Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc
A dense homogeneous superfluid pure neutron matter (SPNM) with the effective Skyrme forces (depending on the density n of the neutrons) and with spin-triplet p–wave pairing (similar to ³He-A₁ and ³He-A₂) in a strong uni-form static magnetic field H is studied in the framework of a generalized non-re...
Saved in:
| Published in: | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111057 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc / A.N. Tarasov // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 418-423.— Бібліогр.: 20 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-111057 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Tarasov, A.N. 2017-01-07T20:04:56Z 2017-01-07T20:04:56Z 2007 Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc / A.N. Tarasov // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 418-423.— Бібліогр.: 20 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 05.30.-d, 67.57.-z, 21.30.Fe, 26.60.+c, 97.60.Jd https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111057 A dense homogeneous superfluid pure neutron matter (SPNM) with the effective Skyrme forces (depending on the density n of the neutrons) and with spin-triplet p–wave pairing (similar to ³He-A₁ and ³He-A₂) in a strong uni-form static magnetic field H is studied in the framework of a generalized non-relativistic Fermi-liquid theory. General formulas (valid for arbitrary parameterization of the Skyrme forces) are derived analytically for the phase transition temperatures Tc1,₂ of the neutron matter from normal to superfluid states of ³He-A1 and ³He-A₂ types, respectively. The functions Tc₁,₂(H,n) are linear with respect to H (up to sufficiently high magnetic fields) and are non-monotone functions of density. Figures for (Tc₁(H,n)−Tc₂(H,n))/H are plotted in the range 0.8n₀≤n≤3n₀ (n₀=0.17 fm⁻³ is the saturation density of the symmetric nuclear matter) for selected RATP, SkO’ and Gs parame-terizations of the Skyrme forces which have different power dependences on density. Such phases of dense SPNM may exist in cores of magnetized neutron stars. У рамках узагальненої нерелятивістської фермі-рідинної теорії вивчається густа однорідна надплинна суто нейтронна матерія (ННМ) з ефективними силами Скірма (що залежать від густини n нейтронів) та зі спін-триплетним p-спарюванням (подібним до ³He-A₁та ³He-A₂) у сильному постійному однорідному магнітному полі H. Аналітично виведені загальні формули (які справедливі для довільної параметризації сил Скірма) для температур фазового переходу Tc₁,₂ нейтронної матерії з нормального в надплинні стани типу ³He-A1 та ³He-A₂, відповідно. Функції Tc₁,₂(H,n) є лінійними по H (включаючи достатньо сильні магнітні поля) та немонотонними функціями густини. Побудовані графіки функції (Tc₁(H,n)−Tc₂(H,n))/H на інтервалі зміни густини 0.8n₀≤n≤3n₀ (n₀=0.17 фм⁻³ — густина насичення симетричної ядерної матерії) для відібраних RATP, SkO’ та Gs параметризацій сил Скірма, які мають різний показник степеневої залежності від густини. Можливо, що такі фази густої ННМ існують у серцевинах намагнічених нейтронних зірок. В рамках обобщенной нерелятивистской ферми-жидкостной теории изучается плотная однородная сверхтекучая чисто нейтронная материя (СНМ) с эффективными силами Скирма (зависящими от плотности n нейтронов) и с триплетным по спину p-спариванием (подобным ³He-A₁та ³He-A₂) в сильном постоянном однородном магнитном поле H. Аналитически выведены общие формулы (справедливые для произвольной параметризации сил Скирма) для температур фазового перехода Tc₁,₂нейтронной материи из нормального в сверхтекучие состояния типа ³He-A1 та ³He-A₂, соответственно. Функции Tc₁,₂(H,n) являются линейными по H (включая достаточно сильные магнитные поля) и немонотонными функциями плотности. Построены графики функции (Tc₁(H,n)−Tc₂(H,n))/H в интервале изменения плотности 0.8n₀≤n≤3n₀ (n₀=0.17 фм⁻³ — плотность насыщения симметричной ядерной материи) для выбранных RATP, SkO’ и Gs параметризаций сил Скирма, которые имеют разную степенную зависимость от плотности. Такие фазы плотной СНМ могут существовать в сердцевинах намагниченных нейтронных звезд. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Physics of quantum liquids Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc Спін-триплетна надплинність нейтронної матерії з силами Скірма у сильному магнітному полі поблизу Tc Триплетная по спину сверхтекучесть нейтронной материи с силами Скирма в сильном магнитном поле вблизи Tc Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc |
| spellingShingle |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc Tarasov, A.N. Physics of quantum liquids |
| title_short |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc |
| title_full |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc |
| title_fullStr |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc |
| title_full_unstemmed |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc |
| title_sort |
spin-triplet superfluidity of neutron matter with skyrme forces in strong magnetic field near tc |
| author |
Tarasov, A.N. |
| author_facet |
Tarasov, A.N. |
| topic |
Physics of quantum liquids |
| topic_facet |
Physics of quantum liquids |
| publishDate |
2007 |
| language |
English |
| container_title |
Вопросы атомной науки и техники |
| publisher |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Спін-триплетна надплинність нейтронної матерії з силами Скірма у сильному магнітному полі поблизу Tc Триплетная по спину сверхтекучесть нейтронной материи с силами Скирма в сильном магнитном поле вблизи Tc |
| description |
A dense homogeneous superfluid pure neutron matter (SPNM) with the effective Skyrme forces (depending on the density n of the neutrons) and with spin-triplet p–wave pairing (similar to ³He-A₁ and ³He-A₂) in a strong uni-form static magnetic field H is studied in the framework of a generalized non-relativistic Fermi-liquid theory. General formulas (valid for arbitrary parameterization of the Skyrme forces) are derived analytically for the phase transition temperatures Tc1,₂ of the neutron matter from normal to superfluid states of ³He-A1 and ³He-A₂ types, respectively. The functions Tc₁,₂(H,n) are linear with respect to H (up to sufficiently high magnetic fields) and are non-monotone functions of density. Figures for (Tc₁(H,n)−Tc₂(H,n))/H are plotted in the range 0.8n₀≤n≤3n₀ (n₀=0.17 fm⁻³ is the saturation density of the symmetric nuclear matter) for selected RATP, SkO’ and Gs parame-terizations of the Skyrme forces which have different power dependences on density. Such phases of dense SPNM may exist in cores of magnetized neutron stars.
У рамках узагальненої нерелятивістської фермі-рідинної теорії вивчається густа однорідна надплинна суто нейтронна матерія (ННМ) з ефективними силами Скірма (що залежать від густини n нейтронів) та зі спін-триплетним p-спарюванням (подібним до ³He-A₁та ³He-A₂) у сильному постійному однорідному магнітному полі H. Аналітично виведені загальні формули (які справедливі для довільної параметризації сил Скірма) для температур фазового переходу Tc₁,₂ нейтронної матерії з нормального в надплинні стани типу ³He-A1 та ³He-A₂, відповідно. Функції Tc₁,₂(H,n) є лінійними по H (включаючи достатньо сильні магнітні поля) та немонотонними функціями густини. Побудовані графіки функції (Tc₁(H,n)−Tc₂(H,n))/H на інтервалі зміни густини 0.8n₀≤n≤3n₀ (n₀=0.17 фм⁻³ — густина насичення симетричної ядерної матерії) для відібраних RATP, SkO’ та Gs параметризацій сил Скірма, які мають різний показник степеневої залежності від густини. Можливо, що такі фази густої ННМ існують у серцевинах намагнічених нейтронних зірок.
В рамках обобщенной нерелятивистской ферми-жидкостной теории изучается плотная однородная сверхтекучая чисто нейтронная материя (СНМ) с эффективными силами Скирма (зависящими от плотности n нейтронов) и с триплетным по спину p-спариванием (подобным ³He-A₁та ³He-A₂) в сильном постоянном однородном магнитном поле H. Аналитически выведены общие формулы (справедливые для произвольной параметризации сил Скирма) для температур фазового перехода Tc₁,₂нейтронной материи из нормального в сверхтекучие состояния типа ³He-A1 та ³He-A₂, соответственно. Функции Tc₁,₂(H,n) являются линейными по H (включая достаточно сильные магнитные поля) и немонотонными функциями плотности. Построены графики функции (Tc₁(H,n)−Tc₂(H,n))/H в интервале изменения плотности 0.8n₀≤n≤3n₀ (n₀=0.17 фм⁻³ — плотность насыщения симметричной ядерной материи) для выбранных RATP, SkO’ и Gs параметризаций сил Скирма, которые имеют разную степенную зависимость от плотности. Такие фазы плотной СНМ могут существовать в сердцевинах намагниченных нейтронных звезд.
|
| issn |
1562-6016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111057 |
| citation_txt |
Spin-triplet superfluidity of neutron matter with Skyrme forces in strong magnetic field near Tc / A.N. Tarasov // Вопросы атомной науки и техники. — 2007. — № 3. — С. 418-423.— Бібліогр.: 20 назв. — англ. |
| work_keys_str_mv |
AT tarasovan spintripletsuperfluidityofneutronmatterwithskyrmeforcesinstrongmagneticfieldneartc AT tarasovan spíntripletnanadplinnístʹneitronnoímateríízsilamiskírmausilʹnomumagnítnomupolípoblizutc AT tarasovan tripletnaâpospinusverhtekučestʹneitronnoimateriissilamiskirmavsilʹnommagnitnompolevblizitc |
| first_indexed |
2025-11-25T23:07:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:07:34Z |
| _version_ |
1850578489082642432 |
| fulltext |
SPIN-TRIPLET SUPERFLUIDITY OF NEUTRON MATTER WITH
SKYRME FORCES IN STRONG MAGNETIC FIELD NEAR TC
A.N. Tarasov
Akhiezer Institute for Theoretical Physics, NSC “KIPT”, Kharkov, Ukraine
e-mail: antarasov@kipt.kharkov.ua
A dense homogeneous superfluid pure neutron matter (SPNM) with the effective Skyrme forces (depending on
the density n of the neutrons) and with spin-triplet p–wave pairing (similar to 3He-A1 and 3He-A2) in a strong uni-
form static magnetic field H is studied in the framework of a generalized non-relativistic Fermi-liquid theory. Gen-
eral formulas (valid for arbitrary parameterization of the Skyrme forces) are derived analytically for the phase tran-
sition temperatures Tc1,2 of the neutron matter from normal to superfluid states of 3He-A1 and 3He-A2 types, respec-
tively. The functions Tc1,2(H,n) are linear with respect to H (up to sufficiently high magnetic fields) and are non-
monotone functions of density. Figures for (Tc1(H,n)−Tc2(H,n))/H are plotted in the range 0.8n0 n 3n0
(n0=0.17 fm-3 is the saturation density of the symmetric nuclear matter) for selected RATP, SkO’ and Gs parame-
terizations of the Skyrme forces which have different power dependences on density. Such phases of dense SPNM
may exist in cores of magnetized neutron stars.
PACS: 05.30.-d, 67.57.-z, 21.30.Fe, 26.60.+c, 97.60.Jd
1. INTRODUCTION
The superfluid phases of and superfluid pure
neutron matter (SPNM) (existing inside liquid core of
neutron stars at subnuclear n (where
=0.17 fm
3He
0n
0n>
3
0
0n
c
-3 is the saturation density of the symmetric
nuclear matter) and supernuclear (n ) densities of
neutrons; see, e.g., [1] and references therein) are im-
portant examples of superfluid Fermi liquids (SFLs)
with spin-triplet pairing. Here we have investigated
superdense SPNM with p-wave pairing of
type in a steady homogeneous magnetic field H and
have used the generalized non-relativistic Fermi-liquid
approach [2] for derivation nonlinear integral equations
for the order parameter (OP) and effective magnetic
field (EMF) inside SPNM [4,5] which are valid at
arbitrary temperatures from the interval
(T is the normal–superfluid phase transition (PT) tem-
perature). The effective Skyrme interaction between
neutrons depending on the neutron density n (see re-
view [3] and Ref. [4, 5]) have been used. Further we
have found analytically the approximate solutions of the
obtained integral equations in the vicinity of the PT
temperature of the NM to superfluid state with
triplet p-wave pairing (without magnetic field) and have
obtained the general approximate formulas for the PT
temperatures for arbitrary parameterization
of the Skyrme interaction. These functions T H
are linear with respect to the H up to sufficiently high
magnetic fields (but
1,2He A−
cT T≤ ≤
1,2( , )c n
effH
0(cT
1,2c
)n
T H( , )n
/Fε
nµ
n
0
H , where is
the Fermi energy of NM and is the magnetic
dipole moment of neutron). We have specified formulas
for for the so-called RATP, SkO’ and Gs
parameterizations [6-8] of the Skyrme forces and the
corresponding figures were plotted. These figures dem-
onstrate the behavior of PT temperature splitting
µ
<
<< ( )
F nε
1,2( ,cT H )n
,1 ,2( ( , ) ( , ))c cT H n T H n H−
n
08n n
3He
2 ˆ( ) (A iα α+ −∆ = ∆ +p d
,ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )j j jm inψ ≡ +p
( ) ( ( )T T± ↑∆ ≡ ∆ ±
ˆ ˆ 0⋅ =d e 2 2ˆ ˆ 1;= =d e m̂
2 2ˆ ˆ 1.= =m n
as non-monotonic function
of at the variation of neutron density in the permissi-
ble range, 0. (where the non-
relativistic Fermi-liquid theory is valid).
0
p
n3
2A−
ˆ ˆ) ( )ψ∆ e
p ˆ ≡p p
( ))T↓∆
( )η
3
1He A−
0↓∆ = 0↑∆ ≠
Other authors studied phase transitions of NM to su-
perfluid states with triplet pairing without (see, e.g.,
Ref. [9-14]) and with the effect of magnetic field [15]
within other approaches and using different nucleon-
nucleon effective interactions inside NM with several
simplifying assumptions (e.g., neglecting the depend-
ence of neutron effective mass on NM density).
2. EQUATIONS FOR THE OP AND EMF FOR
SPNM WITH THE SKYRME FORCES AND
TRIPLET PAIRING
As is known [1], the OP for the so-called non-
unitary phase (NU) of type with p-wave pair-
ing has the form
,α
(1) / .p
Here and ê are mu-
tually orthogonal real unit vectors in spin space,
, and are mutually or-
thogonal real unit vectors in orbital space,
The value
/2;
n̂
d̂
ˆ ˆ 0,⋅ =m n
( )× ( ) 0≠p∗∆≡ ∆p p
for NU phases of SFL or SPNM in particular. Note that
the superfluid phase of type is realized at the
condition with , .
We have chosen the effective Skyrme forces as the
interaction between neutrons for SPNM with spin-
triplet p-wave pairing in spatially uniform magnetic
PROBLEMS OF ATOMIC SCIENCE AND TECHNOLOGY. 2007, N. 3 (2), p. 418-423. 418
field . A set of coupled equations for the OP of the
type and effective magnetic field (EMF)
inside SPNM is simplified in the case of Skyrme inter-
action because the normal Fermi-liquid Landau’s ex-
change amplitudes F only for l and l
(in contrast to the superfluid , when it is necessary
to take into account in general case also the amplitudes
with l , see e.g. [16]). As a result, using
general formulas for anomalous and normal distribution
functions of quasiparticles [16, 17] (neutrons) for
SPNM in magnetic field we have derived a set of inte-
gral equations for and In this case for
SPNM
(µ MeV/G is the magnetic dipole
moment of neutron [18]) and for ξ we have equa-
tion [4]:
H
2A−
0≠
≈ −
3He
a
lF
0.n
effH
1=0a
l ≠
1
( )pξ
( ) /p Hp H
170−
0=
2 .A
( )ff p− H
)p
3He
2 ,A↑∆
ξ µ= ≡
>
8 1⋅
↓∆
n e
(
ξ( )
6030
2
2 4( ) ( ) ( ) ( ).np H r sp K sKξ µ ξ= − + + + ξ
),
(2)
Here and s t
n≡yn
0 3( /6)r t t nα′ ′= +
1(1 ),x− 2 2t t′ = ⋅
6 1/3α≤ ≤
2
1 2( )/(4t′ ′= −
0 0 0(1 )x′ = ⋅ −
2 )x 3 3 3(1 )t t x′ = ⋅ −
( )β ξ
0 is density of neutron matter; t t ,
,
and are parameters of the Skyrme
interaction (cf. [3]). The functionals K (β=2, 4) in
Eq. (2) have the form:
1 1t t′ = ⋅
1/
(1+
max
min
1
2 3
0
1
( ) ( , )
(2 )
p
p
K dqq ββ ξ
π
= ∫ ∫ dx q xκ , (3)
where
( )
( ) ( )
( )
( )2
2
,
, tanh
2,
E q xz q q
q x
TE q x
ξ
κ +
+
+ =
( ) ( )
( )
( )2
2
,
tanh ,
2,
E q xz q q
TE q x
ξ −
−
− −
(4)
2 2 2 2
( )(1 ) ( ( ) ( )) ,E q x z q qξ± ↑ ↓= ∆ − + ± 2
ξ
(5)
2( ) /2 nz q q m µ∗=
µ
2
( ) ( )( , , )A T q qξ↑ ↓ ↑ ↓∆ =
( )( , )T ξ↑ ↓∆
− n
∗
( ,T∆
(m is the effective mass of neu-
tron, is the chemical potential). We have taken into
account that for SPNM with pairing of the
type the OP can be written as
, where functions
obey the following equations [4]:
3
2He A−
)
( ) 3
( ) ( ) 2 3
( , ) ,
8
c
T Tξ ξ
π↑ ↓ ↑ ↓∆ = −∆
max
min
1 2
4 2
2
0
( , )/2
(1 )tanh
( , )
p
p
E q x T
dqq dx x
E q x
±
±
× − ∫ ∫ (6)
( , is the Fermi
momentum). Here c t is coupling
constant leading to spin-triplet p-wave pairing of neu-
trons, which is expressed through the parameters t and
of the Skyrme interaction (cf. Ref. [3, 4]). Note that
we consider here (in contrary to Ref. [4, 5]) a model of
neutron Cooper pairing in a thin shell in the vicinity of
the Fermi sphere.
max ,Fp p max min( )/ Fp p p− <
2
3 2 2(1 )/x≡ +
1< Fp
0<
2
2x
3He
0cT
This set of nonlinear integral Eqs. (2) and (6) for the
EMF and OP give us the possibility to describe thermo-
dynamics of superfluid non-unitary phases of
type in dense SPNM with spin-triplet p-
wave pairing in static uniform high magnetic field at
arbitrary temperatures from the interval
. In general case these equations can’t
be solved analytically and it is necessary to use numeri-
cal methods for their solving. But we can solve Eqs. (2),
(6) using analytical methods in the limiting case, when
the temperature (T ) is near the PT temperature
of dense NM to superfluid state (it is the theme
of the section 3).
1,2A−
0 cT T≤ ≤
( )n
( )
F
n
H
0cT
3. SOLUTIONS OF EQS. FOR THE OP
AND EMF FOR DENSE SPNM NEAR TC
The set of nonlinear integral Eqs. (2) and (6) [4] for
the EMF and components of the OP was solved by ana-
lytical methods and as a result the approximate expres-
sions were obtained for “reduced” (to dimensionless
form) phase transition temperatures t T
( ε is the Fermi energy of neutrons) of NM
to superfluid states of type with triplet p-
wave pairing in high magnetic field (with spin projec-
tions of the Cooper pairs along and against the magnetic
field direction):
1,2 1,2 /c c ε≡
2 /2F Fp m∗≡
3
1,2He A−
(1,2 0
0
1c c A B
h
t t AI BI
I
≈ ± +
)
F
ε
, (7)
( t T ). Functions t depend on the
cutoff parameter a , which is the upper
limit in the integrals , , and in the integrals,
which enter the structure of the functions A and B (their
explicit form see below in Appendix A). Parameter a
was introduced to avoid divergence of integrals and
from the physical point of view it corresponds to the
energy restriction of the quasiparticles (neutrons) by the
maximal energy, i.e., , which is
somewhat larger than the Fermi energy ( ), so
that for the effective Skyrme forces using here
as the interaction between neutrons. For the validity of
the Fermi-liquid theory the following inequalities
should be true:
0 0 /c c ε≡
1a <<
1,2( ; , )c a h y
/ 1Fε ε −
A BI
2 /2 np p m∗=
max≡
0I I
( ) maxε ε≤
maxε F
1
( )
n
F
H
h a
y
µ
ε
≡ < << , 0
0
( ; )
1
( )
c
c
F
T a y
yε
≡ < <t a . <
These inequalities mean small “smoothing” of the Fermi
distribution step-function due to the influence of exter-
nal magnetic field H and temperature T T on
the neutron matter (where y n ).
);(0 yac
0/n≡
419
It was obtained the following equation for reduced
temperature of PT for NM to the superfluid state
with triplet p-wave pairing without magnetic field:
0ct
3 00 1 ( ;
4
nnm
c I a
∗
= + )y , (8)
where the integral has the form: 0( ; )I a y
3
0
0
(1 )
( ; ) tanh
2
a
ca
x x
I a y dx
x t
−
+ ≡ ∫
( )
0
2 ln
2 c
a
a
t
= +
. (9)
It was obtained the following approximate expression
for the function at (neglecting by
small terms of the order , ,...):
( )a 02 ct a< <<
5a 6a
1
2 4
0
3 3
( )
8 25
a a
a b≈ + +
6
, (10)
1
0
1
1 2
2 1 4 ( 1) ( 2 )
9 75
k
k
b
∞
+
=
= − + + − − ∑ Ei k
1.64932≈ , (11)
( )
x te
Ei x dt
t
−
−∞
− = ∫ .
From (8-11) we get the general formula for t : 0c
0
3 0
( ) 2 1
exp
2 2c
n
aa
t
c n ym∗
= +
, (12)
which is valid for all Skyrme parameterizations. Here
is the dimensionless value depending
on the Skyrme parameters t and (see after
Eq. (6)); MeV/c
3 0 /2 0nc m n∗ <
nm ≈
m
0n yn=
2 2x
939.56563
n
∗
2 is the mass of free
neutron [18]. Formulas (8), (12) contain the effective
neutron mass , which depends on the density of NM
according to the formula:
[0 1 1 22
1 (1 ) 3 (1
4n
mynm
t x t x
m∗ = + − + + ]2) . (13)
Here MeV/c( )/2 938.91897p nm m m≈ + ≈ 2 is
mean free nucleon mass [19]; parameters
have specific values for each Skyrme parameterization.
1,t 2 ,t 1,x 2x
Note that the Fermi energy of the pure NM with
density is defined by the formula: 0n yn=
2
2 2/3 2/3
0( ) (3 ) 60.8601
2
n
F
n
m
y yn y
m m
ε π ∗ ∗= ≈
n
MeV .(14)
The integrals and I in the general formulas (7) for
the functions t a are defined as:
AI
1,2c
B
, )h y( ;
( )
03
0
tanh 2
( ; ) (1 )
a
c
A c
a
x
td
I a t dx x
dx x
−
≡ +
∫
, (15)
( )
03
0
tanh 2
( ; ) (1 )
a
c
B c
a
x
td
I a t dx x x
dx x
−
≡ +
∫ (16)
(functions A and B in (7) are defined in Appendix A).
We have considered the so-called RATP, SkO’ and
Gs parameterizations of the Skyrme forces (see
Ref. [6-8]) with small cutoff parameter .
This concretization has given us the possibility to plot
the figures (using a mathematical program, e.g., “Ma-
ple10”) for the functions (7) (accounting also (9)-(16))
which describe the linear in magnetic field splitting of
the phase transition temperatures for NM with triplet p-
wave pairing of the type. Here we represent
Figs. 1-6 for the RATP, SkO’ and Gs - variants of
Skyrme interaction with power indexes ,
and , respectively, in their density
dependence (see Appendix B).
0.02 0.1a≤ ≤
0.20α =
3
1,2He A−
0.300.25α = α =
4. CONCLUSION
Thus, the main new results obtained here (see also
brief report [20]) for phase transitions of pure NM to
the superfluid states with spin-triplet p-wave pairing of
the type are the general approximate formu-
las (7) (with accounting of (9)-(16) and Appendix A for
arbitrary parameterization of the Skyrme forces) for
reduced PT temperatures t a which are func-
tions linear of h in strong magnetic fields and nonlinear
of the neutron density. In particular, using the RATP,
SkO’ and Gs parameterizations of the Skyrme interac-
tion for pure NM enables to describe splitting of PT
temperatures in strong magnetic field (but, e.g., for
RATP–Skyrme forces we have that
3
1,2He A−
(1,2 ; ,c h y)
( ) 19 2 3
, 1.0098 10 (1 0.235 )F RATP nH y yε µ<< ≈ ⋅ + y G
see (13), (14)) on sufficiently wide interval of subnu-
clear and supernuclear densities of neutrons 0.8 y 3.0
(see figures in Appendix B). Such ultra-strong magnetic
fields (which may approach to H G) are
probably realized in the core region of “magnetars”
(strongly magnetized neutron stars).
18
max 10
We represented Figs. 1-6 for the RATP, SkO’ and
Gs - variants of the Skyrme interaction. It follows from
their analysis that with increasing of NM density in the
interval 0.8 y 3.0 the temperature splitting
( ) 1; [ ( ; , )RATP ca y t a h yτ ≡ − 2( ; , )]/ 0ct a h y h >
=
(for
a<<1) is non-monotone function of y n (in
contrast to the case of superfluid phases 3
where the temperature splitting grows monotonically
with the density). These figures have common features
and differences both qualitative and quantitative for
different Skyrme forces.
0/n
He − 1,2A
The phenomenon of superfluidity in a NM at high
densities n >3n0 (inside the fluid core of a neutron star)
should be investigated in the framework of a relativistic
420
approach and with different interpretation of the hadron
matter structure (including mesons, quarks, and other
possible constituents). Here we have used the non-
relativistic generalized Fermi-liquid approach [2, 4]
because the following inequalities are valid for the
Fermi energy (14):
2
, ( )F Skyrme Skyrmey mε << c m c MeV over
the whole interval of NM density variation (0.8 y 3.0)
studied here for RATP, SkO’ and Gs variants of the
Skyrme forces.
2 939.56563n ≈
APPENDIX A
The functions , (see Eq. (7))
have the form (y n ):
0( ; , )cAa y t
0/n
0( ; , )cB a y t
=
[
( )
0
12 1 0 3 0
1
( ; , ( , )) 1
( ; , )
( ) ( ; ) ( ; ) ,
c
co
n
c c
n
A a y t a y
D a y t
m
d y y i a t i a t
m
∗
≡
+ −
(A.1)
1 0
0 1
0
3 0
2/ 3
12
( ; )
( ; , ( , )) ( )
( ; , )
1 ,
c n
c
c n
i a t m
B a y t a y d y y
D a y t m
d y d
d y
α
∗
≡
+ × +
2
(A.2)
( )1/3
0 3
1 0 12 3 0
( ; , ( , )) 1
( ) ( ; ) 2 ( ) ( ; )
c
n n
c
n n
D a y t a y y d y d
m m
y i a t d y y i a t
m m
α
∗ ∗
≈ − +
× −
0
c
(
2
2 2 2
12 1 0 5 0 3 0( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )n
c c c
n
m
d y y i a t i a t i a t
m
∗ −
)− . (A.3)
3
The coefficients take the following gen-
eral form for all Skyrme parameterizations [3, 18]:
12 ,d 3,d 0d
( )
( )
( )
2
0
12 1 22
1 2 5
3
8
1
0.0015382753 ,
nm c n
d t t
c
t t
M eV fm
′ ′= ⋅ −
′ ′≈ − ⋅ ⋅
(A.4)
( )
1/32 3 0 3
03 2 4 68
1
0.0020949843 (0.17 /6) ,3 3 3
tnm cnd n
c
t
MeV fm
α
π
α
α
′ = ⋅ ≈
′≈ ⋅ ⋅ + ⋅
(A.5)
( )
1/ 32
0
0 02 4
3
8
nm c n
d t
c π
′= ⋅
≈
0 3
1
0.0020949843 .t
MeV fm
′≈ ⋅ ⋅
)
)
(A.6)
Here power index is 1/ and the Skyrme
parameters are t t , ,
, (see after Eq. (2)).
Integrals i a (j=1,3,5) in (A.1-3) are defined as:
6 1/3α≤ ≤
( )0 0 01 x′ = − (1 1 11t t x′ = −
( )2 2 21t t x′ = +
( ;j t
(3 3 31t t x′ = −
)
( ; )
a
j
a
i a t
−
∫ d
( )RATP ca y tτ
( )
n
F
H
h
y
µ
ε
1,2He A−
0/y n n=
0.1a =
(1 ) tanh
2
j dx x
dx t
≡ +
. (A.7) x
APPENDIX B
FIGURES FOR SPNM WITH RATP-SKYRME
FORCES
( );RATP a yτ
Fig. 1. Splitting
( ) ( )( )1 2; ; , ; ,ca h y t a h y h≡ − (in a magnetic
field 1a≡ < < ) of reduced phase transi-
tion (PT) temperatures of NM (with RATP parame-
terization of the Skyrme forces) to superfluid states of
the type as a function of reduced density
and small cutoff parameter a
<
( )0.1;RATP yτ
Fig. 2. PT temperature splitting
for SPNM with RATP-Skyrme parameterization and
p-wave pairing of the type in strong mag-
netic field as a function of reduced density (cutoff
)
( )0.1;RATP yτ
y
3
1,2He A−
421
FIGURES FOR SPNM WITH SKO’-SKYRME
FORCES
( )' ;S kO a yτ
Fig. 3. Splitting ( ) ( ) ( )( )' 1 2; ; , ; ,SkO c ca y t a h y t a h y hτ ≡ −
(in a magnetic field 1
( )
n Hh a
y
µ
ε
≡ < < <
3
1,2He A−
F
) of re-
duced PT temperatures of NM (with SkO’-Skyrme
parameterization) to superfluid states of the
type as a function of reduced density y and small cutoff
parameter a
( )' 0.1;SkO yτ
Fig. 4. PT temperature splitting for
SPNM with SkO’-Skyrme parameterization and p-wave
pairing of the type in strong magnetic field as
a function of reduced density y (cutoff a )
(' 0.1;SkO yτ
0.1=
)
3
1,2He A−
FIGURES FOR SPNM WITH GS-SKYRME
FORCES
( );Gs a yτ
Fig. 5. Splitting ( ) ( ) ( )( )1 2; ; , ; ,Gs c ca y t a h y t a h y hτ ≡ −
(in a magnetic field 1
( )
n
F
H
h a
y
µ
ε
≡ < < <
3
1,2H e A−
) of
reduced PT temperatures of NM (with Gs-Skyrme parame-
terization) to superfluid states of the type
as a function of reduced density y and small cutoff
parameter
( )0.1;Gs yτ
Fig. 6. PT temperature splitting for
SPNM with Gs-Skyrme parameterization and p-wave
pairing of the 3 type in strong magnetic field
as a function of reduced density y (cutoff a )
(0.1;Gs yτ
0.1=
)
1,2He A−
REFERENCES
1. D. Vollhardt and P. Wolfle. The Superfluid Phases
of Helium 3. London: Taylor & Francis, 1990,
620 p.
2. A.I. Akhiezer, V.V. Krasil’nikov, S.V. Peletminskii,
A.A. Yatsenko. Research on superfluidity and su-
perconductivity on the basis of Fermi liquid concept
//Phys. Rep. 1994, v. 245, N 1&2, p. 1-110.
3. M. Brack, C. Guet, H.-B. Hakansson. Selfconsistent
semiclassical description of average nuclear proper-
ties – a link between microscopic and macroscopic
models //Phys. Rep. 1985, v. 123, p. 275-364.
4. A.N. Tarasov. Equations for the order parameter and
effective magnetic field for nonunitary phases of su-
perfluid Fermi liquids with spin-triplet p-wave pair-
ing //Physica B. 2003, v. 329-333, Part 1, p. 100-
101.
5. A.N. Tarasov. Phase transition temperatures of
dense neutron matter with Skyrme interaction to su-
perfluid states with spin-triplet pairing in high mag-
netic field //Europhys. Lett. 2004, v. 65 (5), p. 620-
626.
6. M. Rayet, M. Arnould, F. Tondeur, G. Paulus. Nu-
clear forces and the properties of matter at high tem-
perature and density //Astron. Astrophys. 1982,
v. 116, p. 183-187.
7. P.-G. Reinhard, et al. Shape coexistence and the
effective nucleon-nucleon interaction. nucl-
th/990337, 1999.
8. J. Friedrich, P.-G. Reinhard. Skyrme-force pa-
rametrization: Least-squares fit to nuclear ground-
state properties //Phys. Rev. C. 1986, v. 33, p. 335-
351.
9. D. Pines, M.A. Alpar. Superfluidity in neutron stars
//Nature (London). 1985, v. 316, p. 27-32.
10. T. Takatsuka, R. Tamagaki. Superfluidity in neutron
star matter and symmetric nuclear matter //Prog.
Theor. Phys. Suppl. 1993, N 112, p. 27-65.
11. M. Hoffberg, A.E. Glassgold, R.W. Richardson,
M. Ruderman. Anisotropic superfluidity in neutron
star matter //Phys. Rev. Lett. 1970, v. 24, p. 775-777.
a
422
12. L. Amundsen, E. Østgaard. Superfluidity of neutron
matter (II). Triplet pairing //Nucl Phys. A. 1985,
v. 442, p. 163-188.
13. A.I. Akhiezer, A.A. Isayev, S.V. Peletminskii,
A.P. Rekalo, A.A. Yatsenko. Theory of superfluidity
of nuclear matter based on the Fermi-liquid ap-
proach //Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1997, v. 112, p. 3-24
[in Russian].
14. D.G. Yakovlev, K.P. Levenfish, Yu.A. Shibanov.
Cooling of neutron stars and superfluidity in their
cores //Uspekhi Fiz. Nauk. 1999, v. 169, p. 825-868
[in Russian].
15. P. Muzikar, J.A. Sauls, J.W. Serene. 3P2 pairing in
neutron-star matter: Magnetic field effects and vor-
tices //Phys. Rev. D. 1980, v. 21, p. 1494-1502.
16. A.N. Tarasov. On the theory of superfluid Fermi
liquid with spin-triplet pairing in a magnetic field
//Fiz. Nizk. Temp. 1998, v. 24, p. 429-437 (in Rus-
sian). [Low Temp. Phys. 1998, v. 24, p. 324-330];
Some questions in the theory of a superfluid Fermi
liquid with triplet pairing in a magnetic field //Fiz.
Nizk. Temp. 2000, v. 26, p. 1059-1066 (in Russian).
[Low Temp. Phys. 2000, v. 26, p. 785-790].
17. A.N. Tarasov. Self-consistency equations for non-
unitary phases of superfluid Fermi liquid with spin-
triplet pairing in a magnetic field //Problems of
Atomic Science and Technology. 2001, № 6 (2),
p. 356-359.
18. Review of Particle Properties //Phys. Rev. D. 1994,
v. 50, Part 1, p. 1233, 1673, 1680.
19. E. Chabanat, P. Bonche, P. Haensel, J. Meyer,
R. Schaeffer. A Skyrme parametrization from sub-
nuclear to neutron star densities //Nucl.Phys. A.
1997, v. 627, p. 710-746.
20. A.N. Tarasov. Superfluidity of dense neutron matter
with spin-triplet p-wave pairing in strong magnetic
field //AIP Conf. Proceed. 2006, v. 850, p. 109-110.
ТРИПЛЕТНАЯ ПО СПИНУ СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ НЕЙТРОННОЙ МАТЕРИИ С СИЛАМИ СКИРМА
В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ВБЛИЗИ TC
А.Н. Тарасов
В рамках обобщенной нерелятивистской ферми-жидкостной теории изучается плотная однородная
сверхтекучая чисто нейтронная материя (СНМ) с эффективными силами Скирма (зависящими от плотности
n нейтронов) и с триплетным по спину p-спариванием (подобным 3He-A1 и 3He-A2) в сильном постоянном
однородном магнитном поле H. Аналитически выведены общие формулы (справедливые для произвольной
параметризации сил Скирма) для температур фазового перехода Tc1,2 нейтронной материи из нормального в
сверхтекучие состояния типа 3He-A1 и 3He-A2, соответственно. Функции Tc1,2(H,n) являются линейными по
H (включая достаточно сильные магнитные поля) и немонотонными функциями плотности. Построены гра-
фики функции (Tc1(H,n)−Tc2(H,n))/H в интервале изменения плотности 0.8n0 n 3n0 (n0=0.17 фм–3 — плот-
ность насыщения симметричной ядерной материи) для выбранных RATP, SkO’ и Gs параметризаций сил
Скирма, которые имеют разную степенную зависимость от плотности. Такие фазы плотной СНМ могут су-
ществовать в сердцевинах намагниченных нейтронных звезд.
СПІН-ТРИПЛЕТНА НАДПЛИННІСТЬ НЕЙТРОННОЇ МАТЕРІЇ З СИЛАМИ СКІРМА
У СИЛЬНОМУ МАГНІТНОМУ ПОЛІ ПОБЛИЗУ TC
О.М. Тарасов
У рамках узагальненої нерелятивістської фермі-рідинної теорії вивчається густа однорідна надплинна
суто нейтронна матерія (ННМ) з ефективними силами Скірма (що залежать від густини n нейтронів) та зі
спін-триплетним p-спарюванням (подібним до 3He-A1 та 3He-A2) у сильному постійному однорідному магні-
тному полі H. Аналітично виведені загальні формули (які справедливі для довільної параметризації сил Скі-
рма) для температур фазового переходу Tc1,2 нейтронної матерії з нормального в надплинні стани типу
3He-A1 та 3He-A2, відповідно. Функції Tc1,2(H,n) є лінійними по H (включаючи достатньо сильні магнітні по-
ля) та немонотонними функціями густини. Побудовані графіки функції (Tc1(H,n)−Tc2(H,n))/H на інтервалі
зміни густини 0.8n0 n 3n0 (n0=0.17 фм–3 — густина насичення симетричної ядерної матерії) для відібраних
RATP, SkO’ та Gs параметризацій сил Скірма, які мають різний показник степеневої залежності від густини.
Можливо, що такі фази густої ННМ існують у серцевинах намагнічених нейтронних зірок.
423
|