Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы

Построено аналитическое решение в квадратурах одного класса динамических центрально симметричных краевых задач теории упругости для многослойных транстропных сфер, скорость звука в которых в радиальном направлении стремится к бесконечности. Исследованы сходимость и точность полученных решений. Пок...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Ромащенко, В.А., Тарасовская, С.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2011
Schriftenreihe:	Проблемы прочности
Schlagworte:	Научно-технический раздел
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112753
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы / В.А. Ромащенко, С.А. Тарасовская // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 93-107. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112753
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1127532025-02-09T14:31:29Z Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А. Научно-технический раздел Построено аналитическое решение в квадратурах одного класса динамических центрально симметричных краевых задач теории упругости для многослойных транстропных сфер, скорость звука в которых в радиальном направлении стремится к бесконечности. Исследованы сходимость и точность полученных решений. Показано, что полученные аналитические решения можно использовать как первое приближение для случаев, когда скорость звука в материалах конечна. Побудовано аналітичний розв’язок у квадратурах одного класу динамічних центрально симетричних крайових задач теорії пружності для багатошарових транстропних сфер, в яких швидкість звуку в радіальному напрямку прямує до нескінченності. Досліджено збіжність і точність отриманих розв’язків. Показано, що отримані аналітичні розв’язки можна використовувати як перше наближення для випадків, коли швидкість звуку в матеріалах скінченна. 2011 Article Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы / В.А. Ромащенко, С.А. Тарасовская // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 93-107. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112753 539.3 ru Проблемы прочности application/pdf Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А. Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы Проблемы прочности
description	Построено аналитическое решение в квадратурах одного класса динамических центрально симметричных краевых задач теории упругости для многослойных транстропных сфер, скорость звука в которых в радиальном направлении стремится к бесконечности. Исследованы сходимость и точность полученных решений. Показано, что полученные аналитические решения можно использовать как первое приближение для случаев, когда скорость звука в материалах конечна.
format	Article
author	Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А.
author_facet	Ромащенко, В.А. Тарасовская, С.А.
author_sort	Ромащенко, В.А.
title	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
title_short	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
title_full	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
title_fullStr	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
title_full_unstemmed	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
title_sort	динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Научно-технический раздел
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112753
citation_txt	Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы / В.А. Ромащенко, С.А. Тарасовская // Проблемы прочности. — 2011. — № 2. — С. 93-107. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT romaŝenkova dinamičeskaâzadačateoriiuprugostidlâtranstropnojmnogoslojnojsfery AT tarasovskaâsa dinamičeskaâzadačateoriiuprugostidlâtranstropnojmnogoslojnojsfery
first_indexed	2025-11-26T21:18:23Z
last_indexed	2025-11-26T21:18:23Z
_version_	1849889297114595328
fulltext	ÓÄÊ 539.3 Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ òðàíñòðîïíîé ìíîãî- ñëîéíîé ñôåðû Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà Ïîñòðîåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå â êâàäðàòóðàõ îäíîãî êëàññà äèíàìè÷åñêèõ öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ òðàíñòðîïíûõ ñôåð, ñêîðîñòü çâóêà â êîòîðûõ â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Èññëå- äîâàíû ñõîäèìîñòü è òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííûå àíàëè- òè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïåðâîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà ñêîðîñòü çâóêà â ìàòåðèàëàõ êîíå÷íà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîñëîéíàÿ òðàíñòðîïíàÿ ñôåðà, äèíàìèêà, öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, íàïðÿæåííî- äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå. Ââåäåíèå. Ìíîãîñëîéíûå ñôåðè÷åñêèå òîíêî- è òîëñòîñòåííûå îáîëî÷êè øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ ñîâðåìåííîé òåõíèêè. Â êà÷åñòâå ìàòåðèàëîâ ñëîåâ çà÷àñòóþ èñïîëüçóþòñÿ óïðóãèå àðìèðîâàííûå êîìïîçèò- íûå ìàòåðèàëû (ÊÌ). Ïðèìåíèòåëüíî ê ñôåðè÷åñêèì ñîñóäàì ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âñå ëèáî ÷àñòü ñëîåâ òàêîé îáîëî÷êè ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíûå òåëà [1] ñ õàðàêòåðèñòèêàìè óïðóãîñòè Å è � â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè r , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè âðàùåíèÿ, è Å0 è � 0 â îðòîãîíàëüíîé ïëîñêîñòè (òî÷íåå – ñôåðå) èçîòðîïèè. Äëÿ èçîòðîïíûõ ñëîåâ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Å Å� 0 è � �� 0 . Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ êîíñòðóêòèâíûå ýëåìåíòû â âèäå çàìêíóòûõ ìíîãî- ñëîéíûõ ñôåð ìîãóò èñïûòûâàòü èìïóëüñíîå öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîå íà- ãðóæåíèå äàâëåíèåì âíóòðè è (èëè) ñíàðóæè îáîëî÷êè, íàïðèìåð, ïðè âçðûâå âíóòðè åå çàðÿäà âçðûâ÷àòîãî âåùåñòâà (ÂÂ). Ýêñïåðèìåíòàëüíî äèíàìè- ÷åñêîå ïîâåäåíèå òàêèõ îáîëî÷åê èçó÷àëîñü â [2]. Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ âûçûâàåò àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò íåñòàöèîíàðíîãî öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íîãî íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ (ÍÄÑ) ïîäîáíûõ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, íà áàçå êîòîðîãî ìîæíî áûëî áû ãîâîðèòü î ïðî÷íîñòè îáîëî÷êè ïðè çàäàííîé âçðûâíîé íàãðóçêå. Îñîáóþ âàæíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ïîëó÷åíèå ýòèõ ðåøåíèé íà îñíîâå óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè, ïîñêîëüêó èç-çà òàêèõ ôàêòîðîâ, êàê òîëñòîñòåííîñòü îáîëî÷êè, êðàòêîâðåìåííîñòü íàãðóçêè, êðóòûå ôðîíòû óäàðíûõ âîëí, îñíîâàííûå íà âñåâîçìîæíûõ îáîëî÷å÷íûõ òåîðèÿõ ðåçóëüòàòû çà÷àñòóþ âûçûâàþò ñîìíåíèå. Äàæå äëÿ èçîòðîïíûõ ñëîåâ òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ âåñüìà ãðîìîçäêè è èçâåñòíû òîëüêî â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, â ÷àñòíîñòè äëÿ îäíîñëîéíûõ ñôåð èëè ñôåðè- ÷åñêèõ ïîëîñòåé [3, 4]. Öåëü äàííîé ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçðàáîòêå ìåòî- äîâ ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíûõ ñôåð. © Â. À. ÐÎÌÀÙÅÍÊÎ, Ñ. À. ÒÀÐÀÑÎÂÑÊÀß, 2011 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 93 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. Èñïîëüçóåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñ- òåìó êîîðäèíàò r , �, ãäå r – ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòà; � – îðòîãîíàëüíàÿ ê r äóãîâàÿ êîîðäèíàòà. Èç-çà öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè çàäà÷è òðåòüåé êîîðäèíà- òû íå òðåáóåòñÿ – âñå íàïðàâëåíèÿ âäîëü � áóäóò òîæäåñòâåííî ýêâèâàëåíòíû. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïðèìóò âèä [3, 4] �� r r ir r u t � 2 2 2 ( ) , (1) ãäå t – âðåìÿ; i – íîìåð ñëîÿ (ñëîè áóäåì íóìåðîâàòü îò âíóòðåííåãî ê íàðóæíîìó); � i – ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîÿ; u – ðàäèàëü- íîå ïåðåìåùåíèå; � r , � � – ðàäèàëüíîå è îêðóæíîå íàïðÿæåíèÿ ñîîòâåòñò- âåííî. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ Êîøè çàïèøåì òàê: � � �r u r ; �� u r , (2) ãäå � r , �� – ðàäèàëüíàÿ è îêðóæíàÿ äåôîðìàöèè ñîîòâåòñòâåííî. Çàêîí Ãóêà äëÿ ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíîãî ñëîÿ ñ ó÷åòîì (2) è öåíòðàëü- íîé ñèììåòðèè ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä [1]: E u r r � � � �� 2 ; E u r r � � �� ( ~) ,1 (3) ãäå ~� – ïðèâåäåííûé êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, ~ ( ) ,� � � Å Å0 0 1 1 (4) äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà èìååì ~ .� � �� 0 Èíäåêñ i, õàðàêòåðèçóþùèé íîìåð ñëîÿ, â (3) è (4) äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè îïóùåí. Êîíòàêò ìåæäó ñëîÿìè â ñëó÷àå ìíîãîñëîéíîé îáîëî÷êè ñ÷èòàåòñÿ èäå- àëüíûì: � �r r � ; u u � ïðè r Ri i �, ,1 (5) ãäå Ri i, �1 – ðàäèóñ êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè i-ãî ñëîÿ ñ (i�1)-ì; èíäåêñû “ìèíóñ” è “ïëþñ” îòíîñÿòñÿ ê êîíòàêòèðóþùèì ñëîÿì ñíèçó è ñâåðõó ñîîò- âåòñòâåííî. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä � r jr R j P t\| ( ), j 1 2, , (6) ãäå R1 , R2 – âíóòðåííèé è íàðóæíûé ðàäèóñû îáîëî÷êè; P t1( ), P t2 ( ) – âíóòðåííåå è íàðóæíîå èìïóëüñíîå äàâëåíèå íà îáîëî÷êó. Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ 94 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîëàãàëèñü íóëåâûìè: u u t � � 0 ïðè t 0. (7) Ñïîñîá ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1)–(7) ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âåëè- ÷èíû ãëàâíîãî îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû (3): D �1 2 02~ .� � (8) Äëÿ áîëüøåé ÷àñòè ìàòåðèàëîâ èìååì D 0, òåì íå ìåíåå åñòü îïðå- äåëåííûé êëàññ ìàòåðèàëîâ, íàïðèìåð íåñæèìàåìûå, äëÿ êîòîðûõ D 0. Åñëè äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñëîåâ âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãîå ðàâåíñòâî Di 0, çàäà÷ó óäîáíî ðåøàòü â ïåðåìåùåíèÿõ. Ðåøàÿ ñèñòåìó (3) îòíîñèòåëü- íî íàïðÿæåíèé è ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ðåøåíèÿ â (1), ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå: 1 2 2 2 2 2 2 2 2c u t u r r u r u ri i � � � � � � � � , (9) ãäå � � �i i i 1 1 ~ ; c E i i i i i i ( ~ ) ( ~ ) . 1 1 2 2 � � � � (10) Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6) çàïèøåì òàê: E D u r u r P t r R E D N N N 1 1 1 1 1 11 2 1 ( ~ ) ( ), ; ( ~ � � �� ) ( ), , � � � u r u r P t r RN� � �� 2 2 2 (11) ãäå N – íîìåð ïîñëåäíåãî (âåðõíåãî) ñëîÿ. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (7) îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèé, à êîíòàêòíûå (5) ïðè- íèìàþò âèä E D u r u r E D u ri i i i i i i� � � � � �� 1 1 11 2 1( ~ ) ( ~ )� � � � � � � 2 1� i u r� � �� . (12) Àíàëèòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (7), (9)–(12) äîñòàòî÷íî çàòðóä- íèòåëüíî, õîòÿ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ è âîçìîæíî. Åñëè äëÿ âñåõ ñëîåâ âûïîë- íÿåòñÿ óñëîâèå � i 1, ò.å. � �i i ~ , (13) òî ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå â âèäå äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ ëèíåéíûõ ñóïåðïîçèöèé ñôåðè÷åñêèõ áåãóùèõ è îòðàæåííûõ âîëí (òèïà Äàëàìáåðà) [3, 4]. Ïîëó÷èòü òàêèå ðåøåíèÿ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ âðåìåí, îñîáåííî â Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ... ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 95 ñëó÷àå ìíîãîñëîéíîé îáîëî÷êè, êðàéíå ñëîæíî, õîòÿ è ïðèíöèïèàëüíî âîç- ìîæíî. Çàìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèþ (13) ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü íå òîëüêî èçî- òðîïíûå, íî è îïðåäåëåííûé êëàññ ñôåðè÷åñêè òðàíñòðîïíûõ ìàòåðèàëîâ, ò.å. â ñëó÷àå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ïîâåäåíèå íåêîòîðûõ ñôåðè÷åñêèõ òðàíñòðîïíûõ îáîëî÷åê áóäåò òàêèì æå, êàê è èçîòðîïíûõ. Åñëè óñëîâèå (13) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ðåøåíèÿ â âèäå ñóïåðïîçèöèé áåãóùèõ è îòðàæåííûõ âîëí, ñêîðåå âñåãî, íå ñóùåñòâóåò, è àíàëèòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå çàäà÷è óñëîæíÿåòñÿ åùå íà ïîðÿäîê. Ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî òî÷íûõ ðåøåíèé çàäà÷è (9)–(12) è íà äîñòàòî÷íî äëèòåëüíûõ âðåìåíàõ â ñëó÷àå Di 0 öåëåñîîáðàçíî ðåêîìåíäî- âàòü ÷èñëåííûå ìåòîäû êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé (ÌÊÐ). Êàê ïîêàçàëè ðàñ÷åòû, õîðîøî ñåáÿ çàðåêîìåíäîâàëà ÿâíàÿ ñõåìà ÌÊÐ òèïà “êðåñò” âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè [5]. Åñëè äëÿ âñåõ ñëîåâ îáîëî÷êè âûïîëíÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ Di 0, òî êðàå- âàÿ çàäà÷à (1)–(7) òî÷íî èíòåãðèðóåòñÿ àíàëèòè÷åñêè â êâàäðàòóðàõ, à äëÿ íåêîòîðûõ òèïîâ íàãðóæåíèÿ – â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Ïîêàæåì, ÷òî ýòè ðåøåíèÿ òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïåðâîå ïðè- áëèæåíèå äëÿ îöåíêè äèíàìè÷åñêîãî ÍÄÑ ìíîãîñëîéíûõ ñôåð, äëÿ êîòîðûõ Di 0. Ðåøåíèå çàäà÷è ïðè Di 0. Ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (3) ðàâåí íóëþ è âûðàçèòü îäíîçíà÷íî èç íåå íàïðÿæåíèÿ ÷åðåç äåôîðìàöèè íåâîç- ìîæíî. Ïîäðîáíî îïèøåì ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ îäíî- è äâóõñëîéíîé ñôåðû. Ðåøåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñëîåâ áîëüøå äâóõ, ìîæíî ïîëó÷èòü ïî àíàëîãèè, ñëåäóÿ ìåòîäèêå, èçëîæåííîé äëÿ äâóõñëîéíîé îáîëî÷êè. Îäíîñëîéíàÿ ñôåðà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D 0, èìååì 1 2 2 ~ .� � (14) Ïîäñòàâèâ (14) â (3), ïîëó÷èì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ- íåíèå îòíîñèòåëüíî ïðîãèáà: � � � u r u r � 0, (15) ðåøàÿ êîòîðîå íàõîäèì u y t r M ( ) ; M 1 � , (16) ãäå y t( ) – ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, ïîäëåæàùàÿ äàëüíåéøåé êîíêðåòè- çàöèè. Ïîäñòàâëÿÿ (16) â ëþáîå èç äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (3), ïîëó÷àåì 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ).� � ��r r M M EM r y t � (17) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � � � �2 2 u t r y t M ��( ), (18) 96 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ è, ïîäñòàâëÿÿ (17) è (18) â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1), èìååì � � � � r r r y EM r yM r M M( ) .2 2 2 2 2 �� (19) Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: �( , , ) ( ), ; , . a b c dx x c b a c b a c c a b c c � � � � � � 1 1 1 1 1 1 ln� (20) Èíòåãðèðóÿ (19) ïî r îò âíóòðåííåãî ðàäèóñà îáîëî÷êè R1 äî íàðóæ- íîãî R2 è ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6), ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôå- ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y t( ): �� y y F t�2 ( ), (21) ãäå F t R P t R P t R R M M M ( ) ( ) ( ) ( ; ; ) ; 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2�� EM R R M R R M 2 1 2 1 2 2 2 2 � � ( ; ; ) ( ; ; ) . (22) Èíòåãðèðóÿ (21) ñ ó÷åòîì íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (y y( ) ( )0 0 0 � ), êîòîðûå ñëåäóþò èç (7), ïîëó÷àåì [6] èñêîìóþ ôóíêöèþ y t( ): y t F t d t ( ) ( )sin ( ) . �� 1 0 (23) Îïðåäåëèâ y t( ) è ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå (19) îò R1 äî òåêóùåãî ðàäèóñà r , íàõîäèì � �r Mr EM y t R r M F t R r M � 2 2 1 12 2 2[ ( ) ( ; ; ) ( ) ( ; ; )� � R P t y t R r MM 1 2 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ; ; )].�� (24) Çàòåì èç çàêîíà Ãóêà îïðåäåëÿåòñÿ � �� M EM y t r r M2 2 2 1 ( ) . (25) ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 97 Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ... Â ÷àñòíîñòè, íà âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè (r R 1) èìååì � � � � M P t EM y t R M2 21 2 1 1 ( ) ( ) , (26) àíàëîãè÷íî íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè (r R 2) – � � � � M P t EM y t R M2 22 2 2 1 ( ) ( ) . (27) Äâóõñëîéíàÿ ñôåðà. D D1 2 0 . Âî âíóòðåííåé ñôåðå çàïèøåì u y t r M 1 1 ( ) , (28) â íàðóæíîé – u y t r M 2 2 ( ) . (29) Îáîçíà÷èâ y t y t1( ) ( ), èç êîíòàêòíîãî óñëîâèÿ (5) ïîëó÷èì y t y t1( ) ( ); y t R y tk M M 2 2 1( ) ( ), (30) ãäå Rk – ðàäèóñ êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, íåñìîòðÿ íà äâóõñëîéíîñòü îáîëî÷êè, â ñèëó (30) çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ òîëüêî îäíîé îïðåäåëÿþùåé ôóíêöèè. Èç (3), (28) è (29), êàê è â ñëó÷àå îäíîñëîéíîé ñôåðû, ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ òèïà (17) äëÿ âíóòðåííåãî è íàðóæíîãî ñëîÿ. Ïîäñòàâëÿÿ èõ â ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ òèïà (19). Èíòåãðèðóÿ ïåðâîå îò R1 äî Rk , âòîðîå îò Rk äî R2 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ: R P t R t y R R M E M M k M k k 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 � �� ( ) ( ) ( ; ; ) � � � y R R M R t R P t y R k k M k M k M �( ; ; ); ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 �� M k k M M kR R M E M R y R R M1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2� �( ; ; ) ( ; ; ), � (31) ãäå � k t( ) – ðàäèàëüíîå íàïðÿæåíèå íà ãðàíèöå êîíòàêòà r Rk . Èñêëþ÷àÿ èç ñèñòåìû (31) íåèçâåñòíóþ � k t( ), ïðèâîäèì ñèñòåìó ê óðàâíåíèþ (21), ãäå â êà÷åñòâå � è F t( ) áóäóò èñïîëüçîâàíû äðóãèå âåëè- ÷èíû, à èìåííî: 98 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ F t R R P t R P t E M R M k M M M k M ( ) [ ( ) ( )] ; [ 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 � � 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 � � M k k M M k R R M E M R R R M � � � � ( ; ; ) ( ; ; )] ;/ � �1 1 1 2 2 2 1 2 2 12 2 2 2R R R M R R R Mk M M k k M M k � � �( ; ; ) ( ; ; ). (32) Çíàÿ y t( ), íàõîäèì � r . Âî âíóòðåííåì ñëîå ( )R r Rk1 ýòà ïðîöåäóðà òàêàÿ æå, êàê è â ñëó÷àå îäíîñëîéíîé îáîëî÷êè. Â íàðóæíîì ñëîå ( )R r Rk 2 ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî r ñíà÷àëà îò R1 äî Rk è ïîëó÷èòü � k t( ), à çàòåì, çíàÿ � k t( ), – ïî r îò Rk äî r. Îäíàêî â ñëó÷àå äâóõñëîéíîé îáîëî÷êè óäîáíåå ñðàçó èíòåãðèðîâàòü ïî r îò R2 äî r , íå âû÷èñëÿÿ � k t( ), ñ ó÷åòîì (30). Òîãäà â íàðóæíîì ñëîå èìååì � �r M k M M r E M R y t R r M F t R r � 2 2 12 2 2 2 2 2 2 22[ ( ) ( ; ; ) ( ) ( ; ;� � 2 22M ) R P t R y t R r M M k M M 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ; ; )].� � � (33) Ðàñïîëàãàÿ � r , çíà÷åíèå � � âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà, êàê è â ñëó÷àå îäíîñëîéíîé ñôåðû: � �� M E M y t r r M 1 1 1 2 12 2 1 ( ) , R r Rk1 ; � �� M E M R y t r r k M M M 2 2 2 2 12 2 2 1 2 ( ) , R r Rk 2 . (34) Åñëè ÷èñëî N ñëîåâ îáîëî÷êè áîëüøå äâóõ, òî âìåñòî (30) áóäåì èìåòü N ñîîòíîøåíèé: y t y t y t R y t y t R R k M M k M M k M 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) M N k y t y t R N 1 1 ( ); ................................ ( ) M M k M MN N R y t ! ! � � � � �� 1 1 2 1... ( ). (35) Âìåñòî ñèñòåìû (31) ïîëó÷èì ñèñòåìó N óðàâíåíèé ïîäîáíîãî òèïà. Èñêëþ÷àÿ íåèçâåñòíûå � k t 1 ( ), � k t 2 ( ), ..., � kN t 1 ( ), ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê óðàâ- íåíèþ òèïà (21), ãäå âûðàæåíèÿ äëÿ � è F t( ) áóäóò äðóãèìè: ÷åì áîëüøå N , òåì îíè áîëåå ãðîìîçäêè. Îïðåäåëèâ y t( ), äëÿ âû÷èñëåíèÿ � r t( ) âî âñåõ ñëîÿõ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðîìåæóòî÷íûå ïðîöåäóðû âû÷èñëåíèÿ êîíòàêò- íûõ ðàäèàëüíûõ íàïðÿæåíèé êàê ìèíèìóì N 2 ðàçà. Âåëè÷èíà � � îïðå- ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 99 Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ... äåëÿåòñÿ ïî èçâåñòíûì � r äîñòàòî÷íî ïðîñòî èç çàêîíà Ãóêà, êàê â âûøå- îïèñàííûõ äâóõ ñëó÷àÿõ. Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëüíûå çàäà÷è òîëüêî äëÿ îäíî- è äâóõ- ñëîéíûõ ñôåð, âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû äåòàëüíî âîñïðîèçâîäèòü íå áóäåì. Èññëåäîâàíèå òî÷íîñòè è ñõîäèìîñòè àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà. Ìîæíî áûëî áû èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü âîëíîâûõ ðåøåíèé ïðè Di "�0 ê òî÷íûì, ïîëó÷åííûì âûøå äëÿ Di 0, àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì. Íàïðèìåð, ïîäîáíî òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â [7] äëÿ íåñæèìàåìûõ öèëèíäðîâ â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè. Îäíàêî òàêîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèì è íåäîñòàòî÷íî íàãëÿäíûì. Â äàííîé ðàáîòå çàäà÷è ðåøàþòñÿ è àíàëèòè÷åñêè (Di 0) è ÷èñëåííî ñ ïîìîùüþ ÌÊÐ (Di 0), ïîýòîìó áîëåå öåëåñîîáðàçíûì ïðåäñòàâ- ëÿåòñÿ ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ îáîëî÷åê, ó êîòîðûõ Di äîñòàòî÷íî ìàëû, íî òåì íå ìåíåå ïîëîæèòåëüíû, ñ àíàëèòè÷åñêèìè ðåçóëü- òàòàìè äëÿ òåõ æå îáîëî÷åê, ó êîòîðûõ Di òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì âíóòðåííåãî èìïóëüñíîãî íàãðóæåíèÿ: P t2 0( ) ;� P t P e H t t t 1 0 0( ) ( ), / (36) ãäå H t( ) – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (21) ïðè íàãðóçêå (36) èìååò âèä y A t e t t t t t � � # $ %% & ' (( � � � �2 0 2 0 0/ cos sin , (37) ïðè÷åì äëÿ îäíîñëîéíîé îáîëî÷êè: A P R R R M M 0 1 2 1 2 2 2��( ; ; ) , (38) äëÿ äâóõñëîéíîé ñôåðû: A P R R M k M M 0 1 2 1 1 2 � . (39) Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ îäíî- è äâóõñëîéíûõ îáîëî÷åê (22) è (32) âåëè÷èíà � òàêæå áóäåò ðàçíàÿ. Óñòðåìëÿÿ t0 "), ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (37)–(39) ïîëó÷èì ðåøåíèÿ â ñëó÷àå íàãðóæåíèÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé Õåâèñàéäà ïî âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè (äëÿ çàìêíóòîé ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êè ñëó÷àé äîñòà- òî÷íî íåáåçûíòåðåñíûé, òàê êàê èç-çà çàìêíóòîñòè îáúåìà ñïàä ýêñïîíåíòû èìïóëüñà äàâëåíèÿ â (36) ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ïîëîãèì). Ïðè òåñòîâûõ è äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòàõ ïîëàãàëè t0 510 c è t0 ) (íàãðóæåíèå ôóíêöèåé Õåâèñàéäà). Èññëåäîâàëè äâóõñëîéíóþ îáîëî÷êó, âíóò- ðåííèé ðàäèóñ R1 êîòîðîé ñîñòàâëÿåò 0,5 ì, íàðóæíûé R2 – 0,6 ì. Òîëùèíà ñëîåâ áûëà îäèíàêîâîé, ïîýòîìó ðàäèóñ êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè Rê �0 55 21 2, ( ) .ì R R 100 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ Â êà÷åñòâå ìàòåðèàëà ñëîåâ ðàññìàòðèâàëè âîëîêíèñòûå ñòåêëîïëàñòèêè ñ òàêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè [8]: Ìàòåðèàë ¹ 1: � 2000 êã/ì 3; Å !5 7 104, ÌÏà; Å0 41 4 10 !, ÌÏà; � 0 0 4 , ; � 0 28, . Òàêîé ìàòåðèàë èìååò äîñòàòî÷íî áîëüøîå D , ðàâíîå îêîëî 2,3. ×òîáû îíî áûëî ïðåíåáðåæèìî ìàëûì (äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäè- ìîñòè àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà), âñå âûøåïåðå÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè, êðîìå � , íå èçìåíÿëè, à � ïîëàãàëè â âîëíîâûõ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ ÌÊÐ ðàâíûì 1,1. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà D óìåíüøàëàñü â 100 ðàç. Â àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ïðèíèìàëè � 11052, , ïðè ýòîì D ñâîäèëîñü ê òîæäåñòâåííîìó íóëþ. Ìàòåðèàë ¹ 2: � 1500 êã/ì 3; Å !7 103 ÌÏà; Å0 42 10 ! ÌÏà; � 0 0 15, ; � 0,14. Äëÿ ýòîãî ìàòåðèàëà âåëè÷èíà D òàêæå äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ (0 26, ). Ïîëàãàÿ â ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ � 0 38, , óìåíüøàëè D â 30 ðàç. Â àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ (D 0) ñëåäîâàëî ïðèíèìàòü � 0 3857, . Ñ÷èòàëè, ÷òî âíóòðåííèé ñëîé âûïîëíåí èç ìàòåðèàëà ¹ 1, íàðóæíûé – èç ìàòåðèàëà ¹ 2. Õàðàêòåðíî òî, ÷òî ìàòåðèàë ¹ 1 çíà÷èòåëüíî æåñò÷å (àðìèðîâàííûé) â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè, â òî âðåìÿ êàê ìàòåðèàë ¹ 2 – â îêðóæíîì (ñôåðå èçîòðîïèè). Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ (âîëíîâûõ) è àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, ïðåäñòàâ- ëåííûå íà ðèñ. 1, èëëþñòðèðóþò èçìåíåíèå áåçðàçìåðíûõ îêðóæíûõ íàïðÿ- æåíèé � � Ð0 âî âðåìåíè íà âíóòðåííåé (êðèâûå 1, 2) è íàðóæíîé (êðèâûå 3, 4) ïîâåðõíîñòÿõ äâóõñëîéíîé ñôåðû. Âèäíî, ÷òî êðèâûå äëÿ ýêñïîíåí- öèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ è íàãðóæåíèÿ ôóíêöèåé Õåâèñàéäà ðàñïîëîæåíû äîñòà- òî÷íî áëèçêî äðóã ê äðóãó, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñõîäèìîñòè âîëíîâûõ ðåøåíèé ïðè Di "0 ê àíàëèòè÷åñêèì ïðè Di 0. Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì íàãðóæåíèè ðàññîãëàñîâàíèå ìåæäó êðèâûìè ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, â òî âðåìÿ êàê ïðè íàãðóæåíèè ôóíêöèåé Õåâèñàéäà (t0 )) ðàññîãëàñîâàíèå íå ïðåâûøàåò 2,5%. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ìîùíîñòü (ýíåðãèÿ) õåâè- ñàéäîâñêîãî íàãðóæåíèÿ âíóòðè çàìêíóòîãî îáúåìà íàìíîãî âûøå ìîùíîñòè ýêñïîíåíöèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ. Îáîëî÷êà ïîëó÷àåò ãîðàçäî áîëüøå ýíåðãèè îò íàãðóçêè, ïîýòîìó è ðàñõîæäåíèå êðèâûõ âèçóàëüíî áîëåå çàìåòíî. Ïðè- âåäåííûå íà ðèñ. 1 ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäàþò òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ âûøå àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé äëÿ ìàòåðèàëîâ, ó êîòîðûõ D 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåííóþ âûøå àíàëèòè÷åñêóþ ìåòîäèêó ìîæíî ñ óñïåõîì ïðèìåíÿòü êàê äëÿ ìàòåðèàëîâ ïðè D 0, òàê è ïðè D0. Îäíàêî âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê áûòü â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà D ñóùåñòâåííî áîëüøå íóëÿ. Åñòåñòâåííî, ìîæíî ïðèìåíèòü ÷èñëåííûé ÌÊÐ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàäà÷ó ñ èçâåñòíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ðåøèòü è àíàëèòè÷åñêè. Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ áîëåå ïîäðîáíî íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ äëÿ îäíîñëîéíîé è äâóõñëîéíîé ñôåðû, íàãðóæåííîé ýêñïîíåíöèàëüíî èçíóòðè èìïóëüñîì äàâ- ëåíèÿ ïî çàêîíó (36). Îäíîñëîéíàÿ ñôåðà. Ïóñòü èìååòñÿ ÊÌ, äëÿ êîòîðîãî D 0. Çàìåíèì åãî ãèïîòåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì ñ D 0, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì òðè ñïîñîáà: 1) çíà÷åíèå ~� îñòàåòñÿ èñòèííûì, à � âû÷èñëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ (14): � � ( ~) ;1 2 (40) ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 101 Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ... 2) ìàòåðèàë ïîëàãàåì íåñæèìàåìûì: � � ~ ;1 2 3) çíà÷åíèå � îñòàåòñÿ èñòèííûì, à ~� âû÷èñëÿåòñÿ èç (14): ~ .� � 1 2 2 (41) Ðàññìàòðèâàëè òðè âèäà ÊÌ: ìàòåðèàë ¹ 1(îïèñàíèå ïðèâåäåíî âûøå), Å Å0 4 07 , ; D 2 286, ; ìàòåðèàë ¹ 2 (îïèñàíèå ïðèâåäåíî âûøå), Å Å0 0 35 , ; D 0 2583, ; ìàòåðèàë ¹ 3 – òèïà ñòàëè: � 8000 êã/ì 3; Å Å !0 52 10 ÌÏà; � � �0 0 25~ , ; Å Å0 1 ; D 0 625, . Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ è àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2– 4. Èõ àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëÿòü ãèïîòåòè÷åñêèé ìàòåðèàë 2- è 3-ì ñïîñîáàìè íåëüçÿ, ìîæíî 1-ì. Âèäíî, ÷òî êðèâûå 1 è 2 (ðèñ. 1–5) ðàñïîëî- 102 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 Ðèñ. 1. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ (à) è íàãðóæåíèÿ ôóíêöèåé Õåâèñàéäà (á). (Çäåñü è íà ðèñ. 5: 1, 3 – ÷èñëåííûé ðàñ÷åò; 2, 4 – àíàëèòè÷åñêèé.) a á Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ æåíû áëèçêî äðóã ê äðóãó, ïðè÷åì â ñëó÷àÿõ Å Å0 1� ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êðèâûìè î÷åíü õîðîøåå. Äëÿ ìàòåðèàëà ¹ 2 ýòî ñîîòâåòñòâèå íåñêîëüêî õóæå, òåì íå ìåíåå àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò âïîëíå ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïåðâîå ïðèáëèæåíèå. Îñíîâíàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îáîëî÷êè íå èçìåíÿåòñÿ, ïðè ýòîì êðèâûå 2 îïèñûâàþò òî÷íûå êðèâûå 1 “â ñðåäíåì”: êðèâûå 1 êîëåáëþòñÿ îòíîñèòåëüíî êðèâûõ 2 ñ íåáîëüøîé àìïëèòóäîé. Äàëåå, çàìåíÿÿ ðåàëüíûé ÊÌ ãèïîòåòè÷åñêèì, áóäåì èñïîëüçîâàòü 1-é ñïîñîá: ñîõðàíÿòü ðåàëüíîå ~,� à ïðèáëèæåííîå (ãèïîòåòè÷åñêîå) � âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå (40). Ïîëó÷åííûå äàííûå ñâèäåòåëüñòâóþò, ÷òî, ïðîâîäÿ àíàëèòè÷åñêèå ðàñ- ÷åòû â ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè, äàæå èçîòðîïíûé ìàòåðèàë ëó÷øå çàìåíÿòü ãèïîòåòè÷åñêèì òðàíñòðîïíûì. Îñòàâàÿñü â ðàìêàõ èçîòðîïèè äëÿ ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 103 Ðèñ. 2. Èçìåíåíèå �� P0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ ñôåðû èç ìàòåðèàëà ¹ 1 íà âíóòðåííåé (à) è íàðóæíîé (á) ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè. (Çäåñü è íà ðèñ. 3, 4: 1 – òî÷íîå âîëíîâîå ðåøåíèå äëÿ ðåàëüíîãî ÊÌ, ïîëó÷åííîå ÌÊÐ; 2, 3, 4 – àíàëèòè÷åñêèå ðàñ÷åòû äëÿ ãèïîòåòè÷åñêèõ ÊÌ, îïðåäåëåííûõ ïî 1-, 2- è 3-ìó ñïîñîáó ñîîòâåòñòâåííî.) a á Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ... âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ D 0, íåîáõîäèìî ñ÷èòàòü ìàòåðèàë íåñæèìàåìûì ( , ).� 0 5 À ýòî, êàê ïîêàçûâàþò äàííûå ðèñ. 4, ïðèâîäèò ê ãîðàçäî õóäøèì ðåçóëüòàòàì, ÷åì çàìåíà èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà ãèïîòåòè÷åñêèì òðàíñòðîï- íûì ïî ôîðìóëå (40). Äâóõñëîéíàÿ ñôåðà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà âàðèàíòà ñëîåâ îäèíàêîâîé òîëùèíû: 1) âíóòðåííèé ñëîé âûïîëíåí èç ÊÌ ¹ 1, íàðóæíûé – èç ÊÌ ¹ 2; 2) âíóòðåííèé ñëîé âûïîëíåí èç ÊÌ ¹ 2, íàðóæíûé – èç ÊÌ ¹ 1. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5. Âèäíî õîðîøåå ñîîòâåòñò- âèå ìåæäó àíàëèòè÷åñêèìè (ïðèáëèæåííûå, Di 0) ðåçóëüòàòàìè è ïîëó- ÷åííûìè ÷èñëåííûì ÌÊÐ äëÿ ñëó÷àåâ òî÷íûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷ (Di 0). Ïðè èñïîëüçîâàíèè àíàëèòè÷åñêîãî ïîäõîäà îñíîâíàÿ ÷àñòîòà ðàäèàëüíûõ êîëå- áàíèé îáîëî÷êè íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðè ýòîì êðèâûå, ïîëó÷åííûå ÷èñëåííûì 104 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå �� Ð0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ ñôåðû èç ìàòåðèàëà ¹ 2 íà âíóòðåííåé (à) è íàðóæíîé (á) ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè. a á Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ ìåòîäîì (Di 0), êîëåáëþòñÿ ñ íåáîëüøîé àìïëèòóäîé îòíîñèòåëüíî ãëàäêèõ êðèâûõ, ïîëó÷åííûõ àíàëèòè÷åñêè (Di 0). Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ àíàëèòè- ÷åñêèå êðèâûå ÿâëÿþòñÿ îãèáàþùèìè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàôèêîâ, ïîëó- ÷åííûõ ÌÊÐ, ïðè ýòîì îøèáêà ïðèáëèæåíèÿ èäåò â çàïàñ ïðî÷íîñòè. Â û â î ä û 1. Ïðåäëîæåí ýôôåêòèâíûé àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ â êâàä- ðàòóðàõ êðàåâûõ íåñòàöèîíàðíûõ öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ìíîãîñëîéíûõ òðàíñòðîïíûõ ñôåð â ñëó÷àå Di 0. 2. Èññëåäîâàíà òî÷íîñòü ìåòîäà è ñõîäèìîñòü ðåøåíèé ïðè Di "0 ê ïîëó÷åííûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèÿì ïðè Di 0. 3. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ÊÌ ïðè D 0 ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ýôôåêòèâíîå ïåðâîå ïðèáëèæåíèå. ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 105 Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå �� Ð0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ ñôåðû èç ìàòåðèàëà ¹ 3 íà âíóòðåííåé (à) è íàðóæíîé (á) ïîâåðõíîñòÿõ îáîëî÷êè. a á Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ... Ð å ç þ ì å Ïîáóäîâàíî àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê ó êâàäðàòóðàõ îäíîãî êëàñó äèíàì³÷íèõ öåíòðàëüíî ñèìåòðè÷íèõ êðàéîâèõ çàäà÷ òåîð³¿ ïðóæíîñò³ äëÿ áàãàòîøàðîâèõ òðàíñòðîïíèõ ñôåð, â ÿêèõ øâèäê³ñòü çâóêó â ðàä³àëüíîìó íàïðÿìêó ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³. Äîñë³äæåíî çá³æí³ñòü ³ òî÷í³ñòü îòðèìàíèõ ðîçâ’ÿçê³â. Ïîêàçàíî, ùî îòðèìàí³ àíàë³òè÷í³ ðîçâ’ÿçêè ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè ÿê ïåðøå íàáëèæåííÿ äëÿ âèïàäê³â, êîëè øâèäê³ñòü çâóêó â ìàòåð³àëàõ ñê³í÷åííà. 1. Ëåõíèöêèé Ñ. Ã. Òåîðèÿ óïðóãîñòè àíèçîòðîïíîãî òåëà. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 415 ñ. Ðèñ. 5. Èçìåíåíèå �� Ð0 â çàâèñèìîñòè îò t äëÿ äâóõñëîéíîé ñôåðû: à – âíóòðåííèé ñëîé – ÊÌ ¹ 1, íàðóæíûé – ÊÌ ¹ 2; á – âíóòðåííèé ñëîé – ÊÌ ¹ 2, íàðóæíûé – ÊÌ ¹ 1. 106 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 a á Â. À. Ðîìàùåíêî, Ñ. À. Òàðàñîâñêàÿ 2. Èâàíîâ À. Ã., Ñûðóíèí Ì. À., Ôåäîðåíêî À. Ã. Âëèÿíèå ñòðóêòóðû àðìèðîâàíèÿ íà ïðåäåëüíóþ äåôîðìèðóåìîñòü è ïðî÷íîñòü îáîëî÷åê èç îðèåíòèðîâàííîãî ñòåêëîïëàñòèêà ïðè âçðûâíîì íàãðóæåíèè âíóòðè // Ïðèêë. ìåõàíèêà è òåîðåò. ôèçèêà. – 1992. – ¹ 4. – Ñ. 130 – 135. 3. Íîâàöêèé Â. Òåîðèÿ óïðóãîñòè / Ïåð. ñ ïîëüñê. – Ì.: Ìèð, 1975. – 872 ñ. 4. Ôðèäìàí Ë. È. Ðåøåíèå äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè â êðèâî- ëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1976. – ¹ 5. – Ñ. 56 – 61. 5. Ãàëèåâ Ø. Ó., Áàáè÷ Þ. Í., Æóðàõîâñêèé Ñ. Â. è äð. ×èñëåííîå ìîäåëè- ðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â îãðàíè÷åííûõ ñðåäàõ. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. – 200 ñ. 6. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 2. – Ì.: Íàóêà, 1974. – 655 ñ. 7. Ðîìàùåíêî Â. À. Ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ íåñæèìàåìûõ è ñëàáî ñæèìàåìûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ òîëñòîñòåííûõ öè- ëèíäðîâ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. – 2007. – 71, âûï. 1. – Ñ. 56 – 65. 8. Àøêåíàçè Å. Ê., Ãàíîâ Ý. Â. Àíèçîòðîïèÿ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ: Ñïðàâî÷íèê. – Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1980. – 247 ñ. Ïîñòóïèëà 23. 04. 2009 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 2 107 Äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè ...

Динамическая задача теории упругости для транстропной многослойной сферы

Institution

Ähnliche Einträge