Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators
Dynamics of two coupled nonlinear oscillators has been studied. Oscillators are represented by conservative LC circuits with nonlinear capacitors. The system exhibits chaotic behavior in some range of initial conditions. Chaotic behavior is observed in one circuit if high amplitude oscillations are...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Вопросы атомной науки и техники |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112162 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators / S.S. Syaber, I.O. Anisimov // Вопросы атомной науки и техники. — 2013. — № 4. — С. 238-240. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859665171133235200 |
|---|---|
| author | Syaber, S.S. Anisimov, I.O. |
| author_facet | Syaber, S.S. Anisimov, I.O. |
| citation_txt | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators / S.S. Syaber, I.O. Anisimov // Вопросы атомной науки и техники. — 2013. — № 4. — С. 238-240. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Вопросы атомной науки и техники |
| description | Dynamics of two coupled nonlinear oscillators has been studied. Oscillators are represented by conservative LC circuits with nonlinear capacitors. The system exhibits chaotic behavior in some range of initial conditions. Chaotic behavior is observed in one circuit if high amplitude oscillations are performed in the other circuit due to the appropriate initial conditions. Stochasticity of the oscillations is proved by the continuity of their spectrum and by the Poincare mapping.
Шляхом числового моделювання досліджені стохастичні коливання, що виникають у системі двох зв’язаних консервативних коливних контурів з нелінійними конденсаторами. Такі коливання спостерігаються в другому контурі, якщо в першому відбуваються регулярні власні коливання великої амплітуди, спричинені відповідними початковими умовами. Стохастичність коливань підтверджується неперервністю їхніх спектрів та побудовою відображення Пуанкаре.
Путем численного моделирования исследованы стохастические колебания, которые возникают в системе двух связанных консервативных колебательных контуров с нелинейными конденсаторами. Такие колебания наблюдаются во втором контуре, если в первом происходят регулярные собственные колебания большой амплитуды, обусловленные соответствующими начальными условиями. Стохастичность колебаний под- тверждается непрерывностью их спектров и построением отображения Пуанкаре.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:36:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2013. №4(86) 238
COMPUTER SIMULATION OF THE STOCHASTIC DYNAMICS
IN SYSTEM OF TWO COUPLED NONLINEAR OSCILLATORS
S.S. Syaber, I.O. Anisimov
Radio Physics Faculty Taras Shevchenko Kiev National University, Kiev, Ukraine
E-mail: ioa@univ.kiev.ua
Dynamics of two coupled nonlinear oscillators has been studied. Oscillators are represented by conservative LC
circuits with nonlinear capacitors. The system exhibits chaotic behavior in some range of initial conditions. Chaotic
behavior is observed in one circuit if high amplitude oscillations are performed in the other circuit due to the appro-
priate initial conditions. Stochasticity of the oscillations is proved by the continuity of their spectrum and by the
Poincare mapping.
PACS: 05.45.-a, 07.50.Hp
INTRODUCTION
Electrical noise generators are widely used in mod-
ern radio electronics so further study of this problem is
actual. On the other hand investigation of chaotic proc-
esses in low dimension systems remains crucial inter-
disciplinary problem since their appearance is studied
insufficiently.
In present paper we discuss computer simulation of
chaotic behavior of two coupled nonlinear oscillators
presented by LC circuits with nonlinear capacitors. The
study of such system anticipates investigation of a simi-
lar coupled system of self-generators.
This approach demonstrates the transition from con-
servative to dissipative systems with chaotic behavior.
1. SYSTEM UNDER STUDY
Let us consider the system of two coupled LC cir-
cuits. Coupling is performed by linear capacitor. Ca-
pacitors in LC circuits are nonlinear. Considered system
is shown on Fig. 1.
Fig. 1. Two coupled LC circuits
Capacitor’s nonlinearity is defined as:
( ) ( )2
20,102,1 1 UCUC α+= . (1)
U is voltage drop on capacitor. System behavior is
described by a system of equations obtained from
Kirchhoff`s circuit laws. Performing simple transforma-
tions and leave out current trough the coupling capacitor
C and voltage drops on capacitors C1 and C2 we obtain
system of differential equations for currents trough the
inductors L1 and L2:
2 2 2
2 1 1 2
1 10 2 2
2 2 2
2 2 2 1
2 20 2 2
1 3 0;
,
1 3 0
d i d i d ii L C C L LC
d t d t d t
d i d i d ii L C C L LC
d t d t d t
α
α
⎧ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ + + + + =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭
⎨
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ + + + =⎢ ⎥⎪ ⎨ ⎬⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎩
(2)
we assume C10 = C20 = C0, L1 = L2 = L. Since currents
trough inductors and their time derivatives are phase
variables (2) describes behavior of the studied system.
2. NUMERICAL RESULTS
System (2) was numerically integrated with Wolf-
ram Mathematica program. Initial conditions were set to
nonzero voltage drop on capacitor and zero current
trough inductor in the leading circuit. Electrical circuit
was also simulated with OrCAD package. In thre last
case oscillations were started by step voltage generator.
If difference in initial conditions is taken into considera-
tion results of simulation types are consistent.
There are no nonlinear effects in the system if initial
voltage is small (0.1 V). One can see from Fig. 2 that
there are two different frequencies in the spectrum of
oscillations. This is explained by the eigenfrequency
repulsion phenomenon.
Fig. 2. The oscillations' spectrum for the linear case
Quasi-periodic oscillations are observed for
5…9.8 V initial voltage (Figs. 3-5). For 25 V oscilla-
tions in first circuit stays periodic. These oscillations
play the role of the external force applied to a second
driven oscillator. Driven oscillator`s behavior appears
chaotic, its oscillations spectrum is continuous.
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2013. №4(86) 239
Fig. 3. Spectra of oscillations in the leading and driven
circuits for the quasiperiodic mode
Fig. 4.Currents trough inductors versus time
a
b
Fig. 5. Spectra of currents trough inductors in the lead-
ing (a) and driven (b) circuits for the stochastic mode
Furthermore Poincare map can also confirm the sys-
tem stochasticity (Fig. 6). For 5 V the points lay regu-
larly, but for 25 V they are situated accidentally.
Let us consider two initial conditions that slightly
differ from each other (in the seventh order of value).
Projections of their phase trajectories on the phase vari-
ables of the driven circuit are shown on Fig. 7. So the
small divergence increases during the evolution of the
system. It`s turn out that behavior of the system is un-
predictable.
Fig. 6. Poincare map for different initial conditions
Fig. 7. Divergence of two projections
of phase trajectories
3. DISCUSSION OF OBTAINED RESULTS
The problem of nonlinear oscillator`s dynamic with
applied outer force is well-known. In the considered
system the leading circuit becomes a source of such
force that is applied to the driven oscillator. As evident
from (2) this force appears to be a second time deriva-
tive of the leading circuit inductor`s current. Time de-
pendence of leading circuit variables are shown on
Fig. 8 (brown, red and blue represent current trough
inductor, time derivative of current trough inductor in
the power of two and second time derivative of current
trough inductor correspondingly).
It turns out that second time derivative of the leading
circuit inductor`s current is a periodic sequence of short
narrow impulses. So the dynamic of driven circuit is
governed by such sequence. Oscillations of driven cir-
cuit shift under influence of the sequence of short im-
pulses from one mode of stable amplitude to another.
Such dynamic still could be quasi-periodical. But in
case of high amplitude impulses nonlinearity of the
driven circuit start to affect oscillations of phase vari-
ables of the driven circuit become chaotic.
ISSN 1562-6016. ВАНТ. 2013. №4(86) 240
Fig. 8. Variables of the leading circuit
CONCLUSIONS
Obtained results are in well consistency with a well-
known problem of nonlinear oscillator`s dynamics with
applied periodical outer force. In this paper outer force
is represented by nonlinear oscillations in first circuit.
This force has the form of narrow impulses which is due
to the current maximums in first circuit.
Considered system manifest different dynamic be-
havior: beat`s mode (linear case), quasi-periodic case,
chaotic behavior. If energy in initial moment focused
mostly in one circuit its oscillations appear nonlinear
and periodic. It`s come out that energy delivers into
other circuit by means of the current impulses trough
the coupling capacitor. If some critical amplitude is sur-
passed behavior of the driven circuit become chaotic.
REFERENCES
1. V.S. Anishenko, V.V. Astahov, T.E. Vadivasova.
Regular and chaotic self-excited oscillations. Syn-
chronisation and influence of fluctuations. Dolgo-
prudny: «Intellect», 2009.
2. G.M. Zaslavsky, R.Z. Sagdeev. Introduction to non-
linear physics. From pendulum to turbulence and
chaos. Moscow: «Nauka», 1988.
3. F.C. Moon. Chaotic oscillations. Moscow: «Mir»,
1990.
4. Y.I. Neimark, P.S. Landa. Stohastic and chaotical
oscillations. Moscow: «Nauka», 1987.
5. V.S. Anishenko. Complex oscillations in simple sys-
tems. Moscow: «Nauka», 1990.
Article received 05.04.2013.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ДВУХ
СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНТУРОВ
С.С. Сябер, И.А. Анисимов
Путем численного моделирования исследованы стохастические колебания, которые возникают в системе
двух связанных консервативных колебательных контуров с нелинейными конденсаторами. Такие колебания
наблюдаются во втором контуре, если в первом происходят регулярные собственные колебания большой
амплитуды, обусловленные соответствующими начальными условиями. Стохастичность колебаний под-
тверждается непрерывностью их спектров и построением отображения Пуанкаре.
КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТОХАСТИЧНИХ КОЛИВАНЬ У СИСТЕМІ ДВОХ
ЗВ’ЯЗАНИХ НЕЛІНІЙНИХ КОНТУРІВ
С.С. Сябер, І.О. Анісімов
Шляхом числового моделювання досліджені стохастичні коливання, що виникають у системі двох
зв’язаних консервативних коливних контурів з нелінійними конденсаторами. Такі коливання спостерігають-
ся в другому контурі, якщо в першому відбуваються регулярні власні коливання великої амплітуди, спричи-
нені відповідними початковими умовами. Стохастичність коливань підтверджується неперервністю їхніх
спектрів та побудовою відображення Пуанкаре.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112162 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-6016 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-11-30T10:36:11Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Syaber, S.S. Anisimov, I.O. 2017-01-17T19:47:12Z 2017-01-17T19:47:12Z 2013 Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators / S.S. Syaber, I.O. Anisimov // Вопросы атомной науки и техники. — 2013. — № 4. — С. 238-240. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. 1562-6016 PACS: 05.45.-a, 07.50.Hp https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112162 Dynamics of two coupled nonlinear oscillators has been studied. Oscillators are represented by conservative LC circuits with nonlinear capacitors. The system exhibits chaotic behavior in some range of initial conditions. Chaotic behavior is observed in one circuit if high amplitude oscillations are performed in the other circuit due to the appropriate initial conditions. Stochasticity of the oscillations is proved by the continuity of their spectrum and by the Poincare mapping. Шляхом числового моделювання досліджені стохастичні коливання, що виникають у системі двох зв’язаних консервативних коливних контурів з нелінійними конденсаторами. Такі коливання спостерігаються в другому контурі, якщо в першому відбуваються регулярні власні коливання великої амплітуди, спричинені відповідними початковими умовами. Стохастичність коливань підтверджується неперервністю їхніх спектрів та побудовою відображення Пуанкаре. Путем численного моделирования исследованы стохастические колебания, которые возникают в системе двух связанных консервативных колебательных контуров с нелинейными конденсаторами. Такие колебания наблюдаются во втором контуре, если в первом происходят регулярные собственные колебания большой амплитуды, обусловленные соответствующими начальными условиями. Стохастичность колебаний под- тверждается непрерывностью их спектров и построением отображения Пуанкаре. en Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України Вопросы атомной науки и техники Нелинейные процессы в плазменных средах Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators Комп’ютерне моделювання стохастичних коливань у системі двох зв’язаних нелінійних контурів Компьютерное моделирование стохастических колебаний в системе двух связанных нелинейных контуров Article published earlier |
| spellingShingle | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators Syaber, S.S. Anisimov, I.O. Нелинейные процессы в плазменных средах |
| title | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators |
| title_alt | Комп’ютерне моделювання стохастичних коливань у системі двох зв’язаних нелінійних контурів Компьютерное моделирование стохастических колебаний в системе двух связанных нелинейных контуров |
| title_full | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators |
| title_fullStr | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators |
| title_full_unstemmed | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators |
| title_short | Сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators |
| title_sort | сomputer simulation of the stochastic dynamics in system of two coupled nonlinear oscillators |
| topic | Нелинейные процессы в плазменных средах |
| topic_facet | Нелинейные процессы в плазменных средах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112162 |
| work_keys_str_mv | AT syaberss somputersimulationofthestochasticdynamicsinsystemoftwocouplednonlinearoscillators AT anisimovio somputersimulationofthestochasticdynamicsinsystemoftwocouplednonlinearoscillators AT syaberss kompûternemodelûvannâstohastičnihkolivanʹusistemídvohzvâzanihnelíníinihkonturív AT anisimovio kompûternemodelûvannâstohastičnihkolivanʹusistemídvohzvâzanihnelíníinihkonturív AT syaberss kompʹûternoemodelirovaniestohastičeskihkolebaniivsistemedvuhsvâzannyhnelineinyhkonturov AT anisimovio kompʹûternoemodelirovaniestohastičeskihkolebaniivsistemedvuhsvâzannyhnelineinyhkonturov |