Intermittency in Hamiltonian systems
We consider 2D map with the singularity. Here we observe an intermittency behavior. This system can be interpreted in two ways. In the first way this map can arise like a result of quantization of the continuous Hamiltonian system with one degree of freedom. In the second way we can interpret this m...
Saved in:
| Published in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110970 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Intermittency in Hamiltonian systems / S.V. Slipushenko, A.V. Tur, V.V. Yanovsky // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 289-292. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859588144761929728 |
|---|---|
| author | Slipushenko, S.V. Tur, A.V. Yanovsky, V.V. |
| author_facet | Slipushenko, S.V. Tur, A.V. Yanovsky, V.V. |
| citation_txt | Intermittency in Hamiltonian systems / S.V. Slipushenko, A.V. Tur, V.V. Yanovsky // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 289-292. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | We consider 2D map with the singularity. Here we observe an intermittency behavior. This system can be interpreted in two ways. In the first way this map can arise like a result of quantization of the continuous Hamiltonian system with one degree of freedom. In the second way we can interpret this map like a Poincaré section of some 2D Hamiltonian system. As is well known the behavior of a Poincaré section defines the system behavior as a whole. We investigate the mechanism of the chaos generation near singularity. We show that singularity can generate a stochastic sea in Hamiltonian systems under any value of a perturbation. Originating modes have intermittent structure.
Подано дослідження властивостей двомірного відображення з сингулярністю. У такому відображенні спостерігається переміжність. Така система може виникати двома способами. По-перше, вона може розглядатися як результат дискретизації безперервної гамільтонової системи з одним ступенем свободи. По-друге, ми можемо розглядати таке відображення як переріз Пуанкаре деякої двовимірної гамільтонової системи. При цьому поведінка перерізу Пуанкаре в цілому визначає поведінку всієї системи. Досліджувался механізм виникнення переміжності поблизу сингулярності. Показано, що сингулярність призводить до виникнення стохастичного моря у гамільтонових системах за будь-яких значень збурення. Режими, що виникають при цьому, мають переміжну структуру.
Представлено исследование свойств двумерного отображения с особенностью. В таком отображении наблюдается перемежаемость. Такая система может возникать двумя способами. Во-первых, она может рассматриваться как результат дискретизации непрерывной гамильтоновой системы с одной степенью свободы. Во-вторых, мы можем рассматривать такое отображение как сечение Пуанкаре некоторой двумерной гамильтоновой системы. При этом поведение сечения Пуанкаре определяет поведение системы в целом. Исследовался механизм возникновения перемежаемости вблизи особенности. Показано, что особенность приводит к возникновению стохастического моря в гамильтоновых системах при любых значениях возмущения. Возникающие при этом режимы имеют перемежаемую структуру.
|
| first_indexed | 2025-11-27T11:26:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
INTERMITTENCY IN HAMILTONIAN SYSTEMS
S.V. Slipushenko1, A.V. Tur2, V.V. Yanovsky1
1Institute for Single Crystals, National Academy of Ukraine,
60, Lenin Av., Kharkiv, Ukraine,
e-mail: yanovsky@isc.kharkov.com;
2Centre d'Étude Spatiale des Rayonnements,
C.N.R.S.-U.P.S., 9, avenue Colonel-Roche 31028 Toulouse CEDEX 4
We consider 2D map with the singularity. Here we observe an intermittency behavior. This system can be inter-
preted in two ways. In the first way this map can arise like a result of quantization of the continuous Hamiltonian
system with one degree of freedom. In the second way we can interpret this map like a Poincaré section of some 2D
Hamiltonian system. As is well known the behavior of a Poincaré section defines the system behavior as a whole.
We investigate the mechanism of the chaos generation near singularity. We show that singularity can generate a
stochastic sea in Hamiltonian systems under any value of a perturbation. Originating modes have intermittent struc-
ture.
PACS: 82.40.Bj, 05.45.-a
1. MAP WITH SINGULARITY
We consider conservative map : 2 2→
1
1 1
1
= ,
=
n n n
n n n
n
x x ay
by y ax
x
+
+ +
+
+
− + .
(1)
It is easy to find that the map conserves the phase
volume. It can be an exact Poincaré map of some Ham-
iltonian system with higher dimension. Then informa-
tion obtained under the exploration can be transferred to
properties of continuous Hamiltonian systems. In an-
other case we can interpret it like a result of approxi-
mate quantization of a continuous Hamiltonian system
[1,2]. New properties of this map would correspond to
effects of quantization. Such duality of nature of the
maps occurrence expands the possibilities of its proper-
ties interpretation.
Map has two parameters и . But we can assign
, since substitution
a b
=b a
=x b x
=y b y
transforms the map (1) to the universal form
1
1 1
1
=
=
n n n
n n n
n
x x ay
ay y ax
x
+
+ +
+
+
− + .
(2)
Singularity line is a main object, which defines
structure of the map phase space. This line forms an
angle with ordinate axis. Let us con-
sider map of the line intersecting the ordinate axis under
angle . We get that its image has asymptotic rays,
which have angles и with ordinate axis at the
infinity
= ( )arctg a aα ≈
α
α β
3
2= 2 2 ,
1
tgarctg tg a
tg
αβ α α
α
+ ≈ +
<< 1 .
Thus, the map rotates at the angle at large dis-
tance from the infinity and the structure of phase space
would have [2 order symmetry under small values
of .
α
/ ]aπ
a
2. STRUCTURE OF PHASE SPACE
The phase portrait of the map is shown it Fig. 1.
Singularity in the phase space allows the trajectories to
reach the infinity under finite number of steps. Original
coordinates of such trajectories lie on preimages of the
singularity line. Singularity and series of its preimages
provides the absence of classical behavior of systems in
a large region of phase space. Thus it is naturally to
divide the phase space into regions (Fig. 3).
Fig. 1. Phase portrait of the map
The first region does not include points from pre-
images of the singularity. Therefore here we can ob-
serve the situation typical for Hamiltonian systems. This
region consists of separate islands. It gathers around it
fixed elliptical points of different orders. Each elliptical
PROBLEMS OF ATOMIC SCIENCE AND TECHNOLOGY. 2007, N3 (2), p. 289-292. 289
point is surrounded by invariant trajectories. On the
border of such region we can observe classical situation
of chaos rise in Hamiltonian systems. We can observe
ordinary stochastic layers which are isolated from the
outer stochastic sea and therefore do not interact with it.
The most outer layer overlaps with surrounding it re-
gion of the overall chaos. Therefore transitions between
them become possible. Such overlap becomes possible
thanks to specific structure of the phase space (Fig. 4).
Similar structure of the phase space leads to the restric-
tion on the diffusion process. Leaving trajectories to the
region of the overall chaos is possible only from the
small neighborhood of unstable points and in the nar-
row range of the direction which is slightly differentt
from the direction of the unstable manifold.
The second region contains preimages of the singu-
larity line. Computer calculation of the large number of
such preimages shows that region of the overall chaos is
everywhere dense and is overlapped by points which
run to the infinity for a finite number of iterations.
Building of a set of preimages of the singularity line
allows to find the overall chaos border (Fig. 2).
Fig. 2. Stochastic sea region obtained by computer
modeling
Fig. 3. Phase portrait (black points) with superimposed preimages of the singularity line (gray points)
Computer modeling shows that all trajectories in the
region of overall stochasticity are unlocalizated. Diffu-
sion of this trajectories to infinity has anomalous char-
acter.
Number and relative position of islands of the clas-
sical Hamiltonian behavior in the phase space defines
its coarse structure. Such structure remains invariant in
some interval of parameter values. With its change
the system bifurcates.
a
For systems with singularity exists criterion of its in-
tegrability [3]. One of such criterion is Painlevé test for
checking singularity confinement property. In our sys-
tem such test is successful only for . = 0a
1
2
2
= ,
= ,
= /
n
n
n
x x
x
x a
ε
ε
+
+ − .x
The set of the parameter values which exists un-
der that singularity disappears at the some step. But as a
whole the system is not integrable.
a
Fig. 4. Structure of the phase space on the
border between the stochastic sea and the
region of the classical Hamiltonian behavior
Fig. 5. Intermittency behavior of the map trajectory
290
3. SCENARIO OF CHAOTISATION
The presence of the singularity in the map phase
space can bring to the appearance of not typical dynam-
ics of Hamiltonian systems. A classical scenario of the
chaos rise in Hamiltonian systems [4,5] consists in the
formation of stochastic layers in the neighborhood of
separatrixes. These layers overlap and form large region
of phase space where system has a chaotic behavior.
Usually such region is called a stochastic sea. Regular
trajectories are saved only in the small neighborhood of
elliptical points. Phase portrait of such system is sto-
chastic sea with stability islands around the elliptical
points.
In the map with singularity in addition to general
chaotisation mechanism another mechanism of stochas-
ticity rises. It is based on the phase flow break in the
map phase space. This break corresponds to singularity
line. Phase drop which is crossed by singularity line
will be divided into a few not connected drops. The map
dynamics can be reduced to rotation and some deforma-
tion connected with the singularity. Therefore any drop
which was divided once would be divided unlimited
number of times under further iterations. At the same
time intermixing in single parts of the drop is not appre-
ciable. Thus the trajectories complication is happened
thanks to the step-by-step fragmentation of the phase
drop. Such chaotisation mechanism strongly differs
from the classical mechanism of resonances destruction
and stochastic layers overlapping.
Jump process of the map dynamics complication
brings to concentration of trajectory chaotic regions into
short chaotic bursts. System behavior is regular on in-
tervals between these bursts. As a whole we can con-
sider such behavior like intermittency (Fig. 5). Any
chaotic phases in such regime are reduced to the single
iteration. It is a very important feature of such regime.
At the same time we can find that any trajectory from
the stochastic sea consists only from laminar phases.
Any phase differs from a previous one by the value of
the some parameter, which is invariant during the whole
laminar phase. Under the transition from one phase to
another this parameter changes stepwise.
3. MEASURE OF CHAOS
The Lyapunov exponent is a general measure of
chaos in maps. But results of the computer modelling
showed that both Lyapunov exponents are vanishing. It
indicates that the sensitivity to starting conditions is
lower then exponential. It is the result of the specific for
the map intermixing process.
For another argument of chaotic nature of the map
we can use the correlation function. In our case the gen-
eral correlation function diverges. Therefore, it is prac-
tical to calculate the correlation function by lower frac-
tional moments
( ) ( )1/ 1/
0
1( ) = ( ) ( )
T
K x x t x x t
T
α
α ατ τ
− + −
∫ dt .
The deposit of large bursts decreases with the de-
crease of . Therefore its divergence becomes better.
The results of calculation of the correlation function
under different values of the parameter are shown in
Fig. 6.
α
α
Fig. 6. Correlation function computed with different values of parameter . Left to right: , ,
. Fluctuations decrease with decreasing
α 0.5α = 0.25α =
0.1α = α
These results can be approximated by the expres-
sion
~
dcxK e− .
Value . It depends on . As well known, in
the system with such expression of the correlation
function Lyapunov exponent vanishes. Chaotic nature
of the system behavior becomes apparent in the de-
crease of the correlation function, in other words, in
time system loses the information of its initial condi-
tions.
< 1d α
REFERENCES
1. B.V. Chirikov. Nonlinear resonance. M.: MGU,
1977, 82 p. (in Russian).
2. A. Lihtenberg, M. Liberman. Regular and chaotic
dynamics. M.: “Mir”, 1984, 528 p. (in Russian).
3. A. Ramani, B. Grammaticos, and A. Bountis. The
Painlevé property and singularity analysis of inte-
grable and non-integrable systems //Phys. Rep.
1989, v. 180, p. 159-245.
4. G.M. Zaslavsky. Stochastic irreversibility in nonlin-
ear systems. M.: “Nauka”, 1970, 144 p. (in Rusian).
5. M. Tabor. Chaos and integrabitily in nonlinear dy-
namics. M.: “Editorial URSS”, 2001, 318 p. (in Rus-
sian).
291
ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ
С.В. Слипушенко, А.В. Тур, В.В. Яновский
Представлено исследование свойств двумерного отображения с особенностью. В таком отображении на-
блюдается перемежаемость. Такая система может возникать двумя способами. Во-первых, она может рас-
сматриваться как результат дискретизации непрерывной гамильтоновой системы с одной степенью свобо-
ды. Во-вторых, мы можем рассматривать такое отображение как сечение Пуанкаре некоторой двумерной
гамильтоновой системы. При этом поведение сечения Пуанкаре определяет поведение системы в целом.
Исследовался механизм возникновения перемежаемости вблизи особенности. Показано, что особенность
приводит к возникновению стохастического моря в гамильтоновых системах при любых значениях возму-
щения. Возникающие при этом режимы имеют перемежаемую структуру.
ПЕРЕМІЖНІСТЬ В ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМАХ
С.В. Сліпушенко, А.В. Тур, В.В. Яновський
Подано дослідження властивостей двомірного відображення з сингулярністю. У такому відображенні
спостерігається переміжність. Така система може виникати двома способами. По-перше, вона може розгля-
датися як результат дискретизації безперервної гамільтонової системи з одним ступенем свободи. По-друге,
ми+ можемо розглядати таке відображення як переріз Пуанкаре деякої двовимірної гамільтонової системи.
При цьому поведінка перерізу Пуанкаре в цілому визначає поведінку всієї системи. Досліджувался механізм
виникнення переміжності поблизу сингулярності. Показано, що сингулярність призводить до виникнення
стохастичного моря у гамільтонових системах за будь-яких значень збурення. Режими, що виникають при
цьому, мають переміжну структуру.
292
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-110970 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-11-27T11:26:58Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Slipushenko, S.V. Tur, A.V. Yanovsky, V.V. 2017-01-07T15:26:14Z 2017-01-07T15:26:14Z 2007 Intermittency in Hamiltonian systems / S.V. Slipushenko, A.V. Tur, V.V. Yanovsky // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 289-292. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 82.40.Bj, 05.45.-a https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110970 We consider 2D map with the singularity. Here we observe an intermittency behavior. This system can be interpreted in two ways. In the first way this map can arise like a result of quantization of the continuous Hamiltonian system with one degree of freedom. In the second way we can interpret this map like a Poincaré section of some 2D Hamiltonian system. As is well known the behavior of a Poincaré section defines the system behavior as a whole. We investigate the mechanism of the chaos generation near singularity. We show that singularity can generate a stochastic sea in Hamiltonian systems under any value of a perturbation. Originating modes have intermittent structure. Подано дослідження властивостей двомірного відображення з сингулярністю. У такому відображенні спостерігається переміжність. Така система може виникати двома способами. По-перше, вона може розглядатися як результат дискретизації безперервної гамільтонової системи з одним ступенем свободи. По-друге, ми можемо розглядати таке відображення як переріз Пуанкаре деякої двовимірної гамільтонової системи. При цьому поведінка перерізу Пуанкаре в цілому визначає поведінку всієї системи. Досліджувался механізм виникнення переміжності поблизу сингулярності. Показано, що сингулярність призводить до виникнення стохастичного моря у гамільтонових системах за будь-яких значень збурення. Режими, що виникають при цьому, мають переміжну структуру. Представлено исследование свойств двумерного отображения с особенностью. В таком отображении наблюдается перемежаемость. Такая система может возникать двумя способами. Во-первых, она может рассматриваться как результат дискретизации непрерывной гамильтоновой системы с одной степенью свободы. Во-вторых, мы можем рассматривать такое отображение как сечение Пуанкаре некоторой двумерной гамильтоновой системы. При этом поведение сечения Пуанкаре определяет поведение системы в целом. Исследовался механизм возникновения перемежаемости вблизи особенности. Показано, что особенность приводит к возникновению стохастического моря в гамильтоновых системах при любых значениях возмущения. Возникающие при этом режимы имеют перемежаемую структуру. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Nonlinear dynamics Intermittency in Hamiltonian systems Переміжність в гамiльтонових системах Перемежаемость в гамильтоновых системах Article published earlier |
| spellingShingle | Intermittency in Hamiltonian systems Slipushenko, S.V. Tur, A.V. Yanovsky, V.V. Nonlinear dynamics |
| title | Intermittency in Hamiltonian systems |
| title_alt | Переміжність в гамiльтонових системах Перемежаемость в гамильтоновых системах |
| title_full | Intermittency in Hamiltonian systems |
| title_fullStr | Intermittency in Hamiltonian systems |
| title_full_unstemmed | Intermittency in Hamiltonian systems |
| title_short | Intermittency in Hamiltonian systems |
| title_sort | intermittency in hamiltonian systems |
| topic | Nonlinear dynamics |
| topic_facet | Nonlinear dynamics |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/110970 |
| work_keys_str_mv | AT slipushenkosv intermittencyinhamiltoniansystems AT turav intermittencyinhamiltoniansystems AT yanovskyvv intermittencyinhamiltoniansystems AT slipushenkosv peremížnístʹvgamilʹtonovihsistemah AT turav peremížnístʹvgamilʹtonovihsistemah AT yanovskyvv peremížnístʹvgamilʹtonovihsistemah AT slipushenkosv peremežaemostʹvgamilʹtonovyhsistemah AT turav peremežaemostʹvgamilʹtonovyhsistemah AT yanovskyvv peremežaemostʹvgamilʹtonovyhsistemah |