Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик

При помощи метода гипотез двумерная краевая задача микрополярной теории упругости для анизотропной среды в области тонкого прямоугольника сводится к прикладной одномерной задаче. В зависимости от значений безразмерных физических параметров построены общие модели микрополярных анизотропных упругих то...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Вопросы атомной науки и техники
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Саркисян, С.О., Алваджян, Ш.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України 2011
Schlagworte:	Диагностика и методы исследований
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111446
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик / С.О. Саркисян, Ш.И. Алваджян // Вопросы атомной науки и техники. — 2011. — № 4. — С. 196-204. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860257646479671296
author	Саркисян, С.О. Алваджян, Ш.И.
author_facet	Саркисян, С.О. Алваджян, Ш.И.
citation_txt	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик / С.О. Саркисян, Ш.И. Алваджян // Вопросы атомной науки и техники. — 2011. — № 4. — С. 196-204. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Вопросы атомной науки и техники
description	При помощи метода гипотез двумерная краевая задача микрополярной теории упругости для анизотропной среды в области тонкого прямоугольника сводится к прикладной одномерной задаче. В зависимости от значений безразмерных физических параметров построены общие модели микрополярных анизотропных упругих тонких балок со свободным и стесненным вращениями, с «малой сдвиговой жесткостью», при которых полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации. Построены также соответствующие вариационные уравнения модели микрополярных анизотропных балок. На основе построенных моделей микрополярных анизотропных упругих тонких балок рассматривается конкретная задача об определении напряженно-деформированного состояния балки с шарнирно-опертыми граничными условиями. Получены окончательные численные результаты. На основе их анализа выявляются эффективные прочностные и жесткостные свойства микрополярного анизотропного материала балки. За допомогою методу гіпотез двомірне крайове завдання теорії пружності для анізотропного середовища в області тонкого прямокутника зводиться до прикладного одномірного завдання. В залежності від значень безрозмірних фізичних параметрів построєні загальні моделі мікрополярних анізотропних пружних тонких балок із вільним та утрудненим обертанням з «малою зсувною твердістю», при яких повністю враховуються поперечні зсувні і споріднені їм деформації. Побудовані також відповідні варіаційні рівняння моделі мікрополярних анізотропних балок. На основі побудованих моделей мікрополярних анізотропних пружних тонких балок розглядається конкретне завдання визначення напружено-деформованого стану балки з шарнірно-упертими граничними умовами. Отримані кінцеві числові результати. На основі їх аналізу виявляються ефективні міцністні та твердістні властивості мікрополярного анізотропного матеріалу балки. By the method of hypothesis the two-dimension edge problem of micropolar theory of elasticity for anisotropic medium in the region of thin rectangle is reduced to the applied one-sized problem; in dependence on values of nondimensional physical parameters the general models of micropolar anisotropic elastic thin beams with free and constrained rotation with “low shear hardness” are formed. Transverse shearing strains and similar deformation are completely taken into account. Corresponding variation equations of micropolar anisotropic beams model are constructed. On the base of obtained model the actual problem of determination of strained-deformed state of the beam with hinge boundary conditions is examined. The final calculated results are obtained. On the base of obtained results analysis effective strength and hardness characteristics of micropolar anisotropic material of the beam are revealed.
first_indexed	2025-12-07T18:50:52Z
format	Article
fulltext	196 ВОПРОСЫ АТОМНОЙ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 2011. №4. Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение (98), с. 196-204. УДК 539.3 МОДЕЛИ СТАТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ АНИЗОТРОПНЫХ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ БАЛОК И ОСОБЕННОСТИ ИХ ПРОЧНОСТНЫХ-ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК С.О. Саркисян, Ш.И. Алваджян Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна, Гюмри, Армения E-mail: slusin@yahoo.com, alvajyanshushan@mail.ru; тел. (374)91-60-57-15 При помощи метода гипотез двумерная краевая задача микрополярной теории упругости для анизотропной среды в области тонкого прямоугольника сводится к прикладной одномерной задаче. В зависимости от значений безразмерных физических параметров построены общие модели микрополярных анизотропных упругих тонких балок со свободным и стесненным вращениями, с «малой сдвиговой жесткостью», при которых полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации. Построены также соответствующие вариационные уравнения модели микрополярных анизотропных балок. На основе построенных моделей микрополярных анизотропных упругих тонких балок рассматривается конкретная задача об определении напряженно-деформированного состояния балки с шарнирно-опертыми граничными условиями. Получены окончательные численные результаты. На основе их анализа выявляются эффективные прочностные и жесткостные свойства микрополярного анизотропного материала балки. ВВЕДЕНИЕ В настоящее время микрополярная (несимметричная, моментная) теория упругости трактуется как математическая модель упругих тел с внутренней структурой [1-3]. С этой точки зрения весьма актуально построение моделей для микрополярных упругих тонких балок, пластин и оболочек. В работах [4-6] на основе метода гипотез, имеющего асимптотическое обоснование, построены общие теории микрополярных упругих изотропных тонких балок, пластин и оболочек. В работе [7] изучено математическое поведение решения плоской задачи микрополярной теории упругости для ортотропного материала в тонкой прямоугольной области. В данной работе развивается подход работ [4-6]: на основе асимптотических свойств решения плоской задачи микрополярной теории упругости для ортотропного материала [7] сформулированы гипотезы, и в зависимости от значений физических безразмерных параметров построены модели микрополярных упругих ортотропных тонких балок со свободным и стесненным вращениями, с «малой сдвиговой жесткостью». 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим ортотропный микрополярноупругий параллелепипед с постоянной высотой h2 , длиной a и постоянной толщиной, равной 12 1 =h . Координатную плоскость 21xx разместим в срединной плоскости параллелепипеда. Ось 2x направлена по высоте, а ось 1x – по длине параллелепипеда и делит высоту h2 пополам. Считаем, что в параллелепипеде по направлению оси 3x наблюдается плоское напряженное состояние. Основные уравнения плоской задачи микрополярной теории упругости для анизотропного (ортотропного) материала с независимыми полями перемещений и вращений имеют следующий вид [8]. Уравнения равновесия – 11 21 1 2 12 22 1 2 13 23 12 21 1 2 0; 0; 0. x x x x x x σ σ σ σ μ μ σ σ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ (1.1) Физико-геометрические соотношения – 1 22 12 11 11 222 2 1 11 22 12 11 22 12 2 12 11 22 11 222 2 2 11 22 12 11 22 12 88 782 12 3 12 212 2 1 77 88 78 77 88 78 78 771 21 3 12 22 2 2 77 88 78 77 88 78 ; ; ; (1.2) u A A x A A A A A A u A A x A A A A A A A Au x A A A A A A A Au x A A A A A A γ σ σ γ σ σ γ ω σ σ γ ω σ σ ∂ = = − ∂ − − ∂ = = − + ∂ − − ∂ = − = − ∂ − − ∂ = + = − + ∂ − − 1 3 3 13 13 23 23 1 66 2 44 ; 1 1, . x B x B ω ωχ μ χ μ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ Здесь 11 12 21 22, , , σ σ σ σ – силовые напряжения; 2313 , μμ – моментные напряжения; 21122211 ,,, γγγγ – деформации; 2313 , χχ – изгиб- кручение; 21 ,uu - линейные перемещения; 3ω – независимый поворот точек прямоугольника ( )hxhax ≤≤−≤≤ 21 ,0 вокруг оси 3x , величины A с соответствующими индексами, представляют собой упругие константы микрополярно-ортотропного материала. На лицевых линиях прямоугольника hx ±=2 считаются заданными силовые и моментные граничные условия (задача изгиба): 197 ( ) ( ) ( ) 21 22 23 1 ; 2 1 ; 2 1 . 2 X X Y Y M M σ σ μ + − + − + − = − = ± + = ± + (1.3) На кромках ( )1 10,x x a= = прямоугольника примем нижеследующие варианты граничных условий плоских задач микрополярной теории упругости: ( ) ( ) ( )231322122111 ,, xxx ϕμϕσϕσ === (задача 1); (1.4) ( ) ( )231322111 ,0u , xx ϕμϕσ === (задача 2); (1.5) 0 ,0 ,0 321 === ωuu (задача 3 ). (1.6) Иногда более удобно вместо формул для 12γ и 21γ из (1.2) рассматривать их сумму и разность, т.е. 88 78 77 782 1 12 212 2 1 2 77 88 78 77 88 78 ;A A A Au u x x A A A A A A σ σ− −∂ ∂ + = + ∂ ∂ − − (1.7) ( ) ( ) . 2 22 1 212 788877 7877 122 788877 7888 2 1 1 2 3 σ σω AAA AA AAA AA x u x u − + + + − + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = (1.8) Функционал вариационного принципа (принцип Рейсснера) для краевых задач (1.1)–(1.4) микрополярной теории упругости ортотропного тела имеет вид: ( ) ( ) , )( 2 1 )( 2 1)( 2 1 )( 2 1)( 2 1 )( 2 1 ),( 2332211 20332211 13 2 0 1 132 0 1 2 3 2323 1 3 13133 2 1 2121 3 1 2 1212 2 2 2222 )( 1 1 11113 1 1 2 2 dxuu dxuu dxMM uYYuXX dxMMuYY uXXds x xx u x u x u x u WI ax h h x h h hx a hx a s iij = + − = + − −= −+ −+−+ += −+−+ −+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ++− −+++ +⎟ ⎠ ⎞++ +++⎜ ⎝ ⎛ −−− −⎟ ⎠ ⎞++++ +⎜ ⎝ ⎛ −−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −− −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ −− −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −− −⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −−= ωϕϕϕ ωϕϕϕ ω ω ω χμ ω χμωγσ ωγσγσ γσχγ (1.9) где ( ) 2 23 442 13 662 21 88 211278 2 12 772 11 22 2 122211 3 222 22 , χχγγγ γγχε BBA A A A AAA W iij ++++ ++ − = (1.10) представляет собой плотность потенциальной энергии деформации. Предполагается, что высота прямоугольника мала по сравнению с его длиной ( )ah <<2 . Будем исходить из следующей основной концепции: в статическом случае напряженно- деформированное состояние (НДС) тонкого прямоугольника состоит из внутреннего НДС, охватывающего всю область прямоугольника, и пограничных слоев, локализирующихся вблизи торцов прямоугольника: 01 =x и ax =1 . Построение прикладной одномерной модели микрополярных балок тесно связано с построением внутренней задачи. Считая, что метод гипотез наряду с чрезвычайной наглядностью очень быстро и относительно просто для инженерной практики приводит к окончательным результатам, построим модель микрополярных ортотропных балок на его основе. Сами гипотезы будем формулировать с учетом результатов асимптотического анализа краевых задач (1.1)– (1.6) в тонкой прямоугольной области [7]. 2. МОДЕЛЬ ИЗГИБНОЙ ДЕФОРМАЦИИ МИКРОПОЛЯРНЫХ ОРТОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ БАЛОК С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОЛЯМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ВРАЩЕНИЙ Рассмотрим случай, когда следующие безразмерные физические параметры балки имеют значения [7]: .1~ ,1~ ,1~ ,1~,1~ , 1~ ,1~,1~ 44 11 2 66 11 2 2 788877 1177 2 788877 1178 2 788877 1188 2 122211 2 11 2 122211 1112 2 122211 1122 В Аа В Аа ААА АА ААА АА ААА АА ААА А ААА АА ААА АА − −− −−− (2.1) Как показывает асимптотический анализ краевых задач (1.1)-(1.6) в тонкой прямоугольной области [7], при выполнении условий (2.1) в асимптотических приближениях наблюдается свободное вращение (т.е. поворот 3ω не зависит от компонент вектора перемещений 21 ,uu ). Результаты этого приближения позволяют распространить подход работы [6] при построении модели микрополярной изотропной балки на случай микрополярной анизотропии и в основу положить следующие достаточно общие предположения (гипотезы). а). Нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к оси симметрии прямоугольника 1x , остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной оси, свободно поворачивается на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины. Вследствие этого имеем линейный закон 198 изменения перемещений 21 ,uu и свободного поворота 3ω по толщине прямоугольника: ( ) ( ) , , 12112 xxuxwu ψ== ( )133 xΩ=ω , (2.2) где w – прогиб балки; 3Ω – угол свободного поворота, а ψ – полный угол поворота нормального элемента. В смысле перемещений данная гипотеза представляет собой известную классическую гипотезу Тимошенко для упругих балок, поэтому (2.2) назовем, как в работах [4-6], обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко для микрополярных балок. Кинематическая гипотеза (2.2) дополняется следующими статическими гипотезами. б). При определении деформаций, изгиба- кручения, силовых и моментных напряжений для силового напряжения 21σ сначала примем ( )121 0 21 xσσ = . (2.3) После этого 21σ определим как сумму значения (2.3) и результата интегрирования первого уравнения равновесия из (1.1), для которого необходимо условие – усредненная по высоте прямоугольника величина должна быть равна нулю. в). Силовым напряжением 22σ в (1.2) будем пренебрегать относительно 11σ . Отметим, что гипотеза (б) отличается от соответствующей гипотезы Тимошенко в классическом случае. Построенная ниже на основе гипотез (а), (б) и (в) теория микрополярных упругих тонких балок, как и в работах [4-6], будет асимптотически точной. В соответствии с принятыми законами распределения перемещений и поворота (2.2), а также с предположением (б) для деформаций, изгиба-кручения, силовых и моментных напряжений из (1.1)-(1.6) получим следующие формулы: 21 21 3 12 12 3 1 11 2 11 13 13 22 23 3 11 13 1 1 , , , , 0, 0, , ; dw dx x K ddK dx dx γ ψ γ γ χ κ γ χ ψ κ = Γ = +Ω = Γ = −Ω = = = = Ω = = (2.4) ( ) ( ) ( ) 1 1111 2 1 12 77 12 78 21 1 220 11 12 2121 1 1 21 11 22 12 11 11 22 2 22 23 3 13 66 13 , , , 6 2 , , 2 , . 2 x x A A d xxhx dx A A A Y YK x A h M Mx B h σ σ σ σ σ σ σ σ μ μ κ + − + − = = Γ + Γ ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + = = + = = (2.5) Для приведения двумерной задачи (1.1)-(1.6) к прикладной одномерной, что уже выполнено для деформаций, изгиба-кручения, перемещений, поворота, силовых и моментных напряжений ((2.2), (2.4), (2.5)), в теории микрополярных ортотропных балок вместо компонент тензоров силового и моментного напряжений введем статически эквивалентные им интегральные по высоте прямоугольника характеристики – усилия ( )2112 , NN и моменты ( )1311 , LM : ., ,, 21313211211 2212121212 ∫∫ ∫∫ −− −− == == h h h h h h h h dxLdxxM dxNdxN μσ σσ (2.6) Тогда основная система уравнений изгибной деформации микрополярных ортотропных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений принимает вид: Уравнения равновесия – ).( ),( , )( 2112 1 13 1 11 21 1 12 −+ −+ −+ +−=−+ −=− +−= MMNN dx dL XXh dx dM N YY dx dN (2.7) Соотношения упругости – [ ] [ ] .2 , 3 2 ,2 ,2 136613 11 22 2 122211 3 11 2188127821 2178127712 κhBL K A AAAhМ AAhN AAhN = − = Γ+Γ= Γ+Γ= (2.8) Геометрические соотношения – . , , , 1 3 13 1 11 321 3 1 12 dx d dx dK dx dw Ω = = Ω+=Γ Ω−=Γ κ ψ ψ (2.9) Соотношения (2.7)-(2.9) представляют собой систему из 11-ти уравнений относительно 11-ти неизвестных функций: 13112112131121123 ,,,,,,,,,, LMNNKw κψ ΓΓΩ . «Смягченные» граничные условия на торцах балки ( 01 =x , ax =1 ) имеют вид: * 1111 MM = или ψψ = , 1212 NN = или ww = , 1313 LL = или * 33 Ω=Ω . (2.10) Отметим, что в модели (2.7)-(2.10) микрополярной ортотропной упругой тонкой балки полностью учтены поперечные сдвиговые и родственные им деформации. При равенстве упругих констант 788877 AAA == из (2.7)-(2.10) следует модель классической ортотропной упругой балки типа Тимошенко [9]. При E A AAA BBB AAA = − == −=+== 22 2 122211 4466 788877 , , , αμαμ 199 из (2.7)–(2.10) получим модель изгибной деформации микрополярной изотропной балки [6]. Систему уравнений (2.7)–(2.9) микрополярной балки легко привести к системе уравнений относительно ,w ψ и 3Ω : 2 3 78 77 78 772 1 1 1 88 78 88 78 2 1 22 2 11 22 12 2 22 1 2 3 66 77 88 78 3 77 782 1 1 78 88 ( ) , 2 ( ) , 3 2 ( 2 ) ( ) ( ) . 2 dd d w Y YA A A A dx dx dx h dwA A A A dx A A Ah d X X A dx d dwB A A A A A dx dx M MA A h ψ ψ ψ ψ + − + − + − Ω + + + − = − + + − Ω − − − − = Ω − + − Ω + − + + + − = − (2.11) Функционал вариационного принципа прикладной одномерной теории микрополярных упругих тонких балок со свободным вращением, который получается на основе (1.9) и (1.10) с использованием значений перемещений и поворота, деформаций, изгиба-кручения, силовых и моментных напряжений (2.2), (2.4)–(2.6) для ортотропного материала будет выражаться так: ( )[ ] ( ) ( ) ( ) , )( )()( 233221 203322113 0 1 1 3 131332121 3 1 1212 0 1 1111 1 1 dxwx dxwxdxMM wYYhXX dx dx dkLN dx dwN dx dKMWI ax h h x h h a a = + − = + − −+ −+−+ Ω++− −Ω+++Ω++ +++−− −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω −−Ω+−Γ− − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω−−Γ−⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= ∫ ∫ ∫ ∫ ϕϕψϕ ϕϕψϕ ψ ψ ψ (2.12) где 2 3 2 211 22 12 11 77 12 22 2 2 78 12 21 88 21 66 13 3 2 A A A hW K A h A A h A h B hk − = + Γ + + Γ Γ + Γ + (2.13) – плотность потенциальной энергии деформации. 3. МОДЕЛЬ ИЗГИБНОЙ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГИХ ТОНКИХ БАЛОК СО СТЕСНЕННЫМ ВРАЩЕНИЕМ Рассмотрим случай [7], когда безразмерные физические параметры имеют следующие значения: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 11 12 11 2 2 11 22 12 11 22 12 2 88 78 1111 2 2 11 22 12 77 88 78 2 2 11 11 66 44 77 78 11 88 78 11 2 2 77 88 78 77 88 78 77 78 11 2 77 88 78 ~1, ~1, ~1 , ~1, ~1, ~1, ~1, 1, 1. А А А А А А А А А А А A АА А А А А А А а А а А В В А A А А A А А А А А А А А A А А А А − − − − − − + << − − + << − (3.1) Основная особенность (3.1) заключается в том, что согласно асимптотическому анализу [7] краевых задач (1.1)-(1.8) поворот 3ω в асимптотических приближениях выражается через компоненты вектора перемещений 1u и 2u формулой, идентичной соответствующей формуле плоской задачи классической теории упругости: 2 1 1 2 32 x u x u ∂ ∂ − ∂ ∂ =ω . (3.2) Это означает, что изучаемый вопрос находится в области микрополярной упругости со стесненным вращением или иначе – псевдоконтинуума Коссера. Как видно из (1.8), модель стесненного вращения будет иметь место, когда 2 788877 7888 AAA AA − + и 2 788877 7877 AAA AA − + стремятся к нулю. Имея в виду качественные стороны асимптотического решения граничных задач (1.1)- (1.8), в случае (3.1) [7], в основу построения прикладной одномерной модели микрополярных ортотропных упругих тонких балок со стесненным вращением, как и в [6], положим предположения (а), (б), (в) и условие стесненного вращения (3.2). Согласно указанным предположениям для перемещений, поворота, деформаций, изгиба- кручения, силовых и моментных напряжений имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 3 1 1 12 21 12 21 1 11 2 11 11 1 3 13 13 13 1 22 23 , , 1 , 2 , , , , , 0, 0; u w x u x x dw x x dx dw dx dx K K dx d dx ψ ψ γ γ ψ ψγ χ κ κ γ χ = = ⎛ ⎞ Ω = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + = Γ +Γ = + = = Ω = = = = (3.3) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 11 22 12 11 1111 2 1 11 22 0 77 88 78 12 21 12 21 22 2 1 220 11 12 2121 1 1 13 66 13 23 2 , , 2 , 2 , 2 , 6 2 , . 2 A A Ax x K A A A A Y Yx h d xxhx dx M MB x h σ σ σ σ σ σ σ σ σ μ κ μ + − + − − = = + + + = Γ +Γ + = ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + = = (3.4) Основная система уравнений прикладной одномерной теории микрополярных ортотропных упругих тонких балок со стесненным вращением, при которой полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации, выражается следующим образом: 200 Уравнения равновесия – ).( ),( , )( 2112 1 13 1 11 21 1 12 −+ −+ −+ +−=−+ −=− +−= MMNN dx dL XXh dx dM N YY dx dN (3.5) Физические соотношения – ( )( ) .2 , 3 2 ,2 136613 11 22 2 122211 3 11 21127888772112 κhBL K A AAAhМ AAAhNN = − = Γ+Γ++=+ (3.6) Геометрические соотношения – . 2 1 , ,, 1 3 1 3 13 1 11 1 2112 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −=Ω Ω = =+=Γ+Γ ψκ ψψ dx dw dx d dx dK dx dw (3.7) К (3.5)-(3.7) необходимо присоединить граничные условия (2.10) (при 01 =x , ax =1 ). Эту систему легко привести к системе уравнений относительно w и ψ : ( ) ( ) ).(1)(2 3 4 2 ,)(1)(2 2 2 1 2 22 2 122211 2 2 1 2 3 1 3 66 1 1788877 1 3 1 3 4 1 4 662 1 2 1 788877 −+−+ −+ −+ +−−= = − − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ + ++−= =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++ MM h XX dx d A AAAh dx d dx wdB dx dwAAA dx MMd h YY h dx d dx wdB dx wd dx dAAA ψ ψψ ψψ (3.8) Функционал вариационного принципа для прикладной одномерной теории микрополярных упругих тонких балок со стесненным вращением для ортотропного материала будет выражаться так: ( ) ( ) ( ) ( 1 12 21 11 11 12 21 10 12 21 3 1 1 3 13 13 1 1 0 3 1 1 2 2 3 3 0 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a a h x h h h N NdI W M K dx N Ndw dw dx dx dL k dx X X h dx Y Y w M M dx x w dx x ψ ψ ψ ψ φ ψ φ φ φ + − + − + − + = − + − ⎛ ⎛ ⎞ + = − − − Γ +Γ −⎡⎜ ⎜ ⎟ ⎣⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − Ω − − −⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎞⎛ ⎞Ω − − − − +⎟⎜ ⎟⎟⎝ ⎠⎠ + + + + Ω + + + + Ω − − ∫ ∫ ∫ ∫ ) 12 3 3 2 ,x aw dxψ φ φ =+ + Ω (3.9) где ( ) 2 1366 2 2112 788877 2 11 3 22 2 122211 4 2 3 hkBh AAA Kh A AAA W +Γ+Γ ++ + + − = (3.10) – плотность потенциальной энергии деформации. 4. МОДЕЛЬ ИЗГИБНОЙ ДЕФОРМАЦИИ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ БАЛОК С «МАЛОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ» Рассмотрим случай [7], когда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 11 12 11 2 2 11 22 12 11 22 12 2 88 78 1111 2 2 11 22 12 77 88 78 77 78 11 77 78 11 2 2 77 88 78 77 88 78 2 88 78 11 77 78 2 77 88 78 66 2 88 78 66 44 66 ~ 1, ~ 1, ~ 1 , ~ 1, ~ 1, ~ 1, ~ 1, 1, 1, ~ А А А А А А А А А А А A АА А А А А А А A А А А A А А А А А А А А A А а A А А А А В а A А B B В − − − − − − + − − + − << − − << . (4.1) Качественные результаты исходного приближения асимптотического метода интегрирования краевых задач (1.1)-(1.8) в тонкой прямоугольной области [7] для (4.1) позволяют в основу соответствующей прикладной одномерной теории микрополярных ортотропных упругих тонких балок положить следующие предположения (гипотезы) [6] (а), (б), (в), а в третьем уравнении равновесия (1.1) пренебрегать разностью силовых напряжений ( )2112 σσ − . Главная особенность рассматриваемого случая состоит в том, что моментная часть задачи (с уравнениями и граничными условиями) отделяется как самостоятельная граничная задача. Согласно условию (4.1) и следуя работе [6], ниже построенную модель будем называть моделью микрополярных ортотропных упругих тонких балок с «малой сдвиговой жесткостью». Основная разрешающая система уравнений и граничные условия модели микрополярных ортотропных упругих тонких балок с «малой сдвиговой жесткостью», с полным учетом поперечных сдвиговых и родственных им деформаций, будет выражаться следующим образом. “Моментная” часть задачи – . ,2 ),( 1 3 13 136613 1 13 dx d hBL ММ dx dL Ω = = +−= −+ κ κ (4.2) 201 Граничные условия (при 01 =x , ax =1 ): * 1313 LL = или * 33 Ω=Ω (4.3) “Силовая” часть задачи – ).( ),( 1 11 21 1 12 −+ −+ −=− +−= XXh dx dM N YY dx dN [ ] [ ] , 3 2 ,2 ,2 11 22 2 122211 3 11 1278218821 2178127712 K A AAAhМ AAhN AAhN − = Γ+Γ= Γ+Γ= (4.4) . , , 1 11 321 3 1 12 dx dK dx dw ψ ψ = Ω+=Γ Ω−=Γ . Граничные условия (при 01 =x , ax =1 ): * 1111 MM = или ψψ = , 1212 NN = или *ww = . (4.5) Систему уравнений микрополярной ортотропной балки (4.4) с учетом поперечного сдвига легко привести к системе уравнений относительно функций w и ψ : ( ) ( ) . 23 , 2 2 1 2 22 2 122211 2 37888 1 7888 1 3 7877 1 782 1 2 77 −+ −+ − = − − −Ω−++ + −= Ω −−+ XX dx d A AAAh AA dx dwAA h YY dx dAA dx dA dx wdA ψ ψ ψ (4.6) Функционал вариационного принципа для прикладной одномерной теории микрополярных упругих тонких балок с «малой сдвиговой жесткостью» для ортотропного материала будет выражаться так: для «моментной» части задачи – ( ( ) ) ,2332 0 33 13 1 3 1313 0 11 dxdx dxMM dx d kLWI ax h hx h h a мм = + −= + − −+ ∫∫ ∫ Ω−Ω+ +Ω+− −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω −−= ϕϕ (4.7) 2 1366 hkBW М = ; (4.8) для «силовой» части задачи – ( ) ) ( ) ( ) 1 1 11 11 10 12 12 3 1 21 21 3 1 1 2 2 0 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ; a с с h x h h x a h dI W M K dx dwN dx N X X h Y Y w dx x w dx x w dx ψ ψ ψ φ ψ φ φ ψ φ + − + + − = − + = − ⎛ ⎛ ⎞ = − − −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎡ ⎤⎛ ⎞ − Γ − −Ω −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ − Γ − +Ω − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ − + + + − − + ∫ ∫ ∫ (4.9) .2 3 2 2188211278 2 1277 2 11 3 22 2 122211 Γ+ΓΓ+ +Γ+ − = hAhA hAKh A AAA W с (4.10) 5. ИЗГИБ ШАРНИРНО-ОПЕРТОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ОРТОТРОПНОЙ УПРУГОЙ БАЛКИ ПОД РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ На основе моделей микрополярных ортотропных упругих тонких балок со свободным вращением рассмотрим простейшую задачу об изгибе шарнирно-опертой микрополярной упругой балки под равномерно распределенной силовой нагрузкой с интенсивностью a xqq 1 0 sin π= . Уравнения (2.7)–(2.9) микрополярной ортотропной балки со свободным вращением, выраженные через функции ,w ψ и 3Ω (2.11), в данном случае принимают вид: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .02 ,0 3 , 3788877 1 787788782 1 3 2 66 2 1 2 22 2 122211 2 37888 1 7888 1 3 77782 1 2 77 1 78 =Ω−+− −−+−+ Ω = − − −Ω−++ −= Ω −++ AAA dx dwAAAA dx d B dx d A AAAh AA dx dwAA h q dx d AA dx wdA dx dA ψ ψ ψ ψ (5.1) Для граничных условий шарнирного опирания из (2.10) имеем: ( ) 0 ,0 ,0 13111 === LMxw при 1 0;x a= . (5.2) Представим решение граничной задачи (5.1), (5.2) в виде: ,cos)( ,cos)( ,sin)( 1)0( 313 1 01 1 01 a x x a x x a x wxw π π ψψ π Ω=Ω = = (5.3) где )0( 300 ,, Ωψw – постоянные. Подставим решение (5.3) в систему (5.1) и в результате получим алгебраические уравнения относительно )0( 300 ,, Ωψw : ( ) ( ) ( ) ( ) .02 ,0 3 , )0( 37888772 2 66 0887807877 )0( 37888 02 2 22 2 122211 2 88078 0)0( 3777807802 2 77 =Ω⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −++− −−+− =Ω−+ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ++ =Ω−++ AAA a B AAw a AA AA aA AAAhAw a A h q a AA a Aw a A π ψπ ψππ πψππ (5.4) 202 После решения (5.4) найдем максимальные значения прогиба w и силового напряжение 11σ : 22 2 2 2 20 11 22 12 max 1 0 77 88 78 66 88 66 77 88 782 2 2 22 12 , 2 3 q A A Aa hw w x w A A A B A B A A A h a A a a P π π π ⎞⎛ ⎛ ⎞−⎛ ⎞= = = = − + + + + + ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 2 2 211 22 12 11max 11 1 2 0 66 78 77 88 782 2 22 1, , 2 A A Aax x h q B A A A A A a a P π πσ σ ⎛ ⎞−⎛ ⎞= = = = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ гд где ( ) 22 4 2 4 2 21 1 2 2 1 2 7 7 8 8 7 8 6 6 7 7 6 6 7 7 8 8 7 84 2 4 2 2 . 3 A A AhP A A A B A B A A A A a a a π π π⎛ ⎞− = − + + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ниже в таблицах приведены прочностные и жесткостные характеристики микрополярной ортотропной балки с независимыми полями перемещений и вращений. Таблица 1 Физические параметры материала балки: 6.077 =A МПа, 66 300B Н= , 2.5 22 2 122211 = − А ААА МПа, интенсивность нагрузки q0=50 Па Размеры балки Микрополярная ортотропная теория балок с независимыми полями перемещений и вращений (обобщенные гипотезы Тимошенко): 8.088 =A МПа, 4.078 =A МПа Классическая ортотропная теория балок типа Тимошенко: МПа6.0 788877 == === A AAA № a, м h, м max . 11 ,микσ кПа . max микw , 410 − м max . 11 ,класσ кПа . max класw , 410 − м 1 0,008 0,0002 0,324 0,041 24,317 1,543 2 0,02 0,0005 0,353 0,106 24,317 3,858 3 0,05 0,00125 0,529 0,334 24,317 9,645 4 0,08 0,002 0,850 0,736 24,317 15,430 5 0,1 0,0025 1,139 1,150 24,317 19,290 δ= h /a =1 /4 0 6 0,2 0,005 3,295 5,678 24,317 38,580 1 0,008 0,00008 0,330 0,102 151,982 23,760 2 0,02 0,0002 0,359 0,267 151,982 59,396 3 0,05 0,0005 0,542 0,845 151,982 148,490 4 0,08 0,0008 0,881 1,881 151,982 237,600 5 0,1 0,001 1,192 2,959 151,982 297 δ= h /a =1 /1 00 6 0,2 0,002 3,739 15,850 151,982 594 203 Таблица 2 Из данных табл. 1, 2 легко заметить, что с точки зрения прочностных ( )max 11σ и жесткостных ( )maxw характеристик применение микрополярного ортотропного материала наиболее рационально. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе впервые построены статические теории микрополярных ортотропных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений; со стесненным вращением; с «малой сдвиговой жесткостью». На основе построенных теорий микрополярных балок изучена конкретная задача и выявлены эффективные прочностные и жесткостные свойства микрополярного материала. ЛИТЕРАТУРА 1. Г.Н. Савин. Основы плоской моментной теории упругости. Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1965, 162 с. 2. В.И. Ерофеев. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ, 1999, 328 с. 3. П.А. Белов, С.А. Лурье. Континуальная модель микрогетерогенных сред // Прикладная математика и механика. 2009, т. 73, в. 5, с. 833-848. 4. С.О. Саркисян. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин // Известия НАН Армении. Механика. 2011, т. 64, №1, с.58-67. 5. С.О. Саркисян. Общая теория микрополяр- ных упругих тонких оболочек // Физическая мезомеханика. 2011, №1, с. 55-66. 6. С.О. Саркисян. Математические модели микрополярных упругих тонких балок // Доклады НАН Армении. 2011, т. 111, №2. 7. Ш.И. Алваджян. Построение уравнений и граничных условий статической задачи изгиба ортотропных микрополярных упругих тонких балок асимптотическим методом // Сборник научных трудов Международной конференции «Актуальные проблемы меха- ники сплошной среды». 2010, т. 1, с. 71-75. Физические параметры материала балки: 6.177 =A МПа, НB 30066 = , 2.7 22 2 122211 = − А ААА МПа, интенсивность нагрузки q0=50 Па Размеры балки Микрополярная ортотропная теория балок с независимыми полями перемещений и вращений (обобщенные гипотезы Тимошенко): 88 1,8A = МПа, 78 0, 4A = МПа Классическая ортотропная теория балок типа Тимошенко: 77 88 78 1,6 МПа A A A A = = = = = № a, м h, м max . 11 ,микσ кПа . max микw , 410 − м max . 11 ,класσ кПа . max класw , 410 − м 1 0,008 0,0002 0,060 0,011 24,317 1,105 2 0,02 0,0005 0,101 0,032 24,317 2,763 3 0,05 0,00125 0,350 0,151 24,317 6,907 4 0,08 0,002 0,799 0,450 24,317 11,050 5 0,1 0,0025 1,198 0,780 24,317 13,810 δ= h /a =1 /4 0 6 0,2 0,005 4,067 4,820 24,317 27,630 1 0,008 0,00008 0,061 0,028 151,982 17,140 2 0,02 0,0002 0,101 0,081 151,982 42,840 3 0,05 0,0005 0,356 0,390 151,982 107,10 4 0,08 0,0008 0,826 1,100 151,982 171,40 5 0,1 0,001 1,257 2,030 151,982 214,20 δ= h /a =1 /1 00 6 0,2 0,002 4,758 13,930 151,982 428,40 204 8. D. Iesan. The plane micropolar strain of orthotropic elastic solids // Archives of Mechanics.1973, v. 5, № 3, р.547-561. 9. Б.Л. Пелех. Концентрация напряжений около отверстий при изгибе трансверсально изотропных пластин. Киев: «Наукова думка», 1977, с.183. Статья поступила в редакцию 30.05.2011 г. МОДЕЛІ СТАТИЧНОЇ ДЕФОРМАЦІЇ АНІЗОТРОПНИХ МІКРОПОЛЯРНИХ ПРУЖНИХ ТОНКИХ БАЛОК І ОСОБЛИВОСТІ ЇХ МІЦНОСТНО-ТВЕРДОСТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК С.О. Саркісьян, Ш.І. Алваджян За допомогою методу гіпотез двомірне крайове завдання теорії пружності для анізотропного середовища в області тонкого прямокутника зводиться до прикладного одномірного завдання. В залежності від значень безрозмірних фізичних параметрів построєні загальні моделі мікрополярних анізотропних пружних тонких балок із вільним та утрудненим обертанням з «малою зсувною твердістю», при яких повністю враховуються поперечні зсувні і споріднені їм деформації. Побудовані також відповідні варіаційні рівняння моделі мікрополярних анізотропних балок. На основі побудованих моделей мікрополярних анізотропних пружних тонких балок розглядається конкретне завдання визначення напружено-деформованого стану балки з шарнірно-упертими граничними умовами. Отримані кінцеві числові результати. На основі їх аналізу виявляються ефективні міцністні та твердістні властивості мікрополярного анізотропного матеріалу балки. MODELS OF STATIC DEFORMATION OF ANISOTROPIС MICROPOLAR ELASTIC THIN BEAM AND SINGULARITIES OF THEIR STRENGHT-HARDNESS CHARACTERISTICS S.O. Sarkisyan, Sh.I. Alvadgyan By the method of hypothesis the two-dimension edge problem of micropolar theory of elasticity for anisotropic medium in the region of thin rectangle is reduced to the applied one-sized problem; in dependence on values of nondimensional physical parameters the general models of micropolar anisotropic elastic thin beams with free and constrained rotation with “low shear hardness” are formed. Transverse shearing strains and similar deformation are completely taken into account. Corresponding variation equations of micropolar anisotropic beams model are constructed. On the base of obtained model the actual problem of determination of strained-deformed state of the beam with hinge boundary conditions is examined. The final calculated results are obtained. On the base of obtained results analysis effective strength and hardness characteristics of micropolar anisotropic material of the beam are revealed.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-111446
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1562-6016
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:50:52Z
publishDate	2011
publisher	Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
record_format	dspace
spelling	Саркисян, С.О. Алваджян, Ш.И. 2017-01-10T08:40:34Z 2017-01-10T08:40:34Z 2011 Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик / С.О. Саркисян, Ш.И. Алваджян // Вопросы атомной науки и техники. — 2011. — № 4. — С. 196-204. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-6016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111446 539.3 При помощи метода гипотез двумерная краевая задача микрополярной теории упругости для анизотропной среды в области тонкого прямоугольника сводится к прикладной одномерной задаче. В зависимости от значений безразмерных физических параметров построены общие модели микрополярных анизотропных упругих тонких балок со свободным и стесненным вращениями, с «малой сдвиговой жесткостью», при которых полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации. Построены также соответствующие вариационные уравнения модели микрополярных анизотропных балок. На основе построенных моделей микрополярных анизотропных упругих тонких балок рассматривается конкретная задача об определении напряженно-деформированного состояния балки с шарнирно-опертыми граничными условиями. Получены окончательные численные результаты. На основе их анализа выявляются эффективные прочностные и жесткостные свойства микрополярного анизотропного материала балки. За допомогою методу гіпотез двомірне крайове завдання теорії пружності для анізотропного середовища в області тонкого прямокутника зводиться до прикладного одномірного завдання. В залежності від значень безрозмірних фізичних параметрів построєні загальні моделі мікрополярних анізотропних пружних тонких балок із вільним та утрудненим обертанням з «малою зсувною твердістю», при яких повністю враховуються поперечні зсувні і споріднені їм деформації. Побудовані також відповідні варіаційні рівняння моделі мікрополярних анізотропних балок. На основі побудованих моделей мікрополярних анізотропних пружних тонких балок розглядається конкретне завдання визначення напружено-деформованого стану балки з шарнірно-упертими граничними умовами. Отримані кінцеві числові результати. На основі їх аналізу виявляються ефективні міцністні та твердістні властивості мікрополярного анізотропного матеріалу балки. By the method of hypothesis the two-dimension edge problem of micropolar theory of elasticity for anisotropic medium in the region of thin rectangle is reduced to the applied one-sized problem; in dependence on values of nondimensional physical parameters the general models of micropolar anisotropic elastic thin beams with free and constrained rotation with “low shear hardness” are formed. Transverse shearing strains and similar deformation are completely taken into account. Corresponding variation equations of micropolar anisotropic beams model are constructed. On the base of obtained model the actual problem of determination of strained-deformed state of the beam with hinge boundary conditions is examined. The final calculated results are obtained. On the base of obtained results analysis effective strength and hardness characteristics of micropolar anisotropic material of the beam are revealed. ru Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Диагностика и методы исследований Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик Моделі статичної деформації анізотропних мікрополярних пружних тонких балок і особливості їх міцностно-твердостних характеристик Models of static deformation of anisotropiс micropolar elastic thin beam and singularities of their strenght-hardness characteristics Article published earlier
spellingShingle	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик Саркисян, С.О. Алваджян, Ш.И. Диагностика и методы исследований
title	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик
title_alt	Моделі статичної деформації анізотропних мікрополярних пружних тонких балок і особливості їх міцностно-твердостних характеристик Models of static deformation of anisotropiс micropolar elastic thin beam and singularities of their strenght-hardness characteristics
title_full	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик
title_fullStr	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик
title_full_unstemmed	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик
title_short	Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик
title_sort	модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик
topic	Диагностика и методы исследований
topic_facet	Диагностика и методы исследований
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111446
work_keys_str_mv	AT sarkisânso modelistatičeskoideformaciianizotropnyhmikropolârnyhuprugihtonkihbalokiosobennostiihpročnostnyhžestkostnyhharakteristik AT alvadžânši modelistatičeskoideformaciianizotropnyhmikropolârnyhuprugihtonkihbalokiosobennostiihpročnostnyhžestkostnyhharakteristik AT sarkisânso modelístatičnoídeformacííanízotropnihmíkropolârnihpružnihtonkihbalokíosoblivostííhmícnostnotverdostnihharakteristik AT alvadžânši modelístatičnoídeformacííanízotropnihmíkropolârnihpružnihtonkihbalokíosoblivostííhmícnostnotverdostnihharakteristik AT sarkisânso modelsofstaticdeformationofanisotropismicropolarelasticthinbeamandsingularitiesoftheirstrenghthardnesscharacteristics AT alvadžânši modelsofstaticdeformationofanisotropismicropolarelasticthinbeamandsingularitiesoftheirstrenghthardnesscharacteristics

Модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок и особенности их прочностных-жесткостных характеристик

Institution

Ähnliche Einträge