Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
Построено аналитическое решение в квадратурах одного класса динамических центрально симметричных краевых задач теории упругости для многослойных транстропных сфер, скорость звука в которых в радиальном направлении стремится к бесконечности. Исследованы сходимость и точность полученных решений. Пок...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112753 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы / В.А. Ромащенко, С.А. Тарасовская // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 93-107. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112753 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А. 2017-01-27T09:16:33Z 2017-01-27T09:16:33Z 2011 Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы / В.А. Ромащенко, С.А. Тарасовская // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 93-107. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112753 539.3 Построено аналитическое решение в квадратурах одного класса динамических центрально симметричных краевых задач теории упругости для многослойных транстропных сфер, скорость звука в которых в радиальном направлении стремится к бесконечности. Исследованы сходимость и точность полученных решений. Показано, что полученные аналитические решения можно использовать как первое приближение для случаев, когда скорость звука в материалах конечна. Побудовано аналітичний розв’язок у квадратурах одного класу динамічних центрально симетричних крайових задач теорії пружності для багатошарових транстропних сфер, в яких швидкість звуку в радіальному напрямку прямує до нескінченності. Досліджено збіжність і точність отриманих розв’язків. Показано, що отримані аналітичні розв’язки можна використовувати як перше наближення для випадків, коли швидкість звуку в матеріалах скінченна. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы |
| spellingShingle |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А. Научно-технический раздел |
| title_short |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы |
| title_full |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы |
| title_fullStr |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы |
| title_full_unstemmed |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы |
| title_sort |
динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы |
| author |
Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А. |
| author_facet |
Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| description |
Построено аналитическое решение в квадратурах одного класса динамических центрально
симметричных краевых задач теории упругости для многослойных транстропных сфер,
скорость звука в которых в радиальном направлении стремится к бесконечности. Исследованы сходимость и точность полученных решений. Показано, что полученные аналитические решения можно использовать как первое приближение для случаев, когда скорость
звука в материалах конечна.
Побудовано аналітичний розв’язок у квадратурах одного класу динамічних
центрально симетричних крайових задач теорії пружності для багатошарових
транстропних сфер, в яких швидкість звуку в радіальному напрямку прямує
до нескінченності. Досліджено збіжність і точність отриманих розв’язків.
Показано, що отримані аналітичні розв’язки можна використовувати як перше
наближення для випадків, коли швидкість звуку в матеріалах скінченна.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112753 |
| citation_txt |
Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы / В.А. Ромащенко, С.А. Тарасовская // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 93-107. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT romaŝenkova dinamičeskaâzadačateoriiuprugostidlâtranstropnoimnogosloinoisfery AT tarasovskaâsa dinamičeskaâzadačateoriiuprugostidlâtranstropnoimnogosloinoisfery |
| first_indexed |
2025-11-26T21:18:23Z |
| last_indexed |
2025-11-26T21:18:23Z |
| _version_ |
1850773082478739456 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ òðàíñòðîïíîé ìíîãî-
ñëîéíîé ñôåðû
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Ïîñòðîåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå â êâàäðàòóðàõ îäíîãî êëàññà äèíàìè÷åñêèõ öåíòðàëüíî
ñèììåòðè÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ òðàíñòðîïíûõ ñôåð,
ñêîðîñòü çâóêà â êîòîðûõ â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Èññëå-
äîâàíû ñõîäèìîñòü è òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííûå àíàëè-
òè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïåðâîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà ñêîðîñòü
çâóêà â ìàòåðèàëàõ êîíå÷íà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîñëîéíàÿ òðàíñòðîïíàÿ ñôåðà, äèíàìèêà, öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, íàïðÿæåííî-
äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå.
Ââåäåíèå. Ìíîãîñëîéíûå ñôåðè÷åñêèå òîíêî- è òîëñòîñòåííûå îáîëî÷êè
øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ ñîâðåìåííîé òåõíèêè.  êà÷åñòâå
ìàòåðèàëîâ ñëîåâ çà÷àñòóþ èñïîëüçóþòñÿ óïðóãèå àðìèðîâàííûå êîìïîçèò-
íûå ìàòåðèàëû (ÊÌ). Ïðèìåíèòåëüíî ê ñôåðè÷åñêèì ñîñóäàì ýòî ïðèâîäèò ê
òîìó, ÷òî âñå ëèáî ÷àñòü ñëîåâ òàêîé îáîëî÷êè ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê
ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíûå òåëà [1] ñ õàðàêòåðèñòèêàìè óïðóãîñòè Å è � â
ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè r , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè âðàùåíèÿ, è
Å0 è � 0 â îðòîãîíàëüíîé ïëîñêîñòè (òî÷íåå – ñôåðå) èçîòðîïèè. Äëÿ
èçîòðîïíûõ ñëîåâ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Å Å� 0 è � �� 0 .
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ êîíñòðóêòèâíûå ýëåìåíòû â âèäå çàìêíóòûõ ìíîãî-
ñëîéíûõ ñôåð ìîãóò èñïûòûâàòü èìïóëüñíîå öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîå íà-
ãðóæåíèå äàâëåíèåì âíóòðè è (èëè) ñíàðóæè îáîëî÷êè, íàïðèìåð, ïðè âçðûâå
âíóòðè åå çàðÿäà âçðûâ÷àòîãî âåùåñòâà (ÂÂ). Ýêñïåðèìåíòàëüíî äèíàìè-
÷åñêîå ïîâåäåíèå òàêèõ îáîëî÷åê èçó÷àëîñü â [2]. Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ
âûçûâàåò àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò íåñòàöèîíàðíîãî öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîãî
íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ (ÍÄÑ) ïîäîáíûõ êîíñòðóêòèâíûõ
ýëåìåíòîâ, íà áàçå êîòîðîãî ìîæíî áûëî áû ãîâîðèòü î ïðî÷íîñòè îáîëî÷êè
ïðè çàäàííîé âçðûâíîé íàãðóçêå. Îñîáóþ âàæíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ïîëó÷åíèå
ýòèõ ðåøåíèé íà îñíîâå óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè, ïîñêîëüêó èç-çà òàêèõ
ôàêòîðîâ, êàê òîëñòîñòåííîñòü îáîëî÷êè, êðàòêîâðåìåííîñòü íàãðóçêè, êðóòûå
ôðîíòû óäàðíûõ âîëí, îñíîâàííûå íà âñåâîçìîæíûõ îáîëî÷å÷íûõ òåîðèÿõ
ðåçóëüòàòû çà÷àñòóþ âûçûâàþò ñîìíåíèå. Äàæå äëÿ èçîòðîïíûõ ñëîåâ òî÷íûå
àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ âåñüìà ãðîìîçäêè è èçâåñòíû òîëüêî
â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, â ÷àñòíîñòè äëÿ îäíîñëîéíûõ ñôåð èëè ñôåðè-
÷åñêèõ ïîëîñòåé [3, 4]. Öåëü äàííîé ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçðàáîòêå ìåòî-
äîâ ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè
óïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíûõ ñôåð.
© Â. À. ÐÎÌÀÙÅÍÊÎ, Ñ. À. ÒÀÐÀÑÎÂÑÊÀß, 2011
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 93
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. Èñïîëüçóåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñ-
òåìó êîîðäèíàò r , �, ãäå r – ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòà; � – îðòîãîíàëüíàÿ ê r
äóãîâàÿ êîîðäèíàòà. Èç-çà öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè çàäà÷è òðåòüåé êîîðäèíà-
òû íå òðåáóåòñÿ – âñå íàïðàâëåíèÿ âäîëü � áóäóò òîæäåñòâåííî ýêâèâàëåíòíû.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïðèìóò âèä [3, 4]
��
�
� �
�
�
�
�r r
ir r
u
t
�
2 2
2
( )
, (1)
ãäå t – âðåìÿ; i – íîìåð ñëîÿ (ñëîè áóäåì íóìåðîâàòü îò âíóòðåííåãî ê
íàðóæíîìó); � i – ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîÿ; u – ðàäèàëü-
íîå ïåðåìåùåíèå; � r , � � – ðàäèàëüíîå è îêðóæíîå íàïðÿæåíèÿ ñîîòâåòñò-
âåííî.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ Êîøè çàïèøåì òàê:
�
�
�r
u
r
; ��
u
r
, (2)
ãäå � r , �� – ðàäèàëüíàÿ è îêðóæíàÿ äåôîðìàöèè ñîîòâåòñòâåííî.
Çàêîí Ãóêà äëÿ ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíîãî ñëîÿ ñ ó÷åòîì (2) è öåíòðàëü-
íîé ñèììåòðèè ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä [1]:
E
u
r r
�
�
� �� �
2 ; E
u
r r
� � ��� ( ~) ,1 (3)
ãäå ~� – ïðèâåäåííûé êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà,
~ ( ) ,� �
�
Å
Å0
0 1 1 (4)
äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà èìååì ~ .� � �� �0 Èíäåêñ i, õàðàêòåðèçóþùèé
íîìåð ñëîÿ, â (3) è (4) äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè îïóùåí.
Êîíòàêò ìåæäó ñëîÿìè â ñëó÷àå ìíîãîñëîéíîé îáîëî÷êè ñ÷èòàåòñÿ èäå-
àëüíûì:
� �r r
�
; u u �
ïðè r Ri i
�, ,1 (5)
ãäå Ri i, �1 – ðàäèóñ êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè i-ãî ñëîÿ ñ (i�1)-ì; èíäåêñû
“ìèíóñ” è “ïëþñ” îòíîñÿòñÿ ê êîíòàêòèðóþùèì ñëîÿì ñíèçó è ñâåðõó ñîîò-
âåòñòâåííî.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä
� r jr R j
P t| ( ),
j
1 2, , (6)
ãäå R1 , R2 – âíóòðåííèé è íàðóæíûé ðàäèóñû îáîëî÷êè; P t1( ), P t2 ( ) –
âíóòðåííåå è íàðóæíîå èìïóëüñíîå äàâëåíèå íà îáîëî÷êó.
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
94 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîëàãàëèñü íóëåâûìè:
u
u
t
�
�
0 ïðè t
0. (7)
Ñïîñîá ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1)–(7) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âåëè-
÷èíû ãëàâíîãî îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû (3):
D
�1 2 02~ .� � (8)
Äëÿ áîëüøåé ÷àñòè ìàòåðèàëîâ èìååì D
0, òåì íå ìåíåå åñòü îïðå-
äåëåííûé êëàññ ìàòåðèàëîâ, íàïðèìåð íåñæèìàåìûå, äëÿ êîòîðûõ D
0.
Åñëè äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñëîåâ âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãîå ðàâåíñòâî
Di
0, çàäà÷ó óäîáíî ðåøàòü â ïåðåìåùåíèÿõ. Ðåøàÿ ñèñòåìó (3) îòíîñèòåëü-
íî íàïðÿæåíèé è ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ðåøåíèÿ â (1), ïîëó÷àåì âîëíîâîå
óðàâíåíèå:
1 2
2
2
2
2
2
2 2c
u
t
u
r r
u
r
u
ri
i
�
�
�
�
�
�
�
� , (9)
ãäå
�
�
�i
i
i
1
1 ~ ; c
E
i
i i
i i i
( ~ )
( ~ )
.
1
1 2 2
�
� � �
(10)
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6) çàïèøåì òàê:
E
D
u
r
u
r
P t r R
E
D
N
N
N
1
1
1 1 1 11 2
1
( ~ ) ( ), ;
( ~
�
�
��
�
��
�
�
�
�
� ) ( ), ,
�
�
�
u
r
u
r
P t r RN�
�
��
�
��
2 2 2
(11)
ãäå N – íîìåð ïîñëåäíåãî (âåðõíåãî) ñëîÿ.
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (7) îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèé, à êîíòàêòíûå (5) ïðè-
íèìàþò âèä
E D
u
r
u
r
E D
u
ri i i i i i i� � � �
�
��
�
��
�1 1 11 2 1( ~ ) ( ~ )�
�
�
� �
�
�
2 1� i
u
r�
�
��
�
��. (12)
Àíàëèòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (7), (9)–(12) äîñòàòî÷íî çàòðóä-
íèòåëüíî, õîòÿ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ è âîçìîæíî. Åñëè äëÿ âñåõ ñëîåâ âûïîë-
íÿåòñÿ óñëîâèå
� i
1, ò.å. � �i i
~ , (13)
òî ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå â âèäå äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ ëèíåéíûõ
ñóïåðïîçèöèé ñôåðè÷åñêèõ áåãóùèõ è îòðàæåííûõ âîëí (òèïà Äàëàìáåðà) [3,
4]. Ïîëó÷èòü òàêèå ðåøåíèÿ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ âðåìåí, îñîáåííî â
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 95
ñëó÷àå ìíîãîñëîéíîé îáîëî÷êè, êðàéíå ñëîæíî, õîòÿ è ïðèíöèïèàëüíî âîç-
ìîæíî. Çàìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèþ (13) ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü íå òîëüêî èçî-
òðîïíûå, íî è îïðåäåëåííûé êëàññ ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíûõ ìàòåðèàëîâ,
ò.å. â ñëó÷àå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ïîâåäåíèå íåêîòîðûõ ñôåðè÷åñêèõ
òðàíñòðîïíûõ îáîëî÷åê áóäåò òàêèì æå, êàê è èçîòðîïíûõ.
Åñëè óñëîâèå (13) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ðåøåíèÿ â âèäå ñóïåðïîçèöèé
áåãóùèõ è îòðàæåííûõ âîëí, ñêîðåå âñåãî, íå ñóùåñòâóåò, è àíàëèòè÷åñêîå
ðàññìîòðåíèå çàäà÷è óñëîæíÿåòñÿ åùå íà ïîðÿäîê.
Ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî òî÷íûõ ðåøåíèé çàäà÷è (9)–(12) è íà
äîñòàòî÷íî äëèòåëüíûõ âðåìåíàõ â ñëó÷àå Di
0 öåëåñîîáðàçíî ðåêîìåíäî-
âàòü ÷èñëåííûå ìåòîäû êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé (ÌÊÐ). Êàê ïîêàçàëè ðàñ÷åòû,
õîðîøî ñåáÿ çàðåêîìåíäîâàëà ÿâíàÿ ñõåìà ÌÊÐ òèïà “êðåñò” âòîðîãî ïîðÿäêà
òî÷íîñòè [5].
Åñëè äëÿ âñåõ ñëîåâ îáîëî÷êè âûïîëíÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ Di
0, òî êðàå-
âàÿ çàäà÷à (1)–(7) òî÷íî èíòåãðèðóåòñÿ àíàëèòè÷åñêè â êâàäðàòóðàõ, à äëÿ
íåêîòîðûõ òèïîâ íàãðóæåíèÿ – â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Ïîêàæåì, ÷òî ýòè ðåøåíèÿ òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïåðâîå ïðè-
áëèæåíèå äëÿ îöåíêè äèíàìè÷åñêîãî ÍÄÑ ìíîãîñëîéíûõ ñôåð, äëÿ êîòîðûõ
Di
0.
Ðåøåíèå çàäà÷è ïðè Di
0. Ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (3) ðàâåí
íóëþ è âûðàçèòü îäíîçíà÷íî èç íåå íàïðÿæåíèÿ ÷åðåç äåôîðìàöèè íåâîç-
ìîæíî. Ïîäðîáíî îïèøåì ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ
îäíî- è äâóõñëîéíîé ñôåðû. Ðåøåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñëîåâ áîëüøå äâóõ,
ìîæíî ïîëó÷èòü ïî àíàëîãèè, ñëåäóÿ ìåòîäèêå, èçëîæåííîé äëÿ äâóõñëîéíîé
îáîëî÷êè.
Îäíîñëîéíàÿ ñôåðà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D
0, èìååì
1 2 2
~ .� � (14)
Ïîäñòàâèâ (14) â (3), ïîëó÷èì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå îòíîñèòåëüíî ïðîãèáà:
�
�
�
u
r
u
r
�
0, (15)
ðåøàÿ êîòîðîå íàõîäèì
u y t r M
( ) ; M
1 � , (16)
ãäå y t( ) – ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, ïîäëåæàùàÿ äàëüíåéøåé êîíêðåòè-
çàöèè.
Ïîäñòàâëÿÿ (16) â ëþáîå èç äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (3), ïîëó÷àåì
2 2
2
1
( ) ( ) ( ).� � ��r r M
M
EM
r
y t
� (17)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
�
�
�
�2
2
u
t r
y t
M
��( ), (18)
96 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
è, ïîäñòàâëÿÿ (17) è (18) â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1), èìååì
�
�
� �
r
r r y EM r yM
r
M M( ) .2 2 2 2 2
��� (19)
Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:
�( , , )
( ), ;
, .
a b c
dx
x
c
b a c
b
a
c
c
a
b c c
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1 1
ln�
(20)
Èíòåãðèðóÿ (19) ïî r îò âíóòðåííåãî ðàäèóñà îáîëî÷êè R1 äî íàðóæ-
íîãî R2 è ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6), ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôå-
ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y t( ):
���
y y F t�2 ( ), (21)
ãäå
F t
R P t R P t
R R M
M M
( )
( ) ( )
( ; ; )
;
1
2
1 2
2
2
1 2 2 2��
�
�
EM R R M
R R M
2
1 2
1 2
2
2 2
�
�
( ; ; )
( ; ; )
.
(22)
Èíòåãðèðóÿ (21) ñ ó÷åòîì íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (y y( ) ( )0 0 0
�
),
êîòîðûå ñëåäóþò èç (7), ïîëó÷àåì [6] èñêîìóþ ôóíêöèþ y t( ):
y t F t d
t
( ) ( )sin ( ) .
�� � � � �1
0
(23)
Îïðåäåëèâ y t( ) è ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå (19) îò
R1 äî òåêóùåãî ðàäèóñà r , íàõîäèì
� �r
Mr EM y t R r M F t R r M
� 2 2
1 12 2 2[ ( ) ( ; ; ) ( ) ( ; ; )� �
R P t y t R r MM
1
2
1
2
1 2 2( ) ( ) ( ; ; )].�� � (24)
Çàòåì èç çàêîíà Ãóêà îïðåäåëÿåòñÿ
� ��
� �
M EM y t
r
r M2 2
2
1
( )
. (25)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 97
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
 ÷àñòíîñòè, íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè (r R
1) èìååì
� �
� �
M
P t
EM y t
R M2 21
2
1
1
( )
( )
, (26)
àíàëîãè÷íî íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè (r R
2) –
� �
� �
M
P t
EM y t
R M2 22
2
2
1
( )
( )
. (27)
Äâóõñëîéíàÿ ñôåðà. D D1 2 0
.
Âî âíóòðåííåé ñôåðå çàïèøåì
u
y t
r
M
1
1
( )
, (28)
â íàðóæíîé –
u
y t
r
M
2
2
( )
. (29)
Îáîçíà÷èâ y t y t1( ) ( ),
èç êîíòàêòíîãî óñëîâèÿ (5) ïîëó÷èì
y t y t1( ) ( );
y t R y tk
M M
2
2 1( ) ( ),
(30)
ãäå Rk – ðàäèóñ êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, íåñìîòðÿ íà äâóõñëîéíîñòü îáîëî÷êè, â ñèëó (30) çàäà÷à
ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ òîëüêî îäíîé îïðåäåëÿþùåé ôóíêöèè.
Èç (3), (28) è (29), êàê è â ñëó÷àå îäíîñëîéíîé ñôåðû, ïîëó÷èì äâà
óðàâíåíèÿ òèïà (17) äëÿ âíóòðåííåãî è íàðóæíîãî ñëîÿ. Ïîäñòàâëÿÿ èõ â
ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ òèïà (19).
Èíòåãðèðóÿ ïåðâîå îò R1 äî Rk , âòîðîå îò Rk äî R2 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå
óðàâíåíèÿ:
R P t R t
y R R M E M
M
k
M
k
k
1
2
1
2
1 1 1 1 1
2
1 1
2 2
�
�� �
( ) ( )
( ; ; )
�
� � y R R M
R t R P t
y R
k
k
M
k
M
k
M
�( ; ; );
( ) ( )
1 1
2
2
2
2
2
2
2 2
2
��
�
�
M
k k
M M
kR R M E M R y R R M1 2 1
2 2 2 2
2
2 22 2 2� �( ; ; ) ( ; ; ), �
(31)
ãäå � k t( ) – ðàäèàëüíîå íàïðÿæåíèå íà ãðàíèöå êîíòàêòà r Rk
.
Èñêëþ÷àÿ èç ñèñòåìû (31) íåèçâåñòíóþ � k t( ), ïðèâîäèì ñèñòåìó ê
óðàâíåíèþ (21), ãäå â êà÷åñòâå � è F t( ) áóäóò èñïîëüçîâàíû äðóãèå âåëè-
÷èíû, à èìåííî:
98 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
F t R R P t R P t
E M R
M
k
M M M
k
M
( ) [ ( ) ( )] ;
[
1
2
1 2
2
2
1 1
2
1 1 2 2 �
� 1 2
2 1
1 1
2 2
2
2 2
1 2
2
2
�
�
M
k
k
M M
k
R R M
E M R R R M
�
� �
�
( ; ; )
( ; ; )] ;/
� �1 1 1 2 2 2
1 2 2 12 2 2 2R R R M R R R Mk
M M
k k
M M
k
� � �( ; ; ) ( ; ; ).
(32)
Çíàÿ y t( ), íàõîäèì � r . Âî âíóòðåííåì ñëîå ( )R r Rk1 ýòà ïðîöåäóðà
òàêàÿ æå, êàê è â ñëó÷àå îäíîñëîéíîé îáîëî÷êè.  íàðóæíîì ñëîå
( )R r Rk 2 ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî r ñíà÷àëà îò R1 äî Rk è ïîëó÷èòü
� k t( ), à çàòåì, çíàÿ � k t( ), – ïî r îò Rk äî r. Îäíàêî â ñëó÷àå äâóõñëîéíîé
îáîëî÷êè óäîáíåå ñðàçó èíòåãðèðîâàòü ïî r îò R2 äî r , íå âû÷èñëÿÿ � k t( ), ñ
ó÷åòîì (30). Òîãäà â íàðóæíîì ñëîå èìååì
� �r
M
k
M M
r E M R y t R r M F t R r
�
2 2 12
2 2
2
2 2 2 22[ ( ) ( ; ; ) ( ) ( ; ;� � 2 22M )
R P t R y t R r M
M
k
M M
2
2
2 2
2
2 2
2 2 1 2 2( ) ( ) ( ; ; )].� � � (33)
Ðàñïîëàãàÿ � r , çíà÷åíèå � � âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà, êàê è â
ñëó÷àå îäíîñëîéíîé ñôåðû:
� ��
� �
M E M y t
r
r M
1 1 1
2
12 2 1
( )
, R r Rk1 ;
� ��
�
�
M E M
R
y t
r
r k
M M
M
2 2 2
2
12 2
2 1
2
( )
, R r Rk 2 .
(34)
Åñëè ÷èñëî N ñëîåâ îáîëî÷êè áîëüøå äâóõ, òî âìåñòî (30) áóäåì èìåòü
N ñîîòíîøåíèé:
y t y t
y t R y t
y t R R
k
M M
k
M M
k
M
1
2
3
1
2 1
2
3 2
1
2
( ) ( );
( ) ( );
( )
M
N k
y t
y t R
N
1
1
( );
................................
( )
M M
k
M MN N R y t
! !
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� 1
1
2 1... ( ).
(35)
Âìåñòî ñèñòåìû (31) ïîëó÷èì ñèñòåìó N óðàâíåíèé ïîäîáíîãî òèïà.
Èñêëþ÷àÿ íåèçâåñòíûå � k t
1
( ), � k t
2
( ), ..., � kN
t
1
( ), ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê óðàâ-
íåíèþ òèïà (21), ãäå âûðàæåíèÿ äëÿ � è F t( ) áóäóò äðóãèìè: ÷åì áîëüøå N ,
òåì îíè áîëåå ãðîìîçäêè. Îïðåäåëèâ y t( ), äëÿ âû÷èñëåíèÿ � r t( ) âî âñåõ
ñëîÿõ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðîìåæóòî÷íûå ïðîöåäóðû âû÷èñëåíèÿ êîíòàêò-
íûõ ðàäèàëüíûõ íàïðÿæåíèé êàê ìèíèìóì N 2 ðàçà. Âåëè÷èíà � � îïðå-
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 99
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
äåëÿåòñÿ ïî èçâåñòíûì � r äîñòàòî÷íî ïðîñòî èç çàêîíà Ãóêà, êàê â âûøå-
îïèñàííûõ äâóõ ñëó÷àÿõ.
Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëüíûå çàäà÷è òîëüêî äëÿ îäíî- è äâóõ-
ñëîéíûõ ñôåð, âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû äåòàëüíî âîñïðîèçâîäèòü íå áóäåì.
Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè è ñõîäèìîñòè àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà. Ìîæíî
áûëî áû èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü âîëíîâûõ ðåøåíèé ïðè Di "�0 ê òî÷íûì,
ïîëó÷åííûì âûøå äëÿ Di
0, àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì. Íàïðèìåð, ïîäîáíî
òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â [7] äëÿ íåñæèìàåìûõ öèëèíäðîâ â óñëîâèÿõ
ïëîñêîé äåôîðìàöèè.
Îäíàêî òàêîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèì è íåäîñòàòî÷íî
íàãëÿäíûì.  äàííîé ðàáîòå çàäà÷è ðåøàþòñÿ è àíàëèòè÷åñêè (Di
0) è
÷èñëåííî ñ ïîìîùüþ ÌÊÐ (Di
0), ïîýòîìó áîëåå öåëåñîîáðàçíûì ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ îáîëî÷åê, ó êîòîðûõ Di
äîñòàòî÷íî ìàëû, íî òåì íå ìåíåå ïîëîæèòåëüíû, ñ àíàëèòè÷åñêèìè ðåçóëü-
òàòàìè äëÿ òåõ æå îáîëî÷åê, ó êîòîðûõ Di òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ.
Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì âíóòðåííåãî èìïóëüñíîãî íàãðóæåíèÿ:
P t2 0( ) ;� P t P e H t
t t
1 0
0( ) ( ),
/
(36)
ãäå H t( ) – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (21) ïðè íàãðóçêå (36) èìååò âèä
y
A
t
e t
t
t
t t
�
�
#
$
%%
&
'
((
�
�
�
�2
0
2
0
0/
cos
sin
, (37)
ïðè÷åì äëÿ îäíîñëîéíîé îáîëî÷êè:
A
P R
R R M
M
0 1
2
1 2 2 2��( ; ; )
, (38)
äëÿ äâóõñëîéíîé ñôåðû:
A
P R R
M
k
M M
0 1
2 1 1 2
�
. (39)
Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ îäíî- è äâóõñëîéíûõ îáîëî÷åê (22) è (32) âåëè÷èíà
� òàêæå áóäåò ðàçíàÿ. Óñòðåìëÿÿ t0 "), ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (37)–(39)
ïîëó÷èì ðåøåíèÿ â ñëó÷àå íàãðóæåíèÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé Õåâèñàéäà ïî
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè (äëÿ çàìêíóòîé ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êè ñëó÷àé äîñòà-
òî÷íî íåáåçûíòåðåñíûé, òàê êàê èç-çà çàìêíóòîñòè îáúåìà ñïàä ýêñïîíåíòû
èìïóëüñà äàâëåíèÿ â (36) ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ïîëîãèì).
Ïðè òåñòîâûõ è äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòàõ ïîëàãàëè t0
510
c è t0
)
(íàãðóæåíèå ôóíêöèåé Õåâèñàéäà). Èññëåäîâàëè äâóõñëîéíóþ îáîëî÷êó, âíóò-
ðåííèé ðàäèóñ R1 êîòîðîé ñîñòàâëÿåò 0,5 ì, íàðóæíûé R2 – 0,6 ì. Òîëùèíà
ñëîåâ áûëà îäèíàêîâîé, ïîýòîìó ðàäèóñ êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè Rê
�0 55 21 2, ( ) .ì R R
100 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
 êà÷åñòâå ìàòåðèàëà ñëîåâ ðàññìàòðèâàëè âîëîêíèñòûå ñòåêëîïëàñòèêè
ñ òàêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè [8]:
Ìàòåðèàë ¹ 1: �
2000 êã/ì 3; Å
!5 7 104, ÌÏà; Å0
41 4 10
!, ÌÏà;
� 0 0 4
, ; �
0 28, . Òàêîé ìàòåðèàë èìååò äîñòàòî÷íî áîëüøîå D , ðàâíîå
îêîëî 2,3. ×òîáû îíî áûëî ïðåíåáðåæèìî ìàëûì (äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäè-
ìîñòè àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà), âñå âûøåïåðå÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè, êðîìå
� , íå èçìåíÿëè, à � ïîëàãàëè â âîëíîâûõ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ ÌÊÐ ðàâíûì
1,1. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà D óìåíüøàëàñü â 100 ðàç.  àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ
ïðèíèìàëè �
11052, , ïðè ýòîì D ñâîäèëîñü ê òîæäåñòâåííîìó íóëþ.
Ìàòåðèàë ¹ 2: �
1500 êã/ì 3; Å
!7 103 ÌÏà; Å0
42 10
! ÌÏà; � 0
0 15, ; �
0,14. Äëÿ ýòîãî ìàòåðèàëà âåëè÷èíà D òàêæå äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ
(*0 26, ). Ïîëàãàÿ â ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ �
0 38, , óìåíüøàëè D â 30 ðàç. Â
àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ (D
0) ñëåäîâàëî ïðèíèìàòü �
0 3857, .
Ñ÷èòàëè, ÷òî âíóòðåííèé ñëîé âûïîëíåí èç ìàòåðèàëà ¹ 1, íàðóæíûé –
èç ìàòåðèàëà ¹ 2. Õàðàêòåðíî òî, ÷òî ìàòåðèàë ¹ 1 çíà÷èòåëüíî æåñò÷å
(àðìèðîâàííûé) â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè, â òî âðåìÿ êàê ìàòåðèàë ¹ 2 – â
îêðóæíîì (ñôåðå èçîòðîïèè).
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ (âîëíîâûõ) è àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, ïðåäñòàâ-
ëåííûå íà ðèñ. 1, èëëþñòðèðóþò èçìåíåíèå áåçðàçìåðíûõ îêðóæíûõ íàïðÿ-
æåíèé � � Ð0 âî âðåìåíè íà âíóòðåííåé (êðèâûå 1, 2) è íàðóæíîé (êðèâûå
3, 4) ïîâåðõíîñòÿõ äâóõñëîéíîé ñôåðû. Âèäíî, ÷òî êðèâûå äëÿ ýêñïîíåí-
öèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ è íàãðóæåíèÿ ôóíêöèåé Õåâèñàéäà ðàñïîëîæåíû äîñòà-
òî÷íî áëèçêî äðóã ê äðóãó, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñõîäèìîñòè âîëíîâûõ
ðåøåíèé ïðè Di "0 ê àíàëèòè÷åñêèì ïðè Di
0. Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì
íàãðóæåíèè ðàññîãëàñîâàíèå ìåæäó êðèâûìè ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, â òî
âðåìÿ êàê ïðè íàãðóæåíèè ôóíêöèåé Õåâèñàéäà (t0
)) ðàññîãëàñîâàíèå íå
ïðåâûøàåò 2,5%. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ìîùíîñòü (ýíåðãèÿ) õåâè-
ñàéäîâñêîãî íàãðóæåíèÿ âíóòðè çàìêíóòîãî îáúåìà íàìíîãî âûøå ìîùíîñòè
ýêñïîíåíöèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ. Îáîëî÷êà ïîëó÷àåò ãîðàçäî áîëüøå ýíåðãèè
îò íàãðóçêè, ïîýòîìó è ðàñõîæäåíèå êðèâûõ âèçóàëüíî áîëåå çàìåòíî. Ïðè-
âåäåííûå íà ðèñ. 1 ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäàþò òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ âûøå
àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ ìàòåðèàëîâ, ó êîòîðûõ D
0.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåííóþ âûøå àíàëèòè÷åñêóþ ìåòîäèêó ìîæíî ñ
óñïåõîì ïðèìåíÿòü êàê äëÿ ìàòåðèàëîâ ïðè D
0, òàê è ïðè D*0. Îäíàêî
âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê áûòü â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà D ñóùåñòâåííî áîëüøå íóëÿ.
Åñòåñòâåííî, ìîæíî ïðèìåíèòü ÷èñëåííûé ÌÊÐ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàäà÷ó ñ
èçâåñòíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ðåøèòü è àíàëèòè÷åñêè. Ðàññìîòðèì
ýòîò âîïðîñ áîëåå ïîäðîáíî íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ äëÿ îäíîñëîéíîé è
äâóõñëîéíîé ñôåðû, íàãðóæåííîé ýêñïîíåíöèàëüíî èçíóòðè èìïóëüñîì äàâ-
ëåíèÿ ïî çàêîíó (36).
Îäíîñëîéíàÿ ñôåðà. Ïóñòü èìååòñÿ ÊÌ, äëÿ êîòîðîãî D
0. Çàìåíèì åãî
ãèïîòåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì ñ D
0, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì òðè ñïîñîáà:
1) çíà÷åíèå ~� îñòàåòñÿ èñòèííûì, à � âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ (14):
� �
( ~) ;1 2 (40)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 101
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
2) ìàòåðèàë ïîëàãàåì íåñæèìàåìûì: � �
~ ;1 2
3) çíà÷åíèå � îñòàåòñÿ èñòèííûì, à ~� âû÷èñëÿåòñÿ èç (14):
~ .� �
1 2 2 (41)
Ðàññìàòðèâàëè òðè âèäà ÊÌ:
ìàòåðèàë ¹ 1(îïèñàíèå ïðèâåäåíî âûøå), Å Å0 4 07
, ; D
2 286, ;
ìàòåðèàë ¹ 2 (îïèñàíèå ïðèâåäåíî âûøå), Å Å0 0 35
, ; D
0 2583, ;
ìàòåðèàë ¹ 3 – òèïà ñòàëè: �
8000 êã/ì 3; Å Å
!0
52 10 ÌÏà; �
� �0 0 25~ , ; Å Å0 1
; D
0 625, .
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ è àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2–
4. Èõ àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëÿòü ãèïîòåòè÷åñêèé ìàòåðèàë 2- è 3-ì
ñïîñîáàìè íåëüçÿ, ìîæíî 1-ì. Âèäíî, ÷òî êðèâûå 1 è 2 (ðèñ. 1–5) ðàñïîëî-
102 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Ðèñ. 1. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ (à) è íàãðóæåíèÿ ôóíêöèåé
Õåâèñàéäà (á). (Çäåñü è íà ðèñ. 5: 1, 3 – ÷èñëåííûé ðàñ÷åò; 2, 4 – àíàëèòè÷åñêèé.)
a
á
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
æåíû áëèçêî äðóã ê äðóãó, ïðè÷åì â ñëó÷àÿõ Å Å0 1� ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
êðèâûìè î÷åíü õîðîøåå. Äëÿ ìàòåðèàëà ¹ 2 ýòî ñîîòâåòñòâèå íåñêîëüêî
õóæå, òåì íå ìåíåå àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò âïîëíå ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê
ïåðâîå ïðèáëèæåíèå. Îñíîâíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îáîëî÷êè íå èçìåíÿåòñÿ,
ïðè ýòîì êðèâûå 2 îïèñûâàþò òî÷íûå êðèâûå 1 “â ñðåäíåì”: êðèâûå 1
êîëåáëþòñÿ îòíîñèòåëüíî êðèâûõ 2 ñ íåáîëüøîé àìïëèòóäîé. Äàëåå, çàìåíÿÿ
ðåàëüíûé ÊÌ ãèïîòåòè÷åñêèì, áóäåì èñïîëüçîâàòü 1-é ñïîñîá: ñîõðàíÿòü
ðåàëüíîå ~,� à ïðèáëèæåííîå (ãèïîòåòè÷åñêîå) � âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå (40).
Ïîëó÷åííûå äàííûå ñâèäåòåëüñòâóþò, ÷òî, ïðîâîäÿ àíàëèòè÷åñêèå ðàñ-
÷åòû â ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè, äàæå èçîòðîïíûé ìàòåðèàë ëó÷øå
çàìåíÿòü ãèïîòåòè÷åñêèì òðàíñòðîïíûì. Îñòàâàÿñü â ðàìêàõ èçîòðîïèè äëÿ
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 103
Ðèñ. 2. Èçìåíåíèå �� P0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ ñôåðû èç ìàòåðèàëà ¹ 1 íà âíóòðåííåé (à) è
íàðóæíîé (á) ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè. (Çäåñü è íà ðèñ. 3, 4: 1 – òî÷íîå âîëíîâîå ðåøåíèå äëÿ
ðåàëüíîãî ÊÌ, ïîëó÷åííîå ÌÊÐ; 2, 3, 4 – àíàëèòè÷åñêèå ðàñ÷åòû äëÿ ãèïîòåòè÷åñêèõ ÊÌ,
îïðåäåëåííûõ ïî 1-, 2- è 3-ìó ñïîñîáó ñîîòâåòñòâåííî.)
a
á
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ D
0, íåîáõîäèìî ñ÷èòàòü ìàòåðèàë íåñæèìàåìûì
( , ).�
0 5 À ýòî, êàê ïîêàçûâàþò äàííûå ðèñ. 4, ïðèâîäèò ê ãîðàçäî õóäøèì
ðåçóëüòàòàì, ÷åì çàìåíà èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà ãèïîòåòè÷åñêèì òðàíñòðîï-
íûì ïî ôîðìóëå (40).
Äâóõñëîéíàÿ ñôåðà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà âàðèàíòà ñëîåâ îäèíàêîâîé
òîëùèíû:
1) âíóòðåííèé ñëîé âûïîëíåí èç ÊÌ ¹ 1, íàðóæíûé – èç ÊÌ ¹ 2;
2) âíóòðåííèé ñëîé âûïîëíåí èç ÊÌ ¹ 2, íàðóæíûé – èç ÊÌ ¹ 1.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5. Âèäíî õîðîøåå ñîîòâåòñò-
âèå ìåæäó àíàëèòè÷åñêèìè (ïðèáëèæåííûå, Di
0) ðåçóëüòàòàìè è ïîëó-
÷åííûìè ÷èñëåííûì ÌÊÐ äëÿ ñëó÷àåâ òî÷íûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷ (Di
0). Ïðè
èñïîëüçîâàíèè àíàëèòè÷åñêîãî ïîäõîäà îñíîâíàÿ ÷àñòîòà ðàäèàëüíûõ êîëå-
áàíèé îáîëî÷êè íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðè ýòîì êðèâûå, ïîëó÷åííûå ÷èñëåííûì
104 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå �� Ð0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ ñôåðû èç ìàòåðèàëà ¹ 2 íà âíóòðåííåé (à) è
íàðóæíîé (á) ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè.
a
á
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
ìåòîäîì (Di
0), êîëåáëþòñÿ ñ íåáîëüøîé àìïëèòóäîé îòíîñèòåëüíî ãëàäêèõ
êðèâûõ, ïîëó÷åííûõ àíàëèòè÷åñêè (Di
0).  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ àíàëèòè-
÷åñêèå êðèâûå ÿâëÿþòñÿ îãèáàþùèìè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàôèêîâ, ïîëó-
÷åííûõ ÌÊÐ, ïðè ýòîì îøèáêà ïðèáëèæåíèÿ èäåò â çàïàñ ïðî÷íîñòè.
 û â î ä û
1. Ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûé àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ â êâàä-
ðàòóðàõ êðàåâûõ íåñòàöèîíàðíûõ öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûõ çàäà÷ òåîðèè
óïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ òðàíñòðîïíûõ ñôåð â ñëó÷àå Di
0.
2. Èññëåäîâàíà òî÷íîñòü ìåòîäà è ñõîäèìîñòü ðåøåíèé ïðè Di "0 ê
ïîëó÷åííûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèÿì ïðè Di
0.
3. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ÊÌ ïðè D
0 ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ
ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ýôôåêòèâíîå ïåðâîå ïðèáëèæåíèå.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 105
Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå �� Ð0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ ñôåðû èç ìàòåðèàëà ¹ 3 íà âíóòðåííåé (à) è
íàðóæíîé (á) ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè.
a
á
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
Ð å ç þ ì å
Ïîáóäîâàíî àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê ó êâàäðàòóðàõ îäíîãî êëàñó äèíàì³÷íèõ
öåíòðàëüíî ñèìåòðè÷íèõ êðàéîâèõ çàäà÷ òåî𳿠ïðóæíîñò³ äëÿ áàãàòîøàðîâèõ
òðàíñòðîïíèõ ñôåð, â ÿêèõ øâèäê³ñòü çâóêó â ðàä³àëüíîìó íàïðÿìêó ïðÿìóº
äî íåñê³í÷åííîñò³. Äîñë³äæåíî çá³æí³ñòü ³ òî÷í³ñòü îòðèìàíèõ ðîçâ’ÿçê³â.
Ïîêàçàíî, ùî îòðèìàí³ àíàë³òè÷í³ ðîçâ’ÿçêè ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè ÿê ïåðøå
íàáëèæåííÿ äëÿ âèïàäê³â, êîëè øâèäê³ñòü çâóêó â ìàòåð³àëàõ ñê³í÷åííà.
1. Ëåõíèöêèé Ñ. Ã. Òåîðèÿ óïðóãîñòè àíèçîòðîïíîãî òåëà. – Ì.: Íàóêà,
1977. – 415 ñ.
Ðèñ. 5. Èçìåíåíèå �� Ð0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ äâóõñëîéíîé ñôåðû: à – âíóòðåííèé ñëîé –
ÊÌ ¹ 1, íàðóæíûé – ÊÌ ¹ 2; á – âíóòðåííèé ñëîé – ÊÌ ¹ 2, íàðóæíûé – ÊÌ ¹ 1.
106 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2
a
á
Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ
2. Èâàíîâ À. Ã., Ñûðóíèí Ì. À., Ôåäîðåíêî À. Ã. Âëèÿíèå ñòðóêòóðû
àðìèðîâàíèÿ íà ïðåäåëüíóþ äåôîðìèðóåìîñòü è ïðî÷íîñòü îáîëî÷åê èç
îðèåíòèðîâàííîãî ñòåêëîïëàñòèêà ïðè âçðûâíîì íàãðóæåíèè âíóòðè //
Ïðèêë. ìåõàíèêà è òåîðåò. ôèçèêà. – 1992. – ¹ 4. – Ñ. 130 – 135.
3. Íîâàöêèé Â. Òåîðèÿ óïðóãîñòè / Ïåð. ñ ïîëüñê. – Ì.: Ìèð, 1975. – 872 ñ.
4. Ôðèäìàí Ë. È. Ðåøåíèå äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè â êðèâî-
ëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1976. – ¹ 5. – Ñ. 56 – 61.
5. Ãàëèåâ Ø. Ó., Áàáè÷ Þ. Í., Æóðàõîâñêèé Ñ. Â. è äð. ×èñëåííîå ìîäåëè-
ðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â îãðàíè÷åííûõ ñðåäàõ. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1989. – 200 ñ.
6. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 2. – Ì.: Íàóêà, 1974. – 655 ñ.
7. Ðîìàùåíêî Â. À. Ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ íåñæèìàåìûõ è ñëàáî
ñæèìàåìûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ òîëñòîñòåííûõ öè-
ëèíäðîâ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. – 2007. – 71, âûï. 1. – Ñ. 56 –
65.
8. Àøêåíàçè Å. Ê., Ãàíîâ Ý. Â. Àíèçîòðîïèÿ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ:
Ñïðàâî÷íèê. – Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1980. – 247 ñ.
Ïîñòóïèëà 23. 04. 2009
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 107
Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...
|