О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов
Для общего случая напряженного состояния строго получены необходимые и достаточные условия устойчивости. Этим условиям должны удовлетворять неопределенные коэффициенты квадратичных критериев прочности ортотропных материалов, чтобы предельная гиперповерхность прочности второго порядка в шестимерном...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112682 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов / В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2014. — № 1. — С. 72-79. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112682 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ромащенко, В.А 2017-01-25T20:54:17Z 2017-01-25T20:54:17Z 2014 О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов / В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2014. — № 1. — С. 72-79. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112682 539.4 Для общего случая напряженного состояния строго получены необходимые и достаточные условия устойчивости. Этим условиям должны удовлетворять неопределенные коэффициенты квадратичных критериев прочности ортотропных материалов, чтобы предельная гиперповерхность прочности второго порядка в шестимерном пространстве напряжений имела физический смысл. Для загального випадку напруженого стану строго отримано необхідні та достатні умови стійкості. Цим умовам повинні задовольняти невизначені коефіцієнти квадратичних критеріїв міцності ортотропних матеріалів, щоб гранична гіперповерхня міцності другого порядку в шестивимірному просторі напружень мала фізичний сенс For the general case of a stress state, the necessary and sufficient conditions have been strictly derived. These conditions should be satisfied by undetermined coefficients of quadratic strength criteria for orthotropic materials, so that the limiting quadric hypersurface of strength in the six-dimensional space of stresses has a physical meaning. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов Quadric Hyperspace of Strength for Orthotropic Materials Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов |
| spellingShingle |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов Ромащенко, В.А Научно-технический раздел |
| title_short |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов |
| title_full |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов |
| title_fullStr |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов |
| title_full_unstemmed |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов |
| title_sort |
о шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов |
| author |
Ромащенко, В.А |
| author_facet |
Ромащенко, В.А |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Quadric Hyperspace of Strength for Orthotropic Materials |
| description |
Для общего случая напряженного состояния строго получены необходимые и достаточные
условия устойчивости. Этим условиям должны удовлетворять неопределенные коэффициенты
квадратичных критериев прочности ортотропных материалов, чтобы предельная гиперповерхность прочности второго порядка в шестимерном пространстве напряжений имела
физический смысл.
Для загального випадку напруженого стану строго отримано необхідні та достатні
умови стійкості. Цим умовам повинні задовольняти невизначені коефіцієнти квадратичних критеріїв міцності ортотропних матеріалів, щоб гранична гіперповерхня
міцності другого порядку в шестивимірному просторі напружень мала фізичний сенс
For the general case of a stress state, the necessary and sufficient conditions have been strictly derived. These conditions should be satisfied by undetermined coefficients of quadratic strength criteria for orthotropic materials, so that the limiting quadric hypersurface of strength in the six-dimensional space of stresses has a physical meaning.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112682 |
| citation_txt |
О шестимерных гиперповерхностях прочности второго порядка ортотропных материалов / В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2014. — № 1. — С. 72-79. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT romaŝenkova ošestimernyhgiperpoverhnostâhpročnostivtorogoporâdkaortotropnyhmaterialov AT romaŝenkova quadrichyperspaceofstrengthfororthotropicmaterials |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:23Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:23Z |
| _version_ |
1850592092619800576 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Î øåñòèìåðíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ ïðî÷íîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà îðòî-
òðîïíûõ ìàòåðèàëîâ
Â. À. Ðîìàùåíêî
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ñòðîãî ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè. Ýòèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû
êâàäðàòè÷íûõ êðèòåðèåâ ïðî÷íîñòè îðòîòðîïíûõ ìàòåðèàëîâ, ÷òîáû ïðåäåëüíàÿ ãèïåð-
ïîâåðõíîñòü ïðî÷íîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â øåñòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íàïðÿæåíèé èìåëà
ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: îðòîòðîïèÿ, êðèòåðèè ïðî÷íîñòè, ïðåäåëüíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü
ïðî÷íîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà, øåñòèìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàïðÿ-
æåíèé, óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè.
Êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû (ÊÌ) øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ ñîâðå-
ìåííîé òåõíèêè. Êàê ïðàâèëî, òàêèå ìàòåðèàëû õàðàêòåðèçóþòñÿ íåîäíîðîäíîñòüþ
ñòðóêòóðû (ãåòåðîãåííîñòüþ) è âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñóùåñòâåííîé àíèçîòðîïèåé ôè-
çèêî-ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ. Äëÿ îöåíêè ïðî÷íîñòè ÊÌ, íàõîäÿùèõñÿ â ñëîæíîì
íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, íåîáõîäèìî çíàòü êðèòåðèè ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé (êðèòå-
ðèè ïðî÷íîñòè), óñòàíàâëèâàþùèå äîïóñòèìûå ãðàíèöû íàïðÿæåíèé, â êîòîðûõ
ìàòåðèàë ìîæåò ðàáîòàòü áåç ðàçðóøåíèÿ. Ïðåäåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿ, ïðè
êîòîðûõ ÊÌ ïåðåõîäèò èç óïðóãîãî (ëèáî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî) ñîñòîÿíèÿ ê ðàçðó-
øåíèþ. Äëÿ îöåíêè ïðî÷íîñòè ÊÌ ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé
ìàêðîñòðóêòóðíûé ïîäõîä, ñîãëàñíî êîòîðîìó íåîäíîðîäíûé êîìïîçèò ðàññìàòðè-
âàåòñÿ êàê ñïëîøíàÿ, â îáùåì ñëó÷àå àíèçîòðîïíàÿ, ñðåäà. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
ïîñëåäíåé ñòðîèòñÿ íà áàçå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Áîëüøèíñòâî ñîâðåìåííûõ
ÊÌ âïîëíå àäåêâàòíî îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ ãîìîãåííîãî îðòîòðîïíîãî òåëà ëèáî
òåìè èëè èíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ýòîé ìîäåëè.
Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå êðèòåðèè ïðî÷íîñòè íå âûâîäÿòñÿ àíàëèòè÷åñêè, îíè ïîñ-
òóëèðóþòñÿ èëè ïðåäëàãàþòñÿ íà îñíîâå îáîáùåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Â
ïîñëåäíåå âðåìÿ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ êâàäðàòè÷íûå êðèòåðèè ïðî÷íîñòè îðòîòðîï-
íîãî òåëà [1–8], êîòîðûå â ðÿäå ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêîâ íàçâàíû êðèòåðèÿìè
Öàÿ–Âó [8]. Ýòè êðèòåðèè ó÷èòûâàþò ðàçëè÷èå ìåæäó ïðî÷íîñòüþ ïðè ðàñòÿæåíèè è
ñæàòèè, îáëàäàþò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ãèáêîñòüþ, íå ñîäåðæàò èçáûòî÷íûõ
ïàðàìåòðîâ, ïîçâîëÿþò ëåãêî îïðåäåëÿòü ãëàâíûå îñè ïðî÷íîñòè è äð.
Åñòåñòâåííî ïîëàãàòü, ÷òî ãëàâíûå îñè àíèçîòðîïèè õ, ó, z îðòîòðîïíîãî
ìàòåðèàëà ÿâëÿþòñÿ îäíîâðåìåííî ãëàâíûìè îñÿìè êàê äëÿ óïðóãèõ, òàê è ïðî÷íîñò-
íûõ õàðàêòåðèñòèê. Êðîìå òîãî, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ñäâèãîâàÿ ïðî÷íîñòü êîìïî-
çèòà íå çàâèñèò îò çíàêà êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Òîãäà êâàäðàòè÷íûé êðèòåðèé
ïðî÷íîñòè â êîîðäèíàòàõ õ, ó, z èìååò âèä [1–8]
�� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
� � � � �
� � �x
x x
y
y y
z
zS S S S S
1 1 1 1 1 1
S S S S S S Sz
x
x x
y
y y
z
z z
� � � � � � �
�
�
�
�
�
� � � �
� � �2 2 2
� � � � � �
� � � �
xy
xy
yz
yz
zx
zx
xy x y yz y z zx
T T T
a a a
2
2
2
2
2
2
2 2 2 � �z x �1, (1)
© Â. À. ÐÎÌÀÙÅÍÊÎ, 2014
72 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1
ãäå � i ,
ij – êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé; S i
� , S i
� – ïðåäåëû ïðî÷íîñòè ïðè
ðàñòÿæåíèè (�) è ñæàòèè (�) â i-ì ãëàâíîì íàïðàâëåíèè àíèçîòðîïèè; Tij – ïðåäåëû
ïðî÷íîñòè ïðè ÷èñòîì ñäâèãå â ñîîòâåòñòâóþùèõ ãëàâíûõ ïëîñêîñòÿõ ij àíèçî-
òðîïèè; i j x y z, , , ;� i j� .
Êðèòåðèé (1) êîíêðåòèçèðîâàí íà îñíîâå äåâÿòè ïðîñòåéøèõ ýêñïåðèìåíòîâ: òðè
íà îäíîîñíîå ðàñòÿæåíèå, òðè íà îäíîîñíîå ñæàòèå è òðè íà ÷èñòûé ñäâèã. Îí
òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåò (ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì åäèíèöå) ýòèì äåâÿòè ýêñïåðèìåí-
òàëüíûì (ðåïåðíûì) òî÷êàì â øåñòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íàïðÿæåíèé ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ òðåõ ïàðàìåòðîâ aij .  ñâîþ î÷åðåäü, ýòè ïàðàìåòðû äîëæíû óäîâëå-
òâîðÿòü íåêîòîðûì óñëîâèÿì, ÷òîáû ïðåäåëüíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ïðî÷íîñòè �� 1
èìåëà ôèçè÷åñêèé ñìûñë: áûëà îäíîñâÿçíîé è çàìêíóòîé ëèáî â êðàéíåì ñëó÷àå
äîïóñêàëà ñóùåñòâîâàíèå íå áîëåå îäíîãî íàïðàâëåíèÿ (ëó÷à èëè ïðÿìîé) ñ áåñêî-
íå÷íîé ïðî÷íîñòüþ. Âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ýòèõ íåîáõîäè-
ìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé (òàê íàçûâàåìûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè), à òàêæå óñëî-
âèé âûïóêëîñòè, îäíîñâÿçíîñòè, çàìêíóòîñòè ëèáî îòêðûòîñòè, âîçìîæíûõ è äîïóñ-
òèìûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðì øåñòèìåðíîé ïðåäåëüíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðî÷íîñòè
îðòîòðîïíîãî ìàòåðèàëà (1) â íàñòîÿùåå âðåìÿ íåäîñòàòî÷íî èçó÷åíû.  ÷àñòíîñòè, â
èçâåñòíûõ ðàáîòàõ [1–7] íà îñíîâå àíàëèçà äâóõîñíûõ ïëîñêèõ íàïðÿæåííûõ ñîñòîÿ-
íèé â ãëàâíûõ ïëîñêîñòÿõ àíèçîòðîïèè âûâîäÿòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ
óñòîé÷èâîñòè, êîòîðûå, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, íå âñåãäà ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâî-
âàíèå ôèçè÷åñêè äîïóñòèìîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðî÷íîñòè â øåñòèìåðíîì ïðîñòðàí-
ñòâå íàïðÿæåíèé äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ òðåõîñíîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ.
Èç ìíîæåñòâà øåñòèìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà âûøåïåðå÷èñëåí-
íûì òðåáîâàíèÿì óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî òðè: ýëëèïñîèäû (çàìêíóòûå è âûïóêëûå);
ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû (îäíîñòîðîííå îòêðûòûå è âûïóêëûå) ëèáî ýëëèïòè-
÷åñêèå öèëèíäðû (äâóõñòîðîííå îòêðûòûå è ïî÷òè âûïóêëûå). Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿ-
ùåíà ñòðîãîìó îïðåäåëåíèþ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé, êîòîðûì äîëæíû
óäîâëåòâîðÿòü íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû aij â (1), ÷òîáû ïðåäåëüíàÿ ãèïåð-
ïîâåðõíîñòü �� 1 ïðèíàäëåæàëà îäíîìó èç òðåõ âûøåóêàçàííûõ ôèçè÷åñêè îáîñíî-
âàííûõ òèïîâ.
Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå
� i
i
i iS S
�
� �
�
, � ij
ij
ijT
�
, i j x y z i j, , , ;� � (2)
è çàïèøåì ïðåäåëüíóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü �� 1 â âèäå
� � � � � � � � � �� � � � � � �x y z xy x y yz y z zx z xA A A2 2 2 2 2 2
� � � � � � �� � � � � �xy yz zx x x y y z zB B B2 2 2 2 2 2 1, (3)
ãäå
A a S S S Sij ij i i j j� � � � � ; B S S S Si i i i i� �� � � �1
2
( ). (4)
1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé:
� � �xy yz zx� � � 0. (5)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1 73
Î øåñòèìåðíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ ïðî÷íîñòè ...
Ñ ó÷åòîì (5) ïðåäåëüíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü (3) ïðèîáðåòàåò âèä êëàññè÷åñêîé êâàä-
ðàòè÷íîé ôîðìû – ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íîð-
ìàëüíûõ íàïðÿæåíèé â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ � x , � y , � z :
� � �� � � � � �� � ��
x y z xy x y yz y z zx z xA A A2 2 2 2� � � �
� � � �2 2 2 1B B Bx x y y z z� � � , (6)
è èññëåäîâàòü åå ìîæíî ñ èñïîëüçîâàíèåì õîðîøî ðàçðàáîòàííîé òåîðèè ïîâåðõ-
íîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà [9, 10].
Ðàññìàòðèâàÿ ïëîñêîñòü � x � 0, íåòðóäíî ïîëó÷èòü íåîáõîäèìîå óñëîâèå:
| | ,A yz �1 ïðè íàðóøåíèè êîòîðîãî ïîâåðõíîñòü (6) çàâåäîìî íå áóäåò ïðèíàäëåæàòü
íè îäíîìó èç òðåõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ ôèçè÷åñêè äîïóñòèìûõ òèïîâ [1–8]. Àíàëî-
ãè÷íî ïîñòóïàÿ â äâóõ îñòàâøèõñÿ ïëîñêîñòÿõ � y � 0 è � z � 0, ïîëó÷àåì íåîáõî-
äèìûå óñëîâèÿ äëÿ òðåõ êîýôôèöèåíòîâ:
| | .Aij �1 (7)
Êîýôôèöèåíòû Bi â ñèëó (4) èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íè÷åì íå îãðàíè÷åíû
è ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Äàëåå ýòî óòâåðæäåíèå áóäåò äîêàçàíî ïóòåì
ñòðîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé.
 èçâåñòíûõ ðàáîòàõ [1–7], â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàäðàòè÷íûå êðèòåðèè
ïðî÷íîñòè îðòîòðîïíûõ ìàòåðèàëîâ, îãðàíè÷èâàþòñÿ óñëîâèÿìè (7) (èõ íàçûâàþò
óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè), õîòÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, èõ íåäîñòàòî÷íî äëÿ òîãî,
÷òîáû ïðåäåëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ðàçðóøåíèÿ ïðèíàäëåæàëà òðåì âûøåóêàçàííûì äî-
ïóñòèìûì òèïàì.
Ñëåäóÿ [9, 10], çàïèøåì ÷åòûðå èíâàðèàíòà óðàâíåíèÿ (6):
I
I
A
A
A
A
A
A
A A
xy
xy
yz
yz
zx
zx
xy y
1
2
2
1 1 1 3
1
1
1
1
1
1
3
� � � �
� � � � � �
;
z zx
xy zx
xy yz
zx yz
xy yz zx xy
A
I
A A
A A
A A
A A A A
2 2
3
2
1
1
1
1 2
�
� � � �
;
� �
�
�
A A
I
A A B
A A B
A A B
B B B
yz zx
xy zx x
xy yz y
zx yz z
x y z
2 2
4
1
1
1
1
;
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(8)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî I1 0� , è â ñèëó (7) – I 2 0� ; èíâàðèàíò I 3 äîëæåí
óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèþ
I 3 0� , (9)
èíà÷å, êàê ñëåäóåò èç [9, 10], ïîâåðõíîñòü �� 1 áóäåò èìåòü âèä ãèïåðáîëîèäà ëèáî
êîíóñà, ÷òî íåäîïóñòèìî.
1.1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
I 3 0� . (10)
74 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1
Â. À. Ðîìàùåíêî
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ (10) è (7) îäíîâðåìåííî íåîáõîäèìî,
÷òîáû
| | .Aij �1 (11)
Ââåäåì ôóíêöèþ
f X Y Z X Y Z A XY A YZ A ZXxy yz zx( , , ) .� � � � � �2 2 2 2 2 2 (12)
Äîêàæåì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (12) ïðè óñëîâèÿõ (10), (11) ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåííàÿ. Äëÿ íåå ïåðâûå òðè èíâàðèàíòà òèïà (8) áóäóò ñòðîãî ïîëîæèòåëü-
íûìè, ÷åòâåðòûé èíâàðèàíò äëÿ óðàâíåíèÿ
f X Y Z( , , )� 1 (13)
èìååò âèä I I4 3 0�� � .
Ñîãëàñíî [9, 10] ïîâåðõíîñòü (13) èìååò âèä ýëëèïñîèäà è, ñëåäîâàòåëüíî,
f X Y Z( , , ) .� 0 (14)
Ïîêàæåì, ÷òî ïîâåðõíîñòü
f X Y Z B X B Y B Zx y z( , , )� � � �2 2 2 1 (15)
òàêæå èìååò âèä ýëëèïñîèäà ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ Bi .
Ïîñêîëüêó âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (10), ïîâåðõíîñòü (15) áóäåò öåíòðàëüíîé, è åå
öåíòð (X 0 , Y0 , Z0) îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
X A Y A Z B
A X Y A Z B
A X A Y
xy zx x
xy yz y
zx yz
0 0 0
0 0 0
0 0
� � ��
� � ��
� �
;
;
Z B z0 ��
�
�
�
�
�
.
(16)
Ïåðåíåñåì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð ñèììåòðèè ïîâåðõíîñòè
X X XN � � 0; Y Y YN � � 0; Z Z ZN � � 0. (17)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî â íîâûõ êîîðäèíàòàõ (17) ïîâåðõíîñòü (15) ñ ó÷åòîì (16)
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
f X Y Z f X Y ZN N N( , , ) ( , , ).� �1 0 0 0 (18)
 ñèëó (14) âåëè÷èíà â ïðàâîé ÷àñòè (18) íå ìåíüøå åäèíèöû. Äëÿ ïîâåðõíîñòè
(18), òàê æå êàê è äëÿ (13), ïåðâûå òðè èíâàðèàíòà òèïà (8) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû,
÷åòâåðòûé I I f X Y Z4 3 0 0 01 0�� � �[ ( , , )] , ïîýòîìó ïîâåðõíîñòü (18), à çíà÷èò, è (15)
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëëèïñîèä.
Òàêèì îáðàçîì, ñèòóàöèÿ (10), (11) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé, ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü
ïðî÷íîñòè (6) èìååò âèä ýëëèïñîèäà.
1.2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
I 3 0� (19)
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (7). Äëÿ ïåðâûõ òðåõ èíâàðèàíòîâ èç (8) èìååì
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1 75
Î øåñòèìåðíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ ïðî÷íîñòè ...
I1 0� ; I 2 0� ; I 3 0� , (20)
äëÿ ÷åòâåðòîãî èíâàðèàíòà ñ ó÷åòîì (19) íåñëîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
I B A B A B Ax yz y zx z xy4
2 2 2 21 1 1 0�� � � � � � � �[ ( )] . (21)
1.2.1. Ìîäóëü îäíîãî èç Aij ðàâåí åäèíèöå. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè
Axy ��1. (22)
Òîãäà èç (19) ñëåäóåò
A Ayz zx�� . (23)
Ïðè ýòîì ñèòóàöèÿ
| | | | | |A A Axy yz zx� � � 1 (24)
ÿâëÿåòñÿ íåäîïóñòèìîé, ïîñêîëüêó áóäåì èìåòü
I1 0� ; I 2 0� ; I 3 0� ; I 4 0� , (25)
è, ñîãëàñíî [9, 10], ïîâåðõíîñòü áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ëèáî ïàðàáîëè÷åñêèé
öèëèíäð, ëèáî ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè âûïîëíåíî (22), òî âûïîëíÿåòñÿ (23). Êðîìå òîãî, èìååì
| | | | ,A Ayz zx� �1 (26)
è çíàêè èíâàðèàíòîâ òàêîâû:
I1 0� ; I 2 0� ; I 3 0� ; I 4 0� . (27)
Åñëè ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
I 4 0� , (28)
òî ïîëó÷èì âïîëíå äîïóñòèìûé òèï ïîâåðõíîñòè – ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Â
ñëó÷àå
I 4 0� (29)
òàêæå ïîëó÷èì äîïóñòèìûé òèï ïîâåðõíîñòåé ïðî÷íîñòè.
Äîêàæåì ýòî, àíàëèçèðóÿ çíàê ñåìèèíâàðèàíòà [9, 10]:
K
A B
A B
B B
A B
A B
B B
A B
A
yz y
yz z
y z
zx x
zx z
x z
xy x
xy3
1
1
1
1
1
1
1
�
�
�
�
� 1
1
B
B B
y
x y �
�
�� � � � � � �I B B B A B B A B B A B Bx y z xy x y yz y z zx z x2
2 2 22( ). (30)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
K I B B B B B B Ix y y z z x3 2
2 2 2
2�� � � � � � � �� �(| | | | ) (| | | | ) (| | | | ) 0, (31)
76 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1
Â. À. Ðîìàùåíêî
è, òàêèì îáðàçîì, èññëåäóåìàÿ ïîâåðõíîñòü áóäåò èìåòü âèä ýëëèïòè÷åñêîãî öè-
ëèíäðà [9, 10].
Èòàê, ñèòóàöèÿ (19), (22), (23), (26) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé. Ïóòåì öèêëè÷åñêîé
ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ õ, ó, z ïîëó÷èì åùå äâå äîïóñòèìûå ñèòóàöèè.
1.2.2. Âñå Aij ïî ìîäóëþ ìåíüøå åäèíèöû:
| | ;Axy �1 | | ;A yz �1 | | .A zx �1 (32)
Ïðè ýòîì ïîëó÷èì äîïóñòèìûå òèïû ïîâåðõíîñòåé: ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû èëè
öèëèíäðû. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ òàêîå æå, êàê è â ïîäðàçäåëå 1.2.1, ò.å.
ñèòóàöèÿ (19), (32) äîïóñòèìà.
Ïîñëå íåñëîæíîãî îáîáùàþùåãî àíàëèçà ïðèâåäåííûõ â ðàçä. 1 ðåçóëüòàòîâ
îòìåòèì ñëåäóþùåå. Èñêîìûå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû
óäîâëåòâîðÿòü êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (6), ÷òîáû ïðåäåëüíàÿ ïîâåðõ-
íîñòü ïðî÷íîñòè îðòîòðîïíîãî ìàòåðèàëà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íîðìàëüíûõ
íàïðÿæåíèé èìåëà ôèçè÷åñêèé ñìûñë, òàêîâû:
A A A A A Axy yz zx xy yz zx
2 2 2 1 2 3� � � � � , (33)
ïðè÷åì åñëè â (33) ïåðâîå íåñòðîãîå íåðàâåíñòâî çàìåíèòü ñòðîãèì, ïîëó÷èì íåîáõî-
äèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ÷òîáû ïîâåðõíîñòü �� 1 áûëà ýëëèïñîèäîì. Åñëè â
ëåâîé ÷àñòè (33) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî, áóäåì èìåòü ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû
ëèáî öèëèíäðû, â çàâèñèìîñòè îò êîýôôèöèåíòîâ ïðè ëèíåéíûõ ÷ëåíàõ â (6).
2. Îáùèé ñëó÷àé íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ: âñå øåñòü êîìïîíåíòîâ òåíçîðà
íàïðÿæåíèé ìîãóò ïðèíèìàòü íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ, óðàâíåíèå ïðåäåëüíîé øåñòè-
ìåðíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðî÷íîñòè èìååò âèä (3).
Âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (3) óæå êàíîíèçèðîâàíî ïî ïåðåìåííûì �xy , � yz è � zx .
Ïðîâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå íîðìàëüíûõ
íàïðÿæåíèé � x , � y , � z , à èìåííî: ïîâîðîò êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû ñ ïîñëåäóþùèì
ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà÷àëà êîîðäèíàò è óìíîæåíèåì íà ïîëîæèòåëüíûé íîðìè-
ðóþùèé ìíîæèòåëü, è çàïèøåì óðàâíåíèå (3) â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå. Åñëè âûïîë-
íåíû óñëîâèÿ (33), òî ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ òîëüêî òðè ôîðìû [9, 10]:
1) øåñòèìåðíûé ýëëèïñîèä:
X
C
Y
C
Z
C D
e
xe
e
ye
e
ze
xy yz zx
e
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
1� � �
� �
�
� � �
; (34)
2) øåñòèìåðíûé ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä:
X
C
Y
C D
Z
p
xp
p
yp
xy yz zx
p
p
2
2
2
2
2 2 2
2
2� �
� �
�
� � �
; (35)
3) øåñòèìåðíûé ýëëèïòè÷åñêèé öèëèíäð:
X
C
Y
C D
c
xc
c
yc
xy yz zx
c
2
2
2
2
2 2 2
2
1� �
� �
�
� � �
. (36)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1 77
Î øåñòèìåðíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ ïðî÷íîñòè ...
Âñå òðè òèïà (34)–(36) ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðî÷íîñòè ÿâëÿþòñÿ ôèçè÷åñêè äîïóñòè-
ìûìè. Ïîýòîìó âûâîä, ñäåëàííûé äëÿ ñëó÷àÿ îòñóòñòâèÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé,
ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ.
 ðàçä. 1 è 2 ïðîàíàëèçèðîâàíû âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ
êîìïîçèòà. Ñôîðìóëèðóåì îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò.
Íåðàâåíñòâà (33) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
óñòîé÷èâîñòè, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
(3) èëè (1), ÷òîáû ïðåäåëüíàÿ øåñòèìåðíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ïðî÷íîñòè îðòîòðîï-
íîãî ìàòåðèàëà èìåëà ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ïðè÷åì åñëè â (33) ïåðâîå íåñòðîãîå
íåðàâåíñòâî çàìåíèòü ñòðîãèì, ïîëó÷èì íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ÷òîáû
ïîâåðõíîñòü �� 1 áûëà øåñòèìåðíûì ýëëèïñîèäîì. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè (33) âûïîë-
íÿåòñÿ ðàâåíñòâî, áóäåì èìåòü øåñòèìåðíûå ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû ëèáî öè-
ëèíäðû, â çàâèñèìîñòè îò êîýôôèöèåíòîâ Bi èëè bi ïðè ëèíåéíûõ ÷ëåíàõ â (3) èëè
(1) ñîîòâåòñòâåííî. Òðåáîâàíèÿ (33) íå çàâèñÿò îò Bi (à, çíà÷èò, è îò bi ), ïîýòîìó â
ñëó÷àå èõ óäîâëåòâîðåíèÿ ïîëó÷èì ôèçè÷åñêè äîïóñòèìûå ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðî÷-
íîñòè äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ ïðè ëèíåéíûõ ÷ëåíàõ â (3) èëè (1).
 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ (33) ñóùåñòâåííî ñèëüíåå òðàäèöèîííî
èñïîëüçóåìûõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè (7) ëèáî, â óñèëåííîé ôîðìå, (11).
Íàïðèìåð, ñëó÷àé
A A Axy yz zx� � �� 2 3 (37)
óäîâëåòâîðÿåò êàê (7), òàê è (11), íî òðåáîâàíèÿ (33) ïðè ýòîì íå âûïîëíÿþòñÿ.
Ðàññìàòðèâàÿ ñèòóàöèþ (5) è àíàëèçèðóÿ çíàêè ïåðâûõ òðåõ èíâàðèàíòîâ èç (8),
ëåãêî ïîêàçàòü [9, 10], ÷òî ðàâåíñòâà (37) ïðèâåäóò ê ôèçè÷åñêè àáñóðäíûì ïîâåðõ-
íîñòÿì ïðî÷íîñòè: ãèïåðáîëîèäàì ëèáî êîíóñàì, êîòîðûå äîïóñêàþò ñóùåñòâîâàíèå
íåîãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà (ïó÷êà) ïðÿìûõ ñ áåñêîíå÷íîé ïðî÷íîñòüþ â òðåõìåð-
íîì ïðîñòðàíñòâå íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé. Ýòî îòíîñèòñÿ è ê øåñòèìåðíîé ïðå-
äåëüíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè, ïîñêîëüêó (5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé (ïîä-
ìíîæåñòâî íóëåâîé ìåðû) øåñòèìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà (ìíîæåñòâà) íîðìàëüíûõ è
êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå òàêæå íåñëîæíî äîêàçàòü ñïîñî-
áîì, àíàëîãè÷íûì èñïîëüçóåìîìó â ðàçä. 2.
Ð å ç þ ì å
Äëÿ çàãàëüíîãî âèïàäêó íàïðóæåíîãî ñòàíó ñòðîãî îòðèìàíî íåîáõ³äí³ òà äîñòàòí³
óìîâè ñò³éêîñò³. Öèì óìîâàì ïîâèíí³ çàäîâîëüíÿòè íåâèçíà÷åí³ êîåô³ö³ºíòè êâàä-
ðàòè÷íèõ êðèòåð³¿â ì³öíîñò³ îðòîòðîïíèõ ìàòåð³àë³â, ùîá ãðàíè÷íà ã³ïåðïîâåðõíÿ
ì³öíîñò³ äðóãîãî ïîðÿäêó â øåñòèâèì³ðíîìó ïðîñòîð³ íàïðóæåíü ìàëà ô³çè÷íèé ñåíñ.
1. Tsai S. W. and Wu E. M. A general theory of strength for anisotropic materials // J.
Compos. Mater. – 1971. – 5. – P. 58 – 80.
2. Âó Ý. Ì. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå êðèòåðèè ðàçðóøåíèÿ àíèçîòðîïíûõ ñðåä //
Êîìïîçèöèîííûå ìàòåðèàëû. Â 8 ò. / Ïîä ðåä. Ë. Áðàóòìàíà, Ð. Êðîêà: Ïåð. ñ
àíãë. – Ò. 2. Ìåõàíèêà êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ / Ïîä. ðåä. Äæ. Ñåíäåöêè. –
Ì.: Ìèð, 1978. – Ñ. 401 – 491.
3. Onkar A. K., Upadhyay C. S., and Yadav D. Probabilistic failure of laminated
composite plates using the stochastic finite element method // Compos. Struct. – 2007.
– 77. – P. 79 – 91.
4. Zhao G. P. and Cho C. D. Damage initiation and propagation in composite shells
subjected to impact // Ibid. – 78. – P. 91 – 100.
78 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1
Â. À. Ðîìàùåíêî
5. Yu Mao-hong. Advances in strength theories for materials under complex stress state
in the 20th century // Appl. Mech. Rev. – 2002. – 55. – P. 169 – 218.
6. Kollar L. P. and Springer G. S. Mechanics of Composite Structures. – Cambridge:
Cambridge University Press, 2003. – 480 p.
7. Ðîìàùåíêî Â. À. Îöåíêà ïðî÷íîñòè êîìïîçèòíûõ è ìåòàëëîêîìïîçèòíûõ öè-
ëèíäðîâ ïðè èìïóëüñíîì íàãðóæåíèè. Ñîîáù. 1. Ïðàâèëà âûáîðà è ñðàâíè-
òåëüíûé àíàëèç ðàçëè÷íûõ êðèòåðèåâ ïðî÷íîñòè àíèçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà //
Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2012. – ¹ 4. – Ñ. 42 – 57.
8. Ëåïèõèí Ï. Ï., Ðîìàùåíêî Â. À. Ìåòîäû è ðåçóëüòàòû àíàëèçà íàïðÿæåííî-
äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ è ïðî÷íîñòè ìíîãîñëîéíûõ òîëñòîñòåííûõ àíèçî-
òðîïíûõ öèëèíäðîâ ïðè äèíàìè÷åñêîì íàãðóæåíèè (îáçîð). Ñîîáù. 3. Ôåíîìå-
íîëîãè÷åñêèå êðèòåðèè ïðî÷íîñòè // Òàì æå. – 2013. – ¹ 3. – Ñ. 24 – 41.
9. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæå-
íåðîâ. – Ì.: Íàóêà, 1984. – 832 ñ.
10. Àêèâèñ Ì. À., Ãîëüäáåðã Â. Â. Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå. – Ì.: Íàóêà, 1969. – 352 ñ.
Ïîñòóïèëà 18. 02. 2013
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2014, ¹ 1 79
Î øåñòèìåðíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ ïðî÷íîñòè ...
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f007500720020006400650073002000e90070007200650075007600650073002000650074002000640065007300200069006d007000720065007300730069006f006e00730020006400650020006800610075007400650020007100750061006c0069007400e90020007300750072002000640065007300200069006d007000720069006d0061006e0074006500730020006400650020006200750072006500610075002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200066006f00720020007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c00690074006500740020007000e500200062006f007200640073006b0072006900760065007200200065006c006c00650072002000700072006f006f006600650072002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020007000610072006100200069006d0070007200650073007300f5006500730020006400650020007100750061006c0069006400610064006500200065006d00200069006d00700072006500730073006f0072006100730020006400650073006b0074006f00700020006500200064006900730070006f00730069007400690076006f0073002000640065002000700072006f00760061002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|