Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде
Рассматриваются осесимметричные колебания полуограниченного столба идеальной сжимаемой жидкости, возмущаемой пульсациями или осцилляциями сферического тела в круговом цилиндрическом сосуде. Поле потенциала строится в виде суммы рядов по сферическим волновым функциям и решений уравнения Гельмгольца в...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1150 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде / В.Д. Кубенко, А.В. Кузьма // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 3. — С. 49-59 — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1150 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кубенко, В.Д. Кузьма, А.В. 2008-07-23T13:35:14Z 2008-07-23T13:35:14Z 1999 Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде / В.Д. Кубенко, А.В. Кузьма // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 3. — С. 49-59 — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1150 529.532.539 Рассматриваются осесимметричные колебания полуограниченного столба идеальной сжимаемой жидкости, возмущаемой пульсациями или осцилляциями сферического тела в круговом цилиндрическом сосуде. Поле потенциала строится в виде суммы рядов по сферическим волновым функциям и решений уравнения Гельмгольца в интегральной форме в цилиндрических координатах. Краевая задача, учитывающая условия на теле, жесткой цилиндрической стенке и плоской свободной поверхности, сведена к бесконечной системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения потенциала, решаемой методом усечения. При построении поля давления подробно рассмотрены случаи длин волн, не меньших радиуса полости, первые два собственных значения волнового числа. Рассматривается интегральная сила, действующая на пульсирующее у свободной поверхности тело, анализируются ее осредненные за период значения. Результаты сравниваются с имеющимися для полупространства сжимаемой жидкости, бесконечных столбов несжимаемой и сжимаемой жидкостей. Розглянуто осесиметричні коливання напівобмеженого стовпа ідеальної стисливої рідини,що збурюються пульсаціями або осциляціями сферичного тіла в круговій циліндричній посудині. Поле потенціалу будується у вигляді суми рядів по сферичним хвильовим функціям та розв'язкам рівняння Гельмгольца в циліндричних координатах, представленим в інтегральній формі. Гранична задача, в якій враховано умови на тілі, жорсткій циліндричній стінці та площинній вільній поверхні, зведена до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтiв розкладу потенціалу та проведено її розв' язання методом зрізання. При побудові поля тиску докладно розглянуто випадок довжин хвиль збурення, не менших за радіус циліндра, перші два власні значення хвильового числа. Розглядається сила, що діє на пульсуюче поблизу вільної поверхні тіло, та аналізуються її осереднені за період коливань значення. Результати порівнюються з відомими для напівпростору стисливої рідини, для нескінченних стовпів нестисливої та стисливої рідин. The axisymmetrial oscillations of ideal compressible liquid column with pulsing or oscillating spherical body into circular cylindrical container are considered. Field of velocity potential built as combination of series of spherical functions for Helmholtz's equation and solutions in integral form for cylindrical coordinates. The boundary conditions on spherical surface, rigid cylindrical wall and on flat free surface are took into account and boundary problem reduced to infinite algebraic system for coefficients of potential that solved by truncation method. The result for stress field for wavelength longer radius, first critical wavelengths are expounded. Hydrodynamic forces for pulsating body are considered and averaged over period values analized. All result compared with ones for semi-infinite space and for incompressible or compressible endless liquid columns in cylindrical cavity. ru Інститут гідромеханіки НАН України Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде Effect of boundaries of compressible fluid on axisymmetrical vibrations of spherical body in a vessel Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде |
| spellingShingle |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде Кубенко, В.Д. Кузьма, А.В. |
| title_short |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде |
| title_full |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде |
| title_fullStr |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде |
| title_full_unstemmed |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде |
| title_sort |
влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде |
| author |
Кубенко, В.Д. Кузьма, А.В. |
| author_facet |
Кубенко, В.Д. Кузьма, А.В. |
| publishDate |
1999 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Effect of boundaries of compressible fluid on axisymmetrical vibrations of spherical body in a vessel |
| description |
Рассматриваются осесимметричные колебания полуограниченного столба идеальной сжимаемой жидкости, возмущаемой пульсациями или осцилляциями сферического тела в круговом цилиндрическом сосуде. Поле потенциала строится в виде суммы рядов по сферическим волновым функциям и решений уравнения Гельмгольца в интегральной форме в цилиндрических координатах. Краевая задача, учитывающая условия на теле, жесткой цилиндрической стенке и плоской свободной поверхности, сведена к бесконечной системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения потенциала, решаемой методом усечения. При построении поля давления подробно рассмотрены случаи длин волн, не меньших радиуса полости, первые два собственных значения волнового числа. Рассматривается интегральная сила, действующая на пульсирующее у свободной поверхности тело, анализируются ее осредненные за период значения. Результаты сравниваются с имеющимися для полупространства сжимаемой жидкости, бесконечных столбов несжимаемой и сжимаемой жидкостей.
Розглянуто осесиметричні коливання напівобмеженого стовпа ідеальної стисливої рідини,що збурюються пульсаціями або осциляціями сферичного тіла в круговій циліндричній посудині. Поле потенціалу будується у вигляді суми рядів по сферичним хвильовим функціям та розв'язкам рівняння Гельмгольца в циліндричних координатах, представленим в інтегральній формі. Гранична задача, в якій враховано умови на тілі, жорсткій циліндричній стінці та площинній вільній поверхні, зведена до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтiв розкладу потенціалу та проведено її розв' язання методом зрізання. При побудові поля тиску докладно розглянуто випадок довжин хвиль збурення, не менших за радіус циліндра, перші два власні значення хвильового числа. Розглядається сила, що діє на пульсуюче поблизу вільної поверхні тіло, та аналізуються її осереднені за період коливань значення. Результати порівнюються з відомими для напівпростору стисливої рідини, для нескінченних стовпів нестисливої та стисливої рідин.
The axisymmetrial oscillations of ideal compressible liquid column with pulsing or oscillating spherical body into circular cylindrical container are considered. Field of velocity potential built as combination of series of spherical functions for Helmholtz's equation and solutions in integral form for cylindrical coordinates. The boundary conditions on spherical surface, rigid cylindrical wall and on flat free surface are took into account and boundary problem reduced to infinite algebraic system for coefficients of potential that solved by truncation method. The result for stress field for wavelength longer radius, first critical wavelengths are expounded. Hydrodynamic forces for pulsating body are considered and averaged over period values analized. All result compared with ones for semi-infinite space and for incompressible or compressible endless liquid columns in cylindrical cavity.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1150 |
| citation_txt |
Влияние границ сжимаемой жидкости на осесимметричные колебания сферического тела в сосуде / В.Д. Кубенко, А.В. Кузьма // Акуст. вісн. — 1999. — Т. 2, N 3. — С. 49-59 — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kubenkovd vliâniegranicsžimaemoižidkostinaosesimmetričnyekolebaniâsferičeskogotelavsosude AT kuzʹmaav vliâniegranicsžimaemoižidkostinaosesimmetričnyekolebaniâsferičeskogotelavsosude AT kubenkovd effectofboundariesofcompressiblefluidonaxisymmetricalvibrationsofsphericalbodyinavessel AT kuzʹmaav effectofboundariesofcompressiblefluidonaxisymmetricalvibrationsofsphericalbodyinavessel |
| first_indexed |
2025-11-27T01:27:57Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:27:57Z |
| _version_ |
1850790935036690432 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59��� 529.532.539������� ������ ������������������� ��������������� ��������������������� ���� � �������. �. ��������, �. �. ����������áâ¨âãâ ¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë ¨¬. �.�. �̈ ¬®è¥ª®, �¨¥¢��� 樮 «ìë© â¥å¨ç¥áª¨© 㨢¥àá¨â¥â �ªà ¨ë \���", �¨¥¢�®«ã祮 21.06.99 � �¥à¥á¬®â८ 20.08.99� áᬠâਢ îâáï ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯®«ã®£à ¨ç¥®£® á⮫¡ ¨¤¥ «ì®© ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, ¢®§¬ã-é ¥¬®© ¯ã«ìá æ¨ï¬¨ ¨«¨ ®á樫«ïæ¨ï¬¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ⥫ ¢ ªà㣮¢®¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ á®á㤥. �®«¥ ¯®â¥æ¨ « áâநâáï ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë à冷¢ ¯® áä¥à¨ç¥áª¨¬ ¢®«®¢ë¬ äãªæ¨ï¬ ¨ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ¨â¥£à «ì-®© ä®à¬¥ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å. �à ¥¢ ï § ¤ ç , ãç¨âë¢ îé ï ãá«®¢¨ï ⥫¥, ¦¥á⪮© 樫¨¤à¨ç¥áª®©á⥪¥ ¨ ¯«®áª®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ᢥ¤¥ ª ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì®ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï ¯®â¥æ¨ « , à¥è ¥¬®© ¬¥â®¤®¬ ãá¥ç¥¨ï. �ਠ¯®áâ஥¨¨ ¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¯®¤à®¡®à áᬮâà¥ë á«ãç ¨ ¤«¨ ¢®«, ¥ ¬¥ìè¨å à ¤¨ãá ¯®«®áâ¨, ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ᮡá⢥ëå § ç¥¨ï ¢®«®¢®£® ç¨á« .� áᬠâਢ ¥âáï ¨â¥£à «ì ï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ¯ã«ìá¨àãî饥 ã ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠⥫®, «¨§¨àãîâá便 ®á।¥ë¥ § ¯¥à¨®¤ § 票ï. �¥§ã«ìâ âë áà ¢¨¢ îâáï á ¨¬¥î騬¨áï ¤«ï ¯®«ã¯à®áâà á⢠ᦨ¬ ¥¬®©¦¨¤ª®áâ¨, ¡¥áª®¥çëå á⮫¡®¢ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¨ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⥩.�®§£«ïãâ® ®á¥á¨¬¥âà¨ç÷ ª®«¨¢ ï ¯÷¢®¡¬¥¦¥®£® á⮢¯ ÷¤¥ «ì®ù áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨¨, é® §¡ãàîîâìáï ¯ã«ì-á æ÷ﬨ ¡® ®á樫ïæ÷ﬨ áä¥à¨ç®£® â÷« ¢ ªà㣮¢÷© 樫÷¤à¨ç÷© ¯®á㤨÷. �®«¥ ¯®â¥æ÷ «ã ¡ã¤ãõâìáï ã ¢¨£«ï¤÷á㬨 àï¤÷¢ ¯® áä¥à¨ç¨¬ 墨«ì®¢¨¬ äãªæ÷ï¬ â ஧¢'離 ¬ à÷¢ïï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ 樫÷¤à¨ç¨å ª®®à¤¨ â å,¯à¥¤áâ ¢«¥¨¬ ¢ ÷â¥£à «ì÷© ä®à¬÷. �à ¨ç § ¤ ç , ¢ ïª÷© ¢à 客 ® 㬮¢¨ â÷«÷, ¦®àáâª÷© 樫÷¤à¨ç÷© áâ÷æ÷â ¯«®é¨÷© ¢÷«ì÷© ¯®¢¥àå÷, §¢¥¤¥ ¤® ¥áª÷祮ù á¨á⥬¨ «£¥¡à ùç¨å à÷¢ïì ¢÷¤®á® ª®¥ä÷æ÷õâi¢ ஧ª« ¤ã¯®â¥æ÷ «ã ⠯஢¥¤¥® ùù ஧¢' ï§ ï ¬¥â®¤®¬ §à÷§ ï. �ਠ¯®¡ã¤®¢÷ ¯®«ï â¨áªã ¤®ª« ¤® ஧£«ïãâ® ¢¨¯ ¤®ª¤®¢¦¨ 墨«ì §¡ãà¥ï, ¥ ¬¥è¨å § à ¤÷ãá 樫÷¤à , ¯¥àè÷ ¤¢ ¢« á÷ § ç¥ï 墨«ì®¢®£® ç¨á« . �®§£«ï¤ õâìáïᨫ , é® ¤÷õ ¯ã«ìáãîç¥ ¯®¡«¨§ã ¢÷«ì®ù ¯®¢¥àå÷ â÷«®, â «÷§ãîâìáï ùù ®á¥à¥¤¥÷ § ¯¥à÷®¤ ª®«¨¢ ì § ç¥ï.�¥§ã«ìâ ⨠¯®à÷¢îîâìáï § ¢÷¤®¬¨¬¨ ¤«ï ¯÷¢¯à®áâ®àã áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨¨, ¤«ï ¥áª÷票å á⮢¯÷¢ ¥áâ¨á«¨¢®ùâ áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨.The axisymmetrial oscillations of ideal compressible liquid column with pulsing or oscillating spherical body into circularcylindrical container are considered. Field of velocity potential built as combination of series of spherical functions forHelmholtz's equation and solutions in integral form for cylindrical coordinates. The boundary conditions on sphericalsurface, rigid cylindrical wall and on
at free surface are took into account and boundary problem reduced to in�nitealgebraic system for coe�cients of potential that solved by truncation method. The result for stress �eld for wavelengthlonger radius, �rst critical wavelengths are expounded. Hydrodynamic forces for pulsating body are considered andaveraged over period values analized. All result compared with ones for semi-in�nite space and for incompressible orcompressible endless liquid columns in cylindrical cavity.���������®§¡ã¦¤¥¨¥ ª®«¥¡ ⥫ìëå ०¨¬®¢ ¤¢¨¦¥¨ï¢ ¬®£®ä §ëå á। å ¬®¦¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ª ª ¥-£ â¨¢ë¬ ¤«ï â¥å®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¯®á«¥¤-áâ¢¨ï¬ (ª ¢¨â æ¨ï, ®¡à §®¢ ¨ï £ §®¢ëå ᪮¯«¥-¨© ¢ âàã¡®¯à®¢®¤ å ¨ â. ¤.), â ª ¨ ¨á¯®«ì§®¢ âìáï¤«ï ¨â¥á¨ä¨ª 樨 ¤¥£ § 樨 ¦¨¤ª®á⥩, ä«®â -樨, ⥯«®®¡¬¥ ¢ á। å, ¯à¨ ®ç¨á⪥ ¨ íà 樨¯à®¬ëè«¥ëå á⮪®¢, ¤«ï ᮧ¤ ¨ï ®¤®à®¤ëåᬥᥩ, ¯à¨ à §àã襨¨ £ §®¢ëå ¯à®¡®ª ¢ âàã¡ å¨ ª ¯¨««ïà å ¨ â.¯. [1 { 4], çâ® ®¡êïáï¥â ¨â¥-à¥á ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î ª®«¥¡ ¨© á। á® ¢ª«î票ï-¬¨. �¥è¨¥ (§ ¤ ë¥ ¡¥áª®¥ç®áâ¨) ¯¥à¨-®¤¨ç¥áª¨¥ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¦¨¤ª¨© ®¡ê¥¬ á ¬ «ë-¬¨ áä¥à¨ç¥áª¨¬¨ ¢ª«î票ﬨ ¨áá«¥¤®¢ ë ¨-¡®«¥¥ ¯®¤à®¡® ¤«ï á«ãç ï ¨§ª®ç áâ®âëå (¯à¨¯à¥¥¡à¥¦¥¨¨ ᦨ¬ ¥¬®áâìî ¦¨¤ª®áâ¨) ª®«¥¡ -
¨© [1,5 {8] ¨ ¢ ªãáâ¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ [8{ 10].�।¯®«®¦¥¨ï ® ¬ «®áâ¨ à ¤¨ãᮢ ¨ ®¤®à®¤®-á⨠᢮©á⢠®á¨¬ëå ç áâ¨æ ®â®á¨â¥«ì® å à ª-â¥àëå à §¬¥à®¢ á¨á⥬ë (á।¨å à ááâ®ï¨©¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨, à ááâ®ï¨© ¤® ¢¥è¨å £à ¨æ,¤«¨ ¢®«) ¯®§¢®«¨«¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ãà ¢¥¨ï ª®-«¥¡ ¨©, ¯®«ãç¥ë¥ ¤«ï ®â¤¥«ì®£® ¢ª«îç¥¨ï ¢¥®£à ¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¦¨¤ª®áâ¨, à á¯à®áâà ¨¢¥£® ¢áî ä §ã ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢ à §«¨çë¥ ¯à®æ¥-¤ãàë ®á।¥¨ï å à ªâ¥à¨á⨪ ¬ ªà®®¤®à®¤®©á।ë [1,8,10,11].�®¢¥¤¥¨¥ ¢ª«îç¥¨ï ¨ ¦¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¢ã-â॥£® ¨áâ®ç¨ª ª®«¥¡ ¨© (¥¬ «®£® á®á¥¤¥-£® ⥫ , ¯ã«ìá¨àãî饣® £ §®¢®£® ᪮¯«¥¨ï, ¨§-«ãç ⥫ï) âॡã¥â ¯®áâ஥¨ï ¡®«¥¥ á«®¦ëå ¬ -ªà®¥®¤®à®¤ëå ¯®«¥© ¢®§¬ã饨ï. �®í⮬㠨§-¢¥áâë¥ à¥§ã«ìâ âë ®á®¢ë¢ îâáï ¢ ®á®¢®¬ «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨ïå § ¤ ç ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨c
�. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬ , 1999 49
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59
�¨á. 1. �¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ ⤢ãå ¯ã«ìá¨àãîé¨å ¨«¨ ®á樫«¨àãîé¨å áä¥à ¢¥®£à ¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®©¨«¨ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâïå [12{15] ¨«¨ ¤¨äà ªæ¨¨¤«¨®© ¢®«ë ¤¢ãå ¬ «ëå è à å ¢ ®§¢ã稢 -¥¬®¬ ¦¨¤ª®¬ ¯à®áâà á⢥ [16{ 18]. �«ï ª®«¥¡«î-é¨åáï ⥫ ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï ¨á¯®«ì§®¢ ë ¡®«¥¥®¡é¨¥ ¬®¤¥«¨ ã¯à㣨å áä¥à, ¥¬ «ëå ¯ã§ë३ ¨áä¥à¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç¥ª [19{ 21].�®áâ஥¨¥ ¯®«¥© ¯®â¥æ¨ « ¨ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®£à -¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¦¨¤ª®áâ¨ á ¢ãâ२¬ ¨áâ®ç-¨ª®¬ ª®«¥¡ ¨© { ¥®¡å®¤¨¬ë© íâ ¯ ¨áá«¥¤®¢ -¨© ª®«¥¡ ⥫ìëå ¥¨© ª ª ¢ £®¬®£¥ëå, â ª¨ ¢ ¬®£®ä §ëå á। å. �¤ ª® ¯® áà ¢¥¨îá® á«ãç ﬨ ¢¥è¨å ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¢®§¤¥©á⢨©¢ ¥®£à ¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ á«®¦®áâì à áᬠâਢ -¥¬ëå ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¯à¨ ¨å â®ç®© ¯®áâ ®¢ª¥ áã-é¥á⢥® 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï. �â® ®¡êïáï¥âáï ¥®¡-室¨¬®áâìî ᮢ¬¥á⮣® 㤮¢«¥â¢®à¥¨ï £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© ¯®¢¥àå®á⨠¥¬ «®£® ª®«¥¡«îé¥-£®áï ¢ ¦¨¤ª®á⨠⥫ ¨ ¢¥è¨å £à ¨æ å ¦¨¤-ª®áâ¨, ç⮠㤠¥âáï ᤥ« âì «¨èì ¤«ï ¥ª®â®àëåª ®¨ç¥áª¨å ¨«¨ ¡«¨§ª¨å ª ¨¬ £à ¨æ [21, 22].�஬¥ ⮣®, ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ª®«¥¡ ¨© á¨áâ¥¬ë¢ æ¥«®¬ áâ ®¢¨âáï § ¬¥âë¬ ®¡à ⮥ ¢«¨ï¨¥¦¨¤ª®á⨠¨áâ®ç¨ª ª®«¥¡ ¨©, ¯à®ï¢«ïî饥áï
¢ 㢥«¨ç¥¨¨ ¯à¨á®¥¤¨¥®© ¬ ááë ¤¢¨¦ã饣®áï¢ ®£à ¨ç¥®¬ ¦¨¤ª®¬ ®¡ê¥¬¥ ⥫ [22, 23], § -ç¨â¥«ìë¬ ¨§¬¥¥¨ï¬ ¯®«¥© ¤ ¢«¥¨ï ¨ £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª¨å ᨫ ¢¡«¨§¨ £à ¨æ [2,15], çâ® ®á®¡¥®áª §ë¢ ¥âáï ¤«ï â ª®£® ¯®¤ ⫨¢®£® ®¡ê¥ªâ , ª ª£ §®¢®© ¯ã§ëàì ¨«¨ ᪮¯«¥¨¥ £ § ¢ á⮫¡¥ ¦¨¤-ª®á⨠[2,3].�«ï ¯à¥®¤®«¥¨ï 㪠§ ëå âà㤮á⥩ ¢ ¡®«ì-è¨á⢥ à ¡®â, ¯®á¢ïé¥ëå ¢®§¡ã¦¤¥¨î ª®«¥-¡ ¨© ¢ âàã¡ å, ᪢ ¦¨ å, ¢®«®¢®¤ å à §¬¥à -¬¨ ª®«¥¡«îé¨åáï ⥫ ¯®«®áâìî ¯à¥¥¡à¥£ îâ ¯®áà ¢¥¨î á å à ªâ¥à묨 à §¬¥à ¬¨ ¨ à áᬠ-âਢ îâ â®ç¥çë¥ ¨áâ®ç¨ª¨ [25,26].�®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠¤¢¨¦¥¨ï ¨¤¥ «ì®© ¥-ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¡¥áª®¥ç®© ¢ ®á¥¢®¬ -¯à ¢«¥¨¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®á⨠¯à¨ ¢®§¡ã¦¤¥-¨¨ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨© áä¥à®© ª®¥ç-ëå à §¬¥à®¢ ¯®áâ஥ ¢ [2]. �ç¥â ¢«¨ï¨ï ¤®¯®«-¨â¥«ì®© ª®¥ç®© £à ¨æë ¢ ¯®«®á⨠¯à®¢¥¤¥¢ [6,27,28], ¯à¨ í⮬ ¢ [28] ¨áá«¥¤®¢ ® ¢§ ¨¬®¤¥©-á⢨¥ ¤¢ãå ª®«¥¡«îé¨åáï ®á¨ á⮫¡ ¦¨¤ª®áâ¨áä¥à, ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯ã«ìá¨àãî饩 ¢ ¯®«®á⨠áä¥àë ¬ «®¥ ¢ª«î票¥ à áᬠâਢ «®áì ¢ [6], ¢®§-¤¥©á⢨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠á⮫¡ ¦¨¤ª®á⨢ á®á㤥 ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ª®«¥¡ ¨© áä¥à¨ç¥áª®£®£ §®¢®£® ®¡ê¥¬ ãç⥮ ¢ [27].�«ï á«ãç ï ª®«¥¡ ¨© ¡¥áª®¥ç®£® á⮫¡ ¨¤¥- «ì®© ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, ¢ë§ë¢ ¥¬ëå ¯ã«ì-á¨àãî饩 ®á¨ ªà㣮¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®-á⨠áä¥à®©, ¯®â¥æ¨ « ¢ â®ç®© ¯®áâ ®¢ª¥ ¯®-áâ஥ ¢ [29] ®á®¢ ¨¨ ᢥ¤¥¨ï ªà ¥¢®© § -¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ª á¨á⥬¥ ¡¥áª®-¥çëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ª®íää¨æ¨-¥â®¢ à §«®¦¥¨ï ¯®â¥æ¨ « .� áâ®ï饩 à ¡®â¥ à áᬠâਢ îâáï ®á¥á¨¬-¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï, ¢®§¡ã¦¤ ¥¬ë¥ áä¥à¨ç¥-᪨¬ ⥫®¬ ¢ ¯®«ã®£à ¨ç¥®¬ á⮫¡¥ ᦨ¬ ¥-¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ªà㣮¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®-áâ¨. � ®â«¨ç¨¥ ®â [29] ¨áá«¥¤ã¥¬ ï ªà ¥¢ ï § ¤ -ç ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ¢ª«îç ¥â ãá«®¢¨¥ â®à楢®©£à ¨æ¥ ®¡ê¥¬ { ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®-áâ¨. �஢®¤¨âáï ¯®áâ஥¨¥ ¯®â¥æ¨ « ¨ ¤ ¢«¥-¨ï ¤«ï ¤¢ãå ⨯®¢ ª®«¥¡ ¨© ⥫ { ¯ã«ìá 樨®¡ê¥¬ ¨«¨ ®á樫«ï樨 æ¥âà . � ª¦¥ à áᬠâà¨-¢ ¥âáï ¨â¥£à «ì ï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ¯ã«ì-á¨àãîéãî ã â®à楢®© £à ¨æë áä¥àã, ¨ ¯®ª § ®,çâ® ¥¥ á।¥¥ § ¯¥à¨®¤ § 票¥ ¥ à ¢® ã«î¢ ®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ï ¡¥áª®¥ç®£® á⮫¡ ¦¨¤ª®-áâ¨. �à ä¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë ¯®«ãç¥ë ¤«ï ¤«¨¢®«, ¥ ¬¥ìè¨å à ¤¨ãá 樫¨¤à , ¯¥à¢ëå ᮡ-á⢥ëå ç áâ®â ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï { ¥á¦¨-¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, â ª¦¥ ¯à®¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ á१ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï ¥®£à ¨ç¥®© ¯®«®á⨠¨ ¯®-«ã¯à®áâà á⢠.50 �. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 591. ���������� ������ ��� �������-���� áᬮâਬ ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¨¤¥- «ì®© ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ªà㣮¢®© 樫¨-¤à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨ à ¤¨ãá R0, ¢®§¡ã¦¤ ¥¬ë¥ § -¤ 묨 ª®«¥¡ ¨ï¬¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ⥫ à ¤¨ãá a(t). �¥à¥¬¥é¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¨ ª®«¥¡ ¨ï ⥫ ¢á®á㤥 ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®-®à¤¨ â ORZ', ¯®«îá ª®â®à®© á¢ï¦¥¬ á â®àæ¥-¢®© £à ¨æ¥© { ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî { ᮢ¯ -¤ î饩 á ¯«®áª®áâìî Z=0, ®áì �O~Z ¯à ¢¨¬¯® ®á¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®á⨠¢£«ã¡ì ¦¨¤ª®áâ¨(à¨á. 1). � ª¦¥ ¢¢¥¤¥¬ ®á®¢ãî áä¥à¨ç¥áªãî á¨-á⥬㠪®®à¤¨ â O1�1�1'1, ¯®«îá ª®â®à®© ᮢ¯ -¤ ¥â á æ¥â஬ áä¥àë ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫ìãî á¨á⥬ãO2�2�2'2. �®«®¦¥¨¥ ¯®«îá O2 ¯®á«¥¤¥© ª®®à-¤¨ ⮩ á¨á⥬ë ᨬ¬¥âà¨ç® ¯®«îáãO1 ¯¥à¢®©á¨áâ¥¬ë ®â®á¨â¥«ì® ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¤¥« Z=0, ª®®à¤¨ âë á¢ï§ ë á®®â®è¥¨ï¬¨l = O1O2 = 2h;�1 sin �1 = �2 sin �2;�2 = ��21 + l2 + 2l�1 cos �1�1=2 : (1)� «®£¨ç® ¢¢®¤¨¬ 樫¨¤à¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë ª®-®à¤¨ â O1r1z1' ¨ O2r2z2':rj = R; zj = Z + (�1)jh; j = 1; 2: (2)� áᬮâਬ § ¤ ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠áä¥-à¨ç¥áª®£® ⥫ : ¨§¬¥¥¨¥ à ¤¨ãá a (¯ã«ìá æ¨î®¡ê¥¬ ) a = a0(1 + �e�i!1t) (3)¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï æ¥âà O1 (®á樫«ïæ¨î)h = OO1 = h0(1 + �e�i!2t); �; � � 1: (4)�®â¥æ¨ « ᪮à®á⨠¢®§¬ã饮£® ¤¢¨¦¥¨ï¦¨¤ª®á⨠¡ã¤¥¬ ®âë᪨¢ âì ¢ ¢¨¤¥ [2], ® ¤«ï 㤮¡-á⢠¤ «ì¥©è¨å ¢ëª« ¤®ª à §¤¥«¨¬ ¢ª« ¤ë ¢ ¯®«¥¯®â¥æ¨ « , ¢®á¨¬ë¥ ª ¦¤ë¬ ⨯®¬ ¤¢¨¦¥¨ï:� = �0e�i!t = �1e�i!1t +�2e�i!2t: (5)�¤¥áì !1 { ªà㣮¢ ï ç áâ®â ¯ã«ìá 樨 ¯®¢¥àå®-á⨠⥫ ; !2 { ç áâ®â ¥£® ®á樫«ï樮ëå ª®«¥-¡ ¨©; ¯®â¥æ¨ «ìë¥ äãªæ¨¨ �1, �2 室ïâáï¯à¨ à¥è¥¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¤«ïãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ :r2�k + �2k�k = 0; (6)@�k@�1 =vn= i (�a0!1�1;k+�h0!2 cos �1�2;k) ;�1 = a; (7)
@�k@R = 0; R = R0; (8)�k = 0; Z = 0; k = 1; 2; (9)£¤¥ �k=!k=c; c { ᪮à®áâì §¢ãª ¢ ¦¨¤ª®áâ¨; vn {®à¬ «ì ï ᪮à®áâì ¯®¢¥àå®á⨠⥫ . �á«®-¢¨ï (8), (9) § ¤ ë ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå®á⨠á®á㤠¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âá⢥-®.�¥è¥¨¥ § ¤ ç (6) { (9) ¯®áâந¬ ®á®¢ ¨¨¯®¤å®¤ [2, 16] ¢ ¢¨¤¥ á㬬 ¢®«®¢ëå £ ମ¨ç¥-᪨å äãªæ¨© ¢ á¢ï§ ®© á ⥫®¬ áä¥à¨ç¥áª®© á¨-á⥬¥ ª®®à¤¨ â O1�1�1'1, ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© á¨-á⥬¥ ORZ' ¨ ¢® ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 áä¥à¨ç¥áª®©á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O2�2z2':�k = 1Xn=0A(k)n �h(1)n (�k�1)Pn(cos �1)++(�1)n+1h(1)n (�k�2)Pn(cos �2)�++ 1Z�1 B(k)(�)J0(�kR)ei�Zd�; (10)�k = 8<: p�2k � �2; j�j < �k;ip�2 � �2k; j�j > �k; k = 1; 2: (11)�ãªæ¨¨ Pn(cos �j) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯®«¨®¬ë �¥-¦ ¤à , J0(�k�j) { äãªæ¨ï �¥áᥫï, h(1)n (�k�j) {áä¥à¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ � ª¥«ï ¯¥à¢®£® த ,j=1; 2. �¥¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë A(k)n ¨ äãª-æ¨ï B(k)(�) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à¨ ã¤®¢«¥â¢®à¥¨¨ãá«®¢¨© (7), (8).�¥à¥©¤¥¬ ª ¡¥§à §¬¥àë¬ ª®®à¤¨ â ¬ á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬:��k = �kc2=R40; k = 1; 2;�xi = xi=R0; i = 1; 8;�t = tc=R0; ��k = !kR0=c;�pp=(�c2); (12)£¤¥ xi ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ª®®à¤¨ â뢢¥¤¥ëå á¨á⥬; � { ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®áâ¨; p {£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¨á-¯®«ì§ã¥¬ ⮫쪮 ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë, ç¥àâ®ç-ª¨ ¤ ¨¬¨ ¡ã¤¥¬ ®¯ã᪠âì. �¥à¥å®¤ ®â áä¥à¨-ç¥áª¨å ¢®«®¢ëå äãªæ¨©, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ á¨-á⥬ å ª®®à¤¨ â Oj�j�j', ª à¥è¥¨ï¬ (6) ¢ á®-®â¢¥âáâ¢ãîé¨å 樫¨¤à¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å ª®®à¤¨-�. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬ 51
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59 â Ojzjrj', j=1; 2 ¯à®¢¥¤¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ [2,30]1Xm=0A(k)m (�1)m+1h(1)m (�k�j)Pm(cos �j) == 12�k 1Z�1 � 1Xm=0A(k)m i�mPm� ��k����H0(�krj)ei�zjd�; (13)£¤¥ H(1)0 { äãªæ¨ï � ª¥«ï ¯¥à¢®£® த ã«¥¢®£®¯®à浪 .�।áâ ¢¨¬ �k ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ORZ',¯à¥®¡à §®¢ ¢ á®®â®è¥¨¥ (10) á ãç¥â®¬ ä®à¬ã-«ë (13) ¨ á¢ï§¨ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ âëå á¨-á⥬ (2):�k(R;Z) = 1Z�1 �A(k)(�; h)H(1)0 (�kR)++B(k)(�; h)J0(�kR)�ei�Zd�; (14)A(k)(�; h) = 12�k 1Xm=0 i�mA(k)m ��[e�i�h + (�1)m+1ei�h]Pm� ��k�;k = 1; 2: (15)�®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ¢ ãá«®¢¨¥ (8) ¡®ª®¢®© á⥪¥ á®á㤠¯®«ã稬 ï¢ë© ¢¨¤ ¤«ïäãªæ¨© B(k)(�):B(k)(�; h) = �H(1)1 (�k)J1(�k) A(k)(�; h): (16)�⬥⨬, çâ® äãªæ¨ï B(k)(�) ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨-á«® ¯à®áâëå ¯®«îᮢ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, ¯à¥¤-áâ ¢«ïîé¨å 㫨 äãªæ¨¨ J1(�k), ¯®í⮬㠨â¥-£à « ¢ á®®â®è¥¨¨ (14) ¯®¨¬ ¥¬ ¢ á¬ëá«¥ £« ¢-®£® § 票ï �®è¨ ¨ ¤«ï ¥£® ¢ëç¨á«¥¨ï ¬®-¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ⥮à¨ï ¢ëç¥â®¢ ¯à¨ ¯à¨-¬¥¥¨¨ ¯®¤å®¤ ¢ë१ ¨ï ¯®¤®¡« á⥩ [25, 31].�®«¨ç¥á⢮ ¯®«îᮢ �p ¯®¤ëâ¥£à «ì®© äãª-樨 㬥ìè ¥âáï ¤«ï ¬ «ëå �k (¤«ï ¡®«ìè¨å ¤«¨¢®«), á ¬¨ ¯®«îá 室ïâáï ¨§ á®®â®è¥¨©�k=�p; J1(�p)=0 ¤«ï j�pj��k: (17)� «ì¥©è¨© «¨§ ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ¡ã¤¥â ¯à®¢¥¤¥ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥ ¯®á«¥ § -¬ëª ¨ï § ¤ ç¨ ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨© ¨ ª®íä-ä¨æ¨¥â®¢.�§ ä®à¬ã« (14) { (16) á«¥¤ã¥â, çâ® ãá«®¢¨¥ (9) ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¡ã¤¥â ¢ë¯®«ïâìáï ¯à¨ «î-¡ëå § 票ïå ª®íää¨æ¨¥â®¢ A(k)m . �«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® A(k)m ¯à¥¤-áâ ¢¨¬ ¯®â¥æ¨ «ìë¥ äãªæ¨¨ ¢ áä¥à¨ç¥áª®©
á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O1�1�1'. �®á¯®«ì§ã¥¬áï â¥-®à¥¬ ¬¨ á«®¦¥¨ï [21] ¤«ï áä¥à¨ç¥áª¨å ¢®«®-¢ëå äãªæ¨© h(1)m (�k�2)Pm(cos �2) ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨-¥¬ ®£à ¨ç¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (6) ¢ 樫¨-¤à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â å ç¥à¥§ áä¥à¨ç¥áª¨¥ ¢®«®-¢ë¥ äãªæ¨¨ [2,30]ei�z1J0(�kr1) = 2 1Xm=0 im(2m + 1)��Pm� ��k� jm(�k�1)Pm(cos �1);k = 1; 2: (18)� १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬�(�1; �1) = 1Xn=0D(k)n Pn(cos �1) == 1Xn=0�A(k)n h(1)n (�k�1) + [B(k)n + C(k)n ]��jn(�k�1) Pn(cos �1); (19)£¤¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¨¬¥îâ ¢¨¤B(k)n = (2n+ 1)�k 1Xm=0 in�mA(k)m Q(1)kmn(l); (20)Q(1)kmn(l) = 1Z�1 H1(�k)J1(�k) [1 + (�1)m+1e�i�l]��Pm� ��k�Pn� ��k� d�; (21)C(k)n = 1Xp=0(�1)p+1A(k)p Q(2)knp(l); k = 1; 2: (22)� ª ª ª ¯à¨ «î¡®¬ ª®¥ç®¬ § 票¨ �k ¯®-¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (21) ¨¬¥¥â⥠¦¥ ®á®¡¥®á⨠¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, çâ® ¨¢ ä®à¬ã« å (14) { (16), â® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï £« ¢ëå§ ç¥¨© (21) ¯à¨¬¥¨¬ â®â ¦¥ ¯®¤å®¤ [31]. �«ï¬ «ëå § 票© �k<�1=3:8317 (¤«¨ë¥ ¢®«ë¯® áà ¢¥¨î á à ¤¨ãᮬ ¯®«®áâ¨) ¯®¤ëâ¥£à «ì- ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â ¤¢ ¯®«îá ¯à¨ �1;2=��k. �ਯ¥à¥å®¤¥ ¢ ¢ëà ¦¥¨ïå ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ª ¯à¥¤¥«ì-®¬ã á«ãç î ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, à áᬠâà¨-¢ ¥¬®¬ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, ®â¬¥â¨¬, çâ® Q(1)kmn(l; �k)¢¡«¨§¨ § 票ï �k=0 ¨¬¥î⠮ᮡ¥®áâì ¯®àï¤-ª Q(1)kmn(l; �k) = O �[�2kPm(�k)Pn(�k)]�1 sin2(�kl) :�¥âà㤮 ¯®ª § âì, ¯®«ì§ãïáì १ã«ìâ â -¬¨ [27,32] ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï52 �. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59äãªæ¨© �¥áᥫï, çâ® ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¯à¥¤¥«ì-ë¥ ¯¥à¥å®¤ëQ(1)kmn(l)Pm(�k)Pn(�k) �i2m+nQmn(l) == 1Z�1 K1(�)I1(�) �m+n�1 + (�1)m+1ei�l�d�; (23)Q(1)kmn(l)Pm(�)Pn(�) �i2m+n qmn == 1Z�1 K1(�)I1(�) �m+nd� (m+ n) 6= 0; (24)£¤¥ äãªæ¨¨ Qmn(l) à áᬮâà¥ë ¢ à ¡®â¥ [27]¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ª®«¥¡ ¨© áä¥à¨ç¥áª®£® £ §®¢®-£® ᪮¯«¥¨ï ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ á®á㤥 á ¥á¦¨¬ ¥-¬®© ¦¨¤ª®áâìî, qmn { ¢ á«ãç ¥ ¥®£à ¨ç¥®£®á⮫¡ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¡¥áª®¥ç®© ¯®-«®á⨠[2]. � 票ï qmn ⠡㫨஢ ë ¢ [32], â ¬¦¥ ¯à¨¢¥¤¥ ¬¥â®¤ ¢ëç¨á«¥¨ï qmn á ¯®¬®éìî â¥-®à¨¨ ¢ëç¥â®¢.�ãªæ¨¨ Q(2)knp(l) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ¯à¨¢¥¤¥ë¬¢ à ¡®â å [16,21] ä®à¬ã« ¬ ¯à¨ § 票ïå ª®®à-¤¨ â ¯®«îá O2: �12= l, �12=� ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â O1�1�1'Q(2)knp = 2ip�n p+nX�=jp�nj i�b(n0p0)� ��h�(�kl)P�(cos�); (25)b(n0p0)� = 1Z�1 Pn(x)Pp(x)P�(x)dx: (26)� ¬ ¦¥, â ª ¦¥ ¢ [20], ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ëà ¦¥¨ïb(n0p0)� ¢ ¬ ¢¨¤¥ ç¥à¥§ ª®íää¨æ¨¥âë �«¥¡è {�®à¤® , ª®â®àë¥ ¥ ¯à¨¢®¤ïâáï §¤¥áì ¨§-§ ᢮¥©£à®¬®§¤ª®áâ¨.�®¤áâ ¢¨¢ ä®à¬ã«ë (19) { (22) ¢ ãá«®¢¨¥ (7) ¨¯à¨à ¢ï¢ ¢ëà ¦¥¨ï ¯à¨ äãªæ¨ïå Pn(cos �1) ®¤-®£® ¯®à浪 , ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫£¥¡à ¨ç¥áª¨åãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ª®íää¨æ¨¥â®¢ A(k)n :A(k)n � 1Xm=0 f (k)mnA(k)m =� _a�0;n�1;k+ _h�1;n=2�2;k�kh0n(�ka) ; (27)£¤¥ f (k)mn = j0n(�ka)h0n(�ka)� in�m�k (2n+ 1)Q(1)kmn(l)++(�1)m+kQ(2)knm(l)�; (28)
k=1; 2; �i;j { ᨬ¢®«ë �஥ª¥à , â®çª¨ ®¡®§ -ç î⠯ந§¢®¤ãî ¯® ¢à¥¬¥¨, èâà¨å¨ { ¯®«-ãî ¯à®¨§¢®¤ãî ¯® à£ã¬¥âã. �®á¯®«ì§®¢ ¢-è¨áì ®£à ¨ç¥®áâìî Q(1)kmn, Q(2)knm ¨ ¨§¢¥áâ묨®æ¥ª ¬¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ëå ®â áä¥à¨ç¥áª¨å äãª-権 �¥áᥫïj0n(�ka)h0n(�ka) = �i� ��ka2 �2n���n+ 12���n+ 32�� ; (29)¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® á¨á⥬ (27), (28) ï¥âá᪮¥ç®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨á⥬®© ãà ¢¥¨©á ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ®à¬ «ì®£® ⨯ [33] ¨ ¬®¦¥â¡ëâì á «î¡®© á⥯¥ìî â®ç®á⨠à¥è¥ ¬¥â®¤®¬à¥¤ãªæ¨¨. �®£à¥è®áâì ¢ëç¨á«¥¨© ¡ã¤¥â 㬥ì-è âìáï á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¯®à浪 N ।ãæ¨à®¢ ®©á¨áâ¥¬ë ¨ á 㬥ì襨¥¬ ®â®è¥¨© a0=R0, a0=l.�ਠí⮬ ¤«ï A(k)n ¯à¨ a��1 á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª ã¡ë¢ ¨ï ç«¥®¢ á¨á⥬ë á à®á⮬ n:A(k)n = O(a�)n+1; (30)ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï «®£¨ç® ®æ¥ª ¬ à¥è¥¨©á¨á⥬ ¡¥áª®¥çëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©,à áᬮâà¥ëå ¢ [21].2. ���� ���������� � ��������� áᬮâਬ ¢ ç «¥ ¯®«¥ ¯®â¥æ¨ « ¤«ï á«ã-ç ï ®¡à §®¢ ¨ï ¤«¨ëå ¯® áà ¢¥¨î á à ¤¨-ãᮬ 樫¨¤à ¢®« ¯à¨ ¬ «ëå ¢®«®¢ëå ç¨á« å�k. �ਠ�k<�1=3:8317 £« ¢®¥ § 票¥ ¨â¥-£à « ®â B(k)(�) ¢ (14) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ç¥à¥§§ ç¥¨ï ¢ëç¥â®¢ ¢ â®çª å �=��k ¢¥é¥á⢥-®© ®á¨ [31]:1Z�1 B(k)(�)J0(�kR)ei�Zd� == �i X�=��k�k=0 Re s�B(k)(�)J0(�kR)ei�Z�: (31)�ç¨âë¢ ï, çâ® a<1 ¨ ®æ¥ªã (30), ¯®«ãç ¥¬ á«¥-¤ãîéãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯®«ï ¯®â¥æ¨ « ¢ á«ãç ¥a��1:�k = 1Xn=0A�(k)n (a�k)n+1�h(1)n (�k�1)Pn(cos �1)++(�1)n+1h(1)n (�k�2)Pn(cos �2)�++�i X�=��k Re s�B(k)(�)ei�Z�; (32)�. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬ 53
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59£¤¥ A(k)n = A�(k)n (a�)n+1, A�(k)n =O(1).�⬥⨬, çâ® ¥®¤®à®¤®áâì ¯®«ï ¢ à ¤¨ «ì-®¬ ¯à ¢«¥¨¨ á¢ï§ ⮫쪮 á ¡ëáâà® § âã-å î騬 á 㤠«¥¨¥¬ ®â ⥫ ¨ â®à楢®© £à ¨-æë ¯¥à¢ë¬ ç«¥®¬ ãà ¢¥¨ï. �«¥¤®¢ ⥫ì®,¤«ï á¥ç¥¨© à ááâ®ï¨ïå ¥áª®«ìª¨å ¤«¨ ¢®«-ë § ç¥¨ï ¯®â¥æ¨ « á« ¡® § ¢¨áïâ ®â R, ¨à ¤¨ «ì ï ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠@�=@R=ur�0.�«ï ¡«¨§ª¨å ª ã«î § 票© ¢®«®¢®£® ç¨á« (�k�0:1) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¥áª®«ìª¨å à ¤¨ãᮢ ®â⥫ ¨ £à ¨æë ¦¨¤ª®áâì ¬®¦® áç¨â âì ¥á¦¨-¬ ¥¬®© [21]. �।¥«ìë© ¯¥à¥å®¤ �k!0 ¢ ä®à¬ã-«¥ (10) á ãç¥â®¬ (32) ¤ ¥â ¢ëà ¦¥¨¥, ᮮ⢥â-áâ¢ãî饥 ¯à¨¢¥¤¥®¬ã ¢ [27] ¤«ï ¯®«ï ¯®â¥æ¨ -« ¢ ¯®«ã®£à ¨ç¥®¬ á⮫¡¥ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤-ª®áâ¨:� = 1Xn=0A�(k)n an+1�� �Pn(cos �1)�n+11 + (�1)n+1Pn(cos �2)�n+12 �++ a� 1Z�1 K1(j�j)I1(�) 1Xm=0A�(k)m (�i�a)mm! �� �e�i�h + (�1)m+1ei�h� d�: (33)�᫨ �k ¤®á⨣ ¥â ¯¥à¢®£® ᮡá⢥®£® § 票ï�1=3:8317, â® ¢ ä®à¬ã«¥ (32) ¯®ï¢«ïîâáï ¤®¯®«-¨â¥«ìë¥ ç«¥ë, § ¢¨áï騥 ®â à ¤¨ «ì®© ª®®à-¤¨ âë ¤ ¦¥ ¤«ï ®â¤ «¥ëå á¥ç¥¨© á⮫¡ ¦¨¤-ª®áâ¨: X�=��1�k=0 Re s�B(k)(�)J0(�kR)ei�Z�;�1 =q�2k � �21: (34)� «®£¨çë¥ á« £ ¥¬ë¥ ¢®§¨ª îâ, ¥á«¨ ¤«¨- ¢®«ë 㬥ìè ¥âáï á⮫쪮, çâ® �k �� �2=7:0156 ¨«¨ �k��p ¨ â. ¤.�®«¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï, ¢®§¬ãé¥-®£® ⥫®¬ ¢ á⮫¡¥ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨, á ãç¥-⮬ ®á®¢ëå ¥«¨¥©ëå ç«¥®¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤ [16]p = ��Xk ��i!k�(N)k + NXn=0 @�(N)k@A(k)n @A(k)n@t �++@�(N)@a _a+ @�(N)@h _h+ 12�~r�(N)�2�� 12c2 �@�(N)@t �2 � ~r�(N) � ~k _h+ o(a2N+1)�: (35)
�¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ® ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠p=0, Z=0. �।-¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ®â¢¥ç ¥â § ¯¥à¥®á®¥ ¤¢¨-¦¥¨¥¬ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, á¢ï§ ®© á ⥫®¬, ~k {®à⠮ᨠ�O1~z1. � á«ãç ¥ ¯¥à¥å®¤ ¢ ä®à¬ã«¥ (35) ªá¨á⥬¥ ORZ' íâ®â ç«¥ ®âáãâáâ¢ã¥â. �®â¥æ¨ «¨ ¤ ¢«¥¨¥ p ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ¯®á«¥ à¥è¥-¨ï á¨áâ¥¬ë ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ (27), (28). �à¨í⮬ �(N), �(N)k ᮮ⢥âáâ¢ãîâ § ç¥¨ï¬ ä®à-¬ã« (5), (10), ¯®«ãç¥ë¬ ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ à¥è¥-¨© A(k)n ।ãæ¨à®¢ ®© ¤® ¯®à浪 N (m;n�N )á¨á⥬ë.�¬¯«¨âã¤ë¥ § ç¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï, ¢®§¬ã饮-£® ¯ã«ìá æ¨ï¬¨ (3) ¨«¨ ®á樫«ïæ¨ï¬¨ (4) â¥-« , ¯®áâà®¥ë¥ ª® ªá¨ «ì®© ¯®¢¥àå®áâ¨R=0:5 ¢ãâਠ¦¨¤ª®áâ¨, ¯®ª § ë à¨á. 2, , ¢¨«¨ ¡, £ ᮮ⢥âá⢥®. �¨á. 2, , ¡ ᮮ⢥â-áâ¢ãîâ à á¯à¥¤¥«¥¨î ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯®«ã®£à ¨ç¥-®¬, à¨á. 2,¢, £ { ¢ ¡¥áª®¥ç®¬ á⮫¡¥ ¦¨¤-ª®áâ¨. �«ï ¢®§¬®¦®á⨠áà ¢¥¨ï १ã«ìâ -⮢ ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå � ¨ á® § ç¥-¨ï¬¨ ¤«ï ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢¥«¨ç¨ë p,¤ ë¥ £à 䨪 å, ®â¥á¥ë ª p0=��!20a30=R0(a) ¨«¨ p0=��h0!20a20=R0 (¡), ª®«¥¡ ¨ï à á-ᬠâਢ «¨áì ¯à¨ à ¢®© ¢¥«¨ç¨¥ ¢¨¡à®ã᪮à¥-¨ï ¯®¢¥àå®á⨠⥫ : �0!2=�h0!2=20 ¬/á2.� áâ®â !0=2� � 2:276 � 103 �æ, çâ® ¢ á«ã-ç ¥ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â �k=0:5.�áâ «ìë¥ ¯ à ¬¥âàë ¨¬¥«¨ á«¥¤ãî騥 § 票ï:�=103 ª£/¬3, R0=5 � 10�2 ¬, a0=0:2R0, h0=0:8R0.�à¨¢ë¥ 1 ¢® ¢á¥å á«ãç ïå, ªà®¬¥ (¢), £¤¥ ¢®§-¨ª ¥â ®á®¡¥®áâì, ᮮ⢥âáâ¢ãî⠥ᦨ¬ ¥¬®©¦¨¤ª®áâ¨. �à¨¢ë¥ 2 { 7 ¯®áâà®¥ë ¤«ï �k=0:5,1.0, 2.0, 3.8317, 5.0, 7.0156, k=1; 2, ¯®ª § 륯à¥à뢨áâ묨 «¨¨ï¬¨ ªà¨¢ë¥ 8 { 11 (⮫쪮 à¨á. 2, , ¡) { ¡¥§ ãç¥â ¢«¨ï¨ï ¡®ª®¢ëå £à ¨æ á®-á㤠(¤«ï ¯®«ã¯à®áâà á⢠) ¯à¨ â¥å ¦¥ �k, ªà®¬¥¤¢ãå ¯®á«¥¤¨å § 票©.� ¨¡®«ì訥 ®â«¨ç¨ï १ã«ìâ ⮢ ¤«ï ¯®«ã®£à -¨ç¥®£® á⮫¡ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¡«î¤ îâáï ¤«ï á«ãç ï ¯¥à¢ëå ᮡá⢥ëå ç -áâ®â �k=�1;2 («¨¨¨ á ªà㣫묨 ¡¥«ë¬¨ ¬ થ-à ¬¨), çâ®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, á¢ï§ ® á® § ç¨â¥«ì®¢®§à áâ î饩 ஫ìî ®âà ¦¥¨© ®â á⥮ª ¢ à¥-§® áëå á«ãç ïå. � ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¥á¦¨-¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠(ªà¨¢ ï 1) ¡«î¤ ¥âáï ¢ëà ¢-¨¢ ¨¥ á।¨å ᪮à®á⥩ ¤«ï ®â¤ «¥ëå á¥ç¥-¨©, ¯à¨ç¥¬ ¡®«¥¥ ïમ íâ® ¯à®ï¢«ï¥âáï ¤«ï ¯ã«ì-á 樮ëå ª®«¥¡ ¨©. � § ª®«¥¡ ¨© ®áâ ¥âáï¯à¨ í⮬ ¥¨§¬¥®© ¯® ¢á¥© ¤«¨¥ á⮫¡ ¦¨¤ª®-áâ¨. �¦¨¬ ¥¬®áâì áà¥¤ë ¯à¨¢®¤¨â ª ®¡à §®¢ ¨î®¡« á⥩ á à §ë¬¨ ä § ¬¨ ª®«¥¡ ¨©, ª®«¨ç¥á⢮ª®â®àëå 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï á à®á⮬ �1, ¤«¨ ¯à¨-54 �. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59
¡
¢ £�¨á. 2. �¬¯«¨âã¤ë¥ § ç¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï ¤«ï ¯®¢¥àå®á⨠R=0:5, 0<Z<6R0,¢®§¬ãé¥ë¥ ¯ã«ìá 樮묨 ( , ¢) ¨«¨ ®á樫ï樮묨 (¡, £) ª®«¥¡ ¨ï¬¨ ¯®¢¥àå®áâ¨áä¥àë á a0=0:2R0 ¢ ¯®«ã®£à ¨ç¥®¬ ( , ¡) ¨ ¡¥áª®¥ç®¬ (¢, £) á⮫¡ å ¦¨¤ª®á⨬¥à® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®«ã¢®«¥.�®«¥¡ ¨ï ¦¨¤ª®áâ¨, ¢ë§¢ ë¥ ®á樫«ïæ¨ï¬¨á ⥬¨ ¦¥ § 票ﬨ ¢¨¡à®ã᪮२ï, çâ® ¨ ¯ã«ì-á æ¨®ë¥ ª®«¥¡ ¨ï, ®â«¨ç îâáï ¬¥ì訬¨ ¬-¯«¨â㤠¬¨ ¤ ¢«¥¨ï. �¡«¨§¨ á।¥£® ¯®«®¦¥¨ï⥫ 室¨âáï £à ¨æ ®¡« á⥩, ¢ëè¥ ¨ ¨¦¥ª®â®à®© ª®«¥¡ ¨ï ¯à®å®¤ïâ ¢ ¯à®â¨¢®ä § å. �«ï¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠⠪¨å ®¡« á⥩ ¤¢¥, ¯à¨ã¢¥«¨ç¥¨¨ § 票© �2 ª®«¨ç¥á⢮ â ª¨å ®¡« -á⥩ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï.�⫨ç¨ï à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯®«ã®£à ¨-祮¬ ¨ ¡¥áª®¥ç®¬ á⮫¡ å ¦¨¤ª®áâ¨(à¨á. 2,¢, £), ¥áâ¥á⢥®, ¨¡®«¥¥ § ç¨â¥«ì®¯à®ï¢«ïîâáï ¢ ®¡« á⨠¬¥¦¤ã ⥫®¬ ¨ â®à楢®©£à ¨æ¥© ¨ ®á« ¡¥¢ î⠯ਠ㤠«¥¨ïå ¥áª®«ì-ª® ¤«¨ ¢®«. �ਠí⮬ ¥á¨¬¬¥âà¨ï à á¯à¥¤¥«¥-
¨ï ¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¯® ¯®¢¥àå®á⨠⥫ , á¢ï§ ïá ¢«¨ï¨¥¬ ®âà ¦¥¨ï ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨,¬®¦¥â ¯à¨¢®¤¨âì ª ¢®§¨ª®¢¥¨î ¥ã«¥¢®© ¨-â¥£à «ì®© ᨫë, à áᬠâਢ ¥¬®© ¢ á«¥¤ãîé¥¬à §¤¥«¥.� à¨á. 3 ¯®ª § ë § ç¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï à §-«¨çëå ª® ªá¨ «ìëå ¯®¢¥àå®áâïå R=0:25, 0.5,1.0 (ªà¨¢ë¥ 1{ 3 ¨ 4{ 6 ᮮ⢥âá⢥®). �¨á. 3, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ã«ìá æ¨ï¬, à¨á. 3,¡ { ®á樫«ïæ¨-ï¬ áä¥àë. �¥à¢ ï £à㯯 ªà¨¢ëå ¯®áâ஥ ¤«ï¬¥ì襣®, 祬 �1, § 票ï �k=1, ¢â®à ï £àã¯-¯ { ¤«ï �k=�1. �à¨¢ë¥ 7 ¨ 8, â ª¦¥ 9 ¨ 10¯®ª §ë¢ îâ ¨§¬¥¥¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¤«ï ¡¥áª®¥ç®-£® á⮫¡ ¦¨¤ª®á⨠ª® ªá¨ «ìëå ¯®¢¥àå®áâïå ¨¡®«ì襣® (R=1 { á⥪ ) ¨ ¨¬¥ì襣® à ¤¨-ãᮢ (R=0:25) ᮮ⢥âá⢥®. �ਠí⮬ ¤«ï ¤¢ãå�. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬ 55
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59
¡�¨á. 3. � ç¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï, ¢®§¬ã饮£® ¯ã«ìá¨àãî饩 ( ) ¨ ®á樫«¨àãî饩 (¡) áä¥à ¬¨,¯®áâà®¥ë¥ ¤«ï â®ç¥ª à §«¨çëå ª® ªá¨ «ìëå ¯®¢¥àå®áâïå (R=0:25, 0.5, 1) ¢ á⮫¡¥ ¦¨¤ª®á⨯¥à¢ëå ªà¨¢ëå § 票ï �k=1, ¤«ï ¢â®à®© £àã¯-¯ë { �k=�1. �âà¨å®¢®© «¨¨¥© ¢ १® ᮬá«ãç ¥ ¯®ª § ë § ç¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¯®¢¥àå®-á⨠R=0:25 ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ¡®ª®¢®© £à ¨æë {ªà¨¢ë¥ 11, å à ªâ¥à ª®â®àëå ¡®«¥¥ áãé¥á⢥-®, 祬 ¤«ï ¬¥ìè¨å ¢®«®¢ëå ç¨á¥«, ®â«¨ç ¥â-áï ®â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § 票© (ªà¨¢ë¥ 4, 9) ¢¯®«ã®£à ¨ç¥®© ¨ ¡¥áª®¥ç®© 樫¨¤à¨ç¥áª¨å¯®«®áâïå. �«¨ï¨¥ ¡®ª®¢®© £à ¨æë ¢ १® á-®¬ á«ãç ¥ ¯à®ï¢«ï¥âáï ¨¡®«¥¥ ®âç¥â«¨¢®, -«¨ç¨¥ á⥪¨ ᪠§ë¢ ¥âáï ¤«ï ¢á¥å § 票© à -¤¨ãá R ¤® à ááâ®ï¨© 3�4R. �®«¥¥ áãé¥á⢥®§ 票ï p ¢ à ¤¨ «ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨ ¨§¬¥ïîâ-áï ¯à¨ ¯ã«ìá 樮ëå ª®«¥¡ ¨ïå. �«ï § 票©�k=1, ª ª ¨ ¤«ï ¤à㣨å, ¬¥ìè¨å ªà¨â¨ç¥áª®£®�1, ®â«¨ç¨ï § 票© ¤ ¢«¥¨ï ¯® R ¢ á¥ç¥¨ïåá Z�3R0=3 ¥áãé¥á⢥ë. �â® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â¢ë¢®¤ë, ¯®«ãç¥ë¥ ¯à¨ «¨§¥ ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï¤ ¢«¥¨ï ¨ ¯®â¥æ¨ « .�⬥⨬, çâ® ¢ë¥¨¥ ¤®¯®«¨â¥«ì®£® ¢«¨-ï¨ï â®à楢®© £à ¨æë, ¯à¨¢®¤ï饣® ª ¢®§¨ª®-¢¥¨î ªà ¥¢®£® १® á , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥á¯à¨ ¤ «ì¥©è¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå. � à ªâ¥à ¥£® ¯à®-¥¨ï ¬¥¥¥ १ª¨©, 祬 ã à áᬮâà¥ëå à ¤¨- «ìëå १® ᮢ [22].� áç¥âë ¤«ï ¤àã£¨å § 票© á।¥£® à ¤¨-ãá ⥫ ¯®ª § «¨, çâ® ®âà ¦¥¨ï ®â ¢¥è-¨å £à ¨æ ¯à®ï¢«ïîâáï ¢ १® áëå á«ãç ïå㦥 ¯à¨ á®®â®è¥¨ïå à §¬¥à®¢ a0=R0=0:05�0:1.�ਠí⮬ ¯¥à¢ë¥ १® áë¥ ç áâ®âë ª®«¥¡ -¨© ¬®£ãâ áâ âì ¡«¨§ª¨ ( ¯à¨¬¥à, ¯à¨ § 票ïåa0=10�3 ¬=0:1R0) ª ᮡáâ¢¥ë¬ ç áâ®â ¬ ª®«¥-¡ ¨© ¯ã§ë३ ¢ âà㡪 å, ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ª®â®-àëå à §¬¥à ¬¨ ¢ª«îç¥¨ï ¯® ®â®è¥¨î ª à ¤¨-
ãáã âàã¡ë ®¡ëç® ¯à¥¥¡à¥£ îâ [1].� áᬠâਢ ¥¬ ï § ¤ ç ¤«ï ¯®«¥© ¯®â¥æ¨ -« ¨ ¤ ¢«¥¨ï ¬®¦¥â à¥è âìáï ¯à¨ á®®â®è¥¨ïåa0=R0<1, a0=h0<1, â ª ª ª ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë¡ã¤¥â ¨¬¥âì ®à¬ «ìë© â¨¯ ¢® ¢á¥¬ í⮬ ¤¨ ¯ -§®¥. �¤ ª® ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ a0 ª £à ¨æ ¬ 㪠-§ ®£® ¤¨ ¯ §® ª®«¨ç¥á⢮ ¥®¡å®¤¨¬ëå ¢ëç¨-á«¥¨© § ç¨â¥«ì® ¢®§à áâ ¥â. �஬¥ ⮣®, á ä¨-§¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ à §¬¥à ⥫ ª ¤¨ ¬¥âàã á®á㤠(¤«ï a0=R0>0:5) ¢¨¤¨¬®âॡã¥âáï ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ª®à४â-®á⨠¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï ®¡ ¨¤¥ «ì®á⨠áà¥¤ë ¤«ïà áᬠâਢ ¥¬®£® ¤¨ ¯ §® ç áâ®â [17,23].3. ������������ ����, ��������-��� �� ���� ������ �������� ���-����� á«ãç ¥ ¡¥áª®¥ç®£® á⮫¡ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤-ª®á⨠(h!1) á।ïï § ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ⥫®, à ¢- ã«î ¨§-§ ᨬ¬¥âਨ ¨§¬¥¥¨ï ¯®«ï ¤ ¢«¥-¨© ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà «ì®£® £®à¨§®â «ì®£®á¥ç¥¨ï ⥫ . �®§¤¥©á⢨¥ ¡®ª®¢ëå £à ¨æ ¢ë-à §¨âáï «¨èì ¢ 㢥«¨ç¥¨¨ ¯à¨á®¥¤¨¥®© ¬ á-áë ¤¢¨¦ã饣®áï ⥫ ¯® áà ¢¥¨î á® á«ãç ¥¬¥®£à ¨ç¥®© ¦¨¤ª®á⨠[23, 24]. �«¨ï¨¥ â®à-楢®© £à ¨æë ¢ á«ãç ¥ ¯®«ã®£à ¨ç¥®£® á⮫-¡ ¨«¨ ¯®«ã¯à®áâà á⢠¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨áª §ë¢ ¥âáï ¢ ¢®§¨ª®¢¥¨¨ ¥ã«¥¢®© á।¥©£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî饩 ¯ã«ì-á¨àãîéãî áä¥àã ¨ ¯à ¢«¥®© ¢£«ã¡ì ¦¨¤ª®-á⨠[12, 27]. � áᬮâਬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¢®§-¤¥©á⢨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠ª®«¥¡«î饥áï56 �. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59⥫® ¢ ¯®«ã®£à ¨ç¥®¬ á⮫¡¥ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤-ª®áâ¨.�¨«ã £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¨¬¯® ä®à¬ã«¥F = Fz = �Re ZS1 p~k � ~n1dS == � 2�Z0 �Z0 Re p cos �1 sin �1d�1d': (36)�®¤áâ ¢¨¢ ¢ íâã ä®à¬ã«ã ¢ëà ¦¥¨¥ (35) ¤«ï p,¯®«ã稬 á ãç¥â®¬ ®à⮣® «ì®á⨠¯®«¨®¬®¢ �¥-¦ ¤à :F = ml2a0Re��(� @@tD(k)1 + NXm=0�mD(k)m D(k)m+1�����a=a0); (37)£¤¥ ª®íää¨æ¨¥âë àï¤ �m, ®¡à §®¢ ë¥ ç«¥- ¬¨ (35), ¥«¨¥©ë¬¨ ®â®á¨â¥«ì® ᪮à®áâ¨,®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ [16] ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ ᨫ ¢§ ¨¬®-¤¥©áâ¢¨ï ¤«ï ¤¢ãå ⥫ ¢ ¥®£à ¨ç¥®© ¦¨¤ª®-á⨠(¢ [28] ¯®¤®¡ë¥ à áç¥âë ¯à®¢¥¤¥ë ¤«ï ⥫¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®áâ¨ á ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤-ª®áâìî). �®£à¥è®áâì, ¢®§¨ª îé ï ¯à¨ ¯à¥-¥¡à¥¦¥¨¨ ¥«¨¥©ë¬¨ ç«¥ ¬¨, ®¯à¥¤¥«ï¥â-áï ®á®¢ ¨¨ ®æ¥ª¨ A(k)n . �«¥ ¨¬¥ì-襣® ¯®à浪 ¬ «®á⨠®â®á¨â¥«ì® a0 ¨¬¥¥â¢¨¤ O[�2(a0=R0)7], £¤¥ �=max[�; �]. � áᬮâਬ®á।¥ãî § ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© ¢¥«¨ç¨ã £¨¤à®-¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¢®§¤¥©á⢨ïhF i = 1T TZ0 Fdt; T = 2�=!1; (38)®¯à¥¤¥«¨¢ ¥¥ ¤«ï ⥫ , ᮢ¥àè î饣® ¯ã«ìá 樮-ë¥ ª®«¥¡ ¨ï (3).� ¢¨á¨¬®á⨠hF i ®â ¯ à ¬¥âà l=R0=2h0=R0¤«ï à §«¨çëå § 票© �1 ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¯®áâ஥ë à¨á. 4. �à¨-¢ë¥ 1 { 4 ᮮ⢥âáâ¢ãîâ § ç¥¨ï¬ �1=0, 0.1, 0.5,1. � á«ãç ¥ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠(ªà¨¢ ï 1)§ 票¥ ãá।¥®© á¨«ë ®áâ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬ ¤«ï ¢á¥£® ¨â¥à¢ « l, â. ¥. ᨫ ¯à ¢«¥- ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠[2, 6]. �à¨¢ë¥ 5, 6¯®ª § ë ¤«ï á«ãç ï ¡¥áª®¥ç®£® 㤠«¥¨ï ¡®-ª®¢ëå £à ¨æ ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ �1=0:1, 1. �¨¤-®, çâ® ¢ á®á㤥 ¨§-§ ®âà ¦¥¨© ®â ¡®ª®¢®© £à -¨æë ¯à®¨á室¨â 㢥«¨ç¥¨¥ ¬¯«¨â㤠ãá।¥-ëå ᨫ ¨ § ¬¥¤«¥¨¥ ã¡ë¢ ¨ï á।¥© á¨«ë ¢®§-¤¥©á⢨ï, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â १ã«ìâ â ¬ ¤«ï ¤ -¢«¥¨ï. �«¨ï¨¥ ᦨ¬ ¥¬®á⨠¦¨¤ª®á⨠᪠§ë-¢ ¥âáï ¢ áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¢ãâਠá⮫¡ ¦¨¤ª®áâ¨
�¨á. 4. �á।¥ë¥ § ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© § ç¥¨ï £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯ã«ìá¨àãî饥áä¥à¨ç¥áª®¥ ⥫®®¡« á⥩, ¢ ª®â®àëå á।¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥á¨«ë ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ ¯à ¢«¥¨ï.�ਠ㤠«¥¨¨ ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨ à §¬¥àíâ¨å ®¡« á⥩ áâ६¨âáï ª ¤«¨¥ ¯®«ã¢®«ë. � -«¨ç¨¥ á®á¥¤¨å ®¡« á⥩, ¢ ª®â®àëå á¨«ë ¯à -¢«¥ë ¢áâà¥çã, ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¤«ï ª®-«¥¡«î饣®áï ᢮¡®¤®£® ¢ª«î票ï (¯ã«ìá¨àãî-饣® ¯ã§ëàï) ¢®§¬®¦ë ¯®«®¦¥¨ï ãá⮩稢®£®à ¢®¢¥á¨ï ¢ãâਠá⮫¡ ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨,ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ à¥§ã«ìâ -â ¬ [1{ 3,5,34].�����������஢¥¤¥®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢«¨ï¨ï ®£à ¨ç¥-®á⨠á⮫¡ ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ ¥£® ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç-ëå ª®«¥¡ ¨ïå, ¢®§¡ã¦¤ ¥¬ëå áä¥à¨ç¥áª¨¬ â¥-«®¬, ¯®§¢®«¨«® ãç¥áâì ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¯®«¥© ¯®-â¥æ¨ « ¨ ¤ ¢«¥¨ï ª®¥ç®áâì â ª¨å å à ªâ¥à-ëå ¯ à ¬¥â஢ á¨á⥬ë, ª ª ®â®è¥¨ï à ¤¨ã-á ¨áâ®ç¨ª ª®«¥¡ ¨© ª à ¤¨ãáã á®á㤠¨«¨ ª£«ã¡¨¥ ¯®£à㦥¨ï (a0=R0 ¨«¨ a0=h0), ¯à¨ à §-«¨çëå § 票ïå ¡¥§à §¬¥à®£® ¢®«®¢®£® ç¨-á« �=!R0=c (®â®è¥¨ïå à ¤¨ãá R0 ¨ ¤«¨ ¢®«-ë). �ਠ«¨§¥ ¯®«ãç¥ëå १ã«ìâ ⮢ ¨á-¯®«ì§®¢ «¨áì ¨§¢¥áâë¥ ¤ ë¥, ®â®áï騥áï ªá«ãç ï¬ ¯à¥¤¥«ìëå § 票© íâ¨å ¯ à ¬¥â஢,¯à¨ a0=R0!0 { ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â®ç¥ç®¬ã ¨á-â®ç¨ªã, a0=h0!0 { ¡¥áª®¥ç®¬ã á⮫¡ã ᦨ¬ -¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠(�!0, a0=h0=const { ¯®«ã®£à ¨-ç¥ë© á⮫¡ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâ¨), a0=R0!0,a0=h0=const { ¯®«ã¯à®áâà áâ¢ã ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤-�. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬ 57
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 59ª®áâ¨.�«ï ¢®«®¢ëå ç¨á¥«, ¬¥ìè¨å ¯¥à¢®£® ᮡá⢥-®£® ç¨á« , à ááâ®ï¨ïå ¥áª®«ìª¨å ¤«¨ ¢®«®â ⥫ ¨ â®à楢®© £à ¨æë (¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ã-ç ¥ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠{ ¥áª®«ìª¨å R0) ¯®-«¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯®¯¥à¥çëå á¥ç¥¨ïå á⮫¡ ¦¨¤-ª®á⨠¯®ç⨠¥ ¬¥ï¥âáï ¯® R. �à¨ç¥¬ ®â«¨-ç¨ï ®â á«ãç ï ¯®«ã¯à®áâà á⢠§ ¬¥âë ¨ ¯à¨a0=R0=0:1, ¨ ¡®«¥¥ áãé¥áâ¢¥ë ¤«ï á«ãç ï ¯ã«ì-á 樮ëå, 祬 ®á樫«ï樮ëå ª®«¥¡ ¨© ¨á-â®ç¨ª . �«¨ï¨¥ ®âà ¦¥¨© ®â ¡®ª®¢®© £à ¨-æë ¨¡®«¥¥ ®âç¥â«¨¢® ¯à®ï¢«ï¥âáï ¤«ï १® á-ëå á«ãç ¥¢ �=�p, J1(�p)=0. �ਠ���1 ¯®«ï¯®â¥æ¨ « ¨ ¤ ¢«¥¨ï ®áâ îâáï ¥®¤®à®¤ë¬¨¯® R ¢® ¢á¥¬ à áᬮâ८¬ ¤¨ ¯ §®¥ £«ã¡¨(Z�6R0).� «¨ç¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠ᤢ¨£ ¥â £à ¨-æë ®¡« á⥩ § ª®¯®áâ®ïá⢠¤ ¢«¥¨ï ¢ á®á㤥.� ¨¡®«¥¥ § ¬¥â® ¢«¨ï¨¥ ®£à ¨ç¥®á⨠á⮫-¡ ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¯®«¥© ¢®§¬ãé¥¨ï¢ ®¡« á⨠¬¥¦¤ã ⥫®¬ ¨ â®à楢®© ¯®¢¥àå®áâìî¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥®éã⨬® ¢¡«¨§¨ ¨¦¥£® ª®æ ¢ë¡à ®£® ¨â¥à¢ « ¤«ï Z. �ਠí⮬ ¡«î-¤ ¥âáï àã襨¥ ᨬ¬¥âਨ ¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¤«ï¯ã«ìá¨àãî饣® ⥫ ( â¨á¨¬¬¥âਨ ¤«ï ®á樫-«¨àãî饣®) ®â®á¨â¥«ì® ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï,¯à®å®¤ï饣® ç¥à¥§ æ¥âà áä¥àë, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥-áâ® ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® á⮫¡ ¦¨¤ª®áâ¨. �â® ¯à¨-¢®¤¨â ª ¢®§¨ª®¢¥¨î ¨â¥£à «ì®© á¨«ë ¤ ¢«¥-¨ï, ¤¥©áâ¢ãî饩 ⥫®, ¨ ¨¬¥î饩 ¥ã«¥¢®¥á।¥¥ § ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ¨© § 票¥. �á।¥- ï ᨫ ¤«ï ¯ã«ìá¨àãî饩 áä¥àë ¢¡«¨§¨ ¯®¢¥àå-®á⨠¦¨¤ª®á⨠¯à ¢«¥ ¢£«ã¡ì ®¡ê¥¬ ¨ ç¥à¥§à ááâ®ï¨ï, ¯à¨¡«¨¦ î騥áï á 㤠«¥¨¥¬ ®â £à -¨æë ª ¤«¨¥ ¯®«ã¢®«ë, ¬¥ï¥â ¯à ¢«¥¨¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¥. � ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¥á¦¨¬ -¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠(�=0) ª ª ¤«ï ¯®«ã¯à®áâà á⢠,â ª ¨ ¤«ï ¯®«ã®£à ¨ç¥®£® ¦¨¤ª®£® á⮫¡ á¨-« ®áâ ¥âáï ¯à ¢«¥®© ®â £à ¨æë ¤«ï «î¡ë士㡨 Z, ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ § âãå ï § ç¨â¥«ì®¬¥¤«¥¥¥.�¥à¥¤®¢ ¨¥ ¢ ®£à ¨ç¥®¬ á⮫¡¥ ᦨ¬ ¥¬®©¦¨¤ª®á⨠á®á¥¤¨å ®¡« á⥩ á® ¢áâà¥ç묨 ¨«¨à á室ï騬¨áï ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ®á।¥®© á¨«ë¤ ¢«¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ãá⮩稢®á⨠ã஢¥© ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® à ¢®¢¥á¨ï¤«ï £ §®¢®£® ᪮¯«¥¨ï ¢ ª®«¥¡«î饬áï á®á㤥 ᦨ¤ª®áâìî, ®¡ à㦥ëå íªá¯¥à¨¬¥â «ì® [1,5]¨ ¨§ãç¥ëå ¢ á«ãç ¥ ¬ «ëå ¢ª«î票© (a0�R0,R0!=c�1) [1,6].�®áâà®¥ë¥ ¢ ¤ ®© à ¡®â¥ ¯®«ï ¯®â¥æ¨ -« ¨ ¤ ¢«¥¨ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®¢¥¤¥¨ï ¬ «ëå ⢥à¤ëå ¨ £ §®-¢ëå ¢ª«î票© ¢ ®£à ¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¦¨¤ª®á⨠á
¢ãâ२¬ ª®¥çë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ª®«¥¡ ¨©, ¯®-¤®¡® ¯à®¤¥« ë¬ ¤«ï ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨢ [1] ¨«¨ ¤«ï ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ [35] ¡¥§ ãç¥â ¢«¨ï¨ï ¢¥è¨© £à ¨æ.1. �®«¥¡ ⥫ìë¥ ï¢«¥¨ï ¢ ¬®£®ä §ëå áà¥-¤ å ¨ ¨å ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ¢ â¥å®«®£¨¨ / �¥¤.�. �. � ¨¥¢ .{ �.: �¥å¨ª , 1980.{ 142 á.2. �ã¡¥ª® �. �., � ª¨§ �. �., � ¢«®¢áª¨© �. �.,�¥«ëå �. �. �¨ ¬¨ª ã¯à㣮£ §®¦¨¤ª®áâëå á¨-á⥬ ¯à¨ ¢¨¡à 樮ëå ¢®§¤¥©á⢨ïå.{ �.: � ãª.¤ã¬ª , 1989.{ 256 á.3. �¢¤ã¥¢áª¨© �. �., � ¨¥¢ �. �., �ªà ¨áª¨© �. �.,�á⥪® �. �. �¢¨¦¥¨¥ £ §®¢®£® ¢ª«îç¥¨ï ¢ ª -¯¨««ïॠ¯à¨ ¢®§¤¥©á⢨¨ ¢¨¡à 樨 // �§¢. ���.���.{ 1998.{ N 3.{ �. 85{92.4. �¥¯¯ �., �¥©«¨ �¦., � ¬¬¨â �. � ¢¨â æ¨ï.{ �.:� 㪠, 1974.{ 687 á.5. Bleich H. H. E�ect of vibration on motion of smallbubbles in liquid // Jet Propulsion.{ 1956.{ 26,N 11.{ P. 956{978.6. �ã¡¥ª® �. �., �ã§ì¬ �. �., �ãçª �. �. �¨ -¬¨ª áä¥à¨ç¥áª¨å ⥫ ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ ¢¨¡à 樨.{�.: � ãª. ¤ã¬ª , 1989.{ 156 á.7. �®à¤ ᪨© �. �., �㫨ª®¢áª¨© �. �. � ¤¢¨¦¥¨¨¦¨¤ª®áâ¨, ᮤ¥à¦ 饩 ¬¥«ª¨¥ ç áâ¨æë // �§¢.�� ����. ���.{ 1977.{ N 4.{ �. 12{19.8. �¨£¬ âã««¨ �. �. �á®¢ë ¬¥å ¨ª¨ £¥â¥à®£¥-ëå á।.{ �.: � 㪠, 1978.{ 336 á.9. �ª¨¬®¢ �. �. �ä䥪⠨§¡¨à ⥫쮣® ¤à¥©ä ¯ã-§ëà쪮¢ £ § ¢ ¢¨¡à¨àãî饩 ¦¨¤ª®á⨠¢ § ¢¨á¨-¬®á⨠®â ¨å à §¬¥à // �§¢. �� ����. ���.{1978.{ N 4.{ �. 138{140.10. Feuillade C. Scattering collective modes of air bub-bles in water and the physical mechanism of super-sonances // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1995.{ 98, N 2,Pt. 1.{ P. 1178{1190.11. �«¥ªá¥¥¢ �. �., �ë¡ ª �. �. �«¨ï¨¥ à á¯à¥¤¥-«¥¨ï ¯ã§ëà쪮¢ ¯® à §¬¥à ¬ ¯à¨ à á¯à®áâà ¥-¨¨ §¢ãª ¢ á। å á १® ᮩ ¤¨á¯¥àᨥ© //�ªãáâ. ¦.{ 1997.{ 43, N 6.{ �. 730{736.12. �㪮¢áª¨© �. �. �¡®¡é¥¨¥ § ¤ ç¨ �ì¥àª¥á ®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ å, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯ã«ì-á¨àãî騥 ¨«¨ ®á樫«¨àãî騥 ⥫ ¢ãâਠ¦¨¤-ª®© ¬ ááë // �®¡à. á®ç. �®¬ 2. �̈ ¤à®¤¨ ¬¨ª .{�.-�.: �����, 1949.{ �. 670{688.13. �ã஢ �. �. � ¤¢¨¦¥¨¨ ¤¢ãå ¯ã«ìá¨àãîé¨å è -஢ ¢ ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠// �§¢.�� ����. ���.{ 1983.{ N 3.{ �. 159{162.14. �㧥殢 �. �., �¥ª¨ �. �. �¨ ¬¨ª ¯ã§ëàì-ª ¢¡«¨§¨ áä¥à¨ç¥áª®£® ¨§«ãç ⥫ï // �ªãáâ. ¦.{1976.{ 22, N 6.{ �. 899{905.15. Blake J. R., Robinson P. B., Shima A., Tomita Y.Interaction of two cavitation bubbles with a rigidboundary // J. Fluid Mech.{ 1993.{ 255.{ P. 707{721.16. �㪠�. �. �®§¤¥©á⢨¥ §¢ãª®¢®© ¢®«ë á¨áâ¥-¬ã ¤¢ãå áä¥à¨ç¥áª¨å ⥫ ¢ ¨¤¥ «ì®© ¦¨¤ª®á⨠//�ਪ«. ¬¥å.{ 1990.{ 26, N 5.{ �. 81{89.17. �㪠�. �.�áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ªãáâ¨ç¥áª®©¢®«ë á¨á⥬㠤¢ãå áä¥à ¢ ¢ï§ª®© ¦¨¤ª®á⨠//�ਪ«. ¬¥å.{ 1994.{ 30, N 2.{ �. 33{40.18. Gaunaurd G. C., Huang H., Strifors H. C. Acous-tic scattering by a pair of spheres // J. Acoust.Soc. Amer.{ 1995.{ 98, N 1.{ P. 495{507.58 �. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1999. �®¬ 2, N 3. �. 49 { 5919. �¨¬ �. �®¡áâ¢¥ë¥ ç áâ®âë ª®«¥¡ ¨© ¤¢ãåáä¥à¨ç¥áª¨å ¯ã§ëà쪮¢ ¢ ¢®¤¥ // �à. �¬¥à. �¡é.¨¦¥¥à®¢-¬¥å ¨ª®¢. �¥®à. ®á. ¨¦. à áç¥â®¢.�¥à. �.{ 1971.{ N 3.{ �. 80{85.20. �¥¡¥¤¥¢ �. �., �¨«ìª® �. �. � áá¥ï¨¥ ¯«®áª®© ¢®«-ë ¤¢ãå ã¯à㣨å è à å ¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ®¡®«®ç-ª å // �ªãáâ. ¦.{ 1997.{ 43, N 4.{ �. 521{530.21. �ã§ì �. �., �ã¡¥ª® �. �., � ¡ ¥¢ �. �. �̈ ¤à®ã¯àã-£®áâì á¨á⥬ ®¡®«®ç¥ª.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1984.{208 á.22. �à¨ç¥ª® �. �., �¥«¥èª® �. �. � ମ¨ç¥áª¨¥ ª®-«¥¡ ¨ï ¨ ¢®«ë ¢ ã¯à㣨å ⥫ å.{ �.: � ãª. ¤ã¬-ª , 1981.{ 284 á.23. �¨ª¨è¥¢ �. �., �⮫¡¥æ®¢ �. �. � ª®«¥¡ ¨ïå⥫ ¢ ®£à ¨ç¥®¬ ®¡ê¥¬¥ ¢ï§ª®© ¦¨¤ª®á⨠//�§¢. �� ����. ���.{ 1983.{ N 1.{ �. 22{30.24. �®àª¨ �. �. �¥à⨪ «ìë© ã¤ à ¯® ⢥म¬ã⥫ã, ¯« ¢ î饬㠯®¢¥àå®áâ¨ á«®ï ¨¤¥ «ì-®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠ª®¥ç®© £«ã¡¨ë //�§¢. ���. ���.{ 1999.{ N 1.{ �. 74{81.25. �®ªãç ¥¢ �. �. �®§¡ã¦¤¥¨¥ §¢ãª ¢ âàã¡¥ ¨¬-¯ã«ìáë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ // �ªãáâ. ¦.{ 1997.{ 43,N 5.{ �. 642{647.26. �®®¢ �. �., � ªá¨¬®¢ �. �. � ¢®§¡ã¦¤¥¨¨£¨¤à®¢®«ë ¢ ᪢ ¦¨¥ ¢¥è¨¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ //�ªãáâ. ¦.{ 1999.{ 45, N 3.{ �. 354{362.27. Kuzma A. V. The behavior of a gas bubble-cluster invertically vibrating incompressible liquid column //Thesis of 10-th Int. conf. \Modelling and investiga-tion of systems stability". Mechanical Systems.{
Kiev: Kiev University, Institute of Cybernetic of NASf Ukraine, 1999.{ P. 96.28. �ã¡¥ª® �. �., �ã§ì¬ �. �. �§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¢ãå¯ã«ìá¨àãîé¨å áä¥à ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®«®á⨠á¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî // �ਪ«. ¬¥å.{ 1990.{26, N 5.{ �. 81{89.29. �ã¡¥ª® �. �. � ª®«¥¡ ¨ïå á⮫¡ ¦¨¤ª®á⨠¢¦¥á⪮¬ 樫¨¤à¨ç¥áª®¬ á®á㤥 ¯à¨ ¢®§¡ã¦¤¥¨¨¯ã«ìá¨àãî饩 áä¥à®© // �ਪ«. ¬¥å.{ 1987.{ 23,N 4.{ �. 119{122.30. �à®ä¥¥ª® �. �. �¢ï§ì ¬¥¦¤ã ®á®¢ë¬¨ à¥è¥-¨ï¬¨ ¢ 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ¨ áä¥à¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨- â å ãà ¢¥¨© � ¯« á ¨ �¥«ì¬£®«ìæ // �§¢.�� ����. �¥à. �¨§.-¬ â. 㪨.{ 1972.{ N 4.{�. 42{46.31. �¨â⥪¥à �. �., � âá® �¦. �.�ãàá ᮢ६¥®£® «¨§ .{ �. 2.{ �.: �¨§¬ ⣨§, 1963.{ 516 á.32. Ling C. B., Lin I. On evaluation of moments ofK�(t)=I�(t) // Math. comput.{ 1972.{ 26, N 4.{P. 529{537.33. � â®à®¢¨ç �. �., �àë«®¢ �. �. �ਡ«¨¦¥ë¥¬¥â®¤ë ¢ëá襣® «¨§ .{ �.-�.: �¨§¬ ⣨§,1962.{ 708 á.34. �¥«®¬¥© �. �. � à ¤®ªáë ¢ ¬¥å ¨ª¥, ¢ë§ë¢ ¥¬ë¥¢¨¡à æ¨ï¬¨ // �®ª«. �� ����.{ 1983.{ 270, N 1.{�. 62{67.35. �ãçª �. �., �®«®¯®¢ �. �. �¨ ¬¨ª £ §®¢ëå¯ã§ëà쪮¢ ¢¡«¨§¨ 樫¨¤à¨ç¥áª®£® ¨§«ãç ⥫ï //�ਪ«. ¬¥å.{ 1993.{ 29, N 12.{ �. 59{65.
�. �. �ã¡¥ª®, �. �. �ã§ì¬ 59
|