Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений
Предложен критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные подвыборки в условиях квазиповторных наблюдений для моделирования в классе авторегрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Выявлено условие редукции оптимальной авторегрессионной модели, которое зави...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112894 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений / О.П. Сарычев // Управляющие системы и машины. — 2016. — № 1. — С. 3–15. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860231785437200384 |
|---|---|
| author | Сарычев, О.П. |
| author_facet | Сарычев, О.П. |
| citation_txt | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений / О.П. Сарычев // Управляющие системы и машины. — 2016. — № 1. — С. 3–15. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Предложен критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные подвыборки в условиях квазиповторных наблюдений для моделирования в классе авторегрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Выявлено условие редукции оптимальной авторегрессионной модели, которое зависит от параметров модели и объемов выборок.
Запропоновано критерій регулярності з розбиттям вибірок спостережень на навчальні та перевірні підвибірки за умов квазіповторних спостережень для моделювання в класі авторегресійних рівнянь з випадковими коефіцієнтами. Виявлено умову редукції оптимальної авторегресійної моделі, що залежить від параметрів моделі і обсягів вибірок.
Introduction and purpose: The linear autoregression equation is traditional mathematical object in the theory and practice of the Group Method of Data Handling (GMDH). In 80-th years of the last century academician O.G. Ivakhnenko often posed such tasks in connection with so-called “the objective system analysis (OSA)” and then, as a rule, as criterion of selection of models (parameter of quality of regression equation) the criterion of regularity of GMDH was applied. The developed criterion is the criterion of regularity which is constructed with dividing of observations on training and testing subsamples in conditions of quasirepeated observations. Methods: Object of research is process of modelling in a class of autoregression equations in conditions of uncertainty on structure of regressors. In this theoretical article we used the multivariate statistical analysis, the regression analysis, the theory of matrixes, the mathematical analysis and the Group Method of Data Handling. Results: For modeling in a class of autoregression equations the criterion of regularity with dividing of observation sample on training and testing subsamples in conditions of quasirepeated observations is offered. It is proved, that the optimum set of regressors exists. The condition of a reduction of optimal autoregression equation is obtained. This condition depends on parameters of autoregression equation and volumes of samples. Conclusion: The developed criterion of regularity allows solving a problem of structural identification in a class of autoregression equations in conditions of quasirepeated observations and can be recommended at the decision of various scientific and practical problems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:21:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УСиМ, 2016, № 1 3
Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science
УДК 519.25:681.5
А.П. Сарычев
Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода
группового учета аргументов в условиях квазиповторных наблюдений
Предложен критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные подвыборки в условиях квази-
повторных наблюдений для моделирования в классе авторегрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Выявлено ус-
ловие редукции оптимальной авторегрессионной модели, которое зависит от параметров модели и объемов выборок.
Ключевые слова: структурная неопределенность, критерий регулярности.
Запропоновано критерій регулярності з розбиттям вибірок спостережень на навчальні та перевірні підвибірки за умов квазіпо-
вторних спостережень для моделювання в класі авторегресійних рівнянь з випадковими коефіцієнтами. Виявлено умову реду-
кції оптимальної авторегресійної моделі, що залежить від параметрів моделі і обсягів вибірок.
Ключові слова: структурна невизначеність, критерій регулярності.
Введение. Класс авторегрессионных уравнений
со случайными коэффициентами – известный
класс моделей в задачах структурной иденти-
фикации. Определение порядка авторегресси-
онных моделей в условиях неопределенности
по количеству и составу входных переменных –
актуальная задача в теории идентификации и
управления, и для ее решения существуют раз-
личные подходы [1–8].
Эта задача есть одним из объектов исследо-
вания в методе группового учета аргументов
(МГУА) [9–16], разработанного академиком
НАН Украины Алексеем Григорьевичем Ивах-
ненко. Подход основан на разбиении выборки
наблюдений на обучающую и проверочную час-
ти: на обучающей выборке оцениваются коэф-
фициенты модели, а на проверочной – качество
модели. В соответствии с принципами модели-
рования в МГУА, для того чтобы построить ав-
торегрессионное уравнение оптимальной слож-
ности, необходимо:
указать метод оценивания коэффициентов
в авторегрессионном уравнении;
задать алгоритм генерирования авторег-
рессионных уравнений (структур моделей);
разработать внешний критерий для оценки
качества перебираемых структур;
исследовать поведение математического
ожидания внешнего критерия в зависимости от
состава регрессоров;
доказать существование авторегрессион-
ной модели оптимальной сложности.
При моделировании в классе авторегресси-
онных уравнений в МГУА традиционно при-
меняется критерий регулярности: обучающая
выборка формируется первыми ( )n A наблюде-
ниями временного ряда, проверочная выборка –
последующими ( )n B наблюдениями, причем
выполняется ( )n A ( ) ,n B n где n – объем ис-
ходного временного ряда. Применение крите-
рия регулярности в таком виде нуждается в
контроле, поскольку динамические свойства
объекта могут проявляться неодинаково в раз-
ных фазах переходных процессов.
В данной статье предложено рассчитывать
критерий регулярности в так называемой схе-
ме квазиповторных наблюдений, возможной в
условиях активного эксперимента. В этой схе-
ме обучающая (A) и проверочная (B) выборки
получены особым способом как пара реализа-
ций функционирования объекта с близкими на-
чальными условиями, качественно одинаковым
характером переходных процессов и близкими
состояниями в конечные моменты времени.
Априорные предположения о динамиче-
ской системе
Пусть функционирование динамического объ-
екта подчиняется закону в виде авторегрессион-
ного уравнения со случайными коэффициентами
4 УСиМ, 2016, № 1
1
2
1 2
1 , , 1
θ ( 1)
θ ( 2)
, , ...,
θ ( )
ζ ( ) ( ) ζ ,
i i i i p
p
i i i i
i
i
x x x x
i p
p p
Z Θ
(1)
где ix
– ненаблюдаемое значение выходной
переменной объекта в дискретные моменты
времени it t , 1, 2,...,i n ; n – общее число
наблюдений; p – число предыдущих значений
выходной переменной, влияющих на ее теку-
щее значение; 1ζi – ненаблюдаемая случайная
величина.
В модели функционирования (1) матрица
( )p
Z – ( )n p -матрица p предыдущих нена-
блюдаемых значений переменной; в обозначе-
нии этой матрицы p означает, что в формиро-
вании величины ix
участвуют величины 1,ix
2 , ... ,i i px x
:
0 1 1 1,
1 0 2 2,
1 2 ,
1 2 ,
( )
( )
( )
( )
( )
p
p
i i i p i
n n n p n
px x x
px x x
p
px x x
px x x
Z
Z
Z
Z
Z
, (2)
а , ( )i p
Z означает ту строку ( )p
Z , в которой
первый элемент – 1ix
.
В модели (1) матрица ( )pΘ – ( )p n -мат-
рица n реализаций ( 1)p -вектора ненаблюда-
емых случайных величин; в обозначении этой
матрицы p означает, что при формировании
величины ix
i-я ( 1)p -строка матрицы ( )p
Z
умножается на i-й ( 1)p -столбец матрицы
, ( )i pΘ .
Пусть относительно (p 1)-вектора случай-
ных коэффициентов , ( )i pΘ выполняется (i = 1,
2, , n):
o o
, ,( ) ( ) ( )i i ip p p Θ θ Η θ η , (3)
где
o o o o
T
1 2(θ , θ , ... ,θ )pθ (4)
– ( 1)p -вектор неизвестных детерминирован-
ных коэффициентов; ( )pΗ – ( )p n -матрица n
реализаций p ненаблюдаемых случайных ве-
личин, а в обозначении этой матрицы p озна-
чает, что при формировании в (1) величины ix
i-й ( 1)p -столбец этой матрицы –
T
, ( ) ( ) ( η (1), η (2), ... , η ( ) )i i i i ip p p Η η (5)
умножается на i-ю (p 1)-строку матрицы
( )p
Z .
В (1), (2) предполагается, что в формировании
текущего значения выходной переменной участ-
вуют все p ее предыдущих значений. В общем
же случае не все предыдущие значения пере-
менной могут участвовать в этом формировании.
Для того чтобы записать модель функциониро-
вания в таком общем случае, введем в рассмот-
рение структурные матрицы, смысл которых по-
кажем на конкретном примере.
Пусть на текущее значение выходной пере-
менной влияют первое, второе и четвертое ее
предыдущие значения из заданного макси-
мально возможного числа влияющих преды-
дущих значений 5p . Тогда вместо строки
, ( )i p
Z в (1) следует записать произведение
,
1 2 3 4 5
( )
1 0 0
0 1 0
0 0 0, , , ,
0 0 1
0 0 0
i
i i i i i
p
x x x x x
Z S
(6)
421 ,, iii xxx ,
УСиМ, 2016, № 1 5
где (5 3)-матрица S представляет собой струк-
турную матрицу, отражающую влияние перво-
го, второго и четвертого предыдущих значений
переменной на ее текущее значение.
Априорная информация о значении p и о том,
какие именно предыдущие значения определя-
ют текущее значение переменной в законе
функционирования объекта (1) и (2), представ-
ляется структурной (p m)-матрицей S (m – чис-
ло столбцов в матрице S, равное числу неизвест-
ных коэффициентов в модели). Будем предпола-
гать, что эта структурная матрица задана.
С учетом введенной структурной матрицы
закон функционирования (1) для общего слу-
чая формирования выходной переменной за-
пишем в виде
o
, , 1( ) ( ) ( ) ζi i i i ix p p m
Z Sθ Z S η , (7)
где
o
θ – ( 1)m -вектор неизвестных детерми-
нированных коэффициентов.
Введем обозначения
o
, ( )i ix p
Z Sθ , 1 ,φ ( ) ( )i i ip m
Z S η ; (8)
учитывая (8), запишем (7)
1 1φ ζi i i ix x
, 1, 2, ... ,i n . (9)
Введем обозначения
T
1 2
T
1 2
( , , ... , ) ,
( , , ... , ) ,
i i i p
i i i p
x x x
x x x
x
x
(10)
T
0 1 1
T
0 1 1
( 1) ζ , ζ , ... , ζ ,
( 1) φ , φ , ... , φ ,
n
n
ζ
φ
(11)
где ( 1)ζ , ( 1)φ – ненаблюдаемые случайные
( 1)n -векторы; –1 означает, что величина
1ζ ( 1) ζi i в (1) и (7), а величина φ ( 1)i
1φi в (9) аддитивно участвуют при форми-
ровании величины ix
.
Учитывая (10) и (11), запишем модель функ-
ционирования в векторном виде
( 1) ( 1)
x x φ ζ ,
o
( )p
x Z Sθ , (12)
где x – ненаблюдаемая составляющая ( 1)n -
вектора значений переменной.
Пусть для наблюдений выходной перемен-
ной объекта выполняется
ε , 1, 2,...,i i ix x i n
, (13)
где xi – наблюдаемое значение переменной, из-
меренное в момент времени ,it t 1, 2,...,i n ;
ix
– ненаблюдаемое значение, формируемое
согласно (1) и (7); i – случайная ненаблюдае-
мая ошибка измерения.
Учитывая (13), получаем модель наблюде-
ния объекта в векторном виде
x x ε . (14)
Сформулируем предположения о статисти-
ческих свойствах случайных величин в моде-
лях функционирования и наблюдения.
Пусть относительно ( 1)ζ в (11) выполня-
ются следующие предположения:
T
ζ{ ( 1)} , { ( 1) ( 1)} σn nE E ζ 0 ζ ζ I , (15)
где { }E – знак математического ожидания по
возможным реализациям вектора ( 1)ζ ; n0 –
нулевой ( 1)n -вектор; ζσ – дисперсия случай-
ной величины ζ ( 1),i 1, 2,...,i n , ограничен-
ная величина; nI – единичная ( )n n -матрица.
Пусть относительно i(m) в (5) выполняются
предположения
{ ( )} , 1, 2, ... ,i mE m i n η 0 ; (16)
T
η
η η η
{ ( ) ( )}
diag {σ (1), σ (2), ... , σ ( )},
i iE m m
m
η η Σ
(17)
где { }E – знак математического ожидания по
возможным реализациям вектора ( )i mη ; 0m –
нулевой (m 1)-вектор; ησ ( )j – дисперсия флук-
туаций j-го коэффициента в (5), j = 1, 2, , m;
– диагональная (m m)-матрица.
Пусть относительно ε выполняются пред-
положения
T
ε{ } , { } σn nE E ε 0 εε I , (18)
6 УСиМ, 2016, № 1
где { }E – знак математического ожидания по
возможным реализациям вектора ε ; ε – дис-
персия величины i, j = 1, 2, , m, ограниченная
величина.
Предположим, что ζσ , η η ησ (1),σ (2),... ,σ ( ),m
εσ – дисперсии случайных величин в моделях
функционирования и наблюдения – заданы.
Будем также предполагать, что случайные
векторы ( 1)ζ , ε и ( )i mη , 1, 2, ... ,i n , ста-
тистически независимы:
T1 n nE Ο , T
( ){ ( ) ( 1)}i m nE m η ζ O ,
T
( ){ ( ) }i m nE m η ε O , (19)
где ( )n nO – нулевая ( )n n -матрица; ( )m nO –
нулевая ( )m n -матрица.
Пусть в результате наблюдения в моменты
времени ,it t 1 2 ,i p 2 2 , ... ,0,p 1,2, ... ,n
получен ( 2 )n p -вектор значений выходной
переменной
T
1 2 2 2 0 1 2
(0)
, , ... , , , , ... ,p p nx x x x x x
x
x , (20)
где (2 1)p -вектор (0)x будет использован в
качестве начальных условий.
Пусть заданы:
p – число предыдущих значений выходной
переменной, влияющих на их текущее значение;
структурная ( )p m -матрица ,S указы-
вающая, какие именно предыдущие значения
переменной определяют ее текущее значение
объекта (1)–(19).
Для оценивания неизвестных коэффициен-
тов
o
θ по наблюдениям объекта (20) исполь-
зуем результаты [17], где разработана итера-
ционная процедура параметрической иденти-
фикации для системы авторегрессионных урав-
нений со случайными коэффициентами.
Оценивание параметров в авторегресси-
онном уравнении со случайными коэффи-
циентами
Из модели функционирования (12) следует
( ) ( ) ( 2, ) ( 2, )p p Z Z
Z Z Φ Γ , (21)
где ( )pZ – ( )n p -матрица ненаблюдаемых
значений переменной объекта, по своей струк-
туре аналогичная матрице ( )p
Z в (1) и (2):
0 1 1
1 0 2
1 2
1 2
( )
p
p
i i i p
n n n p
x x x
x x x
p
x x x
x x x
Z
; (22)
( 2, )ZΦ – ( )n p -матрица ненаблюдаемых
случайных величин
1 2
0 1 1
2 3 1
2 3 1
φ φ φ
φ φ φ
( 2, )
φ φ φ
φ φ φ
p
p
i i i p
n n n p
Z
Φ
, (23)
в обозначении которой –2 означает, что в (21)
при формировании величины 1ix
аддитивно
участвует величина i–2; ( 2, )ZΓ – (n p)-мат-
рица ненаблюдаемых случайных величин
1 2
0 1 1
2 3 1
2 3 1
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
( 2, )
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
p
p
i i i p
n n n p
Z
Γ
, (24)
в обозначении которой –2 означает, что в (21)
при формировании величины 1ix
аддитивно
участвует величина i–2.
Подставим в (14) вектор
x из (12) и ис-
пользуем (21) для ( )p
Z :
o
( )p x Z S θ ξ , (25)
УСиМ, 2016, № 1 7
где – (n 1)-вектор ненаблюдаемых случай-
ных аддитивных составляющих
o
( 2, )Z ξ ε Φ S θ
o
( 2, ) ( 1) ( 1).Z Γ S θ φ ζ (26)
Используя (15) – (19) и учитывая, что все
случайные векторы ε , ( 1)φ , ( 1)ζ и слу-
чайные матрицы ( 2, )ZΦ , ( 2, )ZΓ имеют
нулевые математические ожидания, и все эти
величины статистически независимы, для ма-
тематического ожидания ξ получаем
{ } nE ξ 0 , (27)
где n0 – нулевой ( 1)n -вектор.
Введем обозначения
, ( )p y x R Z S , (28)
где R – ( )n m -матрица регрессоров для вы-
ходной переменной.
Учитывая (28), регрессионную модель (25)
записываем в виде
o o
y R θ ξ y ξ , (29)
где y – ( 1)n -вектор наблюдаемых зашум-
ленных значений выходной переменной;
o
y –
( 1)n -вектор ненаблюдаемых значений;
o
θ –
( 1)m -вектор неизвестных коэффициентов.
Согласно [17], для оценки коэффициентов
o
θ выполняется
d C y , (30)
где для ( )m n -матрицы C выполняется
T 1 1 T 1
ξ ξ( ) C R Σ R R Σ ; (31)
ξΣ – ковариационная ( )n n -матрица введен-
ного в (26) ( 1)n -вектора ненаблюдаемой ад-
дитивной случайной составляющей ξ .
Для ковариационной матрицы выполняется
соотношение из [17]:
ξ εσ ( ) ( 1,φ) σn n Σ I Λ Ψ Λ I , (32)
где εσ , ζσ – дисперсии случайных величин в
моделях функционирования и наблюдения, вве-
денные в (18) и (15) соответственно; ( )Λ –
диагональная ( )n n -матрица
11 22( ) diag ( ), ( ),..., ( )nn Λ , (33)
элементы которой определены в формуле (59)
в [17]; ( 1,φ)Λ – диагональная (n n)-матрица
11 22
( 1,φ)
diag σ ( 1,φ),σ ( 1,φ),...,σ ( 1,φ) ,nn
Λ
(34)
элементы которой вычисляются по формулам
(55) и (56) в [17].
В (32) Ψ – (n n)-матрица вида:
(0) ( 1) ( 1) 0 0 0
( 1) (0) ( 2) ( 1) 0 0
(1 ) (2 ) (0) ( 1) 0 0
0 (1 ) ( 1) (0) 0 0
0 0 0 0 (0) ( 1)
0 0 0 0 ( 1) (0)
p
p p
p p
p
Ψ
,(35)
где величины ( ), 1, 2,..., –1,0,p p
1,..., 2, 1p p , определены в формулах (59) –
(62) в статье [17].
С учетом (31) – (35) для оценок коэффици-
ентов выполняется
T 1 1 T 1( )
d R Σ R R Σ y . (36)
В формулу (31) для матрицы C входит не-
наблюдаемая матрица регрессоров R , а в
формулу (32) для матрицы Σ – матрица Ψ ,
элементы которой, как следует из (33) – (49),
зависят от неизвестных коэффициентов
o
θ .
Эти обстоятельства использованы в [17] для
построения итерационной процедуры вычис-
ления неизвестных коэффициентов в виде (30)
для случая, когда дисперсии ζσ , η ησ (1), σ (2),
η... , σ ( )m , εσ – дисперсии случайных вели-
чин в моделях функционирования и наблю-
дения – априорно известны. Процедура ис-
следована методом статистических испыта-
ний.
Для оценки
d с учетом (29) и (36) получим
8 УСиМ, 2016, № 1
o o
T 1 1 T 1[ ( ) ]
d R Σ R R Σ R θ Cξ θ Cξ . (37)
С учетом (37) регрессионную модель запи-
шем в виде
y y u R d u , (38)
где
y – ( 1)n -вектор выхода регрессионной
модели
o o
y R d R θ R C ξ y R C ξ ; (39)
u – ( 1)n -вектор остатков [18], для которого
выполняется
u ξ R C ξ , { } nE u 0 , (40)
т.е. его математическое ожидание равно нуле-
вому ( 1)n -вектору.
Критерий регулярности МГУА для ли-
нейной авторегрессии со случайными ко-
эффициентами
Пусть структурная
o
( )p m -матрица
o
S соот-
ветствует истинной структуре модели объекта
(1) – (19), т.е. однозначно задает структуру ав-
торегрессионного уравнения: указывает, какие
именно предыдущие значения определяют те-
кущие значения выходной переменной. Пусть
эта структурная матрица неизвестна и требует-
ся ее определить по результатам наблюдения
(20), т.е. рассмотреть задачу структурной иде-
нтификации. Далее будем предполагать, что
для генерации и анализа структур моделей
применяется алгоритм полного перебора всех
возможных структур моделей, а значение p –
число предыдущих значений выходной пере-
менной, влияющих на ее текущее значение –
априорно известно. Пусть структурная (p s)-
матрица S соответствует текущей анализируе-
мой структуре модели.
Рассмотрим так называемый J-функционал
качества регрессионного уравнения, отражаю-
щий требование минимизации математическо-
го ожидания
o o
T{( ) ( )}J E
y y y y , (41)
известный для модели одномерной по выходу
регрессии [19] и получивший в МГУА назва-
ние идеальный внешний критерий [11]. Функ-
ционал (41) не может применяться при реше-
нии практических задач, так как содержит не-
наблюдаемый вектор
o
y , но может быть ис-
пользован для теоретического сравнения мето-
дов оценивания, в том числе на основе метода
статистических испытаний [16].
Существует ли конструктивная альтернати-
ва ненаблюдаемому вектору
o
y в J-функцио-
нале (41), сохраняющая для соответствующего
функционала свойства J-функционала? Поло-
жительный ответ на этот вопрос для систем
статических (одновременных) регрессионных
уравнений [20, 21] получен в рамках так назы-
ваемой схемы повторных наблюдений, которая
может быть реализована в условиях активного
эксперимента. В этой схеме для заданного век-
тора значений входных переменных объекта
проводится не одно, а пара независимых на-
блюдения выходных переменных. Первое на-
блюдение из этой пары участвует в формиро-
вании выборки A, другое – выборки B, и, в ре-
зультате, в схеме повторных наблюдений вы-
полняется ( ) ( )A BX X .
Такую схему можно реализовать для статиче-
ских регрессионных моделей, но для авторегрес-
сионных моделей она принципиально нереали-
зуема: значение каждой из переменных множе-
ства X в силу модели (1) формируется с уча-
стием случайной ненаблюдаемой составляющей,
которую «воспроизвести» нельзя. Поскольку до-
биться выполнения ( ) ( )A BX X невозможно,
остается попытка обеспечить выполнение
T ( ) ( )A A X X T ( ) ( )B BX X (42)
и провести исследование критерия регулярно-
сти в этих условиях.
Будем предполагать, что объект, для кото-
рого решается задача структурной идентифи-
кации, принадлежит к классу объектов, допус-
кающих возможность неоднократного наблю-
дения реализаций функционирования (напри-
мер, временные ряды показателей некоторого
технологического процесса). Будем выбирать
такие реализации, которые начинаются с при-
УСиМ, 2016, № 1 9
близительно одинаковых начальных условий
T ( ,0) ( ,0)A Ax x T ( ,0) ( ,0)B B x x , имеют каче-
ственно одинаковый характер переходных
процессов и заканчиваются близкими состоя-
ниями в конечные моменты времени.
Пусть в качестве двух выборок наблюдений
A и B выбраны наблюдения двух реализаций
функционирования объекта – две выборки на-
блюдений выходной переменной, обладающих
указанными свойствами. Первую выборку A бу-
дем называть обучающей, а вторую B – прове-
рочной. На обучающей выборке будем оцени-
вать коэффициенты в авторегрессионном урав-
нении с текущей анализируемой структурой, а
на проверочной – качество построенной модели.
В дальнейшем будем называть такой способ
формирования обучающей и проверочной выбо-
рок «схемой квазиповторных наблюдений».
В соответствии с (40) для ( ( ) 1)n B -вектора
остатков на выборке B выполняется
( | , ) ( ) ( | , )
( ) ( , ) ( , ),
B A S B B A S
B B S A S
u y y
y R d
(43)
где y(B) – (n(B)1)-вектор наблюдений выход-
ной переменной выборки B; ( | , )B A S
y –
(n(B)1)-вектор выходов регрессионной моде-
ли на выборке B, рассчитанный по модели,
оценки коэффициентов которой ( , )A S
d по-
лучены в соответствии с (37) – (43) на обу-
чающей выборке A для структуры S; ( )n B –
объем проверочной выборки.
В соответствии с (39) – (41) для ( | , )B A Su
выполняется
o o
( | , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( )
B A S B B B S A S A
B S A S A
u y ξ R C y
R C ξ
( | , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )B A S B B S A S A δ ξ R C ξ , (44)
где
o o
( | , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )B A S B B S A S A δ y R C y (45)
– ( 1)n -вектор смещения, обусловленный вы-
бором структуры S вместо
o
S .
Определение 1. Случайная величина
* T( ) ( | , ) ( | , )ARD S B A S B A S u u (46)
называется критерием регулярности для авто-
регрессионного уравнения, где звездочка озна-
чает, что выборки A и B получены в условиях
квазиповторных наблюдений.
Определение 2. Оптимальным множеством
регрессоров называется множество регрессо-
ров, соответствующее набору структурных
матриц S0:
*
*
0 ( )
arg min { ( )}
S S p
S E ARD S
, (47)
где S(p) – множество возможных структурных
матриц при заданном p.
Определение 3. Оптимальным по количест-
ву и составу регрессоров называется авторег-
рессионное уравнение, построенное на множе-
стве регрессоров, соответствующем структур-
ной матрице S0.
Для математического ожидания *( )ARD S с
учетом результатов [21] выполняется
*{ ( )}E ARD S
T T( | , ) ( | , ) {[ ( ) ( )]}B A S B A S E B B δ δ ξ ξ
T{ ( ) ( , ) ( , ) ( )}E B B S A S A ξ R C ξ –
T{[ ( , ) ( , ) ( )] ( )}E B S A S A B R C ξ ξ
T[ ( , ) ( , ) ( )]
( , ) ( , ) ( ) .
E B S A S A
B S A S A
R C ξ
R C ξ
(48)
Для второго слагаемого в (48) с учетом (32) –
(35) выполняется
T
ε{ ( ) ( )} ( ) (σ ψ(0, ) σ )E B B n B S ξ ξ
( ) ( )
1 1
λ ( , ) σ ( 1, , )
n B n B
ii ii
i i
S S
, (49)
а третье и четвертое слагаемые равны нулю в
силу независимости ( )Aξ и ( )Bξ .
Для пятого слагаемого в (48), учитывая (31),
получаем
T{[ ( , ) ( , ) ( )] ( , ) ( , ) ( )}E B S A S A B S A S A R C ξ R C ξ
T 1 1 T
tr ( , )
( ( , ) ( , )) ( , ) .
B S
A S A S B S
R
R Σ R R
(50)
Подставляя в (48) выражения (49) и (50),
получаем
10 УСиМ, 2016, № 1
*{ ( )}E ARD S
ε( | , ) ( ) (σ ψ(0, ) σ )B A S n B S
tr[ ( , , ) ] tr[ ( | , ) ]S B A S Λ P , (51)
где Δ( | , )B A S – смещение, обусловленное вы-
бором структуры S вместо
o
S :
T( | , ) ( | , ) ( | , )B A S B A S B A S δ δ ; (52)
(, , S) – диагональная (n(B)n(B))-матрица
11[ ( , , )] diag[λ ( , )S S Λ
11+σ ( 1, , ),... , λ ( , ) σ ( 1, , ) ]nn nnS S S ;(53)
T 1 1 T
( | , )
( , ) ( ( , ) ( , )) ( , ).
B A S
B S A S A S B S
P
R R Σ R R
(54)
Исследование критерия регулярности
МГУА
Установим свойства критерия регулярности
МГУА (46). С этой целью исследуем, как из-
меняется математическое ожидание критерия в
зависимости от состава множества регрессоров.
В случае истинной структуры
o
S для матема-
тического ожидания критерия регулярности
выполняется
o o
*
ε{ ( )} ( ) (σ ψ(0, ) σ )E ARD S n B S
o o
tr[ ( , , ) ] tr[ ( | , ) ]S B A S Λ P , (55)
где матрицы
o
( , , )S Λ ,
o
( | , )B A SP могут
быть записаны аналогично (53), (54).
Случай недостающего регрессора. Рассмот-
рим случай, когда в текущей структуре про-
пущен один регрессор. Предположим для про-
стоты, что это регрессор с номером p, он –
максимально удален предыдущим значением
переменной, участвующим в формировании ее
текущего значения, т.е. для структурных мат-
риц выполняется
o
S S s , (56)
где
o
S – структурная
o
( )p m -матрица истин-
ной модели; S – структурная
o
( ( 1))p m -мат-
рица текущей модели; для s – (p 1)-вектора
выполняется
T0, 0, ..., 0,1s . (57)
Другими словами, в модели функциониро-
вания (4) в формировании величины ix
уча-
ствует величина i px
, но в текущую модель
она не включена.
Для матриц регрессоров, соответствующих
o
S и S в (56), выполняется
o o
( )S R X S X S s =
( )S X S X s R m , (58)
где m – (n 1)-вектор наблюдений пропущенно-
го регрессора.
Используя (51) – (55), вычислим разность
математических ожиданий критерия регуляр-
ности для текущей структуры S и истинной
структуры
o
S :
o o
* *
1Δ ( , ) { ( )} { ( )}S S E ARD S E ARD S
o
( | , ) ( ) ψ(0, ) ( ) ψ(0, )B A S n B S n B S
o
tr[ ( , , ) ] tr[ ( , , ) ]S S Λ Λ +
o
tr[ ( | , ) ] tr[ ( | , ) ]B A S B A S P P , (59)
где T( | , ) ( | , ) ( | , )B A S B A S B A S δ δ ; ( | , )B A Sδ –
введенный в (45) (n 1)-вектор смещения, обу-
словленный выбором структуры S вместо
o
S .
Вычисление разности (59) состоит из ряда
шагов.
Ш а г 1. Для вектора смещения ( | , )B A Sδ
выполняется
( | , )B A S δ
o o
T 1 1( , ) ( , ) ( ( , ) ( , ))B S B S A S A S
R θ R R Σ R
o o
T 1( , ) ( , ) .A S A S
R Σ R θ (60)
Запишем (60) с учетом (58)
),|( SABδ
o
)(),( θmR BSB
– T 1( , ) ( , ) ( ( , )B S B S A S
R R R Σ
УСиМ, 2016, № 1 11
o
1 T 1( , )) ( , ) ( )A S A S A
R R Σ m θ
o
o
1
( 1)
[ ( ) ( | , ) ( )]
n m
B B A S A
O m P Σ m θ , (61)
T 1 1 T
( | , ) ( , )
( ( , ) ( , )) ( , ).
B A S B S
A S A S A S
P R
R Σ R R
(62)
Учитывая (61) и (62) для величины ( | , )B A S
в (59), получаем
o o o
o
( 1) ( 1) 1
o o
T T T 1 T
T
11
( | , )
.( ( ) ( ) ( | , ) )
( ( ) ( | , ) ( ) )
m m m
m
B A S
B A B A S
B B A S A
O 0
θ θm m Σ P
0
m P Σ m
(63)
Для
o o
( , )m m -го элемента матрицы в (63) вы-
полняется
T T
T 1 1 T 1
T 1 T
1 1 T
T 1 T
( ) ( ) ( ) ( , )
( ( , ) ( , )) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( ( , )
( , )) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( ( , )
a B B B B S
A S A S A S A
A A S A S
A S B S B
A A S A S
m m m R
R Σ R R Σ m
m Σ R R
Σ R R m
m Σ R R
1 1 T( , )) ( , )A S B S
Σ R R
T 1 1
T 1
( , ) ( ( , ) ( , ))
( , ) ( ).
B S A S A S
A S A
R R Σ R
R Σ m
(64)
Далее используем то обстоятельство, что
обучающая (A) и проверочная (B) выборки по-
лучены особым способом как пара реализаций
функционирования объекта с близкими началь-
ными условиями, качественно одинаковым ха-
рактером переходных процессов и близкими
состояниями в конечные моменты времени.
Введем в рассмотрение разности:
T T( ) ( ) ( ) ( ) ( )X B B A A G X X X X , (65)
T T( ) ( ) ( ) ( ) ( )g B B A A m m m m m , (66)
T T( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),R S B S B S A S A S G R R R R (67)
T T T( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )R S B B S A A S g m R m R . (68)
Оценивание влияния скаляра ( )g m , векто-
ра ( , )R Sg , матрицы ( , )R SG на условие ре-
дукции (упрощения) структуры по числу рег-
рессоров проведено методом статистических
испытаний в отдельном исследовании [22].
Учитывая (65) – (68), для (64) получаем
T T
1( )[ ( , ) ( , )] ( ) ( )a A A S A S A m M M m m ,(69)
где ),( SAM – ))()(( AnAn -матрица
T
( )
1 1 T 1
( , ) [ ( , )( ( , )
( , )) ( , ) ],
n AA S A S A S
A S A S
M I R R
Σ R R Σ
(70)
а для скаляра 1(m) выполняется
T
1
T T
( ) ( , ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( , )
g R S A S A
A A S R S
m m g C m
m C g
T T( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )A A S R S A S Am C G C m . (71)
Учитывая (56), (69), (70) и соотношение
o
o o o o
T
1 2(θ ,θ ,...,θ )mθ , (72)
получаем
o o o
o
o o( 1) ( 1) 1T
T T T
1
1
( | , )
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
m m m
m
B A S
A A S A S A
O 0
θ θ
0 m M M m m
o o
o o
2 T 2
1(θ ) ( ) ( , ) ( ) (θ ) ( )m mA A S A m H m m ,(73)
T( , ) ( , ) ( , )A S A S A SH M M . (74)
Итак, в (60) – (74) установлено
T( | , ) ( | , ) ( | , )B A S B A S B A S δ δ
o o
o o
2 T 2
1(θ ) ( ) ( , ) ( ) (θ ) ( )m mA A S A m H m m . (75)
Ш а г 2. Для скалярных величин n(B) (0, S)
и
o
( ) ψ(0, )n B S в (59) с учетом формул (59),
(60) в статье [17] выполняется
o
o
o
2
ζ
(ψ) ( ) ψ(0, ) ( ) ψ(0, )
( ) σ (θ ) .m
n B S n B S
n B
(76)
Ш а г 3. Для следов tr[ ( , , ) ]S Λ и
o
tr[ ( , , )]S Λ в (59) с учетом формул (55), (56)
и (59) в [17] выполняется
o
tr[ ( , , ) ] tr[ ( , , ) ]S S Λ Λ
o
o
2
1 , 1 ,
1
(θ ) ( 1) ( 1)
n
m i p p i p p
i
Z Z . (77)
12 УСиМ, 2016, № 1
Ш а г 4. Для разности tr[ ( | , ) ]B A S P
o
tr[ ( | , ) ]B A S P в (59), учитывая (58) и приме-
няя формулу обращения блочной матрицы (ча-
стный случай формулы Фробениуса [19]) для
перемножения матриц, получаем:
o
( | , ) ( | , )B A S B A S P P
T 1 1 T( , )[ ( , ) ( , ) ] ( , )B S A S A S B S
R R Σ R R
1T 1 T 1
T 1 T 1
T
T
( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( )
( , )
( )
B S B
A S A S A S A
A A S A A
B S
B
R m
R Σ R R Σ m
m Σ R m Σ m
R
m
1 1 T 1
T 1 1 T
( , ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( , )
f B S A S A
A A S B S
R B R Σ m
m Σ R B R
1 1 T 1 T( , ) ( , ) ( ) ( )f B S A S A B
R B R Σ m m
1 T 1
1 T 1 T
( ) ( ) ( , )
( , ) ( ) ( ),
f B A A S
B S f B B
m m Σ R
B R m m
(78)
где
)()( 1T AAf mΣm
T 1 T( ) ( , ) ( ( , )A A S A S
m Σ R R
1 1 T 1( , )) ( , ) ( )A S A S A
Σ R R Σ m
T 1( ) ( , ) ( )A A S A
m Σ M m . (79)
Учитывая (65) – (68), для (78) получаем
o
tr[ ( | , ) ( | , )]B A S B A S P P
1 T 1( ) ( , ) ( ) ( )f A A S A f q m H m m , (80)
где T( , ) ( , ) ( , );A S A S A SH M M ( , )A SM –
( ( ) ( ))n A n A -матрица введена в (69), (70), а
для скалярной величины ( )q m выполняется
T
T T T
( ) ( ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( )
q g R A S A
A A S R
m m g C m
m C g
T T( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )A A S R A S Am C G C m . (81)
Объединив результаты четырех шагов, полу-
чим
o o
o o o
2 T 2
1 1Δ ( , ) (θ ) ( ) ( , ) ( ) (θ ) ( )m mS S A A S A m H m m
o
o
o
2
ζ
o
2
1 , 1 ,
1
( ) σ (θ )
(θ ) ( 1) ( 1)
m
n
m i p p i p p
i
n B
Z Z
1 T 1( ) ( , ) ( ) ( )f A A S A f q m H m m . (82)
Если
o
1Δ ( , ) 0,S S то структура
o
S лучше S;
если
o
1Δ ( , ) 0S S , то структура S лучше
o
S ; если
o
1Δ ( , ) 0S S , то структура S лучше
o
S по допол-
нительному принципу простоты. Выполнение
o
1Δ ( , ) 0S S служит условием так называемой
редукции (упрощения), оптимальной по струк-
туре модели. Из (82) для условия редукции по-
лучим
o o
o o
2 T 2
1(θ ) ( ) ( , ) ( ) (θ ) ( )m mA A S A m H m m
o
o
o
2
ζ
o
2
1 , 1 ,
1
( ) σ (θ )
(θ ) ( 1) ( 1)
m
n
m i p p i p p
i
n B
Z Z
1 T 1( ) ( , ) ( ) ( )f A A S A f q m H m m , (83)
где ( , )A SH – ( )n n -матрица введена в (80);
1( ) m , f и ( )q m – скалярные величины, опре-
деленные в (71), (79) и (81) соответственно.
Исследование степени влияния скалярных
величин 1( ) m и ( )q m на условие редукции
(83) в условиях схемы квазиповторных наблю-
дений, проведенное методом статистических
испытаний, показало, что этими величинами
можно пренебречь [22]. Тогда условие редук-
ции примет вид
o o
o o
2 T 2
ζ(θ ) ( ) ( , ) ( ) ( ) σ (θ )m mA A S A n B m H m
o
o
2
1 , 1 ,
1
1 T
(θ ) ( 1) ( 1)
( ) ( , ) ( ).
n
m i p p i p p
i
f A A S A
Z Z
m H m
. (84)
Учитывая (79), из (84) получаем
o
o
2 T 1
T 1
T
(θ ) ( ) ( , ) ( ) 1
( ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( )
m A A S A
A A S A
A A S A
m Σ M m
m Σ M m
m H m
УСиМ, 2016, № 1 13
o
o
o
2
ζ
o
2
1 , 1 ,
1
{ ( ) σ (θ )
(θ ) ( 1) ( 1) }.
m
n
m i p p i p p
i
n B
Z Z
(85)
Из (85) следует, что возможность редукции
модели может быть обусловлена четырьмя при-
чинами:
малой нормой коэффициента o
o
θm ;
малой нормой вектора наблюдений рег-
рессора ( )Am ;
малым объемом выборок наблюдений
( )n B ;
малым значением величины ζσ .
Редукция модели, оптимальной по составу
регрессоров, означает, что при выполнении со-
отношения между параметрами модели (85)
следует исключить из модели регрессор m . Ре-
дуцированная (упрощенная) модель будет иметь
меньшую ошибку прогнозирования выходных
переменных на новых выборках наблюдений в
сравнении с моделью с истинной структурой.
Случай избыточного регрессора. Рассмот-
рим случай, когда в текущую структуру вклю-
чен излишний регрессор. Предположим для
простоты, что это – регрессор с номером p ,
максимально удаленный предыдущим значе-
нием переменной и не участвует в формирова-
нии ее текущего значения, т.е. для структур-
ных матриц выполняется
o
[ ]S S s , (86)
где
o
S – структурная
o
( )p m -матрица истин-
ной модели; S – структурная
o
( ( 1))p m -ма-
трица текущей модели; s – ( 1)p -вектор
T0, 0, ... , 0,1s . (87)
Другими словами, в модели функциониро-
вания (7) в формировании ix
не участвует ве-
личина i px
, но в текущую модель она вклю-
чена.
Сначала вычислим математическое ожида-
ние критерия регулярности. В рассматривае-
мом случае избыточного регрессора величина
( | , )B A S в (52) – нулевая. Для доказатель-
ства покажем, что вектор смещения ( | , )B A Sδ
в случае избыточного регрессора – нулевой.
Действительно, различие в структурных мат-
рицах (86), (87) приводит к выполнению
o
( ) [ ]S R XS X S s
o o
[ ] [ ( ) ]S X S X s R r , (88)
где r – ( 1)n -вектор наблюдений избыточ-
ного регрессора.
Используя (51)–(55), вычислим разность ма-
тематических ожиданий критерия регулярно-
сти для текущей структуры S и истинной
структуры
o
S :
o o
* *
2Δ ( , ) { ( )} { ( )}S S E ARD S E ARD S
o
( | , ) tr[ ( | , )] tr[ ( | , )]B A S B A S B A S P P , (89)
где T( | , ) ( | , ) ( | , );B A S B A S B A S δ δ ( | , )B A Sδ –
введенный в (45) ( 1)n -вектор смещения, обу-
словленный выбором структуры S вместо
o
S .
Для смещения ( | , )B A Sδ в случае избы-
точного регрессора выполняется
( | , )B A Sδ
o o o
( , ) [ ( , ) ( )]B S B S B R θ R r
1o
T o
1
T
o
T o o
1
T
( , ) [ ( , ) ( )]
( )
( , ) ( , ) .
( )
A S A S A
A
A S A S
A
R Σ R r
r
R Σ R θ
r
(90)
Далее, проведя вычисления аналогично (60)–
(75), получим ( | , )B A S δ 0 и, соответствен-
но, ( | , ) 0B A S .
Для случая избыточного регрессора анало-
гично (78) – (81) получим
o
tr[ ( , , ) ( , , )]B A S B A S P P
o o o
1 T T
o
1
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
( ) ( ),
f S A A S A S A
f S q
r M M r
r
(91)
14 УСиМ, 2016, № 1
где
o o
T 1 T 1
o o o
T 1 1 T 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( )
f S A A A S
S S S A
r Σ r r Σ R
R Σ R R Σ r
o
T 1( ) ( , ) ( )A A S A
r Σ M r (92)
– положительная величина, поскольку матри-
цы 1
Σ и
o
( , )A SM положительно определены;
o
( , )A SM – ( )n n -матрица аналогична (69),(70);
( )Ar – ( 1)n -вектор, определенный в (88); для
скалярной величины ( )q r выполняется
o
T 1 T 1( ) ( ) ( ) ( , ) ( )q g R A S A
r r g B R Σ r
o
T 1 1( ) ( , ) ( )A A S R
r Σ R B g
o o
T 1 1 1 T 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )A A S R A S A
r Σ R B G B R Σ r .(93)
Учитывая (91), пренебрегая влиянием
o
1( ) ( )f S q r , получаем
o o
1 T T
2
o o
Δ ( , ) ( ) ( )
( , ) ( , ) ( ) 0,
S S f S A
A S A S A
r M
M r
(94)
где матрица
o o o
T( , ) ( , ) ( , )A S A S A SH M M – по-
ложительно определена, а величина
o
1( )f S
положительна, откуда следует выполнение (94).
Из (94) следует, что в случае избыточного рег-
рессора истинная структура
o
S всегда лучше
структуры S, а регрессор r действительно не
следует включать в модель.
Заключение. Критерий регулярности для
моделирования в классе авторегрессионных
уравнений со случайными коэффициентами в
условиях квазиповторных наблюдений постро-
ен и исследован по принципам МГУА. Полу-
чены условия существования оптимального
множества регрессоров, зависящие от коэффи-
циентов моделей, матриц наблюдений регрес-
соров, дисперсии случайных составляющих и
объемов выборок. Выявлены закономерности
упрощения (редукции) оптимальной регресси-
онной модели. При выполнении условия ре-
дукции модель будет иметь меньшую ошибку
прогнозирования выходной переменной на но-
вых выборках наблюдений в сравнении с мо-
делью, построенной на истинной структуре.
1. Современные методы идентификации систем. – М.:
Мир, 1983. – 400 с.
2. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и
оптимизация автоматических систем. – М.: Энерго-
атомиздат, 1987. – 199 с.
3. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для поль-
зователя. – М.: Наука, 1991. – 432 с.
4. Green W.H. Econometric Analysis. – New Jersey:
Pearson Education, Inc., 2002. – 1056 p.
5. Söderström T., Soverini U., Mahata K. Perspectives on
errors-in-variables estimation for dynamic systems //
Signal Processing. – 2002. – 82, N 8. – P. 1139–1154.
6. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределен-
ности: гарантированные результаты в задачах уп-
равления и идентификации. – К.: Наук. думка,
2006. – 264 с.
7. Markovsky I., Van Huffel S. Overview of total least
squares methods // Signal Processing. – 2007. – 87. –
P. 2283–2302.
8. Söderström T. Errors-in-variables methods in system
identification // Automatica. – 2007. – 43 (6). –
P. 939–958.
9. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганиза-
ции моделей сложных систем. – Киев: Наук. думка,
1982. – 296 с.
10. Self-organizing methods in modelling: GMDH type
algorithms / Ed. by S.J. Farlow. – New York, Basel:
Marcel Decker Inc., 1984. – 350 р.
11. Ивахненко А.Г., Степашко В.С. Помехоустойчивость
моделирования. – Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
12. Ивахненко А.Г., Мюллер Й.А. Самоорганизация про-
гнозирующих моделей. – Киев: Техніка, 1985. – 223 с.
13. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирова-
ние сложных систем по экспериментальным дан-
ным. – М.: Радио и связь, 1987. – 120 с.
14. Madala H.R., Ivakhnenko A.G. Inductive Learning Al-
gorithms for Complex System Modeling. – London, To-
kyo : CRC Press Inc., 1994. – 370 p.
15. Muller J.-A., Lemke F. Self-organizing Data Mining.
Extraсting Knowledge from Data. – Hamburg: Libri,
2000. – 250 p.
16. Сарычев А.П. Идентификация состояний структур-
нонеопределенных систем. – Днепропетровск: Ин-т
техн. механики НАН и НКА Украины, 2008. – 268 с.
17. Сарычев А.П. Идентификация параметров систем
авторегрессионных уравнений со случайными ко-
эффициентами при известных ковариационных мат-
рицах // Проблемы управления и информатики. –
2013. – № 5. – С. 33–52.
18. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.:
Мир, 1980. – 456 с.
УСиМ, 2016, № 1 15
19. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая
теория оптимального эксперимента. – М.: Наука,
1987. – 320 с.
20. Сарычев А.П. Моделирование в классе систем ре-
грессионных уравнений на основе метода группо-
вого учета аргументов // Проблемы управления и
информатики. – 2013. – № 2. – С. 8–24.
21. Сарычев А.П. Моделирование в классе систем ре-
грессионных уравнений со случайными коэффици-
ентами на основе метода группового учета аргуме-
нтов // Індуктивне моделювання складних систем. –
2014. – 6. – С. 137–156.
22. Сарычев А.П. Моделирование в классе систем ав-
торегрессионных уравнений в условиях структур-
ной неопределенности // Проблемы управления и
информатики. – 2015. – № 4. – С. 79–103.
Поступила 09.04.2015
E-mail: Sarychev@prognoz.dp.ua
© А.П. Сарычев, 2016
UDC 519.25:681.5
A.P. Sarychev
Linear Autoregression with Random Coefficients Based on the Group Method of Data Handling
in Conditions of Quasirepeated Observations
Keywords: structural uncertainty, criterion of regulatory.
Introduction and purpose: The linear autoregression equation is traditional mathematical object in the theory and prac-
tice of the Group Method of Data Handling (GMDH). In 80-th years of the last century academician O.G. Ivakhnenko often
posed such tasks in connection with so-called “the objective system analysis (OSA)” and then, as a rule, as criterion of selec-
tion of models (parameter of quality of regression equation) the criterion of regularity of GMDH was applied. The developed
criterion is the criterion of regularity which is constructed with dividing of observations on training and testing subsamples in
conditions of quasirepeated observations.
Methods: Object of research is process of modelling in a class of autoregression equations in conditions of uncertainty on
structure of regressors. In this theoretical article we used the multivariate statistical analysis, the regression analysis, the the-
ory of matrixes, the mathematical analysis and the Group Method of Data Handling.
Results: For modeling in a class of autoregression equations the criterion of regularity with dividing of observation sam-
ple on training and testing subsamples in conditions of quasirepeated observations is offered. It is proved, that the optimum
set of regressors exists. The condition of a reduction of optimal autoregression equation is obtained. This condition depends
on parameters of autoregression equation and volumes of samples.
Conclusion: The developed criterion of regularity allows solving a problem of structural identification in a class of auto-
regression equations in conditions of quasirepeated observations and can be recommended at the decision of various scientific
and practical problems.
Внимание !
Оформление подписки для желающих
опубликовать статьи в нашем журнале обязательно.
В розничную продажу журнал не поступает.
Подписной индекс 71008
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112894 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:21:53Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сарычев, О.П. 2017-01-29T09:49:26Z 2017-01-29T09:49:26Z 2016 Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений / О.П. Сарычев // Управляющие системы и машины. — 2016. — № 1. — С. 3–15. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112894 519.25:681.5 Предложен критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные подвыборки в условиях квазиповторных наблюдений для моделирования в классе авторегрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Выявлено условие редукции оптимальной авторегрессионной модели, которое зависит от параметров модели и объемов выборок. Запропоновано критерій регулярності з розбиттям вибірок спостережень на навчальні та перевірні підвибірки за умов квазіповторних спостережень для моделювання в класі авторегресійних рівнянь з випадковими коефіцієнтами. Виявлено умову редукції оптимальної авторегресійної моделі, що залежить від параметрів моделі і обсягів вибірок. Introduction and purpose: The linear autoregression equation is traditional mathematical object in the theory and practice of the Group Method of Data Handling (GMDH). In 80-th years of the last century academician O.G. Ivakhnenko often posed such tasks in connection with so-called “the objective system analysis (OSA)” and then, as a rule, as criterion of selection of models (parameter of quality of regression equation) the criterion of regularity of GMDH was applied. The developed criterion is the criterion of regularity which is constructed with dividing of observations on training and testing subsamples in conditions of quasirepeated observations. Methods: Object of research is process of modelling in a class of autoregression equations in conditions of uncertainty on structure of regressors. In this theoretical article we used the multivariate statistical analysis, the regression analysis, the theory of matrixes, the mathematical analysis and the Group Method of Data Handling. Results: For modeling in a class of autoregression equations the criterion of regularity with dividing of observation sample on training and testing subsamples in conditions of quasirepeated observations is offered. It is proved, that the optimum set of regressors exists. The condition of a reduction of optimal autoregression equation is obtained. This condition depends on parameters of autoregression equation and volumes of samples. Conclusion: The developed criterion of regularity allows solving a problem of structural identification in a class of autoregression equations in conditions of quasirepeated observations and can be recommended at the decision of various scientific and practical problems. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений Лінійна авторегресія з випадковими коефіцієнтами на основі методу групового обліку аргументів в умовах квазіповторних спостережень Linear Autoregression with Random Coefficients Based on the Group Method of Data Handling in Conditions of Quasirepeated Observations Article published earlier |
| spellingShingle | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений Сарычев, О.П. Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| title | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений |
| title_alt | Лінійна авторегресія з випадковими коефіцієнтами на основі методу групового обліку аргументів в умовах квазіповторних спостережень Linear Autoregression with Random Coefficients Based on the Group Method of Data Handling in Conditions of Quasirepeated Observations |
| title_full | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений |
| title_fullStr | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений |
| title_full_unstemmed | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений |
| title_short | Линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений |
| title_sort | линейная авторегрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учёта аргументов в условиях квазиповторных наблюдений |
| topic | Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| topic_facet | Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112894 |
| work_keys_str_mv | AT saryčevop lineinaâavtoregressiâsoslučainymikoéfficientaminaosnovemetodagruppovogoučetaargumentovvusloviâhkvazipovtornyhnablûdenii AT saryčevop líníinaavtoregresíâzvipadkovimikoefícíêntaminaosnovímetodugrupovogooblíkuargumentívvumovahkvazípovtornihspostereženʹ AT saryčevop linearautoregressionwithrandomcoefficientsbasedonthegroupmethodofdatahandlinginconditionsofquasirepeatedobservations |