Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости

Пороговая функция, обычно используемая для измерения интервала статистической устойчивости, не обеспечивает корректное разделение процессов на статистически устойчивые и статистически неустойчивые процессы. Предложен вариант оптимизации пороговой функции. Установлено, что использование на практике о...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Математичні машини і системи
Datum:	2016
1. Verfasser:	Горбань, И.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2016
Schlagworte:	Моделювання і управління
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113759
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2016. — № 4. — С. 134-141. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-113759
record_format	dspace
spelling	Горбань, И.И. 2017-02-13T16:53:16Z 2017-02-13T16:53:16Z 2016 Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2016. — № 4. — С. 134-141. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113759 53.01:53.05+519.2 Пороговая функция, обычно используемая для измерения интервала статистической устойчивости, не обеспечивает корректное разделение процессов на статистически устойчивые и статистически неустойчивые процессы. Предложен вариант оптимизации пороговой функции. Установлено, что использование на практике оптимизированной пороговой функции не всегда оправдано. Порогова функція, що зазвичай використовується для вимірювання інтервалу статистичної стійкості, не забезпечує коректний поділ процесів на статистично стійкі і статистично нестійкі процеси. Запропоновано варіант оптимізації порогової функції. Встановлено, що застосування на практиці оптимізованої порогової функції не завжди виправдано. The threshold function, usually used for the assessment of the interval of statistical stability does not divide processes correctly on statistically stable and unstable ones. The approach for optimization of the threshold function is proposed. It is found that using in practice of the optimized threshold function does not always justify. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости The threshold functions for the assessment of the interval of statistical stability Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости
spellingShingle	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости Горбань, И.И. Моделювання і управління
title_short	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости
title_full	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости
title_fullStr	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости
title_full_unstemmed	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости
title_sort	пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости
author	Горбань, И.И.
author_facet	Горбань, И.И.
topic	Моделювання і управління
topic_facet	Моделювання і управління
publishDate	2016
language	Russian
container_title	Математичні машини і системи
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
format	Article
title_alt	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости The threshold functions for the assessment of the interval of statistical stability
description	Пороговая функция, обычно используемая для измерения интервала статистической устойчивости, не обеспечивает корректное разделение процессов на статистически устойчивые и статистически неустойчивые процессы. Предложен вариант оптимизации пороговой функции. Установлено, что использование на практике оптимизированной пороговой функции не всегда оправдано. Порогова функція, що зазвичай використовується для вимірювання інтервалу статистичної стійкості, не забезпечує коректний поділ процесів на статистично стійкі і статистично нестійкі процеси. Запропоновано варіант оптимізації порогової функції. Встановлено, що застосування на практиці оптимізованої порогової функції не завжди виправдано. The threshold function, usually used for the assessment of the interval of statistical stability does not divide processes correctly on statistically stable and unstable ones. The approach for optimization of the threshold function is proposed. It is found that using in practice of the optimized threshold function does not always justify.
issn	1028-9763
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/113759
citation_txt	Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2016. — № 4. — С. 134-141. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gorbanʹii porogovyefunkciidlâizmereniâintervalastatističeskoiustoičivosti AT gorbanʹii thethresholdfunctionsfortheassessmentoftheintervalofstatisticalstability
first_indexed	2025-11-25T23:07:35Z
last_indexed	2025-11-25T23:07:35Z
_version_	1850578513326768128
fulltext	134 © Горбань И.И., 2016 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 УДК 53.01:53.05+519.2 И.И. ГОРБАНЬ * ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ИНТЕРВАЛА СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ * Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина Анотація. Порогова функція, що зазвичай використовується для вимірювання інтервалу стати- стичної стійкості, не забезпечує коректний поділ процесів на статистично стійкі і статистично нестійкі процеси. Запропоновано варіант оптимізації порогової функції. Встановлено, що за- стосування на практиці оптимізованої порогової функції не завжди виправдано. Ключові слова: статистична стійкість, параметр статистичної нестійкості, теорія гіпер- випадкових явищ, гранично нестійкий процес. Аннотация. Пороговая функция, обычно используемая для измерения интервала статистической устойчивости, не обеспечивает корректное разделение процессов на статистически устойчивые и статистически неустойчивые процессы. Предложен вариант оптимизации пороговой функции. Установлено, что использование на практике оптимизированной пороговой функции не всегда оправдано. Ключевые слова: статистическая устойчивость, параметр статистической неустойчивости, теория гиперслучайных явлений, предельно неустойчивый процесс. Abstract. The threshold function, usually used for the assessment of the interval of statistical stability does not divide processes correctly on statistically stable and unstable ones. The approach for optimization of the threshold function is proposed. It is found that using in practice of the optimized threshold function does not always justify. Keywords: statistical stability, parameter of statistical instability, theory of hyper-random phenomena, limit unstable process. 1. Введение Физической основой математической статистики является феномен статистической устой- чивости, проявляющийся в стабильности статистик (стабильности функций выборки). На протяжении веков считали, что феномен статистической устойчивости идеален в том смысле, что статистики, сформированные по реальным выборкам, обладают свойством сходимости или, иначе, реальные оценки состоятельны. Экспериментальные исследования реальных процессов разной физической природы показывают [1–4], что реальные статистики тенденции к сходимости не проявляют. Тен- денция к сходимости наблюдается лишь при небольшом объеме выборки. При большом же объеме она отсутствует. Разные процессы и разные статистики обладают разной степенью статистической устойчивости. Для характеристики степени статистической устойчивости процессов по от- ношению к определенным статистикам используют различные параметры статистической неустойчивости. К ним относятся, например, зависящие от объема выборки N параметры статистической неустойчивости по отношению к среднему γN и по отношению к средне- квадратическому отклонению (СКО) N , а также связанные с ними параметры 0N N Nh , 0N N NH . Параметры γN и N – безразмерные. Они представляют собой нормированные дисперсии соответственно выборочного среднего и выборочного СКО, а 0γ N – эталонный параметр γN , соответствующий белому гауссовскому шуму, который, как показали иссле- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 135 дования [5], статистически устойчив как по отношению к среднему, так и по отношению к СКО. Теоретически все процессы можно разделить на статистически устойчивые и стати- стически неустойчивые. По определению [2] случайный процесс статистически устойчив по отношению к среднему, если при N параметр статистической неустойчивости γN стремится к нулю, и статистически устойчив по отношению к СКО, если при том же усло- вии стремится к нулю параметр статистической неустойчивости N . Судя по экспериментальным исследованиям, все реальные процессы статистически неустойчивы. Однако существенные нарушения статистической устойчивости проявляют- ся не сразу. При относительно небольшом объеме выборки нарушения статистической устойчивости пренебрежимо малы, что открывает возможности эффективного и коррект- ного использования классической теории вероятностей, основанной на гипотезе идеальной статистической устойчивости (сходимости статистик). Интервал, на котором нарушения устойчивости пренебрежимо малы, – интервал статистической устойчивости [1, 2, 4–7] – зависит от процесса и рассматриваемой статистики. В качестве оценок интервалов статистической устойчивости по отношению к сред- нему и СКО принимают объемы выборок (или интервалы наблюдения), при которых наблюдаются превышения соответственно оценками γN и N параметров γN и N уста- новленной пороговой функции. В качестве пороговой функции обычно используют зависящую от объема выборки N величину * 0 0 0 γ γ γ σ N N N k , где k – фиксированный параметр, определяющий высоту порога, а * 0γ σ N – СКО оценки * 0γ N параметра 0γ N (аналитические выражения для величин 0γ N и * 0γ σ N приведены в [2, 5]). Недостатком пороговой функции 0γ N является то, что она не является оптимальной границей, корректно разделяющей процессы на статистически устойчивые и статистически неустойчивые. Эта функция стремится к нулю при N . Это означает, что она смещена в сторону статистически устойчивых процессов. Из-за смещения при проведении теорети- ческих исследований на бесконечно большом интервале наблюдения всегда часть стати- стически устойчивых процессов ошибочно классифицируется как статистически неустой- чивые, а при измерении интервалов статистической устойчивости результаты измерений всегда оказываются заниженными. Целью настоящей статьи является оптимизация пороговой функции и исследование целесообразности применения оптимизированной пороговой функции при решении прак- тических задач. 2. Предельно неустойчивый процесс Рассчитать оптимальную (несмещенную) границу раздела статистически устойчивых и не- устойчивых процессов без каких-либо дополнительных предположений относительно ха- рактера рассматриваемых процессов затруднительно. Однако задача значительно облегча- ется, если решение искать в классе процессов, степень устойчивости (неустойчивости) ко- торых характеризуется монотонной функцией некоторого параметра. В этом случае иско- мой несмещенной пороговой функцией является функция, соответствующая предельно не- устойчивому (или предельно устойчивому) процессу. Ставя задачу поиска оптимальной границы, желательно потребовать, чтобы рас- сматриваемый класс процессов включал большое число процессов разного типа. Указан- ным требованиям удовлетворяет, например, класс, состоящий из процессов ( )x t , спек- 136 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 Рис. 1. Зависимость параметра статистической неустойчивости 0γ N , рассчитанного для белого шума (параметр 0 ) (пунктирная линия), по- роговой функции 0γ N , рассчитанной для белого шума и параметра 3k (точечная линия), и па- раметра статистической неустойчивости 1γ N , рассчитанного для предельно неустойчивого процесса (параметр 1 ) (сплошная линия) от объема выборки N тральная плотность мощности (СПМ) которых описывается степенной функцией, пред- ставляемой в непрерывном случае выражением ( ) 1/xS f f , а в дискретном – 1 ( ) , 2, / 2, ( 1)NxS k k N k где f – частота, – параметр формы спектра, k – номер спектрального отсчета. К этому классу процессов относятся различные цветные шумы (фиолетовый, синий, белый, розо- вый, коричневый, черный), фликкер-шумы [8, 9], фрактальные шумы [10, 11] и др. [2]. Исследования показывают [2, 4–7], что процесс со степенной СПМ статистически устойчив как по отношению к среднему, так и по отношению к СКО, если параметр формы меньше единицы, и статистически неустойчивый, если 1. Процесс ( )x t со степенной СПМ, у которого параметр 1, представляет собой предельно неустойчивый процесс. Соответствующий этому процессу параметр статистической неустойчивости 1γ N можно использовать в качестве пороговой функции. Представление о зависимости параметров статистической неустойчивости 0γ N и 1γ N (соответствующих процессам со степенной СПМ с параметрами 0 и 1), а также пороговой функции 0γ N , соответствующей параметрам 0 и 3k , от объема выборки дает рис. 1. Как видно из рис. 1, функции 1γ N и 0γ N не пересекаются и по мере увеличе- ния объема выборки расстояние между ними в логарифмическом масштабе быст- ро нарастает. Это означает, что при ис- пользовании пороговой функции 0γ N зна- чительная часть статистически устойчи- вых процессов ошибочно относится к числу статистически неустойчивых про- цессов и оценки интервала статистиче- ской, устойчивости оказываются сильно заниженными. Применение пороговой функции 1γ N ситуацию исправляет, одна- ко следует иметь в виду, что исправляет лишь для процессов, СПМ которых опи- сывается степенной функцией. При использовании пороговой функции 1γ N представляется целесооб- разным вместо эталона 0γ N использовать 1γ N . Тогда параметры статистической не- устойчивости Nh , NH описываются выражениями 1N N Nh , 1N N NH , а критерием нарушения устойчивости служит превышение соответствующих оценок * Nh , * NH порогово- го значения, равного единице. Пороговая функция 1γ N позволяет определить верхнюю границу оценки интервала статистической устойчивости, и в этом ее достоинство. Однако область ее практического применения ограничена. Для объяснения причин обратимся к примеру. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 137 3. Пример Рассмотрим конкретный пример оценки интервала статистической устойчивости процесса, представленного одной из 60-часовых записей колебаний напряжения городской электро- сети [2]. Этот процесс неоднократно использовался для тестирования, в частности, в рабо- тах [1–4, 7]. Описание этого процесса и различные его характеристики приведены в [2]. а б Рис. 2. Оценки параметров статистической неустойчивости по отношению к среднему h (а) и по отношению к СКО H (б) для фрагментов исследуемого процесса, определяемых оценками интер- вала статистической устойчивости по отношению к среднему τ На рис. 3 приведены оценки интервала статистической устойчивости по отношению к среднему * * 1 2τ , τ , , τQ , на рис. 4 – оценки параметров статистической неустойчивости * Qh и * QH по отношению к среднему и к СКО для последовательности оценок * * * 1 2τ , τ , , τQ , а на рис. 5 – усредненные оценки интервала статистической устойчивости τ по отношению к среднему. Варианты «а» получены при использовании пороговой функции 1γ N , а варианты «б», заимствованные из работы [6], – при использовании пороговой функции 0γ N . Сравнение рис. 3 а с рис. 3 б и рис. 5 а с рис. 5 б подтверждает очевидные предпо- ложения, что количество оценок, которые можно получить при использовании пороговой функции 1γ N , меньше, чем при использовании пороговой функции 0γ N , а усредненный ин- тервал статистической устойчивости по отношению к среднему принимает большие значе- ния. В данном случае количество оценок, полученных при использовании пороговой функции 1γ N , примерно в десять раз превзошло количество оценок, полученных при ис- пользовании пороговой функции 0γ N , а усредненный интервал статистической устойчиво- сти оказался больше примерно в три раза (в конце интервала наблюдения τ 110 100 мин вместо τ 35 30мин ). 138 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 а б Рис. 3. Динамика изменения оценок интервала статистической устойчивости по отношению к среднему τ при использовании пороговых функций 1γ N (а) и 0γ N (б) На рис. 2 изображены результаты расчета оценок * Nh , * NH параметров статистиче- ской неустойчивости Nh , NH на прилегающих друг к другу интервалах статистической устойчивости при использовании в качестве границы пороговой функции 1γ N . а б Рис. 4. Оценки параметров статистической неустойчивости по отношению к среднему * Qh (полу- жирные сплошные линии) и по отношению к СКО * QH (полужирные пунктирные линии) последо- вательностей оценок * * * 1 2τ , τ , , τQ при использовании пороговых функций 1γ N (а) и 0γ N (б). Тонкой пунктирной прямой на рисунке а и полужирной линией на рисунке б изображены соответственно пороговые функции 1γ N и 0γ N ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 139 а б Рис. 5. Динамика изменения усредненных оценок τ статистической устойчивости по отношению к среднему (полужирные сплошные линии) при использовании пороговых функций 1γ N (а) и 0γ N (б). Полужирными пунктирными линиями изображены границы допусков * * τ τ τ 3σ Судя по рис. 4 а, последовательность оценок * * * 1 2τ , τ , , τQ статистически устойчива по отношению к среднему на протяжении практически всего интервала наблюдения, одна- ко вопрос о статистической устойчивости по отношению к СКО не столь очевиден. Это означает, что приведенным на рис. 5 а границам допуска доверять особенно нельзя. Попытка применить пороговую функцию 1γ N для оценки интервала статистической устойчивости по отношению к СКО натолкнулась еще на одну трудность: на интервале наблюдения удалось сформировать лишь одну оценку, равную 770 мин, то есть для оценки погрешности измерений длительности исследуемого процесса оказалось недостаточно. Повышенные требования к длительности исследуемых процессов – не единственное обстоятельство, ограничивающее возможность и целесообразность использования на прак- тике пороговой функции 1γ N . Реальные процессы могут не принадлежать к классу процес- сов с СПМ, адекватно описываемых степенной функцией. Ошибочное же отнесение про- цесса к категории статистически устойчивых (возможность которого возрастает при при- менении пороговой функции 1γ N ) влечет за собой необоснованное использование стати- стических методов теории вероятностей, что может приводить к существенным потерям качества обработки. Важным обстоятельством, ограничивающим область практического применения пороговой функции 1γ N , является то, что для корректного выбора варианта статистической обработки данных большого объема важно знать, как правило, не точную величину интер- вала статистической устойчивости, а величину интервала наблюдения, на котором гаран- тированно, с высокой степенью достоверности, обеспечивается сохранение статистической устойчивости. Пороговая же функция 1γ N не позволяет оценить эту величину. Перечисленные и другие обстоятельства указывают на целесообразность использо- вания на практике пороговой функции 0γ N , обеспечивающей получение, хотя и занижен- ных, но зато гарантированных оценок. Следует обратить внимание, что при статистической обработке результатов много- кратных измерений интервала статистической устойчивости последовательность результа- тов однократных измерений может быть статистически неустойчивой (см. рис. 4). Поэтому 140 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 для получения корректной усредненной оценки и корректной величины погрешности из- мерений необходимо проверять последовательность результатов однократных измерений на предмет их статистической устойчивости и в случае нарушения устойчивости исполь- зовать неклассические методы обработки, в частности, предлагаемые теорией гиперслу- чайных явлений [1, 2, 7]. 4. Выводы На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы. 1. Обычно используемая при оценке интервала статистической устойчивости поро- говая функция 0γ N параметров статистической неустойчивости γN и N не является оп- тимальной границей, обеспечивающей корректное разделение процессов на статистически устойчивые и статистически неустойчивые процессы. Эта пороговая функция смещена в сторону статистически устойчивых процессов. Из-за смещения при проведении теоретиче- ских исследований на бесконечно большом интервале наблюдения всегда часть статисти- чески устойчивых процессов ошибочно классифицируется как статистически неустойчи- вые, а при измерении интервалов статистической устойчивости результаты измерений все- гда оказываются заниженными. 2. Рассчитать оптимальную (несмещенную) границу раздела статистически устой- чивых и неустойчивых процессов без каких-либо дополнительных предположений относи- тельно характера рассматриваемых процессов затруднительно. Однако задача значительно облегчается, если решение искать в классе процессов, степень устойчивости (неустойчиво- сти) которых описывается монотонной функцией некоторого параметра. В этом случае ис- комой несмещенной пороговой функцией является функция, соответствующая предельно неустойчивому (или предельно устойчивому) процессу. 3. У процессов, спектральная плотность мощности (СПМ) которых описывается степенной функцией f/1 ( f – частота, – параметр формы спектра), степень неустой- чивости является монотонной функцией параметра β . В классе таких процессов предельно неустойчивым является процесс с СПМ вида f/1 . Соответствующий этому процессу па- раметр статистической неустойчивости 1γ N представляет собой несмещенную пороговую функцию, обеспечивающую оптимальное (в рассматриваемом классе) разделение процес- сов на статистически устойчивые и неустойчивые. 4. Пороговая функция 1γ N позволяет определить верхнюю границу оценки интерва- ла статистической устойчивости и в этом ее достоинство. Однако область ее практического применения ограничена. Связано это с рядом причин: – реальные процессы могут не принадлежать к классу процессов с СПМ, адекватно описываемых степенной функцией, а ошибочное отнесение процесса к категории стати- стически устойчивых влечет за собой необоснованное использование статистических ме- тодов теории вероятностей, что может приводить к существенным потерям качества обра- ботки; – для правильного выбора варианта статистической обработки данных большого объема важно знать, как правило, не точную величину интервала статистической устойчи- вости, а величину интервала наблюдения, на котором гарантированно обеспечивается со- хранение статистической устойчивости, а пороговая функция 1γ N не позволяет оценить эту величину; – оценки интервала статистической устойчивости, соответствующие пороговой функции 1γ N , могут существенно превосходить оценки, получающиеся при применении пороговой функции 0γ N . Поэтому замена пороговой функции 0γ N функцией 1γ N сопряже- ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2016, № 4 141 на с существенным повышением требований к длительности исследуемых процессов, что не всегда реализуемо. Эти и другие обстоятельства указывают на целесообразность использования на практике пороговой функции 0γ N , обеспечивающей получение, хотя и заниженных, но за- то гарантированных оценок. 5. При статистической обработке результатов многократных измерений интервала статистической устойчивости следует иметь в виду, что последовательность результатов однократных измерений может оказаться статистически неустойчивой. Поэтому для полу- чения корректной усредненной оценки и корректной величины погрешности измерений необходимо проверять последовательность результатов однократных измерений на пред- мет их статистической устойчивости и в случае нарушения устойчивости использовать не- классические методы обработки, в частности, предлагаемые теорией гиперслучайных яв- лений. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы [Элек- тронный режим] / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с. – Режим доступа: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html. 2. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости [Электронный режим] / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2014. – 444 с. – Режим доступа: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/ gorban_i_i/index.html. 3. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / И.И. Горбань // Журнал технической фи- зики. – 2014. – Т. 84, № 3. – С. 22 – 30. 4. Горбань И.И. Случайность и гиперслучайность [Электронный режим] / Горбань И.И. – К.: Нау- кова думка, 2016. – 288 с. – Режим доступа: http://www.immsp.kiev.ua/perspages/ gorban_i_i/index.html. 5. Горбань И.И. Статистически неустойчивые процессы: связь с фликкер, неравновесными, фрак- тальными и цветными шумами / И.И. Горбань // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 2012. – Т. 55, № 3. – С. 3 – 18. 6. Горбань И.И. Измерение интервалов статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математич- ні машини і системи. – 2016. – № 2. – С. 128 – 137. 7. Gorban I.I. The statistical stability phenomenon / Gorban I.I. – Springer, 2017. – 361 p. 8. Жигальский Г.П. Неравновесный 1 f -шум в проводящих пленках и контактах / Г.П. Жигаль- ский // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173, № 5. – С. 465 – 490. 9. Коган Ш.М. Низкочастотный токовый шум со спектром типа 1 f в твердых телах / Ш.М. Коган // Успехи физических наук. – 1985. – Т. 145, Вып. 2. – С. 285 – 325. 10. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты, модели / Ширяев А.Н. – М.: ФАЗИС, 1998. – 512 с. 11. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Кроновер Р.М. – М.: Постмаркет, 2000. – 348 с. Стаття надійшла до редакції 12.09.2016 http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html http://www.immsp.kiev.ua/perspages/%20gorban_i_i/index.html http://www.immsp.kiev.ua/perspages/%20gorban_i_i/index.html http://www.immsp.kiev.ua/ http://www.immsp.kiev.ua/ http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html

Пороговые функции для измерения интервала статистической устойчивости

Institution

Ähnliche Einträge