Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам

Исследована возможность применения метода структурно-параметрической идентификации систем с одним входом и одним выходом для построения аппроксимирующих моделей систем с несколькими входами и выходами. Предложен алгоритм, основанный на объединении моделей, соответствующих динамике исследуемого объек...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Кибернетика и вычислительная техника
Datum:	2015
1. Verfasser:	Мельничук, С.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України 2015
Schlagworte:	Интеллектуальное управление и системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110293
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам / С.В. Мельничук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 181. — С. 66-80. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860036870990200832
author	Мельничук, С.В.
author_facet	Мельничук, С.В.
citation_txt	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам / С.В. Мельничук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 181. — С. 66-80. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и вычислительная техника
description	Исследована возможность применения метода структурно-параметрической идентификации систем с одним входом и одним выходом для построения аппроксимирующих моделей систем с несколькими входами и выходами. Предложен алгоритм, основанный на объединении моделей, соответствующих динамике исследуемого объекта по отдельным входам и отдельным выходам, в одну многосвязную модель. Досліджено можливість застосування методу структурно-параметричної ідентифікації систем з одним входом та одним виходом для побудови апроксимуючих моделей систем з багатьма входами та виходами. Запропоновано алгоритм, заснований на об'єднанні моделей, які відповідають динаміці об’єкту дослідження за окремими входами та окремими виходами, в одну багатозв’язну модель. In order to generalize the method it is proposed to identify SISO models of subsystems, that describes individual inputs and outputs, and then combine them. The main purpose of research is to develop an algorithm, that combine separate SISO models into one general MIMO model. Separate SISO models determined by their invariant properties. As simple combination of SISO models leads to a MIMO model of large dimension, and some invariant properties in different models may be similar, it makes sense to carry out unification by equating this invariants.
first_indexed	2025-12-07T16:54:14Z
format	Article
fulltext	66 УДК 681.5 МЕТОД СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ С.В. Мельничук Институт космических исследований НАН Украины и ГКА Украины Исследована возможность применения метода структурно-параметрической идентификации систем с одним входом и одним выходом для построения аппроксимирующих моделей систем с несколькими входами и выходами. Предложен алгоритм, основанный на объединении моделей, соответствующих динамике исследуемого объекта по отдельным входам и отдельным выходам, в одну многосвязную модель. Ключевые слова: системная идентификация, многосвязная система, частотные характеристики, аппроксимирующая модель. Досліджено можливість застосування методу структурно- параметричної ідентифікації систем з одним входом та одним виходом для побудови апроксимуючих моделей систем з багатьма входами та виходами. Запропоновано алгоритм, заснований на об'єднанні моделей, які відповідають динаміці об’єкту дослідження за окремими входами та окремими виходами, в одну багатозв’язну модель. Ключові слова: системна ідентифікація, багатозв’язна система, частотні характеристики, апроксимуюча модель. ВВЕДЕНИЕ Одним из активно развиваемых направлений в теории идентификации линейных динамических систем являются частотные методы, основанные на использовании характеристик объектов в частотной области. Общим для методов этого направления являются исходные данные — частотные характеристики, получаемые в результате фильтрации экспериментальных выходных сигналов. Теория и методы построения линейных стационарных моделей для объектов управления по частотным характеристикам имеют большую историю [1]. В ранних исследованиях по частотной идентификации разрабатываемые методы не учитывали влияния внешних возмущений либо предполагали их белошумными. Существенное продвижение в теории идентификации в условиях неопределенности было достигнуто в последние десятилетия и связано с разработкой конечно-частотного подхода [1 - 3]. В [1] был предложен метод, позволяющий находить модели линейных многосвязных систем в условиях ограниченной неопределенности, когда на внешние возмущения накладываются лишь условия их ограниченности по норме. Метод предполагал проведение параметрической идентификации: структура модели считалась априори известной. Необходимость априорного знания структуры существенно ограничивает область возможных применений, а попытки построения моделей большой размерности в условиях неопределенности приводят к неустойчивости  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 67 получаемых решений из-за характерного для задач идентификации свойства некорректности. В развитие конечно-частотного подхода [4, 5] был предложен метод структурно-параметрической идентификации, позволяющий строить редуцированные модели, аппроксимирующие поведение исходной системы с одним входом и одним выходом (англ.: single input single output — SISO) по выходному сигналу, а также исследован вопрос выбора размерности модели с точки зрения обеспечения корректности задачи [5]. Переход к идентификации аппроксимирующих моделей более низкого порядка, чем действительная исходная система, привел к необходимости разрешения ряда возникших проблем. Для устранения возможного попадания собственных чисел модели в область неустойчивости была предложена модификация метода [6]. Нерешенной оставалась проблема идентификации многосвязных систем, рассмотренная в данной работе. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть поведение исследуемого объекта задается линейной устойчивой стационарной динамической системой с несколькими входами и несколькими выходами (англ.: multiple input multiple output — MIMO) в пространстве состояний [ ],τ,0∈ ,η , t Cxy BuAxx += +=& (1) где NRMNNN RCRBRA ××× ∈∈∈ ,, — неизвестные матрицы системы, N — большая неизвестная размерность системы, M — количество входов, R — количество выходов, ( )txx = — вектор состояния, ( ) ( ) ( )( )TM tututuu K1== — вектор входного сигнала, ( ) ( ) ( )( )TR tytytyy K1== — вектор выходного сигнала, ( ) ( ) ( )( )TR ttt ηηηη 1 K== –— аддитивный шум на выходе, τ — длительность интервала наблюдения. Исследователю доступны данные ( )tu и ( )ty . Идентификация производится в условиях ограниченной неопределенности: ( ) εη ≤t . Искомым решением будет MIMO модель ,ˆ ,ˆˆ xCy uBxAx = +=& (2) с найденными матрицами CBA ˆ,ˆ,ˆ , которая, в некотором смысле, наилучшим образом приближает исходную систему (1) по выходу ( )ty при любом входном ( )tu и для любых случайных реализаций ( )tη , удовлетворяющих условию ограниченности по норме с заданным ε .  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 68 Метод идентификации многосвязной системы будет основываться на получении набора SISO подсистем для каждой пары входа и выхода с дальнейшим объединением их в одну систему. Рассмотрим отдельную подсистему — i -ый вход, j -ый выход: [ ],τ,0∈ ,η , t xcy ubxAx jjj iiij += +=& (3) где ib — вектор-столбец, jc — вектор-строка, ijA — квадратная матрица размерности ijN . Алгоритм идентификации SISO системы (3) описан в [4-6]. Модель восстанавливается в Жордановой форме: [ ],τ,0∈ ,ηˆ ,ˆˆ t xcy ubxAx jjj iiij += +=& (4) где ib̂ и jĉ — соответствующие оценки, ijÂ — квадратная матрица размерности ijij NN ≤ˆ . Матрица ijÂ не имеет кратных собственных чисел и является блочно- диагональной. Каждый блок отвечает комплексно-сопряженной паре собственных значений pijpijpij i ,,, β̂α̂λ̂ ±= . Действительным собственным числам будут соответствовать блоки 0β̂ , =pij . Размерность ijN̂ равна количеству собственных значений. Количество блоков ijP соответственно будет не менее 2/ˆ ijN и не более ijN̂ . ( ) .,1 0,β̂,0α̂ , α̂β̂ β̂α̂ˆ ,ˆdiagˆ ,, ,, ,, ,, ijpijpij pijpij pijpij pijpijij PpAAA =><         − == (5) Векторы ib̂ и jĉ блочные ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ij pjpjpipjj pipipi T pii ppp T p Pp ccccc bbbbb xxxxx ,1 ˆ ,ˆˆ ˆ ,ˆˆ , sin , cos ,,, sin , cos ,,, sincos = == == == LL KK KK (6) Инвариантными характеристиками класса эквивалентных моделей (4) будет набор собственных значений { }      = ijNijijij ˆ,1, λ̂λ̂λ̂ K ,  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 69 а также набор коэффициентов { } { }             = sin ˆ, cos ˆ, sin 1, cos 1, ˆ,ˆˆ,ˆˆ ijij NijNijijijij fffff K — произведения блоков ji cb ˆ,ˆ : .ˆˆˆˆˆ ,ˆˆˆˆˆ cos , sin , sin , cos , sin , sin , sin , cos , cos , cos , pipjpipjpij pipjpipjpij bcbcf bcbcf ⋅−⋅= ⋅+⋅= (7) На вход подсистемы подается сигнал в виде суммы гармоник различных частот. Количество гармоник равно ijij NS ˆ≥ . ( ) ( )∑ = +⋅= ijS s sisisii tatu 1 ,,, ωsin (8) где sisisia ,,, ,ω, — соответственно, известные исследователю амплитуды, частоты и фазы. Полученный выходной сигнал пропускается через фильтр Фурье на этих же частотах. Получаем оценки частотных характеристик подсистемы: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,1 ,ωcos τ 2τˆ ,ωsin τ 2τˆ τ 0 , , , τ 0 , , , ij kij ki kij kij ki kij Sk dttty a dttty a = =Ψ =Φ ∫ ∫ (9) В случае отсутствия в ( )tjη гармоник, совпадающих по частоте с частотами фильтрации ki,ω , при ∞→τ оценки сходятся к точным значениям: ( ) ( ).ˆ ,ˆ ,,,, ∞Ψ=Ψ∞Φ=Φ kijkijkijkij (10) Значения частотных параметров связаны с передаточной функцией подсистемы: ( ) ( )kiijkijkiijkij iWiW ,,,, ωIm ,ωRe =Ψ=Φ , т.е. каждая гармоника входного сигнала после фильтрации дает оценку точечного значения передаточной функции: ( ) ( ) ( ) 0,1, 1ˆ 1ˆ, ˆ 0,1, 1ˆ 1ˆ, ijij N Nij N ijij N Nij ij ij ij qpqpqp vpvpv pQ pV pW ij ij ij ij ij ++++ +++ == − − − − K K . (11) Нахождение коэффициентов полиномов находится из решения СЛАУ: ( ) ( )( ) ijkijkijkijijkijij SkiiQiV ,1 ,0ωω ,,,, ==Ψ+Φ− . (12)  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 70 Нахождение всех корней полинома ( )pQij дает набор собственных значений данной подсистемы { }      = ijNijijij ˆ,1, λ̂,,λ̂λ̂ K . Нахождение размерности ijN̂ модели подсистемы производится по процедуре, описанной в [5]. Варьирование длительности наблюдения τ приводит к изменениям оценок частотных характеристик, что в свою очередь влечет изменение значений { }ijλ̂ . Таким образом, каждому собственному числу соответствует некоторая область разброса значений. Размерность модели ijN̂ выбирается такой, при которой вариация собственных значений мала, т.е. решение устойчиво. После выбора ijN̂ и выбора { }ijλ̂ из областей разброса для однозначной идентификации системы SISO остается найти { } { }             = sin ˆ, cos ˆ, sin 1, cos 1, ˆ,ˆ,,ˆ,ˆˆ ijij NijNijijijij fffff K . Это можно сделать из соотношения: ( ) ( ),ˆ22~ ,ˆ22~ ,, 1 , 1, ,, 1 , 2, ∞Ψ=Ψ= ∞Φ=Φ= ∑ ∑ = = kijkij P p kp ij kijkij P p kp ij ij ij R R (13) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ),sincos~ ,sincos~ , , 3, sin , , 2, cos ,, , 4, sin , , 1, cos , , 2,, , , 4, sin , , 1, cos ,, , 3, sin , , 2, cos , , 1, si sp ijpij sp ijpijsi sp ijpij sp ijpij sp ji si sp ijpij sp ijpijsi sp ijpij sp ijpij sp ij ffffR ffffR ϕ⋅γ⋅+γ⋅+ϕ⋅γ⋅+γ−⋅= ϕ⋅γ⋅+γ−⋅+ϕ⋅γ−⋅+γ−⋅= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . βωα βω βωα βω γ . βωα α βωα α γ . βωα βω βωα βω γ . βωα α βωα α γ 2 ,, 2 , ,, 2 ,, 2 , ,,, 4, 2 ,, 2 , , 2 ,, 2 , ,, 3, 2 ,, 2 , ,, 2 ,, 2 , ,,, 2, 2 ,, 2 , , 2 ,, 2 , ,, 1, pijsipij pijsi pijsipij pijsisp ij pijsipij pij pijsipij pijsp ij pijsipij pijsi pijsipij pijsisp ij pijsipij pij pijsipij pijsp ij −+ − − ++ + = −+ − ++ = −+ − + ++ + = −+ + ++ = Левая часть (13) зависит от коэффициентов { }ijf̂ линейно, т.е. для их нахождения достаточно решить СЛАУ. Поскольку коэффициенты { }ijf̂  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 71 являются инвариантами, реализацию коэффициентов векторов ji cb ˆ,ˆ можно найти из (7), задавая не одновременно нулевыми коэффициенты ib̂ либо jĉ . После проведения идентификации подсистем SISO по всем комбинациям входов и выходов получаем набор из RM × моделей, для каждой из которых известны: • размерность ijN̂ , • набор собственных значений { }      = ijNijijij ˆ,1, λ̂,,λ̂λ̂ K , вместе с заданными областями разброса (обозначим их { }       = U Nij U ij U ij ijˆ,1, λ̂,,λ̂λ̂ K ), • набор коэффициентов { } { }             = sin ˆ, cos ˆ, sin 1, cos 1, ˆ,ˆ,,ˆ,ˆˆ ijij NijNijijijij fffff K . Объединение всех этих систем в одну производится по близким собственным значениям. Поскольку идентификация происходит в рамках гарантированного подхода к природе неопределенности, можно считать, что все положения собственного числа kij,λ̂ внутри его области разброса U kij,λ̂ равноценны. Таким образом, в случае пересечения областей U kij,λ̂ для различных подсистем SISO, можно считать, что собственное число для них одно и то же и принадлежит пересечению этих множеств. С помощью такого объединения при составлении общей системы MIMO возможно связать различные пары вход-выход по общим собственным значениям, снижая суммарную размерность. ЦЕЛЬЮ работы является изучение возможности объединения подсистем SISO, соответствующих различным комбинациям входов и выходов, в одну систему MIMO, производя объединение по совпадающим собственным значениям. Проблемы в предлагаемом методе объединения могут возникнуть лишь вследствие того, что коэффициенты матриц B и C также могут становиться общими. Рассмотрим различные случаи комбинаций входов и выходов подсистем, связываемых по общим собственным значениям. ОБЪЕДИНЕНИЕ ПОДСИСТЕМ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ОДНОМУ ВХОДУ ИЛИ ОДНОМУ ВЫХОДУ Пусть имеется две системы SISO, имеющие одно одинаковое собственное значение. Первая соответствует первому входу и первому выходу: ( )1,11 == rmS : { } { }gen111 λ,λλ = , { } { }gen,111,1111 , fff = . Вторая соответствует второму входу и первому выходу: ( )1,22 == rmS : { } { }gen221 λ,λλ = , { } { }gen,211,2121 , fff = ,  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 72 21 λ≠λ , gen,21gen,11 ff ≠ . Представим для наглядности: ( ) ( ) , , λ0 0λ :1,1 gen 1 gen,11,11 gen,1 1,1 gen 1 gen 1 1       =      +            === x x ccyu b b x x xrmS & ( ) ( ) , , λ0 0λ :1,2 gen 2 gen,12,12 gen,2 2,2 gen 2 gen 2 2       =      +            === x x ccyu b b x x xrmS & Коэффициенты { } { }sin gen,1 cos gen,1gen,1 sin gen,1 cos gen,1gen,1 ,,, cccbbb == связаны с { }sin gen,11 cos gen,11gen,11 , fff = :         − + =        = cos gen,1 sin gen,1 sin gen,1 cos gen,1 sin gen,1 sin gen,1 cos gen,1 cos gen,1 sin gen,11 cos gen,11 gen,11 bcbc bcbc f f f . Аналогичным образом связаны и коэффициенты и во второй системе. В результате объединения должна получиться система MIMO: ( )           =                +                     = gen 2 1 gen,12,11,1 2 1 gen,2gen,1 2,2 1,1 gen 2 1 gen 2 1 ~ , ~~ 0 0 λ00 0λ0 00λ x x x cccy u u bb b b x x x x& . Общим становится коэффициент gen,1 ~c . Теперь он связан и с gen,1 ~b (по gen,11 f ), и с gen,2 ~b (по gen,21 f ). Заметим, что нахождение коэффициентов b через с , и наоборот, соответствует решению линейной системы размерности 2 на 2: p p p p p pp pp p p pp pp pppp pppp f f f c c bb bb b b cc cc bcbc bcbc =        =                − = =                − =        − + sin cos sin cos cossin sincos sin cos cossin sincos cossinsincos sinsincoscos (14) причем система в левой части будет вырождаться только при одновременном равенстве нулю обоих коэффициентов b и с . Исходя из этого, в данном случае достаточно выбрать коэффициенты { }sin gen,1 cos gen,1gen,1 ~,~~ ccc = т.ч.     ≠ ≠ 0~ 0~ sin gen,1 cos gen,1 c c . Далее, из систем 2 на 2 будут найдены gen,1 ~b и gen,2 ~b . Аналогичным образом решается объединение произвольного числа систем, соответствующих одному входу и различным выходам либо одному выходу и различным входам. Объединение такого типа показано схематически на рис. 1.  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 73 Если задать ненулевыми любую пару коэффициентов ( genλ,ijb или genλ,ijс ) для любой из связываемых подсистем, соответствующих общему собственному значению, то все остальные соответствующие коэффициенты матриц B и C можно найти по цепочке, решая системы (14). Рис. 1 Схема связей между коэффициентами матриц при объединении систем SISO, соответствующих различным входам и одному выходу ОБЪЕДИНЕНИЕ ПОДСИСТЕМ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ РАЗЛИЧНЫМ ВХОДАМ И ВЫХОДАМ ОДНОВРЕМЕННО Пусть имеем четыре системы SISO, две из них имеют одинаковое собственное значение genλ . ( )1,11 == rmS : { } { }gen11 λλ = , { } { }gen,1111 ff = , ( ):2,12 == rmS { } { }112 λλ = , { } { }1,1212 ff = , ( ):1,23 == rmS { } { }221 λλ = , { } { }2,2121 ff = , ( ):2,24 == rmS { } { }gen22 λλ = , { } { }gen,2222 ff = . Связываемые подсистемы соответствуют одновременно и различным входам, и различным выходам. В таком случае при объединении систем в одну общих коэффициентов матриц B и C не возникает: ( ):1,11 == rmS ( )( ) ( ) 1,11gen λ ubxx gengengen +=& , ( )( )gengen,111 xcy = , ( ):2,12 == rmS ( )( ) ( ) 11,12111 λ ubxx +=& , ( )( )11,122 xcy = , ( ):1,23 == rmS ( )( ) ( ) 22,21221 λ ubxx +=& , ( )( )22,211 xcy = , ( ):2,24 == rmS ( )( ) ( ) 2gen,22gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,222 xcy = . . 0 0 0 0 λ00 0λ0 00λ gen 2 1 gen,221,12 gen,112,21 2 1 gen,22gen,11 2,21 1,12 gen 2 1 gen 2 1                   =                +                     = x x x cc cc y u u bb b b x x x x&  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 74 ОБЪЕДИНЕНИЕ ПОДСИСТЕМ, ПОЗВОЛЯЮЩЕЕ ПОЛУЧИТЬ НЕЗАМКНУТУЮ ЦЕПОЧКУ СВЯЗЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАТРИЦ Рассмотрим снова объединение 4-х систем SISO в одну систему MIMO с 2-мя входами и 2-мя выходами. Три из них имеют одинаковое собственное значение genλ . ( )1,11 == rmS , { } { }gen11 λλ = , { } { }gen,1111 ff = , ( )2,12 == rmS , { } { }gen12 λλ = , { } { }gen,1212 ff = , ( )1,23 == rmS , { } { }gen21 λλ = , { } { }gen,2121 ff = , ( )2,24 == rmS , { } { }122 λλ = , { } { }1,2222 ff = . Запишем следующие системы: ( ):1,11 == rmS ( )( ) ( ) 1gen,11gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,111 xcy = , ( ):2,12 == rmS ( )( ) ( ) 1gen,12gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,122 xcy = , ( ):1,23 == rmS ( )( ) ( ) 2gen,21gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,211 xcy = , ( ):2,24 == rmS ( )( ) ( ) 21,22111 λ ubxx +=& , ( )( )11,222 xcy = . Подсистемы 1S и 2S соответствуют одному и тому же входу, 1S и 3S — одному выходу. После объединения должна получиться система             =              +            = ∗ ∗ gen 1 gen,121,22 gen,1 2 1 gen,21gen,1 1,22 gen 1 gen 1 ~ ~0 , ~~ 0 λ0 0λ x x cc c y u u bb b x x x& . Коэффициенты gen,1 ~ ∗b и gen,1 ~ ∗c связаны между собой по коэффициенту gen,11f . Коэффициенты gen,1 ~ ∗b и gen,12 ~c связаны между собой по коэффициенту gen,12f . Коэффициенты gen,21 ~b и gen,1 ~ ∗c связаны между собой по коэффициенту gen,21f . В этом случае связи образуют незамкнутую цепочку. Аналогично случаю, когда объединялись подсистемы только по одному входу либо выходу, выбор ненулевой пары коэффициентов ( genλ,ijb или genλ,ijс ) с последовательным решением систем (14) позволяет найти соответствующие коэффициенты матриц B и C объединенной системы MIMO. В общем виде, схема связей для этого случая показана на рис. 2.  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 75 Рис. 2 Схема связей между коэффициентами матриц при объединении SISO систем, образующих незамкнутую цепочку. СЛУЧАЙ С ЗАМКНУТОЙ ЦЕПОЧКОЙ СВЯЗЕЙ Рассмотрим объединение 4-х подсистем SISO в одну систему MIMO с 2-мя входами и 2-мя выходами, когда все подсистемы имеют одинаковое собственное значение genλ . ( )1,11 == rmS : { } { }gen11 λλ = , { } { }gen,1111 ff = , ( )2,12 == rmS : { } { }gen12 λλ = , { } { }gen,1212 ff = , ( )1,23 == rmS : { } { }gen21 λλ = , { } { }gen,2121 ff = , ( )2,24 == rmS : { } { }gen22 λλ = , { } { }gen,2222 ff = . ( ):1,11 == rmS ( )( ) ( ) 1gen,11gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,111 xcy = , ( ):2,12 == rmS ( )( ) ( ) 1gen,12gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,122 xcy = , ( ):1,23 == rmS ( )( ) ( ) 2gen,21gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,211 xcy = , ( ):2,24 == rmS ( )( ) ( ) 2gen,22gengengen λ ubxx +=& , ( )( )gengen,222 xcy = . Если удастся объединить все подсистемы, то результирующая MIMO система будет иметь вид ( )( ) ( ) ( )gen gen,2 gen,1 2 1 gen,2gen,1gengen ~ ~ , ~~λ x c c y u u bbxx       =      += ∗ ∗ ∗∗& . Представить связи в виде разомкнутой цепочки уже не удается. На рис. 3 приведена схема связей. Рис. 3 Замкнутая цепочка связей коэффициентов  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 76 Для нахождения коэффициентов матриц B и C приходится решать нелинейную систему уравнений. В случае одного цикла число уравнений связи равно числу искомых коэффициентов. Если в цепочке имеется более одного цикла — нелинейная система получается переопределенной. Следовательно, в общем случае она является несовместной, что приводит к невозможности объединения подсистем SISO без изменения их инвариантных характеристик { }ijf̂ . АЛГОРИТМ ОБЪЕДИНЕНИЯ ПОДСИСТЕМ SISO Первым этапом алгоритма объединения является процедура нахождения близких по значению собственных чисел по всему набору подсистем. Для этого воспользуемся областями значений собственных чисел U kij,λ̂ , полученными ранее на этапе проведения структурной идентификации подсистем. В случае пересечения этих областей для различных подсистем, соответствующие им собственные значения будем считать близкими. Пример приведен на рисунке 4. Рис. 4 Близкие собственные значения по разным подсистемам Следующим этапом будет поочередное объединение близких собственных значений с построением цепочек объединения и проверкой их замкнутости. В случае, если объединение близких собственных значений приводит к возникновению цикла в цепочке зависимости, объединение не производим и оставляем их различными. Таким образом, в результате выполнения этого этапа получаем конечный вид матрицы Â объединенной системы в виде (5). На последнем этапе для каждого собственного значения матрицы Â производится построение цепочек зависимостей. Одну пару коэффициентов из нее выбираем в виде 0 ,1 sincos == bb (соответственно канонической управляемой реализации) или 0 ,1 sincos == cc (соответственно канонической наблюдаемой реализации), а затем, решая  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 77 последовательность линейных систем уравнений (14), находим все остальные коэффициенты, зависимые от выбранных. ПРИМЕР МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИДЕНТИФИКАЦИИ МНОГОСВЯЗНОЙ СИСТЕМЫ Имеем исходную систему десятого порядка с собственными значениями { } { }iiiii 62.4 ,74.3 ,86.2 ,98.1 ,101λ ±−±−±−±−±−= . Количество входов 2=M , количество выходов 3=R . Матрицы B и C равны: T B       = 0011111111 1100111111 ,           = 1111111111 1111111111 1111111111 С . На каждый вход подавался сигнал из 10 гармоник различной частоты. Длительность эксперимента равна 510τ = . В качестве шума на выходы системы накладывались суммы шумовых гармоник с амплитудами равными по выходу 1: ( )0.04 0.08 0 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1η =a , по выходу 2: ( )0 0 0 0 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2η =a , по выходу 3: ( )0.16 0.32 0.1 0.2 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4η =a . Для всех комбинаций входов и выходов были построены аппроксимирующие модели SISO, размерности которых указаны в табл. 1. Таблица 1 Размерности аппроксимирующих моделей SISО для всех комбинаций входа и выхода Номер входа Номер выхода M = 1 M = 2 R = 1 4 4 R = 2 4 3 R = 3 4 3 После выполнения процедур поиска близких собственных значений, а также их объединения, число различных собственных значений сократилось до 6-ти блоков: 5 комлексно-сопряженных пар и одного действительного собственного числа. Коэффициенты матрицы B̂ и Ĉ модели были найдены согласно описанному алгоритму последовательным решением системы (14):          −− −       −− −       −− −          −− −       −− −       − − = 382.1451.10 451.10382.1 , 314.2124.10 124.10314.2 , 751.5434.8 434.8751.5 , 346.1115.10 115.10346.1 , 651.3999.7 999.7651.3 , 029.70 0029.7 diagÂ T B       = 000000111100 011101000011ˆ ,  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 78 . 0016.368.70051.191.276.124.5011.1 0026.242.50070.021.250.374.156.056.0 16.371.20052.488.570.021.250.374.100 ˆ           −−− −− − =C ВЫВОДЫ Исследование возможности объединения различных систем с одним входом и одним выходом в одну большую многосвязную систему путем объединения близких собственных значений позволило расширить область применения метода идентификации по частотным характеристикам, разработанного для односвязных систем. В результате рассмотрения возможных случаев связи систем по общим собственным значениям в зависимости от того, каким входам и выходам соответствуют эти системы, показано, что объединение возможно, если при формировании матриц системы B̂ и Ĉ не возникает циклических зависимостей между их коэффициентами. На основе проведенных исследований предложен алгоритм объединения моделей отдельных подсистем, соответствующих описанию динамики исследуемой многосвязной системы по отдельным входам и выходам, в общую многосвязную модель. Предложенный алгоритм сохраняет в результирующей многосвязной модели все инвариантные характеристики исходных моделей с одним входом и выходом, так что точность аппроксимации по выходу сохраняется. 1. Орлов Ю.Ф. Идентификация по частотным параметрам при параллельных испытаниях / Ю.Ф. Орлов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — 68, № 1. — С. 20–40. 2. Александров А.Г. Метод частотных параметров / А.Г. Александров // Автоматика и телемеханика. — 1989. — 50, № 12. — С. 3–5. 3. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов / А.Г. Александров, Ю.Ф Орлов // Тр. 2-й Российско-шведской конференции по автоматическому управлению. RSCC’95. — СПб.,1995. — С. 65–69. 4. Губарев В.Ф. Идентификация многомерных систем по параметрам установившегося режима / В.Ф. Губарев, С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2012. — № 5. — С. 26–42. 5. Мельничук С.В. Исследование корректности задач идентификации многомерных систем частотным методом / С.В. Мельничук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2014. — № 176. — С. 19–33. 6. Мельничук С.В. Модифицированный частотный метод структурно-параметрической идентификации систем / С.В. Мельничук // Проблемы управления и информатики. — 2015. — № 4. — С. 27–36.  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 79 UDC 681.5 METHOD OF STRUCTURAL PARAMETRIC MULTIVARIABLE SYSTEM IDENTIFICATION USING FREQUENCY CHARACTERISTICS Melnychuk S.V. Space Research Institute National Academy of Sciences of Ukraine and State Space Agency of Ukraine Introduction. One of the important directions in the identification of linear systems are frequency domain methods. In recent decades a finite-frequency approach, focused on the use under bounded uncertainty has been developed. Within finite-frequency approach a method, that allows to construct models with reduced dimensionality has been proposed. The method includes a step of structural identification with regularization by model dimension. This method was used to identify single-input single-output (SISO) systems, so it could not be applied to systems with multiple input and multiple output (MIMO). Purpose. In order to generalize the method it is proposed to identify SISO models of subsystems, that describes individual inputs and outputs, and then combine them. The main purpose of research is to develop an algorithm, that combine separate SISO models into one general MIMO model. Results. Separate SISO models determined by their invariant properties. As simple combination of SISO models leads to a MIMO model of large dimension, and some invariant properties in different models may be similar, it makes sense to carry out unification by equating this invariants. Possibility of association for different combinations of SISO models, that have the same eigenvalues were investigated. It is shown that by combining models additional dependencies between coefficients may be imposed. It is shown that if the dependency graph contains no cycles, then the union is possible. On the basis of this fact the synthesizing algorithm was proposed. Conclusions. The proposed identification algorithm builds the general MIMO model from separate SISO models so that the dimension of resulting model may be significantly less, than sum of dimensions of original SISO models. The proposed algorithm saves all invariant characteristics of the original models, so approximation accuracy by the each input-output relation is stored. Keywords: System identification, frequency domain, structural identification, reduced dimensionality. 1. Orlov Y.F. Frequency Parameter-Based Identification at Parallel Testing. Automation and Remote Control, 2007, vol.68, no. 1. pp. 18–37. 2. Orlov Y.F. Frequency Parameter-Based Identification at Parallel Testing. Avtomatika i Telemekhanika, 2007, vol.68, no. 1. pp. 20–40 (in Russian). 3. Alexandrov A.G. Method of Frequency Parameters. Avtomatika i Telemekhanika, 1989, vol 50, no. 12. pp. 3–15 (in Russian). 4. Alexandrov A.G., Orlov Y.F. Finite-frequency identification of multidimensional objects. 2-nd Russian-Swedish Control Conference. St. Petersburg, 1995, pp. 65–69 (in Russian). 5. Gubarev V.F., Melnychuk S.V. Identification of Multivariable Systems Using Steady-State Parameters. Journal of Automation and Information Sciences, 2012, vol. 44. i. 9. pp. 24–42.  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181 80 6. Gubarev V.F., Melnychuk S.V. Identification of Multivariable Systems Using Steady-State Parameters. Journal of Automation and Information Sciences, 2012, no 5. pp. 26–42 (in Russian). 7. Melnychuk S.V. Regularity Investigation For Multidimensional System Identification Problem by the Frequency Method. Cybernetics and Computer Engineering, 2014, no 176. pp. 19–33 (in Russian). 8. Melnychuk S.V. Modified Frequency Method of Structural-Parametric System Identification. Journal of Automation and Information Sciences, 2015, no 4. pp. 27–36 (in Russian). Получено 05.06.2015  С.В. Мельничук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 181
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-110293
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0452-9910
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:54:14Z
publishDate	2015
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
record_format	dspace
spelling	Мельничук, С.В. 2017-01-03T08:56:59Z 2017-01-03T08:56:59Z 2015 Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам / С.В. Мельничук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 181. — С. 66-80. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110293 681.5 Исследована возможность применения метода структурно-параметрической идентификации систем с одним входом и одним выходом для построения аппроксимирующих моделей систем с несколькими входами и выходами. Предложен алгоритм, основанный на объединении моделей, соответствующих динамике исследуемого объекта по отдельным входам и отдельным выходам, в одну многосвязную модель. Досліджено можливість застосування методу структурно-параметричної ідентифікації систем з одним входом та одним виходом для побудови апроксимуючих моделей систем з багатьма входами та виходами. Запропоновано алгоритм, заснований на об'єднанні моделей, які відповідають динаміці об’єкту дослідження за окремими входами та окремими виходами, в одну багатозв’язну модель. In order to generalize the method it is proposed to identify SISO models of subsystems, that describes individual inputs and outputs, and then combine them. The main purpose of research is to develop an algorithm, that combine separate SISO models into one general MIMO model. Separate SISO models determined by their invariant properties. As simple combination of SISO models leads to a MIMO model of large dimension, and some invariant properties in different models may be similar, it makes sense to carry out unification by equating this invariants. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Интеллектуальное управление и системы Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам Метод ідентифікації багатозв’язкових систем за частотними характеристикам Method of Structural Parametric Multivariable System Identification Using Frequency Characteristics Article published earlier
spellingShingle	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам Мельничук, С.В. Интеллектуальное управление и системы
title	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам
title_alt	Метод ідентифікації багатозв’язкових систем за частотними характеристикам Method of Structural Parametric Multivariable System Identification Using Frequency Characteristics
title_full	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам
title_fullStr	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам
title_full_unstemmed	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам
title_short	Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам
title_sort	метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам
topic	Интеллектуальное управление и системы
topic_facet	Интеллектуальное управление и системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110293
work_keys_str_mv	AT melʹničuksv metodidentifikaciimnogosvâznyhsistempočastotnymharakteristikam AT melʹničuksv metodídentifíkacííbagatozvâzkovihsistemzačastotnimiharakteristikam AT melʹničuksv methodofstructuralparametricmultivariablesystemidentificationusingfrequencycharacteristics

Метод идентификации многосвязных систем по частотным характеристикам

Institution

Ähnliche Einträge