Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій

Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій

Отримана оцінка похибки наближення 2D коефіцієнтів Фур'є кубатурною формулою з використанням оператора кусково-сталої сплайн-інтерполяції, побудованого на основі відповідного оператора інтерлінації на деякому класі диференційованих функцій. Інформація про неосцилюючий множник підінтегральної фу...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Проблемы машиностроения
Дата:2011
Автори: Литвин, О.М., Нечуйвітер, О.П.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2011
Теми:
Прикладная математика
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110263
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 5. — С. 41-46. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-110263
record_format dspace
spelling Литвин, О.М.
Нечуйвітер, О.П.
2017-01-01T16:34:24Z
2017-01-01T16:34:24Z
2011
Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 5. — С. 41-46. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
0131-2928
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110263
621.391:517.518:510.52
Отримана оцінка похибки наближення 2D коефіцієнтів Фур'є кубатурною формулою з використанням оператора кусково-сталої сплайн-інтерполяції, побудованого на основі відповідного оператора інтерлінації на деякому класі диференційованих функцій. Інформація про неосцилюючий множник підінтегральної функції задана значеннями функції на сітці.
Получена оценка погрешности приближения 2D коэффициентов Фурье кубатурной формулой с использованием оператора кусочно-постоянной сплайн-интерполяции, построенного на основе соответствующего оператора интерлинации на некотором классе дифференцированных функций. Информация о неосциллирующем множителе подынтегральной функции задана значениями функции на сетке.
Cubature formulas of the calculation of Fourier's coefficients of two variables are considered by using operators of piecewise spline-interlineation in the case when information about function is set of lines, set of knots on one class of differentiable functions. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented.
uk
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
Проблемы машиностроения
Прикладная математика
Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
The estimations of error of approaching Fourier's coefficients of two variables by the cubature formula on the class of differentiable functions
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
spellingShingle Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
Литвин, О.М.
Нечуйвітер, О.П.
Прикладная математика
title_short Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
title_full Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
title_fullStr Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
title_full_unstemmed Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
title_sort оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій
author Литвин, О.М.
Нечуйвітер, О.П.
author_facet Литвин, О.М.
Нечуйвітер, О.П.
topic Прикладная математика
topic_facet Прикладная математика
publishDate 2011
language Ukrainian
container_title Проблемы машиностроения
publisher Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
format Article
title_alt The estimations of error of approaching Fourier's coefficients of two variables by the cubature formula on the class of differentiable functions
description Отримана оцінка похибки наближення 2D коефіцієнтів Фур'є кубатурною формулою з використанням оператора кусково-сталої сплайн-інтерполяції, побудованого на основі відповідного оператора інтерлінації на деякому класі диференційованих функцій. Інформація про неосцилюючий множник підінтегральної функції задана значеннями функції на сітці. Получена оценка погрешности приближения 2D коэффициентов Фурье кубатурной формулой с использованием оператора кусочно-постоянной сплайн-интерполяции, построенного на основе соответствующего оператора интерлинации на некотором классе дифференцированных функций. Информация о неосциллирующем множителе подынтегральной функции задана значениями функции на сетке. Cubature formulas of the calculation of Fourier's coefficients of two variables are considered by using operators of piecewise spline-interlineation in the case when information about function is set of lines, set of knots on one class of differentiable functions. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented.
issn 0131-2928
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110263
citation_txt Оцінка похибки наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є функції двох змінних за деякою кубатурною формулою на класі диференційовних функцій / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Проблемы машиностроения. — 2011. — Т. 14, № 5. — С. 41-46. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT litvinom ocínkapohibkinabliženogoobčislennâkoefícíêntívfurêfunkcíídvohzmínnihzadeâkoûkubaturnoûformuloûnaklasídiferencíiovnihfunkcíi
AT nečuivíterop ocínkapohibkinabliženogoobčislennâkoefícíêntívfurêfunkcíídvohzmínnihzadeâkoûkubaturnoûformuloûnaklasídiferencíiovnihfunkcíi
AT litvinom theestimationsoferrorofapproachingfourierscoefficientsoftwovariablesbythecubatureformulaontheclassofdifferentiablefunctions
AT nečuivíterop theestimationsoferrorofapproachingfourierscoefficientsoftwovariablesbythecubatureformulaontheclassofdifferentiablefunctions
first_indexed 2025-11-26T23:36:58Z
last_indexed 2025-11-26T23:36:58Z
_version_ 1850781569170538496
fulltext ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 5 41 УДК 621.391:517.518:510.52 О. М. Литвин, д-р. фіз.-мат. наук О. П. Нечуйвітер, канд. фіз.-мат. наук Українська інженерно-педагогічна академія (м. Харків, е-mail: academ@kharkov.ua; olesya@email.com ) ОЦІНКА ПОХИБКИ НАБЛИЖЕНОГО ОБЧИСЛЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ ФУР’Є ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ ЗА ДЕЯКОЮ КУБАТУРНОЮ ФОРМУЛОЮ НА КЛАСІ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ Отримана оцінка похибки наближення 2D коефіцієнтів Фур'є кубатурною формулою з використанням оператора кусково-сталої сплайн-інтерполяції, побудованого на основі відповідного оператора інтерлінації на деякому класі диференційованих функцій. Інфо- рмація про неосцилюючий множник підінтегральної функції задана значеннями функції на сітці. Получена оценка погрешности приближения 2D коэффициентов Фурье кубатурной формулой с использованием оператора кусочно-постоянной сплайн-интерполяции, по- строенного на основе соответствующего оператора интерлинации на некотором клас- се дифференцированных функций. Информация о неосциллирующем множителе подын- тегральной функции задана значениями функции на сетке. Вступ На цей час методи комп’ютерної томографії є найбільш ефективними методами до- слідження внутрішньої структури тривимірного тіла без його руйнування. Вони знаходять застосування у таких галузях науки і техніки, як медицина, радіолокація, оптика, геологія та ін. Важливим є використання комп’ютерної томографії в машинобудуванні, зокрема, у разі неруйнівного контролю якості об’єктів – дефектоскопії під час дослідження особливо важ- ливих деталей авіадвигунів. Розв’язуючи задачу тривимірної комп'ютерної томографії, ви- никає необхідність обчислювати та мати оцінки похибки наближення коефіцієнтів Фур'є функцій трьох змінних у випадку різного задання початкових даних. Важливою підзадачею є наближене обчислення 2 D коефіцієнтів Фур'є. Вона може бути розв’язана у випадку, коли дані є відомими слідами неосцилюючого множника, підінтегральної функції на лініях або відомі значення неосцилюючого множника підінтегральної функції у вузлових точках. 1. Постановка проблеми Очислюючи інтеграли від швидкоосцилюючих функцій двох змінних у випадку, ко- ли дані – значення функції у вузлових точках, ефективно використовувати кубатурні форму- ли, побудовані на основі операторів інтерлінації функцій [1]. Вони є більш ефективними за класичні, оскільки в своїй побудові вимагають на порядок менше вхідних даних для досяг- нення заданої точності. Під час побудови нових кубатурних формул завжди виникає питання якості, тобто чи є ця формула оптимальною або близькою до неї [2]. Відповідь на це питання дає оцінка похибки наближення кубатурної формули. Тому актуальним є не тільки питання побудови нових кубатурних формул, а й нових методів під час отримання оцінок похибки наближення. 1.1. Аналіз літератури Класичні оптимальні та близькі до них кубатурні формули наближеного обчислення інтегралів 3,2,1),,(2 =knmIk ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 5 42 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π−π−= ππ= ππ= 1 0 1 0 222 3 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 1 ),(),( ,2cos2cos),(),( ,2sin2sin),(),( dxdyeeyxfnmI nydxdymxyxfnmI nydxdymxyxfnmI nyimxi детально розглянуті в [2]. Кубатурні формули з використанням операторів інтерлінації на різних класах функцій наведені в [3]. Зокрема, наведені і кубатурні формули наближеного обчислення 2 D коефіцієнтів Фур'є з використанням операторів кусково-сталої інтерполяції, побудованих на основі операторів кусково-сталої інтерлінації функцій. Питання отримання оцінки похибки побудованих кубатурних формул через похибку наближення функції ( , )f x y оператором-інтерлінантом та похибку наближення оператора-інтерлінанта операто- ром-інтерполянтом, побудованим з використанням оператора інтерлінації, розглядається вперше. 1.2. Мета дослідження Мета даної роботи – отримати оцінку похибки наближеного обчислення інтегралів 3,2,1),,(2 =knmIk кубатурними формулами з використанням операторів кусково-сталої ін- терполяції, побудованих на основі операторів кусково-сталої інтерлінації функцій на класі дійсних функцій двох змінних, визначених на G = [0, 1]2 і таких, що f(x, y) ∈ H1 2,1(M). Інакше кажучи, |f (1,0)(x, y)| ≤ M, |f (0,1)(x, y)| ≤ M, |f (1,1)(x, y)| ≤ M, у випадку, коли інформація про функ- цію задана її значеннями fkj = f(xk, yj), k = 1, 2, …, m1, j = 1, 2, …, m2, , через похибку набли- ження функції f(x, y) оператором-інтерлінантом та похибку наближення оператора- інтерлінанта оператором-інтерполянтом, побудованим з використанням оператора інтерлі- нації. 2. Кубатурна формула обчислення 2 D коефіцієнтів Фур'є Введемо позначення [ ] [ ] [ ] [ ] .1,,1~, ~ , 2 ~~, 2 ~~ ,1,,1,, 2 , 2 ,,1~ , ~ ,0 , ~ ,1 )( ~ ,,1 ~ , ~ ,0 ~ ,1 )( ~ ,,1 ,,0 ,,1 )( ,,1 ,,0 ,1 )( ,~,~~ ,~,~~ ,,,, 21 21 1~1 1~ 2 ~ ~ ~0 2 ~ ~ ~ 0 00 2/1~2/1~~ 2/1 ~ 2/1 ~~2/12/12.12/1 l l l l ll ll =Δ= Δ −Δ= Δ −Δ= =Δ= Δ −Δ= Δ −Δ= = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ == ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ == ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = ==== +−+−+−+− jkjykx jkjykx j Yy Yy yHk Xx Xx xh j Yy Yy yHk Xx Xx xh yyYxxXyyYxxX jk jk j j j k k k j j j k k k jjjkkkjjjкkk Лема 1. [1] Оператор кусково-сталої інтерлінації ,)()(),()(),()(),(),( 1 1 00 1 0 1 0 ∑∑∑∑ = === −+= l lll k j jkjk j jj k kk yHxhyxfyHyxfxhyxfyxJf має такі власти- вості: 1. ll ,1),,(),(,,1),,(),( ==== jyxfyxJfkyxfyxJf jjkk ; 2. )(1),(),( 2 2 Δ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=− OOyxJfyxf l . ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 5 43 Лема 2. [1] Оператор кусково-сталої інтерполяції, побудований на основі кусково- сталої інтерлінації ( ) ∑∑∑∑ ∑∑ = == = = = −+ += l ll l l l 1 1 00 1 1 ~ 0~ 0 ~ 1 1~ ~00~ )()(),()()( ~ ),~( )( ~ )()~,(, ~ 2 2 k j jkjk j k jkjk k j jkjk yHxhyxfyHxhyxf yHxhyxfyxfJ має такі властивості: 1. llll ,1,,1),~,()~,( ~ ,1,,1 ~ ),,~(),~( ~ 2 ~~ 2 ~~ ====== kjyxfyxfJjkyxfyxfJ jkjkjkjk ; 2. .),(),(1),( ~ ),( 2 2 GyxOOyxfJyxf ∈∀Δ=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛=− l Для обчислення інтегралів 3,2,1),,(2 =knmIk пропонуються формули .),( ~ ),(~ ,2cos2cos),( ~ ),(~ ,2sin2sin),( ~ ),(~ 1 0 1 0 222 3 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π−π−=Φ ππ=Φ ππ=Φ dxdyeeyxfJnm nydxdymxyxfJnm nydxdymxyxfJnm nyimxi Підставимо у ці формули вираз для оператора-інтерполянта ),( ~ yxfJ та отримаємо відповідні кубатурні формули, наприклад .1,,1~, ~ , 2 ~~, 2 ~~ ,1,,1,, 2 , 2 ,2sin2sin),(2sin2sin),~( 2sin2sin)~,(),(~ 21 21 1~1 1~ 1 11 ~ ~1 ~ ~ ~ ~1 1~ ~ 2 1 2/1 2 1 2/1 2 1 2/1 2 1 2/1 ~ 2 1~ 2 2/1~ 2 1~ 2/1 2 1 2 l l l l l ll l l l =Δ= Δ −Δ= Δ −Δ= =Δ= Δ −Δ= Δ −Δ= ππ−ππ +ππ=Φ ∑∑ ∫∫∑ ∫∫∑ ∫∫∑∑ = == = = = + − + − + − + − + − + − jkjykx jkjykx nydymxdxyxfnydymxdxyxf nydymxdxyxfnm jk jk k j y y x x jk j y y x xk jk y y x xk j jk j j k k j j k k j j k k 3. Оцінка похибки наближення кубатурної формули обчислення 2 D коефіцієнтів Фур'є Введемо оператори ( ) .1,,1~, ~ , 2 ~~, 2 ~~ ~ )~,(),( ~ ),( ~ ),~(),( ~ ,1,,1,, 2 , 2 ),(),(),(),(),(),( 21 21 1~1 1~ 1~ ~0~2 1 ~ ~ 0 ~1 1 02 1 01 22 l l l l ll ll =Δ= Δ −Δ= Δ −Δ= == =Δ= Δ −Δ= Δ −Δ= == ∑∑ ∑∑ == == jkjykx yHyxfyxfJxhyxfyxfJ jkjykx yHyxfyxfJxhyxfyxfJ jk j jj k kk jk j jj k kk ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 5 44 Тоді для оператора-інтерлінанта Jf(x, y) та оператора-інтерполянта ),( ~ yxfJ , побудо- ваного на основі Jf(x, y), справедливі тотожності ( ) ),(),( 2121 yxfJJJJyxJf −+= та ( ) ( ) ),( ~~ , ~ 212121 yxfJJJJJJyxfJ −+= . Теорема. Нехай )(),( 1,2 1 MHyxf ∈ та значення ),( jkkj yxff = , k = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, m2, задані не більше, ніж в N = m1m2, m1 = m2 = l2, N = l4 фіксованих вузлових то- чках (xk, yj) ∈ G = [0, 1]2. Справедлива така оцінка зверху для похибки наближення I1 2(m, n) кубатурною формулою ),(~ 2 1 nmΦ ( ) 2 2 1 2 1 1 216 ~ ),(~),,( l⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤Φρ MMnmnmI . Доведення. Знайдемо оцінку ( ) ( ) ( ) .),( ~ ),(),(),( 2sin2sin),( ~ ),(),(),( 2sin2sin),( ~ ),(),(~),,( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −+−≤ ≤ππ−+−≤ ≤ππ−=Φρ dxdyyxfJyxJfdxdyyxJfyxf nydxdymxyxfJyxJfyxJfyxf nydxdymxyxfJyxfnmnmI Отже, ( ) ( ) ( )),(~),,(),(),,(),(~),,( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 nmnmnmnmInmnmI ΦΦρ+Φρ≤Φρ , де ∫ ∫ ππ=Φ 1 0 1 0 2 1 2sin2sin),(),( nydxdymxyxJfnm . Отримаємо оцінку для кожного з доданків. Для першого доданку справедливо таке: ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) .1 16 ~ 44 ~ 2222 ~ ~ ),( 2sin2sin),(),( 2sin2sin),(),(,,, 2 22 2 22 1 22 1 1 11 1 )1,1( 1 1 1 0 1 0 2 1 2 1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/1 l l ll l ll l l l MM yyyyxxxxM dyyydxxxMdxdyddf nydxdymxyxJfyxf nydxdymxyxJfyxfnmnmI j j j j k k k k j j k k k k j j k j k k j j y y j y y j s x x k x x k k k j y y j x x k k j x x y y x x y y k j x x y y = ΔΔ = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − −⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − −= =−−≤ηξηξ≤ ≤ππ−= =ππ−=Φρ + − + − + − + − + − + − + − + − ∑∑ ∑ ∑ ∫∫∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ == = == = = = Тому ( ) ( )( ) .1 16 ~ ,,, 2 2 1 2 1 l MnmnmI ≤Φρ Тепер знайдемо оцінку для ( )),(~),,( 2 1 2 1 nmnm ΦΦρ : ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 5 45 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 224444 ~~ ),(),( ),( ~ ),( ~ ),( ~ ),( ~ ),( ~~ ),( ),( ~ ),(),(~),,( 2 1 2 12 2 12 1 1 ~ 2 1 1 1~ 2 1 1 1 ~ ~ ~ ~ 1 1~ ~ ~ ~ 1 1 ~ ~ ~ ~ )0,1( 1 1~ ~ ~ ~ )1,0( 1 0 1 0 122 1 0 1 0 211 1 0 1 0 122211 1 0 1 0 2112212121 1 0 1 0 2 1 2 1 2 2/1 2/1 2 2/1 2/1 2 2/1 ~ 2/1 ~ 2/1 2/1 2 2/1 2/1 2/1~ 2/1~ 2 2/1 ~ 2/1 ~ 2/1 2/1 ~ 2 2/1 2/1 2/1~ 2/1~ ~ l llll l ll l l ll l l ll l MMMMdyMdxM dxdyxxMdxdyyyM dxdydyfdxdydxf dxdyyxfJJJdxdyyxfJJJ dxdyyxfJJJyxfJJJ dxdyyxfJJJJJJyxfJJJJ dxdyyxfJyxJfnmnm j k y yk j x x j k x x y y k k j x x y y j j k x x y y x x j k j x x y y y y k j j k k k k j j k k j j k k j j k k k j j j = Δ = Δ Δ+ Δ Δ= Δ + Δ ≤ ≤−+−≤ ≤ξξ+ηη≤ =−+−≤ ≤−+−≤ ≤−+−−+= =−≤ΦΦρ ∑∑ ∫∑∑ ∫ ∑∑ ∫ ∫∑∑ ∫ ∫ ∑∑ ∫ ∫ ∫∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = == = = == = = == = + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − Таким чином, ( ) 2 2 1 2 1 2 ),(~),,( l Mnmnm ≤ΦΦρ і ( ) ( )+Φρ≤Φρ ),(),,(),(~),,( 2 1 2 1 2 1 2 1 nmnmInmnmI ( ) .1 216 ~ 1 2 1 16 ~ ),(~),,( 222 2 1 2 1 lll ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +=+≤ΦΦρ+ MMMMnmnm Теорема доведена. 4. Обчислювальний експеримент Нехай ( ) ( )( )yxyxyxf 22cos22cos 2 1),( ++−= , тоді 4 ~ =M , M = 2 і .1 4 51 216 ~ 1 2 1 16 ~ 2222 llll =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +=+=ε MMMM Точні значення інтегралів 8604326.0,00256654)4,3(2165426,0,00430875)4,3( 1951418,0,00878547)3,2(7909237,0,02899778)2,1( 2 1 2 1 2 1 2 1 == == II II Аналіз результатів табл. 1 та 2 підтверджує теоретичні висновки 1. ( ) ε=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤Φρ 2 2 1 2 1 1 216 ~ ),(~),,( l MMnmnmI ; 2. ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ),(~),,(),(),,(),(~),,( ε+ε=ΦΦρ+Φρ≤Φρ nmnmnmnmInmnmI . ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2011, Т. 14, № 5 46 Таблиця 1. Обчислення I1 2(m, n) за квадратурною формулою n)(m,Φ2 1 ~ m n l ),(~ 2 1 nmΦ ( )),(~),,( 2 1 2 1 nmnmI Φρ ε 10 0,02899675888006 0,000001029029177 0,0125 1 2 20 0,028997722732186 0,000000065177052 0,003125 10 0,00878516815062 0,000000303800798 0,0125 20 0,008785452326578 0,00000001962484 0,003125 2 3 30 0,008785468052442 0,000000003898977 0,001388888888889 10 0,004308608143948 0,000000144021479 0,0125 20 0,004308742628912 0,000000009536515 0,003125 3 4 30 0,004308750260989 0,000000001904438 0,001388888888889 10 0,002566464399399 0,000000084204928 0,0125 20 0,002566542991854 0,000000005612472 0,003125 30 0,002566547476052 0,000000001128274 0,0013888888888894 5 40 0,002566548245131 0,000000000359196 0,00078125 Таблиця 2. Похибки обчислення I1 2(m, n) за формулами n)(m,Φ2 1 та n)(m,Φ2 1 ~ m n l ε1 ε2 ε1 + ε2 10 0,000000064804145 0,000000964225032 0,0000010290291771 2 20 0,000000004793151 0,000000060383901 0,000000065177052 10 0,000000012040883 0,000000291759915 0,000000303800798 20 0,000000001331797 0,000000018293043 0,00000001962484 2 3 30 0,00000000028432 0,000000003614657 0,000000003898977 10 0,000000001192014 0,000000142829465 0,000000144021479 20 0,000000000565952 0,000000008970562 0,0000000095365153 4 30 0,000000000131706 0,000000001772732 0,000000001904438 10 0,000000000683359 0,000000084888287 0,000000084204928 20 0,000000000269926 0,000000005342546 0,000000005612472 30 0,000000000072364 0,00000000105591 0,0000000011282744 5 40 0,000000000025053 0,000000000334143 0,000000000359196 Висновки У статті розглядаються кубатурні формули обчислення 2D коефіцієнтів Фур’є з ви- користанням інтерфлетації функцій у випадку, коли значення неосцилюючого множника підінтегральної функції задані у вузлових точках. Отримана оцінка похибки наближеного обчислення через похибку наближення функції f(x, y) оператором-інтерлінантом та похибку наближення оператора-інтерлінанта оператором-інтерполянтом, побудованим на основі опе- ратора інтерлінації, на класі )(1,2 1 MH . Література 1. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Харків: Основа, 2002. – 544 с. 2. Задирака В. К. Цифровая обработка сигналов / В. К. Задирака, С. С. Мельникова. – Киев: Наук. думка, – 1993. – 294 с. 3. Литвин О. М. Оптимальні за порядком точності кубатурні формули обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних з використанням сплайн-інтерлінації функцій / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер. – Харків, 2009. – 136 с. Надійшла до редакції 15.09.11

Схожі ресурси