Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами
У роботi розглядається задача оптимальної зупинки для процесiв iз незалежними приростами у випадках, коли функцiя виплат показникова g(x) = (1−e^−x)^+ або логарифмiчна g(x) = (ln x)^+. Для показникової функцiї виплат показано, що оптимальний момент зупинки є моментом першого перетину певного рiвня....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10959 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами / Г.М. Шевченко, А.Г. Мороз // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 126-134. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859878440010776576 |
|---|---|
| author | Шевченко, Г.М. Мороз, А.Г. |
| author_facet | Шевченко, Г.М. Мороз, А.Г. |
| citation_txt | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами / Г.М. Шевченко, А.Г. Мороз // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 126-134. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | У роботi розглядається задача оптимальної зупинки для процесiв iз незалежними приростами у випадках, коли функцiя виплат показникова g(x) = (1−e^−x)^+ або логарифмiчна g(x) = (ln x)^+. Для показникової функцiї виплат показано, що оптимальний момент зупинки є моментом першого перетину певного рiвня. Для логарифмiчної функцiї виплат доведено, що у класi моментiв перетину рiвня немає оптимального розв’язку.
We consider the optimal stopping problem for processes with independent increments with the exponential g(x) = (1−e^−x)^+ or logarithmic g(x) = (ln x)^+ payoff function. For the exponential payoff function, it is shown that the optimal stopping time is the first time of hitting a certain level. For the logarithmic payoff function, it is proved that a moment of the first hitting of a level cannot be optimal.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:52:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 1, 126 – 134
Задача оптимальної зупинки для процесiв з
незалежними приростами
Георгiй М. Шевченко, Анна Г. Мороз
(Представлена С. Я. Махном)
Анотацiя. У роботi розглядається задача оптимальної зупинки для
процесiв iз незалежними приростами у випадках, коли функцiя ви-
плат показникова g(x) = (1−e
−x)+ або логарифмiчна g(x) = (ln x)+.
Для показникової функцiї виплат показано, що оптимальний момент
зупинки є моментом першого перетину певного рiвня. Для логари-
фмiчної функцiї виплат доведено, що у класi моментiв перетину рiв-
ня немає оптимального розв’язку.
2000 MSC. 60G40, 60G51, 33C65.
Ключовi слова та фрази. Момент оптимальної зупинки, функцiї
виплат, процеси з незалежними приростами.
1. Вступ
Розглянемо модель фiнансового ринку з єдиним безризиковим
активом. Цiновий процес для цього активу моделюється процесом
з незалежними приростами {Xt, t ∈ T}, з початковим значенням
X0 = x ∈ R = (−∞,∞). Цей процес визначено на ймовiрнiсному
просторi (Ω,F , P ) з натуральною фiльтрацiєю Ft = σ{Xs, s ≤ t},
F0 = {∅, Ω}. Модель ринку може бути дискретною, у цьому випадку
параметрична множина T ⊂ Z
+ = {0, 1, 2, . . . }, або неперервною —
T ⊂ R
+ = [0,∞). Безризикова вiдсоткова ставка стала i дорiвнює
q ≥ 0.
Задача оптимальної реалiзацiї довiчного платiжного зобов’язання
американського типу з функцiєю виплат g формулюється так: макси-
мiзувати очiкувану дисконтовану виплату
E(g(Xτ )e
−qτ
I{τ < ∞})
Стаття надiйшла в редакцiю 23.02.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
Г. М. Шевченко, А. Г. Мороз 127
у класi M всiх марковських моментiв τ вiдносно (Ft) зi значення-
ми в [0,∞]. Iншими словами, задача полягає у вiдшуканнi функцiї
“вартостi”
V (x) = sup
τ∈M
E(g(Xτ )e
−qτ
I{τ < ∞}). (1.1)
Оптимальним називатимемо такий момент зупинки τ∗, для якого
V (x) = E(g(Xτ∗)e−qτ∗
I{τ∗ < ∞}), x ∈ R. (1.2)
Задачу оптимальної зупинки з функцiєю виплат g(x) = (x+)υ =
(max{x, 0})υ при υ = 1, 2, . . . для дискретного часу було розв’язано
у [1, 5], її розв’язок узагальнено на випадок довiльних υ > 0 в [3].
Також у [5] для випадкового блукання було розв’язано задачу з фун-
кцiєю виплат g(x) = (1− e−x)+. У данiй роботi ми узагальнимо одер-
жаний в [5] результат на випадок процесiв з незалежними приростами
i розглянемо задачу про оптимальну зупинку для процесiв iз незале-
жними приростами з функцiєю виплат g(x) = (lnx)+.
Так само, як i в [3], момент оптимальної зупинки шукатимемо у
виглядi
τ∗ = τa = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ a}, (1.3)
де оптимальне значення параметра а залежить вiд вигляду функцiї
g(x).
2. Функцiї Аппелля
Для розв’язання задач оптимальної зупинки нам знадобиться по-
няття функцiй Аппелля. Функцiї Аппелля є деяким узагальненням
полiномiв Аппелля [4].
Полiномами Аппелля, породженими випадковою величиною η, та-
кою що E |η|n < ∞ для всiх n ≥ 1, називаються полiноми вигляду
Qk(y; η) = (−1)k dk
duk
( e−uy
Ee−uη
)
∣
∣
∣
u=0
, k = 1, 2, . . . , n. (2.1)
Припустимо тепер, що η — невiд’ємна випадкова величина, i
P (η < ε) > 0 для всiх ε > 0. (2.2)
Визначимо функцiї Аппелля порядку υ для υ < 0 наступним чином:
Qυ(y; η) =
∞
∫
0
u−υ−1 e−uy
Ee−uη
du
Γ(−υ)
, y > 0, υ < 0, (2.3)
128 Задача оптимальної зупинки...
де Γ(z) — гамма-функцiя. Згiдно з цим визначенням, функцiя Qυ(y; η)
неперервна за параметрами υ та y. Вiдмiтимо, що
lim
υ↑0
Qυ(y; η) = 1 (2.4)
i довизначимо Qυ(y; η) при υ = 0 за неперервнiстю, поклавши
Q0(y; η) = 1 для всiх y > 0. (2.5)
Задамо тепер Qυ(y; η) для дiйсних υ > 0 за допомогою наступного
спiввiдношення:
Qυ(y; η) = Qυ(0; η) + υ
∞
∫
0
Qυ−1(z; η) dz, y > 0, υ > 0, (2.6)
i покладемо
Qυ(0; η) = −υE
( η
∫
0
Qυ−1(z; η) dz
)
. (2.7)
Неважко показати, що для означених таким чином функцiй Аппелля
виконуються властивостi (див., наприклад, [3]):
d
dy
Qυ(y; η) = υQυ−1(y; η), (2.8)
EQυ(y + η; η) = yυ. (2.9)
Також, має мiсце наступна лема.
Лема 2.1. Нехай виконується (2.2) i E(ηn) < ∞ для всiх n ≥ 1. Тодi
для всiх υ > 0 iснує таке aυ, що
• Qυ(y; η) ≤ 0 для 0 < y < aυ, Qυ(aυ; η) = 0,
• Qυ(y; η) зростає для y ≥ aυ.
Доведення цiєї леми наведено в [3].
3. Деякi факти про розподiл максимуму
Розглянемо незалежну вiд Xt показникову випадкову величину θ
з параметром q, тобто
P (θ > t) = e−qt. (3.1)
Г. М. Шевченко, А. Г. Мороз 129
Позначимо
Mθ = sup
0≤t<θ
(Xt − x), (3.2)
а у випадку q = 0
M∞ = sup
0≤t<∞
(Xt − x), (3.3)
причому E(X+
1 ) < ∞ i E(X1 − x) < 0.
Лема 3.1. Якщо q ≥ 0, тодi для всiх ε > 0 виконується
P (Mθ < ε) > 0. (3.4)
Лема 3.2. Нехай υ > 0, i виконуються умови:
1. якщо q = 0 то E(X1) < 0, E((X+
1 )υ+1) < ∞;
2. якщо q > 0 то E((X+
1 )υ) < ∞.
Тодi E(Mυ
θ ) < ∞.
Доведення лем 3.1 та 3.2 наведено в [3].
Лема 3.3. 1. Нехай τa = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ a}, a ≥ x. Тодi для всiх
u ≤ 0 виконується
E(I{τa < ∞}euXτa e−qτa) =
E(I{Mθ + x ≥ a}eu(Mθ+x))
E(euMθ)
. (3.5)
2. При виконаннi умов леми 3.2 для всiх a ≥ x i всiх υ справедлива
рiвнiсть
E(I{τa < ∞}Xυ
τa
e−qτa) = E(I{Mθ + x ≥ a}Qυ(Mθ + x; Mθ)).
(3.6)
3. Нехай виконанi умови леми 3.2 i початкова умова x ≥ 1. Тодi
для всiх a ≥ x має мiсце наступна рiвнiсть
E(I{τa < ∞} lnXτae
−qτa)
= E
(
I{Mθ + x ≥ a}
∞
∫
0
e−u(Mθ+x)
u
(
1 −
1
Ee−uMθ
)
du
)
. (3.7)
130 Задача оптимальної зупинки...
Доведення. Доведення пунктiв 1, 2 наведено в [3]. Доведемо п. 3.
Обчислимо похiдну злiва ∂−
∂υ
Qυ(y; η)|υ=0 за означенням:
∂−
∂υ
Qυ(y; η)
∣
∣
∣
υ=0
=
∂
∂υ
∞
∫
0
u−υ−1 e−uy
Ee−uη
du
Γ(−υ)
∣
∣
∣
∣
υ=0
= lim
υ→0−
1
υ
∞
∫
0
u−υ−1 e−uy
Ee−uη
du
Γ(−υ)
− Q0(y; η)
= lim
υ→0−
1
υ
∞
∫
0
u−υ−1 e−uy
Γ(−υ)
( 1
Ee−uη
− y−υ
)
du
= lim
υ→0−
1
υ
∞
∫
0
u−υ−1 e−uy
Γ(−υ)
( 1
Ee−uη
− 1
)
du
+ lim
υ→0−
1
υ
∞
∫
0
u−υ−1 e−uy
Γ(−υ)
(1 − y−υ) du
=
∞
∫
0
u−1e−uy
(
1 −
1
Ee−uη
)
du + 0
=
∞
∫
0
u−1e−uy
(
1 −
1
Ee−uη
)
du.
Для обох доданкiв граничний перехiд пiд знаком iнтегралу можли-
вий завдяки теоремi Лебега про монотонну збiжнiсть. Також ми ви-
користали те, що Q0(y; η) = 1 =
∫∞
0 u−υ−1y−υ e−uy
Γ(−υ) du за означенням
гама-функцiй та Q0(y; η).
Поклавши y = Mθ + x, η = Mθ, одержимо
∂−
∂υ
Qυ(Mθ + x, Mθ)
∣
∣
∣
υ=0
=
∞
∫
0
u−1e−u(Mθ+x)
(
1 −
1
Ee−uMθ
)
du.
Продиференцiюємо п. 2 за параметром υ у точцi υ = 0 злiва:
E(I{τa < ∞} lnXτae
−qτa) = E
(
I{Mθ +x ≥ a}
∂−
∂υ
Qυ(Mθ +x, Mθ)
∣
∣
∣
υ=0
)
.
Для лiвої частини диференцiювання пiд знаком математичного сподi-
вання можливе завдяки монотоннiй збiжностi, у правiй частинi вираз
Г. М. Шевченко, А. Г. Мороз 131
пiд математичним сподiванням дограничний вираз можна розбити на
два доданки, як вище, для кожного з яких має мiсце монотонна збi-
жнiсть. Лему доведено.
Лема 3.4. Нехай t ∈ Z
+, q ≥ 0, f(x) та g(x) — невiд’ємнi функцiї,
такi, що для всiх x f(x) ≥ g(x), i
f(x) ≥ e−q
Ef(X1). (3.8)
Тодi для всiх x справедлива нерiвнiсть:
f(x) ≥ sup
τ∈M
E(g(Xτ )e
−qτ
I{τ < ∞}). (3.9)
Доведення леми див. у [3].
4. Основнi результати
Наступну теорему доведено у [3].
Теорема 4.1. Нехай g(x) = (x+)υ, υ > 0 виконанi умови леми 3.2, i
aυ — додатний корiнь рiвняння
Qυ(aυ; Mθ) = 0. (4.1)
Тодi момент зупинки
τaυ = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ aυ} (4.2)
буде оптимальним, i
V (x) = E(Qυ(Mθ + x; Mθ)I{Mθ + x ≥ aυ}). (4.3)
Використовуючи схожi методи, доведемо аналогiчне твердження
для показникової функцiї виплат.
Теорема 4.2. Нехай g(x) = (1 − e−x)+, виконанi умови леми 3.2, i
a∗ = − lnEe−Mθ . (4.4)
Тодi момент зупинки
τa∗ = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ a∗} (4.5)
буде оптимальним, i
V (x) = E(1 − e−Mθ−x(Ee−Mθ)−1)+. (4.6)
132 Задача оптимальної зупинки...
Доведення. Наряду з функцiєю V (x) розглянемо функцiю
V̂ (x) = sup
τa∈M̂
E(g(Xτa)e−qτaI{τ < ∞}), (4.7)
де M̂ — клас моментiв зупинки виду τa = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ a}, a ≥ x.
Очевидно, V̂ (x) ≤ V (x), як супремум за вужчим класом моментiв
зупинки. Вiдмiтимо, що за п. 1 леми 3.3 при значеннi u = −1 справе-
длива рiвнiсть
E(I{τa < ∞}e−Xτae−qτa) =
E(I{Mθ + x ≥ a}e−(Mθ+x))
E(e−Mθ)
, (4.8)
звiдки
E(I{τa < ∞}g(Xτa)e−qτa) = EI{Mθ + x ≥ a}
(
1 −
e−(Mθ+x)
E(e−Mθ)
)
. (4.9)
Оскiльки функцiя 1 − e−a
E(e−Mθ )
монотонна за a i має єдиний корiнь
a∗ = − lnEe−Mθ , то лiва частина (4.9) досягає свого максимуму в
точцi a = a∗, причому
V̂ (x) = EI{Mθ+x ≥ a∗}
(
1 −
e−(Mθ+x)
E(e−Mθ)
)
= E
(
1 −
e−(Mθ+x)
E(e−Mθ)
)+
. (4.10)
Таким чином, ми показали, що V̂ (x) досягає максимуму в точцi a∗. За-
лишилося довести справедливiсть нерiвностi V̂ (x) ≥ V (x). Для цього
розглянемо функцiю f(x) = E
(
1 − e−(Mθ+x)
E(e−Mθ )
)+
. За нерiвнiстю Iєнсена:
f(x) ≥
(
1 −
Ee−(Mθ+x)
E(e−Mθ)
)+
= (1 − e−x)+ = g(x). (4.11)
Позначимо ξ = X1 − x, i розглянемо випадкову величину γ таку, що
P (γ = 1) = 1 − P (γ = 0) = e−q. (4.12)
Тодi M̂θ = (γMθ+ξ)+ за розподiлом, i справедливi наступнi нерiвностi
e−q
Ef(X1) = e−q
E
(
1 −
e−(Mθ+X1)
E(e−Mθ)
)+
= e−q
E
(
1 −
e−(Mθ+x+ξ)
E(e−Mθ)
)+
= E
(
e−q −
e−qe−(Mθ+x+ξ)
E(e−Mθ)
)+
≤ E
(
1 −
e−(γMθ+x+ξ)
E(e−Mθ)
)+
= E
(
1 −
e−(Mθ+x)
E(e−Mθ)
)+
= f(x). (4.13)
З (4.11), (4.13) за лемою 3.4 випливає f(x) = V̂ (x) ≥ V (x), що завер-
шує доведення теореми.
Г. М. Шевченко, А. Г. Мороз 133
Нехай тепер g(x) = (lnx)+, q ≥ 2, початкова умова X0 = x ≥ 1 i
виконанi умови леми 3.2.
Спробуємо вiдшукати оптимальний момент зупинки τa для цього
випадку у виглядi
τa = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ a}, (4.14)
де a ≥ x. Розглянемо функцiю
V̂ (x) = sup
τa∈M̂
E(g(Xτa)e−qτaI{τa < ∞}), (4.15)
де M̂ — клас моментiв зупинки виду τa = inf{t ≥ 0 : Xt ≥ a}, a ≥ x.
Як i в попереднiй теоремi, V̂ (x) ≤ V (x). Вiдмiтимо, що за п. 3 леми 3.3
справедлива рiвнiсть
E(I{τa < ∞} lnXτae
−qτa)
= E
(
I{Mθ + x ≥ a}
∞
∫
0
u−1e−u(Mθ+x)
(
1 −
1
Ee−uMθ
)
du
)
. (4.16)
Оскiльки функцiя e−ua додатна i спадає, 1 − 1
Ee−uaeux при u ≥ 0 вiд’-
ємна i спадає, то iнтеграл у правiй частинi (4.16) вiд’ємний та зростає,
i лiва частина досягає свого максимуму на нескiнченностi. Тобто, в
цьому випадку не iснує оптимального моменту зупинки вигляду (1.3).
5. Висновки
Ми розглянули задачу оптимальної зупинки процесiв iз незале-
жними приростами i довели, що для показникової функцiї виплат
оптимальний момент зупинки є моментом першого перетину рiвня,
який знайдено в явному виглядi. Для логарифмiчної функцiї виплат
доведено, що у класi моментiв перетину рiвня не iснує оптимального
розв’язку.
Лiтература
[1] A. Darling, T. Liggett, H. M. Taylor, Optimal stopping for partial sums // Ann.
Math. Stat., (1972), N 43, 1363–1368.
[2] A. Kyprianou, A. Budhi, On the Novikov–Shiryaev optimal stopping problem in
continuous time // Electron. Comm. Probab., (2005), N 10, 146–154.
[3] A. Novikov, A. Shiryaev, On a solution of the optimal stopping problem for
processes with independed increments // Stochastics, 79, (2007), N 3–4, 393–406.
[4] W. Schoutens, Stochastic processes and orthogonal polynomials, New-York:
Springer–Verlag, 2000.
134 Задача оптимальної зупинки...
[5] А. Новиков, А. Ширяев, Об одном эффективном случае решения задачи об
оптимальной остановке для случайных блужданий // Теор. Вероятн. При-
мен., 49, (2004), N 2, 373–382.
Вiдомостi про авторiв
Георгiй М.
Шевченко,
Анна Григорiвна
Мороз
Кафедра теорiї ймовiрностей та
математичної статистики,
Механiко-математичний факультет
Київський нацiональний унiверситет
iм. Т. Шевченка,
вул. Володимирська, 64,
Київ, 01033,
Україна
E-Mail: zhora@univ.kiev.ua,
mag-87@inbox.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10959 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:52:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, Г.М. Мороз, А.Г. 2010-08-10T10:53:19Z 2010-08-10T10:53:19Z 2009 Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами / Г.М. Шевченко, А.Г. Мороз // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 1. — С. 126-134. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10959 У роботi розглядається задача оптимальної зупинки для процесiв iз незалежними приростами у випадках, коли функцiя виплат показникова g(x) = (1−e^−x)^+ або логарифмiчна g(x) = (ln x)^+. Для показникової функцiї виплат показано, що оптимальний момент зупинки є моментом першого перетину певного рiвня. Для логарифмiчної функцiї виплат доведено, що у класi моментiв перетину рiвня немає оптимального розв’язку. We consider the optimal stopping problem for processes with independent increments with the exponential g(x) = (1−e^−x)^+ or logarithmic g(x) = (ln x)^+ payoff function. For the exponential payoff function, it is shown that the optimal stopping time is the first time of hitting a certain level. For the logarithmic payoff function, it is proved that a moment of the first hitting of a level cannot be optimal. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами Optimal stopping problem for processes with independent increments Article published earlier |
| spellingShingle | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами Шевченко, Г.М. Мороз, А.Г. |
| title | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами |
| title_alt | Optimal stopping problem for processes with independent increments |
| title_full | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами |
| title_fullStr | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами |
| title_full_unstemmed | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами |
| title_short | Задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами |
| title_sort | задача оптимальної зупинки для процесів з незалежними приростами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10959 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkogm zadačaoptimalʹnoízupinkidlâprocesívznezaležnimiprirostami AT morozag zadačaoptimalʹnoízupinkidlâprocesívznezaležnimiprirostami AT ševčenkogm optimalstoppingproblemforprocesseswithindependentincrements AT morozag optimalstoppingproblemforprocesseswithindependentincrements |