Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости
Рассмотрена плоская задача вертикального удара твердого параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкости, когда ось симметрии контура цилиндра не совпадает с нормалью в точке его касания невозмущенной поверхности жидкости. На основе методов интегральных преобразований Лапласа по времени, ра...
Saved in:
| Date: | 2000 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1153 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкости / В. В. Гавриленко // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 1. — С. 10-22 — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859687084500975616 |
|---|---|
| author | Гавриленко, В.В. |
| author_facet | Гавриленко, В.В. |
| citation_txt | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкости / В. В. Гавриленко // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 1. — С. 10-22 — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена плоская задача вертикального удара твердого параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкости, когда ось симметрии контура цилиндра не совпадает с нормалью в точке его касания невозмущенной поверхности жидкости. На основе методов интегральных преобразований Лапласа по времени, разделения переменных, теоремы о свертке оригиналов двух функций, разложения в ряды Фурье по полной тригонометрической системе функций, решение нестационарной смешанной краевой задачи механики сплошной среды с наперед неизвестной изменяющейся границей сводится к решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения гидродинамического давления в ряд Фурье. В численном примере для погружающихся параболических цилиндров с различными массами и начальными углами асимметрии приведены зависимости от времени гидродинамической силы, момента реакции, угла асимметрии, границ области контакта, а также распределение гидродинамического давления по смоченной поверхности тела.
Розглянуто плоску задачу вертикального удару твердого параболічного циліндра об поверхню стисливої рідини, якщо вісь симетрії контура циліндра не співпадає з нормаллю в точці його дотику незбуреної поверхні рідини. На основі методів інтегральних перетворень Лапласа по часу, розділення змінних, теореми про згортку оригіналів двох функцій, розкладу в ряди Фур'є за повною тригонометричною системою функцій, розв'язок нестаціонарної змішаної крайової задачі механіки суцільного середовища з наперед невідомою змінною границею зведено до розв'язку нескінченої системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є. У чисельному прикладі для параболічних циліндрів, що занурюються, з різними масами і початковими кутами асиметрії наведено залежності від часу гідродинамічної сили, момента реакції, кута асиметрії, границь області контакту, а також розподіл гідродинамічного тиску на змоченій поверхні тіла.
A plane problem on vertical collision with the surface of a compressible fluid, is considered for case of rigid parabolic cylinder when the axis of its symmetry does not coincide with a normal line in a point of its tangency by unperturbed surface of a fluid. On basis of methods of Laplace integral transforms with respect to time, separation of variables, theorem about convolution of originals of two functions, decomposition in a Fourier series with respect to the complete trigonometric system of functions, the solution of a non-stationary mixed boundary problem of continuum mechanics with beforehand unknown varying boundary is reduced to the solution of infinite system of linear integral Volterra's equations of the second kind with respect to coefficients of decomposition of hydrodynamic pressure in a Fourier series. In the numerical example for submerging parabolic cylinders with different masses and initial angles of asymmetry there are given the time dependences of a hydrodynamic force, moment of response, angle of asymmetry, boundaries of the contact area, and also the distribution of hydrodynamic pressure on a wetted surface of body.
|
| first_indexed | 2025-11-30T22:39:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22��� 533.6.013.42������������ ������������������ ��������������� ��������� ����������� ������������������. �. �����������ªà ¨áª¨© âà ᯮàâë© ã¨¢¥àá¨â¥â, �¨¥¢�®«ã祮 5.01.2000 � �¥à¥á¬®â८ 26.01.2000� áᬮâॠ¯«®áª ï § ¤ ç ¢¥à⨪ «ì®£® 㤠à ⢥म£® ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ® ¯®¢¥àå®áâì ᦨ¬ ¥¬®©¦¨¤ª®áâ¨, ª®£¤ ®áì ᨬ¬¥âਨ ª®âãà 樫¨¤à ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ®à¬ «ìî ¢ â®çª¥ ¥£® ª á ¨ï ¥¢®§¬ã饮©¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨. � ®á®¢¥ ¬¥â®¤®¢ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© � ¯« á ¯® ¢à¥¬¥¨, à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥-¬¥ëå, â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ ®à¨£¨ «®¢ ¤¢ãå äãªæ¨©, à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ë �ãàì¥ ¯® ¯®«®© âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®©á¨á⥬¥ äãªæ¨©, à¥è¥¨¥ ¥áâ 樮 ன á¬¥è ®© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¬¥å ¨ª¨ ᯫ®è®© á।ë á ¯¥à¥¤ ¥-¨§¢¥á⮩ ¨§¬¥ïî饩áï £à ¨æ¥© ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©�®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ®â®á¨â¥«ì® ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï ¢ àï¤ �ãàì¥. �ç¨á«¥®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¤«ï ¯®£à㦠îé¨åáï ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å 樫¨¤à®¢ á à §«¨ç묨 ¬ áá ¬¨ ¨ ç «ì묨 㣫 ¬¨ ᨬ¬¥âਨ ¯à¨¢¥¤¥ë § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ᨫë, ¬®¬¥â ॠªæ¨¨, 㣫 ᨬ¬¥âਨ, £à -¨æ ®¡« á⨠ª®â ªâ , â ª¦¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï ¯® ᬮ祮© ¯®¢¥àå®á⨠⥫ .�®§£«ïãâ® ¯«®áªã § ¤ çã ¢¥à⨪ «ì®£® 㤠àã ⢥म£® ¯ à ¡®«÷箣® 樫÷¤à ®¡ ¯®¢¥àåî áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨¨,ïªé® ¢÷áì ᨬ¥âà÷ù ª®âãà 樫÷¤à ¥ á¯÷¢¯ ¤ õ § ®à¬ ««î ¢ â®çæ÷ ©®£® ¤®â¨ªã ¥§¡ã८ù ¯®¢¥àå÷ à÷¤¨¨. � ®á®¢÷ ¬¥â®¤÷¢ ÷â¥£à «ì¨å ¯¥à¥â¢®à¥ì � ¯« á ¯® ç áã, ஧¤÷«¥ï §¬÷¨å, ⥮६¨ ¯à® §£®àâªã ®à¨£÷ «÷¢ ¤¢®åäãªæ÷©, ஧ª« ¤ã ¢ à廊 �ãà'õ § ¯®¢®î âਣ®®¬¥âà¨ç®î á¨á⥬®î äãªæ÷©, ஧¢'燐ª ¥áâ æ÷® à®ù §¬÷è -®ù ªà ©®¢®ù § ¤ ç÷ ¬¥å ÷ª¨ áãæ÷«ì®£® á¥à¥¤®¢¨é § ¯¥à¥¤ ¥¢÷¤®¬®î §¬÷®î £à ¨æ¥î §¢¥¤¥® ¤® ஧¢'離ã¥áª÷祮ù á¨á⥬¨ «÷÷©¨å ÷â¥£à «ì¨å à÷¢ïì �®«ìâ¥àà ¤à㣮£® த㠢÷¤®á® ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢ ஧ª« ¤ã £÷¤à®-¤¨ ¬÷箣® â¨áªã ¢ àï¤ �ãà'õ. � ç¨á¥«ì®¬ã ¯à¨ª« ¤÷ ¤«ï ¯ à ¡®«÷ç¨å 樫÷¤à÷¢, é® § ãàîîâìáï, § à÷§¨¬¨¬ á ¬¨ ÷ ¯®ç ⪮¢¨¬¨ ªãâ ¬¨ ᨬ¥âà÷ù ¢¥¤¥® § «¥¦®áâ÷ ¢÷¤ ç áã £÷¤à®¤¨ ¬÷ç®ù ᨫ¨, ¬®¬¥â ॠªæ÷ù, ªãâ ᨬ¥âà÷ù, £à ¨æì ®¡« áâ÷ ª®â ªâã, â ª®¦ ஧¯®¤÷« £÷¤à®¤¨ ¬÷箣® â¨áªã §¬®ç¥÷© ¯®¢¥àå÷ â÷« .A plane problem on vertical collision with the surface of a compressible
uid, is considered for case of rigid paraboliccylinder when the axis of its symmetry does not coincide with a normal line in a point of its tangency by unperturbedsurface of a
uid. On basis of methods of Laplace integral transforms with respect to time, separation of variables,theorem about convolution of originals of two functions, decomposition in a Fourier series with respect to the completetrigonometric system of functions, the solution of a non-stationary mixed boundary problem of continuum mechanics withbeforehand unknown varying boundary is reduced to the solution of in�nite system of linear integral Volterra's equationsof the second kind with respect to coe�cients of decomposition of hydrodynamic pressure in a Fourier series. In thenumerical example for submerging parabolic cylinders with di�erent masses and initial angles of asymmetry there aregiven the time dependences of a hydrodynamic force, moment of response, angle of asymmetry, boundaries of the contactarea, and also the distribution of hydrodynamic pressure on a wetted surface of body.��������� ¤ ®© áâ âì¥ à¥è¥ ¯«®áª ï ¥á¨¬¬¥âà¨ç- ï § ¤ ç ¢¥à⨪ «ì®£® ã¤ à ® ¯®¢¥àå®áâìᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¡¥áª®¥ç®© £«ã¡¨ë ⢥à-¤®£® ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ ®áì ᨬ¬¥âਨ ¯ à ¡®«ë ¢ ¯®¯¥à¥ç®¬ á¥ç¥¨¨æ¨«¨¤à ª«®¥ ª ¥¢®§¬ã饮© ¯®¢¥àå®-á⨠¦¨¤ª®áâ¨. �।¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯®¢¥àå®áâì⥫ ¤«ï ¦¨¤ª®á⨠ï¥âáï ¥¯à®¨æ ¥¬®©, ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¤ ¢«¥¨¥ ¯®áâ®-ï®. �¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ¢®«®¢ë¬ãà ¢¥¨¥¬.� à ¡®â¥ ¯®«ã稫 ¤ «ì¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥ ç¨á«¥-®- «¨â¨ç¥áª¨© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï § ¤ ç ã¤ à ¨¯à®¨ª ¨ï § â㯫¥ëå ⢥à¤ëå ¨ ¤¥ä®à¬¨àã¥-¬ëå ⥫ ¢ ᦨ¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì [1]. � ¤ ç¨ ¯à®¨-ª ¨ï ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¥áâ -樮 àë¥ á¬¥è ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ¬¥å ¨ª¨á¯«®è®© á।ë á ¤¢¨¦ã饩áï ¥¨§¢¥á⮩ £à -
¨æ¥©. �¥â®¤ ¯®§¢®«ï¥â ᢥá⨠à¥è¥¨¥ â ª¨å§ ¤ ç, ¨á¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ë ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à -§®¢ ¨© � ¯« á ¯® ¢à¥¬¥¨, à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥-ëå, ⥮६㠮 ᢥà⪥ ®à¨£¨ «®¢ ¤¢ãå äãªæ¨©,à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ë�ãàì¥ ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á¨-á⥬¥ ®à⮣® «ìëå äãªæ¨©, ª à¥è¥¨î ¡¥áª®-¥ç®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥-¨© �®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ®â®á¨â¥«ì® ª®íä-ä¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥-¨ï ¢ àï¤ �ãàì¥.� ¯®¬®éìî ¤ ®£® ¬¥â®¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, à¥è¥-ë:� ¯«®áª¨¥ § ¤ ç¨ ¯à®¨ª ¨ï ⢥à¤ëå § âã¯-«¥ëå ⥫ [2 { 5], ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ᨬ¬¥âà¨ç®-£® á«ãç ï { ¢ [2, 3], ¤«ï ¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® á«ã-ç ï { ¢ [4,5] (¢ [4] à áᬮâॠ¯à®¨ª î騩¢ ¦¨¤ª®áâì â㯮© ¥á¨¬¬¥âà¨çë© ª«¨ ª®-¥ç®© ¬ ááë, ¢ [5] { ªà㣮¢®© 樫¨¤à á®á¬¥é¥ë¬ æ¥â஬ ¬ áá);10 c
�. �. � ¢à¨«¥ª®, 2000
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22� ¯«®áª ï ᨬ¬¥âà¨ç ï § ¤ ç ¯à®¨ª ¨ï⮪¨å ã¯àã£¨å ªà㣮¢ëå 樫¨¤à¨ç¥áª¨å®¡®«®ç¥ª [6 { 8];� ®á¥á¨¬¬¥âà¨çë¥ § ¤ ç¨ ¯à®¨ª ¨ï ⢥à-¤ëå ⥫ [9,10] ¨ ⮪¨å ã¯à㣨å áä¥à¨ç¥áª¨å®¡®«®ç¥ª [11{ 13].�¥â®¤ ¯®§¢®«ï¥â ãç¥áâì àï¤ ä ªâ®à®¢, ᮯãâ-áâ¢ãîé¨å ¯à®æ¥áá㠯நª ¨ï, ¨¬¥®:� ¢áâà¥ç®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-á⨠¦¨¤ª®á⨠¢¡«¨§¨ ¯à®¨ª î饣® â¥-« [8, 1013];� ¢®§¬®¦®¥ àã襨¥ ¥à §à뢮á⨠ª®â ª-â ¦¨¤ª®á⨠á ⥫®¬ ¢ ¯à¥¤¥« å ¥£® ᬮ祮©¯®¢¥àå®á⨠[2, 3, 6].�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® á।¨ ¥¬®£®ç¨á«¥ëåà ¡®â, ¯®á¢ïé¥ëå ¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ã ¯à®¨ª -¨î ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì, «¨èì ¢ ¬®®£à ä¨ïå [14,15]à áᬠâਢ ¥âáï ¢¥à⨪ «ìë© ã¤ à ® ¦¨¤ª®áâì⥫ á ¥á¨¬¬¥âà¨çë¬ ª®âã஬, ¯à¨ç¥¬ ¢ ¨å¯à¨¢¥¤¥® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¯à®¨ª ¨ï ¤«ï ⥫ ¯à®á⮩ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬ë (â㯮£® ª«¨ ) ᯮáâ®ï®© ᪮à®áâìî ¯à®¨ª ¨ï, â. ¥. ¡¥§ ãç¥-â ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ⥫ ®ª®«® ¥£® æ¥âà ¬ áá.� ¤ ®© à ¡®â¥ ¯®«ã祮 à¥è¥¨¥ ¥á¨¬¬¥-âà¨ç®© § ¤ ç¨ ¢¥à⨪ «ì®£® ã¤ à ® ¦¨¤ª®áâ줫ï ⥫ ¡®«¥¥ á«®¦®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬ë(¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ), ¯à¨ç¥¬ ¨á¯®«ì§ã¥-¬ë© ¬¥â®¤ ¯®§¢®«ï¥â ãç¥áâì ¢«¨ï¨¥ 室 ¯à®-æ¥áá ¯à®¨ª ¨ï á«¥¤ãîé¨å ä ªâ®à®¢:� ¨§¬¥ï¥¬®á⨠᪮à®á⨠¯à®¨ª ¨ï ¤«ï ⥫ª®¥ç®© ¬ ááë (¯à¥¤¥«ìë© á«ãç © ¯à®¨-ª ¨ï á ¯®áâ®ï®© ᪮à®áâìî ᮮ⢥âáâ¢ã¥â¯à®¨ª ¨î ⥫ ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 ¬ ááë);� ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ª®âãà ⥫ ¢®ªàã£á¢®¥£® æ¥âà ¬ áá;� ¥á¨¬¬¥âà¨ç®á⨠ª®â ªâ¨àãî饣® á ¦¨¤-ª®áâìî ª®âãà ⥫ , ¯à¨ç¥¬ ¢á«¥¤á⢨¥ ¢à -饨ï ⥫ ä®à¬ ª®âãà , ¢áâ㯨¢è¥£® ¢ª®â ªâ á ¦¨¤ª®áâìî, ¢ ¯à®æ¥áᥠ¯à®¨ª ¨ï¨§¬¥ï¥âáï.� áᬠâਢ ¥¬ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ï¥âáï ¢ ®¡-饬 á«ãç ¥ ¥«¨¥©®©, â ª ª ª ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¢ª ¦¤ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ £à ¨æë ®¡« á⨠ª®â ª-â ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî § ¢¨áïâ ®â ¨â¥£à «ìëå å -à ªâ¥à¨á⨪ (ᨫë ॠªæ¨¨ á® áâ®à®ë ¦¨¤ª®á⨨ ¬®¬¥â ॠªæ¨¨ ¢¥è¨å ᨫ), ®¨ á«®¦ë¬
äãªæ¨® «ìë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§ ¨á-ª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë. � à ¡®â¥ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ 㤠-à ¨ ¯à®¨ª ¨ï ¥á¨¬¬¥âà¨çëå ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì ¨¡®«¥¥ ¨ä®à¬ ⨢묨 ¨ § 稬묨 å à ª-â¥à¨á⨪ ¬¨ ¯à®æ¥áá 﫨áì à á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï ¯® ®¡« á⨠ª®â ªâ ,¢à¥¬¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© á¨«ë¨ ¬®¬¥â ॠªæ¨¨, â ª¦¥ ¢à¥¬¥ë¥ § ¢¨á¨¬®-á⨠᪮à®á⨠¯à®¨ª ¨ï, 㣫 ᨬ¬¥âਨ, £à -¨æ ®¡« á⨠ª®â ªâ .� âà®ãâ ï ¢ à ¡®â¥ ¯à®¡«¥¬ 㤠ண® ¢§ ¨-¬®¤¥©á⢨ï ⢥à¤ëå ¨ ã¯à㣨å ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ®áâ ¥âáï ªâ㠫쮩 ¢ á¢ï§¨á ¯®âॡ®áâìî ¢ ¨áá«¥¤®¢ ¨ïå ¯® ¯à®¨ª ¨î¢ á㤮áâ஥¨¨ (§ ¤ ç á«¥¬¬¨£ ¢ë᮪®áª®à®áâ-ëå á㤮¢), ¢ ᮢ६¥®¬ ¬ 訮áâ஥¨¨, ¯à¨¨§ã票¨ ¯à¨¢®¤¥¨ï «¥â ⥫ìëå ¯¯ à ⮢.1. ���������� �������¢¥à¤ë© ¡¥áª®¥ç®-¯à®âï¦¥ë© ¯ à ¡®«¨ç¥-᪨© 樫¨¤à, ¤¢¨£ ïáì ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¯®¢¥àå-®á⨠¯®ª®ï饩áï ¦¨¤ª®áâ¨, ¢ ¥ª®â®àë© ¬®¬¥ât=0 ¤®á⨣ ¥â í⮩ ¯®¢¥àå®á⨠¨ ç¨ ¥â ¯®-£à㦠âìáï ¢ ¦¨¤ª®áâì ᮠ᪮à®áâìî v0(t), ¯à¨ç¥¬v0(0)=v0, £¤¥ v0 { ç «ì ï ᪮à®áâì ¯à®¨ª ¨ï.�¨¤ª®áâì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¥¢¥á®¬®©, ¡ à®âய-®©, ¨¤¥ «ì®© ᦨ¬ ¥¬®©. �ç¨â ¥¬, çâ® ®¡à -§ãîé ï ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¢ ¯à®æ¥áᥠ¢§ ¨¬®-¤¥©á⢨ï ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî ®áâ ¥âáï ¯ à ««¥«ì®©¯¥à¢® ç «ì® ¥¢®§¬ã饮© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤-ª®áâ¨. �®âãà 樫¨¤à ¢ ¥£® ¯®¯¥à¥ç®¬ á¥ç¥-¨¨, ïî騩áï ª¢ ¤à â¨ç®© ¯ à ¡®«®©, áç¨â -¥¬ ¥á¨¬¬¥âà¨çë¬ ®â®á¨â¥«ì® ®à¬ «¨ ¢ â®ç-ª¥ ¥£® ª á ¨ï ¥¢®§¬ã饮© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®-áâ¨. �á«¥¤á⢨¥ í⮣® ®¡â¥ª ¨¥ 樫¨¤à ¦¨¤ª®-áâìî ¯à¨ ¯®£à㦥¨¨ ®á¨â ¥á¨¬¬¥âà¨çë© å -à ªâ¥à, ¥£® ¤¢¨¦¥¨¥ ¡ã¤¥â á®áâ®ïâì ¨§ ¯®áâã-¯ ⥫쮣® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¢¬¥á⥠á æ¥â஬ ¬ áá ¨¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ®ª®«® æ¥âà ¬ áá.�¢¥¤¥¬ ¢ ¯®«ã¯à®áâà á⢥, § ¨¬ ¥¬®¬ ¦¨¤-ª®áâìî, ¤¥ª à⮢㠯àאַ㣮«ìãî á¨á⥬㠪®®à-¤¨ â Oxyz: ®á¨ Ox ¨ Oy ¯à ¢¨¬ ¯® ¥¢®§¬ã-饮© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨, ¯à¨ç¥¬ ®áì Oy {¯ à ««¥«ì® ®¡à §ãî饩 ¯®¢¥àå®á⨠⥫ , ®áìOz { ¢ £«ã¡ì ¦¨¤ª®áâ¨. �ਠí⮬ ¥¢®§¬ãé¥- ï ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠ᮢ¯ ¤¥â á ¯«®áª®áâìîz=0. � ᨫã à ¢®¯à ¢®á⨠¢á¥å ¯®¯¥à¥çëå á¥-票© á¨á⥬ë \樫¨¤à {¦¨¤ª®áâì" ®£à ¨ç¨¢ -¥¬áï à áᬮâ२¥¬ ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ®¤®¬ ¨§ á¥ç¥-¨© { ¢ ¯«®áª®á⨠xOz.� ¤ ç à¥è ¥âáï á ãç¥â®¬ ¨§¬¥ïî饩áï ᪮à®-á⨠¯à®¨ª ¨ï ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì-¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯à®¨ª î騥 ⥫ �. �. � ¢à¨«¥ª® 11
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22
�¨á. 1. �奬 ¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ã¤ à ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ® ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨪®¥ç®© ¯®£®®© ¬ ááë. � á¢ï§¨ á í⨬ ®£à ¨-稬 樫¨¤à ᢥàåã ¯«®áª¨¬ ®á®¢ ¨¥¬, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïàë¬ ª ®á¨ ᨬ¬¥âਨ ª®âãà 樫¨¤à .�®£¤ á¥ç¥¨¥¬ ¯®£à㦠î饣®áï ¢ ¦¨¤ª®áâì ¯ à -¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¢ ¯«®áª®á⨠xOz ¡ã¤¥â ¯ -à ¡®«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â. �ᮢ ¨¥ 樫¨¤à ¯®¤-¡¨à ¥¬ ¨áå®¤ï ¨§ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¤ ®©¯ à ¡®«ë ¨ ¯®£®®© ¯«®â®á⨠¬ â¥à¨ « 樫¨-¤à .�।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®£® ï ¯«®â®áâì ¬ â¥à¨- « 樫¨¤à ¥áâì äãªæ¨ï ª®®à¤¨ â ¯®¯¥à¥ç®-£® ¥£® á¥ç¥¨ï, ᨬ¬¥âà¨ç ï ®â®á¨â¥«ì® ®á¨á¨¬¬¥âਨ ¯ à ¡®«ë. �®£¤ æ¥âà ¬ áá O0 ¯®-¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï 樫¨¤à ¡ã¤¥â 室¨âìáï í⮩ ®á¨. �¢ï¦¥¬ ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â á ¯®-¤¢¨¦®© ¤¥ª à⮢®© ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬®© ª®-®à¤¨ â O0x0z0: à ᯮ«®¦¨¬ O0 ®á¨ Oz, à á-áâ®ï¨¨ r ®â ¢¥àè¨ë ¯ à ¡®«ë, ®áì O0x0 ¯à -¢¨¬ ¯ à ««¥«ì® ®á®¢ ¨î ᥣ¬¥â , ®áì O0z0 {¯® ®á¨ ᨬ¬¥âਨ ¯ à ¡®«ë (à¨á. 1).� ¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O0x0z0 ¯ à ¡®-«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â ®£à ¨ç¥ ¯ à ¡®«®© ¨ ¯àאַ-«¨¥©ë¬ ®á®¢ ¨¥¬, ãà ¢¥¨ï ª®â®àëå ¡ã¤ã⨬¥âì ¢¨¤ z0 = r � (x0)22q ; z0 = �r0ᮮ⢥âá⢥®. �¤¥áì q { à ¤¨ãá ªà¨¢¨§ë ¤ -®© ¯ à ¡®«ë ¢ ¥¥ ¢¥à訥 (¯à¨ x0=0, z0=r); r0 {à ááâ®ï¨¥ ®á®¢ ¨ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ®â æ¥âà ¬ áá O0.�¡®§ 稬 ç¥à¥§ (t) 㣮« ¬¥¦¤ã ¯®«®¦¨â¥«ì-묨 ¯à ¢«¥¨ï¬¨ ®á¥© Oz ¨ O0z0 ¨ §®¢¥¬ ¥£®ã£«®¬ ᨬ¬¥âਨ, ¯à¨ç¥¬ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â㤠à íâ®â 㣮« à ¢¥ 0, ç «ì ï 㣫®¢ ï ᪮-à®áâì ⥫ à ¢ _ 0. �®£¤ ¢ á¨á⥬¥ Oxz ¤¥ª à-
â®¢ë ª®®à¤¨ âë æ¥âà ¬ áá O0(x0; z0) ¢ ¯à®¨§-¢®«ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã-« ¬ẍ0=0; z0=z�� 2r+q+(2r�q) cos 2 (t)4 cos (t) : (1)�¤¥áì z� { ¯ãâì, ¯à®©¤¥ë© æ¥â஬ ¬ áá § ¢à¥-¬ï t ¯à¨ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¥£® ¤¢¨¦¥¨¨ ¢¥à⨪ «ì-® ¢¨§ ¯® ®á¨ Oz ᮠ᪮à®áâìî v0(t):z� = tZ0 v0(� )d�: (2)� á®®â®è¥¨ïå (1) ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¢ ¯à®-æ¥áᥠ¯à®¨ª ¨ï £®à¨§®â «ì®¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥æ¥âà ¬ áá ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â (¢ ¯à -¢«¥¨¨ ®á¨ Ox) ¡ã¤¥â ¯à¥¥¡à¥¦¨¬® ¬ «®, ¨, á«¥-¤®¢ ⥫ì®, ¬®¦® à áᬠâਢ âì ¯®áâ㯠⥫ì-®¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ ᥣ¬¥â ¢¬¥á⥠á æ¥â஬ ¬ áá⮫쪮 ª ª ¢¥à⨪ «ì®¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ ¢ £«ã¡ì¦¨¤ª®áâ¨. � ª®¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ¬®¦® ®¡®á®-¢ âì á«¥¤ãî騬¨ á®®¡à ¦¥¨ï¬¨:� à áᬠâਢ ¥âáï à ¨© íâ ¯ ¯à®æ¥áá ¯à®-¨ª ¨ï ¢ ¦¨¤ª®áâì ⥫, ᬮç¥ë¥ ¯®¢¥àå-®á⨠ª®â®àëå á¨«ì® § â㯫¥ë, £«ã¡¨ë¯à®¨ª ¨ï ¬ «ë;� ¢á«¥¤á⢨¥ á« ¡®© ¨áªà¨¢«¥®á⨠¯®¢¥àå®-á⨠⥫ ¢ ¯à¥¤¥« å ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯à®¥ª-樨 ¤ ¢«¥¨ï ®áì Ox ¬ «ë;� ¯®áª®«ìªã ¢ ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáאַ¤¥«ì ¨¤¥ «ì®© ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠(âà¥-¨¥ ¬¥¦¤ã ⥫®¬ ¨ ¦¨¤ª®áâìî ®âáãâáâ¢ã-¥â), â® ¢ëè¥ãª § ë¥ ¯à®¥ªæ¨¨ ¤ ¢«¥¨ï ¥®¡ãá« ¢«¨¢ îâ ¯®áâ㯠⥫쮣® ¯¥à¥¬¥é¥¨ïᥣ¬¥â ¢¬¥á⥠á æ¥â஬ ¬ áá ¢ ¯à ¢«¥-¨¨ ®á¨ Ox.�à ¨æë ®¡« á⨠ª®â ªâ ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî ¢¯à®¨§¢®«ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï â®ç-ª ¬¨ x�1 ¨ x�2 ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¥£® ª®âãà , â. ¥. ¯ à -¡®«ë, á ®áìî Ox ¯® ä®à¬ã« ¬x�1 = �B �pD2A ; x�2 = �B +pD2A ; (3)£¤¥ D=B2 � 4AQ;A = cos2 (t);B = �2 sin (t) (z0 cos (t) + q) ;Q=z20 sin2 (t) � 2q (z0 cos (t) + r) :12 �. �. � ¢à¨«¥ª®
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22�áá«¥¤ã¥âáï à ¨© íâ ¯ ¯à®æ¥áá 㤠ண® ¢§ -¨¬®¤¥©á⢨ï ⢥म£® ⥫ á ªãáâ¨ç¥áª®© áà¥-¤®©, ®â¢¥ç î騩 á«¥¤ãî騬 ®£à ¨ç¥¨ï¬: à á-ᬠâਢ ¥¬ë¥ ᪮à®á⨠¯®£à㦥¨ï ⥫ ¬ «ë ¯®áà ¢¥¨î ᮠ᪮à®áâìî §¢ãª ¢ ¦¨¤ª®á⨠C, â. ¥.v0�C, £«ã¡¨ë ¯®£à㦥¨ï ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì ¬ -«ë ¯® áà ¢¥¨î á ¥£® «¨¥©ë¬¨ à §¬¥à ¬¨, â. ¥.z��R, £¤¥ R { å à ªâ¥àë© «¨¥©ë© à §¬¥à ¯®-¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï 樫¨¤à , ¢ ª ç¥á⢥ ª®â®à®-£® ¢§ïâ à ¤¨ãá ªà¨¢¨§ë ¯ à ¡®«ë ¢ ¥¥ ¢¥à訥,(R=q).� â㯫¥®áâì ⥫ ¨ ¬ «ë¥ £«ã¡¨ë ¯®£à㦥-¨ï ¤ îâ ¢®§¬®¦®áâì ®â®¦¤¥á⢨âì «¨¥©ë¥ª®®à¤¨ âë ¢¤®«ì ¯®¢¥àå®á⥩ ¦¨¤ª®á⨠¨ ⥫ ,«¨¥ ਧ®¢ âì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¨ á¥á⨠¨å ¥¢®§¬ãé¥ãî ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠z=0.�¢¥¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥�t = CtR ; �x = xR ; �z = zR ;�V = VC ; �' = 'CR ; �p = p�C2 ;�F = F�C2R ; �M = M�C2R2 ; (4)£¤¥ � { ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®áâ¨, p { ¤ ¢«¥¨¥, V { ᪮-à®áâì, F { ᨫ ॠªæ¨¨ ¦¨¤ª®áâ¨, M { ¬®¬¥âॠªæ¨¨ ¢¥è¨å ᨫ, ' { ¢®«®¢®© ¯®â¥æ¨ «.� ª ª ª ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ⮫ì-ª® ¡¥§à §¬¥àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, ç¥àâ®çª ¤ ¨¬¨®¯ã᪠¥âáï.�¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠®¯¨áë¢ ¥âáï ¢®«®¢ë¬ãà ¢¥¨¥¬ @2'@x2 + @2'@z2 � @2'@t2 = 0: (5)�ª®à®áâì ¤¥ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨V (t; x) ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ p(t; x) á¢ï-§ ë á ¢®«®¢ë¬ ¯®â¥æ¨ «®¬ ' á®®â®è¥¨ï¬¨V (t; x) = @'@z ����z=0 ; (6)p(t; x) = � @'@t ����z=0 : (7)�ä®à¬ã«¨à㥬 £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï. �®¢¥àå-®áâì ⥫ ¢ ¯à¥¤¥« å ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯à¥¤¯®-« £ ¥âáï ¥¯à®¨æ ¥¬®© ¤«ï ¦¨¤ª®áâ¨:@'@z ����z=0 = v0(t); x�1 < x < x�2: (8)� ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¤®«¦® ¢ë-¯®«ïâìáï ¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥: ¤ ¢«¥¨¥ ¥©
¯®áâ®ï® ¨ ¡¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠áç¨â ¥¬¥£® à ¢ë¬ ã«î:�@'@t ����z=0 = 0; (x < x�1)S(x > x�2): (9)� ¡¥áª®¥ç®á⨠¦¨¤ª®áâì 室¨âáï ¢ á®áâ®ï-¨¨ ¯®ª®ï: '! 0; x2 + z2 !1; (10)� ª ª ª ¤® ç « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⥫ á ¦¨¤ª®-áâìî ¯®á«¥¤ïï ¯®ª®¨« áì, â® ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ã«¥¢ë¥ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï:'jt=0 = @'@t ����t=0 = 0: (11)�ਠ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ á ¦¨¤ª®áâìî ⥫® ®áãé¥-á⢫ï¥â ¤¢¨¦¥¨¥, á®áâ®ï饥 ¨§ ¯®áâ㯠⥫쮣®¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¢¬¥á⥠á æ¥â஬ ¬ áá ¨ ¢à 饨ﮪ®«® æ¥âà ¬ áá. �¡®á®¢ ¨ï á®®â®è¥¨© (1)¯®§¢®«ïîâ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¥¥¡à¥çì â £¥æ¨ «ì-묨 ¯¥à¥¬¥é¥¨ï¬¨ æ¥âà ¬ áá ¨ à áᬠâà¨-¢ âì ¯®áâ㯠⥫쮥 ¯¥à¥¬¥é¥¨¥ ⥫ «¨èì ª ª¥£® ¢¥à⨪ «ì®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¢£«ã¡ì ¦¨¤ª®áâ¨. �¥à-⨪ «ì®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ⥫ ¢ ¦¨¤ª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáïᮣ« á® ¢â®à®£® § ª® �ìîâ® � _v0(t) = �F (t); v0(0) = v0; (12)£¤¥ � { ¯®£® ï ¬ áá ⥫ , ®â¥á¥ ï ª �R2;F (t) { £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï¯à®¨ª ¨î ⥫ á® áâ®à®ë ¦¨¤ª®áâ¨, ª®â®à ï¢ «¨¥ ਧ®¢ ®¬ ¢¨¤¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¨â¥-£à « ®â ¤ ¢«¥¨ï, à á¯à¥¤¥«¥®£® ¯® ᬮ祮©¯®¢¥àå®á⨠⥫ :F (t) = x�2Zx�1 p(t; x)dx: (13)�à é ⥫쮥 ¤¢¨¦¥¨¥ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥-â ¢®ªà㣠¥£® æ¥âà ¬ áá ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨-¥¬I0 � (t) = �M (t); (0) = 0; _ (0) = _ 0; (14)£¤¥ I0 { ¬®¬¥â ¨¥à樨 ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥-â ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà ¬ áá, ®â¥á¥ë© ª �R4;M (t) { ¬®¬¥â ॠªæ¨¨ ¢¥è¨å ᨫ ®â®á¨â¥«ì®æ¥âà ¬ áá, ¢ëç¨á«ï¥¬ë© ¯® ä®à¬ã«¥M (t) = x�2Zx�1 p(t; x)xdx: (15)�. �. � ¢à¨«¥ª® 13
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22�à ¨æë ®¡« á⨠ª®â ªâ x�1, x�2 ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥-¨¨ ¬®¬¥â ॠªæ¨¨ M (t) ¯® ä®à¬ã«¥ (15), ª ª ¨¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ᨫë F (t) ¯®ä®à¬ã«¥ (13), § à ¥¥ ¥¨§¢¥áâë ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï¢ å®¤¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨§ á®®â®è¥¨© (3).�ä®à¬ã«¨à®¢ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ï¥âáï ¢®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥«¨¥©®©, â ª ª ª ¢ á®®â®è¥¨-ïå (13), (15) £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï ᨫ ¨ ¬®¬¥â à¥- ªæ¨¨ á«®¦ë¬ äãªæ¨® «ìë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥-«ïîâáï ç¥à¥§ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë.�¥«ìî à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ï¢«ï¥âáï ®¯à¥-¤¥«¥¨¥ à ¥¬ íâ ¯¥ ¯à®æ¥áá 㤠ண® ¢§ -¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à á ¦¨¤ª®-áâìî ¨á¯ëâë¢ ¥¬ëå ¨¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å -£à㧮ª. �®á«¥¤¨¥ ¤®á⨣ îâ ᢮¨å ¬ ªá¨¬ «ìëå§ ç¥¨© § áâ®«ì ¬ «ë¥ á ç « ã¤ à ¨ ¯®£àã-¦¥¨ï ¢à¥¬¥ë¥ ¨â¥à¢ «ë, ç⮠ᮯãâáâ¢ãî饥¯®£à㦥¨î ¥¨¥ ä®à¬¨à®¢ ¨ï áâàã© ¯®-¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¥ ãᯥ¢ ¥â ¤®áâ â®ç® à §-¢¨âìáï ¨ ¥£® ¢«¨ï¨¥¬ 室 ¯à®æ¥áá ¯à¥¥¡à¥£ -¥¬. �«¥¤ã¥â â ª¦¥ ®áâ ®¢¨âìáï ®æ¥ª¥ ¯à¥¤¥-«®¢ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠¨á¯®«ì§ã¥¬®© ªãáâ¨ç¥áª®© ¬®-¤¥«¨ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¬¥â®¤ � £¥à á¥á¥¨ï «¨¥- ਧ®¢ ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¥¢®§¬ãé¥-ãî ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®áâ¨.�ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ªãáâ¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ ¦¨¤ª®á⨠ª« ¤ë¢ ¥â ®£à ¨ç¥¨¥ ¢¥«¨ç¨ã ᪮à®á⨯®£à㦥¨ï v0(t) { ® ¤®«¦ ¡ëâì § ç¨â¥«ì-® ¬¥ìè¥ áª®à®á⨠§¢ãª ¢ ¦¨¤ª®áâ¨. � áâ -âì¥ [16] ¯®ª § ®, çâ® ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ªãáâ¨-ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¢ ¤¨ ¯ §®¥ ᪮à®á⥩ ¯®-£à㦥¨ï v0(t)�200 ¬/á ¤«ï ¢®¤ë ¯®«ãç¥ë à¥-§ã«ìâ âë, ¡«¨§ª¨¥ ª íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬. � áᬠ-âਢ ¥¬ë¥ ¢ ¤ ®© à ¡®â¥ ᪮à®á⨠¥ ¢ë室ï⧠£à ¨æë í⮣® ¤¨ ¯ §® .�¨¥ ਧ æ¨ï £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¨ á¥á¥¨¥ ¨å,ᮣ« ᮠ⥮ਨ � £¥à , ¥¢®§¬ãé¥ãî ¯®-¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠ª« ¤ë¢ ¥â ®£à ¨ç¥¨¥ £«ã¡¨ã ¯®£à㦥¨ï z� ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, 㣫묥¦¤ã ª á ⥫쮩 ª ¯®¢¥àå®á⨠樫¨¤à ¨ ¥-¢®§¬ã饮© ¯®¢¥àå®áâìî ¦¨¤ª®áâ¨. � ¬®®£à -ä¨ïå [17, 18] ®â¬¥ç ¥âáï, çâ® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ â¥-®à¨¨ � £¥à ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¯à®æ¥áá ¯®£àã-¦¥¨ï ¢ ¦¨¤ª®áâì § â㯫¥ëå ⥫ ¯®§¢®«ï¥â ¯®-«ãç âì १ã«ìâ âë, ¤®áâ â®ç® å®à®è® ᮣ« áãî-騥áï á íªá¯¥à¨¬¥â®¬, ¥á«¨ íâ¨ ã£«ë ¥ ¯à¥¢ë-è îâ 30�.2. ����� ��������£à ¨ç¨¢ ï à áᬮâ२¥ ¯à®æ¥áá ¬ «ë¬¨¢à¥¬¥ ¬¨, ¡ã¤¥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ áä®à¬ã«¨à®¢ -®© § ¤ ç¨ ¤«ï ¯®«ã¯®«®áë �L�x�L, z�0. �¥-«¨ç¨ L ¢ë¡¨à ¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï, ᮣ« á® ª®â®-
஬㠢 â¥ç¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢à¥¬¥®£® ¨-â¥à¢ « ®âà ¦¥ë¥ ®â ¡®ª®¢ëå £à ¥© ¯®«ã¯®-«®áë ¢®«ë ¥ ¤®á⨣ îâ ®¡« á⨠ª®â ªâ . �ਢë¡à ®¬ § 票¨ L £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¡®ª®-¢ëå £à ïå ¯®«ã¯®«®áë ¢ë¡¨à îâáï ¯à®¨§¢®«ì®.�§ á®®¡à ¦¥¨© 㤮¡áâ¢ à §¤¥«¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå,®áãé¥á⢫塞®£® ®á®¢¥ à §«®¦¥¨ï ¨áª®¬ëåå à ªâ¥à¨á⨪ ¯à®æ¥áá ¢ àï¤ë �ãàì¥ ª« áá¨-ç¥áª®¬ ¨â¥à¢ «¥ [��;�], ¨¦¥ ¢ë¡à ® § 票¥L=�.� ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¬¥â®¤ à §«®-¦¥¨ï äãªæ¨© ¢ àï¤ë �ãàì¥ ¯® ¯®«®© âਣ®®-¬¥âà¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ äãªæ¨© ¤«ï 㤮¡á⢠§ ¯¨-ᨠ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì àï¤ �ãàì¥ ¢ ¢¨¤¥f(t; x) = 1Xn=0nf (1)n (t) cos nx+ f (2)n (t) sinnxo;f (1)n (t) = 1�kn �Z�� f(t; x) cosnxdx;f (2)n (t) = 1�kn �Z�� f(t; x) sinnxdx;kn = � 2; n = 0;1; n = 1;1;¯®« £ ï, çâ® ª®íää¨æ¨¥â f (2)0 (t)�0. � ᪫ ¤ë¢ -¥¬ ᪮à®áâì ¤¥ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®-á⨠V (t; x) ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ p(t; x) ¢àï¤ë �ãàì¥ ¯® cosnx ¨ sinnx:V (t; x) = 1Xn=0nV (1)n (t) cos nx+ V (2)n (t) sinnxo; (16)p(t; x) = 1Xn=0np(1)n (t) cos nx+ p(2)n (t) sinnxo: (17)�ਬ¥ïï ª ãà ¢¥¨î (5) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � -¯« á ¯® ¢à¥¬¥¨ t á ¯ à ¬¥â஬ s, ¯®«ãç ¥¬ ¢¯à®áâà á⢥ ¨§®¡à ¦¥¨© ãà ¢¥¨¥@2'L@x2 + @2'L@z2 � s2'L = 0: (18)�¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (18), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®-¢¨î § âãå ¨ï ¡¥áª®¥ç®á⨠(10), ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥'L = 1Xn=0 e�zps2+n2nAn cos nx+Bn sinnxo; (19)£¤¥ An; Bn { ¯®áâ®ïë¥ ª®íää¨æ¨¥âë.�ਬ¥ïï ª ¢ëà ¦¥¨ï¬ (6), (7) ¨ à §«®¦¥¨-ï¬ (16), (17) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ � ¯« á ¨ ãç¨âë¢ ï14 �. �. � ¢à¨«¥ª®
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22á®®â®è¥¨ï (19), ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã, á¢ï§ë¢ î-éãî ª®íää¨æ¨¥âë V (i)Ln (s) ¨ p(i)Ln (s)V (i)Ln (s) = ps2 + n2s p(i)Ln (s);n = 0;1; i = 1; 2: (20)�®£¤ ¯® ⥮६¥ ® ᢥà⪥ ®à¨£¨ «®¢ ¤¢ãå äãª-権 ¨§ á®®â®è¥¨© (20) ¯®«ãç ¥¬ § ¢¨á¨¬®áâ¨V (i)n (t) = p(i)n (t) + tZ0 p(i)n (� )fn(t� � )d�;n = 0;1; i = 1; 2; (21)á¢ï§ë¢ î騥 ª®íää¨æ¨¥âë V (i)n (t) ¨ p(i)n (t).�¤¥áì fn(t) = tZ0 nJ1(n�)� d�;£¤¥ J1(t) { 樫¨¤à¨ç¥áª ï äãªæ¨ï �¥áá¥«ï ¯¥à-¢®£® த ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .� ãç¥â®¬ à §«®¦¥¨© (16), (17) ¨ á®®â®è¥-¨© (21) ãáâ ¢«¨¢ ¥¬ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ᪮à®áâìîV (t; x) ¨ ¤ ¢«¥¨¥¬ p(t; x):V (t; x) = p(t; x)++ 1Xn=0� tZ0 np(1)n (� ) cos nx+ p(2)n (� ) sinnxo��fn(t � � )d��: (22)�¤®¢«¥â¢®àïï á ¯®¬®éìî á®®â®è¥¨ï (22) £à -¨çë¥ ãá«®¢¨ï (8), (9), ¯®«ãç ¥¬p(t; x) = H((x� x�1)(x�2 � x))(v0(t)�� 1Xn=0� tZ0 np(1)n (� ) cos nx+ p(2)n (� ) sinnxo��fn(t� � )d��); (23)£¤¥ H(x) { äãªæ¨ï �¥¢¨á ©¤ , ¨¬¥îé ï ¢¨¤H(x) = � 1; x > 0;0; x < 0:�।áâ ¢«ïï ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ �ãàì¥ «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãîç áâì ¢ëà ¦¥¨ï (23) ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥-âë ¯à¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å ª®á¨ãá å ¨ á¨ãá å, ¯®-
«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå ¨â¥£à «ì-ëå ãà ¢¥¨© �®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ®â®á¨-â¥«ì® ª®íää¨æ¨¥â®¢ p(1)n (t), p(2)n (t), (n=0;1):p(1)n (t)=v(1)0n (t)�� 1Xm=0��(1)mn(x�1; x�2) tZ0 p(1)m (� )fm(t�� )d�++ �(2)mn(x�1; x�2) tZ0 p(2)m (� )fm(t�� )d��;p(2)n (t)=v(2)0n (t)�� 1Xm=0��(3)mn(x�1; x�2) tZ0 p(1)m (� )fm(t�� )d�++ �(4)mn(x�1; x�2) tZ0 p(2)m (� )fm(t�� )d��; (24)£¤¥ v(1)0n (t) = v0(t)�kn x�2Zx�1 cos nxdx;v(2)0n (t) = v0(t)�kn x�2Zx�1 sinnxdx;�(1)mn(x�1; x�2) = 1�kn x�2Zx�1 cosmx cos nxdx;�(2)mn(x�1; x�2) = 1�kn x�2Zx�1 sinmx cosnxdx;�(3)mn(x�1; x�2) = 1�kn x�2Zx�1 cosmx sinnxdx;�(4)mn(x�1; x�2) = 1�kn x�2Zx�1 sinmx sinnxdx:�®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ª®íää¨æ¨¥âë v(i)0n(t)(i=1; 2) ¨ �(j)mn(x�1; x�2) (j=1; 4) ¯à¨¨¬ îâ ¢¨¤v(i)0n(t) = v0(t)�kn g(i)n (x�1; x�2); (25)�(j)mn(x�1; x�2) = 12� q(j)mn(x�1; x�2); (26)�. �. � ¢à¨«¥ª® 15
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22£¤¥q(1)mn(x�1; x�2) = 8><>:x�2 � x�1; m = n; n = 0;z1(m); m 6= n; n = 0;x�2 � x�1 + z1(2m); m = n; n 6= 0;z1(m�n)+z1(m+n); m 6=n; n 6=0;q(2)mn(x�1; x�2) = 8><>: 0; m = n; n = 0;z2(m); m 6= n; n = 0;z2(2m); m = n; n 6= 0;z2(m�n)+z2(m+n); m 6=n; n 6=0;q(3)mn(x�1; x�2) = 8><>: 0; m = n; n = 0;0; m 6= n; n = 0;z2(2m); m = n; n 6= 0;z2(m+n)�z2(m�n); m 6=n; n 6=0;q(4)mn(x�1; x�2) = 8><>: 0; m = n; n = 0;0; m 6= n; n = 0;x�2 � x�1 � z1(2m); m = n; n 6= 0;z1(m�n)�z1(m+n); m 6=n; n 6=0:g(1)n (x�1; x�2) = �x�2 � x�1; n = 0;z1(n); n = 1;1;g(2)n (x�1; x�2) = � 0; n = 0;z2(n); n = 1;1;z1(n) = sinnx�2 � sinnx�1n ;z2(n) = cosnx�1 � cosnx�2n ;�®á«¥ ⮣®, ª ª ª®íää¨æ¨¥âë p(i)n (t) ®¯à¥¤¥-«¥ë ¨§ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (24), ª®íää¨æ¨¥âëV (i)n (t) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (21), ᪮à®áâ줥ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠V (t; x)¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ p(t; x) { ᮮ⢥â-á⢥® ¯® ä®à¬ã« ¬ (16), (17). �ᯮ«ì§ãï á®®â-®è¥¨ï (13) ¨ (17), ¯®«ãç ¥¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áªãîᨫã ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯®£à㦥¨î ⥫ ¢ ¦¨¤ª®áâì¢ ¢¨¤¥F (t) == 1Xn=0np(1)n (t)g(1)n (x�1; x�2)+p(2)n (t)g(2)n (x�1; x�2)o: (27)�¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (12) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤� _v0(t) ==�1Xn=0np(1)n (t)g(1)n (x�1; x�2)+p(2)n (t)g(2)n (x�1; x�2)o;v0(0) = v0: (28)
�ᯮ«ì§ãï á®®â®è¥¨ï (15) ¨ (17), ¯®«ãç ¥¬ ¬®-¬¥â ॠªæ¨¨M (t) == 1Xn=0np(1)n (t)h(1)n (x�1; x�2)+p(2)n (t)h(2)n (x�1; x�2)o; (29)£¤¥h(1)n (x�1; x�2) = 8>>><>>>: (x�2 + x�1)(x�2 � x�1)2 ; n = 0;x�2 sinnx�2 � x�1 sinnx�1 � z2(n)n ;n = 1;1;h(2)n (x�1; x�2) = 8><>: 0; n = 0;x�1 cosnx�1 � x�2 cos nx�2 + z1(n)n ;n = 1;1:�¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (14) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤I0 � (t) ==�1Xn=0np(1)n (t)h(1)n (x�1; x�2)+p(2)n (t)h(2)n (x�1; x�2)o; (0) = 0; _ (0) = _ 0: (30)� ª¨¬ ®¡à §®¬, à §à¥è îé ï á¨á⥬ ãà ¢¥-¨© á®á⮨⠨§ ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ì-ëå ãà ¢¥¨© (24), ãà ¢¥¨© ¯®áâ㯠⥫쮣®¯¥à¥¬¥é¥¨ï (28), ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï (30)¨ á®®â®è¥¨ï (3), ®¯à¥¤¥«ïî饣® £à ¨æë ®¡« -á⨠ª®â ªâ x�1, x�2.3. ������ \��������������" ������᫨ ¢ à áᬮâ८© ¢ëè¥ á¬¥è ®© ªà ¥¢®©§ ¤ ç¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (9) § ¬¥¨âì ãá«®¢¨¥@'@z ����z=0 = 0; (x < x�1)S(x > x�2); (31)®§ ç î饥 «¨ç¨¥ \¦¥á⪮£® íªà " ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®áâ¨, § ¯à¥é î饣® ¤«ï ¥¥ â®ç¥ª ®à-¬ «ìë¥ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï, â® ¯®«ãç ¥¬ ¥á¬¥è ãîªà ¥¢ãî § ¤ çã (§ ¤ çã �¥©¬ ), à¥è¥¨¥ ª®â®-ன § ç¨â¥«ì® ã¯à®é ¥âáï ¨ ᢮¤¨âáï ª ¡¥áª®-¥ç®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠«¨¥©ëå ¨â¥£à «ì-ëå ãà ¢¥¨© �®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ®â®á¨-â¥«ì® ª®íää¨æ¨¥â®¢ p(i)n (t), (i=1; 2):p(i)n (t) = v(i)0n(t)� tZ0 p(i)n (� )fn(t� � )d�;n = 0;1: (32)16 �. �. � ¢à¨«¥ª®
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22� ¨â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥¨, ¢ â¥ç¥¨¥ ª®â®à®£® ªã-áâ¨ç¥áª¨¥ ¢®§¬ã饨ï, ¢ë§¢ ë¥ ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯®-£à㦠î騬áï ⥫®¬, ¥ ¢ë諨 § ¯à¥¤¥«ë ®¡« -á⨠ª®â ªâ , â® ¥áâì ¯®ª ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå-®áâì ¦¨¤ª®á⨠¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï ¢ ¯¥à¢® ç «ì-®¬ ¥¢®§¬ã饮¬ á®áâ®ï¨¨, £à ¨çë¥ ãá«®-¢¨ï ¥© ¥ ¡ã¤ãâ ᪠§ë¢ âìáï ¨áª®¬ëå £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å £à㧪 å ¨ १ã«ìâ âë à¥è¥-¨ï á¬¥è ®© ¨ ¥á¬¥è ®© ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¡ã-¤ãâ ¨¤¥â¨ç묨. � ¢ë室®¬ ªãáâ¨ç¥áª¨å ¢®§-¬ã饨© § ¯à¥¤¥«ë ®¡« á⨠ª®â ªâ ᢮¡®¤ ﯮ¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠¯à¨å®¤¨â ¢ ¤¢¨¦¥¨¥, ¯®-í⮬ã ãá«®¢¨¥ (31) ¥¥ ¥¯®¤¢¨¦®á⨠¢ ¯®áâ ®¢-ª¥ \¦¥á⪨© íªà " ¬®¦¥â ¢¥á⨠®¯à¥¤¥«¥ã£à¥è®áâì ¢ ¨áª®¬ë¥ १ã«ìâ âë. �¤ ª®, ª ª¯®ª §ë¢ îâ à áç¥âë [5, 8, 10], ®â«¨ç¨¥ ¯®«ãç ¥-¬ëå १ã«ìâ ⮢ ¢ ®¡¥¨å ¯®áâ ®¢ª å ¥§ ç¨-â¥«ì® (¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå å à ª-â¥à¨á⨪). �®í⮬㠬®¦® ४®¬¥¤®¢ âì ¬®¤¥«ì\ᢥà姢㪮¢®£®" íâ ¯ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢ ¨¦¥-¥àëå à áç¥â å ¯à®ç®áâì ª®áâàãªæ¨©, 㤠à-® ª®â ªâ¨àãîé¨å á ¦¨¤ª®áâìî, çâ® ¯®§¢®«¨âáãé¥á⢥® ᮪à â¨âì § âà âë ª®¬¯ìîâ¥à®£®¢à¥¬¥¨ ( ®¤¨{ ¤¢ ¯®à浪 ).4. ��������� �����������¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᢥ-¤¥® ª à¥è¥¨î á¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥-¨© (24) ᮢ¬¥áâ® á ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì묨 ãà ¢-¥¨ï¬¨ (28), (30) ¯® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¢ ª ¦¤ë© ¬®-¬¥â ¢à¥¬¥¨ t £à ¨æ ¬ ®¡« á⨠ª®â ªâ ⥫ ᦨ¤ª®áâìî ¨§ á®®â®è¥¨© (3).�¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®áãé¥á⢫﫮áì ª®¥ç®¬®â१ª¥ ¢à¥¬¥¨ [0;T ], ª®â®àë© à §¡¨¢ «áï à ¢-ë¥ ç á⨠¤«¨®© �t, ¨ ¢ ¯®«ãç¥ëå 㧫 å à §-¡¨¥¨ï ¢ëç¨á«ï«¨áì ¢á¥ ¨áª®¬ë¥ ¢¥«¨ç¨ë. �à¨í⮬ ¢¥«¨ç¨ ¢à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « [0;T ] ¢ë¡¨-à « áì â ª, çâ®¡ë § íâ®â ®â१®ª ¢à¥¬¥¨ ªã-áâ¨ç¥áª¨¥ ¢®«ë, ¢ë§¢ ë¥ ¢ ¦¨¤ª®á⨠¯à®¨-ª î騬 樫¨¤à®¬, ¤®á⨣㢠¢¥à⨪ «ìëå £à -¥© à áᬮâ८© ¢ëè¥ ¯®«ã¯®«®áë ¦¨¤ª®á⨨ ®âà §¨¢è¨áì ®â ¨å, ¥ ãᯥ¢ «¨ ¢¥àãâìáï ª®¡« á⨠¢®§¬ã饨©, ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¥ ¬®£«¨ ®ª -§ë¢ âì ¢«¨ï¨¥ 室 ¯à®æ¥áá ¯à®¨ª ¨ï.�¥áª®¥ç ï á¨á⥬ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥-¨© (24) ¨ àï¤ë ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨-ïå (28), (30) ¯®¤¢¥à£ «¨áì ãá¥ç¥¨î. �⥯¥ìãá¥ç¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï« áì ¨§ á®®¡à ¦¥¨© ¯à ªâ¨ç¥-᪮© á室¨¬®áâ¨. � á¨á⥬¥ (24) ¢á¥ ¨â¥£à «ë¢ëç¨á«ï«¨áì ¯® ª¢ ¤à âãàë¬ ä®à¬ã« ¬ âà ¯¥-権 ¨ �¨¬¯á® . �¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ì-ëå ãà ¢¥¨© (24) ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥-¨© (28), (30) ®áãé¥á⢫﫮áì ¨â¥à æ¨®ë¬ ¬¥-
�¨á. 2. �६¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®©á¨«ë ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ç «ìëå㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ⮤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨©. �«ï ã«ãç-襨ï á室¨¬®á⨠à冷¢ �ãàì¥ ¯à¨¬¥ï«¨áì �-¬®¦¨â¥«¨ �̈ ¡¡á .� ¢ëç¨á«¥¨ïå ¢à¥¬¥®¬ ¨â¥à¢ «¥ [0; 2]¢ àì¨à®¢ «¨áì á«¥¤ãî騥 ¯ à ¬¥âàë: ç «ì- ï ᪮à®áâì ¯®£à㦥¨ï v0=0:01�0:1, ç «ìë©ã£®« ᨬ¬¥âਨ 0=0��50�, ç «ì ï ᪮à®áâì¢à 饨ï _ 0=0�0:1, ¬ áá ⥫ �=0:1�100, â ª¦¥ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë r, r0 ¨ q, ¯®«-®áâìî ®¯à¥¤¥«ïî騥 ¯®£®ãî ¬ ááã � ®¤®à®¤-®£® ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¨ ¥£® ¬®¬¥â ¨¥à-樨 I0 ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà ¬ áá.�¥§ã«ìâ âë à áç¥â®¢ à¨á. 2 { 9 ¯®«ãç¥ë ¤«ï¯®«®¦¨â¥«ìëå ç «ìëå 㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ (¯ -à ¡®«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â ª«®¥ ¢¯à ¢®), çâ® á®-®â¢¥âáâ¢ã¥â à¨á. 1, ¯à¨ v0=0:05, _ 0=0. �¥§¤¥ ¢à áç¥â å ᪮à®áâì ¢à 饨ï _ ®â¥á¥ ª C=R, ã᪮२¥ � ®â¥á¥® ª C2=R2, 㣮« ᨬ¬¥âਨ ¨§¬¥àï«áï ¢ à ¤¨ ®© ¬¥à¥, ® ¤«ï £«ï¤®á⨯ਠ®¯¨á ¨¨ à¨á㪮¢ ¨á¯®«ì§®¢ « áì £à ¤ãá ﬥà .� à¨á. 2 { 3 ¯à¨¢¥¤¥ë ¢à¥¬¥ë¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨¨â¥£à «ìëå å à ªâ¥à¨á⨪ (£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®©á¨«ë F (t) ¨ ¬®¬¥â ॠªæ¨¨ M (t) ᮮ⢥âá⢥-®) ¤«ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¯à¨ á«¥¤ãî-é¨å § 票ïå ¯ à ¬¥â஢: �=4:85, I0=3:097;r=0:45, r0=0:3, q=2. �¨äà ¬¨ 1 { 3 à¨-áãª å ®â¬¥ç¥ë ªà¨¢ë¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á«¥-¤ãî騬 § ç¥¨ï¬ ç «ì®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ 0=10�; 20�; 30�. �âà¨å®¢ ï «¨¨ï à¨á. 2 á®-®â¢¥âáâ¢ã¥â á«ãç î ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¯®£à㦥¨ï�. �. � ¢à¨«¥ª® 17
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22
�¨á. 3. �६¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¬®¬¥â ॠªæ¨¨¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ç «ìëå㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¢ ¦¨¤ª®áâì, â. ¥. ¯à¨ 0=0�. �§ à¨á. 2 ¬®¦® § ¬¥â¨âì, çâ®:� £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï ᨫ F (t), ¤¥©áâ¢ãîé ï ⥫® á® áâ®à®ë ¦¨¤ª®áâ¨, à ¢ ã«î ¢¬®¬¥â ª á ¨ï ⥫®¬ ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨨ १ª® ¢®§à áâ ¥â ç «ì®¬ íâ ¯¥ à á-ᬠâਢ ¥¬®£® ¢à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « , ¯à¨-祬 ⥬ ¡ëáâ॥, 祬 ¡®«ìè¥ ç «ìë© ã£®« ᨬ¬¥âਨ;� £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï ᨫ F (t) ¤«ï ⥫ ª®¥ç-®© ¬ ááë à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¢à¥¬¥®¬¨â¥à¢ «¥ ãᯥ¢ ¥â ¤®áâ¨çì ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ã-¬ , ¯à¨ç¥¬ íâ®â ¬ ªá¨¬ã¬ ⥬ ¡®«ìè¥ ¨ ¤®-á⨣ ¥âáï ® ⥬ à ìè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ç «ì-ë© ã£®« ᨬ¬¥âਨ;� ¢«¨ï¨¥ ç «ì®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ ¢ ¤¨ -¯ §®¥ 0� 0�10� ¢¥«¨ç¨ã £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª®© á¨«ë ¥§ ç¨â¥«ì® (§ ç¥¨ï ®â«¨ç -îâáï ¢ ¯à¥¤¥« å 5%), â. ¥. ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨮¯à¥¤¥«¥¨ï ⮫쪮 £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© ᨫ뤫ï ç «ìëå 㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ ¨§ ¤ ®-£® ¤¨ ¯ §® ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ᨬ¬¥âà¨ç-ãî ¯®áâ ®¢ªã § ¤ ç¨;� ¢á¥¬ ¨áá«¥¤ã¥¬®¬ ¢à¥¬¥®¬ ¨â¥à¢ «¥ £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à®¨-ª ¨î ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à á® áâ®à®ë¦¨¤ª®á⨠ï¥âáï ¨¬¥ì襩 ¯à¨ ᨬ¬¥-âà¨ç®¬ 㤠ॠ® ¦¨¤ª®áâì ( 0=0�).
�¨á. 4. �६¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠㣫 ᨬ¬¥âਨ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ¬ ááë ⥫ �§ à¨á. 3 ¢¨¤®, çâ®:� ¬®¬¥â ॠªæ¨¨ M (t), à ¢ë© ã«î ¢ ç -«¥ ¯à®æ¥áá ¯®£à㦥¨ï ¢ ¦¨¤ª®áâì ¯ à ¡®-«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à , ¢®§à áâ ¥â, ¯à¨ç¥¬ ⥬¡ëáâ॥, 祬 ¡®«ìè¥ ã£®« ᨬ¬¥âਨ;� ¬®¬¥â ॠªæ¨¨ M (t) ¤«ï ⥫ ª®¥ç®© ¬ á-áë à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¢à¥¬¥®¬ ¨â¥à¢ «¥ãᯥ¢ ¥â ¤®áâ¨çì ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § -票ï, ¯à¨ç¥¬ íâ® § 票¥ ⥬ ¡®«ìè¥ ¨ ¤®-á⨣ ¥âáï ⥬ à ìè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ç «ìë©ã£®« ᨬ¬¥âਨ.� à¨á. 4 ¯®ª § ë § ¢¨á¨¬®á⨠®â®á¨â¥«ì-®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ (t)= 0 ®â ¢à¥¬¥¨ t ¤«ï¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å ᥣ¬¥â®¢ ®¤¨ ª®¢®© £¥®¬¥âà¨-ç¥áª®© ä®à¬ë, ® à §«¨çëå ¯®£®ëå ¬ áá �,¯à¨ á«¥¤ãîé¨å § 票ïå ¯ à ¬¥â஢: 0=20�,r=0:45, r0=0:3, q=2. �¨äà ¬¨ 1 {4 à¨áã-ª¥ ®â¬¥ç¥ë ªà¨¢ë¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 § 票אָ®£®ëå ¬ áá �=1:39; 2:08; 4:85; 13:51. �®®â¢¥â-áâ¢ãî騥 ¬®¬¥âë ¨¥à樨 ®â®á¨â¥«ì® æ¥-âà ¬ áá à áᬠâਢ ¥¬ëå ¯ à ¡®«¨ç¥áª¨å ᥣ-¬¥â®¢ à ¢ë I0=0:885; 1:327; 3:097; 8:627, ¯à¨-祬 á«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®£®ë¥ ¬ ááë ¨ ¬®-¬¥âë ¨¥à樨 ᥣ¬¥â®¢ ¯à®¯®à樮 «ìë ¯«®â-®á⨠¬ â¥à¨ « ⥫ , â ª ª ª ä®à¬ íâ¨å ¯ à ¡®-«¨ç¥áª¨å ᥣ¬¥â®¢ ¥ ¬¥ï¥âáï. �§ à¨á. 4 ¬®¦®§ ¬¥â¨âì, çâ®:� ®â®á¨â¥«ìë© ã£®« ᨬ¬¥âਨ à áâ¥â, ¯à¨-祬 ⥬ ¡ëáâ॥, 祬 ¬¥ìè¥ ¬ áá ᥣ¬¥â ¨«¨ ¥£® ¬®¬¥â ¨¥à樨;18 �. �. � ¢à¨«¥ª®
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22
�¨á. 5. �६¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠㣫 ᨬ¬¥âਨ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ç «ìëå㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ� ¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ ç á⮬ á«ãç ¥ ¤«ï ¡¥áª®¥ç®¡®«ì让 ¬ ááë ®â®á¨â¥«ìë© ã£®« ᨬ¬¥-âਨ ¡ã¤¥â à ¢¥ ¥¤¨¨æ¥, â. ¥. 㣮« ᨬ-¬¥âਨ (t) ¡ã¤¥â ¯®áâ®ïë¬, çâ® ®§ ç ¥â®âáãâá⢨¥ ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ã ¯ à -¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ®ª®«® ¥£® æ¥âà ¬ áá.�â®â á«ãç © ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥á¨¬¬¥âà¨ç®©¯«®áª®© § ¤ ç¥ ® ¢¥à⨪ «ì®¬ ¢¤ ¢«¨¢ ¨¨¢ ¦¨¤ª®áâì 樫¨¤à¨ç¥áª®£® èâ ¬¯ á ¯®áâ®-ﮩ ᪮à®áâìî ¯®£à㦥¨ï ¨ ¯®áâ®ïë¬ã£«®¬ ᨬ¬¥âਨ.� à¨á. 5 ¯®ª § § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥¨ t®â®á¨â¥«ì®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ (t)= 0 ¤«ï ¯ -à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¯à¨ á«¥¤ãîé¨å § 票ïå¯ à ¬¥â஢: �=0:377, I0=0:1767, r=0:6, r0=0:4,q=1. �¨äà ¬¨ 1 {4 à¨á㪥 ®â¬¥ç¥ë ªà¨¢ë¥,ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á«¥¤ãî騬 § ç¥¨ï¬ ç «ì-®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ 0=30�; 40�; 45�; 50�. �§à¨á. 5 ¢¨¤®, çâ®:� ®â®á¨â¥«ìë© ã£®« ᨬ¬¥âਨ à áâ¥â, ¯à¨-祬 ⥬ ¡ëáâ॥, 祬 ¡®«ìè¥ ç «ìë© ã£®« ᨬ¬¥âਨ;� â ª ª ª ¨áá«¥¤ã¥¬®¬ ¢à¥¬¥®¬ ¨â¥à¢ -«¥ ®â®á¨â¥«ìë© ã£®« ᨬ¬¥âਨ ï¥âá§à áâ î饩 äãªæ¨¥© ¢à¥¬¥¨ t, â® ¯ à -¡®«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â áâ६¨âáï ®¯à®ª¨ãâìáï¨ «¥çì á¢®î ¡®«¥¥ § â㯫¥ãî ç áâì ª®-âãà ; ⥬ á ¬ë¬ ã¢¥«¨ç¨¢ ¥âáï ®¡« áâì ª®-⠪⠨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ïᨫ ᮯà®â¨¢«¥¨ï ¯à®¨ª ¨î ¨ ¬®¬¥â à¥-
�¨á. 6. � á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï¯® ®¡« á⨠ª®â ªâ ¢ à §«¨çë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨¯à¨ ᨬ¬¥âà¨ç®¬ ¨ ¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ ¯à®¨ª ¨¨ ªæ¨¨ (á¬. à¨á. 2, 3).� à¨á. 6 ¯à¨¢¥¤¥® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ -¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï p(t; �) ¯® ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯ -à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¯à¨ á«¥¤ãîé¨å § 票-ïå ¯ à ¬¥â஢: 0=30�, �=3:44, I0=1:803, r=1,r0=0:6667, q=0:5. �âà¨å®¢ë¥ «¨¨¨ ᮮ⢥â-áâ¢ãîâ á«ãç î ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¯®£à㦥¨ï ¯ -à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ¢ ¦¨¤ª®áâì, â. ¥. ¯à¨ 0=0�. �¨äà ¬¨ 1 {3 ®â¬¥ç¥ë ªà¨¢ë¥, á®-®â¢¥âáâ¢ãî騥 á«¥¤ãî騬 ¬®¬¥â ¬ ¢à¥¬¥¨:t=0:5; 1:0; 2:0. �§ à¨á. 6 ¬®¦® § ¬¥â¨âì, çâ®:� à á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï áâ¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ ¢á¥ ¡®«¥¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â á®-®â¢¥âáâ¢ãîé¨å १ã«ìâ ⮢ ᨬ¬¥âà¨ç®£®ã¤ à , ª ª ¯® ¢¥«¨ç¨¥, â ª ¨ ¯® à ᯮ«®¦¥-¨î ¨ è¨à¨¥ ®¡« á⨠ª®â ªâ ;� ®¡« áâì ª®â ªâ , ¯® ª®â®à®© à á¯à¥¤¥«¥®£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥, ¢ 室¥ ¯à®æ¥áá ¯à®¨ª ¨ï à áè¨àï¥âáï ¨ á¬¥é ¥âáï ®â®á¨-â¥«ì® á®®â¢¥âáâ¢ãî饩 ®¡« á⨠ᨬ¬¥âà¨ç-®£® 㤠à ;� ªà¨¢ë¥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£®¤ ¢«¥¨ï ¯à¨®¡à¥â î⠥ᨬ¬¥âà¨çë© ¢¨¤¯® áà ¢¥¨î á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ १ã«ìâ -â ¬¨ ᨬ¬¥âà¨ç®© § ¤ ç¨;� £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¯à ¢«¥¨¨¯à ¢®© £à ¨æë ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯® áà ¢-¥¨î á ᨬ¬¥âà¨çë¬ á«ãç ¥¬ ¢ëè¥, çâ®�. �. � ¢à¨«¥ª® 19
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22
�¨á. 7. � á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï¯® ®¡« á⨠ª®â ªâ ¢ à §«¨çë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨á ãç¥â®¬ ¨ ¡¥§ ãç¥â ¢à é ⥫쮣®¤¢¨¦¥¨ï 樫¨¤à ®¡êïáï¥âáï ¡®«ì襩 á⥯¥ìî § â㯫¥®-á⨠ª®â ªâ¨àãî饣® á ¦¨¤ª®áâìî ª®âãà ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â .� à¨á. 7 { 9 ¯à¨¢¥¤¥ë ®â¤¥«ìë¥ à¥§ã«ìâ âë¤«ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¯à¨ á«¥¤ãîé¨å § -票ïå ¯ à ¬¥â஢: �=0:377, I0=0:1767, r=0:6,r0=0:4, q=1. �âà¨å®¢ë¥ «¨¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâá«ãç î ¯®£à㦥¨ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¢¦¨¤ª®áâì, ª®£¤ ¢à é ⥫쮥 ¤¢¨¦¥¨¥ ᥣ¬¥-â ¢®ªà㣠¥£® æ¥âà ¬ áá ¥ ãç¨âë¢ ¥âáï, â. ¥.ª®£¤ ¢á¥¬ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¢à¥¬¥®¬ ¨â¥à-¢ «¥ (t)= 0.� à¨á. 7 ¯à¨¢¥¤¥® à á¯à¥¤¥«¥¨¥ £¨¤à®¤¨ -¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï p(t; �) ¯® ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯ -à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¯à¨ ç «ì®¬ 㣫¥ ᨬ-¬¥âਨ 0=50�. �¨äà ¬¨ 1{ 3 ®â¬¥ç¥ë ªà¨-¢ë¥ ¤ ¢«¥¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®¬¥â ¬ ¢à¥¬¥-¨ t=0:5; 1:0; 2:0. �§ à¨á. 7 ¢¨¤®, çâ®:� á â¥ç¥¨¥¬ ¢à¥¬¥¨ § ç¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥-᪮£® ¤ ¢«¥¨ï ¢á¥ ¡®«¥¥ ®â«¨çë ®â १ã«ì-â ⮢, ¯®«ãç¥ëå ¡¥§ ãç¥â ¢à é ⥫쮣®¤¢¨¦¥¨ï ᥣ¬¥â , ª ª ¯® ¢¥«¨ç¨¥, â ª ¨ ¯®à ᯮ«®¦¥¨î ¨ è¨à¨¥ ®¡« á⨠ª®â ªâ ;� £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¯à ¢«¥¨¨¯à ¢®© £à ¨æë ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯® áà ¢-¥¨î á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ १ã«ìâ â ¬¨,¯®«ãç¥ë¬¨ ¡¥§ ãç¥â ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨-¦¥¨ï ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â , ¢ëè¥, çâ®®¡êïáï¥âáï ⥬, çâ® ¢à é î騩áï ®â®á¨-
�¨á. 8. �६¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¬®¬¥â ॠªæ¨¨¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ç «ìëå㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ á ãç¥â®¬ ¨ ¡¥§ ãç¥â ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï 樫¨¤à â¥«ì® æ¥âà ¬ áá ᥣ¬¥â ᢮¥© ¯à ¢®© ç -áâìî ¢å®¤¨â ¢ ¦¨¤ª®áâì, 㢥«¨ç¨¢ ï ⥬ á -¬ë¬ ¤ ¢«¥¨¥, â ª¦¥ ⥬, çâ® á⥯¥ì § -â㯫¥®á⨠¯à ¢®© ç á⨠ª®â ªâ¨àãî饣®á ¦¨¤ª®áâìî ª®âãà ᥣ¬¥â § áç¥â ¥£®¢à é¥¨ï ¢®§à áâ ¥â;� £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¯à ¢«¥¨¨«¥¢®© £à ¨æë ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯® áà ¢¥-¨î á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ १ã«ìâ â ¬¨, ¯®-«ãç¥ë¬¨ ¡¥§ ãç¥â ¢à 饨ï ᥣ¬¥â , ¨-¦¥, çâ® ®¡êïáï¥âáï ⥬, çâ® ¢à é î騩áï¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â ᢮¥© «¥¢®© ç áâìî¢ë室¨â ¨§ ¦¨¤ª®áâ¨, ⥬ á ¬ë¬ ã¬¥ìè ï¤ ¢«¥¨¥, â ª¦¥ ⥬, çâ® á⥯¥ì § â㯫¥-®á⨠«¥¢®© ç á⨠ª®â ªâ¨àãî饣® á ¦¨¤ª®-áâìî ª®âãà ᥣ¬¥â § áç¥â ¥£® ¢à 饨ïã¡ë¢ ¥â;� ¯®ï¢«¥¨¥ §®ë ®âà¨æ ⥫쮣® ¤ ¢«¥¨ï ¢¯à¥¤¥« å ®¡« á⨠ª®â ªâ (ªà¨¢ ï 3) ¯®§¤-¨å íâ ¯ å à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢à¥¬¥®£® ¨-â¥à¢ « ¬®¦® ®¡êïá¨âì â ª: § 票¥ £¨-¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï í⮬ íâ ¯¥ ¬ -«®, ¢à é î騩áï ®â®á¨â¥«ì® æ¥âà ¬ áá¯ à ¡®«¨ç¥áª¨© ᥣ¬¥â ᢮¥© «¥¢®© ç áâìî¢ë室¨â ¨§ ¦¨¤ª®áâ¨, ¯à¨¢®¤ï ª ¤ «ì¥©è¥-¬ã ¯®¨¦¥¨î ¤ ¢«¥¨ï ¢¯«®âì ¤® ¯®ï¢«¥¨ï¬ «ëå ®âà¨æ ⥫ìëå ¥£® § 票©.� à¨á. 8 ¯à¨¢¥¤¥ë ¢à¥¬¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¬®-¬¥â ॠªæ¨¨ M (t) ¯à®¨ª î饣® ¯ à ¡®«¨ç¥-20 �. �. � ¢à¨«¥ª®
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 22᪮£® ᥣ¬¥â ¤«ï ç «ìëå 㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ 0=45�; 50�. �®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ªà¨¢ë¥ ¬®¬¥â®¢à¥ ªæ¨¨ à¨á㪥 ®â¬¥ç¥ë æ¨äà ¬¨ 1{ 2. �§à¨á. 8 ¬®¦® § ¬¥â¨âì, çâ® à ¥¬ íâ ¯¥ à á-ᬠâਢ ¥¬®£® ¢à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « ¥ãç¥â ¢à -饨ï ᥣ¬¥â ¥ ᪠§ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨¥ ¬®-¬¥â ॠªæ¨¨, ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ íâ®â ¥ãç¥â ¯à¨¢®-¤¨â ª à §¨æ¥ ¢ १ã«ìâ â å:� ¤«ï 0=50� ® à ¢ 15% ®â ¬ ªá¨¬ «ì®£®§ ç¥¨ï ¬®¬¥â ॠªæ¨¨;� ¤«ï 0=45� ® à ¢ 8% ®â ¬ ªá¨¬ «ì®£®§ ç¥¨ï ¬®¬¥â ॠªæ¨¨, ¯à¨ç¥¬ á 㬥ì-襨¥¬ ç «ì®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ ¢«¨ï¨¥¥ãç¥â ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ¬®¬¥âॠªæ¨¨ ®á« ¡¥¢ ¥â.� à¨á. 9 ¯®ª § ë § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥¨ t£à ¨æ ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥-â á ¦¨¤ª®áâìî ¤«ï ç «ìëå 㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ 0=45�; 50�. �§ à¨á. 9 ¢¨¤®, çâ®:� ç «ì®¬ íâ ¯¥ à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢à¥-¬¥®£® ¨â¥à¢ « ¥ãç¥â ¢à é ⥫쮣®¤¢¨¦¥¨ï ᥣ¬¥â ¢®ªà㣠æ¥âà ¬ áá ¥ ᪠-§ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨ å £à ¨æ x1, x2 ¨ è¨à¨-¥ ®¡« á⨠ª®â ªâ ;� ¯®á«¥¤ãîé¨å íâ ¯ å íâ®â ¥ãç¥â ¯à¨¢®¤¨âª à §«¨ç¨ï¬ ¢ १ã«ìâ â å:{ ¤«ï 0=50� ®¨ à ¢ë 48% ®â ¬ ªá¨¬ã-¬ ¯à ¢®© £à ¨æë x2, 31% ®â ¬ ªá¨¬ã-¬ «¥¢®© £à ¨æë x1, 20% ®â ¬ ªá¨¬ã¬ è¨à¨ë ®¡« á⨠ª®â ªâ ;{ ¤«ï 0=45� ®¨ à ¢ë 35% ®â ¬ ªá¨¬ã-¬ ¯à ¢®© £à ¨æë x2, 21% ®â ¬ ªá¨¬ã-¬ «¥¢®© £à ¨æë x1, 12% ®â ¬ ªá¨¬ã¬ è¨à¨ë ®¡« á⨠ª®â ªâ ;� ¢«¨ï¨¥ ¥ãç¥â ¢à 饨ï ᥣ¬¥â ¢®ªàã£æ¥âà ¬ áá ®á« ¡¥¢ ¥â á 㬥ì襨¥¬ -ç «ì®£® 㣫 ᨬ¬¥âਨ.����������� ¤ ®© à ¡®â¥ à¥è¥ ¯«®áª ï ¥á¨¬¬¥âà¨ç- ï § ¤ ç ¢¥à⨪ «ì®£® ã¤ à ¨ ¯®£à㦥¨ï ¢á¦¨¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® 樫¨¤à ª®¥ç®© ¬ ááë á ¨§¬¥ïî騬¨áï ᪮à®áâìî ¨ã£«®¬ ᨬ¬¥âਨ, â ª¦¥ á ãç¥â®¬ ¥ ⮫쪮 ¥£®¯®áâ㯠⥫쮣® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ¢ £«ã¡ì ¦¨¤ª®áâ¨,® ¨ ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ª®âãà 樫¨¤à ¢®ªà㣠᢮¥£® æ¥âà ¬ áá.
�¨á. 9. �६¥ë¥ § ¢¨á¨¬®á⨠£à ¨æ®¡« á⨠ª®â ªâ ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ç «ìëå 㣫®¢ ᨬ¬¥âਨ á ãç¥â®¬ ¨ ¡¥§ ãç¥â ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï 樫¨¤à �⥯¥ì ¢«¨ï¨ï ¢¥«¨ç¨ë ¨áª®¬ëå å à ªâ¥-à¨á⨪ ¯à®æ¥áá ¥á¨¬¬¥âà¨ç®á⨠ª®âãà ¯ à -¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¨ ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï¥£® ¢®ªà㣠᢮¥£® æ¥âà ¬ áá ¬®¦¥â ¡ëâì § -ç¨â¥«ì®© ¯à¨ ¡®«ìè¨å ç «ìëå 㣫 å ᨬ¬¥-âਨ. � 㬥ì襨¥¬ ç «ì®£® 㣫 ᨬ¬¥-âਨ ¢«¨ï¨¥ íâ¨å ä ªâ®à®¢ ®á« ¡¥¢ ¥â.�«ï ¨¦¥¥àëå à áç¥â®¢ ¯à®ç®áâì ª®-áâàãªæ¨©, 㤠஠ª®â ªâ¨àãîé¨å á ¦¨¤ª®áâìî,४®¬¥¤ã¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì १ã«ìâ âë à¥è¥¨ï§ ¤ ç¨ ã¤ à ¢ ¯®áâ ®¢ª¥ \ᢥà姢㪮¢®£®" íâ -¯ á \¦¥á⪨¬" íªà ®¬ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®áâ¨. �â® ¯®§¢®«¨â áãé¥á⢥® áíª®®¬¨âì§ âà âë ª®¬¯ìîâ¥à®£® ¢à¥¬¥¨.�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ à áᬠ-âਢ ¥¬®© ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¯à®¨ª î饣®æ¨«¨¤à¨ç¥áª®£® ⥫ á ¯®¯¥à¥çë¬ á¥ç¥¨¥¬ ¢¢¨¤¥ ¯ à ¡®«¨ç¥áª®£® ᥣ¬¥â ¯à¨ ¯¯à®ªá¨¬ -樨 ᬮç¥ëå ¯®¢¥àå®á⥩ à §«¨çëå 樫¨-¤à¨ç¥áª¨å ⥫ ãá«®¦¥®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à-¬ë ¬®¦¥â § ç¨â¥«ì® ã¯à®áâ¨âì ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨á-ª®¬ëå å à ªâ¥à¨á⨪ ¯à®æ¥áá ¯à®¨ª ¨ï ¤«ï¯®á«¥¤¨å.1. �ã¡¥ª® �. �. �நª ¨¥ ã¯àã£¨å ®¡®«®ç¥ª ¢á¦¨¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1981.{160 á.2. � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï ᨬ¬¥âà¨ç ï § ¤ ç ¯®£à㦥¨ï § â㯫¥®£® ⢥म£® ⥫ ¢ ¦¨¤-ª®áâì á ãç¥â®¬ ®âàë¢ // �ªãáâ. ¢÷á.{ 1998.{ 1,N 3.{ �. 24{29.�. �. � ¢à¨«¥ª® 21
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 2000. �®¬ 3, N 1. �. 10 { 223. � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï § ¤ ç ã¤ à § â㯫¥-®£® ⢥म£® ⥫ ® ¯®¢¥àå®áâì ᦨ¬ ¥¬®© ¦¨¤-ª®á⨠á ãç¥â®¬ ®âàë¢ // �®¯®¢÷¤÷ ��� �ªà ù¨.{1999.{ N 4.{ �. 54{59.4. � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï ¥á¨¬¬¥âà¨ç ï § ¤ ç 㤠à ⢥म£® â㯮£® ª«¨ ® ¯®¢¥àå®áâì ᦨ-¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠// �ªãáâ. ¢÷á.{ 1999.{ 2, N 1.{�. 22{30.5. �ã¡¥ª® �. �., � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï ¥á¨¬-¬¥âà¨ç ï § ¤ ç ¯®£à㦥¨ï ¦¥á⪮£® ªà㣮¢®-£® 樫¨¤à ¢ ¦¨¤ª®áâì // �ਪ«. ¬¥å.{ 1999.{ 35,N 8.{ �. 61{70.6. � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï ᨬ¬¥âà¨ç ï § ¤ ç 㤠à ⮪®© ã¯à㣮© ªà㣮¢®© 樫¨¤à¨ç¥áª®©®¡®«®çª¨ ® ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠á ãç¥â®¬ ®âàë-¢ // �ªãáâ. ¢÷á.{ 1998.{ 1, N 2.{ �. 34{40.7. � ¢à¨«¥ª® �. �. �¤ à ⮪®© ã¯à㣮© 樫¨-¤à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ ® ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠//�̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1990.{ �ë¯. 62.{ �. 34{39.8. �ã¡¥ª® �. �., � ¢à¨«¥ª® �. �. �«®áª ï § ¤ -ç ¯à®¨ª ¨ï ⮪¨å ã¯à㣨å 樫¨¤à¨ç¥áª¨å®¡®«®ç¥ª ¢ ᦨ¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì // �ਪ«. ¬¥å.{1990.{ 26, N 9.{ �. 66{75.9. � ¢à¨«¥ª® �. �. �¥áâ 樮 àë¥ £à㧪¨ ¯à¨¯à®¨ª ¨¨ í««¨¯á®¨¤ ¢à é¥¨ï ¢ ᦨ¬ ¥¬ã¤ª®áâì // �ਪ«. ¬¥å.{ 1986.{ 22, N 8.{ �. 113{117.10. �ã¡¥ª® �. �., � ¢à¨«¥ª® �. �. �á¥á¨¬¬¥âà¨ç-
ï § ¤ ç ¯à®¨ª ¨ï ¦¥á⪨å ⥫ ¢ ᦨ¬ ¥¬ã¤ª®áâì // �ਪ«. ¬¥å.{ 1987.{ 23, N 1.{ �. 53{60.11. � ¢à¨«¥ª® �. �. �¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à殮®-¤¥ä®à-¬¨à®¢ ®£® á®áâ®ï¨ï ¯à®¨ª îé¨å ¢ ᦨ¬ ¥-¬ãî ¦¨¤ª®áâì ⮪¨å ã¯à㣨å áä¥à¨ç¥áª¨å ®¡®-«®ç¥ª // �ਪ«. ¬¥å.{ 1988.{ 24, N 9.{ �. 30{37.12. � ¢à¨«¥ª® �. �. �¤ à ⮪®© ã¯à㣮© áä¥-à¨ç¥áª®© ®¡®«®çª¨ ® ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠//�̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1990.{ �ë¯. 61.{ �. 17{24.13. �ã¡¥ª® �. �., � ¢à¨«¥ª® �. �. �á¥á¨¬¬¥âà¨ç ï§ ¤ ç ¯à®¨ª ¨ï ⮪¨å ã¯à㣨å áä¥à¨ç¥áª¨å®¡®«®ç¥ª ¢ ᦨ¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì // �ਪ«. ¬¥å.{1988.{ 24, N 4.{ �. 63{74.14. � £®¬®ï �. �. �நª ¨¥.{ �.: �§¤-¢® �®áª.ã-â , 1974.{ 300 á.15. � £®¬®ï �. �. �¤ à ¨ ¯à®¨ª ¨¥ ⥫ ¢¦¨¤ª®áâì.{ �.: �§¤-¢® �®áª. ã-â , 1986.{ 172 á.16. � ¦¥®¢ �. �., �®ç¥âª®¢ �. �., �àë«®¢ �. �. � -«¨§ ¥«¨¥©ëå íä䥪⮢ ¯à¨ ¢ë᮪®áª®à®á⮬¯à®¨ª ¨¨ ⥫ ¢ ᦨ¬ ¥¬ãî ¦¨¤ª®áâì // �ਪ«.¬¥å.{ 1986.{ 22, N 2.{ �. 125{127.17. �ਣ®«îª �. �., �®à誮¢ �. �. �§ ¨¬®¤¥©-á⢨¥ ã¯àã£¨å ª®áâàãªæ¨© á ¦¨¤ª®áâìî (�¤ à ¨¯®£à㦥¨¥).{ �.: �㤮áâ஥¨¥, 1976.{ 199 á.18. �®£¢¨®¢¨ç �. �. �̈ ¤à®¤¨ ¬¨ª â¥ç¥¨© ᮠ᢮-¡®¤ë¬¨ £à ¨æ ¬¨.{ �.: � ãª. ¤ã¬ª , 1969.{216 á.
22 �. �. � ¢à¨«¥ª®
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1153 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T22:39:11Z |
| publishDate | 2000 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гавриленко, В.В. 2008-07-23T13:37:47Z 2008-07-23T13:37:47Z 2000 Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкости / В. В. Гавриленко // Акуст. вісн. — 2000. — Т. 3, N 1. — С. 10-22 — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1153 533.6.013.42 Рассмотрена плоская задача вертикального удара твердого параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкости, когда ось симметрии контура цилиндра не совпадает с нормалью в точке его касания невозмущенной поверхности жидкости. На основе методов интегральных преобразований Лапласа по времени, разделения переменных, теоремы о свертке оригиналов двух функций, разложения в ряды Фурье по полной тригонометрической системе функций, решение нестационарной смешанной краевой задачи механики сплошной среды с наперед неизвестной изменяющейся границей сводится к решению бесконечной системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов разложения гидродинамического давления в ряд Фурье. В численном примере для погружающихся параболических цилиндров с различными массами и начальными углами асимметрии приведены зависимости от времени гидродинамической силы, момента реакции, угла асимметрии, границ области контакта, а также распределение гидродинамического давления по смоченной поверхности тела. Розглянуто плоску задачу вертикального удару твердого параболічного циліндра об поверхню стисливої рідини, якщо вісь симетрії контура циліндра не співпадає з нормаллю в точці його дотику незбуреної поверхні рідини. На основі методів інтегральних перетворень Лапласа по часу, розділення змінних, теореми про згортку оригіналів двох функцій, розкладу в ряди Фур'є за повною тригонометричною системою функцій, розв'язок нестаціонарної змішаної крайової задачі механіки суцільного середовища з наперед невідомою змінною границею зведено до розв'язку нескінченої системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно коефіцієнтів розкладу гідродинамічного тиску в ряд Фур'є. У чисельному прикладі для параболічних циліндрів, що занурюються, з різними масами і початковими кутами асиметрії наведено залежності від часу гідродинамічної сили, момента реакції, кута асиметрії, границь області контакту, а також розподіл гідродинамічного тиску на змоченій поверхні тіла. A plane problem on vertical collision with the surface of a compressible fluid, is considered for case of rigid parabolic cylinder when the axis of its symmetry does not coincide with a normal line in a point of its tangency by unperturbed surface of a fluid. On basis of methods of Laplace integral transforms with respect to time, separation of variables, theorem about convolution of originals of two functions, decomposition in a Fourier series with respect to the complete trigonometric system of functions, the solution of a non-stationary mixed boundary problem of continuum mechanics with beforehand unknown varying boundary is reduced to the solution of infinite system of linear integral Volterra's equations of the second kind with respect to coefficients of decomposition of hydrodynamic pressure in a Fourier series. In the numerical example for submerging parabolic cylinders with different masses and initial angles of asymmetry there are given the time dependences of a hydrodynamic force, moment of response, angle of asymmetry, boundaries of the contact area, and also the distribution of hydrodynamic pressure on a wetted surface of body. ru Інститут гідромеханіки НАН України Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости Vertical asymmetric collision of parabolic cylinder with surface of compressible fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости Гавриленко, В.В. |
| title | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости |
| title_alt | Vertical asymmetric collision of parabolic cylinder with surface of compressible fluid |
| title_full | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости |
| title_fullStr | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости |
| title_full_unstemmed | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости |
| title_short | Вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхноВертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости |
| title_sort | вертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхновертикальный несимметричный удар параболического цилиндра о поверхность сжимаемой жидкостисть сжимаемой жидкости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1153 |
| work_keys_str_mv | AT gavrilenkovv vertikalʹnyinesimmetričnyiudarparaboličeskogocilindraopoverhnovertikalʹnyinesimmetričnyiudarparaboličeskogocilindraopoverhnostʹsžimaemoižidkostistʹsžimaemoižidkosti AT gavrilenkovv verticalasymmetriccollisionofparaboliccylinderwithsurfaceofcompressiblefluid |