Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления
Для стохастического дифференциального уравнения управляемого процесса найден явный вид решения и доказана его единственность. Для интегрального функционала по процессу с ортогональными приращениями доказаны формула перемены порядка интегрирования и формула дифференциала. Для стохастичного диференцій...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112405 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 98-105. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859842127247179776 |
|---|---|
| author | Дзюбенко, К.Г. |
| author_facet | Дзюбенко, К.Г. |
| citation_txt | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 98-105. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Для стохастического дифференциального уравнения управляемого процесса найден явный вид решения и доказана его единственность. Для интегрального функционала по процессу с ортогональными приращениями доказаны формула перемены порядка интегрирования и формула дифференциала.
Для стохастичного диференційного рівняння керованого процесу знайдено явний вигляд розв’язку, доведено його єдність. Для інтегрального функціонала по процесу з ортогональними приростами доведені формула зміни порядку інтегрування та формула диференціала.
Explicit solution shape and its uniqueness are proved for controlled process stochastic differential equation. Integration order change formula and differential formula are proved for integral functional over process with orthogonal increments
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:37:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
98 Теорія оптимальних рішень. 2015
ТЕОРІЯ
ОПТИМАЛЬНИХ
РІШЕНЬ
Для стохастического дифферен-
циального уравнения управляемого
процесса найден явный вид реше-
ния и доказана его единствен-
ность. Для интегрального функ-
ционала по процессу с ортого-
нальными приращениями доказа-
ны формула перемены порядка
интегрирования и формула диф-
ференциала.
К.Г. Дзюбенко, 2015
УДК 519.21
К.Г. ДЗЮБЕНКО
РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
Нахождение решения дифференциального
уравнения для управляемого случайного
процесса, установление его единственности
повсеместно велись интуитивно, без доказа-
тельств. В статье предложены точные ответы
на такие вопросы. Это создает возможности
приложений для задач вывода целевой функ-
ции на множество и связанных с ними про-
блем оптимизации.
Пусть ),,( PF – вероятностное про-
странство, на котором заданы рассматривае-
мые случайные объекты. N и R – множе-
ства всех натуральных и действительных чи-
сел. Всюду далее рассматриваются детерми-
нированные и случайные функции с дей-
ствительными значениями. Пусть
1 2,t t R ,
1 2t t . Случайный процесс ( )X t ,
1 2[ , ]t t t ,
– процесс с ортогональными приращениями,
если 2
2 1( ( ) ( ))M X t X t и
2 1 4 3( ( ) ( ))( ( ) ( )) 0,M X s X s X s X s
1 1 2 3 4 2.t s s s s t Структурной функ-
цией данного процесса назовем ( )XG t
2
1( ( ) ( )) ,M X t X t
1 2[ , ]t t t . Она является
неубывающей. Случайные процессы
1( )X t и
2( ),X t
1 2[ , ],t t t стохастически эквивалент-
ны, если
1 2( ) ( ),X t X t п.н.,
1 2[ , ]t t t . В та-
ком случае говорят, что
2( )X t – модифика-
ция
1( )X t , – и наоборот. Процессы
1( )X t и
2( )X t неотличимы п.н., если
1 2[ , ] 1 2sup ( ) ( ) 0t t t X t X t п.н.
РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ …
Теорія оптимальних рішень. 2015 99
Пусть ( ),X t
1 2[ , ]t t t – случайный процесс с ортогональными приращени-
ями, ( , )a и ( , )b – функции
1 2[ , ] .t t R R Стохастическим дифференци-
альным уравнением (уравнением Ито) называется уравнение
( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ),dY t a t Y t dt b t Y t dX t
1 2[ , ],t t t (1)
для неизвестного случайного процесса ( ),Y t
1 2[ , ],t t t понимаемое в смысле
1 1
1( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( )
t t
t t
Y t Y t a s Y s ds b s Y s dX s п.н.,
1 2[ , ].t t t
Предполагается, что для каждого
1 2[ , ]t t t интеграл Лебега
t
t
dssYsa
1
))(,(
и стохастический интеграл
t
t
sdXsYsb
1
)())(,( существуют п.н. В случае, когда
)(tX – процесс броуновского движения, широко известно достаточное условие
существовании решения уравнения (1), единственного с точностью до неотли-
чимости п.н. в классе непрерывных функций ([1], с. 469 – 470). Рассмотрим
более конкретное стохастическое дифференциальное уравнение
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),dY t a t Y t dt u t dt b t dX t
1 2[ , ],t t t (2)
где ( ),Y t
1 2[ , ]t t t – целевой случайный процесс, ( ),u t
1 2[ , ]t t t – случайный
процесс управления, )(ta и )(tb – ограниченные измеримые функции
1 2[ , ] .t t R Для любого n N
1 0 1 2< <...<n n n nnT t t t t t (3)
– разбиение отрезка
1 2[ , ]t t на n частей, )(max)( 1,1,0 nkknnkn ttTd
– диа-
метр разбиения nT . Для случайной функции
1 2( , ) :[ , ]v t t R
2
1
),(
t
t
dttv
понимается как интеграл Лебега от ),( v , существующий п.н. Также
, 1( ) ( ) ( ),nk n k nkv t v t v t 0, 1,k n .n N Будут применяться неравенства
2( ),MX M X M X ))()((2)( 222 YMXMYXM для случайных
величин ,X Y и неравенство
2
1
2
1
2
12
2
))(()()(
t
t
t
t
dttfttdttf для измери-
мой функции Rttf ],[:)( 21 . Для произвольного множества S 1)( xIS ,
Sx , и 0)( xI S , Sx . Вероятностная мера )(P предполагается пополнен-
ной до полной меры, т. е. такой, что для любого FA с 0)( AP из AB
следуют FB и 0)( BP . Аналогично предполагается пополненной мера
,XdG заданная на -алгебре измеримых по Лебегу множеств ],[ 21 ttS как
2
1
)()(
t
t
XS
S
X tdGtIdG (в правой части – интеграл Лебега – Стилтьеса по
структурной функции). Полнота мер требуется для обеспечения условий тео-
ремы Фубини ([2], с. 317). Чтобы найти решение уравнения (2) (теорема 3), до-
кажем три важных утверждения.
К.Г. ДЗЮБЕНКО
100 Теорія оптимальних рішень. 2015
Лемма. Пусть
1 2t t и ( ),X t
1 2[ , ]t t t – случайный процесс с ортогональ-
ными приращениями. Тогда существует п.н.
2
1
)(
t
t
dttX и
2 2
1 1
2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t
t dX t t X t t X t X t dt п.н.
Доказательство. Верны соотношения
2
1
2
1
2
1
2))(()()(
t
t
t
t
t
t
dttXMdttXMdttXM
2
1
2
1
)))()(())(((2))()(()((( 2
1
22
11
t
t
t
t
dttXtXMtXMdttXtXtXM
)()(2))((2 122
2
1 tttGtXM X
(применена теорема Фубини для модуля функции, [2], с. 318). Поэтому суще-
ствуют п.н. интегралы Лебега
2
1
)(
t
t
dttX и
2
1
)(
t
t
dttX (существование инте-
грала Лебега от функции и от ее модуля равносильно). Для любых Nn и лю-
бых разбиений вида (3) верны равенства
nk
n
k knnnnnnn
n
k nknk ttXtXttXttXt
1
0 1,00
1
0
)()()()(
nk
n
k nknk
n
k nk ttXttXtXttXt
1
0
1
01122 )()()()( . (4)
Пусть 0)( nTd , n . Обозначим
, 1
1
[ , )0
( ) ( ),
nk n k
n
n nk t tk
f t t I t
1 2[ , ],t t t
.n N
2
1
1
0
( ) ( ) ( ),
t n
n nk nkkt
f t dX t t X t
,n N сходится в среднеквадратиче-
ском (с.к.) к
2
1
)(
t
t
tdXt ввиду 0)())((lim
2
1
2
t
t
Xnn tdGtft ([3], с. 31):
1
0
22 1,2
1
)()()())((
n
k
t
t
Xnk
t
t
Xn
kn
nk
tdGtttdGtft
0)())(()())(( 2
21
0
2
tGTdtGTd Xn
n
k nkXn , n .
Верны соотношения
221
0
2
1
0
)())(()( nk
n
k nknk
n
k nk ttXMttXM
0))(()( 2
2 nX TdtG , n (применены равенства
1 2
( ( ) ( )) 0nk nkM X t X t ,
21 kk ). Поэтому из (4) следует, что nk
n
k nk ttX
1
0
)( сходится в с.к. Этот
предел равен
2
1
)(
t
t
dttX п.н., поскольку
0)()()(
2
1
2
1
1
0
t
t
nnk
n
k nk
t
t
dttgttXdttXM , n .
РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ …
Теорія оптимальних рішень. 2015 101
Здесь к
, 1
1
[ , )0
( ) ( ) ( ) ( ),
nk n k
n
n nk t tk
g t M X t X t I t
1 2[ , ],t t t применима теорема
Лебега о мажорируемой сходимости ([2], с. 302). Ибо )()( nktXtXM
)()()())()(( 2
2 tGtGtGtXtXM XnkXXnk , ],[ 21 ttt , 1,0 nk ,
.n N А ( ) ( (1)) 0,X XG t G t o n для всех
1 2[ , ]t t t кроме не более
чем счетного множества точек (меры Лебега нуль), где неубывающая ограни-
ченная функция )(XG имеет разрывы ([2], с. 322).
Теорема 1. Пусть
1 2 ,t t и выполнены условия:
1) ( ),X t ],[ 21 ttt – случайный процесс с ортогональными приращениями;
2) ( , ),h t s
1[ , ],s t t
1 2[ , ]t t t – ограниченная измеримая по ( , )t s функция.
Тогда верны утверждения:
1.
2
),(
t
s
dtsth существуют и измеримы по
1 2[ , ]s t t XdG -п.в.
2.
t
t
sdXsth
1
)(),( существуют п.н. для всех
1 2[ , ]t t t .
3.
2
1 1
2
1
2
)(),()(),(
t
t
t
t
t
t
t
s
dtsdXsthsdXdtsth п.н. (5)
Доказательство. Положим
1 1 2{( , ) : [ , ], [ , ]}.t s s t t t t t Тогда
)()()(),( 212
2
1
2
tGttHdtsdGsth X
t
t
t
s
X ,
где ),(sup ),( sthH st . Теорема Фубини для модуля функции влечет
утверждение 1.
2
1
2
)(),(
t
t
t
s
sdXdtsth существует п.н. ([3], с. 30 – 31) ввиду
)()()(),( 2
2
12
2
2
2
1
2
tGttHsdGdtsth X
t
t
X
t
s
.
)()()),(( 2
222
1
tGHsdGsth X
t
t
X влечет утверждение 2. Также
dtsdXsthMdtsdXsthM
t
t
t
t
t
t
t
t
2
1 1
2
1 1
2
)(),()(),(
)()()()),(( 212
22
1 1
tGttHdtsdGsth X
t
t
t
t
X
(применена лемма из [3], с. 31). Тогда конечен двойной интеграл от функции
t
t
sdXsth
1
)(),( по мере ( ),dt P d он равен обоим повторным ([2],
с. 313 – 314, 318). Повторный интеграл в правой части (5) существует п.н. ввиду
К.Г. ДЗЮБЕНКО
102 Теорія оптимальних рішень. 2015
dtsdXsthMdtsdXsthM
t
t
t
t
t
t
t
t
2
1 1
2
1 1
)(),()(),( .
Рассмотрим произвольную последовательность разбиений nT вида (3) с
0)( nTd , .n При любых }1...,,0{ nk и }...,,0{ kl равенство (5) вы-
полнено для функции )()( ),[),[ 1,1,
sItI
lnnlknnk tttt
, ],[ 1 tts , ],[ 21 ttt , ввиду
1,2
1
2
1,1,
)()),max(()()()( 1,),[),[
ln
nl
lnnlknnk
t
t
nkkn
t
t
t
s
tttt sdXtstsdXdtsItI
;,)())()((
;1)),()()((
1,
1,1,
1,1,
klsdXstXtXt
kltXtXtt
kn
nk
t
t
nkknkn
nllnnkkn
1,2
1 1
1,1,
))()),(min(()()()( 1,),[),[
kn
nk
lnnlknnk
t
t
nlln
t
t
t
t
tttt dttXttXdtsdXsItI
.),)(()(
;1)),()()((
1,
1,1,
1,
kltttXdttX
kltXtXtt
nkknnk
t
t
nllnnkkn
kn
nk
При 1 kl равенство верно. Оно верно и при :l k
)()()())()(( 1,1,1,1,1,
1,
nkknknkn
t
t
nkknkn tXttXtsdXstXtXt
kn
nk
))(()())()()(( 1,1,1,
1,1,
nkknnk
t
t
t
t
nknkknkn tttXdssXdssXtXttXt
kn
nk
kn
nk
(применена лемма). Множество ступенчатых функций вида
1
0 0 ),[),[ )()(),(
1,1,
n
k
k
l ttttnkln sItIcsth
lnnlknnk
, ( , ) ,t s (6)
где Rcnkl , }...,,0{ kl , }1...,,0{ nk , Nn , плотно в ),(2 XdGdtL
(ср. [2], с. 378 – 379). Найдется последовательность ),(}{ 2 Xn dGdtLh
вида (6) такая, что nh сходится к h по норме ),(2 XdGdtL . Верны соот-
ношения
2
1 1
2
1
2
)(),()(),(
t
t
t
t
n
t
t
t
s
n dtsdXsthsdXdtsth п.н., ,n N (7)
2
1
22
1
2
)()),(),(()()),(),((
22
t
t
X
t
s
n
t
t
t
s
n sdGdtsthsthsdXdtsthsthM
2
1
2
)()),(),(()( 2
2
t
t
X
t
s
n sdGdtsthsthst
nsdGdtsthsthtt
t
t
Xn
t
s
,0)()),(),(()(
2
1
2
2
12
РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ …
Теорія оптимальних рішень. 2015 103
(применена лемма из [3], с. 31). Итак, случайные величины в левой части (7)
сходятся в с.к. к величине в левой части (5). Величины из правой части (7) схо-
дятся к случайной величине в правой части (5) в среднем порядка 1:
2
1 1
2
1 1
)(),()(),(
t
t
t
t
n
t
t
t
t
dtsdXsthdtsdXsthM
dtsdXsthsthMdtsdXsthsthM
t
t
t
t
n
t
t
t
t
n
2
1 1
2
1 1
2
)()),(),(()()),(),((
0)()),(),(()(
2
1 1
2
12
t t
t
Xn
t
dtsdGsthsthtt , n .
Левая и правая части (7) сходятся к соответствующим частям (5) в среднем
порядка 1, и эти предельные величины равны п.н.
Теорема 2. Пусть
1 2 ,t t и выполнены условия:
1) ( ),X t
1 2[ , ]t t t – случайный процесс с ортогональными приращениями;
2) ( , ),g t s
1[ , ],s t t
1 2[ , ]t t t – ограниченная измеримая по ( , )t s функция;
3) ( , ),tg t s
1[ , ],s t t
1 2[ , ]t t t – ограниченная измеримая по ( , )t s функция,
непрерывная по
2[ , ]t s t при каждом
1 2[ , ).s t t
Тогда
)(),()(),()(),(
11
tdXttgdtsdXstgsdXstgd
t
t
t
t
t
, ],[ 21 ttt .
Доказательство. Требуется доказать, что
t
t
t
t
u
t
u
t
t
sdXssgdusdXsugsdXstg
11 11
)(),()(),()(),( п.н., ],[ 21 ttt . (8)
t
t
sdXstg
1
)(),( и
t
t
sdXssg
1
)(),( заданы п.н. ввиду условия 2) ([3], с. 30 – 31).
Верно
t
s
u dusugssgstg ),(),(),( , 21 ttst . Поэтому (8) равносильно
t
t
u
t
u
t
t
t
s
u dusdXsugsdXdusug
1 11
)(),()(),( п.н.,
1 2[ , ].t t t Остается при-
менить утверждения теоремы 1 с заменой t на u , 2t на t , ),( sth на ),( sugu .
Теорема 3. Пусть
1 2t t и выполнены условия:
1) ( ),X t
1 2[ , ],t t t – случайный процесс с ортогональными приращениями;
2) ( ),u t
1 2[ , ]t t t – случайный процесс, для которого
2
1
)(
t
t
dssu п.н.;
3) ( ),a t
1 2[ , ]t t t – непрерывная функция;
4) ( ),b t
1 2[ , ]t t t – ограниченная измеримая функция;
5)
1( )y – случайная величина.
К.Г. ДЗЮБЕНКО
104 Теорія оптимальних рішень. 2015
Тогда уравнение (2) с начальным условием
1 1( )Y t y п.н. имеет единственное
с точностью до стохастической эквивалентности решение
1
1 1
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
t t t
t s s
a d t ta d a d
t t
Y t y e e u s ds e b s dX s
п.н.,
1 2[ , ].t t t (9)
Доказательство. Теорема 2 применима к )(),(
)(
sbestg
t
s
da
, ],[ 1 tts ,
1 2[ , ].t t t Верны
( )
( , ) ( ) ( ),
t
s
a d
tg t s e a t b s
( , ) ( ),g t t b t ],[ 1 tts ,
1 2[ , ].t t t
Пусть )(max ],[ 21
saA tts . Процесс (9) удовлетворяет уравнению (2) ввиду
1 1
( ) ( )
1 1( ) ;
t t
t t
a d a d
d y e a t y e dt
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
t t
s s
t ta d a d
t t
d e b s dX s a t e b s dX s dt b t dX t
t
t
t
t
t
s
dat
t
da
dssudssudvvaedssue
v
s
t
s
111
)()()()(
)()(
t
t
t
t
v
t
da
dssudvdssueva
v
s
11 1
)()()(
)(
п.н.,
1 2[ , ]t t t
(применена теорема Фубини для модуля функции ввиду
2
2 1
1 1
( ) ( )
2 1( ) ( ) ( ) ( )
v
s
t t ta d A t t
t s t
e a v u s dsdv Ae t t u s ds
п.н.,
1 2[ , ]t t t ).
Пусть процесс
1( ),Y t ],[ 21 ttt – еще одно решение уравнения (2) с начальным
условием
1 1 1( )Y t y п.н. Тогда
1( ) ( ) ( ),Z t Y t Y t
1 2[ , ],t t t удовлетворяет
уравнению
t
t
dssZsatZ
1
)()()( п.н.,
1 2[ , ].t t t Интегралы Лебега от
)()( sZsa также конечны п.н. Введем процесс
t
t
dssZsatZ
1
)()()(
~
п.н.,
1 2[ , ].t t t Зафиксируем любые
1 2[ , ],t t t Nk и .n N Верны неравенства
)(
~
)(
~
)()()(0 2
1
tZtZdssZsatZ
t
t
п.н.,
1 2[ , ].t t t Для ( )km t
2{ ( ) }
( )
Z t k
M Z t I
верны ( ) .km t k Также
dsIsZMsaItZM
t
t
ktZktZ
1
22 })(
~
{})(
~
{
)(
~
)()(
~
n
t
t
s
t
ktZnn
s
t
dsdsIsZMsasasa
n
...)(
~
)(..)()(
1
1
1
2
1
1
1})(
~
{21
РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ …
Теорія оптимальних рішень. 2015 105
(применена теорема Фубини).
})(
~
{})(
~
{ 22
)(
~
)(
~
ktZktZn ItZMIsZM
ввиду
,ns t откуда 1
2 1( ) ( ) ( !) ( ).n n
k km t A t t n m t 0)!()(lim 1
12
nttA nn
n и
ktmk )( влекут ( ) 0.km t Из )(
~
)(
~
lim
})(
~
{ 2
tZItZ
ktZk
п.н. и
0)(
~
})(
~
{ 2
ktZ
ItZM по теореме Фату следует 0)(
~
tZM ([2], с. 305). Тогда
и ( ) 0.M Z t Следовательно,
1( ) ( )Y t Y t п.н. для произвольного
1 2[ , ].t t t
Комментарий. Пусть случайная величина
1 2: [ , ]t t распределена
равномерно. Для любого решения
1( )Y t уравнения (2) с начальным условием
1 1 1( )Y t y п.н. (задача Коши) процесс
2 1 { ( )}( , ) ( , ) ( ),Y t Y t I t
1 2[ , ],t t t
– также решение этой задачи. При этом
2( )Y t – модификация
1( ),Y t но
они не неотличимы п.н. Для обеспечения неотличимости п.н. можно сузить
класс рассматриваемых решений требованием непрерывности траекторий
справа или слева п.н. Но тогда необходимы условия на ( ),a t )(tb , )(tu и осо-
бенно на ( ),X t гарантирующие и для решения (9) наличие такого свойства.
К.Г. Дзюбенко
РОЗВ’ЯЗОК СТОХАСТИЧНОГО ДИФЕРЕНЦІЙНОГО РІВНЯННЯ
ДЛЯ ЗАДАЧІ КЕРУВАННЯ
Для стохастичного диференційного рівняння керованого процесу знайдено явний вигляд
розв’язку, доведено його єдність. Для інтегрального функціонала по процесу з ортогональ-
ними приростами доведені формула зміни порядку інтегрування та формула диференціала.
K.G. Dziubenko
SOLUTION OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION FOR CONTROL PROBLEM
Explicit solution shape and its uniqueness are proved for controlled process stochastic differential
equation. Integration order change formula and differential formula are proved for integral func-
tional over process with orthogonal increments.
1. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука, 1977.
– 568 с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
М.: Наука, 1981. – 544 с.
3. Дзюбенко К.Г. Непрерывность линейного функционала и стохастический интеграл // Тео-
рія оптимальних рішень. – 2009. – № 8. – С. 28 – 35.
Получено 26.03.2015
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112405 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:37:25Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дзюбенко, К.Г. 2017-01-20T21:43:30Z 2017-01-20T21:43:30Z 2015 Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления / К.Г. Дзюбенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — № 2015. — № 2015. — С. 98-105. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112405 519.21 Для стохастического дифференциального уравнения управляемого процесса найден явный вид решения и доказана его единственность. Для интегрального функционала по процессу с ортогональными приращениями доказаны формула перемены порядка интегрирования и формула дифференциала. Для стохастичного диференційного рівняння керованого процесу знайдено явний вигляд розв’язку, доведено його єдність. Для інтегрального функціонала по процесу з ортогональними приростами доведені формула зміни порядку інтегрування та формула диференціала. Explicit solution shape and its uniqueness are proved for controlled process stochastic differential equation. Integration order change formula and differential formula are proved for integral functional over process with orthogonal increments ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления Розв’язок стохастичного диференційного рівняння для задачі керування Solution of stochastic differential equation for control problem Article published earlier |
| spellingShingle | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления Дзюбенко, К.Г. |
| title | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления |
| title_alt | Розв’язок стохастичного диференційного рівняння для задачі керування Solution of stochastic differential equation for control problem |
| title_full | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления |
| title_fullStr | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления |
| title_full_unstemmed | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления |
| title_short | Решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления |
| title_sort | решение стохастического дифференциального уравнения для задачи управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112405 |
| work_keys_str_mv | AT dzûbenkokg rešeniestohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâdlâzadačiupravleniâ AT dzûbenkokg rozvâzokstohastičnogodiferencíinogorívnânnâdlâzadačíkeruvannâ AT dzûbenkokg solutionofstochasticdifferentialequationforcontrolproblem |