Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях

Установлено, что при существенных нарушениях статистической устойчивости использование классической детерминированно-случайной модели измерения и основанных на ней методиках измерения приводит к недопустимо большим погрешностям. Разработана методика измерения физических величин в непрогнозируемо изм...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Математичні машини і системи
Дата:	2015
Автор:	Горбань, И.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2015
Теми:	Моделювання і управління
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113753
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2015. — № 4. — С. 80-91. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-113753
record_format	dspace
spelling	Горбань, И.И. 2017-02-13T16:25:34Z 2017-02-13T16:25:34Z 2015 Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2015. — № 4. — С. 80-91. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113753 53.01:53.05+519.2 Установлено, что при существенных нарушениях статистической устойчивости использование классической детерминированно-случайной модели измерения и основанных на ней методиках измерения приводит к недопустимо большим погрешностям. Разработана методика измерения физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях. Продемонстрирована эффективность новой методики. Встановлено, що при суттєвих порушеннях статистичної стійкості використання класичної детерміновано-випадкової моделі вимірювання та заснованих на ній методиках вимірювання призводить до недопустимо великих похибок. Розроблено методику вимірювання фізичних величин у статистичних умовах, що непрогнозовано змінюються. Продемонстровано ефективність нової методики. It has been found that under essential violations of statistical stability, using of the classic determinately-random measurement model and based on it measurement techniques lead to unacceptable large errors. A technique for measuring of physical quantities under unpredictable changing statistical conditions is developed. The effectiveness of the new technique is demonstrated. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях Вимірювання фізичних величин у статистичних умовах, що непрогнозованo змінюються Measuring of physical quantities under unpredictable changing statistical conditions Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях
spellingShingle	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях Горбань, И.И. Моделювання і управління
title_short	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях
title_full	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях
title_fullStr	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях
title_full_unstemmed	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях
title_sort	измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях
author	Горбань, И.И.
author_facet	Горбань, И.И.
topic	Моделювання і управління
topic_facet	Моделювання і управління
publishDate	2015
language	Russian
container_title	Математичні машини і системи
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
format	Article
title_alt	Вимірювання фізичних величин у статистичних умовах, що непрогнозованo змінюються Measuring of physical quantities under unpredictable changing statistical conditions
description	Установлено, что при существенных нарушениях статистической устойчивости использование классической детерминированно-случайной модели измерения и основанных на ней методиках измерения приводит к недопустимо большим погрешностям. Разработана методика измерения физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях. Продемонстрирована эффективность новой методики. Встановлено, що при суттєвих порушеннях статистичної стійкості використання класичної детерміновано-випадкової моделі вимірювання та заснованих на ній методиках вимірювання призводить до недопустимо великих похибок. Розроблено методику вимірювання фізичних величин у статистичних умовах, що непрогнозовано змінюються. Продемонстровано ефективність нової методики. It has been found that under essential violations of statistical stability, using of the classic determinately-random measurement model and based on it measurement techniques lead to unacceptable large errors. A technique for measuring of physical quantities under unpredictable changing statistical conditions is developed. The effectiveness of the new technique is demonstrated.
issn	1028-9763
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113753
citation_txt	Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2015. — № 4. — С. 80-91. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gorbanʹii izmereniefizičeskihveličinvneprognoziruemoizmenâûŝihsâstatističeskihusloviâh AT gorbanʹii vimírûvannâfízičnihveličinustatističnihumovahŝoneprognozovanozmínûûtʹsâ AT gorbanʹii measuringofphysicalquantitiesunderunpredictablechangingstatisticalconditions
first_indexed	2025-11-25T23:28:30Z
last_indexed	2025-11-25T23:28:30Z
_version_	1850580979000803328
fulltext	80 © Горбань И.И., 2015 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ УДК 53.01:53.05+519.2 И.И. ГОРБАНЬ * ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В НЕПРОГНОЗИРУЕМО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ * Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина Анотація. Встановлено, що при суттєвих порушеннях статистичної стійкості використання класичної детерміновано-випадкової моделі вимірювання та заснованих на ній методиках вимірювання призводить до недопустимо великих похибок. Розроблено методику вимірювання фізичних величин у статистичних умовах, що непрогнозовано змінюються. Продемонстровано ефективність нової методики. Ключові слова: статистична стійкість, параметр статистичної нестійкості, теорія гіпервипадкових явищ, похибка вимірювання, модель вимірювання. Аннотация. Установлено, что при существенных нарушениях статистической устойчивости ис- пользование классической детерминированно-случайной модели измерения и основанных на ней мето- диках измерения приводит к недопустимо большим погрешностям. Разработана методика измере- ния физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях. Продемонст- рирована эффективность новой методики. Ключевые слова: статистическая устойчивость, параметр статистической неустойчивости, теория гиперслучайных явлений, погрешность измерения, модель измерения. Abstract. It has been found that under essential violations of statistical stability, using of the classic de- terminately-random measurement model and based on it measurement techniques lead to unacceptable large errors. A technique for measuring of physical quantities under unpredictable changing statistical conditions is developed. The effectiveness of the new technique is demonstrated. Keywords: statistical stability, parameter of statistical instability, theory of hyper-random phenomena, measurement error, measurement model. 1. Введение Одним из наиболее распространенных видов измерений является прямое статистическое измерение, представляющее собой непосредственное многократное измерение физической величины и статистическую обработку полученных данных. Физической основой таких измерений служит феномен статистической устойчивости, проявляющийся в стабильности статистик. Существует множество методик прямых статистических измерений, учитывающих разную специфику условий их проведения. Разнообразие методик обусловлено тем, что любая методика базируется на множестве предположений и моделей, приближенно опи- сывающих реальные условия. От степени адекватности используемых моделей зависит как сам результат измерения, так и оценка его точности. В классической модели измерения, которую можно назвать детерминированно- случайной [1, 2], и разработанных на ее основе методиках измерения измеряемая величина (параметр)  полагается неизменной и однозначной, а результаты одиночных ее измере- ний 1 2, , , NX X X и конечный результат измерения (оценка)  – случайными величина- ми. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 81 Рис. 1. Классическая (детерминированно- случайная) модель измерения Эта модель базируется на гипотезе идеальной статистической устойчивости реаль- ных физических процессов, предполагающей, что при неограниченном увеличении объема выборки N оценка  имеет некоторый предел. В реальном мире все изменяется. Изменяются и статистические условия. Пренеб- режимо малые на небольших интервалах наблюдения нарушения статистической устойчи- вости на больших интервалах наблюдения проявляются сильно. Исследования реальных процессов разной физической природы показывают [1–3], что феномен статистической устойчивости не идеален. При длительном наблюдении про- цессы теряют статистическую устойчивость. Это обстоятельство необходимо учитывать при проведении измерений. В настоящее время вопрос учета нарушений статистической устойчивости доста- точно глубоко проработан в теоретическом плане в рамках физико-математической теории гиперслучайных явлений (ТГСЯ) [1, 2], однако он все еще не доведен до практических ме- тодик измерения физических величин. Цель настоящей статьи – разработка практической методики измерения физических величин, учитывающей нарушения статистической устойчивости. Рассмотрим вначале классическую модель измерения. 2. Детерминированно-случайная модель измерения Согласно [1, 2], детерминированную измеряемую величину  можно рассматривать как вырожденную случайную величину, у которой функция распределения имеет вид единич- ного скачка в точке  : 0 при , 1 при ( ) sign[ ] . F x x x x           Тогда детерминированно-случайную модель измерения схематично можно пред- ставить в виде рис. 1, где * ( )F x  – функция распределения оценки  , m  и   – со- ответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение (СКО) этой оценки, а 0 – систематическая по- грешность измерения. Используя результаты конкретных измерений 1 2, , , Nx x x , можно рассчитать ин- тервал, в котором предположительно находится параметр  (доверительный интервал). Границы этого интервала описываются выражениями * * * * * * 0 0,i sk k                , (1) где  и *   – соответственно оценка измеряемой величины и оценка среднеквадратиче- ского отклонения оценки, сформированные по выборке 1 2, , , Nx x x , k – коэффициент, оп- ределяющий степень доверия. Соответствующие этим границам доверительного интервала границы погрешности z    описываются выражениями * 0iz k     , * * 0sz k     . (2) 82 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 3. Методика прямых статистических измерений на основе детерминированно- случайной модели Наиболее простой и широко распространенной методикой прямых статистических измере- ний, основанной на детерминированно-случайной модели, является методика, изложенная в стандарте [1]. Не вдаваясь в подробности, изложим ее суть. Согласно этой методике в качестве случайной оценки  измеряемой физической величины  выступает среднее множества результатов измерений: * 1 1 N n n X N     . Тогда детерминированная оценка  , сформированная на основе множества конкретных измере- ний 1 2, , , Nx x x , описывается выражением 1 1 N n n x N     . Предполагается, что результаты измерений 1 2, , , NX X X независимы, имеют один и тот же неизвестный закон распределения, неизвестное математическое ожидание и неиз- вестную дисперсию xD . Тогда СКО   оценки  связано с дисперсией отсчетов xD со- отношением /xD N     . Вместо неизвестной дисперсии xD используется ее оценка * 2 1 1 ( ) 1 N x n N n D x N       , а вместо неизвестного СКО   – оценка * /xD N     . Отсюда следует, что методика измерения включает: 1) проведение N измерений 1 2, , , Nx x x измеряемой физической величины  ; 2) расчет оценки * 1 1 N n n x N     измеряемой физической величины  ; 3) расчет оценки * * * 2 1 1 ( ) ( 1) N n n x N N        СКО оценки  ; 4) определение по формулам (1) и (2) границ i , s интервала, в котором находится измеряемый параметр  , и границ iz , sz интервала погрешности измерения z 1 . При нарушениях статистической устойчивости классическая детерминированно- случайная модель измерения неадекватно представляет действительность и описанная ме- тодика измерения дает большую погрешность измерения. 4. Нарушение статистической устойчивости Факт существенного нарушения статистической устойчивости процесса может быть за- фиксирован на основе анализа динамики изменения различных параметров статистической неустойчивости. Статистическая устойчивость зависит не только от специфики самого процесса, но также и от статистики, по отношению к которой рассматривается устойчи- вость. Простейшим параметром, характеризующим статистическую неустойчивость про- цесса по отношению к среднему, является параметр 1 При практических расчетах константа k задается исследователем (обычно в диапазоне от 1 до 3), а в качестве систематической погрешности 0 берется величина, указанная в паспорте измеритель- ного прибора. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 83 M[ ] γ M[ ] N N Y N X D D  , (3) где M[ ] – оператор математического ожидания, 2 1 1 ( ) 1N N N Y n Y n D Y m N      (4) – выборочная дисперсия флуктуации выборочного среднего 1 1 n n i i Y X n    ( 1, )n N , (5) 1 1 N N Y n n m Y N    – выборочное среднее флуктуации среднего, 2 1 1 ( ) 1N N X i N n D X Y N      (6) – выборочная дисперсия процесса. Теоретически статистически устойчивым по отношению к среднему считается слу- чайный процесс, у которого параметр статистической неустойчивости γN стремится к ну- лю при N . Обратим внимание, что если реальный процесс носит неслучайный характер, для оценки нарушений статистической устойчивости также может быть использован параметр статистической неустойчивости (3). Для корректного его применения в этом случае под оператором M[ ] следует понимать усреднение по ансамблю, конечному или бесконечно- му. В вырожденном случае усреднение по ансамблю может отсутствовать. На практике объем данных всегда ограничен, а потому объем выборки N и ан- самбль реализаций конечны. Тогда принятие решения о наличии или отсутствии наруше- ний статистической устойчивости возможно на основе анализа тенденции изменения оценки параметра γN при больших значениях N или, что более корректно, на основе со- поставления значения этой оценки со значением 0γ N параметра γN , рассчитанного для эталонного статистически устойчивого процесса. В качестве эталона удобно использовать белый гауссовский шум 2 . Для него рассчи- таны [1] параметр 0γ N и СКО 0γ σ N величины 0γ /M[ ] N NN Y XD D . По этим параметрам не- трудно рассчитать верхнюю границу 00 γ0γ σγ NN N k    коридора параметра статистической неустойчивости по отношению к среднему ( k – параметр, определяющий ширину коридо- ра). Выход оценки параметра статистической неустойчивости γN за верхнюю границу ко- ридора свидетельствует о нарушении статистической устойчивости по отношению к сред- нему. Экспериментальные исследования показывают [1–3], что все реальные физические процессы статистически неустойчивы, однако интервал, на котором нарушения статисти- ческой устойчивости остаются еще пренебрежимо малыми (интервал статистической ус- тойчивости), разный. 2 Для корректного использования этого эталона период дискретизации исследуемого процесса должен быть равен интервалу его корреляции. 84 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 5. Методика оценки интервала статистической устойчивости по отношению к сред- нему На основании п. 4 методика оценки интервала статистической устойчивости по отноше- нию к среднему процесса, представленного выборкой 1 2, ,x x , сводится к: 1) расчету для разных объемов выборки n ( 1, )n N выборочных средних 1 1 n n i i y x n    ; 2) расчету для разных объемов выборки N выборочной дисперсии 2 1 1 ( ) 1N N x i N n D x y N      ; 3) расчету для разных объемов выборки N выборочного среднего флуктуации среднего 1 1 N N y n n m y N    ; 4) расчету для разных объемов выборки N выборочной дисперсии флуктуации вы- борочного среднего 2 1 1 ( ) 1N N N y n y n D y m N      ; 5) расчету для разных объемов выборки N оценки параметра статистической неус- тойчивости по отношению к среднему γ N N y N x D D  ; 6) построению зависимости оценки параметра статистической неустойчивости по отношению к среднему γN от объема выборки N ; 7) сравнению полученной зависимости с зависимостью верхней границы коридора параметра статистической неустойчивости по отношению к среднему 0γ N  (для заданной величины k ). Интервалом статистической устойчивости sN (в терминах объема выборки N ) счи- тается объем N , при котором происходит выход оценки параметра γN за верхнюю грани- цу коридора 0γ N  . В монографиях [1, 2] рассмотрен ряд различных моделей измерения, учитывающих нарушения статистической устойчивости. Одна из них – детерминированно- гиперслучайная модель. На ней и остановимся, но прежде, чем переходить к ее описанию, кратко охарактеризуем используемое в ней понятие гиперслучайной величины. 6. Гиперслучайная величина Под гиперслучайной величиной X подразумевается множество G случайных величин gX (  , gX X g G ), каждая из которых описывается определенной функцией распределе- ния / ( )x gF x . Гиперслучайная величина представляется многозначной функцией распределения  /( ) ( ),  x x gF x F x g G , а также рядом параметров и характеристик, характеризующих ее. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 85 Рис. 2. Детерминированно-гиперслучайная модель измерения Наряду с множеством функцией распределения / ( )x gF x характеристиками, дающи- ми представление о гиперслучайной величине, являются верхняя /( ) sup ( )  Sx x g g G F x F x и нижняя /( ) inf ( )  Ix x g g G F x F x границы функции распределения. К числу параметров, характеризующих гиперслучайную величину, относятся ус- ловные моменты: математические ожидания /x gm , СКО /x g и пр., моменты границ ( )SxF x , ( )IxF x – математические ожидания границ Sxm , Ixm , СКО границ Sx , Ix и пр., а также границы моментов – нижняя и верхняя границы математического ожидания /inf  ix x g g G m m , /sup  sx x g g G m m , нижняя и верхняя границы СКО /inf  ix x g g G   , /sup  sx x g g G   и др. Обратим внимание, что частным случаем гиперслучайной величины является слу- чайная величина. 7. Детерминированно-гиперслучайная модель измерения В детерминированно-гиперслучайной модели измерения измеряемая величина  пред- ставляется детерминированной, а результаты одиночных измерений 1 2, , , NX X X и ко- нечный результат измерения  – гиперслучайными величинами. Как и в детерминированно-случайной модели, измеряемую величину  будем рассматривать как вырожденную случайную величину, описываемую функцией распределения ( )F x . Под оценкой  будем понимать некото- рую статистику – функцию выборки 1 2( , , , )   NX X X X объемом N из гиперслучайной генеральной сово- купности (рис. 2). Оценку  можно представить множеством случайных оценок * * / g g , соответствующих различным условиям g G :  * * ,   g g G , где g является функцией случайной выборки /   gX X g . Конкретную величину  гиперслучайной оценки  можно представить множест- вом детерминированных величин * * /g g  , соответствующих различным условиям g G :  * * , g g G  . В зависимости от постановки задачи точность точечной оценки можно характери- зовать по-разному. В общем случае точность характеризует гиперслучайная погрешность  Z  . В фиксированных условиях g параметром, характеризующим точность слу- чайной оценки g , является величина 2 gz – математическое ожидание квадрата случай- ной погрешности  g gZ  , а именно: 2 2         gz g  . Точность конкретной оценки * g , полученной в фиксированных условиях g , харак- теризует детерминированная погрешность  g gz   . 86 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 Рис. 3. Веер условных функций распределения / ( ) g F x  (тонкие линии) для различных условий g , верхняя * ( ) S F x  (полужирная сплошная линия) и нижняя * ( ) I F x  (полужирная пунктирная линия) границы функции распределения Точность оценки в изменяющихся условиях характеризует интервал, в котором нахо- дятся величины 2 gz , g G . Погрешность может принимать как положительные, так и отри- цательные значения. Поэтому верхняя граница рассматриваемого интервала описывается вы- ражением 2 2 2max[ , ],   z Sz Iz где 2 2 M [ ],   Sz S  2 2 M [ ]   Iz I  – средние квадраты погрешности Z , рассчитанные с использованием соответственно верхней * ( ) S F   и нижней * ( ) I F   границ функции распре- деления оценки. Точность оценки характеризуют также границы среднего квадрата погрешности Z : 2 2 2 * 2 inf [ ], sup [ ]            iz g sz g g G g G   и корни из этих величин iz , sz , которые для простоты изложения будем называть грани- цами погрешности. В условиях g G смещение гиперслучайной оценки  (систематическая погрешность) описывается выражением 0/ / /   g z g g m m    , где * * / M[ ] gg m  и /z gm – математические ожидания соответственно случайных величин g и gZ . Границы 2Sz , 2 Iz и 2iz , 2sz можно представить следующим образом: 2 2 2  Sz Sz Szm  , 2 2 2  Iz Iz Izm  , 2 2 2 / /inf[ ]    iz z g z g g G m  , 2 2 2 / /sup[ ]    sz z g z g g G m  , где 0  Sz SS m m    , * 0  Iz II m m    – математические ожидания границ погрешности, представляющие собой смещения оценки относительно соответственно верхней и нижней гра- ниц функции распределения:   22 2       Sz S Sz S Z m    ,   22 2       Iz I Iz I Z m    – дисперсии границ погрешности, совпадающие с дисперсиями границ оценки;  * * 2 2 2 * / / /           z g gg g m     – ус- ловная дисперсия погрешности, совпа- дающая с условной дисперсией оценки (рис. 3). В изменяющихся условиях погрешность z описывается нера- венством * 0 0S IS I k z k          , а интервал нахождения измеряемой величины  (доверительный интер- вал) – неравенством * 0 0      I SI S k k          , ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 87 где k – константа, определяющая степень доверия. 8. Формализация условий проведения измерений Уточним условия проведения измерений. Будем исходить из того, что в результате пред- варительного анализа статистической устойчивости выборки 1 ,..., Nx x большого объема N обнаружены нарушения статистической устойчивости по отношению к среднему, а в результате измерения интервала статистической устойчивости sN (см. пп. 4, 5) оценена величина sN и выяснено, что sN N . Предполагается, что измеряется скалярная детерминированная однозначная вели- чина  , не меняющая значения в процессе измерения, а результаты измерения носят ги- перслучайный характер и адекватно описываются гиперслучайной выборкой 1 2, , , NX X X . В процессе измерения статистические условия непрогнозируемо изменяются. При этом изменяются они медленно, что позволяет разделить интервал наблюдения на G оди- наковых по длительности фрагментов, соответствующих практически постоянным стати- стическим условиям. Элементы выборки берутся с равномерным шагом. Количество от- счетов, соответствующих одному фрагменту, равно sN . В фиксированных статистических условиях g ( 1,g G ) элементы случайной вы- борки 1 ,..., sg N gX X некоррелированные и имеют один и тот же неизвестный закон распре- деления ( )gF x и неизвестную дисперсию /x gD . Результаты конкретных N измерений 1 ,..., Nx x представляют собой реализацию ги- перслучайной выборки, а результаты конкретных sN измерений 1 ,..., sg N gx x в условиях g – реализацию случайной выборки 1 ,..., sg N gX X . На интервалах / /3x g x gm  функции распределения ( )gF x ( 1,g G ) не пересекают- ся, где /x gm и / /x g x gD – соответственно математическое ожидание и СКО элементов случайной выборки 1 ,..., sg N gX X . Это предположение позволяет упростить расчет границ функции распределения ( )SxF x , ( )IxF x гиперслучайной величины X : представить их функциями распределения случайных величин gX с минимальным и максимальным мате- матическим ожиданием /x gm ( Sx ixm m , Ix sxm m ). В качестве оценки измеряемой величины  используется среднее оценок матема- тических ожиданий границ Sxm , * Ixm , сформированных по результатам наблюдения 1 ,..., Nx x : * * ( ) / 2 Sx Ixm m , (7) а в роли систематической погрешности рассматривается величина 0 0SS m       . 9. Методика измерения физической величины в непрогнозируемо изменяющихся ус- ловиях Принимая во внимание п. 8, методика измерения величины  сводится к следующему: 1) проведение N измерений 1 ,..., Nx x искомой величины  ; 2) разбивка выборки на фрагменты по sN отсчетов в каждой; 88 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 3) для каждого g -го фрагмента ( 1,g G ) расчет оценки математического ожидания * / 1 1 sN x g ng ns m x N    ; 4) определение оценок, * Sxm , * Ixm математических ожиданий границ ( * * * /inf Sx ix x g g m m m , * * * /sup Ix sx x g g m m m ) и номеров фрагментов Sg , Ig , соответствующих математическим ожиданиям верхней и нижней границ; 5) расчет по фрагментам Sg , Ig оценок среднеквадратических отклонений * Sx , * Ix верхней и нижней границ; 6) расчет по формуле (7) оценки  ; 7) расчет границ доверительного интервала ,i s  с учетом уменьшения СКО гра- ниц распределения в sN раз за счет усреднения данных: * * * 0 ( ) / ,i Ix Sx Ix sm m k N        * * 0 /s Sx sk N      ; (8) 8) расчет границ интервала погрешности измерения * 0 / i Sx sz k N  , * * * 0 ( ) /   s Ix Sx Ix sz m m k N  . Заметим, что в случае наличия корреляции между отсчетами, величина sN должна быть уменьшена в /c sT раз, где c – интервал корреляции, а sT – длительность фрагмен- та, содержащего sN отсчетов. 10. Пример Для получения представления о величине возможных отличий результатов измерений с использованием разных методик рассмотрим конкретный пример оценки напряжения го- родской электросети. а б Рис. 4. Результаты измерения напряжения городской электросети на протяжении 60 ч наблюдения (а) и соответствующее им выборочное среднее (б) Рис. 5. Результаты измерения напряжения городской электросети на протяжении 100 c наблюдения (а) и соответствующее им выборочное среднее (б) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 89 На рис. 4 а приведены результаты записи колебания напряжения в сети на протяже- нии 60 ч наблюдения [1], а на рис. 5 а – начальный 100 с фрагмент этого 60-часового ин- тервала. На рис. 4 б и 5 б изображена динамика изменения соответствующих выборочных средних рассматриваемых процессов. Анализ приведенной на рис. 4 а зависимости напряжения сети от времени в соот- ветствии с методикой, описанной в п.5, показывает, что рассматриваемый процесс ( )x t яв- но статистически неустойчивый, а интервал его статистической устойчивости s составля- ет примерно 1 ч. Представление об изменениях закона распределения на протяжении рассматривае- мых 60 ч наблюдения дает рис. 6 а, а об изменениях оценки функции распределения выбо- рочного среднего * 1 1 ixN N i xm N    – рис. 6 б. Рис. 6. Оценки функции распределения напряжения электросети * ( )gF x на 64 прилегающих друг к дру- гу интервалах наблюдения (а) и оценки функции распределения выборочного среднего напряжения * * ( ) xNm F x при различных объемах выборки 2rN  ( 8,10,12,14,16,18, 20)r  (б) (толщина линий возрастает с увеличением параметра r ) Результаты расчета различных параметров, характеризующих колебания напряже- ния сети, с использованием рассмотренных методик измерения представлены на рис. 7. Левая часть рис. 7, соответствующая 100-секундному интервалу наблюдения, пред- ставляет параметры, полученные с использованием детерминированно-случайной модели измерения и описанной в п. 3 методики, основанной на положениях теории вероятностей. Правая часть рис. 7, соответствующая 60-часовому интервалу наблюдения, пред- ставляет параметры, полученные с использованием детерминированно-гиперслучайной мо- дели измерения (за исключением параметра, отмеченного тонкой стрелкой) и описанной в п. 9 методики, основанной на положениях теории гиперслучайных явлений. Для 60-часового интервала наблюдения размах выборки и размах выборочного среднего вычислены по данным рис. 4 а, 4 б, а доверительный интервал (ТГСЯ), отмечен- ный жирной стрелкой, и оценка (ТГСЯ) рассчитаны по методике, описанной в п. 9. Дове- рительный интервал (ТВ), отмеченный тонкой стрелкой, рассчитан по методике, изложен- ной в п. 3. Как видно из рисунка, результаты существенно отличаются. Параметры в левой части рисунка отражают состояние электрической сети в конкрет- ных статистических условиях, которые имели место на рассматриваемом 100-секундном ин- тервале наблюдения. Параметры в правой части рисунка (за исключением отмеченного тон- кой стрелкой) представляют состояние сети во множестве различных статистических условий, которые непрогнозируемо сменяли друг друга на протяжении рассматриваемого 60-часового интервала наблюдения. Параметр, отмеченный тонкой стрелкой, характеризует состояние се- 90 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 ти во множестве различных, но вполне конкретных, статистических условиях, которые сменя- ли друг друга на протяжении того же 60-часового интервала наблюдения. 210 220 230 240 250 260 Р а зм а х в ы б о р ки Д о в е р и те л ь н ы й и н те р в а л ( Т В ) В ы б о р о ч н о е с р е д н е е 100 с 60 ч О ц е н ка (Т Г С Я ) Р а зм а х в ы б . с р . Р а зм а х в ы б . с р . Р а зм а х в ы б о р ки Д о в е р . и н те р в а л (Т Г С Я ) Д о в е р . и н те р в а л (Т В ) Рис. 7. Результаты расчета параметров, характеризующих напряжение сети по данным рис. 4–6 с использованием методик измерения, основанных на положениях теории вероятностей (ТВ) и теории гиперслучайных явлений (ТГСЯ) Для 100-секундного интервала наблюдения наиболее информативным параметром яв- ляется доверительный интервал, рассчитанный по методике теории вероятностей, а для 60- часового интервала – по методике теории гиперслучайных явлений (на рис. 7 эти параметры отмечены двумя жирными стрелками). Для 60-часового интервала наблюдения доверительный интервал шириной 50 мВ и со средним значением 229,4 В, рассчитанный в соответствии с теорией вероятностей (отмечен- ный на рисунке тонкой стрелкой), совершенно не информативен, т.к. учитывает конкретную последовательность смены условий, которая на следующих 60-часовых интервалах наблюде- ния, скорее всего, не повторится, а доверительный интервал шириной 33 В и со средним зна- чением 233,5 В, рассчитанный в соответствии с теорией гиперслучайных явлений (отмечен- ный жирной стрелкой), содержит полезную для практики информацию об усредненной дина- мике изменения напряжения сети. Потеря полезной информации в первом случае и сохранение ее во втором связаны с тем, что при нарушениях статистической устойчивости классическая детерминированно- случайная модель измерения искаженно отражает реальную ситуацию, а детерминированно- гиперслучайная модель – представляет ее адекватно. Как следует из приведенного примера, игнорирование факта нарушений статистиче- ской устойчивости может приводить к абсурдным результатам, в частности, к необоснован- ному завышению оценок точности измерений. 11. Выводы 1. Установлено, что при существенных нарушениях статистической устойчивости нельзя ис- пользовать классическую детерминированно-случайную модель измерения и основанные на ней методики измерения. 2. Показано, что игнорирование факта нарушения статистической устойчивости может приво- дить к абсурдным результатам, в частности, к необоснованному завышению оценок точности измерений в сотни и более раз. 3. На основе детерминированно-гиперслучайной модели измерения разработана методика из- мерения физических величин, учитывающая непрогнозируемые изменения статистических условий. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2015, № 4 91 4. Описанная в статье методика – лишь одна из множества возможных методик, основанных на детерминированно-гиперслучайной модели измерения. На базе этой модели могут быть разработаны другие методики, учитывающие специфические особенности конкретных усло- вий проведения измерений. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости [Электронный режим] / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2014. – 444 с. – Режим доступа: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/ gorban_i_i/index.html. 2. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы [Элек- тронный режим] / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с. – Режим доступа: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html. 3. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / И.И. Горбань // Журнал технической фи- зики. – 2014. – Т. 84, № 3. – С. 22 – 30. 4. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки резуль- татов наблюдений. Основные положения. – М.: ИПК Издательство стандартов, 2001. – 8 с. Стаття надійшла до редакції 02.11.2015 http://www.immsp.kiev.ua/perspages/%20gorban_i_i/index.html http://www.immsp.kiev.ua/perspages/%20gorban_i_i/index.html http://www.immsp.kiev.ua/perspages/%20gorban_i_i/index.html http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html

Измерение физических величин в непрогнозируемо изменяющихся статистических условиях

Репозитарії

Схожі ресурси