Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров
На основе комбинации разложений переменных в ряды Фурье по угловой координате и двухмерного алгоритма Уилкинса разработан численно-аналитический метод исследования трехмерной неосесимметричной динамики многослойных толстостенных упругих спирально ортотропных цилиндров конечной длины. Проведено те...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112779 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров / В.А. Ромащенко, О.С. Бейнер, Ю.Н. Бабич // Проблемы прочности. — 2011. — № 4. — С. 103-113. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859860289605861376 |
|---|---|
| author | Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Бабич, Ю.Н. |
| author_facet | Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Бабич, Ю.Н. |
| citation_txt | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров / В.А. Ромащенко, О.С. Бейнер, Ю.Н. Бабич // Проблемы прочности. — 2011. — № 4. — С. 103-113. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | На основе комбинации разложений переменных в ряды Фурье по угловой координате и
двухмерного алгоритма Уилкинса разработан численно-аналитический метод исследования
трехмерной неосесимметричной динамики многослойных толстостенных упругих спирально
ортотропных цилиндров конечной длины. Проведено тестирование предложенного метода,
основанное на сравнении результатов с полученными путем использования вычислительного
ядра LS-DYNA учебной версии ANSYS ED. Численно исследованы некоторые особенности
динамического поведения двухслойного спирально армированного цилиндра при внутреннем
импульсном нагружении сосредоточенным зарядом взрывчатого вещества, смещенным относительно центра симметрии оболочки.
На основі комбінації розкладання змінних у ряди Фур’є вздовж кутової координати та двовимірного алгоритму Уілкінса розроблено числовий аналітичний метод дослідження тривимірної неосесиметричної динаміки багатошарових товстостінних пружних спірально ортотропних циліндрів скінченної довжини. Проведено тестування запропонованого методу на основі порівняння результатів з отриманими шляхом використання обчислювального ядра LS-DYNA учбової версії ANSYS ED. Чисельно досліджено деякі особливості динамічної поведінки двошарового спірально армованого циліндра під дією внутрішнього імпульсного навантаження зосередженим зарядом вибухової речовини, зсунутим відносно центра симетрії оболонки.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:45:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîé äèíàìèêè
ìíîãîñëîéíûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ öèëèíäðîâ
Â. À. Ðîìàùåíêî, Î. Ñ. Áåéíåð, Þ. Í. Áàáè÷
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Íà îñíîâå êîìáèíàöèè ðàçëîæåíèé ïåðåìåííûõ â ðÿäû Ôóðüå ïî óãëîâîé êîîðäèíàòå è
äâóõìåðíîãî àëãîðèòìà Óèëêèíñà ðàçðàáîòàí ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ
òðåõìåðíîé íåîñåñèììåòðè÷íîé äèíàìèêè ìíîãîñëîéíûõ òîëñòîñòåííûõ óïðóãèõ ñïèðàëüíî
îðòîòðîïíûõ öèëèíäðîâ êîíå÷íîé äëèíû. Ïðîâåäåíî òåñòèðîâàíèå ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà,
îñíîâàííîå íà ñðàâíåíèè ðåçóëüòàòîâ ñ ïîëó÷åííûìè ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíîãî
ÿäðà LS-DYNA ó÷åáíîé âåðñèè ANSYS ED. ×èñëåííî èññëåäîâàíû íåêîòîðûå îñîáåííîñòè
äèíàìè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ äâóõñëîéíîãî ñïèðàëüíî àðìèðîâàííîãî öèëèíäðà ïðè âíóòðåííåì
èìïóëüñíîì íàãðóæåíèè ñîñðåäîòî÷åííûì çàðÿäîì âçðûâ÷àòîãî âåùåñòâà, ñìåùåííûì îòíî-
ñèòåëüíî öåíòðà ñèììåòðèè îáîëî÷êè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñïèðàëüíàÿ îðòîòðîïèÿ, òðåõìåðíàÿ äèíàìèêà, ìíîãîñëîé-
íûé òîëñòîñòåííûé öèëèíäð, ðÿäû Ôóðüå, àëãîðèòì Óèëêèíñà, íåîñåñèììåò-
ðè÷íàÿ íàãðóçêà.
Ââåäåíèå. Êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû (ÊÌ) íàõîäÿò âñå áîëåå øèðîêîå
ïðèìåíåíèå â òåõíèêå, â ÷àñòíîñòè â êîíñòðóêöèÿõ, ïîäâåðæåííûõ íåñòà-
öèîíàðíûì íàãðóçêàì. Ê òàêèì êîíñòðóêöèÿì â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíîñÿòñÿ
ñîñóäû, êîðïóñà èëè çàùèòíûå ñîîðóæåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ óäåðæàíèÿ
â ñâîåé ïîëîñòè çíà÷èòåëüíûõ ãèäðî- ëèáî ãàçîäèíàìè÷åñêèõ íàãðóçîê [1, 2].
Ñòðóêòóðà è òåõíîëîãèÿ ñîçäàíèÿ ÊÌ ïðåäîïðåäåëÿþò èõ êà÷åñòâåííûå ðàç-
ëè÷èÿ â ðåàêöèè íà äèíàìè÷åñêóþ íàãðóçêó.  ïðèëîæåíèÿõ èñïîëüçóþòñÿ
ìíîãîñëîéíûå îáîëî÷êè âðàùåíèÿ, èçãîòîâëåííûå èç êîìïîçèòíûõ ñëîåâ,
àðìèðîâàííûõ ïî ñïèðàëè ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì � ê îáðàçóþùåé. Òàêèå
îáîëî÷êè, êàê ïðàâèëî, ëîêàëüíî îðòîòðîïíû. Îäíàêî èõ ãëàâíûå îñè àíèçî-
òðîïèè �x , �� , r íå ñîâïàäàþò ñ îñÿìè ãëîáàëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò x , �, r , à ïîâåðíóòû îòíîñèòåëüíî îñè r íà óãîë àðìèðîâàíèÿ. Âî
ìíîãèõ ðàáîòàõ [1–4] îòìå÷àåòñÿ, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè íàïðÿæåííî-äåôîð-
ìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ (ÍÄÑ) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ýôôåêòû, îáóñëîâëåí-
íûå íåñîâïàäåíèåì ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé óïðóãîñòè ñ íàïðàâëåíèåì êîîðäè-
íàòíûõ ëèíèé.
Áîëüøèíñòâî èññëåäîâàíèé ïîäîáíûõ êîíñòðóêöèé ïðîâîäèëîñü ïðè îñå-
ñèììåòðè÷íîì íàãðóæåíèè [3, 4].  ñëó÷àå íåîñåñèììåòðè÷íîé íåñòàöèîíàð-
íîé íàãðóçêè, êîíå÷íîé äëèíû öèëèíäðè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâíîãî ýëåìåíòà,
ëîêàëüíîñòè íàãðóæåíèÿ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ñòàíîâèòñÿ ÷åòûðåõìåðíîé, çà-
âèñÿùåé îò òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò x , �, r è âðåìåíè t. Äëÿ
÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ òàêèõ êðàåâûõ çàäà÷, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþò
ñîâðåìåííûå êîììåð÷åñêèå ïàêåòû òèïà LS-DYNA, áàçèðóþùèåñÿ íà òðåõ-
ìåðíîì (3D) äèíàìè÷åñêîì ìåòîäå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ).
Îäíàêî â ñëó÷àå òåë âðàùåíèÿ è óïðóãèõ äåôîðìàöèé, êîãäà çàäà÷à
ëèíåéíà è çàâèñèìîñòü ÍÄÑ îò óãëà � îáóñëîâëåíà òîëüêî íåîñåñèììåò-
© Â. À. ÐÎÌÀÙÅÍÊÎ, Î. Ñ. ÁÅÉÍÅÐ, Þ. Í. ÁÀÁÈ×, 2011
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4 103
ðè÷íîñòüþ íàãðóæåíèÿ, ìîæíî îáîéòèñü è áåç ïðèâëå÷åíèÿ 3D-ýëåìåíòîâ.
Êàê ïîêàçûâàåò îïûò [5], â òàêèõ ñëó÷àÿõ õîðîøî çàðåêîìåíäîâàë ñåáÿ
÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà ðàçëîæåíèè ïåðåìåííûõ â
ðÿäû Ôóðüå ïî �, â ðåçóëüòàòå ÷åãî èñõîäíàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ òðåõìåðíàÿ
êðàåâàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàáîðó äâóõìåðíûõ. Äëÿ ìíîãîñëîéíûõ èçîòðîï-
íûõ è öèëèíäðè÷åñêè îðòîòðîïíûõ öèëèíäðîâ ýòîò ìåòîä óñïåøíî ïðèìå-
íÿëñÿ ðàíåå [5].
Öåëü äàííîé ðàáîòû – ìîäèôèöèðîâàòü óêàçàííûé ìåòîä íà ñëó÷àé
íåîñåñèììåòðè÷íîãî äèíàìè÷åñêîãî íàãðóæåíèÿ òîëñòîñòåííûõ ìíîãîñëîé-
íûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ öèëèíäðîâ, ïðîâåñòè òåñòèðîâàíèå è ïîêàçàòü
åãî ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïóòåì ïðîâåäåíèÿ ìîäåëüíîãî ðàñ÷åòà.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà êðàåâîé çàäà÷è. Ñôîðìóëèðóåì ìàòåìà-
òè÷åñêè çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ (íà÷àëî êîîðäèíàò óñëîâèìñÿ âñåãäà ðàñïîëà-
ãàòü â öåíòðå ñèììåòðèè öèëèíäðà). Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ
êîîðäèíàòàõ ñ ó÷åòîì ïðîèçâîëüíîãî (îò �90 äî � �90 ) óãëà ñïèðàëüíîãî
àðìèðîâàíèÿ �, êîòîðûé ïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííûì â ïðåäåëàõ ðàññìàòðèâà-
åìîãî ñëîÿ, èìåþò âèä [5]
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
� �
�
r r rx r r
rx x
r r x r
du
dt
r r
� � �
�
�
� �
;
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � � �
x rx x
r x r
x r
du
dt
r r x r
du
d
� �
� � � �
;
2
t
,
�
�
�
�
�
�
�
�
(1)
ãäå � – ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ñëîÿ; r , � , x ,
rx ,
�r ,
�x – êîìïîíåíòû
òåíçîðà íàïðÿæåíèé; t – âðåìÿ; ur , u� , ux – êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè
ïåðåìåùåíèé.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, âûðàæàþùèå òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìà-
öèé ÷åðåç âåêòîð ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèé, çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì [5]:
� ; � ;
� ; �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
� �
�
�
r
r
r
r
r
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
r
� � � �
� � x
r x
x
x
x
x
u
x
u
r
u
x
u
r
u
x
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
;
� ; � .
(2)
Ôèçè÷åñêèå óðàâíåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè ñ ó÷åòîì ïðîèçâîëüíîãî óãëà
ñïèðàëüíîãî àðìèðîâàíèÿ ñëîÿ � ïðåäñòàâèì â âåêòîðíîé ôîðìå:
d
dt
Cx r x r rx x r x r{ ; ; ; ; ; } {� ; � ; � ; � ; � ;
� � � � �� � � � � �� � },� rx (3)
104 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4
Â. À. Ðîìàùåíêî, Î. Ñ. Áåéíåð, Þ. Í. Áàáè÷
ãäå êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà Ñ ðàçìåðíîñòè 6 6� ñèììåòðè÷íà (Ñ Cij ji� ) è
èìååò ñëåäóþùèå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû [6]:
C B A A B Gx x x x12
2 22 4� � � � �� � � � � �( )sin cos ;
C G A A Bx x x44
2 2 22 2� � � �� � �� � �cos ( )sin cos ; C Ar33 � ;
{ ; } { ; }cos { ; }sin { ; }{ ,C C A A A A B Gx x x11 22
4 4 1 1 0 5� � � �� � �� � x� �}sin ;2 2
{ ; ; ; }C C C C13 23 55 66 �
� �{ ; ; ; }cos { ; ; ; }sin ;B B G G B B G Grx r r rx r rx rx r� � � �� �2 2
{ ; } { ; }sin cos ;C C B B G Gr rx r rx34 56 � � �� � � �
{ ; } [{ ; }sin { ; }cosC C A A A Ax x14 24
2 2� � � � �� �� �
� � �{ ; }{ }cos ]sin cos ,1 1 2 2B Gx x� � � � �
ãäå
A
E
Dx
x r r
�
�( )
;
1
0
� �� �
B
E
Dx
x xr r
�
� � �� � �
�
�( )
;
0
D x r rx x x r r rx xr0 1 2� � � � �� � � � � � � � �� � � � � � ;
âûðàæåíèÿ äëÿ A� , Ar , B r� , Brx ïîëó÷åíû ïóòåì öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè
èíäåêñîâ x , �, r; Ei , � ij , Gij (i, j x r� , , ;� i j� ) – òåõíè÷åñêèå õàðàêòå-
ðèñòèêè óïðóãîñòè îðòîòðîïíîãî ìàòåðèàëà â ãëàâíûõ îñÿõ àíèçîòðîïèè ïðè
óãëå àðìèðîâàíèÿ ��0, ò.å. â ñëó÷àå öèëèíäðè÷åñêè îðòîòðîïíîãî òåëà (Ei –
ìîäóëè óïðóãîñòè; Gij – ìîäóëè ñäâèãà; � ij – êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà â
ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðàâëåíèÿõ è ïëîñêîñòÿõ). Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ðàâåí-
ñòâà [6]:
E Ei ji j ij� �� , i j� , (4)
è äëÿ ðåàëüíûõ ìàòåðèàëîâ èìååì D0 0� .
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1)–(4) çàìûêàåòñÿ íà÷àëüíûìè, ãðàíè÷íûìè è êîí-
òàêòíûìè óñëîâèÿìè. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîëàãàëèñü íóëåâûìè, ãðàíè÷íûå –
ñèëîâûìè íà öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ (âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü îáîëî÷-
êè ïîäâåðãàëàñü çàäàííîìó èìïóëüñíîìó äàâëåíèþ P x t( , , ),� íàðóæíàÿ áûëà
ñâîáîäíà îò íàãðóçîê) è êèíåìàòè÷åñêèìè íà òîðöàõ – îáà òîðöà öèëèíäðà
íåïîäâèæíû. Êîíòàêò ìåæäó ñëîÿìè ñ÷èòàëñÿ èäåàëüíûì.
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ. Èñêîìûå ôóíêöèè â óðàâíå-
íèÿõ ñèñòåìû (1)–(4) çàâèñÿò îò òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ è âðåìå-
íè.  ñâÿçè ñ ëèíåéíîñòüþ ïîñòàíîâêè çàäà÷è èìååòñÿ âîçìîæíîñòü óìåíü-
øåíèÿ êîëè÷åñòâà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå
âñåõ íåèçâåñòíûõ è äàâëåíèÿ ïî îêðóæíîé êîîðäèíàòå:
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîé äèíàìèêè ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4 105
F x r t F x r t n F x r t nn
s
n
c
n
N
( , , , ) ( ( , , )sin ( , , )cos ),� � �� �
�
�
0
(5)
ãäå â êà÷åñòâå F áóäóò ïîî÷åðåäíî èñïîëüçîâàòüñÿ äàâëåíèå, à òàêæå âñå
êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè, òåíçîðîâ íàïðÿæåíèé è ñêîðîñòåé äåôîðìà-
öèé. Äëÿ îäíèõ âèäîâ íàãðóçîê ïàðàìåòð N áóäåò êîíå÷íûì, äëÿ äðóãèõ –
áåñêîíå÷íûì. Òåì íå ìåíåå ïðàêòè÷åñêè âñåãäà â ñëó÷àå íàãðóçîê, èìåþùèõ
ôèçè÷åñêèé ñìûñë, ìîæíî ïóòåì àíàëèòè÷åñêîãî èëè ÷èñëåííîãî àíàëèçà
ïîäîáðàòü òàêîå êîíå÷íîå N , ïðè êîòîðîì ïîëó÷àåìûå ðåøåíèÿ áóäóò óäî-
âëåòâîðÿòü òðåáóåìîé òî÷íîñòè.
Ïîäñòàâëÿÿ (5) â (1)–(3), ïîëó÷àåì N �1 âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñèñòåì
óðàâíåíèé, ãäå íåèçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå, èçìåíÿ-
þùèåñÿ ïî äâóì ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì x , r è âðåìåíè. Ñëåäóåò
îòìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå èçîòðîïèè èëè öèëèíäðè÷åñêîé îðòîòðîïèè öèëèíäðà
ýòè N �1 ñèñòåì ðàñïàäàëèñü åùå îòäåëüíî ïî êîñèíóñàì è ñèíóñàì ñîîò-
âåòñòâåííî, òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àëîñü 2 1N � íåçàâèñèìûõ ñèñòåì ñ
ìåíüøèì ÷èñëîì óðàâíåíèé â êàæäîé.  ñëó÷àå ñïèðàëüíîé îðòîòðîïèè
òàêîãî íå ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð, äàæå åñëè P x t( , , )� ðàñêëàäûâàåòñÿ òîëüêî
ïî êîñèíóñàì, èñêîìûå íåèçâåñòíûå áóäóò ðàñêëàäûâàòüñÿ êàê ïî êîñèíóñî-
èäàëüíûì, òàê è ïî ñèíóñîèäàëüíûì ãàðìîíèêàì. È ñèñòåìà, ñîîòâåòñòâó-
þùàÿ n-é ãàðìîíèêå, íå áóäåò ðàñïàäàòüñÿ íà äâå îòäåëüíûå ñèñòåìû ïî
ñîîòâåòñòâóþùèì ñèíóñàì è êîñèíóñàì.
Êàæäàÿ èç ñèñòåì óðàâíåíèé ðåøàåòñÿ ÷èñëåííî îòíîñèòåëüíî êîýôôè-
öèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Óèëêèíñà [4, 5, 7], ëèíåàðèçîâàí-
íîãî äëÿ ñëó÷àÿ ìàëûõ äåôîðìàöèé, ïîâîðîòîâ è ïåðåìåùåíèé. Îòëè÷èå
ëèíåàðèçîâàííîãî àëãîðèòìà îò òðàäèöèîííîãî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:
1) êîíå÷íîðàçíîñòíàÿ ñåòêà âìîðàæèâàåòñÿ â ñðåäó îäèí ðàç è íàâñåãäà è
íå äâèæåòñÿ âìåñòå ñî ñðåäîé;
2) âìåñòî ñêîðîñòåé óçëîâ ñåòêè èñïîëüçóþòñÿ ñêîðîñòè èõ ïåðåìåùå-
íèé;
3) íèêàêèõ ïîïðàâîê íà ïîâîðîò ÍÄÑ ýëåìåíòà ìåæäó ñîñåäíèìè âðå-
ìåííûìè øàãàìè íåò;
4) âû÷èñëåíèå ìàññèâîâ ìàññ ÿ÷ååê íå òðåáóåòñÿ;
5) âðåìåííîé øàã ïîñòîÿíåí è âû÷èñëÿåòñÿ îäèí ðàç â íà÷àëå ðàñ÷åòà èç
óñëîâèÿ Êóðàíòà;
6) äëÿ ðåãóëÿðíûõ ðàçíîñòíûõ ñåòîê âñå ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå
ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü íå ôîðìóëîé Ãðèíà, à ñ ïîìîùüþ ðÿäîâ Òåéëîðà
(ðèñ. 1);
7) â ñëó÷àå ðåãóëÿðíûõ ðàçíîñòíûõ ñåòîê âñå ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû äëÿ
óçëîâ (ðèñ. 1,à) â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ (1) àïïðîêñèìèðóþòñÿ òàê:
f
r
f f
r h
f f
r h
i i r i r� � �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
1
4 2 2
1 2
12
3 4
34( ) ( )
�
�
�
�
�
�,
ãäå ri – ðàäèóñ i-ãî óçëà; �12 è �34 – ïëîòíîñòè ìàòåðèàëà â âåðõíèõ (1, 2) è
íèæíèõ (3, 4) ÿ÷åéêàõ ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 1,à).
106 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4
Â. À. Ðîìàùåíêî, Î. Ñ. Áåéíåð, Þ. Í. Áàáè÷
Ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû äëÿ öåíòðà ðàçíîñòíîé ÿ÷åéêè (ðèñ. 1,á) â ãåîìåò-
ðè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèÿõ (2) àïïðîêñèìèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
u
r
u u
r
u u
r hr
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
1
4
1 2
12
3 4
12
,
ãäå r12 – ðàäèóñ 1- èëè 2-ãî óçëà, ÷òî îäíî è òî æå íà ðèñ. 1,á.
Äàëåå èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ðåãóëÿðíûå ðàçíîñòíûå ñåòêè.  ñëó÷àå
ìíîãîñëîéíîãî öèëèíäðà óçëû ñåòêè äîëæíû òî÷íî ïîïàäàòü íà êîíòàêòíóþ
ïîâåðõíîñòü.
Íà îñíîâå ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé ðàçðàáîòàí ïàêåò ïðèêëàäíûõ ïðî-
ãðàìì (ÏÏÏ), íàïèñàííûé íà ÿçûêå ïðîãðàììèðîâàíèÿ Delphi, äëÿ íåîñå-
ñèììåòðè÷íîãî òðåõìåðíîãî äèíàìè÷åñêîãî ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ÍÄÑ ìíîãî-
ñëîéíûõ òîëñòîñòåííûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ óïðóãèõ öèëèíäðîâ ïðè
ïðîèçâîëüíîì óãëå àðìèðîâàíèÿ êàæäîãî ñëîÿ.
Òåñòèðîâàíèå ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà. Ïîäîáíûé ÏÏÏ äëÿ êðàåâûõ
çàäà÷ ñ èçîòðîïèåé ëèáî öèëèíäðè÷åñêîé îðòîòðîïèåé ñëîåâ òåñòèðîâàëñÿ
ðàíåå [5]. Ââèäó îòñóòñòâèÿ â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ äàííûõ î íåîñåñèì-
ìåòðè÷íîì äèíàìè÷åñêîì íàãðóæåíèè öèëèíäðè÷åñêèõ ñïèðàëüíî àíèçîòðîï-
íûõ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ ìîäèôèöèðîâàííûé ÏÏÏ òåñòèðîâàëñÿ ìåòî-
äîì ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ñ ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ âû÷èñëèòåëüíîãî ÿäðà
LS-DYNA, âõîäÿùåãî â áåñïëàòíóþ ó÷åáíî-òåñòîâóþ âåðñèþ ìíîãîôóíêöè-
îíàëüíîãî ïðîãðàììíîãî êîìïëåêñà êîíå÷íîýëåìåíòíûõ ðàñ÷åòîâ ANSYS ED.
Çàìåòèì, ÷òî â LS-DYNA íå èñïîëüçóþòñÿ ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû,
îñíîâàííûå íà ðàçëîæåíèÿõ â ðÿäû Ôóðüå, è âñå òðåõìåðíûå çàäà÷è ðåøà-
þòñÿ äèíàìè÷åñêèì ÌÊÝ íà 3D êîíå÷íîýëåìåíòíîé ñåòêå â äåêàðòîâûõ
êîîðäèíàòàõ.
�
�
f
x
f f f f
hi x
�
�
�
�
�
� �
� � �1 4 2 3
2
;
�
�
u
x
u u u u
hx
�
� � �2 3 1 4
2
;
�
�
f
r
f f f f
hi r
�
�
�
�
�
� �
� � �1 2 3 4
2
;
�
�
u
r
u u u u
hr
�
� � �3 4 1 2
2
.
à á
Ðèñ. 1. Êîíå÷íîðàçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ i-ãî óçëà (à) è
öåíòðà ðàçíîñòíîé ÿ÷åéêè (á).
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4 107
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîé äèíàìèêè ...
 êà÷åñòâå òåñòîâîé çàäà÷è ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîñëîéíûé öèëèíäð ñëåäó-
þùèõ ðàçìåðîâ: âíóòðåííèé ðàäèóñ R1 0 1� , ì, âíåøíèé ðàäèóñ R2 0 12� , ì,
äëèíà L�0 4, ì. Öèëèíäð âûïîëíåí èç àðìèðîâàííîãî ïîä óãëîì 45� ê
îáðàçóþùåé ñòåêëîïëàñòèêà ñ òàêèìè ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòè-
êàìè [2]: E Er� � �14000 ÌÏà; Åõ �57000 ÌÏà; G Gx rx� � �5750 ÌÏà;
G r� �5000 ÌÏà; � �x �0 277, ; � �r �0 4, ; � rx �0 068, ; ��1990 êã/ì 3; � �� 4.
Èñïîëüçîâàëè íàãðóçêó
P x t P H T t( , , ) ( cos ) ( ),� �� � �0 01 (6)
ãäå H t( ) – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà.  ðàñ÷åòàõ ïîëàãàëè P0 10� ÌÏà, Ò 0 �
� � �2 10 5 ñ.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ íàãðóçêè òèïà (6) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü òîëüêî íóëå-
âóþ è ïåðâóþ ãàðìîíèêè, ïîñêîëüêó âñå îñòàëüíûå áóäóò òîæäåñòâåííûìè
íóëÿìè. Ðèñ. 2, ãäå ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû òåñòîâûõ ðàñ÷åòîâ, èëëþñòðè-
ðóåò èçìåíåíèå âî âðåìåíè áåçðàçìåðíûõ íàïðÿæåíèé. Âèäíî, ÷òî äàííûå,
ïîëó÷åííûå ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè è ñ ïîìîùüþ ðàçíûõ ÏÏÏ, õîðîøî ñîãëà-
ñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Ýòî ïîäòâåðæäàåò õîðîøóþ òî÷íîñòü ðàçðàáîòàííîãî
ÏÏÏ è ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà.  ñëó÷àå îñåñèììåòðè÷íûõ íàãðó-
çîê, êîãäà â ðàñ÷åò ïðèíèìàåòñÿ òîëüêî íóëåâàÿ ãàðìîíèêà, ðåçóëüòàòû, ïîëó-
÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäëîæåííîãî ÏÏÏ, òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþò ñ
òàêîâûìè, ïîëó÷åííûìè ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàíåå ðàçðàáîòàííîãî ÏÏÏ äëÿ
ðàñ÷åòà îñåñèììåòðè÷íîé äèíàìèêè ìíîãîñëîéíûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ
öèëèíäðîâ [4].
Ìîäåëüíûé ðàñ÷åò. Ðàññìàòðèâàåòñÿ äâóõñëîéíûé öèëèíäð, èìåþùèé òå
æå ðàçìåðû, ÷òî è îäíîñëîéíûé, òîëùèíà ñëîåâ ïðåäïîëàãàëàñü îäèíàêîâîé –
ïî 0,01 ì êàæäûé. Ìàòåðèàë âíóòðåííåãî ñëîÿ òàêîé, êàê è â òåñòîâîé çàäà÷å,
íî ñ äðóãèì óãëîì íàâèâêè: ïîä óãëîì 30� ê îáðàçóþùåé. Íàðóæíûé ñëîé
âûïîëíåí èç ñòåêëîïëàñòèêà ñ òàêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè [2]: E� �10500 ÌÏà;
Åõ �30900 ÌÏà; År �27400 ÌÏà; Gx� �3660 ÌÏà; G r� �3690 ÌÏà; Grx �
�3960 ÌÏà; � �x �0 443, ; � �r �0 16, ; � rx �0 11, ; ��1760 êã/ì 3; � ��� 3.
Äâóõñëîéíàÿ îáîëî÷êà òàêèì îáðàçîì áûëà îðòîãîíàëüíî àðìèðîâàíà:
âíóòðåííèé ñëîé ïîä óãëîì 30�, íàðóæíûé – ïîä óãëîì � �60 ê îáðàçóþùåé.
Íàãðóæåíèå îáîëî÷êè ïðîâîäèòñÿ ñìåùåííûì îòíîñèòåëüíî öåíòðà åå
ñèììåòðèè ñôåðè÷åñêèì çàðÿäîì òðîòèëîãåêñîãåíîâîãî âçðûâ÷àòîãî âåùåñòâà
(ÂÂ), ñîâïàäàþùèì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, è ñîãëàñíî [4, 8] äàâëåíèå íà
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà èìååò âèä
P x t P
H R a t
( , , )
( cos )
( cos
�
! �
! �
�
� � � �
� � �
�
0
1
1 2 2
2 2
1 2
1 2 )
,
3
(7)
ãäå � r R0 1; !� �( ) ;x x R0 1 a�6310 ì/ñ; Ð0 – íîìèíàëüíîå äàâëåíèå íà
ðàññòîÿíèè R1 îò öåíòðà çàðÿäà; õ 0 è r0 – îñåâàÿ è ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòû
öåíòðà çàðÿäà ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ îäíîãî çàðÿäà áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè
âñåãäà ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî îí ðàñïîëàãàåòñÿ â ïîëóïëîñêîñòè ��0.
108 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4
Â. À. Ðîìàùåíêî, Î. Ñ. Áåéíåð, Þ. Í. Áàáè÷
Ôóíêöèÿ âèäà (7) èìååò áåñêîíå÷íûé êîñèíóñîèäàëüíûé ðÿä Ôóðüå ïî �,
êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàéòè òî÷íî íåâîçìîæíî, ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå
îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû âû÷èñëÿþòñÿ ïðèáëèæåííî ïî ôîðìóëå ïðÿìîóãîëü-
íèêîâ. Ïðè ýòîì íèæíèå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ áëàãîäàðÿ ÷èñëèòåëþ â (7),
à
á
Ðèñ. 2. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû äëÿ ðàçíûõ òî÷åê: à – r R� 1 , x � 0, �� 0; á – r R� 1 , x � 0, � �� (1 –
r P0; 2 – � P0; 3 – x P0; 4 –
�x P0. (Ñïëîøíûå ëèíèè – ïî ïðåäëîæåííîìó ÷èñëåííî-
àíàëèòè÷åñêîìó ìåòîäó, øòðèõîâûå – ñ èñïîëüçîâàíèåì êîììåð÷åñêîãî ïàêåòà LS-DYNA.)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4 109
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîé äèíàìèêè ...
íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà âðåìåíè, ñòàíîâèëèñü ïåðåìåí-
íûìè. Ïðè � �r0 0 çàâèñèìîñòü Ð îò � â (7) èñ÷åçàåò, è èìååì îñåñèì-
ìåòðè÷íûé ñëó÷àé [4].
 ðàñ÷åòàõ ïîëàãàëè x L0 4�� , r R0 1 2� . Îïòèìàëüíîå ÷èñëî ãàðìîíèê
äëÿ ðàñ÷åòà âûáèðàëè èñõîäÿ èç àíàëèçà èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ âî âðåìåíè â
òî÷êå x x� 0 ; � �� ïðè ðàçëè÷íûõ N , òàê êàê äëÿ ýòîé òî÷êè ñõîäèìîñòü
ðÿäîâ Ôóðüå ôóíêöèè âèäà (7) áóäåò íàèõóäøåé [9]. Ðèñ. 3 èëëþñòðèðóåò
èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âî âðåìåíè â ýòîé òî÷êå ïðè ðàçíûõ N . Âèäíî, ÷òî ñ
äîñòàòî÷íîé äëÿ èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòîâ òî÷íîñòüþ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ÷èñëîì
ãàðìîíèê N �10. Ôóíêöèÿ (7) èìååò ñòóïåí÷àòûå ðàçðûâû, äâèæóùèåñÿ â
ïðîñòðàíñòâå ñî ñêîðîñòüþ à. Ïîýòîìó ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè
÷èñëà ãàðìîíèê â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ âñåãäà áóäóò âîçíèêàòü ïàðàçèòè-
÷åñêèå ýôôåêòû Ãèááñà [9], è èçáåæàòü ìàëûõ îñöèëëÿöèé ðàñ÷åòíûõ êðè-
âûõ âîêðóã òî÷íîé òåîðåòè÷åñêîé ëèíèè, âèäèìî, ïðè íàãðóçêå òèïà (7) íå
óäàñòñÿ íèêîãäà. Çàìåòèì, ÷òî íàãðóçêà (7) â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ñó-
ùåñòâåííî íåîñåñèììåòðè÷íà: íàïðèìåð, â ñå÷åíèè, ãäå ðàñïîëàãàåòñÿ çàðÿä
ÂÂ (!�0), èìïóëüñíîå äàâëåíèå íà âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü äâóõñëîéíîé
îáîëî÷êè èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò óãëà � â 27 ðàç ïî àìïëèòóäå è â òðè
ðàçà ïî äëèòåëüíîñòè.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ áåçðàçìåðíûõ íàïðÿæåíèé, îòíåñåííûõ ê P0 , â
ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ äâóõñëîéíîãî öèëèíäðà ïðè N �10 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4.
Âèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíûå � â äâóõñëîéíîì öèëèíäðå ðåàëèçóþòñÿ â çîíàõ,
íàèáîëåå áëèçêèõ ê ìåñòó ðàñïîëîæåíèÿ çàðÿäà ÂÂ, ìàêñèìàëüíûå õ – â
öåíòðàëüíîì ñå÷åíèè õ�0, ìàêñèìàëüíûå
�õ – â ñå÷åíèè, ñèììåòðè÷íîì
ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíèÿ çàðÿäà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñèììåòðèè îáîëî÷êè.
Ðèñ. 3. Îïðåäåëåíèå îïòèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà ãàðìîíèê äëÿ ðàñ÷åòà: 1 – N � 5; 2 – N �10; 3 –
N � 20. (Øòðèõîâàÿ ëèíèÿ – òî÷íîå çíà÷åíèå.)
110 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4
Â. À. Ðîìàùåíêî, Î. Ñ. Áåéíåð, Þ. Í. Áàáè÷
Ïðè ýòîì íàïðÿæåíèÿ õ è � ìîãóò èìåòü ëîêàëüíûå âñïëåñêè, îáóñëîâ-
ëåííûå âîëíîâûìè ïðîöåññàìè âäîëü îñè è îêðóæíîé êîîðäèíàòû è èõ
âçàèìíûì íàëîæåíèåì. Â ìåíüøåé ñòåïåíè ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ êàñàòåëüíûõ
íàïðÿæåíèé. ßâíî âûðàæåííûõ ýôôåêòîâ òèïà “ðàñêà÷êè” [4, 10] íå íàáëþ-
äàåòñÿ, ïîñêîëüêó îáîëî÷êà, âî-ïåðâûõ, íåïîäâèæíî çàêðåïëåíà ïî òîðöàì è,
âî-âòîðûõ, èìïóëüñíîå íàãðóæåíèå (7) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñóùåñò-
âåííî íåîñåñèììåòðè÷íî è, êðîìå òîãî, çíà÷èòåëüíî ñäâèíóòî âäîëü ïðîäîëü-
íîé îñè öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ñèììåòðèè.
à
á
â
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4 111
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîé äèíàìèêè ...
 û â î ä û
1. Ðàçðàáîòàíû ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä è ÏÏÏ äëÿ ðàñ÷åòà íåñòà-
öèîíàðíîãî òðåõìåðíîãî íåîñåñèììåòðè÷íîãî ÍÄÑ ìíîãîñëîéíûõ òîëñòîñòåí-
íûõ óïðóãèõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê ñî ñïèðàëüíîé îðòîòðîïèåé ñëîåâ.
ã
ä
å
Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå íàïðÿæåíèé âî âðåìåíè äëÿ ðàçëè÷íûõ òî÷åê äâóõñëîéíîãî öèëèíäðà: à –
r R� 1 , x L�� 4, � � 0; á – r R� 1, x � 0, � � 0; â – r R� 1, x L� 4, � � 0; ã – r R� 1, x L�� 4,
� �� ; ä – r R� 1, x � 0, � �� ; å – r R� 1, x L� 4, � �� . (Îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è
íà ðèñ. 2.)
112 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4
Â. À. Ðîìàùåíêî, Î. Ñ. Áåéíåð, Þ. Í. Áàáè÷
2. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä îòòåñòèðîâàí è íà ïðèìåðå êîíêðåòíîé êðàåâîé
çàäà÷è ïîêàçàíû åãî ðàáîòîñïîñîáíîñòü è âîçìîæíîñòè.
Ð å ç þ ì å
Íà îñíîâ³ êîìá³íàö³¿ ðîçêëàäàííÿ çì³ííèõ ó ðÿäè Ôóð’º âçäîâæ êóòîâî¿
êîîðäèíàòè òà äâîâèì³ðíîãî àëãîðèòìó Ó³ëê³íñà ðîçðîáëåíî ÷èñëîâèé àíàë³-
òè÷íèé ìåòîä äîñë³äæåííÿ òðèâèì³ðíî¿ íåîñåñèìåòðè÷íî¿ äèíàì³êè áàãàòî-
øàðîâèõ òîâñòîñò³ííèõ ïðóæíèõ ñï³ðàëüíî îðòîòðîïíèõ öèë³íäð³â ñê³í÷åííî¿
äîâæèíè. Ïðîâåäåíî òåñòóâàííÿ çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó íà îñíîâ³ ïîð³â-
íÿííÿ ðåçóëüòàò³â ç îòðèìàíèìè øëÿõîì âèêîðèñòàííÿ îá÷èñëþâàëüíîãî
ÿäðà LS-DYNA ó÷áîâî¿ âåðñ³¿ ANSYS ED. ×èñåëüíî äîñë³äæåíî äåÿê³ îñîá-
ëèâîñò³ äèíàì³÷íî¿ ïîâåä³íêè äâîøàðîâîãî ñï³ðàëüíî àðìîâàíîãî öèë³íäðà
ï³ä 䳺þ âíóòð³øíüîãî ³ìïóëüñíîãî íàâàíòàæåííÿ çîñåðåäæåíèì çàðÿäîì
âèáóõîâî¿ ðå÷îâèíè, çñóíóòèì â³äíîñíî öåíòðà ñèìåò𳿠îáîëîíêè.
1. Ôåäîðåíêî À. Ã., Ñûðóíèí Ì. À., Èâàíîâ À. Ã. Äèíàìè÷åñêàÿ ïðî÷íîñòü
îáîëî÷åê èç îðèåíòèðîâàííûõ âîëîêíèñòûõ êîìïîçèòîâ ïðè âçðûâíîì
íàãðóæåíèè (îáçîð) // Ïðèêë. ìåõàíèêà è òåõí. ôèçèêà. – 1993. – ¹ 1. –
Ñ. 126 – 133.
2. Àøêåíàçè Å. Ê., Ãàíîâ Ý. Â. Àíèçîòðîïèÿ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ.
Ñïðàâî÷íèê. – Ë.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1980. – 247 ñ.
3. Ìåõàíèêà êîìïîçèòîâ: Â 12 ò. – Ò. 9. Äèíàìèêà ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé.
– Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1999. – 400 ñ.
4. Ðîìàùåíêî Â. À. ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå íåëèíåéíîé äèíàìèêè ìíîãî-
ñëîéíûõ ñïèðàëüíî îðòîòðîïíûõ öèëèíäðîâ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2008.
– ¹ 6. – Ñ. 110 – 121.
5. Ãàëèåâ Ø. Ó., Áàáè÷ Þ. Í., Æóðàõîâñêèé Ñ. Â. è äð. ×èñëåííîå ìîäå-
ëèðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â îãðàíè÷åííûõ ñðåäàõ. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1989. – 200 ñ.
6. Ëåõíèöêèé Ñ. Ã. Òåîðèÿ óïðóãîñòè àíèçîòðîïíîãî òåëà. – Ì.: Íàóêà,
1977. – 416 ñ.
7. Óèëêèíñ Ì. Ë. Ðàñ÷åò óïðóãî-ïëàñòè÷åñêèõ òå÷åíèé // Âû÷èñëèòåëüíûå
ìåòîäû â ãèäðîäèíàìèêå. – Ì.: Ìèð, 1967. – Ñ. 212 – 263.
8. Áàóì Ô. À., Îðëåíêî Ë. Ï., Ñòàíþêîâè÷ Ê. Ï. è äð. Ôèçèêà âçðûâà. 2-å
èçä. – Ì.: Íàóêà, 1975. – 704 ñ.
9. Ôèõòåíãîëüö Ã. Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëå-
íèÿ. – Ì.: Íàóêà, 1969. – Ò. 3. – 656 ñ.
10. Ëóãîâîé Ï. Ç. Äèíàìèêà òîíêîñòåííûõ êîíñòðóêöèé ïðè íåñòàöèîíàðíûõ
íàãðóçêàõ // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 2001. – 37, ¹ 5. – Ñ. 44 – 73.
Ïîñòóïèëà 23. 12. 2009
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2011, ¹ 4 113
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîé äèíàìèêè ...
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112779 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:45:46Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Бабич, Ю.Н. 2017-01-27T10:20:40Z 2017-01-27T10:20:40Z 2011 Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров / В.А. Ромащенко, О.С. Бейнер, Ю.Н. Бабич // Проблемы прочности. — 2011. — № 4. — С. 103-113. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112779 539.3 На основе комбинации разложений переменных в ряды Фурье по угловой координате и двухмерного алгоритма Уилкинса разработан численно-аналитический метод исследования трехмерной неосесимметричной динамики многослойных толстостенных упругих спирально ортотропных цилиндров конечной длины. Проведено тестирование предложенного метода, основанное на сравнении результатов с полученными путем использования вычислительного ядра LS-DYNA учебной версии ANSYS ED. Численно исследованы некоторые особенности динамического поведения двухслойного спирально армированного цилиндра при внутреннем импульсном нагружении сосредоточенным зарядом взрывчатого вещества, смещенным относительно центра симметрии оболочки. На основі комбінації розкладання змінних у ряди Фур’є вздовж кутової координати та двовимірного алгоритму Уілкінса розроблено числовий аналітичний метод дослідження тривимірної неосесиметричної динаміки багатошарових товстостінних пружних спірально ортотропних циліндрів скінченної довжини. Проведено тестування запропонованого методу на основі порівняння результатів з отриманими шляхом використання обчислювального ядра LS-DYNA учбової версії ANSYS ED. Чисельно досліджено деякі особливості динамічної поведінки двошарового спірально армованого циліндра під дією внутрішнього імпульсного навантаження зосередженим зарядом вибухової речовини, зсунутим відносно центра симетрії оболонки. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров Article published earlier |
| spellingShingle | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров Ромащенко, В.А. Бейнер, О.С. Бабич, Ю.Н. Научно-технический раздел |
| title | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров |
| title_full | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров |
| title_fullStr | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров |
| title_full_unstemmed | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров |
| title_short | Численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров |
| title_sort | численно-аналитический метод исследования трехмерной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112779 |
| work_keys_str_mv | AT romaŝenkova čislennoanalitičeskiimetodissledovaniâtrehmernoidinamikimnogosloinyhspiralʹnoortotropnyhcilindrov AT beineros čislennoanalitičeskiimetodissledovaniâtrehmernoidinamikimnogosloinyhspiralʹnoortotropnyhcilindrov AT babičûn čislennoanalitičeskiimetodissledovaniâtrehmernoidinamikimnogosloinyhspiralʹnoortotropnyhcilindrov |