Распределение расходов в задаче развозки
Рассмотрена задача распределения расходов при развозке товара нескольким потребителям при условии, когда суммарный спрос потребителей не превышает грузоподъемности транспортного средства. Поиск приемлемого решения производится с использованием аппарата кооперативных игр. Розглянуто задачу розподілу...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113021 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Распределение расходов в задаче развозки / С.И. Доценко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 69-77. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859810883778117632 |
|---|---|
| author | Доценко, С.И. |
| author_facet | Доценко, С.И. |
| citation_txt | Распределение расходов в задаче развозки / С.И. Доценко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 69-77. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Рассмотрена задача распределения расходов при развозке товара нескольким потребителям при условии, когда суммарный спрос потребителей не превышает грузоподъемности транспортного средства. Поиск приемлемого решения производится с использованием аппарата кооперативных игр.
Розглянуто задачу розподілу витрат при розвезенні товару декільком споживачам за умови, що сумарний попит споживачів не перевищує вантажопідйомності транспортного засобу. Пошук прийнятного рішення здійснюється з використанням апарата кооперативних ігор.
The expenses distributions in conveying problem is considered at the conditions, that the total customers demand doesn't exceed vehicle bearing capacity. The acceptable decision is found with the help of cooperative game theory technique.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:19:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2016 69
ïâëíÏü
ëìïåéÝèùêåò
íÏõâêù
Рассмотрена задача распределе-
ния расходов при развозке товара
нескольким потребителям при
условии, когда суммарный спрос
потребителей не првышает гру-
зоподъемности транспортного
средства. Поиск приемлемого ре-
шения производится с использо-
ванием аппарата кооперативных
игр.
Ò С.И. Доценко, 2016
ðáç 519.83
î.å. áëóâêçë
åÕæäåÚÙÚàÚâÝÚ åÕæêãÙã×
× ÜÕÙÕìÚ åÕÜ×ãÜßÝ
Введение. В данной статье рассмотрена ло-
гистическая задача справедливого распреде-
ления расходов при доставке грузов несколь-
ким потребителям. На интуитивном уровне
понятно, что если суммарный объем заказов
не превышает грузоподъемности транспорт-
ного средства, то группе потребителей
выгодней вскладчину оплатить некоторый
кольцевой маршрут, чем каждому в отдель-
ности платить за радиальный. Оказывается,
что математическим аппаратом такой задачи
распределения расходов может служить коо-
перативная игра, «надстроенная» над зада-
чей коммивояжера.
Основные сведения о задаче коммивоя-
жера. Задача коммивояжера – одна из клю-
чевых задач комбинаторной оптимизации.
Она формулируется следующим образом:
в графе найти замкнутый маршрут мини-
мального веса (где под весом маршрута по-
нимается сумма весов входящих в него
ребер), в который каждая вершина входит
в точности один раз.
Относительно постановки задачи комми-
вояжера следует сделать некоторые замеча-
ния. В произвольном графе (например, в лю-
бом дереве) может не существовать замкну-
того маршрута, содержащего каждую из
вершин в точности один раз. Даже если та-
кой маршрут существует, то может суще-
ствовать маршрут меньшего веса, проходя-
щий через все вершины, по крайней мере
один раз, а через некоторые вершины – более
одного раза. Однако в полном графе при
условии соблюдения неравенства треуголь-
ника для любой тройки вершин существует
С.И. ДОЦЕНКО
70 Теорія оптимальних рішень. 2016
замкнутый маршрут с посещением каждой вершины ровно один раз, для кото-
рого не существует другого замкнутого маршрута с посещением каждой верши-
ны по крайней мере один раз и имеющего меньший вес.
Основные сведения о кооперативных играх. Кооперативная игра задается
парой VN , , где N – конечное множество игроков, n – их количество, V – отоб-
ражение RN 2 из множества всех коалиций в множество действительных чи-
сел, называемое характеристической функцией (которая ставит в соответствие
каждой коалиции совместный заработок ее членов), и при этом () 0V j = (что по
сути означает, что пустая коалиция никогда ничего не зарабатывает). Множество
всех кооперативных игроков на множестве игроков N обозначается .NG
Кооперативная игра называется супераддитивной, если
( )( ), 2 , ( ) ( ) ( ) .NS T S T V S V T V S T" Í Æ =j + ¢ Ç
Кооперативная игра называется выпуклой, если
( )( ), 2 ( ) ( ) ( ) ( ) .NS T V S V T V S T V S T" Í + ¢ Ç + Æ
Решением кооперативной игры ( )1,..., nx x x= называется отображение
: ,N nf G R ставящее в соответствие каждой кооперативной игре n-мерный
вектор, i-я компонента которого равна платежу i-му игроку в данной игре.
Решение игры называется эффективным, если () ()NVNX = , где ä
Í
=
Si
ixSX )( .
Эффективность решения означает, что заработок гранд-коалиции распределяет-
ся между ее членами без потерь.
Ядром игры называется множество эффективных и стабильных решений x
C
,
таких, что любая коалиция S, отделившись от гранд-коалиции, не сможет обес-
печить суммарный заработок ее членов больший, чем )(SX .
{ }( ) : | ( ) ( ), ( ) ( ), 2 .n NC V x R X N V N X S V S S= Í = ² " Í
Рассмотрим некоторую перестановку игроков ( )1,..., .ni ip= Пусть ( )ip –
номер позиции i-го игрока в перестановке ,p { }| ( ) ( )i j N j ip = Í p ¢p – мно-
жество игроков, включающее i и всех, кто стоит перед ним в перестановке .p
Назовем маргинальным вкладом игрока i в перестановку π величину
( ) ( )\ { } .i i
im V V ip= p - p Очевидно, что для любой перестановки сумма марги-
нальных вкладов всех игроков равна V(N).
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДОВ В ЗАДАЧЕ РАЗВОЗКИ
Теорія оптимальних рішень. 2016 71
Вектором Шепли (В.Ш.) называется решение кооперативной игры, пред-
ставляющее собой вектор маргинальных вкладов игроков, усредненных по всем
возможным n! перестановкам. Компоненты В.Ш. также могут быть вычислены
по формуле
( )
( ) ()( )
\{ }
! !
( ) { } .
!
i
S N i
S n S
V V S i V S
nË
-
j = Ç -ä
Оказывается, что для выпуклой игры ядро всегда непусто, а В.Ш. является
«центром масс» ядра и, следовательно, принадлежит ему. Для невыпуклой игры
ядро может оказаться пустым, а В.Ш. может не принадлежать ядру, даже если
ядро не пусто. В этом случае более приемлемыми решениями оказываются
n-ядро (nucleolus) и nucleolus per capita (в литературе русского перевода не име-
ет и буквально означает «n-ядро на душу населения»).
Понятие n-ядра было впервые введено в [1]. Это точечное решение коопера-
тивной игры, которое базируется на понятиях эксцесса и лексикографического
порядка.
Определение. Эксцесс коалиции – это значение
( , ) ( ) , ( ), 2 ,N
i
i S
e x S V S x x D V S
Í
= - Í Íä
где )(VD множество решений игры( )1,..., ,nx x x= удовлетворяющих условиям
эффективности и индивидуальной рациональности, т. е. )(NVx
Ni
i =ä
Í
и ( ), 1,ix V i i n² = соответственно.
Другими словами, эксцесс является мерой сожаления того, что суммарный
заработок коалиции не такой большой, как хотелось бы. Если суммарный зара-
боток членов коалиции S больше, чем V(S), то эксцесс будет отрицательным.
Определение. Вектор ( )nxxx ,...,1=
C
лексикографически меньше, чем
( )1,..., ,ny y y= если существует некоторое {1,..., },k nÍ такое, что kk yx <
и ii yx = для всех .i k<
Определение. n-ядро (nucleolus) кооперативной игры – это эффективное
решение. ( )1,..., ,nx x x= для которого достигается лексикографический мини-
мум эксцессов на множестве всех непустых коалиций 2 \ ,NSÍ j выписанных
в убывающем порядке.
Оказывается, что для любой кооперативной игры существует эксцесс. Кро-
ме того, если ядро игры не пусто, то эксцесс всегда принадлежит ядру.
С.И. ДОЦЕНКО
72 Теорія оптимальних рішень. 2016
Понятие нормированного ядра (normalized nucleolus) было введено в [2].
Оно аналогично понятию n-ядра с той разницей, что понятие «эксцесс» заменя-
ется на «эксцесс на душу населения» (epc), при этом вычисленное значение
эксцесса коалиции делится на количество членов коалиции. Вычисленный та-
ким образом лексикографический минимум для нормализованного ядра также
носит название «nucleolus per capita» (см. например [3], с. 129).
( )
( , ) , ( ), 2 .
i
Ni S
V S x
epc x S x D V S
S
Í
-
= Í Í
ä
В работе [4] было показано, что для задачи коммивояжера при условиях со-
блюдения неравенств треугольника и равенства расстояний в противоположных
направлениях, т. е. , ,( , )( )i j j ii j d d" = ядро всегда непусто для трех и четырех
игроков соответственно.
В качестве примера рассмотрим задачу развозки с отправной точкой в Киеве
с посещением четырех центров областей, граничащих с Киевской – Винницы,
Житомира, Чернигова и Черкасс.
В качестве исходных данных задачи возьмем расстояния между городами
по автомагистралям, вычисленные с помощью онлайн-калькулятора расстояний
на сайте avtodispetcher.ru. (табл. 1).
ТАБЛИЦА 1
К Чн Ж В Чк
Киев – 142 140 267 194
Чернигов 142 – 282 408 301
Житомир 140 282 – 127 330
Винница 267 408 127 – 354
Черкассы 194 301 330 354 –
Заметим, что для данных расстояний между городами для любой тройки
городов выполняется неравенство треугольника.
Для задачи развозки по кольцевому маршруту построим эквивалентную ко-
оперативную игру, в которой игроками являются все города, кроме отправного
пункта (в данном случае Киева), а в качестве характеристической функции (коа-
лиции городов) берется кратчайший кольцевой маршрут, выходящий из
отправного пункта и проходящий через все города данной коалиции.
Найдем значение характеристической функции для всех возможных коалиций.
Значение функции для одноэлементных коалиций равно удвоенному рас-
стоянию от Киева до данного города и тогда
V(Чн) = 284, V(Ж) = 280, V(В) = 534, V(Чк) = 388. (1)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДОВ В ЗАДАЧЕ РАЗВОЗКИ
Теорія оптимальних рішень. 2016 73
Значение функции для двухэлементных коалиций равно сумме трех слагае-
мых – расстояний от Киева до этих городов и расстояния между ними, тогда
V(Чн, Ж) = 284, V(Чн, В) = 817, V(Чн, Чк) = 637, V(Ж, В) = 534,
V(Ж, Чк) = 664, V(В, Чк) = 815.
Значение функции для коалиций из трех и четырех элементов вычисляем,
как оптимальное решение задачи коммивояжера по маршруту, включающему
Киев и данные города. При этом можно воспользоваться онлайн-сервисом
на сайте math.semestr.ru.
Данный сервис позволяет решать задачу коммивояжера для количества го-
родов, не превышающего 14, методом ветвей и границ, при этом генерируется
подробный протокол пошагового решения. Результаты вычислений приведены
в табл. 2.
ТАБЛИЦА 2
Коалиция Маршрут Длина
(Чн, Ж, В) К – Чн – В – Ж – К 817
(Чн, Ж, Чк) К – Чн – Чк – Ж – К 913
(Чн, В, Чк) К – Чн – Чк – В – К 1064
(Ж,В,Чк) К – Ж – В – Чк – К 815
(Чн, Ж, В, Чк) К – Чн – Чк – В – Ж – К 1064
Рассмотрим приведенную характеристическую функцию W(S), которая для
каждой коалиции выражает «суммарную экономию длины маршрута» и равна
сумме длин радиальных маршрутов минус длина кратчайшего кольцевого
маршрута, т. е
( ) ( ) ( ).
i S
W S V i V S
Í
= -ä
Например, для гранд-коалиции данная величина составляет
W(Чн, Ж, В, Чк) = V(Чн) + V(Чк) + V(В) + V(Ж) – V(Чн, Ж, В, Чк) = 422.
Для удобства вычислений заменим названия городов номерами, например
в порядке, соответствующему кратчайшему кольцевому маршруту, включаю-
щему все города, т. е. 1 – Чернигов, 2 – Черкассы, 3 – Винница, 4 – Житомир,
тогда значение характеристической функции имеет вид:
W(1) = W(2) = W(3) = W(4) = 0, W(1, 2) = 35, W(1, 3) = 1, W(1, 4) = 0,
W(2, 3) = 107, W(2, 4) = 4,
W(3, 4) = 280, W(1, 2, 3) = 387, W(1, 2, 4) = 39, W(1, 3, 4) =281,
W(2, 3, 4) = 387, W(1, 2, 3, 4) = 422.
Заметим, что для данной характеристической функции нарушается условие
снежного кома, а, следовательно, условие выпуклости. Действительно,
С.И. ДОЦЕНКО
74 Теорія оптимальних рішень. 2016
Add(1, (2, 3)) = W(1, 2, 3) – W(2, 3) = 280;
Add(1, (2, 3, 4)) = W(1, 2, 3, 4) – W(2, 3, 4) = 35.
В этом случае В.Ш. может и не принадлежать ядру.
Для случая четырех игроков 1-я компонента В.Ш. может быть вычислена
по формуле
( )
1 1
(1) (1) (2) (3) (4)
4 12
Sh W W W W= - + + +
( )
1 1
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 4) (1, 2, 3, 4).
12 4
W W W W W W W+ + + - - - +
Поскольку характеристическая функция является приведенной и значения
функции от одноэлементных коалиций равны нулю, то формула упрощается:
( )
1 1
(1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 3) (2, 4) (3, 4) (1, 2, 3, 4).
12 4
Sh W W W W W W W= + + - - - +
Остальные компоненты В.Ш. могут быть вычислены по формулам, получа-
емых из данной циклической перестановкой аргументов. Таким образом
(75.92, 94.25, 134.58, 117.25).Sh=
Заметим, что в данном случае В.Ш. не принадлежит ядру. Действительно,
для коалиции {3, 4} имеет место нарушение условия стабильности:
( (3,4) 280) ( (3) (4) 251.83).W Sh Sh= < + =
В данном случае распределение экономии согласно В.Ш. представляется
неприемлемым. В качестве альтернативного варианта распределения можно вы-
брать n-ядро либо npc-ядро (nucleolus per capita).
Найдем n-ядро данной игры. Для этого нужно будет решить цепочку задач
линейного программирования (ЗЛП). Первая ЗЛП цепочки сводится к максими-
зации минимальной из переплат по набору коалиций 2 \ ( )ND N= jÇ (т. е.,
всем возможным коалициям, за исключением пустой коалиции и гранд-
коалиции). Пусть t-искомая величина минимальной переплаты, тогда ЗЛП
приобретает вид:
maxt
( )
1 1
( ), ; ( ); 0, 1; ; 0.
n n
i i i
i i
i S x t W S S D x W N x i n t
= =
c Í - ² Í = ² = ²ä ä
Для данной характеристической функции первая ЗЛП имеет вид:
max,t
1 2 3 40, 0, 0, 0,x t x t x t x t- ² - ² - ² - ²
1 2 1 3 1 435, 1, 0,x x t x x t x x t+ - ² + - ² + - ²
2 3 2 4 3 4107, 4, 280,x x t x x t x x t+ - ² + - ² + - ²
1 2 3 1 2 4142, 39,x x x t x x x t+ + - ² + + - ²
1 3 4 2 3 4281, 387,x x x t x x x t+ + - ² + + - ²
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДОВ В ЗАДАЧЕ РАЗВОЗКИ
Теорія оптимальних рішень. 2016 75
1 2 3 4 1 2 3 4422, , , , , 0.x x x x x x x x t+ + + = ²
Решение данной ЗЛП имеет вид:
1 1 1 1
47 ; 47 ; 280; 47 , 47 .
3 3 3 3
x t
å õ
= =æ ö
ç ÷
При подстановке решения в систему неравеств в равенства обращаются
ограничения, соответствующие коалициям {1},{2},{4},{3, 4}. Заметим, что коа-
лиции {1}, {2} и {3, 4} образуют полную группу непересекающихся множеств,
поэтому замораживаем значения 1 2
1 1
47 , 47
3 3
x x= = и исключаем из системы
неравенства, соответствующие коалициям {1},{2},{1, 2},{3, 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4}
и переходим ко второму этапу.
Решение ЗЛП второго этапа имеет вид:
1 1 1 5 5
47 ; 47 ;193 ;133 , 133 .
3 3 2 6 6
x t
å õ
= =æ ö
ç ÷
При подстановке решения в систему неравеств, в равенства обращаются
ограничения, соответствующие коалициям {4},{2, 3}. Поскольку
1x было замо-
рожено на предыдущей итерации, то данный набор множеств образует полную
группу непересекающихся множеств на }1{\N , поэтому замораживаем
6
5
1334 =x , а поскольку значение 2x было заморожено на предыдущей итера-
ции, то выходит, что 3x тоже фиксировано. Таким образом, все переменные
определены и вектор x
C
на последней итерации является n-ядром.
1 1 1 5
47 ; 47 ;193 ;133 .
3 3 2 6
Nucl
å õ
=æ ö
ç ÷
Вычитая из длин радиальных маршрутов (см. (1)) компоненты n-ядра, полу-
чаем компоненты вектора затрат.
(236.67; 340.67; 340.5;146.16).Costs=
Найдем нормированное ядро данной игры. Для этого нужно будет решить
цепочку ЗЛП. Первая ЗЛП цепочки сводится к максимизации минимальной из
переплат по набору коалиций 2 \ ( )ND N= jÇ (т. е., всем возможным коалици-
ям, за исключением пустой коалиции и гранд-коалиции). Задача отличается от
предыдущей тем, что переплата вычисляется в пересчете на одного игрока, и,
таким образом, величина переплаты по каждой коалиции делится на количество
членов в коалиции.
Пусть t-искомая величина минимальной переплаты, тогда ЗЛП приобретает
вид:
С.И. ДОЦЕНКО
76 Теорія оптимальних рішень. 2016
( )
1 1
( )
, ; ( ); 0, 1; ; 0.
n n
i
i i
i i
i S x W S
t S D x W N x i n t
S= =
c Í -
² Í = ² = ²ä ä
Для данной характеристической функции первая ЗЛП имеет вид:
max,t
1 2 3 4, , , ,x t x t x t x t² ² ² ²
1 2 1 3 1 435 1
, , ,
2 2 2
x x x x x x
t t t
+ - + - +
² ² ²
2 3 2 4 3 4107 4 280
, , ,
2 2 2
x x x x x x
t t t
+ - + - + -
² ² ²
1 2 3 1 2 4142 39
, ,
3 3
x x x x x x
t t
+ + - + + -
² ²
1 3 4 2 3 4281 387
, ,
3 3
x x x x x x
t t
+ + - + + -
² ²
1 2 3 4 1 2 3 4422, , , , , 0.x x x x x x x x t+ + + = ²
Решение данной ЗЛП имеет вид: ( ) 75.8,75.8;25.340;25.64;75.8 == tx
C
.
При подстановке решения в систему неравеств в равенства обращаются
ограничения, соответствующие коалициям {1},{2, 3, 4},{4},{1, 4}. Заметим, что
коалиции {1}, и {2, 3, 4} образуют полную группу непересекающихся множеств,
поэтому замораживаем значение
1 8.75,x = исключаем из системы неравенства,
соответствующие коалициям {1},{2, 3, 4} и переходим ко второму этапу. Реше-
ние ЗЛП имеет вид:
( ) 95.22,55.170;55.170;15.72;75.8 == tx
C
.
При подстановке решения в систему неравенств, в равенства обращаются
ограничения, соответствующие коалициям {1, 2},{1, 3, 4}. Поскольку 1x было
заморожено на предыдущей итерации, то данный набор множеств образует пол-
ную группу непересекающихся множеств на \{1},N поэтому замораживаем
15.722 =x и исключаем из системы неравенства, соответствующие коалициям
{2},{1, 2}{3, 4},{1, 3, 4} и переходим к третьему этапу. Решение ЗЛП имеет вид:
( )8.75; 72.15; 222.5;119.5 , 53.65.x t= =
При подстановке решения в систему неравенств, в равенства обращаются
ограничения, соответствующие коалициям {1, 2, 3},{1, 2, 4}. Поскольку 1 2,x x
уже зафиксированы на предыдущих итерациях, данная пара образует полную
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДОВ В ЗАДАЧЕ РАЗВОЗКИ
Теорія оптимальних рішень. 2016 77
группу, значит, приходится завиксировать
3 4, .x x Конец алгоритма. При этом
соответствующий вектор затрат равен
( )275.25; 315.75; 311.5;160.5 .Costs=
С.І. Доценко
РОЗПОДІЛ ВИТРАТ У ЗАДАЧІ РОЗВОЗКИ
Розглянуто задачу розподілу витрат при розвезенні товару декільком споживачам за умови,
що сумарний попит споживачів не перевищує вантажопідйомності транспортного засобу.
Пошук прийнятного рішення здійснюється з використанням апарата кооперативних ігор.
S.I. Dotsenko
ON EXPENSES DISTRIBUTION IN CONVEYING PROBLEM
The expenses distributions in conveying problem is considered at the conditions, that the total
customers demand doesn't exceed vehicle bearing capacity. The acceptable decision is found with
the help of cooperative game theory technique.
1. Schmeidler D. The nucleolus of a charecteristic function game // SIAM J on Applied
Mathematics, 17. – Р. 1163 – 1170.
2. Grotte J.H. Computation of and observation on the nucleolus and central games // M.Sc.
Thesis, Dept. of Operations Research, Cornell university.
3. Moulin H. Axioms of cooperative decision making // Cambridge university press, 1988.
4. Curiel I. Cooperative game theory and applications // Springer US, 1997.
Получено 18.04.2016
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-113021 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:19:40Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Доценко, С.И. 2017-01-31T16:32:07Z 2017-01-31T16:32:07Z 2016 Распределение расходов в задаче развозки / С.И. Доценко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2016. — № 2016. — С. 69-77. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113021 519.83 Рассмотрена задача распределения расходов при развозке товара нескольким потребителям при условии, когда суммарный спрос потребителей не превышает грузоподъемности транспортного средства. Поиск приемлемого решения производится с использованием аппарата кооперативных игр. Розглянуто задачу розподілу витрат при розвезенні товару декільком споживачам за умови, що сумарний попит споживачів не перевищує вантажопідйомності транспортного засобу. Пошук прийнятного рішення здійснюється з використанням апарата кооперативних ігор. The expenses distributions in conveying problem is considered at the conditions, that the total customers demand doesn't exceed vehicle bearing capacity. The acceptable decision is found with the help of cooperative game theory technique. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Распределение расходов в задаче развозки Розподіл витрат у задачі розвозки On expenses distribution in conveying problem Article published earlier |
| spellingShingle | Распределение расходов в задаче развозки Доценко, С.И. |
| title | Распределение расходов в задаче развозки |
| title_alt | Розподіл витрат у задачі розвозки On expenses distribution in conveying problem |
| title_full | Распределение расходов в задаче развозки |
| title_fullStr | Распределение расходов в задаче развозки |
| title_full_unstemmed | Распределение расходов в задаче развозки |
| title_short | Распределение расходов в задаче развозки |
| title_sort | распределение расходов в задаче развозки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113021 |
| work_keys_str_mv | AT docenkosi raspredelenierashodovvzadačerazvozki AT docenkosi rozpodílvitratuzadačírozvozki AT docenkosi onexpensesdistributioninconveyingproblem |