Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave

We present, for general relativistic case, a theoretical investigation of the resonant two-photon emission of an electron in the circularly-polarized electromagnetic wave. Resonances are related to a virtual intermediate particle that falls within mass shell. We find condition when resonances occur...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Вопросы атомной науки и техники
Дата:2007
Автори: Voroshilo, O.I., Roshchupkin, S.P.
Формат: Стаття
Мова:Англійська
Опубліковано: Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2007
Теми:
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110951
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave / O.I. Voroshilo, S.P. Roshchupkin // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 221-224. — Бібліогр.: 6 назв. — англ.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860020735560384512
author Voroshilo, O.I.
Roshchupkin, S.P.
author_facet Voroshilo, O.I.
Roshchupkin, S.P.
citation_txt Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave / O.I. Voroshilo, S.P. Roshchupkin // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 221-224. — Бібліогр.: 6 назв. — англ.
collection DSpace DC
container_title Вопросы атомной науки и техники
description We present, for general relativistic case, a theoretical investigation of the resonant two-photon emission of an electron in the circularly-polarized electromagnetic wave. Resonances are related to a virtual intermediate particle that falls within mass shell. We find condition when resonances occur and we derive the expressions for the resonant amplitude and the differential probability when the invariant intensity of the wave is small ( η << 1 ). It is demonstrated that the resonant two-photon emission probability may be several orders magnitude greater than the probability of the corresponding process out of the resonance. В загально-релятивістському випадку теоретично досліджено резонансне двофотонне випромінювання електрона в полі циркулярно-поляризованної хвилі. Знайдені умови резонансного проходження процесу і отримані резонансні амплітуда і диференційна ймовірність у випадку, коли інваріантний параметр інтенсивності хвилі малий ( η << 1 ). Показано, що резонансна ймовірність може на декілька порядків перевищувати ймовірність даного процесу в нерезонансних умовах. В общем релятивистском случае теоретически исследовано резонансное двухфотонное излучение электрона в поле циркулярно-поляризованной электромагнитной волны. Установлены условия резонансного протекания процесса и получены резонансные амплитуда и дифференциальная вероятность в случае, когда инвариантный параметр интенсивности волны мал ( η << 1 ). Показано, что резонансная вероятность на несколько порядков может превышать вероятность данного процесса в нерезонансных условиях.
first_indexed 2025-12-07T16:47:14Z
format Article
fulltext RESONANT TWO-PHOTON EMISSION OF AN ELECTRON IN THE FIELD OF AN ELECTROMAGNETIC WAVE O.I. Voroshilo and S.P. Roshchupkin Institute of Applied Physics, National Academy of Sciences of Ukraine, Sumy, Ukraine e-mail: al-war@ukr.net We present, for general relativistic case, a theoretical investigation of the resonant two-photon emission of an electron in the circularly-polarized electromagnetic wave. Resonances are related to a virtual intermediate particle that falls within mass shell. We find condition when resonances occur and we derive the expressions for the reso- nant amplitude and the differential probability when the invariant intensity of the wave is small (η ). It is dem- onstrated that the resonant two-photon emission probability may be several orders magnitude greater than the prob- ability of the corresponding process out of the resonance. 1<< PACS: 3450.Rk, 12.20.-m 1. INTRODUCTION The theoretical study of the quantum processes of the first order in the fine structure constant in the pres- ence of the field of a plane electromagnetic wave dates back to the 1960s and is connected with the creation of lasers. Experimental testing of this study becomes pos- sible with production of ultrahigh-power femtosecond lasers. The results of series of experiments at SLAC are found to be in general in agreement with the theoretical predictions [1-3]. For interpretation of these experi- ments becomes necessary to take into account the quan- tum processes of the second order in the fine structure constant in the wave field. The analysis of these proc- esses in the wave field is complicated by computational difficulties and a cumbersome form of results and in works [2,3] the estimation result is only used. Charac- teristic feature of the second order process in the wave field is the appearance of the resonances which are re- lated to a virtual intermediate particle that falls within the mass shell (see the work [4] and review [5]). The purposes of the present work are clarification of a condition of resonant two-photon emission and calcu- lation of a resonant probability. The relativistic system of units, where , and standard metric will be used through- out this paper. 1c= = 0 0( )ab a b= −ab 2. AMPLITUDE Let us choose the 4-potential of an external circu- larly polarized electromagnetic wave as A(φ) = a (ex cos φ + δey sin φ), (1) 2A k where a = F / ω; F and ω are the amplitude of the elec- tric field strength and the frequency of the wave; δ = ± 1; φ = (kx) = ωt – kx is the phase; k = (ω,k) and ex = (0,ex), ey = (0,ey) are the four-momentum and the polarization four-vectors of the wave meeting the stan- dard condition: (ex ey ) = (ex k ) = (ey k ) = 0, . 2 2 1x ye e= = − The amplitude for the two-photon emission of an electron in the field of a wave is represented by two Feynman diagrams (Fig. 1). (а) p′ 2k′ p 1q 1k′ (b) p′ 1k′ p 2q 2k′ Fig. 1. Feynman’s diagrams of two-photon emission of an electron in the field of a plane electromagnetic wave. The double lines correspond to the wave function of an electron in the field of the wave (the Volkov functions), and the dashed lines represent a photon The amplitude of the two-photon emission of an electron is given by the expression µ νγ γ′′ ′= − Ψ Ψ∫2 ( ) G( ) ( )p pS ie dxdx x x,x x ′ µ ′ 1 ( )µ ν ∗ ∗ ∗ ∗′ ′ ′ ′ ′ ′× +1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )vA k x A k x A k x A k x , (2) where , are four-momentums for initial and final electrons; , are four-momentums of emitted photons; ( ) are Dirac matrixes; , and are the wave function of the photon, the wave function and the Green-function electron in the field (1) [1,6]: ( , )p ε= p 0,1,2,3 ( , )G x x′ ( , )p ε′ ′= p k1 1( , )ω= k A kµ 2 2( , )k ω= k µγ 2( )x ( )p xΨµ = 1,′ 1( ) 1( ) e i k xx eµ µ π ω ′−′ = , (3) ( ) ( ) 2 piS x p p p u x B e ε Ψ = , ˆ ˆ( ) 1 ( )p eB x kA kp = + , (4) 4 4 2 2 ˆ1( , ) d ( ) ( ) (2 ) q q q mG x x q B x B x q mπ +′ ′= −∫ (exp ( ) ( )q qiS x iS x′× − ) , (5) where , are the charge and the mass of an electron; quantities with caps represent scalar products of a four- e m PROBLEMS OF ATOMIC SCIENCE AND TECHNOLOGY. 2007, N3 (1), p. 221-224. 221 vectors by Dirac matrixes; u is Dirac bispinor; is the classical action of an electron in the field (1): p pS ( ) 0 ( kx dϕ ion ′2k x y z k′ ′− 1,q 2( ) ( ) ( )) ( ) ( ) 2p e e S x px pA A kp ϕ  = − − −    ∫ .(6) ϕ The geometry of a two-photon emission of an elec- tron is depicted on Fig. 2. ′1k k p ′p wave direct ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ Fig. 2. The geometry for study of two-photon emis- sion in the field of a plane electromagnetic wave The analysis of quantum-electrodynamics processes of the second order in the fine structure constant in the wave field is complicated by computational difficulties and a cumbersome form of results. Therefore we restrict our consideration to the case when the intensity of the wave meets the condition: 2 / /( )e A m eF mη = − = 1ω ) . (7) With accuracy to the amplitude (2) can be written as 2~η ( )( (0, 1) ( 1,0) (4) 1 2( kS D T T p p kνµ νµη δ− − ′= ⋅ + + − − 2 (0, 2) ( 1, 1) ( 2,0)( )T T Tνµ νµ νµη − − − −+ + + )4 (4)(2 ) ( 2k )p p k kπ δ ′ ′ ′× + − − − where 2 1 2/D ie π εε ωω′ ′ ′= − is normalization constant. In Ex. (8) we introduce the notations: 1 2 , (8) ( , ) ( ) ( )1 1 2 1 2 2 1 ˆ ( , ) ( )vp q m T e e u M p q M q m λ λ ν µ λ λ νµ µ ′ ′∗ ∗ ′  + ′=  − p ( ) ( )2 2 2 2 2 ˆ ( , ) ( , )v q m M p q M q p u q m λ λ µ ′ + ′ + −  2 p kλ′ kλ′ . (9) Here 1 1 2q p k k p kλ′ ′ ′= − − = + + ; (10) 2 2 2q p k k p kλ′ ′ ′= − − = + + (11) are 4-quasimomentums of the intermediate electrons. Quasimomentum is equal to the momentum with addi- tion which is caused by influence of external field [1,6]: . Taking into account the condi- tion (7) in the expression (8) we may neglect these addi- tions in the item which is proportional to . In the expression (9) are the invariant amplitudes: ( ) 12 2( )q q kq kη −= + 2~η ( )lM µ ′ η2 2 1 2( m kp )p ( )µ + 2)− ) e a = ±2)p ∓) 1( ,p p =1 2)p µ 1 2, )p p 1 2 k̂k ) µ ∓) 2( m kp + − 2 1 1 1 ) (kp = −m ( ) ( ) y x ge ge 1 1 2(kp 2 2 2q = /2Γ 2e = µ µγ   = − +    2 (0) 1 2 1 2 ( , ) ˆ( , 1 kk 2 2 )( ) y p p M p kp µ χ χ µ − −−( ) ( )1 2 1 2 1 ( , ( , ) ( , 2 i iy p p p p e a p p ; (12) χ µ µγ ± +∓( 1) ( 1 1 2 2 1 ( , ( , ) ) 2 iM p y p p e a ; (13) µ χ µ µγ ± ∓2 2 ( 2) 1 2( , ) ( , 8 iy p p e M p χ µ η + ± ∓ ∓ 2 2 ( ) 1 2 1 ( , ) ( 4( )( 2 im y p p e a kp kp , (14) where ( )µ µ= −∓ ∓( ) ( ) ( ) 1 2 2 ˆ ˆ( , ) a p p ke e k µγ      ∓( ) ˆˆ 4 ( ) m e k kp ; (15) 2 1 2 1 2( , ) ( , )y p p g p p , δ χ =tan ; (16) = − (kp ) ) p p g . (17) 2 2 2 3. CONDITIONS OF RESONANT TWO-PHOTON EMISSION Hence we can conclude that probability ( ~| ) of two-photon emission of an electron in the wave field is proportional to η and in comparison with one photon emission [1] it contains additional factor and therefore it is small. Still the situation changes when virtual intermediate electrons fall within the mass shell: 2|S 1/137 2 2 1q m= , . (18) m Rigorously, the divergence of the amplitude of scat- tering in the resonance range indicates that expansion into a perturbation series is inapplicable in the situation under study. Correct calculation of the scattering ampli- tude requires an approach that would fall beyond the framework of the perturbation theory. Specifically, we can perform summation of a principal sequence of Feynman diagrams. In practice, such summation is re- duced to a consideration of radiative corrections to the masses of particles involved in the process under inves- tigation. This procedure leads to a finite width of a reso- nance. We use a resonant approach to obtain a resonant amplitude and a differential probability. In accordance with it in the nominator q and in the dominator the mass of an electron in the wave field becomes com- plex: 2 1,2 m= m iµ = − , (19) where the width of resonance Γ is determined by the total probability of decay of intermediate state, i.e., the probability of the single emission [1]: 222 2 2 1( ) 4 e m F uηΓ = , (20) ′ where is the invariant parameter and we introduce the notation: 2 1 2( ) /u kp= m ( )1 12 1 1 4 8 1( ) 1 ln 1 2 F u u u u   = − − + +    2 1 1 8 1 2(1 )u u + − + . (21) 2(( ) − + The width of the resonance in non relativistic case ( 1ω in the frame of reference where the initial electron remains at rest) is very small: Γ . But it becomes significant in relativistic case. For ex- ample for , we have (~0.1 eV). / <<m 4 2~ 10 η ω− 6~ 10 m−Γ1 0.5u = 0.1η = Conditions (18) satisfy . In this case we can rewrite a process as a sequence of two subprocesses (see Fig. 3): an emission of the photon ( k ) by the initial electron in the field of the wave and an emission of the photon ( k ) by the intermediate electron in the field of the wave. The conservation laws of four- momentum which correspond to these subprocesses have the following forms: 1λ λ′= = − 1k ′ 2′ 2k ′ 1′ 1,2 1,2 1,2 2,1 ; . p k q k q k p k ′+ = +  ′ ′+ = + (22) 1 2( )k k′ ′ ′p p 2 2 1q m= 2 1( )k k′ ′ 2 2 2( )q m= Fig. 3. Resonance of two-photon emission in the field of a plane electromagnetic wave (four-vectors out (in) brackets relate to the first (second) diagram on Fig. 1) The resonance conditions (18) can be written as: 1,2; 1,2 ( ) ([ ] )res kp ω ε ω ′ = ′+ − +p k n . (23) d d Here are unit vectors of the directions of emitted photons. 1,2′n On the other side to exclude q from (19) we get conservation four-momentum law: 1,2 12p k p k k′ ′+ = + + 2′ . (24) E E As it follows from (20) the frequency of the photon lays in the interval: 1k ′ 1 1 2( )0 2 ([ 2 ] kp ω ε ω ′≤ ≤ ′+ − +p k n ) , (25) | | and the frequency of the photon k is connected with the frequency ω by the relationship: 2′ 1 1 2 1 1 2( ) ([ 2 ] ) 2 ([ 2 ] kp p k k ω ε ω ω ′− +′ = ′ ′+ − − + −p k k n2 )′ . (26) We can consider resonances of the first and the sec- ond diagrams separately with exception of a case when it is executed an equation: ( ) 1, 2 1 ) ([ 2 ] ) [ ] ([ 2 ] ) reskp p k kkp p k n p k k n ′ = ′+ + − , (27) 2′ ′ where ; is the resonant fre- quency (20). 1,res 1, 1, 1( ,res resk ω ω′ ′ ′= n )′ 1,resω′ This is the condition of the interference resonant ampli- tudes. The solution of Eq. (24) is the directions of an emission of photons which satisfies the equation (see Fig. 4): 2k ′ 2 0cos ( , ) /j′∠ =n j j . (28) Here ( ) res 0 1,res ( ) , [ ] ( ) kk j j p k k k kp ′ ′= = + + −j . (29) ′1k k p wave direction ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ′2k z j Fig. 4. Interference of the resonant amplitudes 4. RESONANT PROBABILITY Let us obtain probability of the resonant two-photon emission in the absence of interference of resonant am- plitudes. In the case of resonance of the first diagram (see Fig. 1) the differential transition rate (per unit time) is given by the expression: 4 4 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 0 21 w | | ( )32 | | d e T d Eq ωωη ω π ε µ ′ ′ = ′ ′ ′ ′Ω Ω −− En . (30) Here is the classical electron radius, 2 2 0 /r e= m ( )( 1) ( 1) 1 1 12 ˆ( , ) ( , )p v pT e e u M p q q m M q p uµν µ ∗∗ − − ′ ′= + 1 k 1− ; (31) 1 1 2q p k k p k′ ′ ′= − + = + − ; (32) 0( , ) 2p k k ′= = +E . (33) The resonant denominator in the expression (25) in the vicinity of a resonance has the form 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1,res 1q m u m ω µ ω   ′ Γ  − ≈ − +    ′     . (34) 223 The procedure of averaging and summation in the polarization of the initial and the final electrons and of the final photons yields (2 4 2 1 1 1 2 1 1 1| | 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )T m f u f u g u g uυ υ υ υ= + 1 2 1 1 1 1 22 (1 ) 1u υ υ υυ υ υ + − + + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 (1 )(1 ) u u υ υ υ υ υ υ υ υ  +  +    + +   2 − ) ) , (35) where υ , , , are invariant parame- ters; 1 1( ) /(kk kp′= 1 22 ] ) /([2k k k′= − 2 1 2( )u kp m−= 1 ] )k p′ ′− 2 2( ) /(kk kpυ ′= ([ kυ ′ 2 1 1 1 1 1 1 ( , ) 2 4 1 1 f u u u υ υ υ υ   = + − −  +   1 1 υ ; (36) 1 1 1 1 1 1 1 1 (2 )( 2 ) ( , ) 2 (1 ) u g u u υ υ υ υ + − = + υ . (37) In general relativistic case probability of resonant two-photon emission of electron in the field of the low intense electromagnetic wave cannot be effectively di- vided into two subprocesses of the first order in the fine-structure constant. However it is possible in the non relativistic case 1 1u (38) (all the rest invariant parameters in Eq. (32) are less or equal to u ). In this case for direct amplitude we can write 1 12 2 12 1 1 1 2 1,res w 1 d u d d d m ω ω ω −  ′   Γ    − +         ′ ′ ′ ′Ω Ω     ∼   2 1 1 1 2 1 w( , ) w( , )d u d u d d d υ υ ω × ⋅ ′ ′Ω Ω1′ , (39) where is the differential probability per unit time to emit the photon with absorption of one pho- ton of the electromagnetic wave, d is the dif- ferential probability per unit time to emit the photon with absorption of one photon of the electromagnetic wave. 1 1w( , )d uυ 1k ′ 2 1w( , )uυ 2k ′ 5. CONCLUSION Analysis of two-photon emission of electron in the field circularly polarized wave has demonstrated that this process may occur in a resonant region. The reso- nance has a place when the frequency at least one of the emitted photons approaches to the frequency one- photon emission. Estimation shows that the resonant probability of two-photon emission may be several or- ders magnitude greater than the probability of the corre- sponding process out of the resonance. REFERENCES 1. V.I. Ritus, A.I. Nikishov. Quantum effects of inter- action of elementary particles with intense electro- magnetic field //Trudy FIAN. 1979, v. 11, p. 5-151 (in Russian). 2. C. Bula et al. Observation of Nonlinear Effects in Compton Scattering //Phys. Rev. Lett. 1996, v. 76, p. 3116-3119. 3. D.L. Burke at al. Positron Production in Mul- tiphoton Light-by-Light Scattering //Phys. Rev. Lett. 1997, v. 79, p. 1626-1629. 4. V.P. Oleinik. Resonant effects in the field of intense laser beam //Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1967, v. 52, p. 1049-1067 (in Russian). 5. S.P. Roshchupkin. Resonant effects in collisions of relativistic electrons in the field of a light wave //Laser Phys. 1996, v. 6, p. 837-858. 6. V.B. Berestetskii, E.M. Lifshitz, L.P. Pitaevskii. Quantum Electrodynamics. M.: “Nauka”, 1980 (in Russian). РЕЗОНАНСНОЕ ДВУХФОТОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ А.И. Ворошило, С.П. Рощупкин В общем релятивистском случае теоретически исследовано резонансное двухфотонное излучение элек- трона в поле циркулярно-поляризованной электромагнитной волны. Установлены условия резонансного протекания процесса и получены резонансные амплитуда и дифференциальная вероятность в случае, когда инвариантный параметр интенсивности волны мал (η ). Показано, что резонансная вероятность на не- сколько порядков может превышать вероятность данного процесса в нерезонансных условиях. 1<< РЕЗОНАНСНЕ ДВОФОТОННЕ ВИПРОМІНЮВАННЯ ЕЛЕКТРОНА В ПОЛІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ХВИЛІ О.І. Ворошило, С.П. Рощупкін В загально-релятивістському випадку теоретично досліджено резонансне двофотонне випромінювання електрона в полі циркулярно-поляризованої хвилі. Знайдені умови резонансного проходження процесу і отримані резонансні амплітуда і диференційна ймовірність у випадку, коли інваріантний параметр інтенсив- ності хвилі малий (η ). Показано, що резонансна ймовірність може на декілька порядків перевищувати ймовірність даного процесу в нерезонансних умовах. 1<< 224
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-110951
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1562-6016
language English
last_indexed 2025-12-07T16:47:14Z
publishDate 2007
publisher Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
record_format dspace
spelling Voroshilo, O.I.
Roshchupkin, S.P.
2017-01-07T14:10:49Z
2017-01-07T14:10:49Z
2007
Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave / O.I. Voroshilo, S.P. Roshchupkin // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 221-224. — Бібліогр.: 6 назв. — англ.
1562-6016
PACS: 3450.Rk, 12.20.-m
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110951
We present, for general relativistic case, a theoretical investigation of the resonant two-photon emission of an electron in the circularly-polarized electromagnetic wave. Resonances are related to a virtual intermediate particle that falls within mass shell. We find condition when resonances occur and we derive the expressions for the resonant amplitude and the differential probability when the invariant intensity of the wave is small ( η &lt;&lt; 1 ). It is demonstrated that the resonant two-photon emission probability may be several orders magnitude greater than the probability of the corresponding process out of the resonance.
В загально-релятивістському випадку теоретично досліджено резонансне двофотонне випромінювання електрона в полі циркулярно-поляризованної хвилі. Знайдені умови резонансного проходження процесу і отримані резонансні амплітуда і диференційна ймовірність у випадку, коли інваріантний параметр інтенсивності хвилі малий ( η &lt;&lt; 1 ). Показано, що резонансна ймовірність може на декілька порядків перевищувати ймовірність даного процесу в нерезонансних умовах.
В общем релятивистском случае теоретически исследовано резонансное двухфотонное излучение электрона в поле циркулярно-поляризованной электромагнитной волны. Установлены условия резонансного протекания процесса и получены резонансные амплитуда и дифференциальная вероятность в случае, когда инвариантный параметр интенсивности волны мал ( η &lt;&lt; 1 ). Показано, что резонансная вероятность на несколько порядков может превышать вероятность данного процесса в нерезонансных условиях.
en
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
Вопросы атомной науки и техники
QED processes in strong fields
Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
Резонансне двофотонне випромінювання електрона в полі електромагнітної хвилі
Резонансное двухфотонное излучение электрона в поле электромагнитной волны
Article
published earlier
spellingShingle Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
Voroshilo, O.I.
Roshchupkin, S.P.
QED processes in strong fields
title Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
title_alt Резонансне двофотонне випромінювання електрона в полі електромагнітної хвилі
Резонансное двухфотонное излучение электрона в поле электромагнитной волны
title_full Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
title_fullStr Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
title_full_unstemmed Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
title_short Resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
title_sort resonant two-photon emission of an electron in the field of an electromagnetic wave
topic QED processes in strong fields
topic_facet QED processes in strong fields
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110951
work_keys_str_mv AT voroshilooi resonanttwophotonemissionofanelectroninthefieldofanelectromagneticwave
AT roshchupkinsp resonanttwophotonemissionofanelectroninthefieldofanelectromagneticwave
AT voroshilooi rezonansnedvofotonnevipromínûvannâelektronavpolíelektromagnítnoíhvilí
AT roshchupkinsp rezonansnedvofotonnevipromínûvannâelektronavpolíelektromagnítnoíhvilí
AT voroshilooi rezonansnoedvuhfotonnoeizlučenieélektronavpoleélektromagnitnoivolny
AT roshchupkinsp rezonansnoedvuhfotonnoeizlučenieélektronavpoleélektromagnitnoivolny