Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами
Рассмотрена связанная трехмерная задача о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве трехслойной толстостенной вязкоупругой цилиндрической панели с шарнирным опиранием торцов при действии
 на нее внешнего равномерного поверхностного гармонического давления. Учтено взаимод...
Saved in:
| Published in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115421 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами / В.И. Козлов, В.Г. Карнаухов, В.М. Сичко, А.В. Завгородний // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 1. — С. 22-29. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236226676654080 |
|---|---|
| author | Козлов, В.И. Карнаухов, В.Г. Сичко, В.М. Завгородний, А.В. |
| author_facet | Козлов, В.И. Карнаухов, В.Г. Сичко, В.М. Завгородний, А.В. |
| citation_txt | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами / В.И. Козлов, В.Г. Карнаухов, В.М. Сичко, А.В. Завгородний // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 1. — С. 22-29. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Акустичний вісник |
| description | Рассмотрена связанная трехмерная задача о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве трехслойной толстостенной вязкоупругой цилиндрической панели с шарнирным опиранием торцов при действии
на нее внешнего равномерного поверхностного гармонического давления. Учтено взаимодействие механических
и тепловых полей в предположении о независимости свойств материала от температуры. Разработан конечно-элементный метод решения динамической задачи вязкоупругости и задачи теплопроводности с известным источником тепла. Рассчитаны амплитудно- и температурно-частотные характеристики, а также зависимости собственной
частоты, коэффициента демпфирования, максимальных амплитуды и температуры разогрева от толщины демпфирующего среднего слоя панели при колебаниях на первой изгибной моде.
Розглянуто зв’язану тривимiрну задачу про вимушенi гармонiчнi коливання й дисипативний розiгрiв тришарової
товстостiнної в’язкопружної цилiндричної панелi з шарнiрним опиранням торцiв при дiї на неї зовнiшнього рiвномiрного поверхневого гармонiчного тиску. Враховано взаємодiю механiчних i теплових полiв за припущення про
незалежнiсть властивостей матерiалу вiд температури. Розроблено скiнченно-елементний метод розв’язання динамiчної задачi в’язкопружностi та задачi теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла. Розрахованi амплiтудно- й
температурно-частотнi характеристики, а також залежностi власної частоти, коефiцiєнта демпфiрування, максимальних амплiтуди й температури розiгрiву вiд товщини демпфiруючого середнього шару панелi при її коливаннях на першiй згиннiй модi.
The paper deals with solving of coupled three-dimensional problem on forced harmonic vibration and dissipative heating
of a viscoelastic three-layer thick cylindrical panel with
simply supported edges under action of uniform harmonic external
surface pressure. Coupling of the mechanical and thermal fields is taken into account and the material properties are chosen
independent from temperature. A finite-element method is developed for solving of the dynamic viscoelastic problem and
the problem of a thermal conductivity with known thermal source. For the panel vibrating on the first bending mode, the amplitude- and temperature-frequency characteristics have been calculated as well, as dependencies of natural frequency,
damping coefficient, maximal amplitude and heating temperature on the thickness of damping middle layer of the panel.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:24:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
УДК 539.3
ВЫНУЖДЕННЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И ДИССИПАТИВНЫЙ РАЗОГРЕВ ТРЕХСЛОЙНОЙ
ТОЛСТОСТЕННОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ
ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ
С НЕЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
СВОЙСТВАМИ
В. И. К О ЗЛ О В∗, В. Г. К А РН А У Х ОВ∗, В. М. СИ Ч К О∗∗, А. В. ЗА В Г ОР ОД Н И Й∗∗
∗Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
∗∗Николаевский государственный университет им. В. А. Сухомлинского
Одержано 23.02.2010
Рассмотрена связанная трехмерная задача о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве
трехслойной толстостенной вязкоупругой цилиндрической панели с шарнирным опиранием торцов при действии
на нее внешнего равномерного поверхностного гармонического давления. Учтено взаимодействие механических
и тепловых полей в предположении о независимости свойств материала от температуры. Разработан конечно-
элементный метод решения динамической задачи вязкоупругости и задачи теплопроводности с известным источни-
ком тепла. Рассчитаны амплитудно- и температурно-частотные характеристики, а также зависимости собственной
частоты, коэффициента демпфирования, максимальных амплитуды и температуры разогрева от толщины демпфи-
рующего среднего слоя панели при колебаниях на первой изгибной моде.
Розглянуто зв’язану тривимiрну задачу про вимушенi гармонiчнi коливання й дисипативний розiгрiв тришарової
товстостiнної в’язкопружної цилiндричної панелi з шарнiрним опиранням торцiв при дiї на неї зовнiшнього рiвно-
мiрного поверхневого гармонiчного тиску. Враховано взаємодiю механiчних i теплових полiв за припущення про
незалежнiсть властивостей матерiалу вiд температури. Розроблено скiнченно-елементний метод розв’язання дина-
мiчної задачi в’язкопружностi та задачi теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла. Розрахованi амплiтудно- й
температурно-частотнi характеристики, а також залежностi власної частоти, коефiцiєнта демпфiрування, макси-
мальних амплiтуди й температури розiгрiву вiд товщини демпфiруючого середнього шару панелi при її коливаннях
на першiй згиннiй модi.
The paper deals with solving of coupled three-dimensional problem on forced harmonic vibration and dissipative heating
of a viscoelastic three-layer thick cylindrical panel with simply supported edges under action of uniform harmonic external
surface pressure. Coupling of the mechanical and thermal fields is taken into account and the material properties are chosen
independent from temperature. A finite-element method is developed for solving of the dynamic viscoelastic problem and
the problem of a thermal conductivity with known thermal source. For the panel vibrating on the first bending mode, the
amplitude- and temperature-frequency characteristics have been calculated as well, as dependencies of natural frequency,
damping coefficient, maximal amplitude and heating temperature on the thickness of damping middle layer of the panel.
ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях современной техники тол-
стостенные вязкоупругие цилиндрические пане-
ли из полимерных материалов и композитов на
их основе широко используются в качестве кон-
структивных элементов [1]. Связано это прежде
всего с уникальными свойствами таких материа-
лов, позволяющими повысить надежность и дол-
говечность конструкции, снизить их материало- и
энергоемкость. В ряде случаев за счет их исполь-
зования удается создать принципиально новые
конструкции машин, механизмов, аппаратуры и
др. Из-за присущих вязкоупругим материалам
высоких гистерезисных потерь, они и композиты
на их основе особенно получили широкое распро-
странение при разработке технологий демпфиро-
вания колебаний конструкций. В связи с этим воз-
растает потребность в разработке эффективных и
достаточно обоснованных моделей, описывающих
поведение таких материалов в условиях механиче-
ского и температурного воздействия.
Один из самых распространенных типов нагру-
жения элементов конструкций – длительное ци-
клическое нагружение, изучение которого приво-
дит к необходимости учета связанности механи-
ческих и тепловых полей. Такой учет представ-
ляет принципиальный теоретический интерес, по-
зволяя полнее, глубже и точнее описать поведе-
ние элементов конструкции при электромехани-
ческих и тепловых воздействиях, выявить ряд
качественно новых эффектов и оценить грани-
цы применимости несвязанных теорий. Взаимо-
действие механических, тепловых и электромагни-
22 c© В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний, 2010
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
тных полей важно при оценке несущей способно-
сти конструкции из указанных материалов, в част-
ности, различного рода амортизаторов [2], кру-
пногабаритных пневматических шин [3], твердо-
топливных двигателей [4], гидроакустических си-
стем [5], а также при изучении эффективности
вибродемпфирования стержневых, пластинчатых,
оболочечных и пространственных элементов кон-
струкций [6]. На эффектах связанности основано
функционирование многих технологических про-
цессов, в частности, ультразвуковая сварка пла-
стмасс [7, 8], гипертермия [9], работа электроме-
ханических излучателей и приемников звука [5] и
др.
Исходя из сказанного, возникает необходимость
в решении ряда фундаментальных проблем меха-
ники деформированного твердого тела, связанных
с:
1) разработкой моделей термомеханического по-
ведения композитных и полимерных материа-
лов при механических и тепловых воздействи-
ях;
2) разработкой математических методов реше-
ния краевых задач с учетом связанности ука-
занных полей;
3) решением конкретных задач с целью выявле-
ния новых эффектов, порождаемых взаимо-
действием механических и тепловых полей.
Одной из специфических особенностей поведе-
ния элементов конструкций из полимерных и ком-
позитных материалов при гармоническом нагру-
жении (особенно, на резонансных частотах) яв-
ляется повышение температуры в результате ги-
стерезисных потерь в материалах – так называе-
мый диссипативный разогрев. Длительное гармо-
ническое нагружение из-за высокой чувствитель-
ности свойств полимерных материалов к темпе-
ратуре, малой теплопроводности и значительных
гистерезисных потерь может привести к резкому
повышению температуры в результате преобразо-
вания механической энергии в тепловую. Дисси-
пативный разогрев может существенно повлиять
на все стороны механического поведения элемен-
тов конструкции из полимерных и композитных
материалов – распределение механических полей,
амплитудно-частотные характеристики, статиче-
скую и динамическую устойчивость тонкостенных
элементов конструкций, эффективность пассивно-
го и активного демпфирования колебаний и др.
Основные достижения в термомеханике связан-
ных полей при механическом и электрическом на-
гружениях отражены в монографиях [2, 10 –17] и
в обзорных статьях [18 – 25]. Следует отметить,
что основное внимание в этих работах было сосре-
доточено на решении двумерных задач. Решение
трехмерных динамических задач термомеханики с
учетом взаимодействия механических и тепловых
полей в литературе отсутствуют.
В данной работе получено конечно-элементное
решение трехмерной динамической задачи о ко-
лебаниях и диссипативном разогреве толстостен-
ной цилиндрической панели из изотропного вяз-
коупругого материала при моногармоническом ме-
ханическом нагружении с учетом взаимодействия
механических и тепловых полей. Рассматривается
случай, когда механические и теплофизические
свойства материала не зависят от температуры. В
этом случае решение исходной нелинейной задачи
сводится к последовательному решению трех за-
дач:
1) трехмерной задачи о вынужденных колебани-
ях толстостенной вязкоупругой цилиндриче-
ской панели при моногармоническом механи-
ческом нагружении;
2) расчету диссипативной функции по известно-
му механическому состоянию тела;
3) решению нестационарной задачи теплопрово-
дности с известным источником тепла, опре-
деляемым диссипативной функцией.
Для моделирования механического поведения не-
упругого материала при моногармонических коле-
баниях используем концепцию комплексных хара-
ктеристик, разработанную в монографии [17]. Ме-
ханические граничные условия отвечают случаю
шарнирного опирания торцов цилиндрической па-
нели.
Полученные в данной работе результаты позво-
ляют оценить пределы применимости различного
рода механических гипотез теории пластин и обо-
лочек – классических гипотез Кирхгоффа – Лява
и уточненных теорий, учитывающих деформации
поперечного сдвига. Разработанный метод явля-
ется основой для решения связанных задач тер-
момеханики с учетом физической нелинейности,
порождаемой зависимостью свойств материала от
температуры и связанностью механических и те-
пловых полей, а также зависимостью механиче-
ских свойств материалов от амплитуд деформаций
или напряжений. Для этого необходимо исполь-
зовать итерационные методы, сводящие исходную
существенно нелинейную задачу к последователь-
ности линейных задач механики и теплопроводно-
сти с известным источником тепла.
В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим толстостенную вязкоупругую ци-
линдрическую панель, отнесенную к цилиндриче-
ской системе координат (z, r, θ). Считаем, что ме-
ханические и теплофизические свойства матери-
ала не зависят от температуры. Объект находи-
тся под действием изменяющегося по гармониче-
скому закону поверхностного давления с часто-
той, близкой к резонансной его частоте. Механиче-
ское поведение неупругого материала описывается
концепцией комплексных характеристик [17]. При
этом динамическая задача сводится к решению
трехмерных уравнений теории вязкоупругости в
цилиндрической системе координат [17, 26, 27]:
∂σzz
∂z
+
1
r
∂(rσzr)
∂r
+
1
r
∂σzθ
∂θ
+ ρω2w = 0,
∂σrz
∂z
+
1
r
∂(rσrr)
∂r
+
1
r
∂σrθ
∂θ
−
−
σθθ
r
+ ρω2u = 0,
∂σθz
∂z
+
1
r
∂(rσθr
∂r
+
1
r
∂σθθ
∂θ
−
−
σrθ
r
+ ρω2v = 0,
(1)
где σij – амплитудные значения компонент тензо-
ра напряжений; w, u, v – компоненты вектора пе-
ремещений; ρ – плотность материала; ω – частота
колебаний.
На части поверхности тела Σp, где заданы по-
верхностные силы ~pn, тензор напряжений удовле-
творяет следующим граничным условиям:
pαn = σαβlβn. (2)
Здесь lβ (β=1, 2, 3) – направляющие косинусы
внешней нормали ~n к поверхности тела Σp; pαn –
проекции поверхностных сил на оси цилиндриче-
ской системы координат. На другой части поверх-
ности тела ΣU , вообще говоря, могут быть заданы
компоненты вектора перемещений.
Тензор малой деформации связан с вектором пе-
ремещений соотношениями Коши [17,26, 27]:
εr =
∂ur
∂r
,
εθ =
1
r
(
∂uθ
∂θ
+ ur
)
,
εz =
∂uz
∂z
,
εrθ = εθr =
1
2
[
1
r
(
∂ur
∂θ
− uθ
)
+
∂uθ
∂r
]
,
εrz = εzr =
1
2
(
∂uz
∂r
+
∂ur
∂z
)
,
εzθ = εθz =
1
2
(
∂uθ
∂z
+
1
r
∂uz
∂θ
)
.
(3)
Для замыкания системы (1), (3) ее необходи-
мо дополнить уравнениями состояния, которые
при гармонических колебаниях вязкоупругого те-
ла из изотропного вязкоупругого материала име-
ют вид [17, 26, 27]:
σr = 2µεr + λεkk, σθ = 2µεθ + λεkk,
σz = 2µεz + λεkk, σrθ = 2µεrθ,
σrz = 2µεrz, σzθ = 2µεzθ,
(4)
где εkk=εr+εθ+εz . Здесь все величины являются
комплексными:
σr = σ′
r + iσ′′
r , εr = ε′r + iε′′r ,
λr = λ′
r + iλ′′
r , µr = µ′
r + iµ′′
r .
Подстановка соотношений (3), (4) в уравне-
ния движения (1) и в граничные условия (2) да-
ет постановку динамической задачи о колебани-
ях вязкоупругого тела вращения в перемещениях.
При этом комплексная система дифференциаль-
ных уравнений в перемещениях по форме совпада-
ет с соответствующими уравнениями для упругого
тела, если в них заменить все величины на ком-
плексные. При учете зависимости комплексных
характеристик от температуры она приобретает
24 В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
вид [17, 26, 27]:
µ∇2ur + (λ + µ)
∂εkk
∂r
−
−µ
ur
r2
−
2µ
r2
∂uθ
∂θ
+ 2
∂µ
∂r
∂ur
∂r
+
+
1
r
∂µ
∂θ
(
1
r
∂ur
∂θ
+
∂uθ
∂r
−
uθ
r
)
+
+
∂µ
∂z
(
∂uz
∂r
+
∂ur
∂z
)
+
+εkk
∂λ
∂r
+ ρω2ur = 0,
µ∇2uθ +
λ + µ
r
∂εkk
∂θ
− µ
uθ
r2
+
2µ
r2
∂ur
∂θ
+
+
∂µ
∂r
(
1
r
∂ur
∂θ
+
∂uθ
∂r
−
uθ
r
)
+
+
2
r
∂µ
∂θ
(
1
r
∂uθ
∂θ
+
ur
r
)
+
+
∂µ
∂z
(
∂uθ
∂z
+
1
r
∂uz
∂θ
)
+
+
εkk
r
∂λ
∂θ
+ ρω2uθ = 0,
µ∇2uz + (λ+ µ)
∂εkk
∂z
+
+
∂µ
∂r
(
∂uz
∂r
+
∂ur
∂z
)
+
+
1
r
∂µ
∂θ
(
∂uθ
∂z
+
1
r
∂uz
∂θ
)
+
+2
∂µ
∂z
∂uz
∂z
+ εkk
∂λ
∂z
+ ρω2uz = 0.
(5)
Температурное поле диссипативного разогрева
находится из решения уравнения теплопроводно-
сти [17, 26, 27]
∂
∂z
(
λq
∂T
∂z
)
+
1
r
∂
∂r
(
λqr
∂T
∂r
)
+
+
1
r2
∂
∂θ
(
λqr
∂T
∂θ
)
= cρ
∂T
∂t
−D
(6)
с начальными
T = T0 при t = t0 (7)
и граничными условиями конвективного теплооб-
мена с окружающей средой, температура кото-
рой Tc:
λq
∂T
∂n
= −αT (T − Tc). (8)
Здесь λq – коэффициенты теплопроводности;
αT – коэффициент теплоотдачи; c – коэффициент
удельной массовой теплоемкости материала.
Фигурирующая в уравнении энергии (6) дисси-
пативная функция D определяется по формуле
D =
ω
2
(σ′′
ijε
′
ij − σ′
ijε
′′
ij). (9)
Для оценки эффективности пассивного демпфи-
рования вынужденных колебаний используется
интегральная характеристика, являющаяся отно-
шением диссипированной за цикл энергии D к на-
копленной энергии UT [17]:
η =
2π
ω
∫
V
Drdrdzdθ
∫
V
UT rdrdzdθ
,
UT =
1
2
(σ′
ijε
′
ij + σ′′
ijε
′′
ij).
(10)
В случае однородных состояний при действи-
тельном коэффициенте Пуассона и независящем
от координат модуле сдвига эта характеристика
сводится к величине
η = 2π
G′′
G′
, (11)
т. е. к обычному тангенсу угла потерь материала.
В случае учета зависимости свойств материала
от температуры или деформаций система (5), (6)
становится сложной нелинейной системой диффе-
ренциальных уравнений. Если же свойства мате-
риала не зависят от температуры, связанная зада-
ча сводится к последовательному решению пере-
численных выше задач.
2. РЕШЕНИЕ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ МЕТО-
ДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Как уже отмечалось, для исследования термо-
механического поведения толстостенной вязкоу-
пругой цилиндрической панели применяется ме-
тод конечных элементов с использованием вариа-
ционной формулировки задачи. При этом задача
механики сводится к нахождению стационарных
В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
точек функционала [17]
Э =
1
2
∫
V
[
Azzε
2
zz +Arrε
2
rr + Aθθε
2
θθ+
+2(Azrεzzεrr +Azθεzzεθθ +Arφεrrεθθ)+
+4(Gzrε
2
zr +Gzθε
2
zθ +Grθε
2
rθ)−
−ρω2(w2 + u2 + v2)
]
rdrdzdθ−
−
∫
Σp
(pnzw + pnru+ prθv)dΣp,
(12)
а задача теплопроводности (6) – (8) – к решению
вариационного уравнения [17, 28]
∫
V
[
cρ
∂T
∂t
δT + λq
∂T
∂z
δ
(
∂T
∂z
)
+
+λq
∂T
∂r
δ
(
∂T
∂r
)
+ λq
1
r
∂T
∂θ
δ
(
∂T
∂θ
)
+
+DδT
]
rdrdzdθ+
∫
Σ
αT (T − Tc)δTdΣ = 0,
(13)
где Aij, Gij – комплексные механические характе-
ристики материала.
Решение вариационной задачи механики δЭ=0
находится методом конечных элементов с исполь-
зованием 24-узловых шестигранных изопараме-
трических элементов.
В качестве локальной системы координат, в ко-
торой определяются аппроксимирующие функции
и проводится интегрирование, используется нор-
мализованная система координат. Для построения
базисных функций, аппроксимирующих составля-
ющие перемещений и температуру в пределах эле-
мента, используются алгебраические и тригономе-
трические полиномы. При этом предполагается,
что амплитудные значения компонент вектора пе-
ремещений и значение температуры аппроксими-
руются выражениями
w =
24
∑
i=1
Liwi; u =
24
∑
i=1
Liui;
v =
24
∑
i=1
Livi; T =
24
∑
i=1
LiTi.
(14)
Здесь wi, ui, vi, Ti – узловые значения переме-
щений и температуры; Li – аппроксимирующие
функции, которые представляют собой комбина-
ции алгебраических Nj (j=1, 2, . . . , 8) и тригоно-
метрических Hk (k=1, 2, 3) полиномов [29 –31]
N1 =
1
4
(1 − ξ)(1− η)(−ξ − η − 1);
N2 =
1
4
(1 + ξ)(1− η)(ξ − η − 1);
N3 =
1
4
(1 + ξ)(1 + η)(ξ + η − 1);
N4 =
1
4
(1 − ξ)(1 + η)(−ξ + η − 1);
N5 =
1
2
(1 − ξ2)(1− η);
N6 =
1
2
(1 − η2)(1 + ξ);
N7 =
1
2
(1 − ξ2)(1 + η);
N8 =
1
2
(1 − η2)(1− ξ);
H1 =
sin(θ − θ2)− sin(θ − θ3) + sin(θ2 − θ3)
sin(θ1 − θ2)− sin(θ1 − θ3) + sin(θ2 − θ3)
;
H2 =
sin(θ − θ3)− sin(θ − θ1) + sin(θ3 − θ1)
sin(θ2 − θ3)− sin(θ2 − θ1) + sin(θ3 − θ1)
;
H3 =
sin(θ − θ1)− sin(θ − θ2) + sin(θ1 − θ2)
sin(θ3 − θ1)− sin(θ3 − θ2) + sin(θ1 − θ2)
.
Аппроксимирующие функции строятся таким
образом, чтобы алгебраические полиномы Nj опи-
сывали напряженно-деформированное состояние
и распределение температуры в плоскости (r, z), а
тригонометрические функции – по окружной ко-
ординате.
Для определения стационарного значения
функционала (8) разобьем объем тела на М
конечных элементов. Используя методику, изло-
женную в [30], для определения узловых значений
компонент вектора перемещений получим 3n (n –
число узловых точек) линейных алгебраических
уравнений с комплексными коэффициентами:
M
∑
m=1
∂Эm
∂wj
= 0,
M
∑
m=1
∂Эm
∂uj
= 0,
M
∑
m=1
∂Эm
∂vj
= 0,
j = 1, 2, . . . , n.
(15)
26 В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
Просуммировав выражения (15) по всем конечным
элементам, получим для общей (глобальной) нуме-
рации узлов систему уравнений, в которой инте-
грирование по объему исследуемой области заме-
нено суммой интегралов, взятых по объемам от-
дельных конечных элементов, а интегрирование
по поверхности – суммой интегралов по граням
элементов, на которых заданы граничные условия
в напряжениях. Для вычисления интегралов, вхо-
дящих в коэффициенты системы (15), применяю-
тся квадратурные формулы Гаусса [31]. По най-
денным узловым значениям перемещений вычи-
сляются деформации, напряжения и диссипатив-
ная функция в точках интегрирования Гаусса, так
как в них указанные величины имеют самую высо-
кую точность.
Трехмерное вариационное уравнение энер-
гии (13) с известным источником тепла решается
на той же сетке конечных элементов. При этом
производная по времени ∂T/∂t не варьируется, а
заменяется выражением
∂T
∂t
=
T (t+∆t)
∆t
и в дальнейшем реализуется неявная схема реше-
ния нестационарной задачи теплопроводности.
3. АНАЛИЗ ЧИСЛОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассматривается динамическая задача о коле-
баниях и диссипативном разогреве трехслойной
толстостенной цилиндрической панели постоян-
ной толщины, составленной из среднего демпфи-
рующего вязкоупругого слоя и двух симметри-
чно расположенных несущих слоев. На внешней
поверхности панели действует равномерно рас-
пределенное механическое давление P =P0 cosωt,
изменяющееся по гармоническому закону с ча-
стотой, близкой к первой изгибной резонансной
частоте тела. Механические граничные условия
отвечают шарнирному опиранию торцов. Расче-
ты выполнены для панели с внешним радиусом
R=0.11 м, толщиной H=0.02 м и длиной l=0.1 м.
Механические характеристики материала сле-
дующие: ν=0.32 G=G′+iG′′, G′=0.968·109 Па,
G′′=0.871·108 Па, ρ=0.936·103 кг/м3.
Панель находится в условиях теплообмена с
окружающей средой, температура которой рав-
на Tc=20◦C. Коэффициент теплоотдачи ме-
жду окружающей средой и материалом ци-
линдра принят постоянным: αT =25 Вт/(м2 ·◦ C).
При расчете температурных полей теплофизи-
ческие характеристики были λq=0.5 Вт/(м ·◦ C),
cρ=1.5 МДж/(м3 ·◦ C).
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
2,95 3,05 3,15 3,25 3,35 3,45
*10
-4
, 1/c
W *10
4
,
Рис. 1. Амплитудно-частотная характеристика
цилиндрической панели
20
40
60
80
2,95 3,15 3,35 3,55
*10
-4
, 1/c
T,
0
C
Рис. 2. Температурно-частотная характеристика
цилиндрической панели
На рис. 1, 2 представлены амплитудно- и
температурно-частотная характеристики толсто-
стенной цилиндрической панели с шарнирно опер-
тыми торцами в окрестности первого изгибного
резонанса панели, полученные с использованием
трехмерной теории. Они имеют резонансный ха-
рактер с весьма низкой добротностью. Вычисле-
ния проведены при P0=0.2·105 Па.
На рис. 3 – 6 показаны зависимости максималь-
ных амплитуды и температуры, собственной ча-
стоты и коэффициента демпфирования соответ-
ственно от толщины h внутреннего демпфирую-
щего слоя цилиндрической панели. Как видно из
представленных графиков, структурная неодноро-
дность существенно влияет на динамические хара-
ктеристики толстостенной панели. Как и ожида-
лось, все зависимости, кроме коэффициента дем-
пфирования, имеют монотонный характер. При
этом с ростом h амплитуда и температура растут, а
частота падает. Вместе с тем, при больших толщи-
нах демпфирующего слоя интегральный коэффи-
циент диссипации перестает расти и даже несколь-
ко падает.
В ходе решения задачи четвертую часть панели
В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 0,005 0,01 0,015 0,02
h*10
3
,
W*10
4
,
Рис. 3. Зависимость максимальной амплитуды
от толщины внутреннего слоя
цилиндрической панели
20
30
40
50
60
70
80
0 0,005 0,01 0,015 0,02
h*10
3
,
T,
0
C
Рис. 4. Зависимость максимальной температуры
от толщины внутреннего слоя
цилиндрической панели
неравномерно разбивали на 128 конечных элемен-
тов с узловыми точками. Сгущение элементов про-
водилось в областях, прилегающих к торцам ци-
линдра. В этих элементах деформации и напряже-
ния вычислялись в точках интегрирования Гаус-
са, а затем проводилось осреднение их по элемен-
ту. Это дает возможность устранить резкий ска-
чок диссипативной функции в окрестности угло-
вых точек панели.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрена пространственная задача о резонан-
сных колебаниях и диссипативном разогреве тол-
стостенной трехслойной цилиндрической панели с
внутренним демпфирующим вязкоупругим слоем
с шарнирно опертыми торцами и независящими
от температуры механическими характеристика-
ми материалов слоев при действии на нее гармони-
ческого во времени равномерного поверхностного
давления. Для этого случая связанная задача тер-
3
3,5
4
4,5
5
0 0,005 0,01 0,015 0,02
h*10
3
,
*10
-4
,
Рис. 5. Зависимость собственной частоты
от толщины внутреннего слоя
цилиндрической панели
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,005 0,01 0,015 0,02
h*10
3
,
k
Рис. 6. Зависимость коэффициента демпфирования
от толщины внутреннего слоя
цилиндрической панели
момеханики сведена к решению последовательно-
сти трех задач:
1) динамической трехмерной задачи о выну-
жденных резонансных колебаниях толсто-
стенной вязкоупругой цилиндрической пане-
ли;
2) расчету диссипативной функции по известно-
му решению задачи механики;
3) решению трехмерной нестационарной зада-
чи теплопроводности с известным источником
тепла.
Для решения первой и третьей задач разра-
ботан конечно-элементный метод. Рассчитаны
амплитудно- и температурно-частотная зависимо-
сти, а также зависимости максимальной амплиту-
ды, максимальной температуры, собственной ча-
стоты и коэффициента демпфирования от толщи-
ны внутреннего демпфирующего слоя толстостен-
28 В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2010. Том 13, N 1. С. 22 – 29
ной цилиндрической панели. Показано, что стру-
ктурная неоднородность существенным образом
влияет на указанные динамические характеристи-
ки панели.
Таким образом, предложенная методика позво-
ляет изучить термомеханическое поведение тол-
стостенной цилиндрической панели из вязкоупру-
гих материалов и исследовать влияние различных
факторов на эффективность пассивного демпфи-
рования ее вынужденных резонансных гармониче-
ских колебаний.
1. Hamidzaden H. R., Jazar R. N. Vibrations of thick
cylindrical structures.– New York: Springer, 2010.–
201 с.
2. Потураев В. Н., Дырда В. И., Карнаухов В. Г. и др.
Термомеханика эластомерных элементов констру-
кций при циклическом нагружении.– К.: Наук.
думка, 1987.– 288 с.
3. Скорняков Э. С. Теоретические основы ра-
счета и численное исследование напряженно-
деформированного состояния крупногабаритных
шин.– Днепропетровск: Гос. НИИ крупногабари-
тных шин, 1995.– 46 с.
4. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих
материалов (применительно к зарядам ракетных
двигателей на твердом топливе).– М.: Наука,
1972.– 328 с.
5. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А.
Электроупругость / Механика связанных полей в
элементах конструкций. Том 5.– К.: Наук. думка,
1989.– 290 с.
6. Савченко Е. В. Пассивное демпфирование колеба-
ний композитных конструкций.– Нежин: Аспект-
Полiграф, 2006.– 232 с.
7. Волков С. С., Орлов Ю. Н., Черняк Б. Я. Сварка
пластмасс ультразвуком.– М.: Химия, 1974.– 264 с.
8. Холопов Ю. В. Ультразвуковая сварка
пластмасс.– Л.: Машиностроение, 1988.– 224 с.
9. Falk M. H., Issels R. D. Hypertermia in oncology //
Int. J. Hypertermia.– 2001.– 201, N 1.– P. 1–18.
10. Карнаухов В. Г. Связанные задачи
термовязкоупругости.– К.: Наук. думка, 1982.–
260 с.
11. Карнаухов В. Г., Сенченков И. К., Гуменюк Б. П.
Термомеханическое поведение вязкоупругих тел
при гармоническом нагружении.– К.: Наук. дум-
ка, 1985.– 288 с.
12. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Связанные зада-
чи теории вязкоупругих пластин и оболочек.– К.:
Наук. думка, 1986.– 224 с.
13. Карнаухов В. Г., Киричок И. Ф. Электротермо-
вязкоупругость / Механика связанных полей в
элементах конструкций. Том 4.– К.: Наук. думка,
1988.– 320 с.
14. Карнаухов В. Г., Гуменюк Б. П. Термомеханика
предварительно деформированных вязкоупругих
тел.– К.: Наук. думка, 1990.– 304 с.
15. Томашевский В. Т., Шульга Н. А. (ред.) Техно-
логические напряжения в материалах / Механи-
ка композитов. Том 6.– К.: ПТОО “АСК”, 1997.–
394 с.
16. Кубенко В. Д. (ред.) Динамика элементов констру-
кций / Механика композитов. Том 9.– К.: ПТОО
“АСК”, 1999.– 384 с.
17. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная
термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении.– Житомир:
ЖГТУ, 2005.– 428 с.
18. Karnaukhov V. G. Senchenkov I. K. Generalized
models of the thermomechanical behavior of vi-
scoelastic materials with allowance for the interacti-
on of mechanical and thermal fields (Review) // Int.
Appl. Mech.– 2000.– 36, N 1.– P. 40–63.
19. Karnaukhov V. G., Kirichok I. F. Forced harmonic
vibrations and dissipative heating-up of viscoelastic
thin-walled elements (Review) // Int. Appl. Mech.–
2000.– 36, N 2.– P. 174–196.
20. Karnaukhov V. G., Kirichok I. F. Kozlov V. I.
Electromechanical vibrations and dissipative heating
of viscoelastic thin-walled piezoelements (Review) //
Int. Appl. Mech.– 2001.– 37, N 2.– P. 182–212.
21. Senchenkov I. K., Karnaukhov V. G.
Thertmomechanical behavior of nonlinearly vi-
scoelastic materials under harmonic loading (Revi-
ew) // Int. Appl. Mech.– 2001.– 37, N 11.–
P. 1400–1432.
22. Karnaukhov V. G., Michailenko V. V. Nonlinear
single-frequency vibrations and dissipative heating of
inelastic piezoelectric bodies (Review) // Int. Appl.
Mech.– 2002.– 38, N 5.– P. 521–547.
23. Karnaukhov V. G. Thermal failure of polymeric
structural elements under monoharmonic deformati-
on // Int. Appl. Mech.– 2004.– 40, N 6.– P. 622–655.
24. Senchenkov I. K., Zhuk Ya. A., Karnaukhov V. G.
Thertmomechanical behavior of physically nonlinear
materials under monoharmonic loading (Review) //
Int. Appl. Mech.– 2004.– 40, N 9.– P. 943–965.
25. Karnaukhov V. G. Thermomechanics of coupled fi-
elds in passive and piezoactive inelastic bodies under
harmonic deformation // J. Therm. Stress.– 2005.–
28, N 6-7.– P. 783–815.
26. Григоренко Я. М., Шевченко Ю. Н. Василен-
ко А. Т. и др. Численные методы / Механика ком-
позитов. Том 11.– К.: ПТОО “АСК”, 2002.– 448 с.
27. Савченко В. Г., Шевченко Ю. Н. Неосесимме-
тричное термонапряженное состояние слоистых
тел вращения из ортотропных материалов при
неизотермическом нагружении // Мех. композит.
матер.– 2004.– 40, N 6.– С. 731–752.
28. Козлов В. И. Якименко С. Н. Термомеханическое
поведение вязко-упругих тел вращения при осе-
симметричном гармоническом деформировании //
Прикл. мех.– 1989.– 25, N 5.– С. С.22–28.
29. Hensen J. S., Heppler G. K. A Mindlin shell element
which satisfies rigid body requirements // ALAA J.–
1985.– 22, N 2.– P. 288–295.
30. Козлов В. И. Колебания и диссипативный разо-
грев многослойной оболочки вращения из вязко-
упругого материала // Прикл. мех.– 1996.– 32,
N 6.– С. 82–89.
31. Зенкевич О. Метод конечных элементов в
технике.– М.: Мир, 1975.– 541 с.
В. И. Козлов, В. Г. Карнаухов, В. М. Сичко, А. В. Завгородний 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115421 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:24:40Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Козлов, В.И. Карнаухов, В.Г. Сичко, В.М. Завгородний, А.В. 2017-04-04T19:02:01Z 2017-04-04T19:02:01Z 2010 Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами / В.И. Козлов, В.Г. Карнаухов, В.М. Сичко, А.В. Завгородний // Акустичний вісник — 2010. —Т. 13, № 1. — С. 22-29. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115421 539.3 Рассмотрена связанная трехмерная задача о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве трехслойной толстостенной вязкоупругой цилиндрической панели с шарнирным опиранием торцов при действии
 на нее внешнего равномерного поверхностного гармонического давления. Учтено взаимодействие механических
 и тепловых полей в предположении о независимости свойств материала от температуры. Разработан конечно-элементный метод решения динамической задачи вязкоупругости и задачи теплопроводности с известным источником тепла. Рассчитаны амплитудно- и температурно-частотные характеристики, а также зависимости собственной
 частоты, коэффициента демпфирования, максимальных амплитуды и температуры разогрева от толщины демпфирующего среднего слоя панели при колебаниях на первой изгибной моде. Розглянуто зв’язану тривимiрну задачу про вимушенi гармонiчнi коливання й дисипативний розiгрiв тришарової
 товстостiнної в’язкопружної цилiндричної панелi з шарнiрним опиранням торцiв при дiї на неї зовнiшнього рiвномiрного поверхневого гармонiчного тиску. Враховано взаємодiю механiчних i теплових полiв за припущення про
 незалежнiсть властивостей матерiалу вiд температури. Розроблено скiнченно-елементний метод розв’язання динамiчної задачi в’язкопружностi та задачi теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла. Розрахованi амплiтудно- й
 температурно-частотнi характеристики, а також залежностi власної частоти, коефiцiєнта демпфiрування, максимальних амплiтуди й температури розiгрiву вiд товщини демпфiруючого середнього шару панелi при її коливаннях на першiй згиннiй модi. The paper deals with solving of coupled three-dimensional problem on forced harmonic vibration and dissipative heating
 of a viscoelastic three-layer thick cylindrical panel with
 simply supported edges under action of uniform harmonic external
 surface pressure. Coupling of the mechanical and thermal fields is taken into account and the material properties are chosen
 independent from temperature. A finite-element method is developed for solving of the dynamic viscoelastic problem and
 the problem of a thermal conductivity with known thermal source. For the panel vibrating on the first bending mode, the amplitude- and temperature-frequency characteristics have been calculated as well, as dependencies of natural frequency,
 damping coefficient, maximal amplitude and heating temperature on the thickness of damping middle layer of the panel. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами Forced resonance vibration and dissipative heating of a three-layered thick-wall simply supported viscoelastic cylindrical panel with temperature-independent properties Вимушені резонансні коливання й дисипативний розігрів тришарової товстостінної шарнірно опертої в’язкопружної циліндричної панелі з незалежними від температури властивостями Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами Козлов, В.И. Карнаухов, В.Г. Сичко, В.М. Завгородний, А.В. |
| title | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами |
| title_alt | Forced resonance vibration and dissipative heating of a three-layered thick-wall simply supported viscoelastic cylindrical panel with temperature-independent properties Вимушені резонансні коливання й дисипативний розігрів тришарової товстостінної шарнірно опертої в’язкопружної циліндричної панелі з незалежними від температури властивостями |
| title_full | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами |
| title_fullStr | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами |
| title_full_unstemmed | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами |
| title_short | Вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами |
| title_sort | вынужденные резонансные колебания и диссипативный разогрев трехслойной толстостенной шарнирно опертой вязкоупругой цилиндрической панели с независящими от температуры свойствами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115421 |
| work_keys_str_mv | AT kozlovvi vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevtrehsloinoitolstostennoišarnirnoopertoivâzkouprugoicilindričeskoipanelisnezavisâŝimiottemperaturysvoistvami AT karnauhovvg vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevtrehsloinoitolstostennoišarnirnoopertoivâzkouprugoicilindričeskoipanelisnezavisâŝimiottemperaturysvoistvami AT sičkovm vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevtrehsloinoitolstostennoišarnirnoopertoivâzkouprugoicilindričeskoipanelisnezavisâŝimiottemperaturysvoistvami AT zavgorodniiav vynuždennyerezonansnyekolebaniâidissipativnyirazogrevtrehsloinoitolstostennoišarnirnoopertoivâzkouprugoicilindričeskoipanelisnezavisâŝimiottemperaturysvoistvami AT kozlovvi forcedresonancevibrationanddissipativeheatingofathreelayeredthickwallsimplysupportedviscoelasticcylindricalpanelwithtemperatureindependentproperties AT karnauhovvg forcedresonancevibrationanddissipativeheatingofathreelayeredthickwallsimplysupportedviscoelasticcylindricalpanelwithtemperatureindependentproperties AT sičkovm forcedresonancevibrationanddissipativeheatingofathreelayeredthickwallsimplysupportedviscoelasticcylindricalpanelwithtemperatureindependentproperties AT zavgorodniiav forcedresonancevibrationanddissipativeheatingofathreelayeredthickwallsimplysupportedviscoelasticcylindricalpanelwithtemperatureindependentproperties AT kozlovvi vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívtrišarovoítovstostínnoíšarnírnoopertoívâzkopružnoícilíndričnoípanelíznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmi AT karnauhovvg vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívtrišarovoítovstostínnoíšarnírnoopertoívâzkopružnoícilíndričnoípanelíznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmi AT sičkovm vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívtrišarovoítovstostínnoíšarnírnoopertoívâzkopružnoícilíndričnoípanelíznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmi AT zavgorodniiav vimušenírezonansníkolivannâidisipativniirozígrívtrišarovoítovstostínnoíšarnírnoopertoívâzkopružnoícilíndričnoípanelíznezaležnimivídtemperaturivlastivostâmi |