Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки
Рассмотрена линейно-квадратичная задача оптимального управления процессом колебаний призматической балки. Используя метод множителей Лагранжа, получены необходимые условия оптимальности для исследуемой задачи. Из этих условий выведена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати. Решение получ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113019 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки / М.М. Копец, С.Ф. Сабол // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 53-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860081099634376704 |
|---|---|
| author | Копец, М.М. Сабол, С.Ф. |
| author_facet | Копец, М.М. Сабол, С.Ф. |
| citation_txt | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки / М.М. Копец, С.Ф. Сабол // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 53-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Рассмотрена линейно-квадратичная задача оптимального управления процессом колебаний призматической балки. Используя метод множителей Лагранжа, получены необходимые условия оптимальности для исследуемой задачи. Из этих условий выведена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати. Решение полученной системы позволяет выписать явную формулу для оптимального управления.
Розглянута лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом коливання призматичної балки. Використовуючи метод множників Лагранжа, отримані необхідні умови оптимальності. Із цих умов виведена система інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті. Розв’язок отриманої системи дозволяє виписати явну формулу для оптимального керування.
In the present paper the linear-quadratic optimal control problem for vibration process of the prismatic is considered. The necessary optimality conditions are obtained by using the Lagrange multiplier method. The system of integro-differential Riccati equations is derived from this conditions. The solution of obtained system permits to write the closed formula for optimal control.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:16:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2016 53
ТЕОРІЯ
ОПТИМАЛЬНИХ
РІШЕНЬ
Рассмотрена линейно-квадратич-
ная задача оптимального управ-
ления процессом колебаний при-
зматической балки. Используя
метод множителей Лагранжа,
получены необходимые условия
оптимальности для исследуемой
задачи. Из этих условий выведена
система интегро-дифференциаль-
ных уравнений Риккати. Решение
полученной системы позволяет
выписать явную формулу для оп-
тимального управления.
© М.М. Копец, С.Ф. Сабол, 2016
УДК 517.977.56
М.М. КОПЕЦ, С.Ф. САБОЛ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ПРОЦЕССОМ КОЛЕБАНИЙ
ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ БАЛКИ
Введение. Исследование задач оптимального
управления колебательными процессами в
настоящее время достаточно актуально. Это
объясняется существенным прогрессом в
космической технике, самолетостроении, ра-
кетостроении, судостроении и т. п. В теории
оптимального управления одно из централь-
ных мест справедливо занимает линейно-
квадратическая задача, поскольку она
служит важным инструментом для процесса
исследования других актуальных задач опти-
мизации (задача аналитического конструи-
рования регулятора, оптимальная фильтра-
ция Калмана – Бьюси). Эта задача для систем
со сосредоточенными параметрами изучена
достаточно подробно [1], чего нельзя утвер-
ждать об аналогичной задаче для систем с
распределенными параметрами. В некоторых
известных монографиях она вовсе не рассма-
тривается [2]. В других работах для ее
исследования использованы методы функ-
ционального анализа [3], что обуславливает
достаточно высокий уровень абстракции.
Цель данной работы состоит в исследовании
линейно-квадратичной задачи оптимального
управления процессом колебаний призмати-
ческой балки, а именно: получение необхо-
димых условий оптимальности и вывод
формулы для вычисления оптимального
управления с использованием классических
методов математической физики.
Постановка задачи. Пусть управляемый
процесс в области , где имеет вид
]},0[],,[:),{( 10 lxtttxt , описывается
следующим уравнением
М.М. КОПЕЦ, С.Ф. САБОЛ
54 Теорія оптимальних рішень. 2016
),(
),(),(),(
2
2
4
4
2
2
xtu
x
xtz
m
F
x
xtz
m
EJ
t
xtz
, (1)
где действительные числа 0l , 00 t , 01 tt известны. Обозначим EJ –
жесткость балки, F – сжимающая сила, направленная вдоль оси балки,
m – масса поперечного сечения балки, функция ),( xtz описывает прогиб балки
в точке x в момент времени t . Известно, что уравнение (1) описывает процесс
колебаний призматической балки с учетом действия осевой силы [4, с. 285]. Для
уравнения (1) заданы начальные условия
)(),( 0 xfxtz , 0( , )
( ),
z t x
g x
t
(2)
где функции ),0()( 0,1
2 lWxf , ),0()( 2 lLxg предполагаются известными,
символ
t
xtz
),( 0 обозначает значение частной производной
t
xtz
),(
при 0tt .
Подобным образом трактуются символы
x
tz
)0,(
,
t
xtz
),( 1 и т. д. Концы балки
свободно опертые. Поэтому краевые условия для уравнения (1) имеют вид
( ,0) 0,z t
2
2
( ,0)
0,
z t
x
( , ) 0,z t l
2
2
( , )
0.
z t l
x
(3)
Функция )(),( 2 Lxtu называется допустимым управлением. Функ-
ционал качества процесса задан следующим образом:
1
0
2
2 2 21
1
0 0 0
1 1 ( , ) 1
( , ) [ ( , ) ( , )] .
2 2 2
tl l l
t
z t x
I z t x dx dx z t x u t x dxdt
t
(4)
Для фиксированного допустимого управления ),( xtu решением ),( xtz задачи
(1) – (4) считается обобщенное решение )(),( 0,1
2 Wxtz . Допустимое
управление, на котором реализуется минимум функционала (4), называется
оптимальным управлением.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КОЛЕБАНИЙ ...
Теорія оптимальних рішень. 2016 55
Необходимые условия оптимальности. Метод множителей Лагранжа при-
водит к таком выводу.
Теорема 1. Для нахождения оптимального управления ),( xtu в задаче
оптимизации (1) – (4) имеем следующую систему соотношений:
2 4 2
2 4 2
0
0
2 2
2 2
2 4 2
2 4 2
1 1
1
( , ) ( , ) ( , )
( , ),
( , )
( , ) ( ), ( ),
( ,0) ( , )
( ,0) 0, 0, ( , ) 0, 0,
( , ) ( , ) ( , )
( , ),
( , ) ( , )
( , ) ,
z t x EJ z t x F z t x
u t x
t m x m x
z t x
z t x f x g x
t
z t z t l
z t z t l
x x
p t x EJ p t x F p t x
z t x
t m x m x
z t x p t x
p t x
t
1
2 2
2 2
( , ) ,
( ,0) ( , )
( ,0) 0, 0, ( , ) 0, 0,
( , ) ( , ) 0,
z t x
t
p t p t l
p t p t l
x x
u t x p t x
(5)
где функция ),( xtp – множитель Лагранжа.
Доказательство. Рассмотрим следующий вспомогательный функционал:
2
2 1
1
0 0
1 1 ( , )
( , , ) ( , )
2 2
l l
z t x
p u z z t x dx dx
t
1 1
0 0
2 2
0 0
1
[ ( , ) ( , )] ( , )[ ( , )
2
t tl l
t t
z t x u t x dxdt p t x u t x
4 2 2
4 2 2
( , ) ( , ) ( , )
.
EJ z t x F z t x z t x
dxdt
m x m x t
(6)
Дальше находим выражение для приращения функционала (6)
( , , ) ( , , )p p u u z z p u z .
Предполагая выполнение краевых условий
( ,0) 0,p t ( , ) 0,p t l
2
2
( ,0)
0,
p t
x
2
2
( , )
0,
p t l
x
(7)
после несложных преобразований получаем
М.М. КОПЕЦ, С.Ф. САБОЛ
56 Теорія оптимальних рішень. 2016
1
1 1
0
( , )
( , ) ( , )
l
p t x
z t x z t x dx
t
1 1
1
0
( , ) ( , )
( , )
l
z t x z t x
p t x dx
t t
1
0
4 2
4 2
0
( , ) ( , )
( , )
t l
t
EJ p t x F p t x
z t x
m x m x
2
2
( , )
( , ) [ ( , ) ( , )] ( , )
p t x
z t x u t x p t x u t x dxdt
t
1
0
4 2
4 2
0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
t l
t
EJ z t x F z t x
p t x u t x
m x m x
22 2 2
2 1
12
0 0
( , ) ( , )
[ ( , )]
2 2
l l
z t x z t x
dxdt z t x dx dx
t t
1
0
2
2 2
0
[[ ( , )] [ ( , )] ] .
2
t l
t
z t x u t x dxdt
(8)
Необходимым условием экстремума функционала (6) является равенство
нулю его первой вариации. На основании соотношений (7) и выражения (8) это
условие приводит к системе уравнений (5).
Вывод системы интегро-дифференциальных уравнений Риккати. Равен-
ства 1
1
( , )
( , ) ,
z t x
p t x
t
1
1
( , )
( , )
p t x
z t x
t
дают основание для предположения
о существовании таких зависимостей:
11 12
0
( , ) ( , )
( , , ) ( , ) ( , , ) ,
l
p t x z t y
R t x y z t y R t x y dy
t t
21 22
0
( , )
( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ,
l
z t y
p t x R t x y z t y R t x y dy
t
где функции ),,(11 yxtR , ),,(12 yxtR , ),,(21 yxtR , ),,(22 yxtR следует найти.
Подобно тому, как это было выполнено в [6], для их нахождения получаем
следующую систему интегро-дифференциальных уравнений:
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КОЛЕБАНИЙ ...
Теорія оптимальних рішень. 2016 57
4 2
11 21 21
4 2
4 2
12 12
4 2
12 21
0
4 2
12 22 22
4 2
11 12 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( ) 0,
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
l
R t x y EJ R t x y F R t x y
t m x m x
EJ R t x y F R t x y
m y m y
R t x s R t s y ds x y
R t x y EJ R t x y F R t x y
t m x m x
R t x y R t x s R
2
0
4 2
21 22 22
4 2
11 22 21
0
22
12 21
22 22
0
( , , ) 0,
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0,
( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) 0,
l
l
l
t s y ds
R t x y EJ R t x y F R t x y
t m y m y
R t x y R t x s R t s y ds
R t x y
R t x y R t x y
t
R t x s R t s y ds
(9)
где ( )x – дельта-функция Дирака.
При этом должны выполняться краевые условия
0
),,(
,0
)0,,(
,0),,(,0)0,,(
,0
),,(
,0
)0,,(
,0),,(,0)0,,(
2
22
2
2
22
2
2222
2
12
2
2
12
2
1212
y
lxtR
y
xtR
lxtRxtR
y
lxtR
y
xtR
lxtRxtR
(10)
и условия трансверсальности
11 1 12 1
21 1 22 1
( , , ) ( ), ( , , ) 0,
( , , ) 0, ( , , ) ( ).
R t x y x y R t x y
R t x y R t x y x y
(11)
В результате приходим к таким выводам.
Теорема 2. Функции ),,(11 yxtR , ),,(12 yxtR , ),,(21 yxtR , ),,(22 yxtR являю-
тся решением нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений
с частными производными (9), удовлетворяют краевым условиям (10)
и условиям трансверсальности (11).
М.М. КОПЕЦ, С.Ф. САБОЛ
58 Теорія оптимальних рішень. 2016
Теорема 3. Если известны функции ),,(11 yxtR , ),,(12 yxtR ,
21( , , ),R t x y
),,(22 yxtR из теоремы 2, то оптимальное управление ),( xtu имеет вид
21 22
0
( , )
( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) .
l
z t y
u t x R t x y z t y R t x y dy
t
Выводы. В данной статье получена система интегро-дифференциальных
уравнений Риккати с частными производными для линейно-квадратической
задачи оптимального управления процессом колебаний призматической балки.
Решение этой системы предоставляет возможность выписать явную формулу
для вычисления оптимального управления. Перспективным для дальнейшего
исследования представляется получение явных формул для функций
),,(11 yxtR , ),,(12 yxtR , ),,(21 yxtR , ),,(22 yxtR , аналогично тому, как это было
сделано в работе [5], и исследовать поведение этих функций при 1t . Также
следует отметить целесообразность обобщения результатов, полученных
в данной работе, для игровых ситуаций [7] и на случай динамических систем
с дробными производными [8 – 9].
М.М. Копець, С.Ф. Сабол
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСОМ КОЛИВАННЯ ПРИЗМАТИЧНОЇ БАЛКИ
Розглянута лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом коливання
призматичної балки. Використовуючи метод множників Лагранжа, отримані необхідні умови
оптимальності. Із цих умов виведена система інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті.
Розв’язок отриманої системи дозволяє виписати явну формулу для оптимального керування.
M.M. Kopets, S. F. Sabol
OPTIMAL CONTROL BY PROCESS OF VIBRATION OF THE PRISMATIC BEAM
In the present paper the linear-quadratic optimal control problem for vibration process of the
prismatic is considered. The necessary optimality conditions are obtained by using the Lagrange
multiplier method. The system of integro-differential Riccati equations is derived from this
conditions. The solution of obtained system permits to write the closed formula for optimal control.
1. Андреев Ю.Н. Управлене конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976. –
424 с.
2. Бутковский А.Г. Теория оптимального управлення системами с распределенными пара-
метрами. – М.: Наука, 1965. – 476 с.
3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управлене системами, описываемыми уравнениями с частны-
ми производными. – М.: Мир, 1972. – 414 с.
4. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. – М.: Государственное
научно-техническое изд-во машиностроительной литературы, 1957. – 336 с.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ КОЛЕБАНИЙ ...
Теорія оптимальних рішень. 2016 59
5. Копец М..М. Задача оптимального управления процессом колебания струны // Теорія
оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2014. –
С. 32 – 38.
6. Копец М.М. Оптимальное управление процессом колебаний тонкого прямоугольного
стержня // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и
информатики». – 2015. – № 3. – С. 41 – 53.
7. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – К.: Наукова думка, 1992. – 384 с.
8. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных систем
с дробными производными Римана – Лиувилля // Кибернетика и системный анализ. –
2012. – № 6. – С. 66 – 99.
9. Эйдельман С.Д., Чикрий А.А. Динамические игровые задачи сближения для уравнений
дробного порядка // Украинский математический журнал. – 2000. – 52, № 11. –
С. 1566 – 1583.
Получено 31.03.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-113019 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:16:53Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Копец, М.М. Сабол, С.Ф. 2017-01-31T16:28:27Z 2017-01-31T16:28:27Z 2016 Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки / М.М. Копец, С.Ф. Сабол // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 53-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113019 517.977.56 Рассмотрена линейно-квадратичная задача оптимального управления процессом колебаний призматической балки. Используя метод множителей Лагранжа, получены необходимые условия оптимальности для исследуемой задачи. Из этих условий выведена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати. Решение полученной системы позволяет выписать явную формулу для оптимального управления. Розглянута лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом коливання призматичної балки. Використовуючи метод множників Лагранжа, отримані необхідні умови оптимальності. Із цих умов виведена система інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті. Розв’язок отриманої системи дозволяє виписати явну формулу для оптимального керування. In the present paper the linear-quadratic optimal control problem for vibration process of the prismatic is considered. The necessary optimality conditions are obtained by using the Lagrange multiplier method. The system of integro-differential Riccati equations is derived from this conditions. The solution of obtained system permits to write the closed formula for optimal control. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки Оптимальне керування процесом коливання призматичної балки Optimal control by process of vibration of the prismatic beam Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки Копец, М.М. Сабол, С.Ф. |
| title | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки |
| title_alt | Оптимальне керування процесом коливання призматичної балки Optimal control by process of vibration of the prismatic beam |
| title_full | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки |
| title_fullStr | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки |
| title_full_unstemmed | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки |
| title_short | Оптимальное управление процессом колебаний призматической балки |
| title_sort | оптимальное управление процессом колебаний призматической балки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113019 |
| work_keys_str_mv | AT kopecmm optimalʹnoeupravlenieprocessomkolebaniiprizmatičeskoibalki AT sabolsf optimalʹnoeupravlenieprocessomkolebaniiprizmatičeskoibalki AT kopecmm optimalʹnekeruvannâprocesomkolivannâprizmatičnoíbalki AT sabolsf optimalʹnekeruvannâprocesomkolivannâprizmatičnoíbalki AT kopecmm optimalcontrolbyprocessofvibrationoftheprismaticbeam AT sabolsf optimalcontrolbyprocessofvibrationoftheprismaticbeam |