Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн
Исследуется распространение гармонических волн в гидроупругой системе, состоящей из неоднородного упругого слоя, помещенного между двумя сжимаемыми жидкостями с различными физическими свойствами. Проведен численный анализ дисперсионного уравнения для случая фазовых скоростей, меньших большей из скор...
Збережено в:
| Дата: | 2000 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1103 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн / О. В. Авраменко, И. Т. Селезов // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 1. — С. 4-9 — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860215414287499264 |
|---|---|
| author | Авраменко, О.В. Селезов, И.Т. |
| author_facet | Авраменко, О.В. Селезов, И.Т. |
| citation_txt | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн / О. В. Авраменко, И. Т. Селезов // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 1. — С. 4-9 — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследуется распространение гармонических волн в гидроупругой системе, состоящей из неоднородного упругого слоя, помещенного между двумя сжимаемыми жидкостями с различными физическими свойствами. Проведен численный анализ дисперсионного уравнения для случая фазовых скоростей, меньших большей из скоростей звука в жидкостях. Дисперсионное уравнение имеет два действительных корня, соответствующих квазисимметричным и квазиантисимметричным колебаниям слоя. Рассмотрены предельные случаи: однородный слой между различными жидкими средами и неоднородный слой между одинаковыми жидкими средами. Представлены волновые моды продольных и поперечных перемещений, касательных и нормальных напряжений в упругом слое. В результате анализа волновых мод установлено, что неоднородности слоя могут приводить к сильной концентрации волновых полей как в центральной части (неоднородность первого типа), так и вблизи границ слоя (неоднородность второго типа).
Досліджується поширення гармонічних хвиль у гідропружній системі, що складається з неоднорідного пружного шару, розміщеного між двома стисливими рідинами з різними фізичними властивостями. Проведено чисельний аналіз дисперсійного ріняння для випадку фазових швидкостей, менших за більшу зі швидкостей звуку в рідинах. Дисперсійне рівняння має два різних корені, які відповідають квазісиметричним та квазіантисиметричним коливанням шару. Розглянуто граничні випадки: однорідний шар між різними рідкими середовищами та неоднорідний шар між однаковими рідкими середовищами. Представлено хвильові моди поздовжних та поперечних переміщень та дотичних та нормальних напружень у пружному шарі. Як результат аналізу хвильових мод встановлено, що неоднорідності шару можуть призводити до сильної концентрації хвильових полів як у центральній частині (неоднорідність першого типу), так і поблизу меж шару (неоднорідність другого типу).
Propagation of harmonic waves in hydroelastic system consisting of inhomogeneous elastic layer placed between two compressible fluids with different physical properties is investigated. Numerical analysis of the dispersion equation is carried out for phase velocities less than the greater sound velocity of two fluids. The dispersion equation has two real roots corresponding to quasisymmetric and quasiasymmetric oscillations of the layer. The two limiting cases are considered: a layer between two fluid media with different properties and an inhomogeneous layer between the same fluid media. The wave modes are presented for longitudinal and transverse diplacements, shear and normal stresses in elastic layer. It is established from analysis of waves modes that inhomogeneities of the layer can lead to strong concentration of wave fields both in central part (inhomogeneity of the first type), and near boundaries of the layer (inhomogeneity of the second type).
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:15:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 4 { 9��� 532.59������� �������������� �������� ����,����������� ����� ���������� ��������������, �� ��������������� �����. �. ���������, �. �. ��������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 14.02.2000 � �¥à¥á¬®â८ 22.03.2000�áá«¥¤ã¥âáï à á¯à®áâà ¥¨¥ £ ମ¨ç¥áª¨å ¢®« ¢ £¨¤à®ã¯à㣮© á¨á⥬¥, á®áâ®ï饩 ¨§ ¥®¤®à®¤®£® ã¯à㣮£®á«®ï, ¯®¬¥é¥®£® ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ᦨ¬ ¥¬ë¬¨ ¦¨¤ª®áâﬨ á à §«¨ç묨 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨. �஢¥¤¥ ç¨-á«¥ë© «¨§ ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï á«ãç ï ä §®¢ëå ᪮à®á⥩, ¬¥ìè¨å ¡®«ì襩 ¨§ ᪮à®á⥩ §¢ãª ¢¦¨¤ª®áâïå. �¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¤¢ ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®àï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¨ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬ á«®ï. � áᬮâà¥ë ¯à¥¤¥«ìë¥ á«ãç ¨: ®¤®à®¤ë© á«®© ¬¥¦¤ã à §«¨çë-¬¨ ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨ ¨ ¥®¤®à®¤ë© á«®© ¬¥¦¤ã ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨. �।áâ ¢«¥ë ¢®«®¢ë¥ ¬®¤ë¯à®¤®«ìëå ¨ ¯®¯¥à¥çëå ¯¥à¥¬¥é¥¨©, ª á ⥫ìëå ¨ ®à¬ «ìëå ¯à殮¨© ¢ ã¯à㣮¬ á«®¥. � १ã«ìâ ⥠«¨§ ¢®«®¢ëå ¬®¤ ãáâ ®¢«¥®, çâ® ¥®¤®à®¤®áâ¨ á«®ï ¬®£ã⠯ਢ®¤¨âì ª ᨫ쮩 ª®æ¥âà 樨 ¢®«®¢ë寮«¥© ª ª ¢ æ¥âà «ì®© ç á⨠(¥®¤®à®¤®áâì ¯¥à¢®£® ⨯ ), â ª ¨ ¢¡«¨§¨ £à ¨æ á«®ï (¥®¤®à®¤®áâì ¢â®à®£®â¨¯ ).�®á«÷¤¦ãõâìáï ¯®è¨à¥ï £ ମ÷ç¨å 墨«ì ã £÷¤à®¯àã¦÷© á¨á⥬÷, é® áª« ¤ õâìáï § ¥®¤®à÷¤®£® ¯à㦮£®è àã, ஧¬÷饮£® ¬÷¦ ¤¢®¬ áâ¨á«¨¢¨¬¨ à÷¤¨ ¬¨ § à÷§¨¬¨ ä÷§¨ç¨¬¨ ¢« á⨢®áâﬨ. �஢¥¤¥® ç¨á¥«ì¨© «÷§ ¤¨á¯¥àá÷©®£® à÷ïï ¤«ï ¢¨¯ ¤ªã ä §®¢¨å 袨¤ª®á⥩, ¬¥è¨å § ¡÷«ìèã §÷ 袨¤ª®á⥩ §¢ãªã ¢ à÷¤¨ å.�¨á¯¥àá÷©¥ à÷¢ïï ¬ õ ¤¢ à÷§¨å ª®à¥÷, ïª÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ª¢ §÷ᨬ¥âà¨ç¨¬ â ª¢ §÷ â¨á¨¬¥âà¨ç¨¬ ª®«¨-¢ ï¬ è àã. �®§£«ïãâ® £à ¨ç÷ ¢¨¯ ¤ª¨: ®¤®à÷¤¨© è à ¬÷¦ à÷§¨¬¨ à÷¤ª¨¬¨ á¥à¥¤®¢¨é ¬¨ â ¥®¤®à÷¤¨©è à ¬÷¦ ®¤ ª®¢¨¬¨ à÷¤ª¨¬¨ á¥à¥¤®¢¨é ¬¨. �।áâ ¢«¥® 墨«ì®¢÷ ¬®¤¨ ¯®§¤®¢¦¨å â ¯®¯¥à¥ç¨å ¯¥à¥¬÷é¥ìâ ¤®â¨ç¨å ⠮ଠ«ì¨å ¯à㦥ì ã ¯à㦮¬ã è à÷. �ª १ã«ìâ â «÷§ã 墨«ì®¢¨å ¬®¤ ¢áâ ®¢«¥®, 鮥®¤®à÷¤®áâ÷ è àã ¬®¦ãâì ¯à¨§¢®¤¨â¨ ¤® ᨫì®ù ª®æ¥âà æ÷ù 墨«ì®¢¨å ¯®«÷¢ ïª ã æ¥âà «ì÷© ç áâ¨÷ (¥®¤-®à÷¤÷áâì ¯¥à讣® ⨯ã), â ª ÷ ¯®¡«¨§ã ¬¥¦ è àã (¥®¤®à÷¤÷áâì ¤à㣮£® ⨯ã).Propagation of harmonic waves in hydroelastic system consisting of inhomogeneous elastic layer placed between twocompressible
uids with di�erent physical properties is investigated. Numerical analysis of the dispersion equation iscarried out for phase velocities less than the greater sound velocity of two
uids. The dispersion equation has tworeal roots corresponding to quasisymmetric and quasiasymmetric oscillations of the layer. The two limiting cases areconsidered: a layer between two
uid media with di�erent properties and an inhomogeneous layer between the same
uidmedia. The wave modes are presented for longitudinal and transverse diplacements, shear and normal stresses in elasticlayer. It is established from analysis of waves modes that inhomogeneities of the layer can lead to strong concentration ofwave �elds both in central part (inhomogeneity of the �rst type), and near boundaries of the layer (inhomogeneity of thesecond type).���������஡«¥¬ à á¯à®áâà ¥¨ï £ ମ¨ç¥áª¨å ¢®«¢¤®«ì ¥®¤®à®¤®£® ã¯à㣮£® á«®ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã-¬ï ¦¨¤ª®áâﬨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¡®«ì让 ãçë© ¨¯à¨ª« ¤®© ¨â¥à¥á. � ¨¥ ᢮©á⢠®à¬ «ì-ëå ¢®« ¢ â ª®© ã¯à㣮-¦¨¤ª®© á¨á⥬¥ ¢ ¦®,¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨ ¬®àáª¨å ¥ä-⥯஢®¤®¢ ¨ à §«¨ç®£® ¢¨¤ £¨¤à®á®®à㦥¨©,à §¤¥«ïîé¨å ¦¨¤ª¨¥ á।ë, â ª¦¥ ¯à¨ ¬®¤¥«¨-஢ ¨¨ ¤¨ ¬¨ª¨ «¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ . �¡§®à à¥-§ã«ìâ ⮢ ¨§ã票ï à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢ á«®-¨áâëå £¨¤à®ã¯à㣨å á¨á⥬ å, â ª¦¥ ¢®¯à®áë,á¢ï§ ë¥ á ¯à¨¬¥¥¨¥¬ íâ¨å १ã«ìâ ⮢ ¯à¨à¥è¥¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç, ¤®áâ â®ç® ¯®«®¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ [1]. � ¬ ¦¥ ¨áá«¥¤®¢ ® à á¯à®-áâà ¥¨¥ ¢®« ¢ ã¯à㣮¬ ®¤®à®¤®¬ á«®¥, ®£à -¨ç¥®¬ ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨ à §«¨ç®© ¯«®â®áâ¨.�̄ ®¬ï¥¬ â ª¦¥ ¥ª®â®àë¥ à ¡®âë ®¡é¥£® å à ª-â¥à [2 {6] ¨ áâ âì¨, ¨¬¥î騥 ¥¯®á।á⢥®¥
®â®è¥¨¥ ª à¥è¥¨î § ¤ ç¨ ® ¢«¨ï¨¨ ¥®¤®-த®á⨠ã¯à㣮£® á«®ï, ®£à ¨ç¥®£® ¦¨¤ª¨¬¨á। ¬¨ à §«¨ç®© ¯«®â®á⨠[7{ 16]. �ਠí⮬¨§ãç «¨áì ¥ ⮫쪮 ¡¥£ã騥 ¢®«ë, ® â ª¦¥¢ ¦ë¥ á â®çª¨ §à¥¨ï ¤¨ £®á⨪¨ ¥®¤®à®¤-ë¥ ¢®«ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®¬¯«¥ªáë¬ ª®à-ï¬ ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï.� ª ¢¨¤®, ¨áá«¥¤®¢ ¨î à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®«¢ ã¯à㣮¬ ®¤®à®¤®¬ á«®¥, ª®â ªâ¨àãî饬 ᦨ¤ª¨¬¨ á। ¬¨, ¯®á¢ï饮 ¬®£® à ¡®â, ¢ ª®-â®àëå ¯à®¢®¤¨«áï «¨§ ®á®¡¥®á⥩ ã¯à㣮-¦¨¤ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. � ç áâ®áâ¨, § ç¨-⥫ìë© ¨â¥à¥á ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¢®«ë �â®ã«¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« , ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¥á⨠¬®-£® ¯®«¥§®© ¨ä®à¬ 樨 ®¡ ã¯à㣮© á¨á⥬¥. �á¢ï§¨ á í⨬ ¡®«ì讥 § 票¥ ¨¬¥¥â ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ ¢«¨ï¨ï ¥®¤®à®¤®á⨠¯® ⮫騥 ã¯à㣮£®á«®ï, à ᯮ«®¦¥®£® ¬¥¦¤ã ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨, áâ®çª¨ §à¥¨ï ¥à §àãè î饣® ª®â஫ï. � ¤ -®© áâ âì¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¬®¤¥«ì ï § ¤ ç ®4 c
�. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �¥«¥§®¢, 2000
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 4 { 9à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢®« ¢ â ª®© £¨¤à®ã¯à㣮© á¨-á⥬¥ á 楫ìî ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢«¨ï¨ï ¥®¤®à®¤®-á⨠ã¯à㣮£® á«®ï ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨-á⨪¨ ®à¬ «ìëå ¢®« ¨ § ¢¨á¨¬®áâ¨ ä §®¢ëå᪮à®á⥩ ®â å à ªâ¥à ¥®¤®à®¤®á⨠¯® ¯®¯¥-à¥ç®© ª®®à¤¨ ⥠x3 (à¨á. 1).� à ¡®â¥ [17] ®á®¢¥ ¬¥â®¤ à §«®¦¥¨ï ¥-¨§¢¥áâëå äãªæ¨© ¢ á⥯¥ë¥ àï¤ë ¯® ¬ «®¬ã¯ à ¬¥âàã (ª®®à¤¨ â¥) ¯à¥¤áâ ¢«¥® «¨â¨ç¥-᪮¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® à á¯à®áâà ¥¨¨ £ ମ¨-ç¥áª¨å ¢®« ¢ ¯à®¨§¢®«ì® ¥®¤®à®¤®¬ ã¯à㣮¬á«®¥, à ᯮ«®¦¥®¬ ¬¥¦¤ã ¦¨¤ª®áâﬨ à §«¨ç-®© ¯«®â®áâ¨. �¤ ª® ¯à®¢¥¤¥ë© ¢ í⮩ áâ â쥪à ⪨© «¨§ ¤¨á¯¥àᨮëå á®®â®è¥¨© ¢ë-§ë¢ ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¤¥â «ì®£® à áᬮâ२廊ᯥàᨨ ¢®« ¤«ï á¯¥æ¨ «ìëå ç áâëå á«ãç -¥¢.� áâ®ïé ï áâ âìï ï¥âáï «®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«-¦¥¨¥¬ ¨ ®¡®¡é¥¨¥¬ à ¡®â [1, 17]. �¤¥áì ¯à¥¤-áâ ¢«¥ë १ã«ìâ âë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï à á¯à®áâà ¥-¨ï ¢®« ¢ £¨¤à®ã¯à㣮© á¨á⥬¥ ¢ ¢¨¤¥ ¥®¤®-த®£® ã¯à㣮£® á«®ï, ¯®¬¥é¥®£® ¬¥¦¤ã ¦¨¤-ª¨¬¨ ¯®«ã®£à ¨ç¥ë¬¨ á। ¬¨ á à §«¨ç묨䨧¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ (á¬. à¨á. 1). �áá«¥¤®-¢ ® ¢«¨ï¨¥ à §«¨çëå ¦¨¤ª¨å á। à á¯à®-áâà ¥¨¥ ¢®« ¢ ¥®¤®à®¤®¬ ¢®«®¢®¤¥. �஢¥-¤¥® áà ¢¥¨¥ á à ¥¥ ¯®«ãç¥ë¬¨ १ã«ìâ â -¬¨ ¤«ï ®¤®à®¤®£® ã¯à㣮£® á«®ï, ª®â ªâ¨àãî-饣® á à §«¨ç묨 ¯®«ã®£à ¨ç¥ë¬¨ ¦¨¤ª¨¬¨á। ¬¨ [1], ¨ ¥®¤®à®¤®£® á«®ï, ¯®¬¥é¥®£®¬¥¦¤ã ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¦¨¤ª®áâﬨ [17].1. ���������� ������ ���������-������¥®¤®à®¤®áâì ã¯à㣮© á।ë å à ªâ¥à¨§ã¥â-áï ¯®áâ®ï묨 � ¬¥ �, G ¨ ¯«®â®áâìî �, ª®-â®àë¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¯à®-áâà á⢥ëå ª®®à¤¨ â. �¥ªâ®à®¥ ãà ¢¥¨¥¤¢¨¦¥¨ï ¥®¤®à®¤®© ã¯à㣮© áà¥¤ë ®â®á¨-â¥«ì® ¢¥ªâ®à á¬¥é¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤~r((� + 2G)~r � ~u)� ~r� (G~r� ~u)++2((~rG � ~r)~u � (~rG)(~r � ~u)++(~rG)� (~r� ~u)) = �@2~u@t2 : (1)�à ¢¥¨¥ (1) ¨¬¥¥â á¬ëá«, ¥á«¨ ¯ à ¬¥âàë � -¬¥ ïîâáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬묨 äãªæ¨ï¬¨ ª®-®à¤¨ â.� ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥®¤®à®¤®á⨠âà㤮 ¤¥-ïâìáï ¯®«ã票¥ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ãà ¢-¥¨© (1). �¤ ª® ¬®¤¥«ì®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ íä䥪-
¡�¨á. 1. �̈ ¤à®ã¯à㣠ï á¨á⥬ \ã¯à㣨© á«®©¬¥¦¤ã ¦¨¤ª¨¬¨ ¯®«ã®£à ¨ç¥ë¬¨ á। ¬¨" ( )¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â ®¡ê¥¬®£®à áè¨à¥¨ï ¯® ⮫騥 ã¯à㣮£® á«®ï (¡)⮢ ¥®¤®à®¤®á⨠¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¨ ®â®á¨-â¥«ì® ¯à®á⮬ ç á⮬ ¯à¨¬¥à¥. �«ï í⮣® ¬®¦-® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥ãî �¦. �㪮¬ [18]¬®¤¥«ì ¥®¤®à®¤®© ã¯à㣮© á।ë, ª®â®à ï å -à ªâ¥à¨§ã¥âáï ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯® ¯à®áâà á⢥®©ª®®à¤¨ ⥠¬®¤ã«¥¬ �(x3), â ª¦¥ ¯®áâ®ï묨¢¥«¨ç¨ ¬¨ ¬®¤ã«ï ᤢ¨£ G ¨ ¯«®â®áâ¨. � í⮬á«ãç ¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤®à®¤®© á।ë, ãà ¢-¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥§ ¢¨á¨¬ë墮«®¢ëå ãà ¢¥¨ï ¤«ï ᪠«ïண® ¨ ¢¥ªâ®à®£®¯®â¥æ¨ «®¢:�(x3) + 2G� r2�� @2�@t2 = 0; (2)G�r2 ~A� @2 ~A@t2 = 0; (3)£¤¥ ~u= ~r�+~r� ~A; ~r � ~A=0.�®áâ ®¢ª á¢ï§ ®© § ¤ ç¨ £¨¤à®ã¯à㣮á⨠®à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢®« ¢ ã¯à㣮¬ á«®¥
= f(x1; x2; y3) :�1 < x1 <1;�1 < x2 <1; h � x3 � hg;¯®¬¥é¥®¬ ¬¥¦¤ã ¦¨¤ª®áâﬨ á à §«¨ç묨¯«®â®áâﬨ: �1 ¢ ¢¥à奬 ¯®«ã¯à®áâà á⢥
1 = f(x1; x2; x3) :�1 < x1 <1;�1 < x2 <1; x3 > hg¨ �2 ¢ ¨¦¥¬ ¯®«ã¯à®áâà á⢥
2 = f(x1; x2; x3) :�1 < x1 <1;�1 < x2 <1; x3 < �hg;¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥1Xi=0 �ixi3r2�� @2�@t2 = 0 ¢
; (4)�. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �¥«¥§®¢ 5
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 4 { 9r2� � 1c2s @2�@t2 = 0 ¢
; (5)r2 j � 1c20j @2 j@t2 = 0; ¢
j (j = 1; 2); (6)�33 = �p1; v3(1) = @u3@t (x3 = h=2);�13 = 0; (x3 = �h=2);�33 = �p2; v3(2) = @u3@t (x3 = �h=2): (7)� ¡¥áª®¥ç®á⨠¢ë¯®«ïîâáï ãá«®¢¨ï ¨§«ãç¥¨ï¨ ®£à ¨ç¥®á⨠�®¬¬¥àä¥«ì¤ :limjx3j!1� j � i@ j@x3� = 0; limjx3j!1 j = 0: (8)�஬¥ ⮣®, ¥®¡å®¤¨¬® à áᬠâਢ âì ãá«®¢¨ïá®åà ¥¨ï ¯à ¢«¥¨ï ¯®â®ª í¥à£¨¨.�áá«¥¤ã¥âáï à á¯à®áâà ¥¨¥ ¡¥£ãé¨å ¢®«f(x1; x3; t) = F (x3) exp(i(kx1 � !t)): (9)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¯à¨ïâë á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï: t {¢à¥¬ï; ~u { ¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥¨ï; �13, �33 { ª®¬-¯®¥âë ⥧®à ¯à殮¨©; �, �, ~A = ~e2� {¯®â¥æ¨ «ë ᪮à®á⥩ ¢ ã¯à㣮© á।¥; j { ¯®-â¥æ¨ «ë ᪮à®á⥩ ¢ ¦¨¤ª¨å á। å (j=1; 2);~vi=(v1(j); v2(j); v3(j)) { ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¢
j,~vj=�r j; pj { ¤ ¢«¥¨¥, pj=�j@ j=@t; Kj { ¬®¤ã-«¨ ã¯à㣮á⨠¦¨¤ª¨å á।; �=E�=(1+�)(1�2�),G=E=2(1+�) { ã¯à㣨¥ ¯®áâ®ïë¥ � ¬¥; � {ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ; E { ¬®¤ã«ì �£ ; �, �j(j=1; 2) { ¯«®â®á⨠ã¯à㣮© ¨ ¦¨¤ª¨å á।, á®-®â¢¥âá⢥®; l { ¤«¨ ¢®«ë; k = 2�=l { ¢®«®-¢®¥ ç¨á«®; ! = c2�=l { ªà㣮¢ ï ç áâ®â ; c { ä §®-¢ ï ᪮à®áâì; cStj { ᪮à®á⨠à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®«�â®ã«¨ (᪮à®á⨠cStj ᮮ⢥âáâ¢ãîâ £¨¤à®ã¯àã-£¨¬ á¨á⥬ ¬ ¦¨¤ª®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮ { ã¯àã-£®¥ ¯®«ã¯à®áâà á⢮, £¤¥ ᢮©á⢠¦¨¤ª®á⨠á®-¢¯ ¤ îâ ᮠ᢮©á⢠¬¨ ¦¨¤ª®á⨠¢
j, ã¯à㣮©á।ë { ᮠ᢮©á⢠¬¨ áà¥¤ë ¢
); c0j=pKj=�j {᪮à®áâì §¢ãª ¢ ¦¨¤ª¨å á। å; ce, cs { ᪮à®áâ¨à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« à áè¨à¥¨ï ¨ ¢®« ᤢ¨£ ã¯à㣮© á।ë:c2e = f(x3) = (�(x3) + 2G)=�1; c2s = G=�;£¤¥ f(x3) { äãªæ¨ï, à §«®¦¨¬ ï ¢ àï¤ ¯® á⥯¥-ï¬ x3: f(x3) = 1Xj=0 �jxj3: (10)�áî¤ã ¢¢¥¤¥ë ¢¥«¨ç¨ë, ®¡¥§à §¬¥à¥ë¥ ¯® å -à ªâ¥àë¬ ¯ à ¬¥âà ¬: ¤«¨¥ h, ¯«®â®á⨠�1,᪮à®á⨠¢®« ᤢ¨£ cs.
� «¨â¨ç¥áª®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¡¥£ãé¨å ¢®« (9)¯à®¢¥¤¥® à ¥¥ ¬¥â®¤®¬ à §«®¦¥¨ï ¥¨§¢¥áâ-ëå äãªæ¨© ¢ á⥯¥ë¥ àï¤ë. �®«ãç¥ë¥ à¥-§ã«ìâ âë ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ áâ âì¥ [17]. � ®¡é¥¬á«ãç ¥ ¯®ª § ®, çâ® ¯à¨ ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ¥®¤-®à®¤®á⨠¨«¨ ¯à¨ à §«¨çëå ¯«®â®áâïå ¢¥àå-¥© ¨ ¨¦¥© ¯®«ã¡¥áª®¥çëå ¦¨¤ª¨å á।, ¤¨á-¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥-§ ¢¨á¨¬ëå. �᫨ ¦¥ ¦¨¤ª®á⨠¨¬¥îâ ®¤¨ ª®-¢ë¥ ¯«®â®á⨠�1=�2, â® ¢ á«ãç ¥ ç¥â®© ¥®¤®-த®á⨠�(�x3)=�(x3) ¤¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥§ ¢¨á¨¬ëå ãà ¢¥¨ï, á®-®â¢¥âáâ¢ãî騥 ᨬ¬¥âà¨çë¬ ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨ç-ë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬. �¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ à¥è¥-® ç¨á«¥® ¤«ï á«ãç ï c02<c01<cs<ce ¯à¨ § -票ïå ä §®¢ëå ᪮à®á⥩ c<c01.2. ������ ��������� ������������«ï ®æ¥ª¨ ¢«¨ï¨ï ¥®¤®à®¤®á⨠᫮ï à á-¯à®áâà ¥¨¥ ¢®« ¡ë«® ¯à®¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ á®á«ãç ¥¬ £¨¤à®ã¯à㣮© á¨á⥬ë, ¢ ª®â®à®© ã¯àã-£¨© á«®© ï¥âáï ®¤®à®¤ë¬. � ç¥¨ï ¯ à -¬¥â஢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤®à®¤®£® á«®ï ¯à¨-¨¬ «¨áì à ¢ë¬¨ E=Ki=36, (i=1; 2), �=0:3,�1=�=0:09, �2=�=0:18, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨áâ¥-¬¥ \¢®¤ { áâ «ì{ ¡¥§¨". �ãªæ¨ï ¥®¤®à®¤®-á⨠�(x3) § ¤ ¢ « áì ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 ᯮᮡ -¬¨ â ª, çâ®¡ë ¨¡®«ì襥 § 票¥ ª®íää¨æ¨¥â ®¡ê¥¬®£® à áè¨à¥¨ï �(x3) ¥®¤®à®¤®© ã¯àã-£®© áà¥¤ë ®â«¨ç «®áì ®â ¥£® § ç¥¨ï ¢ ®¤®à®¤-®© ã¯à㣮© á।¥ �®¤ ¥ ¡®«¥¥, 祬 10 %:�k(x3) = �®¤(1 + �k cos(�x3)); (11)�¤¥áì jx3j�0:5, ¢¥«¨ç¨ �k ¬®¦¥â ¯à¨¨-¬ âì ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ¨«¨ ®âà¨æ ⥫ìë¥ § ç¥-¨ï: �k=+0:1 � 0:1 (k=1; 2). � ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã-¤¥¬ §ë¢ âì ¥®¤®à®¤®áâì �1(x3)��®¤ ¢ë-¯ãª«®©, �2(x3)��®¤ { ¢®£ã⮩. � ¬¥â¨¬,çâ® ¯à¨ ¬ ªá¨¬ «ì®¬ ®âª«®¥¨¨ ¥®¤®à®¤-®á⨠(¢ á¥à¥¤¨¥ á«®ï) �k(x3)=0:1�®¤ ¬ ª-ᨬ «ì®¥ ®âª«®¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �(x3)=�(x3)=(2�(x3) + 2G) á®áâ ¢«ï¥â 3 % ®â ®¤-®à®¤®£®, ¬®¤ã«ï �£ E(x3)=2G(1+�(x3)) {2 % ®â ®¤®à®¤®£®.�ãªæ¨ï c2e=f(x3) ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ëà ¦¥¨-¥¬ (10) ¨ á ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨ï (11) à §« £ ¥âáï ¢àï¤ ¯® x3, ª®íää¨æ¨¥âë ª®â®à®£® ¢å®¤ïâ ¢ ®¡é¨¥à¥ªãàà¥âë¥ á®®â®è¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ १ã«ì-â ⥠ॠ«¨§ 樨 ¬¥â®¤ á⥯¥ëå à冷¢ [17].�¨á«¥ë© «¨§ ¤¨á¯¥àᨮëå ãà ¢¥¨©¯®ª § «, çâ® ¯®¢¥¤¥¨¥ ¤¨á¯¥àᨮëå ªà¨¢ëå ¤«ï¥®¤®à®¤®£® á«®ï 室¨âáï ¢ ª ç¥á⢥®¬ á®-®â¢¥âá⢨¨ á® á«ãç ¥¬ ®¤®à®¤®£® á«®ï. �®í⮬ã6 �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �¥«¥§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 4 { 9¢ªà âæ¥ ¯®¬¨¬ १ã«ìâ âë ¤«ï á«ãç ï ®¤®-த®£® á«®ï. �à¨ à ¢ëå ¯«®â®áâïå ¦¨¤ª®á⥩¤¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥§ -¢¨á¨¬ëå, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬. � â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¯à¨à §«¨çëå ¯«®â®áâïå ¦¨¤ª¨å á। ¤¨á¯¥àᨮ-®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥§ ¢¨á¨¬ëå,® â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¤¢ à §«¨çëå ª®àï, ᮮ⢥â-áâ¢ãîé¨å ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¨ ª¢ §¨á¨¬-¬¥âà¨çë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬ ¯à¨ ¤¥©á⢨⥫ìëå ! ¨k. �¥®¡å®¤¨¬® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢®«®¢ë¥ ¬®¤ë, á®-®â¢¥âáâ¢ãî騥 ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¨ ª¢ §¨ â¨-ᨬ¬¥âà¨çë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬, ¥ ïîâáï ç¥â묨¨ ¥ç¥â묨 äãªæ¨ï¬¨ ¯®¯¥à¥ç®© ª®®à¤¨ âëx3. �â® { á«¥¤á⢨¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨ ®¡®á®¢ ®©¥¢®§¬®¦®á⨠à á饯«¥¨ï â ª®© § ¤ ç¨ £¨¤à®-ã¯à㣮á⨠®â¤¥«ì® à áᬠâਢ ¥¬ë¥ § ¤ ç¨á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨ç®£® á®áâ®ï¨©.� á«ãç ¥ à §«¨çëå ¦¨¤ª®á⥩ ¯®ª § ®, ç⮯ਠc02<c01<cs<ce ¥ áãé¥áâ¢ã¥â £ ମ¨ç¥áª¨å¢®« ¢¨¤ (9), ª®â®àë¥ ¡ë ¨¬¥«¨ ä §®¢ãî ᪮-à®áâì, «¥¦ éãî ¬¥¦¤ã ᪮à®áâﬨ à á¯à®áâà ¥-¨ï ¢®« �â®ã«¨ cSt1 ¨ cSt2 ¯®¢¥àå®áâïå ª®-⠪⠦¨¤ª¨å á।
1,
2 ¨ ã¯à㣮© á।ë
, â. ¥.¢ ¨â¥à¢ «¥ cSt2 <c<cSt1 .� áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¢ áâ®ï饩 áâ âì¥ á«ãç ¨¥®¤®à®¤®á⨠¤®¯ã᪠îâ â ª¦¥ ᨬ¬¥âà¨ç륨 â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå᢮©áâ¢ å ¦¨¤ª¨å á।. �¥§ã«ìâ âë ¯®ª §ë¢ îâ,çâ® ¢ë¯ãª« ï ¥®¤®à®¤®áâì �1, ¢®§à áâ îé ï¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ª á¥à¥¤¨¥ á«®ï ¨ ¨¬¥îé ï â ¬ ¨¡®«ì襥 § 票¥, 㢥«¨ç¨¢ ¥â ä §®¢ë¥ ᪮à®-áâ¨, ¢®£ãâ ï ¥®¤®à®¤®áâì �2, ¨¬¥îé ï ¢ á¥-।¨¥ á«®ï ¬¨¨¬ã¬, 㬥ìè ¥â ä §®¢ë¥ ᪮à®-áâ¨.�«ï ¦¨¤ª®á⥩ á à §«¨ç묨 ¯«®â®áâﬨ ¤¨á-¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢ ¥§ -¢¨á¨¬ëå, ®¤ ª® â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¤¢ à §«¨çëå ª®à-ï, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î c<c01 ¨ á®®â-¢¥âáâ¢ãîâ ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¨ ª¢ §¨á¨¬-¬¥âà¨çë¬ ª®«¥¡ ¨ï¬. �«¨ï¨¥ å à ªâ¥à ¢ë-¯ãª«®© ¥®¤®à®¤®á⨠�1 ¨«¨ ¢®£ã⮩ ¥®¤®-த®á⨠�2 ¯à®ï¢«ï¥âáï, ᮮ⢥âá⢥®, ¢ 㢥-«¨ç¥¨¨ ¨ 㬥ì襨¨ ä §®¢ëå ᪮à®á⥩. � ª¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤®à®¤®£® á«®ï, ¯®«ë© -«¨§ ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï ¢ á«ãç ¥ à §«¨ç-ëå ¦¨¤ª®á⥩ ¯®ª § «, çâ® ¯à¨ c02<c01<cs<ce¥ áãé¥áâ¢ã¥â £ ମ¨ç¥áª¨å ¢®« ¢¨¤ (9), ª®-â®àë¥ ¡ë ¨¬¥«¨ ä §®¢ãî ᪮à®áâì ¢ ¨â¥à¢ «¥cSt2 <c<cSt1 .� à¨á. 2 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢®«®¢ë¥ ¬®¤ë ¢ ã¯àã-£®¬ á«®¥ ¤«ï ¯à®¤®«ì®£® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï u1, ¯®¯¥-à¥ç®£® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï u3, ª á ⥫ìëå ¯à殮-¨© �13 ¨ ®à¬ «ìëå ¯à殮¨© �33 ¯à¨ § ç¥-
¡�¨á. 2. �®«®¢ë¥ ¬®¤ë ¢ ã¯à㣮¬ ¥®¤®à®¤®¬¨ ®¤®à®¤®¬ á«®¥, ª®â ªâ¨àãî饬 á à §«¨ç묨¨«¨ ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨: { ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï,¡ { â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï¨¨ ¤«¨ë ¢®«ë l=2:5. �¨¬¬¥âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨-ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¬®¤ë ¨§®¡à ¦¥ë à¨á. 2, , -â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ { à¨á. 2,¡.� á«ãç ¥ ®¤¨ ª®¢ëå ¦¨¤ª®á⥩ ¢«¨ï¨¥ ¢®£ã-⮩ ¥®¤®à®¤®á⨠�2 ¢ë§ë¢ ¥â ᬥ饨¥ ª á¥-�. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �¥«¥§®¢ 7
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 4 { 9� ¡«. 1. �ªáâ६ «ìë¥ § ç¥¨ï ¢®«®¢ëå ¬®¤á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨©�1 = �2 = 0:09 �1 = �2 = 0:18x3 umax1 x3 umax1�®¤ 0 0:026 0 0:03�1(x3) 0 0:053 0 0:069�2(x3) 0 0:015 0 0:02x3 umax3 x3 umax3�®¤ �0:48 � 0:041 �0:48 � 0:059�1(x3) �0:45 � 0:039 �0:42 � 0:083�2(x3) �0:11 � 0:028 �0:13 � 0:072x3 �max13 x3 �max13�®¤ �0:32 � 0:015 �0:36 � 0:02�1(x3) �0:35 � 0:04 �0:40 � 0:035�2(x3) �0:10 � 0:06 �0:09 � 0:042x3 �max33 x3 �max33�®¤ 0 0:245 0 0:302�1(x3) 0 0:309 0 0:372�2(x3) 0 0:264 0 0:326।¨¥ á«®ï íªáâ६ «ìëå § 票© ¬®¤ ª®«¥¡ -¨© ( ¯à¨¬¥à, à¨á. 2, ªà¨¢ë¥ ¤«ï u3 ¨ �13á ¨¤¥ªá®¬ �2 ¨ ¨¤¥ªá ¬¨ �1 ¨«¨ �2, â ª¦¥ à¨á. 2, ¡ ªà¨¢ë¥ ¤«ï �33 á ¨¤¥ªá®¬ �2 ¨ ¨¤¥ª-á ¬¨ �1 ¨«¨ �2). � ª á«¥¤á⢨¥, â ª¨¥ ᬥ饨ïíªáâ६㬮¢ ª á¥à¥¤¨¥ á«®ï ¯à¨¢®¤ïâ ª १ª¨¬¨§¬¥¥¨ï¬ ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨ ¯à殮¨© ¢ 㧪®©®ªà¥áâ®á⨠¯«®áª®á⨠x3=0.�ë¯ãª« ï ¥®¤®à®¤®áâì �1 ¢ë§ë¢ ¥â ¯à®â¨-¢®¯®«®¦ë¥ ¥¨ï { íªáâ६ «ìë¥ § 票ïᬥé îâáï ®â á¥à¥¤¨ë á«®ï ª ¯®¢¥àå®áâï¬ ª®-â ªâ á ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨ x3=�0:5. �ਠí⮬१ª¨¥ ¨§¬¥¥¨ï å à ªâ¥à¨á⨪ ã¯à㣮£® á«®ï ¡«î¤ îâáï ¢¡«¨§¨ ¥£® £à ¨æ ( ¯à¨¬¥à, à¨á. 2, ªà¨¢ë¥ ¤«ï u3 ¨ �13 á ¨¤¥ªá®¬ �1 ¨ ¨¤¥ª-á ¬¨ �1 ¨«¨ �2, â ª¦¥ à¨á. 2,¡ ªà¨¢ë¥ ¤«ï �33á ¨¤¥ªá®¬ �1 ¨ ¨¤¥ªá ¬¨ �1 ¨«¨ �2). �¥«¨ç¨ëíªáâ६ «ìëå § 票© ¢®«®¢ëå ¬®¤ ¨ ᮮ⢥â-áâ¢ãî騥 ¨¬ ª®®à¤¨ âë x3 ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 1¨ 2 ¤«ï ᨬ¬¥âà¨çëå ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥-¡ ¨© ᮮ⢥âá⢥®.�«ï â¨á¨¬¬¥âà¨çëå ¢®«®¢ëå ¬®¤ ¯®¯¥à¥ç-ëå ¯¥à¥¬¥é¥¨© u3 ¨ ª á ⥫ìëå ¯à殮¨©�13 (à¨á. 2, ¡) ¢®£ãâ ï ¥®¤®à®¤®áâì �2 ¯à¨-¢®¤¨â ª ¡ëáâ஬㠢®§à áâ ¨î ¢¥«¨ç¨ u3(x3) ¨�13(x3) ¢¡«¨§¨ £à ¨æ á«®ï ¨ ¯®ç⨠¯®áâ®ï®-¬ã ¨å § ç¥¨î ¢ á¥à¥¤¨¥ á«®ï (\â㯮©" íªáâà¥-¬ã¬). �ਠ¢ë¯ãª«®© ¥®¤®à®¤®á⨠�1 ¡«î¤ -¥âáï ®¡à â ï ª à⨠{ § ®áâ२¥ ¬®¤ë ª á¥-।¨¥ á«®ï (\®áâàë©" íªáâ६ã¬). � «®£¨ç®¬®¦® ®¯¨á âì ¯®¢¥¤¥¨¥, å à ªâ¥à®¥ ¤«ï ᨬ¬¥-
� ¡«. 2. �ªáâ६ «ìë¥ § ç¥¨ï ¢®«®¢ëå ¬®¤ â¨á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨©�1 = �2 = 0:09 �1 = �2 = 0:18x3 umax1 x3 umax1�®¤ �0:50 � 0:61 �0:50 � 0:27�1(x3) �0:50 � 0:15 �0:50 � 0:14�2(x3) �0:50 � 0:13 �0:50 � 0:12x3 umax3 x3 umax3�®¤ 0 1:01 0 0:52�1(x3) 0 1:12 0 0:61�2(x3) 0 0:93 0 0:5x3 �max13 x3 �max13�®¤ 0 � 1:9 0 � 1:0�1(x3) 0 � 0:9 0 � 0:15�2(x3) 0 � 0:65 0 � 0:35x3 �max33 x3 �max33�®¤ �0:35 � 0:34 �0:40 � 0:3�1(x3) �0:42 � 0:41 �0:43 � 0:28�2(x3) �0:15 � 0:26 �0:10 � 0:15âà¨çëå ¢®«®¢ëå ¬®¤ ¯à®¤®«ìëå ¯¥à¥¬¥é¥¨©u1 ¨ ®à¬ «ìëå ¯à殮¨© �33 (á¬. à¨á. 2, ).�à¨ à §«¨çëå ¯«®â®áâïå ¦¨¤ª¨å á। -¡«î¤ ¥âáï áãé¥á⢥®¥ àã襨¥ ᨬ¬¥âà¨ç-ëå ¨«¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨©, ª®â®à륢ë஦¤ îâáï ¢ ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨ â¨-ᨬ¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï á १ª¨¬¨ ¨§¬¥¥¨ï¬¨å à ªâ¥à¨á⨪ ¥ ⮫쪮 ¢ á¥à¥¤¨¥ ¨«¨ £à -¨æ å á«®ï. � ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤®à®¤®£®á«®ï, ¯à¨ ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çëå ¨ ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥-âà¨çëå ª®«¥¡ ¨ïå ¡á®«îâë¥ § ç¥¨ï £à -¨æ å ª®â ªâ ã¯à㣮© ¨ ¦¨¤ª®© á। x3=�0:5 ¨x3=0:5 à §«¨çë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯à¨ ᨬ¬¥âà¨ç-ëå ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çëå { ®¤¨ ª®¢ë. �᪫îç¥-¨¥ á®áâ ¢«ï¥â ⮫쪮 § ¢¨á¨¬®áâì ª á ⥫쮣® ¯à殮¨ï �13, § 票¥ ª®â®à®£® ¯®¢¥àå®-áâïå ª®â ªâ ¢ â®ç®áâ¨ à ¢® ã«î ᮣ« á®£à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î �13=0. � ¨¡®«¥¥ å à ªâ¥à-ë¥ ¢¥«¨ç¨ë ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¨ ¯à殮¨© ¯®-¢¥àå®áâïå ª®â ªâ x3=�0:5 ¤«ï ¥®¤®à®¤®£®á«®ï, ª®â ªâ¨àãî饣® á à §«¨ç묨 ¦¨¤ª®áâﬨ�1=0:09 ¨ �2=0:18, ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 3.����������� ®á®¢¥ «¨â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ®à á¯à®áâà ¥¨¨ ¢®« ¢ ¥®¤®à®¤®¬ ã¯à㣮¬á«®¥, ª®â ªâ¨àãî饬 á ¦¨¤ª¨¬¨ ¯®«ã¡¥áª®¥ç-묨 á। ¬¨, ¯à®¢¥¤¥ ç¨á«¥ë© «¨§ ¢«¨-ï¨ï ¥®¤®à®¤®á⥩ ã¯à㣮£® á«®ï ¤¢ãå ⨯®¢(¢ë¯ãª« ï, ¢®£ãâ ï), â ª¦¥ ¦¨¤ª®á⥩ à §«¨ç-8 �. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �¥«¥§®¢
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 4 { 9� ¡«. 3. � ç¥¨ï ¢®«®¢ëå ¬®¤ ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çëå¨ ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨© ¯®¢¥àå®áâï媮⠪â ã¯à㣮£® á«®ï á à §ë¬¨ ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨ª¢ §¨á¨¬¬¥âà. ª¢ §¨ â¨á¨¬.u3(�0:5) u3(0:5) u3(�0:5) u3(0:5)�®¤ �0:005 � 0:145 0:37 0:28�1(x3) �0:010 � 0:130 0:29 0:23�2(x3) �0:025 � 0:145 0:42 0:30�33(�0:5) �33(0:5) �33(�0:5) �33(0:5)�®¤ 0:400 0:241 0:30 � 0:05�1(x3) 0:410 0:275 0:35 + 0:04�2(x3) 0:405 0:270 0:34 � 0:08®© ¯«®â®á⨠à á¯à®áâà ¥¨¥ ¢®« ¢ ¨áá«¥-¤ã¥¬®© £¨¤à®ã¯à㣮© á¨á⥬¥.�®ª § ®, çâ® ¢ ®¡« á⨠¨§ª¨å ä §®¢ëå ᪮-à®á⥩ íä䥪âë, ®¡ãá«®¢«¥ë¥ à §®áâìî ¯«®â-®á⥩ ¦¨¤ª¨å á। ¢ á«ãç ¥ ¥®¤®à®¤®£® á«®ï, 室ïâáï ¢ ª ç¥á⢥®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á १ã«ì-â â ¬¨, ¯®«ãç¥ë¬¨ ¤«ï ®¤®à®¤®£® á«®ï. �à¨í⮬ ¡«î¤ îâáï ª¢ §¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨ -â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï £¨¤à®ã¯à㣮© á¨áâ¥-¬ë. �¥®¤®à®¤®áâì ¬®¤ã«ï � ¯¥à¢®£® ⨯ (¢ë-¯ãª« ï), ¢®§à áâ î饣® ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ª á¥-।¨¥ á«®ï ¨ ¨¬¥î饣® â ¬ ¨¡®«ì襥 § ç¥-¨¥, 㢥«¨ç¨¢ ¥â ä §®¢ë¥ ᪮à®áâ¨, ¥®¤®à®¤-®áâì ¬®¤ã«ï � ¢â®à®£® ⨯ (¢®£ãâ ï), ª®â®à ï¯à¨ �(x3) ¨¬¥¥â ¢ á¥à¥¤¨¥ á«®ï ¬¨¨¬ã¬, 㬥ì-è ¥â ä §®¢ë¥ ᪮à®áâ¨. �áâ ®¢«¥ ¥¢®§¬®¦-®áâì à á¯à®áâà ¥¨ï £ ମ¨ç¥áª¨å ¢®« ¢ ¯à®-¬¥¦ã⪥ ¬¥¦¤ã ᪮à®áâﬨ ¢®« �â®ã«¨, á®®â-¢¥âáâ¢ãîé¨å à áᬠâਢ ¥¬ë¬ ¦¨¤ª®áâï¬.� «¨§ ¬®¤ ª®«¥¡ ¨© ¯®ª § «, çâ® ¢®«®¢ë¥¬®¤ë ª®¬¯®¥â ¯¥à¥¬¥é¥¨ï, â ª¦¥ ®à¬ «ì-ëå ¨ ª á ⥫ìëå ¯à殮¨© ¤«ï ¢ë¯ãª«®© ¥-®¤®à®¤®á⨠¨¬¥îâ १ª¨¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢ 㧪®©®ªà¥áâ®á⨠á¥à¥¤¨ë á«®ï, ª®â ªâ¨àãî饣® ᮤ¨ ª®¢ë¬¨ ¦¨¤ª®áâﬨ. �«ï ¢®£ã⮩ ¥®¤-®à®¤®á⨠¡«î¤ ¥âáï ¯à®â¨¢®¯®«®¦ ï ª àâ¨- { ¨¬¥îâ ¬¥á⮠१ª¨¥ ¨§¬¥¥¨ï ¢¡«¨§¨ £à ¨æá«®ï.� «¨ç¨¥ ¦¨¤ª®á⥩ à §«¨ç®© ¯«®â®á⨠áã-é¥á⢥® ¨áª ¦ ¥â ᨬ¬¥âà¨çë¥ ¨ â¨á¨¬¬¥-âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï, ¢ë஦¤ ï ¨å ¢ ª¢ §¨á¨¬¬¥-âà¨çë¥ ¨ ª¢ §¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥, ¯à¨ ª®â®àëå१ª¨¥ ¨§¬¥¥¨ï å à ªâ¥à¨á⨪ ¡«î¤ îâáï ¥â®«ìª® ¢ á¥à¥¤¨¥ ¨«¨ £à ¨æ å á«®ï.��������������¢â®àë ¡« £®¤ àë ª ¤¥¬¨ªã ��� �ªà ¨ë¯à®ä¥áá®àã �. �. �à¨ç¥ª® § ¯®«¥§ë¥ ᮢ¥âë ¨
§ ¬¥ç ¨ï, ¢ë᪠§ ë¥ ¢ 室¥ ®¡á㦤¥¨ï ¯à¥¤-áâ ¢«¥ëå १ã«ìâ ⮢.1. �¢à ¬¥ª® �. �, �¥«¥§®¢ �. �. � á¯à®áâà ¥¨¥¢®« ¢ ã¯à㣮¬ á«®¥, ¯®¬¥é¥®¬ ¬¥¦¤ã à §«¨ç-묨 ¦¨¤ª¨¬¨ á। ¬¨ // �ªãáâ. ¢iá.{ 1999.{ 2,N 3.{ �. 3{10.2. �¥©á¨ �. �. �¨ ¬¨ª «¥¤ï®£® ¯®ªà®¢ .{ �.: �̈ -¤à®¬¥â¥®¨§¤ â, 1967.{ 216 á.3. �¨ªâ®à®¢ �. �. �¨§¨ç¥áª¨¥ ®á®¢ë ¯à¨¬¥¥¨ïã«ìâà §¢ãª®¢ëå ¢®« �í«¥ï ¨ �í¬¡ ¢ â¥å¨ª¥.{M.: � 㪠, 1966.{ 168 á.4. �à¨ç¥ª® �. �., �¥«¥èª® �. �. � ମ¨ç¥áª¨¥ ª®-«¥¡ ¨ï ¨ ¢®«ë ¢ ã¯à㣨å ⥫ å.{ �.: � ãª. ¤ã¬-ª , 1981.{ 283 á.5. �¥«¥§®¢ �. �. �®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ¢®«®¢ëå ¨ ¤¨äà ª-樮ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ᯫ®èëå á। å.{ �.: � ãª.¤ã¬ª , 1989.{ 204 á.6. �à¥å®¢áª¨å �. �. �®«ë ¢ á«®¨áâëå á। å.{ �.:� 㪠, 1973.{ 344 á.7. �¥«¥§®¢ �. �., �¢à ¬¥ª® �. �. � á¯à®áâà -¥¨¥ £¨¤à®ã¯àã£¨å ¢®« ¢ ã¯à㣮¬ ¨«¨ ¦¨¤-ª®¬ á«®¥, ª®â ªâ¨àãî饬 á ¢¥è¥© á।®© //�̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1993.{ �ë¯. 68.{ �. 15{20.8. Rochlin S. I., Chimenti D. E., Nayfeh A. H. On thetopology of the complex wave spectrum in a
uid-copled elastic layer // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1989.{34, N 1.{ P. 90{117.9. �®àé �. �., �¨¢ª®¢ �. �. �®«ë àí«¥¥¢áª®£®â¨¯ £à ¨æ¥ à §¤¥« ®¤®à®¤®£® ⢥म£® ¯®-«ã¯à®áâà á⢠¨ ¥®¤®à®¤®£® ¦¨¤ª®£® á«®ï áíªá¯®¥æ¨ «ìë¬ ¨§¬¥¥¨¥¬ ¯«®â®á⨠¨ ᪮à®-á⨠§¢ãª // �ªãáâ. ¦.{ 1994.{ 40, N 1.{ �. 139{141.10. Seemann W., Wauer J. Fluid-structural couplingof vibration bodies in a surrounding con�ned liq-uid // Zeitschrift Fur Angewandte Math. Mech.(West Germany).{ 1996.{ 76, N 2.{ P. 67{79.11. Hawwa M. A., Nayfeh A. H. Flexural wave propa-gation in a
uid loaded plate with periodically vary-ing rigidity // Trans. ASME. J. Vib. Acoust.{ 1997.{119, N 3.{ P. 415{419.12. �¥«¥§®¢ �. �., �¢à ¬¥ª® �. �. � á¯à®áâà ¥¨¥¢®« ¢ ¯®¬¥é¥®¬ ¢ ¦¨¤ª®áâì ¢ ã¯à㣮¬ á«®¥á ¯ãáâ®â ¬¨ // � â. ¬¥â®¤¨ â äi§.-¬¥å.¯®«ï.{1997.{ N 1.{ �. 90-96.13. Tang Wenyong, Chen Tieyun Analysis for
uid-structure interaction vibration of laminated compos-ite ship panels // J. Shanghay Jiaotong Univ.{ 1997.{31, N 11.{ P. 112{115.14. Habault D., Filippi P. G. T. Light
uid approxima-tion for sound radiation and di�raction by thin elasticplates // J. Sound. Vib.{ 1998.{ 213, N 2.{ P. 333{374.15. Yu Soumian, Yang Pihua, Yu Tian Resonanse theo-ry of elastic head waves propagating in a solid lay-er in tight contact with a thic solid base // J. Vib.Control.{ 1998.{ 4, N 3.{ P. 219{236.16. Zhemin Zhu, Xiaoliang Zhao, Gonghuan Du Theoryof acoustic streaming generated by ultrasonic Lambwaves // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1998.{ 104, N 1.{P. 89{90.17. �¢à ¬¥ª® �. �., �¥«¥§®¢ �. �. � á¯à®áâà ¥¨¥¢®« ¢¤®«ì ã¯à㣮£® ¥®¤®à®¤®£® á«®ï ¢ ¦¨¤ª®-á⨠// �§¢. ���. �TT.{ 1996.{ N 6.{ �. 172{182.18. Hook J. F. Separation of the vector wave equation ofelasticity for certain types of inhomogeneous, isotrop-ic media // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1961.{ 33, N 3.{P. 302{313.�. �. �¢à ¬¥ª®, �. �. �¥«¥§®¢ 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1103 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:15:56Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, О.В. Селезов, И.Т. 2008-07-22T12:32:46Z 2008-07-22T12:32:46Z 2000 Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн / О. В. Авраменко, И. Т. Селезов // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 1. — С. 4-9 — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1103 532.59 Исследуется распространение гармонических волн в гидроупругой системе, состоящей из неоднородного упругого слоя, помещенного между двумя сжимаемыми жидкостями с различными физическими свойствами. Проведен численный анализ дисперсионного уравнения для случая фазовых скоростей, меньших большей из скоростей звука в жидкостях. Дисперсионное уравнение имеет два действительных корня, соответствующих квазисимметричным и квазиантисимметричным колебаниям слоя. Рассмотрены предельные случаи: однородный слой между различными жидкими средами и неоднородный слой между одинаковыми жидкими средами. Представлены волновые моды продольных и поперечных перемещений, касательных и нормальных напряжений в упругом слое. В результате анализа волновых мод установлено, что неоднородности слоя могут приводить к сильной концентрации волновых полей как в центральной части (неоднородность первого типа), так и вблизи границ слоя (неоднородность второго типа). Досліджується поширення гармонічних хвиль у гідропружній системі, що складається з неоднорідного пружного шару, розміщеного між двома стисливими рідинами з різними фізичними властивостями. Проведено чисельний аналіз дисперсійного ріняння для випадку фазових швидкостей, менших за більшу зі швидкостей звуку в рідинах. Дисперсійне рівняння має два різних корені, які відповідають квазісиметричним та квазіантисиметричним коливанням шару. Розглянуто граничні випадки: однорідний шар між різними рідкими середовищами та неоднорідний шар між однаковими рідкими середовищами. Представлено хвильові моди поздовжних та поперечних переміщень та дотичних та нормальних напружень у пружному шарі. Як результат аналізу хвильових мод встановлено, що неоднорідності шару можуть призводити до сильної концентрації хвильових полів як у центральній частині (неоднорідність першого типу), так і поблизу меж шару (неоднорідність другого типу). Propagation of harmonic waves in hydroelastic system consisting of inhomogeneous elastic layer placed between two compressible fluids with different physical properties is investigated. Numerical analysis of the dispersion equation is carried out for phase velocities less than the greater sound velocity of two fluids. The dispersion equation has two real roots corresponding to quasisymmetric and quasiasymmetric oscillations of the layer. The two limiting cases are considered: a layer between two fluid media with different properties and an inhomogeneous layer between the same fluid media. The wave modes are presented for longitudinal and transverse diplacements, shear and normal stresses in elastic layer. It is established from analysis of waves modes that inhomogeneities of the layer can lead to strong concentration of wave fields both in central part (inhomogeneity of the first type), and near boundaries of the layer (inhomogeneity of the second type). ru Інститут гідромеханіки НАН України Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн Effect of inhomogeneity of elastic layer placed between two different fluid media on the wave propagation Article published earlier |
| spellingShingle | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн Авраменко, О.В. Селезов, И.Т. |
| title | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн |
| title_alt | Effect of inhomogeneity of elastic layer placed between two different fluid media on the wave propagation |
| title_full | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн |
| title_fullStr | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн |
| title_full_unstemmed | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн |
| title_short | Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн |
| title_sort | влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространение волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1103 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoov vliânieneodnorodnostiuprugogosloâpomeŝennogomeždurazličnymižidkimisredaminarasprostranenievoln AT selezovit vliânieneodnorodnostiuprugogosloâpomeŝennogomeždurazličnymižidkimisredaminarasprostranenievoln AT avramenkoov effectofinhomogeneityofelasticlayerplacedbetweentwodifferentfluidmediaonthewavepropagation AT selezovit effectofinhomogeneityofelasticlayerplacedbetweentwodifferentfluidmediaonthewavepropagation |