Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск"
Рассматривается соотношение между таблицами «затраты-выпуск» и матрицами прямых затрат в модели Леонтьева. Предлагается оптимизационная задача нахождения базовой матрицы прямых затрат, общей для некоторого периода. Рассчитывается динамика характеристик таблиц «затраты-выпуск» на примере данных Велик...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112400 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" / В.В. Бойко, В.В. Горин, Г.В. Кузьменко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 67-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640569045712896 |
|---|---|
| author | Бойко, В.В. Горин, В.В. Кузьменко, Г.В. |
| author_facet | Бойко, В.В. Горин, В.В. Кузьменко, Г.В. |
| citation_txt | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" / В.В. Бойко, В.В. Горин, Г.В. Кузьменко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 67-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Рассматривается соотношение между таблицами «затраты-выпуск» и матрицами прямых затрат в модели Леонтьева. Предлагается оптимизационная задача нахождения базовой матрицы прямых затрат, общей для некоторого периода. Рассчитывается динамика характеристик таблиц «затраты-выпуск» на примере данных Великобритании.
Розглядається співвідношення між таблицями «витрати-випуск» та матрицями прямих витрат у моделі Леонтьєва. Запропонована оптимізаційна задача знаходження базової матриці прямих витрат, що є спільною для певного періоду. Розраховується динаміка характеристик таблиць «витрати-випуск» на прикладі даних Великобританії.
A relationship between «input-output» tables and matrices of input coefficients in Leontiev model is considered. An optimization problem for finding a base matrix of input coefficients joint for some period is proposed. As example dynamic characteristics of «input-output» tables using Great Britain data is calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:21:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2015 67
ТЕОРІЯ
ОПТИМАЛЬНИХ
РІШЕНЬ
Рассматривается соотношение
между таблицами «затраты-
выпуск» и матрицами прямых за-
трат в модели Леонтьева. Пред-
лагается оптимизационная зада-
ча нахождения базовой матрицы
прямых затрат, общей для неко-
торого периода. Рассчитывается
динамика характеристик таблиц
«затраты-выпуск» на примере
данных Великобритании.
В.В. Бойко, В.В. Горин,
Г.В. Кузьменко, 2015
УДК 519.85
В.В. БОЙКО, В.В. ГОРИН, Г.В. КУЗЬМЕНКО
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ХАРАКТЕРИСТИК СЕРИИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ТАБЛИЦ
«ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК»
Введение. Таблицы «затраты-выпуск» – это
основа для проведения анализа и исследова-
ний в макроэкономической области с ис-
пользованием межотраслевого баланса [1].
Для проведения анализа используются ста-
тистические экономические даные, собран-
ные в виде таких таблиц [2 – 4]. Те же таб-
лицы используются для решения различных
задач прогнозирования в экономике, напри-
мер [5], для определения факторов влияния
при проведении структурно-технологических
преобразований в экономике [6].
Для построения прогнозов важно устано-
вить тенденции изменения показателей и ха-
рактеристик, связанных с таблицами. Это
можно сделать, анализируя серию последо-
вательных таблиц и учитывая тот факт, что
статистические данные, представленные в
виде таблиц балансов, могут содержать зна-
чительные ошибки и корректирующие добав-
ки, вводящиеся для достижения теоретически
необходимых балансовых соотношений [4].
На основе таблиц «затраты-выпуск» вы-
числяются матрицы коэффициентов прямых
затрат A и характеристики данных матриц,
которые представляют как математический,
так и экономический интерес. Также рас-
смотрим сингулярные числа матриц ,A соб-
ственные числа Фробениуса и их оценки
[7 – 9], а также динамику изменения данных
характеристик.
В.В. БОЙКО, В.В. ГОРИН, Г.В. КУЗЬМЕНКО
68 Теорія оптимальних рішень. 2015
Приведем теоретические основы, используемые далее для вычисления и
анализа характеристик анализа серии последовательных таблиц «затраты-
выпуск».
Таблицы «затраты-выпуск» дают основу для вычисления матрицы A коэффи-
циентов прямых затрат модели Леонтьева. Предполагается, что матрица A удовле-
творяет свойствам неотрицательности, неразложимости, продуктивности [7].
Теорема Перрона – Фробениуса утверждает, что для неотрицательной не-
разложимой матрицы A существует положительное собственное число (число
Фробениуса) 0,A которое не меньше, чем модуль любого другого собствен-
ного числа. Этому числу соответствует единственный положительный единич-
ный собственный вектор 0Ax (вектор Фробениуса).
Оценки числа Фробениуса .A Пусть
11
min ;
n
ijji n
r a
11
max ;
n
ijji n
R a
11
min ;
n
ijij n
s a
11
max .
n
ijij n
S a
Тогда , .A Ar R s S Для неразло-
жимой матрицы A неравенства выполняются как строгие, кроме случая
, .r R s S
Для того, чтобы матрица A была продуктивной, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось 1.A
Достаточное условие продуктивности матрицы A – существование реше-
ния системы cxAI )( хотя бы для одного положительного вектора 0с .
Другое достаточное условие продуктивности для неотрицательной и нераз-
ложимой матрицы ,A связано с оценками Ss, числа Фробениуса. А именно,
если 1s и 1S или 1r и 1,R то матрица A продуктивна.
Матрица A может быть задана в различные единицах измерения как по
столбцам, так и по строкам.
Однако, в статистических отчетах [2 – 4] матрицы прямых затрат непосред-
ственно не приводятся. Приводятся таблицы Z «затраты-выпуск».
Рассмотрим матрицу коэффициентов прямых затрат 0A в натуральных еди-
ницах. Коэффициенты матрицы 0A будут иметь размерность выраженную
удельными единицами измерения, например, в первой строке матрицы 4 х 4
элементы могут иметь размерности , , , .м м м т м кг м л Чтобы по-
лучить матрицу 0Z прямых затрат нужно умножить 0A на матрицу выпусков в
натуральных единицах
0.X Матрица 0X – это диагональная матрица с размер-
ностями строк ( , , , ).м m кг л Матрица 000 XAZ будет иметь различные раз-
мерности строк ( , , , ).м m кг л
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ХАРАКТЕРИСТИК СЕРИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ТАБЛИЦ ...
Теорія оптимальних рішень. 2015 69
Чтобы получить матрицу прямых затрат в денежном выражении нужно
домножить 0Z справа на диагональную матрицу цен 0P , у которой будут раз-
личны размерности столбцов, например, , , , .грн м грн т грн кг грн л
В результате матрица 000 XAPZ будет содержать затраты с размерностью
.грн Вектор выпуска с той же размерностью является диагональю матрицы
0 0.X P X Матрицы XZ, представлены в статистических отчетах.
Вектор потребления d можно вычислить как ( ) ,d X Z e где e – вектор
состоящий из единиц.
Чтобы вычислить разность ,I A используемую в модели Леонтьева,
где I – единичная матрица, можно умножить разность ZX на 1X как слева,
так и справа. Получаем
100
1
000000
1
00
1 )( AIXAXIXAPXPXPZXX
,
2
1
000
1
0000000
1 )( AIPAPIXPXAPXPXZX . (1)
В первом случае строки Z делятся на диагональне элементы X и строки
матрицы ZXA 1
1
содержат доли выпуска конечного продукта, используемые
в отраслях. Во втором случае столбцы Z делятся на диагональне элементы X
и столбцы матрицы 1
2
ZXA содержат доли стоимости продуктов отраслей
в стоимости отдельного продукта.
Рассмотрим также третий вариант вычисления матрицы A
1 1 1 1
3.X X Z X I X Z X I A
Если матрица 0A имеет собственное число и собственный вектор 0x , то
матрицы 321 ,, AAA имеют такое же собственное число и собственный вектор,
cоответственно
1 1
1 0 0 2 0 0 3 0 0 0, , .x X x x P x x X P x
Матрицы , ,Z X которые приводятся в статистических отчетах, – результат
агрегирования по большому числу подотраслей, производящих продукцию, из-
меряемую различными натуральными единицами. Поэтому восстановление не-
которой гипотетической матрицы 0 ,A детально описывающей коэффициенты
прямых затрат, по матрицам XZ, является невозможным. При этом, учитывая
то, что объемы производства 0X и цены 0P более изменчивы, чем технологиче-
ская матрица 0A , то представляет интерес вычисление некой агрегированной
матрицы 0
aA по матрицам tt XZ , за несколько последовательных лет, условно
считая, что
aA0 не изменяется.
В.В. БОЙКО, В.В. ГОРИН, Г.В. КУЗЬМЕНКО
70 Теорія оптимальних рішень. 2015
Поставим задачу следующим образом. Есть данные таблиц «затраты-
выпуск» tt XZ , за T лет, 1, ..., .t T Найти матрицу aA0 общую для периодов
1, ..., .t Т
Пусть tY – диагональная матрица, оценивающая агрегированный вектор 0X
в году t . Тогда из (1) получаем t
t
ttt YAYZX 0
11 или t
tttt AYZXY 0
11 ,
где tA0 – оценка матрицы aA0 по данным года t . Обозначим
a
ij
t
ij
t
ij aa ,
1, ..., ,i n 1, ...,j n – разность между элементами матриц tA0 и aA0 .
Тогда задача по критерию минимума суммарных абсолютных отклонений
записывается так
0 , , 1,...,
, ,
min ,
a
t
t
ij
A Y t T
i j t
(2)
/ / ,t t t t t a
ij ij i ii jj ijz x y y a 1,..., ,i n 1,..., ,j n 1, ..., ,t T (3)
0,t
iiy 1,..., ,i n 1,..., ,t T (4)
0,a
ija 1,..., ,i n 1,..., .j n (5)
Задача (2) – (5) является невыпуклой и может быть приближенно решена,
например, PNK-методом [10].
Для того чтобы оценить период [1,..., ],T для которого матрицу aA0 можно
считать постоянной, вычислим для примера характеристики матриц 1A в (1) по
данным Великобритании за 1992 – 2004 года [3]. Заметим, что собственные числа
Фробениуса для оценочных матриц tA0 не зависят от оценок tY и совпадают с чис-
лами Фробениуса t матриц
1
1 .t t tA X Z Рассчитаем также границы SsRr ,,,
и сингулярные числа t матриц .1tA Сингулярное число рассчитывается как корень
из числа Фробениуса матрицы *
11 tt AA [9], где * – знак транспонирования.
Отметим, что приведенные в таблице характеристики матриц 1 ,tA рассчи-
танные по серии последовательных таблиц «затраты-выпуск», оказываются
достаточно стабильными. Границы Ss, имеют некоторую тенденцию к умень-
шению, граница r – к возрастанию. Собственное число Фробениуса сохраняет
относительное постоянство, а сингулярное число t уменьшается.
С точки зрения экономики величина числа Фробениуса говорит об эффек-
тивности функционирования производства. Так для Украины числа Фробениуса
рассчитанные для 2003–2009 годов имеют значения 0,566 – 0.596 [9]. Значения
0,391 – 0,414, полученные выше, говорят о более эфективно функционирующей
экономике.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ХАРАКТЕРИСТИК СЕРИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ТАБЛИЦ ...
Теорія оптимальних рішень. 2015 71
ТАБЛИЦА
Год s S r R
t
t
1992 0.0972 1.3771 0.0355 0.6854 0.3957 0.6820
1993 0.0973 1.4177 0.0412 0.6485 0.3910 0.6888
1994 0.1110 1.4166 0.0423 0.6549 0.3994 0.6919
1995 0.1108 1.4048 0.0447 0.6608 0.4023 0.6893
1996 0.1016 1.3777 0.0419 0.6712 0.4006 0.6729
1997 0.0972 1.3607 0.0411 0.6775 0.4059 0.6675
1998 0.1064 1.2844 0.0401 0.6868 0.4070 0.6530
1999 0.1021 1.2437 0.0424 0.6805 0.4142 0.6387
2000 0.1011 1.2423 0.0420 0.6750 0.4138 0.6337
2001 0.0890 1.2199 0.0499 0.6687 0.4097 0.6274
2002 0.0820 1.2097 0.0549 0.6678 0.4012 0.6247
2003 0.0848 1.2037 0.0531 0.6643 0.4005 0.6270
2004 0.0832 1.2094 0.0569 0.6774 0.3912 0.6332
Заключение. Сделанные теоретические построения и проведенные вычис-
ления показывают, что динамика характеристик серии последовательных таблиц
«затраты-выпуск» может быть незначительной. Это позволяет использовать
данные за некоторый период лет для поиска некоторой базовой матрицы коэф-
фициентов прямых затрат общей для рассматриваемого периода. Такая матрица
в отличие от ежегодных цен и выпусков продукции сохраняет большую неиз-
менность и может быть приблизительно вычислена путем решения аппроксими-
рующей невыпуклой оптимизационной задачи. Дальнейшее развитие работы
будет направлено на поиск наиболее практичной постановки задачи типа
(2) – (5) и ее решения для различных данных, используя различные методы.
В.В. Бойко, В.В. Горін, Г.В. Кузьменко
ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ ХАРАКТЕРИСТИК СЕРІЇ ПОСЛІДОВНИХ ТАБЛИЦЬ
«ВИТРАТИ-ВИПУСК»
Розглядається співвідношення між таблицями «витрати-випуск» та матрицями прямих витрат
у моделі Леонтьєва. Запропонована оптимізаційна задача знаходження базової матриці
прямих витрат, що є спільною для певного періоду. Розраховується динаміка характеристик
таблиць «витрати-випуск» на прикладі даних Великобританії.
В.В. БОЙКО, В.В. ГОРИН, Г.В. КУЗЬМЕНКО
72 Теорія оптимальних рішень. 2015
V.V. Boyko, V.V. Gorin, H.V. Kuzmenko
A STUDY OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF SEQUENTIAL SERIES
OF «INPUT-OUTPUT» TABLES
A relationship between «input-output» tables and matrices of input coefficients in Leontiev model
is considered. An optimization problem for finding a base matrix of input coefficients joint for
some period is proposed. As example dynamic characteristics of «input-output» tables using Great
Britain data is calculated.
1. Леонтьев В.В. Общеэкономические проблемы межотраслевого анализа // Собрание
избранных трудов В.В. Леонтьева в трех томах / Научный редактор А.Г. Гранберг. –Том
I. – М.: «Экономика», 1999.
2. Таблиця «витрати-випуск» України у цінах споживачів за 2003 – 2011 роки // Стати-
стичний збірник. Державна служба статистики України, 2013. – Інтернет-доступ:
http://ukrstat.gov.ua/
3. United Kingdom Input-Output Analyses, 2006 Edition. – London: Office for National Statis-
tics, 2006. – 395 p.
4. Eurostat Manual of Supply, Use and Input-Output Tables. – Luxembourg: Office for Official
Publications of the European Communities, 2008. – 590 p.
5. Карпец Э.П., Кикоть А.Ф., Панасенко С.В. Проблемы прoгнозирования сбалансирован-
ных экономических структур // Теорія оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики
імені В.М. Глушкова НАН України, 2009. – С. 42 – 49.
6. Сергиенко И.В., Михалевич М.В., Стецюк П.И. и др. Модели и информационные техно-
логии для поддержки принятия решений при произведении структурно-технологических
преобразований // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 2. – С. 26 – 49.
7. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Сучасний економічний аналіз. Ч. 2: Мак-
роекономіка. – К.: Вища школа, 2004. – 2008 с.
8. Стецюк П.И., Бондаренко А.В. О спектральных свойствах модели Леонтьева // Теорія оп-
тимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2010. –
С. 84 – 90.
9. Стецюк П.И., Эмменеггер Ж.-Ф. Максимальное сингулярное число матрицы и его
экономическая интерпретация // Кибернетика и системный анализ. – 2014. – № 3. –
С. 51 – 57.
10. Бойко В.В., Горин В.В., Кузьменко В.Н. Особенности применения PNK-метода в случае
невыпуклых ограничений // Теорія оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики
імені В.М. Глушкова НАН України, 2014. – С. 10 – 15.
Получено 14.04.2015
http://ukrstat.gov.ua/
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112400 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:21:26Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойко, В.В. Горин, В.В. Кузьменко, Г.В. 2017-01-20T21:31:40Z 2017-01-20T21:31:40Z 2015 Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" / В.В. Бойко, В.В. Горин, Г.В. Кузьменко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 67-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112400 519.85 Рассматривается соотношение между таблицами «затраты-выпуск» и матрицами прямых затрат в модели Леонтьева. Предлагается оптимизационная задача нахождения базовой матрицы прямых затрат, общей для некоторого периода. Рассчитывается динамика характеристик таблиц «затраты-выпуск» на примере данных Великобритании. Розглядається співвідношення між таблицями «витрати-випуск» та матрицями прямих витрат у моделі Леонтьєва. Запропонована оптимізаційна задача знаходження базової матриці прямих витрат, що є спільною для певного періоду. Розраховується динаміка характеристик таблиць «витрати-випуск» на прикладі даних Великобританії. A relationship between «input-output» tables and matrices of input coefficients in Leontiev model is considered. An optimization problem for finding a base matrix of input coefficients joint for some period is proposed. As example dynamic characteristics of «input-output» tables using Great Britain data is calculated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" Дослідження динаміки характеристик серії послідовних таблиць «витрати-випуск» A study of dynamic characteristics of sequential series of «input-output» tables Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" Бойко, В.В. Горин, В.В. Кузьменко, Г.В. |
| title | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" |
| title_alt | Дослідження динаміки характеристик серії послідовних таблиць «витрати-випуск» A study of dynamic characteristics of sequential series of «input-output» tables |
| title_full | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" |
| title_fullStr | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" |
| title_full_unstemmed | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" |
| title_short | Исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" |
| title_sort | исследование динамики характеристик серии последовательных таблиц "затраты-выпуск" |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112400 |
| work_keys_str_mv | AT boikovv issledovaniedinamikiharakteristikseriiposledovatelʹnyhtabliczatratyvypusk AT gorinvv issledovaniedinamikiharakteristikseriiposledovatelʹnyhtabliczatratyvypusk AT kuzʹmenkogv issledovaniedinamikiharakteristikseriiposledovatelʹnyhtabliczatratyvypusk AT boikovv doslídžennâdinamíkiharakteristikserííposlídovnihtablicʹvitrativipusk AT gorinvv doslídžennâdinamíkiharakteristikserííposlídovnihtablicʹvitrativipusk AT kuzʹmenkogv doslídžennâdinamíkiharakteristikserííposlídovnihtablicʹvitrativipusk AT boikovv astudyofdynamiccharacteristicsofsequentialseriesofinputoutputtables AT gorinvv astudyofdynamiccharacteristicsofsequentialseriesofinputoutputtables AT kuzʹmenkogv astudyofdynamiccharacteristicsofsequentialseriesofinputoutputtables |