Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя

Предложен способ решения задачи оптимального управления объектом с распределенными параметрами, который описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа с нестандартными граничными условиями. Способ заключается в дискретизации объекта и переходе к объекту с сосредоточе...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кибернетика и вычислительная техника
Дата:	2015
Автори:	Коцур, М.П., Наконечный, А.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України 2015
Теми:	Интеллектуальное управление и системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110280
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя / М.П. Коцур, А.Г. Наконечный // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 180. — С. 66-82. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860118867376865280
author	Коцур, М.П. Наконечный, А.Г.
author_facet	Коцур, М.П. Наконечный, А.Г.
citation_txt	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя / М.П. Коцур, А.Г. Наконечный // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 180. — С. 66-82. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и вычислительная техника
description	Предложен способ решения задачи оптимального управления объектом с распределенными параметрами, который описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа с нестандартными граничными условиями. Способ заключается в дискретизации объекта и переходе к объекту с сосредоточенными параметрами, для оптимизации которого применяется принцип максимума Понтрягина. Такой метод использован для оптимизации нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения. Рассчитаны оптимальные зависимости тока питания каскадного термоэлектрического модуля от времени, которые обеспечивают минимальную температуру охлаждения. Запропоновано спосіб розв’язування задачі оптимального керування об’єктом з розподіленими параметрами, що описується системою нелiнiйних диференційних рівнянь параболічного типу з нестандартними крайовими умовами. Спосіб полягає у дискретизації об’єкту і переході до об’єкта з зосередженими параметрами, для оптимізації якого використовується принцип максимуму Понтрягіна Такий метод застосовано для оптимізації нестаціонарного процесу термоелектричного охолодження. Розраховано оптимальні залежності струму живлення каскадного термоелектричного модуля від часу, які забезпечують мінімальну температуру охолодження. The purpose of the present paper is to obtain optimality conditions and to develop numerical methods for solving the optimization problem of an unsteady one-dimensional process with distributed parameters, as well as their application to optimization of transient thermoelectric cooling. This method is applied for optimization of transient thermoelectric cooling process. Optimal dependences of current on time have been calculated for stage thermoelectric cooler power supply with the purpose of minimizing the cooling temperature within a preset time interval. Results of computer experiment for one- and two-stage coolers are presented.
first_indexed	2025-12-07T17:37:51Z
format	Article
fulltext	66 УДК 517.977 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМ РЕЖИМОМ КАСКАДНОГО ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ОХЛАДИТЕЛЯ М.П. Коцур 1, А.Г. Наконечный 2 1Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича 2Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко Предложен способ решения задачи оптимального управления объектом с распределенными параметрами, который описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа с нестандартными граничными условиями. Способ заключается в дискретизации объекта и переходе к объекту с сосредоточенными параметрами, для оптимизации которого применяется принцип максимума Понтрягина. Такой метод использован для оптимизации нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения. Рассчитаны оптимальные зависимости тока питания каскадного термоэлектрического модуля от времени, которые обеспечивают минимальную температуру охлаждения. Ключевые слова: объект с распределенными параметрами, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина, оптимизация, нестационарное термоэлектрическое охлаждение. Запропоновано спосіб розв’язування задачі оптимального керування об’єктом з розподіленими параметрами, що описується системою нелiнiйних диференційних рівнянь параболічного типу з нестандартними крайовими умовами. Спосіб полягає у дискретизації об’єкту і переході до об’єкта з зосередженими параметрами, для оптимізації якого використовується принцип максимуму Понтрягіна. Такий метод застосовано для оптимізації нестаціонарного процесу термоелектричного охолодження. Розраховано оптимальні залежності струму живлення каскадного термоелектричного модуля від часу, які забезпечують мінімальну температуру охолодження. Ключові слова: об’єкт з розподіленими параметрами, оптимальне керування, принцип максимуму Понтрягіна, оптимізація, нестаціонарне термоелектричне охолодження. ВВЕДЕНИЕ Развитие теории и методов оптимального управления объектами с распределенными параметрами, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, весьма актуально для многих областей науки и техники. Многие явления и процессы в физике и технике моделируются как объекты с распределенными параметрами. Процессы нагрева и охлаждения тел [2–4], химической диффузии [5], явления деформации и вибрации [6,7], распространение акустических, световых, электромагнитных волн [2, 8], движение потоков жидкостей и газов, процессы квантовой механики [9, 10], газодинамики, горения, химических и ядерных реакций [11–14] — все это примеры объектов с распределенными  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 67 параметрами, которые описываются функциями пространственных координат и времени. Эффективное функционирование таких объектов возможно при решении задач оптимального управления, результатами которых являются оптимальные функции управления. Теория оптимального управления широко используется для оптимизации объектов с сосредоточенными параметрами, состояние которых описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений [15–18]. Для них сформулированы необходимые условия оптимальности, например, принцип максимума Понтрягина [19], на основании которых создаются алгоритмы и компьютерные методы поиска функций управлений, оптимизирующих объект. Развитие теории оптимального управления для объектов с распределенными параметрами и методов определения их характеристик является более сложной проблемой по сравнению с аналогичной задачей для систем с сосредоточенными параметрами, так как приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных, учитывая сложность реальных граничных условий, которые характеризуют поведение объекта. Граничные условия задачи могут содержать частные производные, функции управления и т.п. Необходимые условия оптимальности получены только для некоторых задач с распределенными параметрами с простыми граничными условиями [20–23]. Поэтому актуальной задачей является разработка теории оптимального управления для объектов, которые описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных с нетривиальными граничными условиями. Примером объекта с распределенными параметрами является нестационарный процесс термоэлектрического охлаждения. Самое глубокое охлаждение достигается при использовании каскадного охладителя, работающего в нестационарном режиме. В таких устройствах каждый последующий каскад охлаждает предыдущий, обеспечивая таким образом существенное снижение температуры. Анализ результатов научных исследований [18, 24] показывает, что задачи оптимизации такого объекта были решены только для простейших физических моделей термоэлектрического преобразователя, или вообще не рассматривались. Это объясняется сложностью математической модели нестационарного процесса каскадного охлаждения. Цель работы — разработка метода оптимизации управления нестационарным режимом термоэлектрического охладителя путем построения метода оптимального управления и алгоритма численного решения соответствующей математической задачи оптимизации нестационарных одномерных процессов с распределенными параметрами. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ПРОЦЕССОМ КАСКАДНОГО ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ На примере нестационарного процесса каскадного термоэлектрического охлаждения рассмотрим постановку задачи оптимального управления  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 68 объектом с распределенными параметрами, поведение которого описывается системой дифференциальных уравнений параболического типа с нестандартными граничными условиями. Объектом исследования является охлаждающий каскадный модуль (рис. 1а). Каждый каскад состоит из термоэлементов (рис. 1б), соединенных последовательно в электрическую цепь и параллельно по отношению к тепловому потоку. Каждый термоэлемент содержит две ветви из полупроводниковых материалов n- и p-типов проводимости. При протекании электрического тока указанной на рис. 1а полярности, спай 4 охлаждается вследствие поглощения тепла Пельтье, а противоположный спай нагревается. Для обеспечения более глубокого охлаждения каждый последующий каскад охлаждает предыдущий. Каскады отделены один от другого электроизоляционными пластинами из материала с высокой теплопроводностью. Как правило, электрическое соединение каскадов последовательное, поэтому сила тока в ветвях термоэлементов разных каскадов одинаковая. Охлаждаемый объект размещается на теплопоглощающей поверхности верхнего (холодного) каскада. Обычно путем интенсивного отвода тепла температура горячих спаев термоэлементов нижнего (горячего) каскада поддерживается на уровне температуры окружающей среды. Рис. 1. Схема охлаждающего каскадного модуля (а) и термоэлемента (б). 1 — 1-й (холодный) каскад, 2 — K-й (горячий) каскад, 3 — электроизоляционные пластины, 4 — охлаждающий спай термоэлемента. Нестационарный режим работы каскадного термоэлектрического охладителя описывается системой одномерных уравнений нестационарной теплопроводности в ветвях термоэлементов n- и p-типов проводимости для K-каскадного устройства, которая имеет вид [18]:  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 69 ,,,1 , α ρκ1 )( ,, , )( ,2 , 2 , )( , , , )( , Kk x T Ts IT s I x T xct T k k pnpn pn k pn pn pn k k pn pn kpn k pn K=         ∂ ∂ ∂ ∂ −+        ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (1) где T — температура, I — ток питания ветвей термоэлементов. Начальные условия задачи следующие: ( ) a k pn TxT =0,)( , , (2) Совокупность граничных условий записывается следующим образом: — условие теплового баланса для холодной поверхности первого каскада, на которой находится охлаждаемый объект с теплоемкостью g1, выделяющий тепло q0: ( )     +− ∂ ∂ +−+−= ∂ ∂ )1( 1 )1( )1( 0 1 1 )1( ακ)( ),0( nn n nnanpnH n IT x TsTTssKq g n t tT 0 002)1( 1 )1( 1 )(ακ =     ++− ∂ ∂ + x pn pp p pp s r s rIIT x T s ; (3) — условия теплового баланса между каскадами: = ∂ ∂ + t tT k n ),0()1( −         ++ ∂ ∂ − ∂ ∂ −+= = + Lx pnk k p pp k k n nn k npn k k k s r s rI x T s x TsIT g n )(κκ)αα( 002 )()( )( 1     − ∂ ∂ − ∂ ∂ −+− + + + + + + + 1 )1( 1 )1( )1( 1 1 κκ)αα( k k p pp k k n nn k npn k k x T s x TsIT g n 1,,1,)( 0 002 1 −=     +− =+ Kk s r s rI kxpn K ; (4) — условия равенства температур на спаях n- и p-ветвей: ( ) ( ) KktLTtLTtTtT k n k p k n k p ,,1),,(,),,0(,0 )()()()( K=== , (5) — условия равенства температур между каскадами: ( ) 1,,1),,(,0 )()1( −==+ KktLTtT k n k n K , (6)  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 70 — условие стабилизации температуры основания охладителя: ( ) a N n TtLT =,)( . (7) В этих уравнениях характеристики полупроводниковых материалов ветвей, а именно: коэффициент Зеебека α(T), удельное сопротивление ρ(T), теплопроводность κ(T) являются функциями температуры. Экспериментальные температурные зависимости этих характеристик аппроксимируются полиномами. Удельная теплоемкость cn,p, площадь сечения ветвей sn,p, их длина L, количество термоэлементов в каскадах nk, электрическое контактное сопротивление r0, коэффициент теплообмена KH холодной поверхности устройства с окружающей средой, теплоемкости охлаждаемого объекта и электроизоляционных пластин gk, мощность тепловой нагрузки q0, температура окружающей среды Ta являются константами. Током I, который протекает в ветвях и обеспечивает охлаждение, можно управлять, меняя во времени его величину в диапазоне I∈GI, GI={0, Imax}. Одна из рациональных оптимизационных задач заключается в определении оптимальной функции тока I(t), которая минимизирует температуру охлаждения ),0()1( θnT каскадного устройства за определенный промежуток времени θ. Анализ публикаций [18, 24, 25] позволяет утверждать, что до настоящего времени для общего случая зависимых от температуры характеристик материалов термоэлемента αn,p(T), ρn,p(T), κn,p(T) способов решения данной задачи для каскадного охладителя не предложено. СПОСОБ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ Эффективным способом решения задачи оптимизации объекта с распределенными параметрами является его дискретизация и переход к объекту с сосредоточенными параметрами, поведение которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Переход в уравнениях (1), (3) к безразмерной координате L xx k= , )1,0(∈x и их дискретизация по х позволяют записать уравнения (1), (3) в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующим образом. Обозначим неизвестные температуры )(, xT k pn через imkT ,, , где индексы означают: Kk ,,1 K= — номер каскада; m = 1, 2 — номер ветви (m = 1 — n-ветвь, m = 2 — р-ветвь); 1,,1 += Ni K — номер узла по координате (N = 1/h, h — шаг по координате). Тогда дискретизированные уравнения (1), (3), (4) запишутся в виде системы  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 71 KkF t dT k k ,,1,1,1, K== ∂ , NimKkf t dT imk imk ,,1,2,1,,,1,,, ,, KK ==== ∂ , (8) с начальными условиями ( ) 1,,1,2,1,,,1,0,, +==== NimKkTT aimk KK , (9) и дополнительными условиями на границах (5)–(7), которые принимают вид ( ) ( ) ( ) ( ) KktTtTtTtT NkNkkk ,,1,, 1,1,1,2,1,1,1,2, K=== ++ , ( ) ( ) 1,,1,1,1,11,1, −== ++ KktTtT kNk K , ( ) aNK TtT =+1,1, . (10) Fk и fk,mi — дискретизированные правые части уравнений (1), (3), (4), которые принимают вид [ +−+−= ))(( 1,1,10 1 1 1 apnH TTssKq g nF +− − + 1,1,11,1,1 1,1,12,1,1 1,1,1 )()(α)(κ TtIT h TT L sT n n n     ++− − + )11()()()(α)(κ 0 2 1,2,11,2,1 1,2,12,2,1 1,2,1 pn p p p ss rtITtIT h TT L s T , (11)    + − −= −+− +− − h TT L sT g nF NkNkn Nkn k k k ,1,11,1,1 1,1,1 1 )(κ + − −+ −+− +−+−+− h TT L s TTtIT NkNkp NkpNkNkn ,2,11,2,1 1,2,11,1,11,1,1 )(κ)()(α −     +++ +−+− )11()()()(α 0 2 1,2,11,2,1 pn NkNkp ss rtITtIT    −+ − −− 1,1,1,1, 1,1,2,1, 1,1, )()(α)(κ kkn kkn kn k k TtIT h TT L sT g n     +−+ − − )11()()()(α)(κ 0 2 1,2,1,2, 1,2,2,2, 1,2, pn kkp kkp kp ss rtITtIT h TT L s T , Kk ,,2 K= , (12)  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 72 [ ++−= +++ imkimkmimkmimkimkm m imk TTTTT hLc f ,,,,1,,1,,1,,22,, ))(κ)(κ()(κ1 ] , )(α)()()(ρ)(κ 1,,,,,,,, 2 2 ,,1,,,, h TT T T Lsc TtI sc tITTT imkimkimkm mm imk mm imkmimkimkm − − − ∂ ∂ −++ NimKk ,,2,2,1,,,1 KK === . (13) Задача состоит в определении оптимальной функции управления I(t), которая обеспечивает минимум функционала Φ: )θ(1,1,1T=Φ . (14) Такая оптимизационная задача относится к задачам со свободным правым концом и фиксированным временем. Решение такой оптимизационной задачи определяется принципом максимума Понтрягина [19]. Для каждого момента времени t должно удовлетворяться условие максимума ))(ψ,),((max))(ψ),(),(( tItTHttItTH IGI∈ = , (15) где функция Гамильтона H имеет вид ∑ ∑ ∑ = = =         +Ψ= K k m N i imkimkkk fFH 1 2 1 2 ,,,,ψ . (16) Вспомогательные (сопряженные T) переменные Ψk, ψk,m,i должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений ,ψψ 1,2,1 2,2,1 2,2,1 1,1,1 2,1,1 2,1,1 1,2,1 1 1,1,1 1 1 1 T f T f T F T F dt d ∂ ∂ − ∂ ∂ −        ∂ ∂ + ∂ ∂ Ψ−= Ψ − ∂ ∂ −        ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Ψ−= Ψ +−+− 1,1, 2,1, 2,1, 1,2,11,1,11,2,1,1, ψ k k k Nk k Nk k k k k k k k T f T F T F T F T F dt d Kk T f T f T f Nk Nk Nk Nk Nk Nk k k k ,...,2,ψψψ 1,2,1 ,2,1 ,2,1 1,1,1 ,1,1 ,1,1 1,2, 2,2, 2,2, = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − +− − − +− − − , (17) ,2,1,...,,1,ψψ ψ 2,, 3,, 3,, 2,, 2,, 2,, 2,, 2,, == ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ Ψ−= mKk T f T f T F dt d mk mk mk mk mk mk mk k k mk − ∂ ∂ − ∂ ∂ −= − − imk imk imk imk imk imk imk T f T f dt d ,, ,, ,, ,, 1,, 1,, ,, ψψ ψ ,1,...,3,2,1,,...,1,ψ ,, 1,, 1,, −=== ∂ ∂ − + + NimKk T f imk imk imk  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 73 ,ψψ ψ ,, 1 1 ,, ,, ,, ,, 1,, 1,, ,, Nmk k k Nmk Nmk Nmk Nmk Nmk Nmk Nmk T F T f T f dt d ∂ ∂ Ψ− ∂ ∂ − ∂ ∂ −= + + − − ,2,1,1,...1 =−= mKk .2,1,ψψ ψ ,, ,, ,, ,, 1,, 1,, ,, = ∂ ∂ − ∂ ∂ −= − − m T f T f dt d NmK NmK NmK NmK NmK NmK NmK с конечными условиями в виде ,1)θ(1 −=Ψ ,...,,2,0)θ( Kkk ==Ψ ....,,2,2,1,...,,1,0)θ(ψ ,, NimKkimk ==== (18) Производные в уравнениях (17) учитывают дополнительные условия (10). Совокупностью уравнений (8)–(18) определяется решение поставленной оптимизационной задачи нестационарного термоэлектрического охлаждения. АЛГОРИТМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Нелинейность правых частей основных дифференциальных уравнений (1), (3), (4) и сложность задачи в целом позволяют решить ее только численными методами. Для этого можно воспользоваться следующим алгоритмом метода последовательных приближений. Задаем начальное приближение функции управления, например, в виде 0 )0( )( ItI = , где IGI ∈0 . 1. С этим приближением решаем основную систему дифференциальных уравнений (8) с начальными условиями (9), учитывая дополнительные условия (10), и находим вектор-функцию состояний объекта T(t). Для численного метода решения этой системы можно использовать метод конечных разностей. 2. Определяем значение функционала Φ (14). 3. Вычисленную вектор-функцию состояния объекта T(t) и начальное приближение I(0)(t) используем для решения вспомогательной системы (17) с конечными условиями (18), чтобы вычислить вектор-функции Ψ(t), ψ(t). Для численного решения системы (17) можно применить метод конечных разностей. 4. Используем решения основной и вспомогательной систем для вычисления максимальных значений функции Гамильтона H (16) по переменной I для каждого момента времени t. Для выбора оптимального значения I из области GI можно воспользоваться, например, методом золотого сечения. Получим новое приближение вектор-функции управления I(1)(t).  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 74 5. С новой функцией управления решаем основную систему уравнений (8)–(10) и определяем новое значение функционала Φ (14). Повторяем итерационный процесс до достижения изменения функционала Φ в пределах заданной точности. Такой алгоритм можно реализовать компьютерными методами и найти решение поставленной оптимизационной задачи. РЕЗУЛЬТАТЫ ОПТИМИЗАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ Оценки характеристик нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения проводились на примерах одно- и двухкаскадного модулей, ветви которых изготовлены из полупроводниковых материалов на основе Bi-Te n- и p-типа проводимости. Типичные экспериментальные температурные зависимости термоэлектрических параметров αn,p(T), ρn,p(T), κn,p(T) этих материалов [18] аппроксимировались полиномами и использовались для расчетов. Теплоемкость материалов n- и p-типов предполагалась одинаковой и равной с = 1.4 Дж/см3. Оценки выполнялись для термоэлементов с высотой ветвей L = 0.14 см, площадью поперечного сечения sn,p = 0.1×0.1см2, величиной контактного сопротивления r0 = 5⋅10-6 Ом⋅см2. Учитывался теплообмен теплопоглощающей поверхности модулей с окружающей средой, температура которой T0 = 300К, коэффициент теплообмена KH = 10-3 Вт/см2К. Рассматривалась работа модулей в режиме без тепловой нагрузки, т.е. количество тепла, выделяемого охлаждаемым объектом, принималось равным q0 = 0 Вт. Теплоемкость изоляционных пластин в расчете на один термоэлемент равнялась gk/nk=0.0012 Дж/К, коэффициент каскадирования для 2-каскадного модуля nk-1/nk=1/2. Предложенный алгоритм решения задачи оптимизации нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения был реализован компьютерными методами в среде MATLAB. Сначала задача (8)–(10) решалась для одно- и двухкаскадного охладителей при условии их питания постоянным током I. Примеры решения задачи, которые демонстрируют поведение нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения, показаны на рис. 2–3. На рис. 2 показано, как изменяется температура охлаждения Tc во времени t при различных значениях постоянного тока питания однокаскадного охладителя. Аналогичные данные были получены в работе [26] несколько иным методом. Сравнение результатов, полученных двумя различными способами, показало, что они совпадают с точностью до 1–1.5%. На рис. 3 приведены зависимости Tc(t) для двухкаскадного устройства. Тут также показано поведение межкаскадной температуры (пунктирные линии).  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 75 Рис. 2. Зависимости температуры охлаждения Tc от времени t для однокаскадного устройства при питании постоянным током І. На рис. 2, 3 видно, что температура охлаждения в начальные моменты времени понижается, а затем зависимости Tc(t) достигают насыщения, т. е. значений температуры в стационарном режиме. Очевидно, что сущест- вует оптимальное значение тока, при котором достигается самая низкая температура охлаждения. Минимальная температура на однокаскадном охладителе достигается при значении тока Iopt = 3А и равна Tc = 228К, на двухкаскадном Tc = 207К при Iopt = 2.5А. Время выхода однокаскадного модуля в стационарный режим составляет приблизительно θ = 5 с, у двухкас- кадного модуля θ = 8 с. Таким образом, максимальный перепад температур, который достигается на однокаскадном модуле при q0 = 0 в стационарном режиме, равен ∆Tmax = 72 К, на двухкаскадном ∆Tmax = 93 К. Такие темпера- турные перепады соответствуют уровню охлаждения однокаскадных и двух- каскадных термоэлектрических модулей промышленного производства [27].  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 76 Рис. 3. Зависимости температуры охлаждения Tc от времени t для двухкаскадного устройства при питании постоянным током І. Определенные таким образом оптимальные значения тока Iopt использовались в качестве начального приближения для поиска оптимальных функций управления I(t) нестационарными процессами одно- и двух- каскадного термоэлектрического охлаждения. Примеры результатов расчета оптимальных функций тока питания для одно- и двухкаскадных модулей приведены на рис. 4, 5 соответственно. Тут показаны рассчитанные оптимальные зависимости тока от безразмерного параметра времени I(t/θ), которые минимизируют температуру охлаждения модулей Tc в разные конечные моменты времени θ. На этих же рисунках показано, как понижается температура охлаждения Tc в зависимости от времени при использовании таких оптимальных функций тока. Температура, которая достигается за время θ = 5 c на однокаскадном модуле равна Tc = 218 К, что на 10 К ниже минимальной температуры в стационарном режиме. Аналогичные результаты были получены в работе [26] путем использования вариационного метода для поиска оптимальных функций тока, минимизирующих температуру охлаждения однокаскадного устройства. При одинаковых исходных данных для решения задачи результаты совпадают с точностью до 1.5–2%.  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 77 На двухкаскадном модуле достигается Tc = 197 К за θ=12 c, что на 10 К ниже минимальной температуры в стационарном режиме. Рис. 4. Оптимальные зависимости тока I и соответствующие зависимости температуры охлаждения Tc однокаскадного модуля от безразмерного параметра времени t/θ для различных интервалов времени θ. Рис. 5. Оптимальные зависимости тока I и соответствующие зависимости температуры охлаждения Tc двухкаскадного модуля от безразмерного параметра времени t/θ для различных интервалов времени θ. На рис. 6 показано, какую минимальную температуру можно достичь за различные промежутки времени при использовании оптимальных функций тока питания одно- и двухкаскадного модулей. Эти же данные демонстри- руют, за какое минимальное время достигается заданная температура охлаждения.  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 78 Рис. 6. Минимальная температура Tc нестационарного охлаждения, которая достигается за разные промежутки времени t однокаскадным (1) и двухкаскадным (2) охладителями при использовании оптимальных функций тока питания. Таким образом, полученные результаты оптимизации нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения доказывают, что применение оптимальных функций тока позволяет достичь существенно более низких температур, чем это возможно при использовании постоянного тока. ВЫВОДЫ Дискретизация по координате объектов с распределенными параметра- ми, поведение которых описывается нелинейной системой дифференциаль- ных уравнений параболического типа, дает возможность применить принцип максимума Понтрягина для моделирования оптимальных функций управ- ления и является одним из рациональных способов решения задач опти- мального управления такими объектами. Примером такой задачи является оптимизация процесса нестационарного термоэлектрического охлаждения, результаты решения которой показали, что рассчитанные оптимальные зависимости тока питания от времени для одно- и двухкаскадного термоэлектрических модулей обеспечивают в нестационар- ном режиме температуру охлаждения на 10 К ниже минимальной температу- ры в стационарном режиме. Это свидетельствует о перспективности исполь- зования нестационарных режимов термоэлектрических устройств, рацио- нальное функционирование которых возможно лишь при решении задач оптимального управления такими режимами. 1. Ahmed N.U. Distributed Parameter Systems / N.U. Ahmed // Encyclopedia of Physical Science and Technology (Third Edition). Academic PRESS, 2003. — P. 561–587.  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 79 2. Alessandri S.A. Feedback Optimal Control of Distributed Parameter Systems by Using Finite-Dimensional Approximation Schemes / S.A. Alessandri, M. Gaggero, R. Zoppoli // IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. — 2012. — Vol. 23, No. 6. — P. 984–995. 3. Guangcao Ji. Optimal Boundary Control of the Heat Equation with Target Function at Terminal Time / Ji Guangcao, Martin Clyde // Applied Mathematics and Computation. — 2002. — Vol. 127. — P. 335–345. 4. Bokhari M.A. Optimal Control of Parabolic Systems with Infinite Time Horizons / M.A. Bokhari, I.S. Sadek // Applied Mathematics and Computation. — 2008. — Vol. 206. — P. 678–684. 5. El-Farra N.H. Analysis and Control of Parabolic PDE Systems with Input Constraints / N.H. El-Farra, A. Armaou, P.D. Christofides // Automatica. — 2003. — Vol. 39. — P. 715–725. 6. Kucuka I. Optimal Control of a Distributed Parameter System with Applications to Beam Vibrations Using Piezoelectric Actuators / I. Kucuka, I. Sadeka, Y. Yilmazc // Journal of the Franklin Institute. — 2014. — Vol. 351, issue 2. — P. 656–666. 7. Zuyev A. Partial Asymptotic Stabilization of Nonlinear Distributed Parameter Systems / A. Zuyev // Automatica. — 2005. — Vol. 41. — P. 1–10. 8. Zuazua E. Propagation, Observation, and Control of Waves Approximated by Finite Difference Methods / E. Zuazua / SIAM Rev. — 2005. — Vol. 47, No. 2. — P. 197–243. 9. Krstic M. Boundary Controllers and Observers for the Linearized Schrödinger Equation / M. Krstic, B.-Z. Guo, A. Smyshlyaev // SIAM J. Control Opt. — 2011. — Vol. 49, No. 4. — P. 1479–1497. 10. Subas M. An Otimal Control Problem Governed by the Potential of a Linear Schrodinger Equation / M. Subas // Applied Mathematics and Computation. — 2002. — Vol. 131. — P. 95–106. 11. Alvarez-Vazquez L.J. Optimal Control of a Bioreactor / L.J. Alvarez-Vazquez, F.J. Fernandez // Applied Mathematics and Computation. — 2010. — Vol. 216. — P. 559–575. 12. Ryu Sang-Uk. Optimal Control for an Adsorbate-Induced Phase Transition Model / Sang-Uk Ryu, Atsushi Yagi // Applied Mathematics and Computation. — 2005. — Vol. 171. — P. 420–432. 13. Hoffman K.H. Optimal Control of a Phase Field Model for Solidification / K.H. Hoffman, L. Jiang // Numer. Funct. Anal. and Optimiz. — 1992. — Vol. 13, No. 1&2. — P. 11–27. 14. Muresan V. Cascade Control of a Residual Water Blunting System / V. Muresan, M. Abrudean, M. Unguresan, T. Colosi // Advances in Electrical and Computer Engineering. — 2014. — Vol. 14, No. 2. — P. 135–144. 15. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузными процессами / А.И. Егоров. — M.: Наука, 1978. — 463 с. 16. Geering Hans P. Optimal Control with Engineering Applications / Hans P. Geering. — NewYork, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. — 134 p. 17. Sethi Suresh P. Optimal Control Theory. Applications to Management Science and Economics / Suresh P. Sethi, Gerald L. Thompson. — Springer Science+Business Media, Inc., 2000. — 505 p. 18. Анатычук Л.И. Оптимальное управление свойствами термоэлектрических материалов и приборов / Л.И. Анатычук, В. А. Семенюк. — Черновцы: Прут, 1992. — 263 с. 19. Математическая теория оптимального управления / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1976. — 392 с. 20. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. — М.: Наука, 1965. — 474 с. 21. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов. — М.: Наука, 1977. – 479 с. 22. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 352 с.  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 80 23. Шевяков А.А. Управление тепловыми объектами с распределенными параметрами / А.А. Шевяков, Р.В. Яковлєва. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 208 с. 24. Анатычук Л.И. Термоэлектричество. Том II. Термоэлектрические преобразователи энергии / Л.И. Анатычук. — Киев, Черновцы: Институт термоэлектричества, 2003. — 376 с. 25. Yang Ronggui. Transient cooling of thermoelectric coolers and its applications for microdevices / Ronggui Yang, Gang Chen, A. Ravi Kumar, G. Jeffrey Snyder, Jean-Pierre Fleurial // Energy Conversion and Management. — 2005. — Vol. 46. — P.1407–1421. 26. Коцур М.П. Наближений метод оптимального керування в задачах нестаціонарного термоелектричного охолодження / М.П. Коцур // Журнал oбчислювальної та прикладної математики. — 2013. — № 4 (114). — С. 37–47. 27. Однокаскадные термоэлектрические модули. Available at: http://www.kryothermtec.com/ru/standsard-single-stage-thermoelectric-coolers.html. Двухкаскадные термоэлектрические модули. Available at: http://www.kryothermtec.com/ru/2-stage-thermoelectric-coolers.html. UDC 517.977 OPTIMAL CONTROL BY TRANSIENT MODE OF STAGE THERMOELECTRIC COOLER M.P. Kotsur 1, А.G. Nakonechniy 2 1Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University 2Taras Shevchenko National University of Kyiv Introduction. A large variety of optimization problems is related to distributed parameter systems (DPSs), whose behavior is described by partial differential equations. The optimal control theory is widely employed for optimization of lumped parameter systems (LPSs), which are modeled by ordinary differential equations. Development of the theory and methods for obtaining optimal control functions for DPSs is much more difficult as compared with solving such problem for LPSs. The purpose of the present paper is to obtain optimality conditions and to develop numerical methods for solving the optimization problem of an unsteady one-dimensional process with distributed parameters, as well as their application to optimization of transient thermoelectric cooling. Methods. A method is proposed for solving of optimal control problem for DPS described by nonlinear partial differential equations of parabolic type with nonstandard boundary conditions. A method consists in coordinate discretization of distributed object and transition to the problem for LPS. Optimal control theory based on the Pontryagin maximum principle can be used for such system optimization. Results. This method is applied for optimization of transient thermoelectric cooling process. Optimal dependences of current on time have been calculated for stage thermoelectric cooler power supply with the purpose of minimizing the cooling temperature within a preset time interval. Results of computer experiment for one- and two-stage coolers are presented. Conclusion. The obtained results show that the implementation of optimal functions for cooler power supply can provide the cooling temperature in transient mode by 10 K lower than minimum temperature reached at direct current.  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 81 Keywords: distributed parameter system, optimal control, Pontryagin maximum principle, optimization, transient thermoelectric cooling. 1. Ahmed N.U. Distributed Parameter Systems. Encyclopedia of Physical Science and Technology (Third Edition), Academic PRESS, 2003, pp. 561–587. 2. Alessandri S.A., Gaggero M., Zoppoli R. Feedback Optimal Control of Distributed Parameter Systems by Using Finite-Dimensional Approximation Schemes. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2012, vol. 23, no. 6, pp. 984–995. 3. Guangcao Ji, Clyde Martin. Optimal Boundary Control of the Heat Equation with Target Function at Terminal Time. Applied Mathematics and Computation, 2002, vol. 127, pp. 335–345. 4. Bokhari M.A., Sadek I.S. Optimal Control of Parabolic Systems with Infinite Time Horizons. Applied Mathematics and Computation, 2008, vol. 206, pp. 678–684. 5. El-Farra N.H., Armaou A., Christofides P.D. Analysis and Control of Parabolic PDE Systems with Input Constraints. Automatica, 2003, vol. 39, pp. 715–725. 6. Kucuka I., Sadeka I., Yilmazc Y. Optimal Control of a Distributed Parameter System with Applications to Beam Vibrations Using Piezoelectric Actuators. Journal of the Franklin Institute, 2014, vol. 351, issue 2, February, pp. 656–666. 7. Zuyev A. Partial Asymptotic Stabilization of Nonlinear Distributed Parameter Systems. Automatica, 2005, vol. 41, pp. 1–10. 8. Zuazua E. Propagation, Observation and Control of Waves Approximated by Finite Difference Methods. SIAM Rev., 2005, vol. 47, no. 2, pp. 197–243. 9. Krstic M., Guo B.-Z., Smyshlyaev A. Boundary Controllers and Observers for the Linearized Schrödinger Equation. SIAM J. Control Opt., 2011, vol. 49, no. 4, pp. 1479–1497. 10. Subas M. An Otimal Control Problem Governed by the Potential of a Linear Schrodinger Equation. Applied Mathematics and Computation, 2002, vol. 131, pp. 95–106. 11. Alvarez-Vazquez L.J., Fernandez F.J. Optimal Control of a Bioreactor. Applied Mathe- matics and Computation, 2010, vol. 216, pp. 559–575. 12. Ryu Sang-Uk, Yagi Atsushi. Optimal Control for an Adsorbate-Induced Phase Transition Model. Applied Mathematics and Computation, 2005, vol. 171, pp. 420–432. 13. Hoffman K.H., Jiang L. Optimal Control of a Phase Field Model for Solidification. Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 1992, vol. 13, no. 1&2, pp. 11–27. 14. Muresan V., Abrudean M., Unguresan M., Colosi T. Cascade Control of a Residual Water Blunting System. Advances in Electrical and Computer Engineering, 2014, vol. 14, no. 2, pp. 135–144. 15. Egorov A.I. Optimal control by thermal and diffuse processes. Moscow: Science, 1978, 463 p. (in Russian). 16. Geering Hans P. Optimal Control with Engineering Applications. NewYork, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. 134 p. 17. Sethi Suresh P. Optimal Control Theory. Applications to Management Science and Economics. Springer Science+Business Media, Inc., 2000. 505 p. 18. Anatychuk L.I. Optimal Control by Properties of Thermoelectric Materials and Devices. Chernivtsi: Prut, 1992. 263 p. (in Russian). 19. Pontryagin L.S. , Boltyanski V.G., Gamkrelidze R.S., Mischenko E.F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. Moscow: Nauka, 1976. 392 p. (in Russian). 20. Butkovskii A.G. Theory of Optimal Control by Distributed Parameters Systems. Мoscow: Nauka, 1965. 474 p. (in Russian). 21. Sirazetdinov T.K. Optimization of Distributed Parameters Systems. Мoscow: Nauka, 1977. 479 p. (in Russian). 22. Fursikov A.V. Optimal Control by Distributed Systems. Theory and Application. Novosibirsk: Nauchnaya Kniga, 1999. 352 p. (in Russian). 23. Shevyakov A.A., Yakovleva R.V. Control by Thermal Objects with Distributed Parameters. Мoscow: Energoatomizdat, 1986. 208 p. (in Russian).  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180 82 24. Anatychuk L.I. Thermoelectricity. Vol. II. Thermoelectric Energy Convectors. Kiev, Chernovtsi: Institute of Thermoelectricity, 2003. 376 p. 25. Yang Ronggui, Chen Gang, Kumar A. Ravi, Snyder G. Jeffrey, Fleurial Jean-Pierre. Transient Cooling of Thermoelectric Coolers and its Applications for Microdevices. Energy Conversion and Management, 2005, vol. 46, pp.1407–1421. 26. Kotsur M.P. Approximate Method of Optimal Control in Problems of Transient Thermoelectric Cooling. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2013, vol. 114, no. 4, pp. 37-47. (in Ukrainian) 27. One-stage thermoelectric modules. Available at: http://www.kryothermtec.com/ru/standsard- single-stage-thermoelectric-coolers.html. Two-stage thermoelectric modules. Available at: http://www.kryothermtec.com/ru/2-stage- thermoelectric-coolers.html. Получено 18.02.2015  М.П. Коцур, А.Г. Наконечный, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 180
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-110280
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0452-9910
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:37:51Z
publishDate	2015
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
record_format	dspace
spelling	Коцур, М.П. Наконечный, А.Г. 2017-01-02T20:13:06Z 2017-01-02T20:13:06Z 2015 Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя / М.П. Коцур, А.Г. Наконечный // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 180. — С. 66-82. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110280 517.977 Предложен способ решения задачи оптимального управления объектом с распределенными параметрами, который описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа с нестандартными граничными условиями. Способ заключается в дискретизации объекта и переходе к объекту с сосредоточенными параметрами, для оптимизации которого применяется принцип максимума Понтрягина. Такой метод использован для оптимизации нестационарного процесса термоэлектрического охлаждения. Рассчитаны оптимальные зависимости тока питания каскадного термоэлектрического модуля от времени, которые обеспечивают минимальную температуру охлаждения. Запропоновано спосіб розв’язування задачі оптимального керування об’єктом з розподіленими параметрами, що описується системою нелiнiйних диференційних рівнянь параболічного типу з нестандартними крайовими умовами. Спосіб полягає у дискретизації об’єкту і переході до об’єкта з зосередженими параметрами, для оптимізації якого використовується принцип максимуму Понтрягіна Такий метод застосовано для оптимізації нестаціонарного процесу термоелектричного охолодження. Розраховано оптимальні залежності струму живлення каскадного термоелектричного модуля від часу, які забезпечують мінімальну температуру охолодження. The purpose of the present paper is to obtain optimality conditions and to develop numerical methods for solving the optimization problem of an unsteady one-dimensional process with distributed parameters, as well as their application to optimization of transient thermoelectric cooling. This method is applied for optimization of transient thermoelectric cooling process. Optimal dependences of current on time have been calculated for stage thermoelectric cooler power supply with the purpose of minimizing the cooling temperature within a preset time interval. Results of computer experiment for one- and two-stage coolers are presented. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Интеллектуальное управление и системы Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя Optimal control by transient mode of stage thermoelectric cooler Article published earlier
spellingShingle	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя Коцур, М.П. Наконечный, А.Г. Интеллектуальное управление и системы
title	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя
title_alt	Optimal control by transient mode of stage thermoelectric cooler
title_full	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя
title_fullStr	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя
title_full_unstemmed	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя
title_short	Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя
title_sort	оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя
topic	Интеллектуальное управление и системы
topic_facet	Интеллектуальное управление и системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110280
work_keys_str_mv	AT kocurmp optimalʹnoeupravlenienestacionarnymrežimomkaskadnogotermoélektričeskogoohladitelâ AT nakonečnyiag optimalʹnoeupravlenienestacionarnymrežimomkaskadnogotermoélektričeskogoohladitelâ AT kocurmp optimalcontrolbytransientmodeofstagethermoelectriccooler AT nakonečnyiag optimalcontrolbytransientmodeofstagethermoelectriccooler

Оптимальное управление нестационарным режимом каскадного термоэлектрического охладителя

Репозитарії

Схожі ресурси