Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями

Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями

Рассматривается задача сближения траектории линейного конфликтно управляемого процесса с линейным подпространством в случае общих выпуклых интегральных ограничений на управления игроков. С использованием техники многозначных отображений и выпуклого анализа (надграфик функции, рецессивный конус) полу...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2014
1. Verfasser: Белоусов, А.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schriftenreihe:Теорія оптимальних рішень
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111503
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями / А.А. Белоусов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2014. — № 2014. — С. 3-9. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-111503
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1115032025-02-23T20:03:34Z Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями Метод розв’язуючих функцій для диференціальних ігор із змішаними обмеженнями Method of resolving functions for differential games under mixed constrains Белоусов, А.А. Рассматривается задача сближения траектории линейного конфликтно управляемого процесса с линейным подпространством в случае общих выпуклых интегральных ограничений на управления игроков. С использованием техники многозначных отображений и выпуклого анализа (надграфик функции, рецессивный конус) получены достаточные условия разрешимости задачи в классе измеримых управлений. Показано как исследовать игры со смешанными (интегральными и геометрическими) ограничениями с помощью разработанного метода. Розглядається задача про зближення траєкторії лінійного конфліктно керованого процесу з лінійним підпростором у разі загальних опуклих інтегральних обмежень на керування гравців. З використанням техніки багатозначних відображень і опуклого аналізу (надграфік функції, рецесивний конус) отримані достатні умови розв’язності задачі в класі вимірних керувань. Показано як досліджувати ігри із змішаними (інтегральними та геометричними) обмеженнями за допомогою розробленого методу. The paper deals with the problem of bringing a trajectory of the linear conflict-controlled process to a linear subspace in the case of general convex integral constraints on the players’ controls. Sufficient conditions for the problem solvability in the class of measurable controls are obtained. In so doing the technique of set-valued mappings and convex analysis (epigraph of function, recession cone) is used. It is shown how to investigate the game with mixed (integral and geometric) constraints by developed method. 2014 Article Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями / А.А. Белоусов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2014. — № 2014. — С. 3-9. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111503 517.977 ru Теорія оптимальних рішень application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассматривается задача сближения траектории линейного конфликтно управляемого процесса с линейным подпространством в случае общих выпуклых интегральных ограничений на управления игроков. С использованием техники многозначных отображений и выпуклого анализа (надграфик функции, рецессивный конус) получены достаточные условия разрешимости задачи в классе измеримых управлений. Показано как исследовать игры со смешанными (интегральными и геометрическими) ограничениями с помощью разработанного метода.
format Article
author Белоусов, А.А.
spellingShingle Белоусов, А.А.
Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
Теорія оптимальних рішень
author_facet Белоусов, А.А.
author_sort Белоусов, А.А.
title Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
title_short Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
title_full Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
title_fullStr Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
title_full_unstemmed Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
title_sort метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2014
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111503
citation_txt Метод разрешающих функций для дифференциальных игр со смешанными ограничениями / А.А. Белоусов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2014. — № 2014. — С. 3-9. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv AT belousovaa metodrazrešaûŝihfunkcijdlâdifferencialʹnyhigrsosmešannymiograničeniâmi
AT belousovaa metodrozvâzuûčihfunkcíjdlâdiferencíalʹnihígorízzmíšanimiobmežennâmi
AT belousovaa methodofresolvingfunctionsfordifferentialgamesundermixedconstrains
first_indexed 2025-11-24T21:25:24Z
last_indexed 2025-11-24T21:25:24Z
_version_ 1849708537295405056
fulltext Теорія оптимальних рішень. 2014 3 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Рассматривается задача сближения траектории линейного конфликтно управляемого процесса с линейным подпространством в случае общих выпуклых интегральных ограничений на управления игроков. С использованием техники многозначных отображений и выпуклого анализа (надграфик функции, рецессивный ко-нус) получены достаточные условия разрешимости задачи в классе измеримых управлений. Показано как исследовать игры со смешанными (интегральными и геометрическими) ограничениями с помощью разработанного метода.  А.А. Белоусов, 2014 УДК 517.977 А.А. БЕЛОУСОВ МЕТОД РАЗРЕШАЮЩИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ * Одним из самых эффективных подходов к исследованию игровых задач динамики в случае геометрических ограничений на управления игроков является первый прямой метод Л.С. Понтрягина [1]. Этот метод был развит в работах М.С. Никольского [2 – 4] для интегральных ограничений на управ- ления. В этом же направлении проводили свои исследования А.В. Мезенцев, Н.Л. Гри- горенко, А.Я. Азимов и Ф.В. Гусейнов. Правило экстремального прицеливания Н.Н. Красовского нашло свое воплощение для случая интегральных ограничений в работах В.Н. Ушакова, Б.Н. Пшеничного и Ю.Н. Онопчука. Но эти исследования сосре- дотачивались главным образом на одном типе интегральных ограничений на управле- ния игроков, а именно, функций-управлений из гильбертова пространства 2L . В данной работе рассматривается диф- ференциальная игра с интегральным ограни- чением на управление преследователя, задаваемое выпуклым функционалом самого общего вида. В частности, это могут быть характеристические функции геометриче- ских или смешанных ограничений. Таким образом, игры с такими типами ограничений могут быть изучены методами изложенными в данной работе. В основе исследования лежит метод разре- шающих функций [5], являющийся идейно близким к первому прямому методу Л.С. Понтрягина. Сущность метода состоит в оценке действий преследователя с помощью * Работа выполнена при финансовой поддержке проекта ДФФД-Ф53.1/006. А.А. БЕЛОУСОВ 4 Теорія оптимальних рішень. 2014 некоторой скалярной (разрешающей) функции, которая строится по функционалу Минковского вспомогательного многозначного отображения и интеграл от которой определяет гарантированное время сближения. Выяснилось, что возможность построения измеримой разрешающей функции для заданного начального состояния в некий момент времени определяется рецессивным конусом [6] надграфика ограничивающего управление функ- ционала. Если же для заданных начального состояния и момента времени это условие нарушается, то оказывается [7], что игра может быть закончена в этот момент, но уже не в классе измеримых управлений, а в классе импульсных управлений. Постановка задачи. Динамика игры задается линейным дифференциаль- ным уравнением 0= , (0) = , , , .n m lz Az Bu Cv z z z u v    R R R (1) Управления игрока-преследователя )(u и убегающего игрока )(v – это измеримые (по Лебегу) функции, которые удовлетворяют интегральным ограничениям: 0 0 ( ( )) 1, ( ( )) 1.u d v d            (2) Эти управления будем называть допустимыми. Функция  , RR  m: , предполагается неотрицательной, выпуклой и полунепрерывной снизу [6]. Обозначим множество уровня функции  через ( ),   ( ) = : ( ) .mu u     R Полагаем, что (0) = 0 и множество уровня ( )  ограничено хотя бы для одного , 0.  Функция  , R V: , lV R , предполагается неотрицательной и полу- непрерывной сверху на своей области определения V . Терминальное множество M – это линейное подпространство nR . Обозначим  оператор проектирования из nR на ортогональное дополнение L к M . Определение. Будем говорить, что игра может быть закончена в момент 0= ( ),T T z если для любого допустимого управления убегающего игрока )(tv существует допустимое управление преследователя )(tu , которое гарантирует приведение решения уравнения (1) )(tz , соответствующего управлениям ( ( ), ( ))u t v t и начальному положению 0 ,z на терминальное множество в момент :T ( ) .z T M Считаем, что при построении своего управления )(tu преследователь в момент t может использовать информацию о реализовав- шимся до этого момента управлении противника ( ), [0, ].v t  МЕТОД РАЗРЕШАЮЩИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР СО СМЕШАННЫМИ ... Теорія оптимальних рішень. 2014 5 Введем предположение на параметры игры, которое можно назвать аналогом условия Л.С. Понтрягина [1] для дифференциальных игр с интеграль- ными ограничениями. Оно фиксирует некое преимущество преследующего игрока над убегающим и обеспечивает возможность решения задачи сближения. Условие. Существует такое число  , 1<0  , что для всех ,t 0,t  и ,v ,v V выполняется включение: )).(( vBeCve AtAt  (3) Вспомогательные утверждения. Зафиксируем начальную позицию 0.z Введем обозначения ,=),,,( 0 Cvezevtf AAt  )),()((1=),,( vBevF A   где   RRR Vvt ),,,( , )[0,= R . Рассмотрим вспомогательную функцию, которую можно назвать разрешаю- щей функцией дифференциальной игры с интегральными ограничениями [5], и исследуем свойства этой функции:  ( , , ) = sup ( , , ), ( , , ) = 0 : ( , , , ) ( , , ) .t v t v t v f t v F v             (4) Свойство ),,( vt  эквивалентно включению: ( ) ( , ) ( )epi ,a t b v H      (5) 00 ( ) = , ( ) = , ( , ) = , 0 1 1 ( ) A At Ae B e z e Cv H a t b v v                         где  epi = ( , ) : ( )mu u      R R – надграфик функции , отображение RRR  LH m:)( . Предположение (3) означает, что включение (5) выполняется при = 0. Напомним [6], что рецессивным конусом W0 выпуклого множества W , kW R , называется множество всех векторов a , ka R , для которых выполняется включение Wba  для всех неотрицательных чисел  и векторов b , Wb . Приведенное определение эквивалентно следующему:  WWaaW k  :=0 R . При сделанных предположениях о свойствах функции  надграфик epi будет выпуклым и замкнутым подмножеством RR m , а рецессивный конус  epi0 – выпуклым замкнутым конусом [6]. Введем множество  = ( , ) : ( ) ( ) 0 epit a t H          R R . А.А. БЕЛОУСОВ 6 Теорія оптимальних рішень. 2014 Лемма 1. Множество уровня ( ),  0,  является полунепрерывным сверху выпуклозначным и компактозначным многозначным отображением. Доказательство. Выпуклость и компактность множества уровня ( ),  0,  являются следствием полунепрерывности снизу выпуклой функции  и ограниченности множества )( для любого числа  [6]. Отметим, что множества уровня образуют возрастающую по включению совокупность компактных множеств: )()(  для всех неотрицательных  и  . График отображения )( совпадает с epi и является замкнутым множеством. Из результатов [8, (§3.1, теорема 8) следует полунепрерывность сверху отображения )( . Лемма 2. Для всех ( , , )t v V  функция ( , , )t v  конечна и верхняя грань в определении ( , , )t v  (4) достигается. Доказательство. Множество epi – выпукло и замкнуто, поэтому выпуклым будет множество ( )epi .H   Покажем, что это множество также замкнуто, для чего сопоставим равенства: 00)(ker=)(ker   mA BeH R и  0 epi 0 = 0 0m m     R R R. Откуда получаем, что ker ( ) 0 epi = 0 0 mH      R R, а значит [6], (теоре- ма 9.1), множество ( )epiH   – замкнуто и  0 ( )epi = ( ) 0 epi .H H      Из условий леммы и включения (5) следует, что  ( ) 0 ( )epia t H   и, поэтому, ( , , ) < .t v   Множество ( , , )t v  определяется (5) пересечением замкнутого луча в направлении )(ta и выпуклого замкнутого множества ( )epi .H   Поэтому ( , , )t v  – выпуклое замкнутое множество, а значит, верхняя грань в определении ( , , )t v  достигается. Лемма 3. Для всех ( , , )t v V  функция ( , , )t v  полунепрерывна сверху по совокупности переменных. Доказательство. Возьмем произвольный вектор Vvt  ),,( и зафикси- руем его. Положим = ( , , ) < .t v    По определению величины  (4) для любого положительного числа  вектор ( , , , )f t v    лежит вне выпуклого компакта ( , , ).F v    МЕТОД РАЗРЕШАЮЩИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР СО СМЕШАННЫМИ ... Теорія оптимальних рішень. 2014 7 Из леммы 1 и полунепрерывности сверху функции ( )v следует, что ( , , ),F v  ( , , ) ,v V     R R является полунепрерывным сверху выпукло- значным и компактозначным многозначным отображением. Вектор ( , , , )f t v  зависит от аргумента ( , , , )t v V       R R R непрерывным образом. Значит, существуют достаточно малые окрестности 1O вектора ( , )v в множестве VR и 2O вектора ( , , )t v в V  RR такие, что для всех ( , , )t v из окрестности  1 2O O  R вектор ( , , , )f t v    лежит вне выпуклого компакта ( , , )F v    и следовательно ( , , ) ( , , )t v t v       , что и завершает доказательство леммы. Основная теорема. Сформулируем достаточные условия гарантиро- ванного приведения решения уравнения (1), (2) на терминальное множество M из начального положения 0.z Теорема. Полагаем, что выполнено условие (3) на параметры игры (1), (2). Предположим, что существует момент )(= 0zTT такой, что    ][0,TT и для всех допустимых управлений )(v выполняется неравенство 0 ( , , ( )) 1. T T T v d      (6) Тогда дифференциальная игра может быть закончена в момент T . Доказательство этой теоремы повторяет доказательство из [9]. Замечание. Несложно показать, что предположение   [0, ]T T   из формулировки теоремы нарушается только при выполнении условия 0 0 (1 ).AT At t T e z e B        (7) В работе [7] показано, что при выполнении условий (7) и (3) игра (1), (2) может быть закончена в момент T в классе импульсных контруправлений. Таким образом, указанное предположение носит больше технический характер и обеспечивает конечность разрешающей функции (4). Отметим также, что если функция  – кофинитная [6], т. е. надграфик epi не содержит невертикальных лучей, то указанное предположение теоремы выполняется для всех T и 0z таких, что 0 0.ATe z  Игры с геометрическими и смешанными ограничениями. Покажем, что геометрические ограничения на управления игроков в линейной дифферен- циальной игре с помощью перехода к характеристическим функциям могут быть приведены к интегральным ограничениям. А.А. БЕЛОУСОВ 8 Теорія оптимальних рішень. 2014 Пусть динамика игры задается линейным дифференциальным уравнением (1). Управления игрока-преследователя )(u и убегающего игрока )(v являются измеримыми (по Лебегу) функциями, которые удовлетворяют одновременно интегральным ограничениям (2) и геометрическим ограничениям Pu и Qv , где P и Q – выпуклые компакты в соответствующих конечномерных пространствах, lVQ R . Терминальное множество M – линейное подпро- странство nR . Введем функции ( ), , ( ) = ( ) ( ), , , u u P u v v v Q u P          и рассмотрим вместо смешанных ограничений интегральные ограничения вида (2) с функциями  и ~ . Указанные функции удовлетворяют предположениям относительно функций ограничений, если P0 . Очевидно, что выпуклая функция  является кофинитной и ее множества уровня совпадают с P )( для всех 0 . Тогда предположение (3) примет вид:   ( ) ,At Ate Cv e B v P     для всех и , 0, ,t v t v Q  а разрешающая функция (4) аналогично может быть записана с помощью указанных выше множеств уровня функции . Если же на управления игроков наложены чисто геометрические ограничения (т. е. 0  и 0 ), то выпуклая функция  является кофи- нитной и ее множества уровня совпадают с P для всех 0,  а предположение (3) имеет вид: ,At Ate Cv e BP  для всех и , 0, .t v t v Q  В таком виде предположение (3) совпадает с классическим условием Л.С. Понтрягина для дифференциальных игр с геометрическими ограниче- ниями. Условия теоремы (6) совпадают с достаточными условиями завершения игры для геометрических ограничений, которые формулируются в первом прямом методе Л.С. Понтрягина [1] и методе разрешающих функций [5], где разрешающая функция (4) принимает вид  0( , , ) = sup 0 : .At A At v e z e Cv e BP          Таким образом, игры с геометрическими и смешанными ограничениями являются частным случаем игр с интегральными ограничениями и могут быть изучены методами изложенными в данной работе. МЕТОД РАЗРЕШАЮЩИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР СО СМЕШАННЫМИ ... Теорія оптимальних рішень. 2014 9 О.А. Бєлоусов МЕТОД РОЗВ’ЯЗУЮЧИХ ФУНКЦІЙ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ІГОР ІЗ ЗМІШАНИМИ ОБМЕЖЕННЯМИ Розглядається задача про зближення траєкторії лінійного конфліктно керованого процесу з лінійним підпростором у разі загальних опуклих інтегральних обмежень на керування гравців. З використанням техніки багатозначних відображень і опуклого аналізу (надграфік функції, рецесивний конус) отримані достатні умови розв’язності задачі в класі вимірних керувань. Показано як досліджувати ігри із змішаними (інтегральними та геометричними) обмеженнями за допомогою розробленого методу. A.A. Belousov METHOD OF RESOLVING FUNCTIONS FOR DIFFERENTIAL GAMES UNDER MIXED CONSTRAINS The paper deals with the problem of bringing a trajectory of the linear conflict-controlled process to a linear subspace in the case of general convex integral constraints on the players’ controls. Suffi- cient conditions for the problem solvability in the class of measurable controls are obtained. In so doing the technique of set-valued mappings and convex analysis (epigraph of function, recession cone) is used. It is shown how to investigate the game with mixed (integral and geometric) con- straints by developed method. 1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. T. 2. – М.: Наука, 1988. – 576 c. 2. Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Управляемые системы. Вып. 2. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1969. – C. 49 – 58. 3. Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими интегральными ограничениями // Дифференциальные уравнения. – 1972. – 8, № 6. – C. 964 – 971. 4. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры преследования с интегральными ограничениями // Дифференциальные уравнения. – 1992. – 28, № 2. – C. 219 – 223. 5. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – К.: Наук. думка, 1992. – 384 c. 6. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973. – 470 c. 7. Белоусов А.А. Импульсные управления в дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Теорія оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2013. – С. 50 – 55. 8. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. – М.: Мир, 1988. – 512 c. 9. Белоусов А.А. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида // Теорія оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2012. – С. 30 – 35. Получено 02.04.2014

Ähnliche Einträge