+1 ∈ L1,loc(Ω × (0, T )); и, что
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 19
T
∫
0
∫
Ω
(−uξt + um−1 |Du|λ−1 Du Dξ) dx dt = −
∫
Ω
u0(x) ξ(x, 0) dx,
∀ ξ ∈ C0
1 (RN × [0, T ]).
Всюду в работе пишем для t ≥ 0
µ(t) =
∫
Ω
u(x, t)
|x|
V (|x|) dx.
Основным результатом данной работы является
Теорема 1.1. Пусть Ω ∈ N0(g), u0 ≥ 0, u0 ∈ L1(Ω), µ(0) < ∞. Тогда
задача (1.1)–(1.3) имеет глобальное решение, определенное для всех
t > 0 и удовлетворяющее оценкам
‖u(·, t)‖∞,Ω ≤ γ max
(
t−
N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω , t−
1
2λ+m−1 µ(0)
λ+1
2λ+m−1 ,
t−
1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[ P (τ)
V (P (τ))
]
λ+1
2λ+m−1
)
, (1.9)
для всех t > 0, где k = N(m + λ − 2) + λ + 1. Здесь P (τ) ≥ 1 (τ =
t‖u0‖m+λ−2
1,Ω ) определяется как наибольшее решение ρ такое, что
ρ
[ ρ
V (ρ)
]− m+λ−2
2λ+m−1
= max
(
τ
1
2λ+m−1 , 1
)
. (1.10)
Также для достаточно больших t имеет место двусторонняя оцен-
ка
γ1
‖u0‖1,Ω
V (P (τ))
≤ ‖u(·, t)‖∞,Ω ≤ γ2
‖u0‖1,Ω
V (P (τ))
. (1.11)
Основным инструментом доказательства являются комбинации
локальных подходов работ [3, 4] и работы [13].
Всюду в дальнейшем через γ, γi будем обозначать различные по-
ложительные постоянные, зависящие только от известных параме-
тров задачи.
Замечание 1.1. Отметим, что для достаточно больших t третья
компонента в (1.9) является наибольшей. Следовательно, из (1.10)
получаем
t−
1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[ P (τ)
V (P (τ))
]
λ+1
2λ+m−1
=
‖u0‖1,Ω
V (P (τ))
.
20 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Кроме того, очевидно, что P (τ) — обратная к V (R)m+λ−2Rλ+1 фун-
кция. Первая компонента в функции максимума оценки (1.9) будет
наибольшей при t → 0, это ожидаемый результат, так как такая оцен-
ка имеет место для задачи Коши и имеет локальный характер.
Замечание 1.2. Результаты, изложенные в работе, остаются спра-
ведливыми и для случая m+λ−2 = 0, а следовательно и в линейном
случае (m = 1, λ = 1), при этом доказательство проводится аналоги-
чно. (В последнем случае наши результаты следуют из работ [2, 5].)
В разделе 2 будут сформулированы результаты, которыми мы бу-
дем пользоваться в дальнейшем, раздел 3 содержит локальную оцен-
ку максимума решения, раздел 4 — локальную оценку L1 нормы ре-
шения, в разделе 5 будет получена оценка момента и, наконец, в по-
следнем разделе будет доказана теорема 1.1.
2. Вспомогательные утверждения
Положим
ω(z, ρ) =
z
N−1
N
g(z, ρ)
= γ max
(
1, z
N−1
N
ρ
V (ρ)
)
, z ≥ 0, ρ ≥ 1.
В процессе доказательства нам потребуется следующий результат
о вложении.
Лемма 2.1 ([4]). Пусть Ω ∈ N0(g), ρ ≥ 1 и v ∈ L∞((0, T ); Lr(Ωρ)),
Dv ∈ (Lp(Ωρ × (0, T )))N , с p > 1, r ≥ 1, и предположим что для
θ ∈ (0, 1)
sup
(0,T )
| supp v(·, t)|N ≤ θV (ρ).
Тогда
T
∫
0
∫
Ωρ
|v|p+ pr
N dx dt
≤ γ sup
0<t<T
[
ω(| supp v(·, t)|N , ρ)p
(
∫
Ωρ
|v(x, t)|r dx
)
p
N
]
×
T
∫
0
∫
Ωρ
|Dv|p dx dt,
где γ = γ(p, r, N).
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 21
Не уменьшая общности, положим
ρ
V (ρ)
= 1, 0 ≤ ρ ≤ 1.
Определим функцию
F (x) =
1
|x|
|x|
∫
0
s
V (s)
ds, x ∈ Ω.
Лемма 2.2. Справедливы утверждения: F (x) ≡ 1 в Ω1, и для γ0 ∈
(0, 1)
γ0
|x|
V (|x|) ≤ F (x) ≤ |x|
V (|x|) , x ∈ Ω \ Ω1,
|DF (x)| ≤ 1
γ0
1
V (|x|) , x ∈ Ω \ Ω1.
Доказательство леммы базируется на (1.4) и (1.6).
3. Локальная оценка максимума решения
Для простоты будем полагать, что решение задачи (1.1)–(1.3) до-
статочно гладкое.
Предложение 3.1. Пусть u — ограниченное решение задачи (1.1)–
(1.3) в Ω2ρ × (0, t). Тогда для любого θ > 0 справедлива оценка
‖u‖∞,Ωρ×(t/2,t) ≤ γ max
(
t
− N
kθ Gθ(t, ρ(1 + σ))
λ+1
kθ ,
t
− 1
Hθ Gθ(t, ρ(1 + σ))
λ+1
Hθ
[ ρ
V (ρ)
]
λ+1
Hθ ,
[ t
ρλ+1
]
1
2−m−λ
)
, (3.1)
где
Gθ(t, ρ) = sup
0<τ<t
∫
Ωρ
u(x, τ)θ dx, t > 0, ρ ≥ 1,
0 < σ < 1, kθ = N(m + λ − 2) + θ(λ + 1), Hθ = m + λ − 2 + θ(λ + 1).
22 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Доказательство. Положим Q∞ = Ωρ × (t/2, t). Оценим норму
‖u‖∞,Q∞
. Рассмотрим последовательности:
ρn = ρ(1 + σ2−n), tn =
t
2
(
1 − σ
2n
)
.
Положим
Qn = Ωρn × (tn, t),
Также рассмотрим возрастающую последовательность
kn = k
(
1 − 1
2n+1
)
, n = 0, 1, . . . ,
где k > 0 будет выбрано позже.
Пусть (x, τ) → ζn(x, τ) при каждом n = 0, 1, . . . будет неотрица-
тельная кусочно-гладкая срезающая функция в Qn, то есть
ζn(x, t) =
{
1, на Qn+1,
0, вне Qn,
и такая что 0 ≤ ζn,t ≤ 2n+2
σt , |Dζn| ≤ 2n+1
σρ .
Умножим уравнение (1.1) на функцию (u−kn)q
+ζλ+1
n и интегрируя
по Qn по частям, стандартными вычислениями получим:
sup
tn<τ<t
∫
Ωρn (τ)
(u − kn)q+1
+ ζλ+1
n dx
+
∫∫
Qn
|D(u − kn)
m+q+λ−1
λ+1
+ ζn|λ+1 dx dτ
≤ γ
(
∫∫
Qn
(u − kn)q+1
+ ζnt dx dτ
+
∫∫
Qn
(u − kn)q+m−1
+ |Du|λ ζλ
n |Dζn| dx dτ
)
. (3.2)
Оценим первое слагаемое слева в 3.2:
∫
Ωρn
(u − kn)q+1
+ ζλ+1
n dx
≥
∫
Ωρn∩{u>kn+1}
(u − kn)q+1
+ ζλ+1
n dx
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 23
≥ (kn+1 − kn)2−m−λ
∫
Ωρn
(u − kn)q+m+λ−1
+ ζλ+1
n dx
≥ (k/2n+2)2−m−λ
∫
Ωρn
(u − kn)q+m+λ−1
+ ζλ+1
n dx
и, используя последнюю оценку и выбор функции ζn, из (3.2) находим
(k/2n)2−m−λ sup
tn<τ<t
∫
Ωρn(τ)
(u − kn)q+m+λ−1
+ ζλ+1
n dx
+
∫∫
Qn
∣
∣D((u − kn)
m+q+λ−1
λ+1
+ ζn)
∣
∣
λ+1
dx dτ
≤ γ
(
2n
σt
‖u‖2−m−λ
∞,Q0
∫∫
Qn
(u − kn)q+m+λ−1
+ dx dτ
+
2n(λ+1)
(σρ)λ+1
∫∫
Qn
(u − kn)q+m+λ−1
+ dx dτ
)
. (3.3)
Далее, будем предполагать, что
t
ρλ+1
‖u‖m+λ−2
∞,Q0
< 1, (3.4)
так как в противном случае требуемая оценка очевидна. Обозначим:
M =
‖u‖2−m−λ
∞,Q0
σλ+1t
, тогда из (3.3) следует, что
(k/2n)2−m−λ sup
tn<τ<t
∫
Ωρn(τ)
(u − kn+1)
q+m+λ−1
+ ζλ+1
n dx
+
∫∫
Qn
∣
∣D((u − kn+1)
m+q+λ−1
λ+1
+ ζn)
∣
∣
λ+1
dx dτ
≤ γ2n(λ+1)M
∫∫
Qn
(u − kn)q+m+λ−1
+ dx dτ. (3.5)
Обозначим v = (u−kn+1)
m+q+λ−1
λ+1
+ ζn. Применяя неравенство Гёльдера,
24 Оценки максимума решения задачи Неймана...
имеем
In+1 ≡
∫∫
Qn+1
(u − kn+1)
q+m+λ−1
+ dx dτ ≤
∫∫
Qn
vλ+1 dx dτ
≤
[
∫∫
Qn
vq dx dτ
]
λ+1
q
|An+1|
1−λ+1
q
N+1 , (3.6)
где An+1 = {(x, τ) ∈ Qn : u(x, τ) > kn+1} ⊂ R
N+1.
Положим q = (λ + 1)(1 + λ+1
N ) и в лемме 2.1 p = r = λ + 1, тогда
продолжая оценку (3.6), получим
In+1 ≤ γ
(
sup
tn<τ<t
[
ω(|An+1(τ)|N , Cρ)λ+1
(
∫
Ωρn (τ)
v(x, t)λ+1 dx
)
λ+1
N
]
×
∫∫
Qn
|Dv|λ+1 dx dτ
)
N
N+λ+1
|An+1|
λ+1
N+λ+1
N+1 , (3.7)
где C — достаточно большая константа, An+1(τ) = {x ∈ Ωρn :
u(x, τ) > kn+1} ⊂ R
N . Оценим меры |An+1|N+1, |An+1(τ)|N . Для
этого рассмотрим:
In =
∫∫
Qn
(u − kn)q+m+λ−1
+ dx dτ
≥
∫∫
Qn∩{u>kn+1}
(kn+1 − kn)q+m+λ−1 dx dτ
=
[ k
2n+1
]q+m+λ−1
|An+1|N+1;
откуда
|An+1|N+1 ≤ 2(n+1)(q+m+λ−1)k−(q+m+λ−1)In, (3.8)
|An+1(τ)|N
≤ 2(n+1)(q+m+λ−1)k−(q+m+λ−1)
∫
Ωρn
(u − kn)q+m+λ−1
+ dx
≤ γ
2n(q+m+λ−1)k−(q+m+λ−1)
tσλ+1
I0. (3.9)
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 25
Исходя из определения функции ω и (1.6), получим
ω(|An+1(τ)|N , Cρ) ≤ γ2n(q+m+λ−1)ω
(k−(q+m+λ−1)
tσλ+1
I0, ρ
)
. (3.10)
К интегралам справа (3.7) применим оценку (3.5), и, учитывая (3.8)–
(3.10), получим
In+1 ≤ γbn
[
ω
(k−(q+m+λ−1)
tσλ+1
I0, ρ
)]
(λ+1)N
N+λ+1
Mk
−(q+1)(λ+1)
N+λ+1 I
1+ λ+1
N+λ+1
n ,
(3.11)
где b = 2l > 1, l — постоянная, зависящая от известных параметров.
Из леммы 5.6, [14, глава 2], имеем
In =
∫∫
Qn
(u − kn)q+m+λ−1
+ dx dτ −−−→
n→∞
0,
то есть
‖u‖∞,Q∞
≤ k, (3.12)
если
γI
λ+1
N+λ+1
0
[
ω
(k−(q+m+λ−1)
tσλ+1
I0, ρ
)]
(λ+1)N
N+λ+1
Mk
−(q+1)(λ+1)
N+λ+1 b
N+λ+1
λ+1 ≤ 1,
тем более, если
γ‖u‖θ λ+1
N+λ+1
θ,Q0
[
ω
( k−θ
tσλ+1
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
(λ+1)N
N+λ+1
Mk
−(q+1)(λ+1)
N+λ+1 b
N+λ+1
λ+1 ≤ 1,
где θ = q + m + λ − 1. Выберем k так, чтобы:
γ‖u‖θ λ+1
N+λ+1
θ,Q0
[
ω
( k−θ
tσλ+1
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
(λ+1)N
N+λ+1
Mk
−(q+1)(λ+1)
N+λ+1 b
N+λ+1
λ+1 = 1.
(3.13)
Из (3.12) и (3.13), а также свойств функции ω с учетом (1.6) сле-
дует
‖u‖q+1
∞,Q∞
≤ γ‖u‖θ
θ,Q0
M
N+λ+1
λ+1
[
ω
(‖u‖−θ
∞,Q∞
tσλ+1
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]N
. (3.14)
Вспоминая определение M , (3.14) перепишем в виде
26 Оценки максимума решения задачи Неймана...
‖u‖q+1
∞,Q∞
≤ γ‖u‖θ
θ,Q0
[‖u‖2−m−λ
∞,Q0
tσλ+1
]
N+λ+1
λ+1
[
ω
(‖u‖−θ
∞,Q∞
tσλ+1
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]N
.
(3.15)
Рассмотрим следующие последовательности
ri+1 = ri + σρ2−(i+1); r0 = ρ, ti+1 = ti − σt2−(i+2); t0 = t/2,
Qi = Ωri
× (ti, t); Q0 = Q∞; Q∞ = Q0, Qi ⊂ Qi+1, i = 0, 1, . . .
Введем обозначение Yi = ‖u‖∞,Qi . Запишем неравенство (3.15) для
пары цилиндров Qi ⊂ Qi+1
Yi ≤ γ‖u‖
θ
q+1
θ,Q0
Y
(2−m−λ)(N+λ+1)
(λ+1)(q+1)
i+1 σ
−i N+λ+1
q+1
× t
− N+λ+1
(λ+1)(q+1)
[
ω
( Y −θ
i
tσλ+1
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
N
q+1
. (3.16)
Применив к правой части (3.16) неравенство Юнга с показателями
(λ+1)(q+1)
(2−m−λ)(N+λ+1) ,
(λ+1)(q+1)
(λ+1)(q+1)−(2−m−λ)(N+λ+1) = (λ+1)(q+1)
kθ
, а также учи-
тывая свойства функции ω, получим
Yi ≤ δYi+1 + γ(δ)σ
−i
(N+λ+1)(λ+1)
kθ t
−N+λ+1
kθ ‖u‖
θ(λ+1)
kθ
θ,Q0
×
[
ω
( Y −θ
0
tσλ+1
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
N(λ+1)
kθ . (3.17)
Обозначим γ(δ)σ
−i
(N+λ+1)(λ+1)
kθ = γbi, b > 1, и перепишем (3.17) в виде
Yi ≤ δYi+1 + γbit
−N+λ+1
kθ ‖u‖
θ(λ+1)
kθ
θ,Q0
[
ω
(Y −θ
0
t
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
N(λ+1)
kθ . (3.18)
Итерируя неравенство (3.18), получим
Y0 ≤ δi+1Yi+1 +
i
∑
k=0
(bδ)kγt
−N+λ+1
kθ ‖u‖
θ(λ+1)
kθ
θ,Q0
[
ω
(Y −θ
0
t
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
N(λ+1)
kθ ,
i = 0, 1, 2 . . . . Выбираем δ = 1
2b и устремим i к бесконечности. Это
приведет к неравенству
Y0 ≤ γt
−N+λ+1
kθ ‖u‖
θ(λ+1)
kθ
θ,Q0
[
ω
(Y −θ
0
t
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
N(λ+1)
kθ .
Таким образом, имеем
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 27
‖u‖∞,Q∞
≤ γt
−N+λ+1
kθ ‖u‖
θ(λ+1)
kθ
θ,Q0
[
ω
(‖u‖−θ
∞,Q∞
t
‖u‖θ
θ,Q0
, ρ
)]
N(λ+1)
kθ . (3.19)
Нетрудно заметить, что требуемая оценка (3.1) следует из (3.19)
и определения функции ω.
Замечание 3.1. Утверждение предложения остается справедливым,
если формально заменить Ωρ на Aρ = Ω2ρ \ Ωρ, а Ωρ(1+σ) — на Ãρ =
Ω4ρ \ Ωρ/2.
4. Локальная оценка L1 нормы решения
Предложение 4.1. Пусть u0 ≥ 0, u0 ∈ L1,loc(Ω). Тогда для t > 0,
ρ ≥ 1 справедлива оценка
sup
0<τ<t
∫
Ωρ
u(x, τ) dx ≤ γ
(
[ t
ρλ+1
]
1
2−m−λ |Ω2ρ|N +
∫
Ω2ρ
u0 dx
)
. (4.1)
Доказательство. Пусть ζ(x) — неотрицательная кусочно-гладкая
срезающая функция Ω2ρ, равная единице в Ωρ, и такая что |Dζ| ≤
γρ−1. Обозначим Qρ = Ωρ × (0, t).
Умножим уравнение (1.1) на ζ(x)λ+1 и проинтегрируем по Q2ρ,
получим
sup
0<τ<t
∫
Ωρ
u(x, τ) dx ≤
∫
Ω2ρ
u0 dx + γρ−1
∫∫
Q2ρ
|Du|λ um−1 ζλ dx dτ. (4.2)
Будем оценивать второй интеграл справа (4.2), применяя неравенство
Гёльдера, получим:
∫∫
Q2ρ
|Du|λum−1 ζλ dx dτ
≤
(
∫∫
Q2ρ
|Du|λ+1um−1 τ
1
λ+1 (u + ǫ)−θ ζλ+1 dx dτ
)
λ
λ+1
×
(
∫∫
Q2ρ
um−1 τ− λ
λ+1 (u + ǫ)θλ dx dτ
)
1
λ+1
. (4.3)
Оценим второй интеграл справа (4.3), для этого умножим уравнение
28 Оценки максимума решения задачи Неймана...
(1.1) на пробную функцию φ(x, t) = t
1
λ+1 (u + ǫ)1−θζλ+1, где ζ = ζ(x),
1 < θ < 2 будет выбрано; проинтегрируем по Q2ρ. Проделав элемен-
тарные преобразования, получим
∫∫
Q2ρ
|Du|λ+1um−1 τ
1
λ+1 (u + ǫ)−θ ζλ+1 dx dτ
≤ γ
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
∫∫
Q2ρ
(u + ǫ)2−θ τ− λ
λ+1 dx dτ. (4.4)
С учетом (4.4) продолжим оценку правой части (4.3)
∫∫
Q2ρ
|Du|λum−1 ζλ dx dτ
≤ γ
[
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
∫∫
Q2ρ
(u + ǫ)2−θτ− λ
λ+1 dx dτ
]
λ
λ+1
×
[
∫∫
Q2ρ
τ− λ
λ+1 (u + ǫ)m−1+θλ dx dτ
]
1
λ+1
. (4.5)
Положим θ = 3−m
λ+1 , тогда из (4.5) имеем
∫∫
Q2ρ
|Du|λum−1 ζλ dx dτ
≤ γ
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
∫∫
Q2ρ
τ− λ
λ+1 (u + ǫ)
2λ+m−1
λ+1 dx dτ. (4.6)
Обозначив
ρn = ρ
n
∑
i=0
2−i, Qn = Ωρn × (0, t), Mn = sup
0<τ<t
∫
Ωρn
u(x, τ) dx,
можем записать (4.2) с учетом введенных обозначений и (4.6)
Mn ≤
∫
Ω2ρ
u0 dx + γρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
×
∫∫
Qn+1
τ− λ
λ+1 (u + ǫ)
2λ+m−1
λ+1 dx dτ. (4.7)
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 29
Продолжим оценку (4.7)
Mn ≤
∫
Ω2ρ
u0 dx + γρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
× 2n
( t
∫
0
∫
Ωρn+1
τ− λ
λ+1 ǫ
2λ+m−1
λ+1 dx dτ
+ t
1
λ+1 sup
0<τ<t
∫
Ωρn+1
u
2λ+m−1
λ+1 dx
)
. (4.8)
Следовательно, из (4.8) имеем
Mn ≤
∫
Ω2ρ
u0 dx
+ γρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
2n
(
ǫ
2λ+m−1
λ+1 t
1
λ+1 |Ωρn+1 |N
+ t
1
λ+1 sup
0<τ<t
∫
Ωρn+1
u
2λ+m−1
λ+1 dx
)
. (4.9)
Применим в последнем интеграле справа в (4.9) неравенство Гёльдера
с показателями λ+1
2λ+m−1 и λ+1
2−m−λ :
Mn ≤
∫
Ω2ρ
u0 dx + γ2nρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
×
(
ǫ
2λ+m−1
λ+1 t
1
λ+1 |Ωρn+1 |N + t
1
λ+1 M
2λ+m−1
λ+1
n+1 |Ωρn+1 |
2−m−λ
λ+1
N
)
, (4.10)
или
Mn ≤
∫
Ω2ρ
u0 dx + γ2nρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
ǫ
2λ+m−1
λ+1 t
1
λ+1 |Ωρn+1 |N
+ γ2nρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
t
1
λ+1 M
2λ+m−1
λ+1
n+1 |Ωρn+1 |
2−m−λ
λ+1
N . (4.11)
Далее, применив к последнему слагаемому справа в (4.11) неравен-
30 Оценки максимума решения задачи Неймана...
ство Юнга с показателями λ+1
2λ+m−1 и λ+1
2−m−λ , находим
Mn ≤ δMn+1 +
∫
Ω2ρ
u0 dx
+ γ2nρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
ǫ
2λ+m−1
λ+1 t
1
λ+1 |Ωρn+1 |N
+ γ(δ)
(
2nρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
t
1
λ+1
)
λ+1
2−m−λ |Ωρn+1 |N . (4.12)
Итерируя по n в неравенстве (4.12) также, как при доказательстве
предложения 3.1, получаем
M0 = sup
0<τ<t
∫
Ωρ
u(x, τ) dx
≤ γ
(
[
ρ−1
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
λ+1
ǫ
2λ+m−1
λ+1 t
1
λ+1
+ ρ−
λ+1
2−m−λ
(
1 +
t
ρλ+1ǫ2−m−λ
)
λ
2−m−λ
t
1
2−m−λ
]
|Ω2ρ|N
+
∫
Ω2ρ
u0 dx
)
. (4.13)
Выбираем
ǫ =
[ t
ρλ+1
]
1
2−m−λ
,
тогда (4.13) преобразуется следующим образом:
M0 ≤ γ
(
[
ρ−1
[ t
ρλ+1
]
2λ+m−1
(λ+1)(2−m−λ)
t
1
λ+1
+
[ t
ρλ+1
]
1
2−m−λ
]
|Ω2ρ|N +
∫
Ω2ρ
u0 dx
)
. (4.14)
Таким образом, (4.14) дает
M0 ≤ γ
(
[ t
ρλ+1
]
1
2−m−λ |Ω2ρ|N +
∫
Ω2ρ
u0 dx
)
.
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 31
5. Оценка момента
Предложение 5.1. Имеет место следующая оценка:
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
u(x, t)
|x|
V (|x|) dx ≤ γµ(0) + γ
( t
ρ2λ+m−1
)
1
2−m−λ
. (5.1)
Доказательство. Выберем срезающую функцию
ζ(x) =
{
1, в Ω \ Ω2ρ,
0, в Ωρ,
и такую что |Dζ| ≤ γ/ρ. Выбираем в качестве пробной функцию
η = ζλ+1F (x), где F была определена перед леммой 2.2, и с помощью
последней для произвольного фиксированного ρ ≥ 1 получаем
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
ζλ+1 u(x, t)
|x|
V (|x|) dx
≤ γµ(0) + γ
t
∫
0
∫
Ω2ρ\Ωρ
um−1|Du|λ ζλ|Dζ|F (x) dx dτ
+ γ
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
um−1|Du|λ ζλ+1|DF (x)| dx dτ
≤ γµ(0) + γ
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
um−1 |Du|λ 1
V (|x|) ζλ dx dτ. (5.2)
Оценим последний интеграл в (5.2) аналогично, как это делалось в
доказательстве предложения 4.1:
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
um−1|Du|λ 1
V (|x|) ζλ dx dτ
≤
( t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
τ
1
λ+1 um−1|Du|λ+1 ζλ+1u−θ dx dτ
)
λ
λ+1
×
( t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
um−1
[ 1
V (|x|)
]λ+1
uθλτ− λ
λ+1 dx dτ
)
1
λ+1
. (5.3)
32 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Чтобы провести оценку первого интеграла справа (5.3), домножим
уравнение (1.1) на функцию τ
1
λ+1 u1−θζλ+1, проинтегрируем по соо-
тветствующей области, и проведя очевидные преобразования, полу-
чим следующую оценку:
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
τ
1
λ+1 um−1|Du|λ+1 ζλ+1u−θ dx dτ
≤ γt
1
λ+1 sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
ζλ+1u2−θ dx
+ γ
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
t
ρλ+1u2−m−λ
τ
1
λ+1 u2−θ dx dτ.
Можем считать, что
t
ρλ+1u2−m−λ
< 1,
значит
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
τ
1
λ+1 um−1|Du|λ+1 ζλ+1 u−θ dx dτ
≤ γt
1
λ+1 sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
ζλ+1u2−θ dx.
Выбираем θ так, чтобы 2− θ = m− 1+ θλ, то есть θ = 3−m
λ+1 . С учетом
последней оценки, из (5.3) следует
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
um−1|Du|λ 1
V (|x|) ζλ dx dτ
≤ γt
1
λ+1
(
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
u
2λ+m−1
λ+1 dx
)
λ
λ+1
×
(
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
u
2λ+m−1
λ+1
[ 1
V (|x|)
]λ+1
dx dτ
)
1
λ+1
≡ γt
1
λ+1 sup
0<τ<t
(
J
λ
λ+1
1 J
1
λ+1
2
)
. (5.4)
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 33
Оценим Ji, i = 1, 2.
J1 =
∫
Ω\Ωρ
[ |x|
V (|x|) · u
]
2λ+m−1
λ+1
[ |x|
V (|x|)
]− 2λ+m−1
λ+1
dx
≤
(
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|) · u dx
)
2λ+m−1
λ+1
×
(
∫
Ω\Ωρ
[ |x|
V (|x|)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
dx
)
2−m−λ
λ+1
. (5.5)
Рассмотрим следующий интеграл:
∫
Ω\Ωρ
[ |x|
V (|x|)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
dx
=
∞
∫
ρ
[ τ
V (τ)
]− 2λ+m−1
2−m−λ d
dτ
V (τ) dτ
≤ γ
∞
∫
ρ
F− 2λ+m−1
2−m−λ
d
dτ
V (τ) dτ, (5.6)
где F — функция из леммы 2.2. Интегрируя по частям и принимая
во внимание (1.6), из (5.6) получаем:
∫
Ω\Ωρ
[ |x|
V (|x|)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
dx ≤ γ
[ τ
V (τ)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
V (τ)
∞
ρ
+ γ
∞
∫
ρ
[ τ
V (τ)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
−1 1
V (τ)
V (τ) dτ
≤ γ
∞
∫
ρ
[ τ
V (τ)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
−1
dτ
≤ γ
∞
∫
ρ
[V (τ)
τ1−β
]
λ+1
2−m−λ
τ−β λ+1
2−m−λ dτ
≤ γ
[V (ρ)
ρ1−β
]
λ+1
2−m−λ
∞
∫
ρ
τ−β λ+1
2−m−λ dτ. (5.7)
34 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Таким образом,
∫
Ω\Ωρ
[ |x|
V (|x|)
]− 2λ+m−1
2−m−λ
dx ≤ γρ
[ ρ
V (ρ)
]− λ+1
2−m−λ
. (5.8)
Из (5.5) и (5.8) следует
J1 ≤ γ
(
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|) · u dx
)
2λ+m−1
λ+1
ρ
2−m−λ
λ+1
[ ρ
V (ρ)
]−1
. (5.9)
Проводя аналогичные оценки для J2, получим:
J2 ≤ γ
(
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|) · u dx
)
2λ+m−1
λ+1
ρλ+1− 2−m−λ
λ+1
[ ρ
V (ρ)
]λ
. (5.10)
Применяя теперь к (5.4) оценки (5.9) и (5.10), получаем
t
∫
0
∫
Ω\Ωρ
um−1|Du|λ 1
V (|x|) ζλ dx dτ
≤ γt
1
λ+1 sup
0<τ<t
(
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|) · u dx
)
2λ+m−1
λ+1
×
(
ρ
2−m−λ
λ+1
[ ρ
V (ρ)
]−1) λ
λ+1
(
ρλ+1− 2−m−λ
λ+1
[ ρ
V (ρ)
]λ) 1
λ+1
= γt
1
λ+1 sup
0<τ<t
(
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|) · u dx
)
2λ+m−1
λ+1
ρ−
2λ+m−1
λ+1 . (5.11)
В силу неравенства Юнга, примененного к правой части (5.11), с
учетом (5.2), получим нужную оценку.
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
ζλ+1 |x|
V (|x|) u(x, t) dx ≤ γµ(0) + γ
( t
ρ2λ+m−1
)
1
2−m−λ
.
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 35
6. Доказательство теоремы 1.1
Будем искать решение нашей задачи как предел последователь-
ности решений аппроксимирующих задач
unt − div(um−1
n |Dun|λ−1Dun) = 0, в Ωn × (0,∞),
un(x, t) = 0, на (∂Ωn ∩ Ω) × (0,∞),
um−1
n |Dun|λ−1 ∂un
∂−→n = 0, на (∂Ωn ∩ ∂Ω) × (0,∞),
un(x, 0) = u0n(x) ≥ 0 в Ωn.
Здесь un ≥ 0, n ≥ 1; u0n ∈ C∞(Ωn), и u0n сходится к u0 в L1(Ω); и
можно предполагать
‖u0n‖1,Ω ≤ γ‖u0‖1,Ω,
∫
Ω
|x|
V (|x|) u0n(x) dx ≤ γµ(0).
Заметим, что мы всегда понимаем un определенными на Ω, полагая
un ≡ 0 вне Ωn.
Благодаря стандартным аргументам компактности и гладкости
начальных данных, из [15] (см. также [16,17]) следует, что вышеопи-
санная задача глобально разрешима.
Нам понадобится очевидная оценка
‖u(·, t)‖1,Ω ≤ ‖u0‖1,Ω, t > 0. (6.1)
Воспользуемся результатом предложения 3.1 с θ = 1, учитывая (6.1),
получим
‖u(·, τ)‖∞,Ωρ ≤ γ max
(
τ−N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω ,
τ− 1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[ ρ
V (ρ)
]
λ+1
2λ+m−1
,
[ t
ρλ+1
]
1
2−m−λ
)
. (6.2)
Воспользуемся замечанием 3.1, и для ρ ≥ γP (τ) имеем
‖u(·, t)‖∞,Aρ ≤ γ max
(
t−
N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω ,
t−
1
2λ+m−1
(
ρ
V (ρ)
sup
0<τ<t
∫
Ãρ
u(x, t) dx
)
λ+1
2λ+m−1
)
. (6.3)
36 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Оценим следующее выражение, содержащееся в (6.3)
ρ
V (ρ)
sup
0<τ<t
∫
Ãρ
u(x, t) dx ≤ γ sup
0<τ<t
∫
Ãρ
|x|
V (|x|) u(x, t) dx. (6.4)
Соединяя оценки (6.3), (6.4), а также (6.2) с ρ = P (τ), получим
‖u(·, t)‖∞,Ω ≤ γ max
(
t−
N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω ,
t−
1
2λ+m−1
[
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|) u(x, t) dx
]
λ+1
2λ+m−1
,
t−
1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[ P (τ)
V (P (τ))
]
λ+1
2λ+m−1
)
.
Принимая во внимание оценку (5.1) с ρ = P (τ), а также само опре-
деление P (τ), получаем нужную оценку (1.9). Правая часть оцен-
ки (1.11) следует из замечания 1.1. Осталось доказать левую часть
(1.11), то есть оценку снизу. В силу закона сохранения массы, для
любого t > 0 имеем:
∫
Ω
u0 dx =
∫
ΩR
u(x, t) dx +
∫
Ω\ΩR
u(x, t) dx. (6.5)
Учитывая (5.1) из (6.5) имеем
∫
Ω
u0 dx ≤ ‖u(·, t)‖∞,ΩV (R) +
V (R)
R
∫
Ω\ΩR
|x|
V (|x|) u dx
≤ ‖u(·, t)‖∞,ΩV (R) + γ
[
µ(0) +
( t
R2λ+m−1
)
1
2−m−λ
]V (R)
R
. (6.6)
Возьмем в (6.6) R = CP (τ) = CP (t‖u0‖m+λ−2
1,Ω ), вспоминая определе-
ние P (τ), то есть (1.10), вычислим
( t
P (τ)2λ+m−1
)
1
2−m−λ V (P (τ))
P (τ)
= ‖u0‖1,Ω,
откуда при достаточно больших t и будет следовать левая часть оцен-
ки (1.11). Теорема 1.1 доказана.
О. М. Болдовская, А. Ф. Тедеев 37
Литература
[1] А. С. Калашников, Некоторые вопросы качественной теории нелинейных
вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи мат.
наук, 42 (1987), N 2, 135–176.
[2] А. К. Гущин, Стабилизация решений второй краевой задачи для параболи-
ческого уравнения второго порядка // Мат. сб., 101 (143) (1976), N 4 (12),
459–499.
[3] D. Andreucci, A. F. Tedeev, Optimal bounds and blow up phenomena for parabolic
problems in narrowing domains // Proc. Royal Sosiety of Edinburgh, 128A
(1998), 1163–1180.
[4] D. Andreucci, A. F. Tedeev, Sharp estimates and finite speed of propagation for
a Neumann problem in domains narrowing at infinity // Advances in Differential
Equations, 5 (2000), 833–860.
[5] А. В. Лежнев, О поведении при больших значениях времени неотрицатель-
ных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения //
Мат. сб., 129 (171) (1986), N 2, 186–200.
[6] А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Ю. А. Михайлов, О равномерной стабилизации
решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго
порядка // Мат. сб., 128 (170) (1985), N 2 (10), 147–168.
[7] А. К. Гущин, Об оценках решений краевых задач для параболического урав-
нения второго порядка // Тр. МИАН, CXXVI (1973), 5–45.
[8] А. К. Гущин, О равномерной стабилизации решений второй смешанной за-
дачи для параболического уравнения // Мат. сб., 119 (161) (1982), 451–508.
[9] В. И. Ушаков, Стабилизация решений третьей смешанной задачи для пара-
болического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Мат.
сб., 111 (153) (1980), 95–115.
[10] Ф. Х. Мукминов, Стабилизация решений первой смешанной задачи для пара-
болического уравнения второго порядка // Мат. сб., 111(153) (1980), 503–521.
[11] А. Ф. Тедеев, Оценки скорости стабилизации при t → ∞ решения второй
смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго
порядка // Дифференц. уравнения, 27 (1991), N 10, 1795–1806.
[12] D. Andreucci, A. F. Tedeev, A Fujita type result for degenerate Neumann problem
in domains with noncompact boundary // J. Math. Anal. Appl., 231 (1999), 543–
567.
[13] E. Di Benedetto, M. A. Herrero, Non-negative solutions of the evolution p-
Laplacian equation. Initial traces and Cauchy problem when 1 < p < 2 // Arch.
Ration. Mech. Anal., 111 (1990), 225–290.
[14] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М., 1967.
[15] M. Tsutsumi, On solutions of some doubly nonlinear parabolic equations with
absorbtion // J. Math. Anal. Appl., 132 (1988), 187–212.
[16] A. V. Ivanov, Holder estimates near the boundary for generalized solutions of
quasilinear parabolic equations that admit double degeneration // Zap. Nauchn.
Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov., 188 (1991), 45–69.
[17] M. Porzio, V. Vespri, Holder estimates for local solutions of some doubly nonlinear
degenerate parabolic equations // J. Diff. Eqns., 103 (1993), 146–178.
38 Оценки максимума решения задачи Неймана...
Сведения об авторах
Ольга Михайловна
Болдовская,
Анатолий
Федорович Тедеев
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
ул. Розы Люксембург 74,
340114 Донецк,
Украина
E-Mail: omboldovskaya@mail.ru,
tedeev@iamm.ac.donetsk.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10954 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:37:46Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. 2010-08-10T10:43:08Z 2010-08-10T10:43:08Z 2009 Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 16-38. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10954 В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача Неймана для уравнения ut = div(u^m−1|Du|^λ−1Du), где 0 < m + λ ≤ 2. Устанавливаются двусторонние оценки L∞ нормы решения задачи, зависящие от геометрии неограниченной области (с некомпактной границей), в которой рассматривается задача. We present sharp bilateral bounds of the norm L∞ of a solution to the Neumann problem of doubly degenerate parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии Estimates of the maximum of a solution to the Neumann problem for degenerate parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity. The fast diffusion case Article published earlier |
| spellingShingle | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. |
| title | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_alt | Estimates of the maximum of a solution to the Neumann problem for degenerate parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity. The fast diffusion case |
| title_full | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_fullStr | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_full_unstemmed | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_short | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_sort | оценки максимума решения задачи неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. случай быстрой диффузии |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10954 |
| work_keys_str_mv | AT boldovskaâom ocenkimaksimumarešeniâzadačineimanadlâkvazilineinyhparaboličeskihuravneniivneograničennyhoblastâhsužaûŝihsânabeskonečnostislučaibystroidiffuzii AT tedeevaf ocenkimaksimumarešeniâzadačineimanadlâkvazilineinyhparaboličeskihuravneniivneograničennyhoblastâhsužaûŝihsânabeskonečnostislučaibystroidiffuzii AT boldovskaâom estimatesofthemaximumofasolutiontotheneumannproblemfordegenerateparabolicequationsinunboundeddomainsnarrowingatinfinitythefastdiffusioncase AT tedeevaf estimatesofthemaximumofasolutiontotheneumannproblemfordegenerateparabolicequationsinunboundeddomainsnarrowingatinfinitythefastdiffusioncase |