О регуляризации интегрантов

Установлены минимальные условия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возможность регуляризации интегрантов при сохранении экстремального значения интегральных функционалов. Встановлено мінімальні умови регулярності інтегрантів для існування інтегральних функ...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Теорія оптимальних рішень
Date:	2016
Main Author:	Раппопорт, И.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113018
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О регуляризации интегрантов / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 47-52. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-113018
record_format	dspace
spelling	Раппопорт, И.С. 2017-01-31T16:26:21Z 2017-01-31T16:26:21Z 2016 О регуляризации интегрантов / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 47-52. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113018 517.977 Установлены минимальные условия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возможность регуляризации интегрантов при сохранении экстремального значения интегральных функционалов. Встановлено мінімальні умови регулярності інтегрантів для існування інтегральних функціоналів. Показана можливість регулярізації інтегрантів при збереженні екстремального значення інтегральних функціоналів. Minimum conditions of reguiar integrants for the existence of integral functionals and the possibility of regularization of integrants while maintaining extreme value of integral functionals is established. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О регуляризации интегрантов Про регулярізацію інтегрантів On the regularization of integrants Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О регуляризации интегрантов
spellingShingle	О регуляризации интегрантов Раппопорт, И.С.
title_short	О регуляризации интегрантов
title_full	О регуляризации интегрантов
title_fullStr	О регуляризации интегрантов
title_full_unstemmed	О регуляризации интегрантов
title_sort	о регуляризации интегрантов
author	Раппопорт, И.С.
author_facet	Раппопорт, И.С.
publishDate	2016
language	Russian
container_title	Теорія оптимальних рішень
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Про регулярізацію інтегрантів On the regularization of integrants
description	Установлены минимальные условия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возможность регуляризации интегрантов при сохранении экстремального значения интегральных функционалов. Встановлено мінімальні умови регулярності інтегрантів для існування інтегральних функціоналів. Показана можливість регулярізації інтегрантів при збереженні екстремального значення інтегральних функціоналів. Minimum conditions of reguiar integrants for the existence of integral functionals and the possibility of regularization of integrants while maintaining extreme value of integral functionals is established.
issn	XXXX-0013
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113018
citation_txt	О регуляризации интегрантов / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 47-52. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT rappoportis oregulârizaciiintegrantov AT rappoportis proregulârízacíûíntegrantív AT rappoportis ontheregularizationofintegrants
first_indexed	2025-11-26T21:19:31Z
last_indexed	2025-11-26T21:19:31Z
_version_	1850773088181944320
fulltext	Теорія оптимальних рішень. 2016 47 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Установлены минимальные усло- вия регулярности интегрантов для существования интегральных функционалов. Показана возмож- ность регуляризации интегран- тов при сохранении экстремаль- ного значения интегральных функционалов.  И.С. Раппопорт, 2016 УДК 517.977 И.С. РАППОПОРТ О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАНТОВ Введение. Для любого замкнутого множе- ства  евклидового пространства kR обозначим L – множество всех его измери- мых по Лебегу подмножеств [1, 2]. Пусть  – мера Лебега на измеримом пространстве , ,( L) а ( , )f x – функция на lR со значениями в расширенной вещественной прямой. Следуя [2], всякую такую функцию будем называть интегрантом. При довольно слабых предположениях регулярности интегрантов, описанных далее, интеграл ( (·)) ( , ( )) ( )fI x f x d       (1) оказывается корректно определенным для каждой суммируемой функции : lx R и, таким образом, является функционалом на банаховом пространстве 1( , )lL  R со значе- ниями в расширенной вещественной прямой. Такие функционалы возникают во многих проблемах теории управления и в теории динамических игр [3, 4]. При этом часто бывает желательно минимизировать выра- жение вида fI (1) на подмножестве 1( , )lL  R , определяемом некоторыми ограничениями (геометрические, интегральные, смешан- ные). Другие ограничения можно выразить с помощью самого ,fI приписывая интегран- ту ( , )f   значение  в определенных точках .lR Интеграл (1) не имеет смыс- ла, если не сделать дополнительных И.С. РАППОПОРТ 48 Теорія оптимальних рішень. 2016 предположений. Следующие условия, которые всюду далее предполагаются выполненными, оказываются вполне естественными. Пусть  nB R –  -алгебра борелевских множеств пространства lR . Обозначим L B  -алгебру, порожденную произведением множеств ,L B где ,LL  lBB R . Множества, принадлежащие этой  -алгебре, будем называть L B -измеримыми (более точно  lL B R -измеримыми). Вектор-функцию ( , ), : ,l mf x f  R R будем называть  lL B R -из- меримой, если для любого борелевского множества  mBB R его обратный образ  1( ) ( , ) : ( , )lf B x f x B     R будет  lL B R -измеримым. Условия регулярности. Интегрант ( , )f x является  lL B R -изме- римой функцией и полунепрерывной сверху как функция 1x R для каждого . Многозначное отображение ( , ), : 2 , mlF x F   RR будем называть  lL B R -измеримым, если для любого открытого множества mAR его обратный образ  1( ) ( , ) : ( , )lF A x F x A     R будет  lL B R -измеримым. Каждому многозначному отображению ( , ), : 2 , mlF x F   RR можно сопоставить его график gr     , , : , .l mF x z z F x     R R Обозначим    1, {( , )e : , }pi x R f xf         надграфик функ- ции  ,f x [3]. Функция  co ,f x называется замыканием овыпукления функции  , ,f x если    epico coep, ,ix xf f   [3]. При этом справедли- во неравенство    co, ,x xf f   при всех , 1.x R Теорема 1. Пусть многозначное отображение   ,F  F : 2 , l  R имеет замкнутые значения и L -измеримо, а функция 1( , ), : ,lf x f  R R  lL B R -измерима и при каждом полунепрерывна сверху по .lx R Тогда маргинальная функция 1 ( ) ( ) inf ( , ), : { }, x F h f x h       R L -измерима, и справедливо равенство О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАНТОВ Теорія оптимальних рішень. 2016 49   ( ) ( ) coinf , ( ) ( ), x F xf d           (2) где ( )F  – множество всех L -измеримых селекторов отображения ( ),F   и   ( ) ( ) inf , ( ) ( ). x F f x d           Доказательство. Рассмотрим для каждого 1R и  многозначное отображение     : , ,lG x R f x     : 2 , l G  R которое имеет от- крытые значения в силу полунепрерывности сверху по lx R функции  ,f x при любом . Нетрудно показать, что при всех 1R  h    тогда и только тогда, когда   ( ) ,G F     . Действительно, пусть  h    и 0  выбрано так, что   .h      Тогда по свойству инфинума существует такое ( ),x F  что    ,f x h       и поэтому   ( ) ,G F    . Обратно, если ( )z F  и  , ,f z   , , то имеем  h       ( ) inf , , . x F f x f z         Пусть   1 ( )i i q   счетное плотное семейство L -измеримых селекторов мно- гозначного отображения ( )F  и при этом   1 ( ) ii F q     для каждого . Здесь черта над выражением означает замыкание [2, 3]. Тогда для любо- го 1R имеем   : h       : ( )G F        1 [ ]: ii G q          : ,f z     для некоторого   1 }ii z q       : , ( )f q     для некоторого   1 ( ) ( ) }i i q q               1 : , . i i q q f q          Но множество    : ,f q     L -измеримо, поскольку по усло- вию функция  ,f x является  lL B R -измеримой и, следовательно, суперпозиционно измеримой. Поэтому функция ( ) ( ) inf ( , ) x F h f x      – L -измеримая функция. И.С. РАППОПОРТ 50 Теорія оптимальних рішень. 2016 Покажем справедливость соотношения (2). Ясно, что имеет место неравенство   ( ) ( ) coinf , ( ) ( ). x F xf d           (3) Пусть в соотношении (3) имеет место строгое неравенство. Тогда существу- ет суммируемая функция 0( ),  такая, что 0( ) ( )d        (4) и для некоторой L -измеримой функции 0 ( ) ( )x F   , при почти всех  имеем  0 0( ) , ( )co .f x     (5) Заметим, что      0 ( ) ( ) co , ( ) inf co , inf , , x F x F f x f x f x           . (6) Поэтому соотношения (5), (6) при почти всех  дают  0 ( ) ( ) inf , . x F f x       (7) Рассмотрим многозначное отображение   00 ( )( ) { ( ) : , ( )} ( ) ( )}.x F f x F G             Соотношение (7) гарантирует, что ( ) .   Для каждого 1R и  многозначное отображение     : ,lx R f xG      имеет открытые зна- чения в силу полунепрерывности сверху по lx R функции  ,f x при лю- бом . График этого отображения будет  lL B R -измерим, поскольку функция  ,f x  lL B R -измерима [1]. В силу предложения 5 [3, стр. 340] с учетом леммы 1 [1] многозначное отображение ( )  измеримо и пусть 0( )  произвольный измеримый селектор этого отоборажения. Тогда получаем  0 0, ( ) ( ),f       0( ) ( ),F    . (8) Неравенства (4) и (8) дают  0 0 0 0 ( ) , , ( , ) . t t d t t d              Полученное противоречие показывает, что в соотношении (3) имеет место равенство. О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ИНТЕГРАНТОВ Теорія оптимальних рішень. 2016 51 Следствие 1. Имеет место равенство   ( ) inf , ( ). x F f x d         Доказательство. Поскольку  co ,f x – функция Каратеодори, то для нее справедливо равенство     ( ) ( ) ( ) inf , ( ) inf , ( ) ( )co .co x F x F x d xf f d                 (9) Действительно, по теореме о маргинальном отображении [2] маргинальная функция ( ) co ( )n ,i f x F f x    измерима и соответствующее маргинальное много- значное отображение 0 0 0 ( ) ( ) { ( ) : c coo ( , ) inf ( , )} x F F x F f x xf          непусто, компактнозначно и измеримо. Пусть 0 ( )x  – измеримый селектор этого многозначного отображения. Тогда имеем      0 ( ) ( ) ( ) inf , ( ) , (co co ) ( ) inf , ( (o ) ).c x F x F x d x df xf f d                        В обратную сторону неравенство очевидно, т. е. соотношение (9) справедливо. Теперь с учетом соотношения ( ) ( ) inf co ( , ) inf ( , ) x F x F f x f x        равенство (2) дает требуемый результат. Следствие 2. Пусть интегрант ( , )f x L -измерим как функция  при всех lx R и при каждом  полунепрерывен сверху по lx R так, что множество точек разрыва имеет меру нуль. Тогда интегрант ( , )f x будет L B -измерим и для него справедливы все утверждения теоремы. Доказательство. Рассмотрим  ,f x  замыкание функции ( , )f x [3]. Функция  ,f x – функция Каратиодори и поэтому  lL B R -измерима [1]. Тогда функция ( , )f x также будет  lL B R -измерима, поскольку отличается от функции  ,f x на множестве меры нуль. Й.С. Раппопорт ПРО РЕГУЛЯРІЗАЦІЮ ІНТЕГРАНТІВ Встановлено мінімальні умови регулярності інтегрантів для існування інтегральних функціо- налів. Показана можливість регулярізації інтегрантів при збереженні екстремального значен- ня інтегральних функціоналів. И.С. РАППОПОРТ 52 Теорія оптимальних рішень. 2016 I.S. Rappoport ON THE REGULARIZATION OF INTEGRANTS Minimum conditions of reguiar integrants for the existence of integral functionals and the possibil- ity of regularization of integrants while maintaining extreme value of integral functionals is estab- lished. 1. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. К теореме об обратном образе для L B -измеримых многозначных отображений // ДАН Украины. – 2011. – № 11. – C. 54 – 58. 2. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis // Mathematics and Its Applications. – Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1990. – 461 p. 3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. – 480 c. 4. Chikrii A.A. Conflict controlled processes // Springer Science and Business Media. – 2013. – 424 p. Получено 23.03.2016

О регуляризации интегрантов

Institution

Similar Items