Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы
Колебания упругого тела с закрывающейся трещиной являются существенно нелинейными. Отличительная особенность таких колебаний – проявление так называемых нелинейных эффектов, в частности суб- и супергармонические резонансы и нелинейность колебаний при этих резонансах. Предлагается метод диагностик...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111989 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы / А.П. Бовсуновский, О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2010. — № 4. — С. 50-61. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-111989 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бовсуновский, А.П. Бовсуновский, О.А. 2017-01-16T16:10:08Z 2017-01-16T16:10:08Z 2010 Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы / А.П. Бовсуновский, О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2010. — № 4. — С. 50-61. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111989 539.67; 620.178 Колебания упругого тела с закрывающейся трещиной являются существенно нелинейными. Отличительная особенность таких колебаний – проявление так называемых нелинейных эффектов, в частности суб- и супергармонические резонансы и нелинейность колебаний при этих резонансах. Предлагается метод диагностики трещин, суть которого состоит в варьировании асимметрией вынуждающей силы. Статическая составляющая сосредоточенной гармонической вынуждающей силы изменяет состояние трещины: она становится частично или полностью открытой либо закрытой. При этом уровень нелинейности колебаний при любом нелинейном резонансе изменяется от максимального значения (при отсутствии статической составляющей) до практически нулевого, когда трещина под действием статической составляющей становится открытой или закрытой при колебаниях. Метод позволяет обнаружить наличие трещины без какой-либо предварительной информации о диагностируемом объекте в неповрежденном состоянии. Кoливання пружного тіла з тріщиною, що закривається, є суттєво нелінійними. Характерною особливістю таких коливань є прояв так званих нелінійних ефектів, зокрема суб- і супергармонічні резонанси і нелінійність коливань при цих резонансах. Запропоновано метод діагностики тріщин, суть якого полягає у варіюванні асиметрії змушувальної сили. Статична складова зосередженої гармонічної змушувальної сили змінює стан тріщини: вона стає частково або повністю відкритою чи закритою. При цьому рівень нелінійності коливань за будь-якого нелінійного резонансу змінюється від максимального значення (за відсутності статичної складової) до практично нульового, коли тріщина під дією статичної складової стає відкритою або закритою при коливаннях. Метод дозволяє виявити тріщину без будь-якої попередньої інформації про об’єкт, що діагностується, у непошкодженому стані. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы |
| spellingShingle |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы Бовсуновский, А.П. Бовсуновский, О.А. Научно-технический раздел |
| title_short |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы |
| title_full |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы |
| title_fullStr |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы |
| title_full_unstemmed |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы |
| title_sort |
диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы |
| author |
Бовсуновский, А.П. Бовсуновский, О.А. |
| author_facet |
Бовсуновский, А.П. Бовсуновский, О.А. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| description |
Колебания упругого тела с закрывающейся трещиной являются существенно нелинейными.
Отличительная особенность таких колебаний – проявление так называемых нелинейных
эффектов, в частности суб- и супергармонические резонансы и нелинейность колебаний при
этих резонансах. Предлагается метод диагностики трещин, суть которого состоит в
варьировании асимметрией вынуждающей силы. Статическая составляющая сосредоточенной
гармонической вынуждающей силы изменяет состояние трещины: она становится частично
или полностью открытой либо закрытой. При этом уровень нелинейности колебаний при
любом нелинейном резонансе изменяется от максимального значения (при отсутствии статической составляющей) до практически нулевого, когда трещина под действием статической
составляющей становится открытой или закрытой при колебаниях. Метод позволяет обнаружить наличие трещины без какой-либо предварительной информации о диагностируемом
объекте в неповрежденном состоянии.
Кoливання пружного тіла з тріщиною, що закривається, є суттєво нелінійними. Характерною особливістю таких коливань є прояв так званих нелінійних ефектів, зокрема суб- і супергармонічні резонанси і нелінійність коливань при цих резонансах. Запропоновано метод діагностики тріщин, суть
якого полягає у варіюванні асиметрії змушувальної сили. Статична складова
зосередженої гармонічної змушувальної сили змінює стан тріщини: вона стає
частково або повністю відкритою чи закритою. При цьому рівень нелінійності коливань за будь-якого нелінійного резонансу змінюється від максимального значення (за відсутності статичної складової) до практично нульового, коли тріщина під дією статичної складової стає відкритою або закритою
при коливаннях. Метод дозволяє виявити тріщину без будь-якої попередньої
інформації про об’єкт, що діагностується, у непошкодженому стані.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/111989 |
| citation_txt |
Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы / А.П. Бовсуновский, О.А. Бовсуновский // Проблемы прочности. — 2010. — № 4. — С. 50-61. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bovsunovskiiap diagnostikazakryvaûŝihsâtreŝinvsteržnevyhélementahprinelineinyhrezonansahmetodomvarʹirovaniâasimmetrieivynuždaûŝeisily AT bovsunovskiioa diagnostikazakryvaûŝihsâtreŝinvsteržnevyhélementahprinelineinyhrezonansahmetodomvarʹirovaniâasimmetrieivynuždaûŝeisily |
| first_indexed |
2025-11-27T03:06:30Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:06:30Z |
| _version_ |
1850795999979634688 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.67; 620.178
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ
ïðè íåëèíåéíûõ ðåçîíàíñàõ ìåòîäîì âàðüèðîâàíèÿ àñèììåòðèåé
âûíóæäàþùåé ñèëû
À. Ï. Áîâñóíîâñêèé, Î. À. Áîâñóíîâñêèé
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Êîëåáàíèÿ óïðóãîãî òåëà ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûìè.
Îòëè÷èòåëüíàÿ îñîáåííîñòü òàêèõ êîëåáàíèé – ïðîÿâëåíèå òàê íàçûâàåìûõ íåëèíåéíûõ
ýôôåêòîâ, â ÷àñòíîñòè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèå ðåçîíàíñû è íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè
ýòèõ ðåçîíàíñàõ. Ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä äèàãíîñòèêè òðåùèí, ñóòü êîòîðîãî ñîñòîèò â
âàðüèðîâàíèè àñèììåòðèåé âûíóæäàþùåé ñèëû. Ñòàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñîñðåäîòî÷åííîé
ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû èçìåíÿåò ñîñòîÿíèå òðåùèíû: îíà ñòàíîâèòñÿ ÷àñòè÷íî
èëè ïîëíîñòüþ îòêðûòîé ëèáî çàêðûòîé. Ïðè ýòîì óðîâåíü íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè
ëþáîì íåëèíåéíîì ðåçîíàíñå èçìåíÿåòñÿ îò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ (ïðè îòñóòñòâèè ñòàòè-
÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé) äî ïðàêòè÷åñêè íóëåâîãî, êîãäà òðåùèíà ïîä äåéñòâèåì ñòàòè÷åñêîé
ñîñòàâëÿþùåé ñòàíîâèòñÿ îòêðûòîé èëè çàêðûòîé ïðè êîëåáàíèÿõ. Ìåòîä ïîçâîëÿåò îáíàðó-
æèòü íàëè÷èå òðåùèíû áåç êàêîé-ëèáî ïðåäâàðèòåëüíîé èíôîðìàöèè î äèàãíîñòèðóåìîì
îáúåêòå â íåïîâðåæäåííîì ñîñòîÿíèè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàêðûâàþùàÿñÿ òðåùèíà, ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèå êîëå-
áàíèÿ, äèàãíîñòèêà òðåùèíû, íåëèíåéíûå ýôôåêòû, àñèììåòðèÿ âûíóæäà-
þùåé ñèëû.
Ââåäåíèå. Îáíàðóæåíèå òðåùèí äîêðèòè÷åñêèõ ðàçìåðîâ ñ öåëüþ ïðåä-
îòâðàùåíèÿ ðàçðóøåíèÿ ìàøèí è êîíñòðóêöèé ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ ÿâëÿ-
åòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå àêòóàëüíûõ çàäà÷ òåõíè÷åñêîé äèàãíîñòèêè. Çà ïî-
ñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ïîëó÷èëè âèáðàöèîííûå ìåòîäû
äèàãíîñòèêè ïîâðåæäåíèé, áîëüøàÿ ÷àñòü èç êîòîðûõ îñíîâàíà íà îáóñëîâ-
ëåííîì òðåùèíîé èçìåíåíèè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è èñêàæåíèè ôîðì êîëå-
áàíèé [1, 2]. Îäíàêî ÷óâñòâèòåëüíîñòü ýòèõ ìåòîäîâ îêàçàëàñü íåäîñòàòî÷íîé
äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ. Áîëåå âûñîêîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ê íàëè-
÷èþ òðåùèíû îáëàäàþò òàê íàçûâàåìûå íåëèíåéíûå ýôôåêòû [3], ò.å. ñóá- è
ñóïåðãàðìîíè÷åñêèå ðåçîíàíñû è ñóùåñòâåííàÿ íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè
ýòèõ ðåçîíàíñàõ.
Ïðè êîëåáàíèÿõ òåë ñ òðåùèíîé â ïðîöåññå åå îòêðûòèÿ èëè çàêðûòèÿ
ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå æåñòêîñòè êîíñòðóêöèè, êîòîðîå äëÿ óïðîùåíèÿ àíà-
ëèçà ìîäåëèðóþò íåñèììåòðè÷íîé êóñî÷íî-ëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêîé âîñ-
ñòàíàâëèâàþùåé ñèëû. Àíàëèòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáà-
íèé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ñ òàêîé õàðàêòåðèñ-
òèêîé âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû ñâèäåòåëüñòâóþò î âîçìîæíîñòè âîçíèêíî-
âåíèÿ ñóá- [4–13] è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèõ [7, 8, 10, 12, 14, 15] ðåçîíàíñíûõ
êîëåáàíèé ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû ïðè
÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèÿõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñòåðæíåé ñ çàêðûâàþ-
ùåéñÿ òðåùèíîé [10, 16–18].
© À. Ï. ÁÎÂÑÓÍÎÂÑÊÈÉ, Î. À. ÁÎÂÑÓÍÎÂÑÊÈÉ, 2010
50 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4
Èäåÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé ñ òðåùèíîé, ïîä-
âåðãàþùèõñÿ âîçäåéñòâèþ ñòàòè÷åñêîé ñèëû, áûëà ðåàëèçîâàíà ïðè èññëå-
äîâàíèÿõ ñâîáîäíûõ [19, 20] è âûíóæäåííûõ [21] êîëåáàíèé ñòåðæíåé. Ïðî-
âåäåíèå ýòèõ èññëåäîâàíèé âûçâàíî íåîáõîäèìîñòüþ áîëåå òî÷íîãî ó÷åòà
óñëîâèé íàãðóæåíèÿ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé, ðàáîòàþùèõ â ïîëå çíà÷èòåëü-
íûõ öåíòðîáåæíûõ ñèë (íàïðèìåð, ëîïàòêè ãàçîòóðáèííûõ äâèãàòåëåé) èëè
íåñóùèõ áîëüøóþ ñòàòè÷åñêóþ íàãðóçêó (ìîñòû). Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âåëè-
÷èíà è çíàê ñòàòè÷åñêîé íàãðóçêè (ðàñòÿãèâàþùàÿ èëè ñæèìàþùàÿ) âëèÿþò
íà ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòîâ ñ ðàçíûìè êðàåâûìè óñëî-
âèÿìè íàðÿäó ñ ðàçìåðàìè è ìåñòîïîëîæåíèåì òðåùèíû [19–21].
 ðàáîòå [22] àíàëèòè÷åñêè èññëåäîâàëîñü âëèÿíèå àñèììåòðèè ãàðìî-
íè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû íà óðîâåíü íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ìåõàíè-
÷åñêîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ñ íåñèììåòðè÷íîé êóñî÷íî-ëèíåé-
íîé õàðàêòåðèñòèêîé âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû è ñòåðæíÿ Áåðíóëëè–Ýéëåðà
íà äâóõ îïîðàõ ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé ïðè îñíîâíîì ðåçîíàíñå. Ïîêà-
çàíî, ÷òî ÷åì áîëüøå àñèììåòðèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû, òåì íèæå óðîâåíü
íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè îñíîâíîì ðåçîíàíñå.  ñëó÷àå åñëè òðåùèíà
ñòàíîâèòñÿ ïîëíîñòüþ îòêðûòîé èëè çàêðûòîé èç-çà âûñîêîé ñòåïåíè àñèì-
ìåòðèè âûíóæäàþùåé ñèëû, íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ñèñòåìû ïîëíîñòüþ
èñ÷åçàåò.
Ñëåäîâàòåëüíî, èñêóññòâåííî âûçâàííîå èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ òðåùèíû,
ò.å. åå ÷àñòè÷íîå èëè ïîëíîå îòêðûòèå èëè çàêðûòèå, ïîñðåäñòâîì äîáàâëåíèÿ
ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ê ñîñðåäîòî÷åííîé ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé
ñèëå è îöåíêà ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèõ èçìåíåíèé íåëèíåéíîñòè ïðè ñóá-
è (èëè) ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â êà÷åñòâå
ïðèçíàêà íàëè÷èÿ ïîâðåæäåíèÿ òèïà òðåùèíû óñòàëîñòè â êîíñòðóêöèè.
Ìîäåëü ñòåðæíÿ ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî
èññëåäîâàíèÿ ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòàëüíî àïðîáèðîâàííîé êî-
íå÷íîýëåìåíòíîé ìîäåëè ñòåðæíÿ ñ òðåùèíîé [23], ñîñòîÿùåé èç 21 ýëåìåíòà
(ðèñ. 1). Òðåùèíà ìîäåëèðîâàëàñü óêîðî÷åííûì ýëåìåíòîì, äëèíà êîòîðîãî
ñîñòàâëÿåò 10% äëèíû îáû÷íîãî ýëåìåíòà, ñ óìåíüøåííîé æåñòêîñòüþ. Óêî-
ðî÷åííûé ýëåìåíò ïîçâîëÿåò áîëåå òî÷íî çàäàâàòü ìåñòîïîëîæåíèå òðåùèíû.
Ñîñðåäîòî÷åííàÿ ñèëà ïðèêëàäûâàëàñü ê óçëàì ìîäåëè.
Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü ìîäåëè ïðèìåíèòåëüíî ê ïîñòàâëåííîé çàäà÷å çà-
êëþ÷àëàñü â ïðîöåäóðå íàãðóæåíèÿ ñòåðæíÿ. Ê ñîñðåäîòî÷åííîé ãàðìîíè-
Ðèñ. 1. Êîíå÷íîýëåìåíòíàÿ ìîäåëü êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ (L – äëèíà ñòåðæíÿ; LP – ìåñòî
ïðèëîæåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû; Lc – ìåñòîïîëîæåíèå òðåùèíû).
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4 51
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ...
÷åñêîé ñèëå äîáàâëÿëàñü ñòàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ðàçëè÷íîé âåëè÷èíû
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èçìåíèëîñü ñîñòîÿíèå òðåùèíû, ò.å îíà ñòàëà áîëüøå
èëè ïîëíîñòüþ îòêðûòîé ëèáî çàêðûòîé. Ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî
ñòåðæåíü èìååò íåñèììåòðè÷íóþ êóñî÷íî-ëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó âîññòà-
íàâëèâàþùåé ñèëû, êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé îïèñû-
âàëèñü ñèñòåìîé äâóõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
[ ]{��} [ ]{ �} [ ]{ } { } { }sin( );
[ ]{��}
M x D x K x P P t
M x
st P� � � � �
� � � �
�
�
� [ ]{ �} [ ]{ } { } { }sin( ),D x K x P P td d st P�
(1)
ãäå [ ]M – ìàòðèöà ìàññ; [ ]D è [ ]Dd – ìàòðèöû äåìïôèðîâàíèÿ; [ ]K è [ ]K d –
ìàòðèöû æåñòêîñòè; { }x – âåêòîð îáîáùåííûõ óçëîâûõ ïåðåìåùåíèé; { }P –
âåêòîð óçëîâûõ ñèë; �P – ÷àñòîòà âûíóæäàþùåé ñèëû; { }Pst – âåêòîð
ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé óçëîâûõ ñèë. Çäåñü è äàëåå ïàðàìåòðû ñòåðæíÿ ñ
îòêðûòîé òðåùèíîé îáîçíà÷åíû èíäåêñîì d. Èíäåêñ st îáîçíà÷àåò ñòàòè-
÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùóþ âûíóæäàþùåé ñèëû.
Ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ âðåìåíè, íåîáõîäèìîãî äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé (1), ïðåîáðàçóåì èõ ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì:
[ ]{��} [ ]{ �} [ ]{ } { } { }sin( );
[ ]{��
I q q q R R t
I
st P
d
� � � �� � �2
q q q R R td d std d P} [ ]{ �} [ ]{ } { } { }sin( ),� � � �
�
�
� � � �2 (2)
[ ]I è [ ]I d – ìàòðèöû ìàññ â ãëàâíûõ êîîðäèíàòàõ; [ ]�2 è [ ]�d
2 – ìàòðèöû
ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ñèñòåìû â ãëàâíûõ êîîðäèíàòàõ; [ ]� è [ ]� d – ìàòðèöû
äåìïôèðîâàíèÿ â ãëàâíûõ êîîðäèíàòàõ; { }R è { }Rd – âåêòîðû âûíóæäàþùåé
ñèëû; { }Rst è { }Rstd – âåêòîðû ñòàòè÷åñêîé ñèëû; { }q – ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà.
Ïðåîáðàçîâàíèå ñèñòåìû (1) â ñèñòåìó (2) âûïîëíÿëîñü ñ ïîìîùüþ
ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé:
[ ] [ ] [ ][ ]; [ ] [ ] [ ][ ];
[ ] [ ] [ ][ ]; [
I M I M
K
d d d� �
�
ò ò
ò�2 �d d d d
d d d
K
D D
2 ] [ ] [ ][ ];
[ ] [ ] [ ][ ]; [ ] [ ] [ ][
�
� �
�
�
ò
ò ò
d
d d
st st std
R P R P
R P R
];
{ } [ ] { }; { } [ ] { };
{ } [ ] { }; {
� �
�
ò ò
ò } [ ] { },�
�
�
�
d stPò
(3)
ãäå [ ]
è [ ]
d – ìàòðèöû ôîðì êîëåáàíèé.
Ìàòðèöû ôîðì êîëåáàíèé íàõîäèëèñü èç ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ äëÿ ñòåðæíÿ ñ çàêðûòîé è îòêðûòîé òðåùèíîé ñîîòâåòñòâåííî:
[ ]{ } [ ]{ };
[ ]{ } [ ]{ },
K M
K M
i i i
d di di di
�
�
�
�
2
2 (4)
ãäå i – íîìåð ñîáñòâåííîé ôîðìû êîëåáàíèé.
52 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4
À. Ï. Áîâñóíîâñêèé, Î. À. Áîâñóíîâñêèé
Ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü ñòåðæíÿ ó÷èòûâàåò âëèÿíèå òðåùèíû íà ôîðìû
êîëåáàíèé. Ïîýòîìó ðåøàëèñü äâå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: äëÿ
ñòåðæíÿ ñ çàêðûòîé òðåùèíîé (â ýòîì ñëó÷àå ñâîéñòâà ñòåðæíÿ ïðåäïîëàãà-
ëèñü òàêèìè æå, êàê è íåïîâðåæäåííîãî) è äëÿ ñòåðæíÿ ñ îòêðûòîé òðåùèíîé,
âñëåäñòâèå ÷åãî âåêòîðû âíåøíèõ ñèë { }R è { },Rd à òàêæå { }Rst è { }Rstd
áûëè ðàçíûìè.
Óðàâíåíèÿ (2) ðåøàëèñü ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà ïîøàãîâî âî âðåìåíè.
Ñîñòîÿíèå òðåùèíû ïðîâåðÿëîñü íà êàæäîì âðåìåííîì øàãå ïî ðåçóëüòàòàì
ñðàâíåíèÿ óãëîâ ïîâîðîòà ïðàâîãî (� right ) è ëåâîãî (� left ) óçëîâ ýëåìåíòà,
ìîäåëèðóþùåãî òðåùèíó. Åñëè � �left right� , òðåùèíà îòêðûòà, è íàîáîðîò. Â
ñëó÷àå åñëè ñîñòîÿíèå òðåùèíû èçìåíÿåòñÿ (òðåùèíà ïîëíîñòüþ çàêðûâàåòñÿ
èëè íà÷èíàåò îòêðûâàòüñÿ) íà j-ì âðåìåííîì øàãå, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ
ñëåäóþùåãî ( j �1)-ãî øàãà âû÷èñëÿëèñü ïî ôîðìóëàì:
{ } [ ] [ ]{ };q qj d j�
�1
1
(5)
{ } [ ] [ ]{ }.q qj d j�
�1
1
(6)
Ôîðìóëû (5) è (6) èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè, êîãäà òðåùèíà
íà÷èíàåò îòêðûâàòüñÿ è ïîëíîñòüþ çàêðûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî.
Ýêâèâàëåíòíàÿ ëîêàëüíàÿ æåñòêîñòü ýëåìåíòà, ìîäåëèðóþùåãî òðåùèíó,
âû÷èñëÿëàñü íà îñíîâå áàëàíñà ýíåðãèé äåôîðìàöèè [1]. Èçìåíåíèå ýíåðãèè
äåôîðìàöèè ñòåðæíÿ, îáóñëîâëåííîå òðåùèíîé, îïðåäåëÿëîñü ïî ôîðìóëå
�U b
K
E
da
a
� � I
2
0
, (7)
â êîòîðîé êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé äëÿ êðàåâîé òðåùèíû
ïðè èçãèáå ïîëîñû âû÷èñëÿëñÿ ïî ôîðìóëå ×åðåïàíîâà [24]:
K
M
bh
b
I �
4 2
1 13 2
3 3 1 2,
[( ) ( ) ] ,/
/� � (8)
ãäå E – ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðèàëà; M b – èçãèáàþùèé ìîìåíò; b è h –
øèðèíà è âûñîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ; a – ãëóáèíà òðåùèíû;
� � a h.
Òðåùèíà â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäà-
þùåé ñèëû ñòàíîâèòñÿ áîëüøå èëè ïîëíîñòüþ îòêðûòîé ëèáî çàêðûòîé.
Èçìåíåíèå óïðóãîé âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû Pr â çàâèñèìîñòè îò ñòàòè-
÷åñêîé ñèëû Pst ðàçíîãî çíàêà ïîêàçàíî íà ðèñ. 2. Ïðèíÿòî, ÷òî ñòàòè÷åñêàÿ
ñèëà, çàêðûâàþùàÿ òðåùèíó, ïîëîæèòåëüíà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà îòðè-
öàòåëüíà. Êàê âèäíî, âî âñåõ ñëó÷àÿõ õàðàêòåðèñòèêè âîññòàíàâëèâàþùåé
ñèëû óïðóãîãî òåëà ðàçëè÷àþòñÿ. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî áóäóò ðàçëè÷àòüñÿ
òàêæå óðîâíè íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè êàêîì-ëèáî íåëèíåéíîì ðåçî-
íàíñå. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî ëèøü ïðè íàëè÷èè òðåùèíû â
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4 53
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ...
ñòåðæíå. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñòàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âûíóæäàþùåé ñèëû
èçìåíÿåò íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè ñóá- èëè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçî-
íàíñàõ, çíà÷èò, â ñòåðæíå âîçíèêëà òðåùèíà.
Áûëè èññëåäîâàíû âûíóæäåííûå èçãèáíûå êîëåáàíèÿ ïî ïåðâîé ôîðìå
ñòåðæíåé ñ ðàçëè÷íûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è ìåñòîïîëîæåíèåì òðå-
ùèíû (ðèñ. 3), à èìåííî: êîíñîëüíûé ñòåðæåíü (L Lc � 0,1 è 0,5), ñòåðæåíü íà
äâóõ îïîðàõ (L Lc � 0,25 è 0,5) è ñòåðæåíü, çàùåìëåííûé ñ äâóõ ñòîðîí
( , ).L Lc �0 5 Äëèíà L, âûñîòà h è øèðèíà b ñå÷åíèÿ êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ
ñîñòàâëÿëè 0,23 ì, 0,02 ì è 0,004 ì ñîîòâåòñòâåííî. Ðàçìåðû ñòåðæíÿ íà äâóõ
îïîðàõ è çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí òàêîâû: L�6 ì; h�0 5, ì; b�0 5, ì. Âî
âñåõ ñëó÷àÿõ îòíîñèòåëüíàÿ ãëóáèíà òðåùèíû a h�0 2, . Ìîäóëü óïðóãîñòè E,
ïëîòíîñòü � è ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò êîëåáàíèé � ìàòåðèàëà ïðèíÿòû
ðàâíûìè 206 ÃÏà, 7850 êã/ì 3 è 0,01 ñîîòâåòñòâåííî.
Ìåòîäèêà âû÷èñëåíèé ñëåäóþùàÿ: âûíóæäàþùàÿ ñèëà ñ òîé èëè èíîé
ñòåïåíüþ àñèììåòðèè ïðèêëàäûâàëàñü ê êîíöó êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ (L LP �
�1) è ïîñëåäîâàòåëüíî ê äâóì ðàçëè÷íûì òî÷êàì ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ è
çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí (L LP � 0,25 è 0,5).  êàæäîì ñëó÷àå âûïîëíÿëñÿ
ñïåêòðàëüíûé àíàëèç êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà óñêîðåíèÿ êîíöà êîíñîëüíîãî
Ðèñ. 2. Õàðàêòåðèñòèêè âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû ñòåðæíÿ ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé ïðè
ðàçëè÷íûõ çíàêàõ ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäàþùåé ñèëû (A è Ao – àìïëèòóäû
ïîëóöèêëîâ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ, êîãäà òðåùèíà çàêðûòà è îòêðûòà ñîîòâåòñòâåííî).
Ðèñ. 3. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è ïàðàìåòðû âûíóæäàþùåé ñèëû.
P P tst P� sin �
P P tst P� sin �
P P tst P� sin �
L Lc � 0 5,L Lc � 0 1,
L Lc � 0 5,
L Lc � 0 5,
L Lc � 0 25,
54 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4
À. Ï. Áîâñóíîâñêèé, Î. À. Áîâñóíîâñêèé
ñòåðæíÿ è ñðåäíåãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ è çàùåìëåííîãî ñ äâóõ
ñòîðîí ïðè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ.
Âëèÿíèå àñèììåòðèè âûíóæäàþùåé ñèëû íà íåëèíåéíîñòü êîëåáà-
íèé êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ ñ òðåùèíîé. Íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè ñóá- è
ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ îöåíèâàëàñü îòíîøåíèåì àìïëèòóäû äîìè-
íèðóþùåé ãàðìîíèêè (íàèáîëüøåé ïî àìïëèòóäå) â ñïåêòðå êîëåáàíèé ê
àìïëèòóäå îñíîâíîé ãàðìîíèêè. Íàïðèìåð, ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçî-
íàíñå âòîðîãî ïîðÿäêà äîìèíèðóþùåé ÿâëÿåòñÿ âòîðàÿ ãàðìîíèêà A2 , ïðè
ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà 1/2 – ñóáãàðìîíèêà A1 2/ . Âñå äðóãèå
ñîñòàâëÿþùèå ñïåêòðà êîëåáàíèé ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äîìè-
íèðóþùåé ãàðìîíèêîé. Ïîýòîìó óðîâåíü íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé îöåíèâà-
ëè ñîîòâåòñòâåííî îòíîøåíèÿìè A A2 1 è A A1 2 1/ (A1 – àìïëèòóäà îñíîâíîé
ãàðìîíèêè).
Ïðè ðàñ÷åòàõ â ìîäåëè ó÷èòûâàëè âîñåìü ôîðì êîëåáàíèé. Ýòîãî äîñòà-
òî÷íî äëÿ îöåíêè óðîâíÿ íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè íåëèíåéíûõ ðåçî-
íàíñàõ ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ, òàê êàê îí ïðàêòè÷åñêè ïåðåñòàåò èçìå-
íÿòüñÿ, íà÷èíàÿ ñ ÷åòûðåõ ôîðì êîëåáàíèé.
Íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ ïðè îáîèõ íåëèíåéíûõ
ðåçîíàíñàõ ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíû ñòàòè÷åñêîé
ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäàþùåé ñèëû (ðèñ. 4), îïðåäåëÿåìîé êàê îòíîøåíèå
ñòàòè÷åñêîé ñèëû Pst ê àìïëèòóäå ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû P.
Íàèáîëüøàÿ íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé èìååò ìåñòî ïðè îòñóòñòâèè àñèììåò-
ðèè âûíóæäàþùåé ñèëû (Pst �0). Ñ óâåëè÷åíèåì ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé
íåçàâèñèìî îò çíàêà íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé âíà÷àëå ìåäëåííî, à çàòåì ðåçêî
óìåíüøàåòñÿ äî íóëåâîãî çíà÷åíèÿ. Òàê, íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðàêòè-
÷åñêè èñ÷åçàåò ïðè P Pst �2 â ñëó÷àå ñóïåðãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà è ïðè
P Pst �1 â ñëó÷àå ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóáãàðìî-
íè÷åñêèé ðåçîíàíñ èñ÷åçàåò ïðè çíà÷èòåëüíî ìåíüøåé àñèììåòðèè âûíóæ-
äàþùåé ñèëû, ÷åì ñóïåðãàðìîíè÷åñêèé.
a á
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû äîìèíèðóþùåé ãàðìîíèêè ñïåêòðà óñêîðåíèÿ
ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà 2/1 (à) è ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà
1/2 (á) îò îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíû ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäàþùåé ñèëû äëÿ
êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ (L LP �1): 1 – L Lc � 0 1, ; 2 – L Lc � 0 5, .
A A2 1 A A1 2 1/
P Pst P Pst
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4 55
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ...
×åì äàëüøå òðåùèíà îò çàäåëêè, òåì ñëàáåå åå âëèÿíèå íà æåñòêîñòü
êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ. Ïîýòîìó âïîëíå ëîãè÷íî, ÷òî óðîâåíü íåëèíåéíîñòè
êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ñ òðåùèíîé ïîñðåäèíå (L Lc �0 5, ) ïðè ñóïåðãàðìîíè-
÷åñêîì ðåçîíàíñå ïðèáëèçèòåëüíî â äâà ðàçà íèæå, ÷åì â ñëó÷àå òðåùèíû ó
çàäåëêè (L Lc �0 1, ).  òî æå âðåìÿ ïðè ðàñïîëîæåíèè òðåùèíû â ñå÷åíèè
L Lc �0 5, ñóïåðãàðìîíè÷åñêèé ðåçîíàíñ èñ÷åçàåò ïðè ìåíüøåé àñèììåòðèè
âûíóæäàþùåé ñèëû, ÷åì ïðè L Lc �0 1, . Ñóáãàðìîíè÷åñêèé ðåçîíàíñ ñòåðæ-
íÿ ñ òðåùèíîé ïîñðåäèíå îòñóòñòâóåò, ïîñêîëüêó íåëèíåéíîñòü ñèñòåìû
íåäîñòàòî÷íà äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ýòîãî ðåæèìà êîëåáàíèé.
Âëèÿíèå àñèììåòðèè âûíóæäàþùåé ñèëû íà íåëèíåéíîñòü êîëåáà-
íèé ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ è çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí. Çàâèñèìîñòè
ìåæäó ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäàþùåé ñèëû è íåëèíåéíîñòüþ
êîëåáàíèé ïðè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ
è çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí êà÷åñòâåííî ïîäîáíû çàâèñèìîñòÿì, ïîëó÷åí-
íûì äëÿ êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ. Îäíàêî êîëè÷åñòâåííî îíè ðàçëè÷àþòñÿ.
Òàê, äëÿ ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ, êîëåáàíèÿ êîòîðîãî âîçáóæäàþòñÿ
ñèëîé, ïðèëîæåííîé ïîñðåäèíå (L LP �0 5, ), ìàêñèìàëüíàÿ íåëèíåéíîñòü
ñóïåðãàðìîíè÷åñêèõ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé èìååò ìåñòî ïðè ðàñïîëîæåíèè
òðåùèíû â ñðåäíåì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ (L Lc �0 5, ).  ýòîì ñëó÷àå òðåùèíà
âûçûâàåò íàèáîëüøåå èçìåíåíèå èçãèáíîé æåñòêîñòè ñòåðæíÿ, êîëåáëþùåãî-
ñÿ ïî ïåðâîé ôîðìå (ðèñ. 5,à,á). Ïîýòîìó ïðè åå ïðèáëèæåíèè ê îïîðå
ñòåðæíÿ íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå óìåíü-
øàåòñÿ. Íàïðèìåð, ïðè L Lc �0 25, ìàêñèìàëüíûé óðîâåíü íåëèíåéíîñòè
êîëåáàíèé ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ñòåðæíÿ ïî÷òè â äâà ðàçà
íèæå, ÷åì ïðè L Lc �0 5, .  îòëè÷èå îò ñóïåðãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà
íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ñòåðæíÿ ñ ìåñòî-
ïîëîæåíèåì òðåùèíû â ñå÷åíèè L Lc �0 25, âûøå, ÷åì ïðè L Lc �0 5, .
Òàêèì îáðàçîì, âëèÿíèå ñîñòîÿíèÿ òðåùèíû íà íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé
ïðè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ êà÷åñòâåííî èäåíòè÷íî. Íàëè÷èå
çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíû ìîæíî îáíàðóæèòü áåç êàêîé-ëèáî ïðåäâàðèòåëü-
íîé èíôîðìàöèè î äèàãíîñòèðóåìîì îáúåêòå â íåïîâðåæäåííîì ñîñòîÿíèè.
Åñëè ñ èçìåíåíèåì àñèììåòðèè âûíóæäàþùåé ñèëû èçìåíÿåòñÿ íåëèíåé-
íîñòü êîëåáàíèé ïðè êàêîì-ëèáî íåëèíåéíîì ðåçîíàíñå, ìîæíî îïðåäåëåííî
ïðåäïîëîæèòü íàëè÷èå òðåùèíû â äèàãíîñòèðóåìîì îáúåêòå. Åñëè íåëèíåé-
íîñòü íå èçìåíÿåòñÿ, òðåùèíà îòñóòñòâóåò.
Ñ ïðèáëèæåíèåì òî÷êè ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ê çîíå ðàñïî-
ëîæåíèÿ òðåùèíû óâåëè÷èâàåòñÿ íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ïðè ñóïåðãàðìî-
íè÷åñêîì ðåçîíàíñå, ìàêñèìóì êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ïðè ñîâïàäåíèè òî÷êè
ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ñ ìåñòîïîëîæåíèåì òðåùèíû. Ïðè ýòîì æå
óñëîâèè óðîâåíü íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå
äîñòèãàåò ìèíèìóìà. Èçìåíåíèå íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè ïðèëîæåíèè
âûíóæäàþùåé ñèëû â äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ, îäíà èç êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ
ìåñòîïîëîæåíèåì òðåùèíû (L Lc �0 25, ), ïîêàçàíî íà ðèñ. 5,â,ã. Ýòî ñîîòâåò-
ñòâóåò ïîëó÷åííîé ðàíåå çàêîíîìåðíîñòè [25], ñîãëàñíî êîòîðîé ïðè ïðèëî-
æåíèè âûíóæäàþùåé ñèëû âáëèçè òðåùèíû íàáëþäàåòñÿ ìàêñèìàëüíûé óðî-
âåíü íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå è ìèíè-
ìàëüíûé – ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì.
56 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4
À. Ï. Áîâñóíîâñêèé, Î. À. Áîâñóíîâñêèé
Ïðàêòè÷åñêè àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû äëÿ ñòåðæíÿ, çàùåìëåí-
íîãî ñ äâóõ ñòîðîí (ðèñ. 6). Êà÷åñòâåííî âëèÿíèå ñîñòîÿíèÿ òðåùèíû è ìåñòà
ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû íà íåëèíåéíîñòü êîëåáàíèé ñòåðæíÿ, çàùåì-
ëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí, è ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ îêàçàëîñü îäèíàêîâûì.
Çàìåòíîå êîëè÷åñòâåííîå ðàñõîæäåíèå ìåæäó ðåçóëüòàòàìè ðàñ÷åòîâ äëÿ ýòèõ
ñòåðæíåé íàáëþäàåòñÿ â ñëó÷àå ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà. Íàïðèìåð,
åñëè âûíóæäàþùàÿ ñèëà ïðèêëàäûâàåòñÿ â òî÷êå L LP �0 25, , òî íåëèíåé-
íîñòü êîëåáàíèé ñòåðæíÿ, çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí, ïðè ñóáãàðìîíè-
÷åñêîì ðåçîíàíñå èñ÷åçàåò ïðè áîëüøåé àñèììåòðèè âûíóæäàþùåé ñèëû
( ),P Pst �2 ÷åì â ñëó÷àå ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ ( ).P Pst �1 Ýòî ñâÿçàíî ñ
âëèÿíèåì áîëåå æåñòêèõ êðàåâûõ óñëîâèé äëÿ çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí
ñòåðæíÿ.
a á
â ã
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû äîìèíèðóþùåé ãàðìîíèêè ñïåêòðà óñêîðåíèÿ
ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà 2/1 (à, â) è ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà
1/2 (á, ã) îò îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíû ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäàþùåé ñèëû äëÿ
ñòåðæíÿ íà äâóõ îïîðàõ: à, á – L LP � 0 5, ; â, ã – L Lc � 0 25, (1 – L Lc � 0 5, ; 2 – L Lc � 0 25, ; 3 –
L LP � 0 25, ; 4 – L LP � 0 5, ).
A A2 1
A A2 1 A A1 2 1/
A A1 2 1/
P Pst P Pst
P PstP Pst
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4 57
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ...
Ìåñòîïîëîæåíèå òðåùèíû (L Lc �0 5, ) îáíàðóæèâàåòñÿ ïî ìàêñèìóìó
íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå è ïî åå ìèíè-
ìóìó ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå (ìåñòî ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé
ñèëû L LP �0 5, ). Â òî æå âðåìÿ äèàïàçîí èçìåíåíèÿ àñèììåòðèè âûíóæ-
äàþùåé ñèëû, â êîòîðîì âîçíèêàåò ñóáãàðìîíè÷åñêèé ðåçîíàíñ, âåñüìà óçîê
( , ).P Pst �0 25 Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî äàæå îòíîñèòåëüíî íåáîëüøàÿ ñòàòè-
÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âûíóæäàþùåé ñèëû ìîæåò çàòðóäíèòü âîçáóæäåíèå
ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåæèìà êîëåáàíèé ñòåðæíåé.
Òàêèì îáðàçîì, äàííûé íåðàçðóøàþùèé âèáðàöèîííûé ìåòîä äèàãíîñ-
òèêè ïîâðåæäåíèé îáåñïå÷èâàåò äîñòèæåíèå ïåðâîãî óðîâíÿ äèàãíîñòèêè
ïîâðåæäåíèÿ ñîãëàñíî êëàññèôèêàöèè, ïðåäëîæåííîé À. Ðèòòåðîì [26], ò.å.
âûÿâëåíèå íàëè÷èÿ ïîâðåæäåíèÿ.
 û â î ä û
1. Èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ òðåùèíû ïîñðåäñòâîì äîáàâëåíèÿ ñòàòè÷åñêîé
ñîñòàâëÿþùåé ê ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëå ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ
óðîâíÿ íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé ïðè ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñàõ,
÷òî ìîæåò ñëóæèòü ïðèçíàêîì íàëè÷èÿ òðåùèíû. Ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà
çàêëþ÷àåòñÿ â îòñóòñòâèè íåîáõîäèìîñòè ïðåäâàðèòåëüíîé èíôîðìàöèè î
âèáðàöèîííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ êîíñòðóêöèè â íåïîâðåæäåííîì ñîñòîÿíèè.
2. Óðîâåíü íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèé â îêðåñòíîñòè ñóá- è ñóïåðãàðìî-
íè÷åñêîãî ðåçîíàíñîâ ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ÷óâñòâèòåëüíûì ê íàëè÷èþ çàêðû-
âàþùåéñÿ òðåùèíû. ×óâñòâèòåëüíîñòü ýòîé õàðàêòåðèñòèêè íà îäèí–òðè
ïîðÿäêà âûøå, ÷åì ÷óâñòâèòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò èëè ôîðì êîëå-
áàíèé.  îáùåì ñëó÷àå ýòà íåëèíåéíîñòü ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ðàçìåðîâ è
ìåñòîïîëîæåíèÿ òðåùèíû, óðîâíÿ äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé, êðàåâûõ óñëî-
a á
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû äîìèíèðóþùåé ãàðìîíèêè ñïåêòðà óñêîðåíèÿ
ïðè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà 2/1 (à) è ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïîðÿäêà
1/2 (á) îò îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíû ñòàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âûíóæäàþùåé ñèëû äëÿ
ñòåðæíÿ, çàùåìëåííîãî ñ äâóõ ñòîðîí (L Lc � 0 5, ): 1 – L LP � 0 5, ; 2 – L LP � 0 25, .
A A2 1 A A1 2 1/
P Pst P Pst
58 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4
À. Ï. Áîâñóíîâñêèé, Î. À. Áîâñóíîâñêèé
âèé, à òàêæå ìåñòà ïðèëîæåíèÿ âûíóæäàþùåé ñèëû è ñòåïåíè åå àñèì-
ìåòðèè. Ïåðâûõ òðè ôàêòîðà ÿâëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè îáúåêòà äèàãíîñòèêè è íå
ìîãóò áûòü èçìåíåíû. Ïàðàìåòðàìè âûíóæäàþùåé ñèëû, ò.å. ìåñòîì åå
ïðèëîæåíèÿ è àñèììåòðèåé, ìîæíî èñêóññòâåííî âàðüèðîâàòü. Ïðè ýòîì âñå
îñòàëüíûå ïàðàìåòðû îáúåêòà äèàãíîñòèêè çàâåäîìî îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè.
Ýòîò ôàêò ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñáîðà äîñòîâåðíîé èíôîðìàöèè î ñâîéñò-
âàõ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è äèàãíîñòèêè ïîâðåæ-
äåíèÿ.
Ð å ç þ ì å
Êoëèâàííÿ ïðóæíîãî ò³ëà ç òð³ùèíîþ, ùî çàêðèâàºòüñÿ, º ñóòòºâî íåë³í³é-
íèìè. Õàðàêòåðíîþ îñîáëèâ³ñòþ òàêèõ êîëèâàíü º ïðîÿâ òàê çâàíèõ íåë³í³é-
íèõ åôåêò³â, çîêðåìà ñóá- ³ ñóïåðãàðìîí³÷í³ ðåçîíàíñè ³ íåë³í³éí³ñòü êîëè-
âàíü ïðè öèõ ðåçîíàíñàõ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ä³àãíîñòèêè òð³ùèí, ñóòü
ÿêîãî ïîëÿãຠó âàð³þâàíí³ àñèìåò𳿠çìóøóâàëüíî¿ ñèëè. Ñòàòè÷íà ñêëàäîâà
çîñåðåäæåíî¿ ãàðìîí³÷íî¿ çìóøóâàëüíî¿ ñèëè çì³íþº ñòàí òð³ùèíè: âîíà ñòàº
÷àñòêîâî àáî ïîâí³ñòþ â³äêðèòîþ ÷è çàêðèòîþ. Ïðè öüîìó ð³âåíü íåë³í³é-
íîñò³ êîëèâàíü çà áóäü-ÿêîãî íåë³í³éíîãî ðåçîíàíñó çì³íþºòüñÿ â³ä ìàêñè-
ìàëüíîãî çíà÷åííÿ (çà â³äñóòíîñò³ ñòàòè÷íî¿ ñêëàäîâî¿) äî ïðàêòè÷íî íóëüî-
âîãî, êîëè òð³ùèíà ï³ä 䳺þ ñòàòè÷íî¿ ñêëàäîâî¿ ñòຠâ³äêðèòîþ àáî çàêðèòîþ
ïðè êîëèâàííÿõ. Ìåòîä äîçâîëÿº âèÿâèòè òð³ùèíó áåç áóäü-ÿêî¿ ïîïåðåäíüî¿
³íôîðìàö³¿ ïðî îá’ºêò, ùî ä³àãíîñòóºòüñÿ, ó íåïîøêîäæåíîìó ñòàí³.
1. Dimarogonas A. D. Vibration of cracked structures: a state of the art review //
Eng. Fract. Mech. – 1996. – 55. – P. 831 – 857.
2. Salawu O. S. Detection of structural damage through changes in frequency: a
review // Eng. Struct. – 1997. – 19. – P. 718 – 723.
3. Bovsunovsky A. P. and Surace C. Considerations regarding superharmonic
vibrations of a cracked beam and the variation in damping caused by the
presence of the crack // J. Sound Vibration. – 2005. – 288. – P. 865 – 886.
4. Thompson J. M. T. Complex dynamics of compliant offshore structures //
Proc. Royal Soc. London. – 1983. – A387. – P. 407 – 427.
5. Shaw S. W. and Holmes P. J. A periodically forced piecewise linear oscillator
// J. Sound Vibration. – 1983. – 90. – P. 129 – 155.
6. Thompson J. M. T. and Elvey J. S. N. Elimination of sub-harmonic resonances
of compliant marine structures // Int. J. Mech. Sci. – 1984. – 26. – P. 419 –
426
7. Choi Y. S. and Noan S. T. Forced periodic vibration of unsymmetric piece-
wise-linear systems // J. Sound Vibration. – 1988. – 121. – P. 117 – 126.
8. Wong C. W., Zhang W. S., and Lau S. L. Periodic forced vibration of
unsymmetrical piecewise-linear systems by incremental harmonic balance
method // Ibid. – 1991. – 149. – P. 91 – 105.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4 59
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ...
9. Kim Y. B. and Noah S. T. Stability and bifurcation analysis of oscillators with
piecewise-linear characteristics: a general approach // Trans. ASME. J. Appl.
Mech. – 1991. – 58. – P. 545 – 553.
10. Tsyfansky S. L. and Beresnevich V. I. Detection of fatigue cracks in flexible
geometrically non-linear bars by vibration monitoring // J. Sound Vibration. –
1998. – 213. – P. 159 – 168.
11. Xu Ming Tian, Li Jian Feng, and Cheng Delin. Non-linear vibration by a new
method // Ibid. – 1998. – 215. – P. 475 – 487.
12. Kim T. C., Rook T. E., and Singh R. Super- and sub-harmonic response
calculations for a torsional system with clearance nonlinearity using the
harmonic balance method // Ibid. – 2005. – 281. – P. 965 – 993.
13. Qinglong Ma and Kahraman A. Subharmonic resonances of a mechanical
oscillator with periodically time-varying, piecewise-nonlinear stiffness // Ibid.
– 2006. – 294. – P. 624 – 636.
14. Imregun M. and Sanliturk K. Y. Natural frequency and damping changes
produced by fatigue cracks // Proc. 15th Int. Sem. on Modal Analysis
(Leuven, Belgium), 1990. – P. 791 – 805.
15. Rytter A., Brincker R., and Kirkegaard P. H. An experimental study of the
modal parameters of a cantilever beam // Fracture & Dynamics, Paper No. 37,
Department of Building Technology and Structural Engineering, University of
Aalborg, Denmark, 1992. – 76 p.
16. Crespo P., Ruotolo R., and Surace C. Non-linear modelling of a cracked beam
// Proc. 14th IMAC (Dearbon, Michigan), 1996. – 2. – P. 1017 – 1022.
17. Ruotolo R., Surace C., Crespo P., and Storer D. Harmonic analysis of the
vibrations of a cantilever beam with a closing crack // Comp. Struct. – 1996. –
61. – P. 1057 – 1074.
18. Pugno N., Ruotolo R., and Surace C. Analysis of the harmonic vibrations of
a beam with a breathing crack // Proc. 15th IMAC (Tokyo, Japan), 1997. –
P. 409 – 413.
19. Krawczuk M. and Ostachowicz W. Transverse natural vibrations of a cracked
beam loaded with a constant axial force // Trans. ASME. J. Vibration
Acoustics. – 1993. – 115. – P. 524 – 528.
20. Binici B. Vibration of beams with multiple open cracks subjected to axial
force // J. Sound Vibration. – 2005. – 287. – P. 277 – 295.
21. Murphy K. D. and Zhang Y. Vibration and stability of a cracked translating
beam // Ibid. – 2000. – 237, No. 2. – P. 319 – 335.
22. Sundermeyer J. N. and Weaver R. L. On crack identification and characteriza-
tion in a beam by non-linear vibration analysis // Ibid. – 1995. – 183, No. 5. –
P. 857 – 871.
23. Áîâñóíîâñêèé Î. À. Êîíå÷íîýëåìåíòíàÿ ìîäåëü äëÿ èññëåäîâàíèÿ êîëåáà-
íèé ñòåðæíÿ ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2008. –
¹ 5. – Ñ. 114 – 120.
60 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4
À. Ï. Áîâñóíîâñêèé, Î. À. Áîâñóíîâñêèé
24. ×åðåïàíîâ Ã. Ï. Ìåõàíèêà õðóïêîãî ðàçðóøåíèÿ. – Ì.: Íàóêà, 1974. –
640 ñ.
25. Bovsunovsky A. and Bovsunovsky O. Crack detection in beams by means of
the driving force parameters variation at non-linear resonance vibrations //
Key Eng. Mater. – 2007. – 347. – P. 413 – 420.
26. Rytter A. Vibration Based Inspection of Civil Engineering Structures, Ph.D.
Thesis, University of Aalborg, Denmark, 1993. – 193 p.
Ïîñòóïèëà 18. 12. 2008
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2010, ¹ 4 61
Äèàãíîñòèêà çàêðûâàþùèõñÿ òðåùèí â ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòàõ ...
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020007000610072006100200069006d0070007200650073007300f5006500730020006400650020007100750061006c0069006400610064006500200065006d00200069006d00700072006500730073006f0072006100730020006400650073006b0074006f00700020006500200064006900730070006f00730069007400690076006f0073002000640065002000700072006f00760061002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a00610020006c0061006100640075006b006100730074006100200074007900f6007000f60079007400e400740075006c006f0073007400750073007400610020006a00610020007600650064006f007300740075007300740061002000760061007200740065006e002e00200020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|