О численном вычислении производной отображения в заданной точке

Описывается способ численного вычисления производной в точке для ее использования в методе оптимизации сложной системы, поведение которой изучается математическим аппаратом абстрактных пространств. Описується спосіб чисельного обчислення похідної у точці з метою її використання в методі оптимізації...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Теорія оптимальних рішень
Date:	2015
Main Author:	Некрылова, З.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112403
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О численном вычислении производной отображения в заданной точке / З.В. Некрылова // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 85-89. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112403
record_format	dspace
spelling	Некрылова, З.В. 2017-01-20T21:40:17Z 2017-01-20T21:40:17Z 2015 О численном вычислении производной отображения в заданной точке / З.В. Некрылова // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 85-89. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112403 519.21 Описывается способ численного вычисления производной в точке для ее использования в методе оптимизации сложной системы, поведение которой изучается математическим аппаратом абстрактных пространств. Описується спосіб чисельного обчислення похідної у точці з метою її використання в методі оптимізації складної системи, поведінка якої вивчається математичним апаратом абстрактних просторів. The method of numerical computation for derivative in the point is described to use it in optimization method for complex system. The system behaviour is described with abstract mathematics instrument. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О численном вычислении производной отображения в заданной точке Про чисельне обчислення похідної відображення у заданій точці About numerical computation of derivative in the point for mapping Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О численном вычислении производной отображения в заданной точке
spellingShingle	О численном вычислении производной отображения в заданной точке Некрылова, З.В.
title_short	О численном вычислении производной отображения в заданной точке
title_full	О численном вычислении производной отображения в заданной точке
title_fullStr	О численном вычислении производной отображения в заданной точке
title_full_unstemmed	О численном вычислении производной отображения в заданной точке
title_sort	о численном вычислении производной отображения в заданной точке
author	Некрылова, З.В.
author_facet	Некрылова, З.В.
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Теорія оптимальних рішень
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Про чисельне обчислення похідної відображення у заданій точці About numerical computation of derivative in the point for mapping
description	Описывается способ численного вычисления производной в точке для ее использования в методе оптимизации сложной системы, поведение которой изучается математическим аппаратом абстрактных пространств. Описується спосіб чисельного обчислення похідної у точці з метою її використання в методі оптимізації складної системи, поведінка якої вивчається математичним апаратом абстрактних просторів. The method of numerical computation for derivative in the point is described to use it in optimization method for complex system. The system behaviour is described with abstract mathematics instrument.
issn	XXXX-0013
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112403
citation_txt	О численном вычислении производной отображения в заданной точке / З.В. Некрылова // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 85-89. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT nekrylovazv očislennomvyčisleniiproizvodnoiotobraženiâvzadannoitočke AT nekrylovazv pročiselʹneobčislennâpohídnoívídobražennâuzadaníitočcí AT nekrylovazv aboutnumericalcomputationofderivativeinthepointformapping
first_indexed	2025-11-25T20:35:26Z
last_indexed	2025-11-25T20:35:26Z
_version_	1850523596420546560
fulltext	Теорія оптимальних рішень. 2015 85 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Описывается способ численного вычисления производной в точке для ее использования в методе оптимизации сложной системы, поведение которой изучается ма- тематическим аппаратом абст- рактных пространств.  З.В. Некрылова, 2015 УДК 519.21 З.В. НЕКРЫЛОВА О ЧИСЛЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОИЗВОДНОЙ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ Введение. При оптимизации, управлении сложными системами, функционирование которых описывается математическим аппа- ратом бесконечномерных пространств, ис- следователь редко имеет дело с аналитиче- ским выражением функционала цели. Чаще всего ему доступны наблюдения и измерения каких-то характеристик, описывающих пове- дение системы. Такие измерения могут пред- ставлять собой набор вектор-функций, за- данных в фиксированном временном интер- вале, или даже их отдельные значения в фик- сированные моменты времени. В случае исследования стохастических си- стем такие наблюдения и измерения осу- ществляются над реализациями случайных параметров, включенных в описание поведе- ния системы. Одним из подходов нахождения опти- мальных стратегий поведения систем в опи- санных ситуациях являются численные ме- тоды поиска. Остановимся на вопросах поис- ка, которые требуют умения вычислять про- изводную в заданной точке исследуемого функционала, отображения. В работе [1] описаны некоторые способы построения такой производной с помощью производной вспомогательного отображения, которое является заданным, дифференциру- емым и обладает нужными свойствами в не- которой окрестности этой точки. Эти спосо- бы приводятся далее в виде утверждений. Будем считать, что рассматриваемые про- странства банаховы. Далее  ],[ 10 ttC n обозна- чим пространство непрерывных отображений З.В. НЕКРЫЛОВА Теорія оптимальних рішень. 2015 86 (вектор-функций) из ],[ 10 tt в nR с нормой вида 0 1[ , ] ( ) ( ) ,maxnC t t t x x t   где   1 22 1 . n i i x x          Пространство  0 1[ , ]n mС t t образовано m раз непрерывно дифференцируемыми отображениями отрезка 0 1[ , ]t t в .nR Норма в нем задает- ся:   ( ) 0 ( ) .maxn n m i C Ci m x x    Утверждение 1. Имеем отображение mn RRh : вида ( )h x   1( ), , ( ) ,mh x h x которое определено и непрерывно дифференцируемо в окрестности U точки 0.x Введем отображение    0 1( ) : [ , ] ,n mH x C t t R  определенное соотношением    ( ) ( ) ,H x h x   где  – некоторая фиксирован- ная точка отрезка ],[ 10 tt . Причем оно определено на множестве таких  ],[)( 10 ttCx n , что ( ) .x U  Если при этом 0 0( ) ,x x  то отображение H  дифференцируемо по Фреше в точке )(0 x и его производную можно вычислить следующим образом. Из дифференцируемости )(xh следует  xxxhxhxxh  ),()()( 0 / 00 , (где символом , обозначено скалярное произведение в nR ), поэтому        / 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .H x x h x h x x x          Из введенных выше определений норм имеем ( ) ( ) ,x x  следовательно,        / 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .H x x H x h x x x        Это значит, что отображение H  дифференцируемо по Фреше в точке )(0 x и его производная равна    . / 0 0( ) ( ) ( ) , ( ) .H x x h x x     Утверждение 2. Пусть ),(,),,(1 xthxth m действительные функции, опре- деленные, непрерывные и непрерывно дифференцируемые по x в открытом множестве .nU R R  Обозначим  ),(,),,(),( 1 xthxthxth m и предполо- жим, что график непрерывной вектор-функции   nRtttx 100 ,:)( принадлежит области .U Рассмотрим отображение    ],[],[: 10101 ttCttCH mn  , определен- О ЧИСЛЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОИЗВОДНОЙ ОТОБРАЖЕНИЯ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 87 ное соотношением      10,)(,)()( ttttxthtxH  . Покажем, что это отоб- ражение дифференцируемо по Фреше в точке )(0 x и вычислим производную. Для этого напомним следующий результат. Пусть X и Y – банаховы про- странства, а F непрерывное отображение окрестности U точки Xx 0 в Y . Предположим, что отображение F дифференцируемо по Гато в каждой точке множества U и при этом отображение )(xFx Ã из U в ),( YXL (простран- ство линейных непрерывных отображений из X в Y ) непрерывно. Тогда отоб- ражение F дифференцируемо на U по Фреше и его производная равна произ- водной по Гато. Проверим дифференцируемость по Гато отображения H в некоторой окрестности точки )(0 x и покажем непрерывность этой производной. Множе- ство U открыто, поэтому можно указать такое 0,  что из 0( ) ( )x t x t   следует, что ( , ) .t x U Если же 0( ) ( ) ,nC x x   то, согласно определения дифференцируемости по Гато, имеем       0 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ),lim x H x z H x t h t x t z t          т. е. производная )(xH по Гато имеет вид    ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ).Г xH x z t h t x t z t    Непрерывность отображения  )()(  xHx Ã сразу же следует из непре- рывности отображения (( , ) ( , ),xt x h t x что отмечалось при задании ( , ).h t x Таким образом, отображение H дифференцируемо по Фреше и его производная в точке )(0 x имеет вид    0 0( ) ( ) ( ) , ( ) ( ).xH x z t h t x t z t    Для нахождения производной при решении задач оптимального управления будет полезным следующее утверждение. Утверждение 3. Пусть ),,(,),,,(1 uxthuxth m – действительные функции, определенные, непрерывные и непрерывно дифференцируемые по x и u в не- которой области U пространства .n rR R R  Положим  ),,(,),,,(),,( 1 uxthuxthuxth m и предполагается, что вектор-функции  1 0 1( ) [ , ]nx C t t и  1 0 1( ) [ , ]ru C t t таковы, что   Ututxt )(),(, 00 для всех  10 ,ttt . Для отображения      1 0 1 1 0 1 0 1: [ , ] [ , ] [ , ]n r mH C t t C t t C t t  вида      10,)(),(,)()(),( ttttutxthtuxH  З.В. НЕКРЫЛОВА Теорія оптимальних рішень. 2015 88 рассуждения, аналогичные приведенным в утверждении 2, показывают, что H дифференцируемо по Фреше в точке  )(),( 00  ux и его производная имеет вид        0 0 0 0 0 0( ), ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ).x uH x u z y t h t x t u t z t h t x t u t y t      Из приведенных утверждений напрашивается вывод, что для вычисления произ- водной в заданной точке важно уметь описать поведение исследуемого отображения в этой точке и ее окрестности, т. е. построить вспомогательное отображение .h Таким образом, чтобы использовать приведенные утверждения для числен- ного вычисления производной исследуемого отображения  ( ) ,H x необходи- мо быть уверенным в том, что проведенные наблюдения и измерения над иссле- дуемым объектом дают возможность утверждать, что в окрестности выбранной точки функционирование системы хорошо представимо отображением ,h а зна- чения измерений наблюдаемых характеристик можно считать его аргументами. Для утверждения 1 такими характеристиками будут величины, описывающие состояние системы в фиксированный момент  временного отрезка 0 1[ , ],t t для утверждения 2 и 3 – это кусок траектории в виде отрезка кривой при 0 1[ , ].t t t Рассмотрим подробнее вычисление производной вспомогательного отобра- жения .h В утверждении 1 производная    ( ( , )) { ( )} ( )M H x x h x     – это вектор-функция в ,mR поэтому для ее вычисления можно использовать классический конечно-разностный подход. Для указанного 0,  зависящего от имеющегося набора измерений  ( ) ,x  на котором определена функция h в окрестности U точки 0( ),x  можно найти такое ( ),x  что 0( ) ( ) .x x     Это  будет характеризовать степень приближения  ( ( , )) { ( )}M H x x     ( )h x  и ее конечно-разностного аналога, который можно вычислить для каждой  0( ) , 1, ,ih x i m   как      0 0( ) ( ) ( ) .i i ih x h x h x      В случае утверждения 2 для выбранного 0  из перечня измерений  0 1( ),x t t t t  в окрестности точки 0( )x t можно указать такое ( ),x t что 0( ) ( ) .x t x t   Тогда      )(,)(,)(, ~ 00 txthtxthtxthx  . Для исследования системы, функционирующей в стохастических условиях, будем считать, что оптимизируется ожидаемое поведение системы, т. е.   (( ), ) ,E H x  где  обозначает случайный элемент. Задав значение слу- чайного элемента, воздействующего на поведение системы, проводим наблюде- О ЧИСЛЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОИЗВОДНОЙ ОТОБРАЖЕНИЯ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 89 ния и измерения изучаемых характеристик в избранной точке, чтобы иметь воз- можность воспользоваться отображением .h А затем вычисляем производную в этой точке отображения   (( ), ) ,E H x  используя полученные реализации  ( ) .H x Конкретнее это можно представить следующим образом. Рассмотрим это на примере утверждения 1. Утверждение 4. Пусть h имеет те же свойства, что и в утверждении 1. Для вычисления производной отображения   (( ), )E H x  применим подход, предложенный в [2], когда вместо значений отображения используются значе- ния реализаций  ( ) .H x Для этого введем отображение вида    ( ) ( ) ,H x h x   которое выполняется с вероятностью 1 для значений  ( )x  и определено на множестве таких )(x , что ( ) .x U  Рассуждения, аналогичные приведенным в утверждении 1, дают возможность утверждать, что  0 0( ( )) ( ) ( ) , ( )H x x h x x      с вероятностью 1, откуда  0( ( )) ( ) { ( )}E H x x x     0( ) , ( ) .h x x   Таким образом, вычисление производной отображения  (( ), )EH x  с помощью отображения h фактически приводит к подходу, известному в сто- хастическом программировании как вычисление стохастического градиента [3]. Поэтому производную от h в этом случае можно назвать стохастическим диф- ференциалом отображения   (( ), ) .E H x  Заключение. Работа посвящена построению численных методов в аб- страктных пространствах. В частности, приведены способы вычисления произ- водной в точке при различных заданиях значений наблюдений и измерений над характеристиками изучаемой сложной системы. З.В. Некрилова ПРО ЧИСЕЛЬНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ПОХІДНОЇ ВІДОБРАЖЕННЯ У ЗАДАНІЙ ТОЧЦІ Описується спосіб чисельного обчислення похідної у точці з метою її використання в методі оптимізації складної системи, поведінка якої вивчається математичним апаратом абстрактних просторів. Z.V. Nekrylova ABOUT NUMERICAL COMPUTATION OF DERIVATIVE IN THE POINT FOR MAPPING The method of numerical computation for derivative in the point is described to use it in optimization method for complex system. The system behaviour is described with abstract mathematics instrument. З.В. НЕКРЫЛОВА Теорія оптимальних рішень. 2015 90 1. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. – 479 с. 2. Вазан М. Стохастическая аппроксимация. – М.: Мир, 1972. – 295 с. 3. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. – М.: Наука, 1976. – 239 с. Получено 03.02.2015

О численном вычислении производной отображения в заданной точке

Institution

Similar Items