Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями
Получено аналитическое решение стационарной линейной задачи Рэлея для конвективной ячейки в цилиндрической геометрии с твердыми граничными условиями. На его основе построены аналитические выражения для нейтральных кривых в случае твердых и смешанных граничных условий. Показано, что нейтральные кривы...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2017
|
| Назва видання: | Проблемы машиностроения |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115660 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями / О.Л. Андреева, А.О. Костиков, В.И. Ткаченко // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115660 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1156602025-02-23T18:16:45Z Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями Analytical solution and neutral curves of the stationary linear Rayleigh problem with rigid and mixed boundary conditions in cylindrical geometry Андреева, О.Л. Костиков, А.О. Ткаченко, В.И. Теплопередача в машиностроительных конструкциях Получено аналитическое решение стационарной линейной задачи Рэлея для конвективной ячейки в цилиндрической геометрии с твердыми граничными условиями. На его основе построены аналитические выражения для нейтральных кривых в случае твердых и смешанных граничных условий. Показано, что нейтральные кривые с достаточной степенью точности соответствуют численным расчетам, полученным другими авторами. Отримано аналітичний розв’язок стаціонарної лінійної задачі Релея для конвективної комірки в циліндричній геометрії з твердими граничними умовами. На його основі побудовано аналітичні вирази для нейтральних кривих у випадку твердих і змішаних граничних умов. Показано, що нейтральні криві з достатнім ступенем точності відповідають чисельним розрахункам, отриманим іншими авторами. An analytical solution for the convective cells in a cylindrical geometry with rigid borders for the stationary linear Rayleigh problem is received. For a special case there were obtained expressions of distribution for perturbed velocity and temperature in cylindrical system coordinate with rigid boundaries. Selected results can be useful in solving the problem of stationary Rayleigh solid boundaries in the rectangular coordinate system This distributions were compared to similar property for free convective cell for the main mode. In order to construct the neutral curves let’s use the solutions invariance with respect to the scale-shift transformation of the problem’s parameters. The term "invariance with respect to the scale-shift transformation" responds to the immutability of the solutions. On the basis of the analytical solutions analytical expressions are built for the neutral curves in the case of rigid or mixed boundary conditions. It is shown that those neutral curves correspond with sufficient precision to the ones numerically calculated by other authors. 2017 Article Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями / О.Л. Андреева, А.О. Костиков, В.И. Ткаченко // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115660 632.5 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теплопередача в машиностроительных конструкциях Теплопередача в машиностроительных конструкциях |
| spellingShingle |
Теплопередача в машиностроительных конструкциях Теплопередача в машиностроительных конструкциях Андреева, О.Л. Костиков, А.О. Ткаченко, В.И. Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями Проблемы машиностроения |
| description |
Получено аналитическое решение стационарной линейной задачи Рэлея для конвективной ячейки в цилиндрической геометрии с твердыми граничными условиями. На его основе построены аналитические выражения для нейтральных кривых в случае твердых и смешанных граничных условий. Показано, что нейтральные кривые с достаточной степенью точности соответствуют численным расчетам, полученным другими авторами. |
| format |
Article |
| author |
Андреева, О.Л. Костиков, А.О. Ткаченко, В.И. |
| author_facet |
Андреева, О.Л. Костиков, А.О. Ткаченко, В.И. |
| author_sort |
Андреева, О.Л. |
| title |
Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями |
| title_short |
Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями |
| title_full |
Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями |
| title_fullStr |
Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями |
| title_full_unstemmed |
Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями |
| title_sort |
аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Теплопередача в машиностроительных конструкциях |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115660 |
| citation_txt |
Аналитические решения и нейтральные кривые стационарных линейных задач Рэлея для цилиндрических конвективных ячеек с твердыми и смешанными граничными условиями / О.Л. Андреева, А.О. Костиков, В.И. Ткаченко // Проблемы машиностроения. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT andreevaol analitičeskierešeniâinejtralʹnyekrivyestacionarnyhlinejnyhzadačréleâdlâcilindričeskihkonvektivnyhâčeekstverdymiismešannymigraničnymiusloviâmi AT kostikovao analitičeskierešeniâinejtralʹnyekrivyestacionarnyhlinejnyhzadačréleâdlâcilindričeskihkonvektivnyhâčeekstverdymiismešannymigraničnymiusloviâmi AT tkačenkovi analitičeskierešeniâinejtralʹnyekrivyestacionarnyhlinejnyhzadačréleâdlâcilindričeskihkonvektivnyhâčeekstverdymiismešannymigraničnymiusloviâmi AT andreevaol analyticalsolutionandneutralcurvesofthestationarylinearrayleighproblemwithrigidandmixedboundaryconditionsincylindricalgeometry AT kostikovao analyticalsolutionandneutralcurvesofthestationarylinearrayleighproblemwithrigidandmixedboundaryconditionsincylindricalgeometry AT tkačenkovi analyticalsolutionandneutralcurvesofthestationarylinearrayleighproblemwithrigidandmixedboundaryconditionsincylindricalgeometry |
| first_indexed |
2025-11-24T06:13:16Z |
| last_indexed |
2025-11-24T06:13:16Z |
| _version_ |
1849651150962294784 |
| fulltext |
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2017, Т. 20, № 1 17
1
1,2
О. Л. Андреева
1,3
А. О. Костиков, д-р техн. наук
2,3
В. И. Ткаченко, д-р физ.-мат. наук
1
Институт проблем машиностроения
им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
г. Харьков,
е-mail: andreevaoksana@kipt.kharkov.ua,
e-mail: kostikov@ipmach.kharkov.ua
2
Национальный научный центр
«Харьковский физико-технический институт»
НАН Украины,
3
Харьковский национальный университет
имени В. Н. Каразина
e-mail: tkachenko@kipt.kharkov.ua
УДК 632.5
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И
НЕЙТРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ЗАДАЧ РЭЛЕЯ ДЛЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
КОНВЕКТИВНЫХ ЯЧЕЕК С
ТВЕРДЫМИ И СМЕШАННЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Отримано аналітичний розв’язок стаціонарної лі-
нійної задачі Релея для конвективної комірки в цилі-
ндричній геометрії з твердими граничними умовами.
На його основі побудовано аналітичні вирази для
нейтральних кривих у випадку твердих і змішаних
граничних умов. Показано, що нейтральні криві з
достатнім ступенем точності відповідають чисе-
льним розрахункам, отриманим іншими авторами.
Ключові слова: стаціонарна лінійна задача Релея, ци-
ліндрична геометрія, тверді або змішані граничні умо-
ви, аналітичний розв’язок, нейтральні криві.
Введение
Тепловая конвекция широко распространена в природе [1, 2]. Эти процессы также использу-
ются во многих промышленных технологиях [3]. В частности, конвективный теплообмен – в теплич-
ном производстве сельскохозяйственной продукции [4]. Он также широко применяется в процессах
выращивания кристаллов для микроэлектроники [5]. Явление формирования конвективных структур
находит применение при лазерной обработке материалов [6].
Для описания процессов конвекции в слоях вязкой несжимаемой подогреваемой снизу жид-
кости используются уравнения Навье–Стокса в приближении Буссинеска (НСПБ). При этом разли-
чают три типа задач конвекции, в зависимости от вида граничных условий: в задачах со «свободны-
ми» условиями отсутствуют касательные напряжения на границах слоя жидкости, что соответствует
ее свободной поверхности; «твердые» условия описывают поверхность жидкости, контактирующую с
твердой стенкой, и предполагают равенство нулю вертикальной компоненты скорости и ее градиента;
в задачах со «смешанными» условиями присутствует комбинация свободных и твердых границ [1, 7–
9].
Решения стационарных линеаризованных уравнений НСПБ с несвободными граничными
условиями для возмущений скорости и температуры, в отличие от свободных граничных условий, не
получены в аналитическом виде и поэтому ищутся с помощью численных методов [6, 8].
В связи с вышеизложенным задача поиска аналитических решений стационарных линеаризо-
ванных уравнений НСПБ с несвободными граничными условиями является актуальной.
Теория тепломассопереноса в цилиндрической ячейке с твердыми граничными условиями
В [1] представлены результаты исследования в декартовой системе координат тепловой кон-
векции в горизонтальном, бесконечном в направлениях х и у слое толщиной h вязкой жидкости с
твердыми граничными условиями. В этой задаче ось z направлена вверх перпендикулярно к границам
слоя z = 0 и z = h. Распределение температуры внутри слоя T0(z) задано таким образом, что темпера-
тура нижней границы была выше температуры верхней: T0(0) = T2, T0(h) = T1, (T2 > T1). Для простоты
расчетов в [1] предполагается, что в состоянии равновесия зависимость температуры слоя от коорди-
наты z описывается линейной функцией с градиентом
ze
h
zT
rΘ
−=∇ )(0 , (1)
О. Л. Андреева, А. О. Костиков, В. И. Ткаченко, 2017
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2017, Т. 20, № 1 18
где Θ = T2 – T1 – разность температур, поддерживаемых на нижней и верхней границах; ze
r
– единич-
ный вектор, направленный вдоль соответствующей оси.
Ниже рассмотрим задачу о тепловой конвекции в слое вязкой, несжимаемой, подогреваемой
снизу жидкости в цилиндрической геометрии. Выбор такой геометрии основан на следующих фактах.
Из экспериментальных данных, полученных в работе [10], можно сформулировать такие вы-
воды:
– конвективные ячейки в момент возникновения имеют цилиндрическую форму;
– внутренняя структура конвективных потоков в ячейках не зависит от азимутального угла ϕ.
На основании этих выводов будем искать решения линеаризованных уравнений Навье–
Стокса [7] в цилиндрической геометрии при условии отсутствия в решениях зависимости от азиму-
тального угла. В данном случае в слое с плоскими границами исходные уравнения для возмущений
вертикальной скорости vz и температуры T имеют вид
TRvv
t
zz ⊥∆+∆∆=∆
∂
∂
, (2)
zvT
t
T
P +∆=
∂
∂
, (3)
где
2
2
z∂
∂
+∆=∆ ⊥ – оператор Лапласа;
∂
∂
∂
∂
=∆⊥
r
r
rr
1
– поперечный лапласиан, в котором на осно-
вании осевой симметрии конвективной ячейки отсутствует слагаемое, характеризующее зависимость
возмущений от азимутального угла, т. е. полагаем везде ∂…/∂ϕ = 0; R = gβh
3
Θ/(νχ) – число Рэлея; g –
ускорение свободного падения, направленное против оси z; P = ν/χ – число Прандтля; ν и χ – коэф-
фициенты кинематической вязкости и температуропроводности жидкости соответственно; β – коэф-
фициент объемного температурного расширения жидкости; vz, T – возмущения вертикальной скоро-
сти и температуры соответственно.
При приведении системы уравнений (2)–(3) к безразмерному виду использованы следующие
характерные единицы измерения: длины – толщина слоя h; времени – τ = h
2
ν
–1
; температуры – Θ.
Следует отметить, что для выбранной единицы длины безразмерная координата z изменяется в ин-
тервале 0 ≤ z ≤ 1.
Система уравнений (2)–(3) применима для определения так называемых «нормальных» [7]
возмущений в вязком подогреваемом снизу слое жидкости при условии, что она должна быть допол-
нена граничными условиями.
В настоящей работе рассмотрим твердые граничные условия, когда на границах при z = 0 и
z = 1, отсутствуют возмущения скорости и температуры, и производная вертикальной компоненты
скорости по координате равна нулю [1, 7]
0;0;0 =
∂
∂
===
z
v
Tvv z
zr . (4)
Получение аналитического решения
Решения линеаризованной системы НСПБ, которые описывают временную динамику возму-
щений вертикальной компоненты скорости и температуры цилиндрической ячейки, имеют вид [9]
vz(r, z, t) = v(z)J0(krr)exp(–λt), (5)
T(r, z, t) = ϑ(z)J0(krr)exp(–λt), (6)
где λ – собственные числа [1, 7]; v(z) и ϑ(z) – амплитуды возмущений вертикальной скорости и тем-
пературы соответственно; J0(x) – функции Бесселя первого рода нулевого порядка от аргумента x; kr –
радиальное волновое число.
В устойчивом состоянии (λ = 0) подстановка решений (5), (6) в линеаризованную систему
НСПБ приводит к характеристическому уравнению [7]
(q
2
– b)
3
= –a
3
, (7)
где a = (kr
2
R)
1/3
, b = kr
2
.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2017, Т. 20, № 1 19
Корни характеристического уравнения (7) определяются следующими выражениями:
( )
( ),)31(5,0
,)31(5,0,
6,5
4,32,1
−+
−+
−±=−+=
+±=++=−±=
iXXiabq
iXXiabqabq
(8)
где ,75,05,0
2/1
22
χ±+χ=± aX χ = 0,5a + b, 1−=i – мнимая единица.
Амплитуда вертикальной компоненты скорости (5) выражается в терминах характеристиче-
ских корней (8) и описывает нейтральные возмущения. Будем искать амплитуду в виде
)exp()(
6
1
zqCzv m
m
m∑
=
= , (9)
где Cm – произвольные константы, определяемые граничными условиями
v(0) = v(1) = 0, ∂v(0)/∂z = ∂v(1)/∂z = 0, ϑ(0) = ϑ(1) = 0. (10)
Уравнение (9) определяет значения критических чисел Рэлея и амплитуду нейтральных воз-
мущений. Их значения, как утверждается в [7], можно найти только в результате приближенного
численного решения трансцендентных уравнений.
Опишем метод получения решений (9) с граничными условиями (10) в простом аналитиче-
ском виде [10].
Для этого в (9) зададим следующие соотношения между константами Cm: C1 = C2 = A1/2,
C3 = C4 = C5 = C6 = –A1/(4ch(z0X+)), где A1 – произвольная константа; z0 = 0,5 – координата полушири-
ны слоя. В этом случае (9) принимает вид
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]+
−
+− −−−−= XzzzXzzXzzqchAzv 0
1
00011 chchcos)( .
Полагая π=−= inbaiq1 и требуя равенства π=−=− nbaX , определим амплитуду верти-
кальной скорости
( )( ) ( )[ ] ( )bazXzchXzzchAzv −−−= +
−
+ sin1)( 0
1
01 . (11)
Легко показать, что выражение (11) удовлетворяет граничным условиям (10).
Отметим, что равенство baX −=− справедливо при a = 8(nπ)
2
и b = 7(nπ)
2
.
Так как решение (7) описывает стационарное состояние цилиндрической ячейки (λ = 0), то
параметры a и b или их масштабно-сдвиговые аналоги (см. ниже), должны определить точку kr, ле-
жащую на нейтральной кривой ( )
r
rigid
n
kR .
Решение (11), а также полученные на его основе выражения для амплитуды возмущения тем-
пературы ϑ(z) (см. (5)) может быть использовано для сравнения с параметрами тепло- и массообмена
в конвективной ячейке со свободными граничными условиями [11].
Построение нейтральных кривых для задачи с твердыми граничными условиями
Используем решение (11) для построения нейтральных кривых ( )
r
rigid
n
kR стационарных со-
стояний цилиндрической ячейки с твердыми граничными условиями. В плоскости (R, kr) для заданно-
го n нейтральные кривые ( )
r
rigid
n
kR разделяют области устойчивых решений (ниже кривой) и области
неустойчивых решений (выше кривой) [7].
Для того чтобы построить нейтральные кривые, используем решение (11), а также свойство
инвариантности этого решения относительно масштабно-сдвигового преобразования параметров a и
b. Термин «инвариантность относительно масштабно-сдвиговых преобразований» характеризует
неизменность решения (11) и граничных условий (10), при добавлении к a и b некоторого постоянно-
го числа (сдвиговая инвариантность) или умножении их на другое постоянное число (масштабная
инвариантность).
Рассмотрим подробнее свойства инвариантности решений относительно сдвига или масшта-
бирований параметров a и b.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2017, Т. 20, № 1 20
Сдвиговая инвариантность. Сдвиг параметров a и b на произвольную величину x0
a – x0 = 8(nπ)2, b – x0 = 7(nπ)
2
, (12)
где –7(nπ)
2
≤ x0 < ∞ – произвольное число, не меняет выражение ba − в решении уравнения (7). Не
изменяются значения X± в соответствии с (12), а измененные параметры a – x0 и b – x0 сохраняют свои
значения. Таким образом, применение сдвигового преобразования дает аналитическое выражение для
числа Рэлея
( )( )
( ) n
n
rn
rnrigid
n
k
kn
b
a
R
µ
µ
⋅β
⋅β+π
==
3223
, (13)
где ( ) ( ) n
rn
kxn
µ
⋅β=−π 0
2
7 ; βn и µn – положительные натуральные числа, зависящие от номера моды n.
Масштабная инвариантность. Решение (11) характеризуется масштабной инвариантностью по
отношению к a и b. Чтобы убедиться в этом, выполним в (11) следующие замены: (z, z0) → αn
–1
⋅(z, z0).
Такая замена может быть истолкована как изменение толщины слоя h → αn⋅h, где αn ≠ 0 – произ-
вольное, зависящее от номера моды, положительное число, n ≥ 1, 2, 3, … . Тогда для обеспечения
масштабной инвариантности выражения (11) должны соблюдаться следующие условия изменения
параметров: a → αn
2
⋅a и b → αn
2
⋅b.
В результате описанных выше масштабно-сдвиговых преобразований выражение (13) может
быть записано в виде
( ) ( )( )
( ) n
n
rn
rn
n
n
nrigid
n
k
kn
b
a
R
µ
µ
⋅β
⋅β+π
α=
α
α
=
322
5
32
. (14)
Сравнение нейтральных кривых (14) (кривая 1, рисунок) с численными данными, полученны-
ми другими авторами [7] (точки на кривой 1), показывает их хорошее количественное соответствие.
Это позволяет с достаточной степенью точности определить величину констант в выражении (14) для
n = 1: α1 = 2,597, α2 = 1,674, β1 = 0,7, µ1 = 2,085. При этом максимальное относительное отклонение
числа Рэлея (14) от численных результатов [7] составляет величину порядка процента (находится в
интервале от –1,35 до 0,67%).
Маркер в виде квадрата в кружке на кривой
rigid
R1 (см. рисунок) соответствует точке
8038,17 =π=
r
k , ( ) ( ) 7062,1775,08775,0878 2323
11 =−π−πα= −rigid
R , отвечающей параметрам a = 8π
2
и
b = 7π
2
, которые получаются после масштабно-сдвиговых преобразований для параметров α1
= 0,963,
x0 = 5,087. Этот факт с доста-
точной точностью указывает
на расположение этой точки
на нейтральной кривой 1.
Таким образом, выра-
жение (14) для n = 1 определя-
ет функциональную зависи-
мость нейтральной кривой от
волнового числа kr.
Для модовых чисел
n > 1, используя минимальные
критические числа Рэлея го-
ризонтального слоя с тверды-
ми границами [7], можно по-
казать, что нейтральные
кривые определяются выра-
жением (14), в котором кон-
станты αn и βn должны быть
заданы в виде
Нейтральные кривые для модового числа n = 1:
1 – обе границы твердые; 2 – твердая и свободная границы
3 – обе границы свободные
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2017, Т. 20, № 1 21
( )
( ) 1
1
1
2
1
22
2
137.0
2
2
11
2
,2
2
µ
−µ
µ
−
µ
µ
π
−β+
π
β
=β≥
α=α
n
n
n
n
n
n
nn .
Определим показатель степени µn в выражении для βn.
Известно, что при больших значениях моды n различие в критических числах ячейки с твер-
дыми границами и свободной ячейки уменьшается [7], т. е. показатель степени µn с возрастанием но-
мера моды n должен стремиться к показателю степени для свободной ячейки (µn = 2). На основании
этого показатель степени µn можно аппроксимировать выражением
124,53
49,06
−
=µ
n
n
n . (15)
При n = 1; 2 выражение (15) дает µ1 = 2,085 и µ2 = 2,04, что с достаточной степенью точности
соответствует результатам численных расчетов [7].
При n → ∞, как отмечено выше, степень µn стремится сверху к двум. На рисунке видно хо-
рошее соответствие результатов численных расчетов точек нейтральной кривой для n = 2 и ее теоре-
тической оценки (14)
( )( )
( )
814,0,
2
2
2
3
2
22
22
2
2
=β
⋅β
⋅β+π
α=
µ
µ
r
rrigid
k
k
R .
Таким образом, на основании точного решения стационарной задачи Рэлея с твердыми гра-
ничными условиями для модовых чисел n ≥ 1 построено семейство нейтральных кривых, которые с
достаточно высокой степенью точности соответствуют результатам численных расчетов.
Построение нейтральных кривых для задачи со смешанными граничными условиями
На основе аналитической зависимости (14) найдем вид нейтральной кривой для случая сме-
шанных граничных условий, когда верхняя граница свободна, а нижняя является твердой. Можно
показать, что вид этой кривой (кривая 2 на рисунке) задается выражением
( )( )
( ) 2
2
2
4
3
2
22
21
2
2
µ
µ
⋅β
⋅β+π
α=
r
rmix
k
k
R . Кривая 2 в минимуме ( ) 1045,60
min1 =mix
R достаточно точно (до 5%) со-
ответствует критической точке, полученной численным методом Rm = 1100,657 [7].
Для сравнения рассмотрим аналитические зависимости нейтральных кривых с твердыми гра-
ничными условиями и нейтральной кривой со свободными граничными условиями из классической
задачи Релея (на рисунке – кривая 3, [7]). Из вида кривых следует, что аналитические зависимости
(14), (16) (кривые 1 и 2 соответственно) для больших аргументов kr не пересекаются и асимптотиче-
ски стремятся к нейтральной кривой ячейки со свободными граничными условиями (кривая 3).
В заключение отметим, что полученные результаты применимы при решении стационарной
задачи Рэлея с твердыми границами в декартовой системе координат. Для этого необходимо в (1) за-
менить kr на
22
yx
kkk += , а функцию J0(krr) – на exp(ikxx + ikyy).
Выводы
Таким образом, в настоящей работе получены аналитические решения стационарной линей-
ной задачи Рэлея с твердыми и смешанными граничными условиями. На основании полученных ре-
шений с учетом их сдвиговой и масштабной инвариантности построено семейство нейтральных кри-
вых для слоя вязкой, несжимаемой, подогреваемой снизу жидкости с твердыми и смешанными
граничными условиями.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2017, Т. 20, № 1 22
Литература
1. Chandrasekhar, S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability / S. Chandrasekhar. – Oxford University Press,
1970. – 657 p.
2. Неклюдов, И. М. Oписание ленгмюровских циркуляций упорядоченным набором конвективных кубических
ячеек / И. М. Неклюдов, Б. В. Борц, В. И. Ткаченко // Прикл. гидромеханика. – Т. 14(86), № 2, 2012. – С. 29–
40.
3. Щука, А. А. Наноэлектроника / А. А. Щука. – М.: Физматкнига, 2007. – 464 с.
4. Сажин, Б. С. Сушка и промывка текстильных материалов: теория, расчет процессов / Б. С. Сажин,
В. А. Реутский. – М.: Легпромбытиздат, 1990. – 224 с.
5. Мюллер, Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности / Г. Мюллер; [пер. с англ.
В. Бунэ]. – М.: Мир, 1991. – 143 с.
6. Рыкалин, Н. Н. Лазерная обработка материалов / Н. Н. Рыкалин, А. А. Углов, А. Н. Кокора. – М.: Машино-
строение, 1975. – 296 с.
7. Гершуни, Г. З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. – М:
Наука, 1972. – 393 с.
8. Strutt, J. W. (Lord Rау1еigh) / On convection currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is
on the under side // J. W. Strutt (Lord Rау1еigh). – Phil. Mag. – 1916. –Vol. 32. – P. 529–546.
9. Experimental study of liquid movement in free elementary convective sells / L. Bozbiei, B. Borts, Y. Kazarinov,
A. Kostikov, V. Tkachenko // Energetika. – 2015. – Vol. 61, № 2. – P. 45–56.
10. Patochkina, О. L. Elementary convection cell in the horizontal layer of viscous incompressible liquid with rigid and
mixed boundary conditions / О. L. Patochkina, B. V. Borts, V. I. Tkachenko // East-European J. Phys. – 2015. –
Vol. 2, № 1. – P. 23–31.
11. Bozbey, L. S. Elementary convective cell in the layer of incompressible, viscous liquid and its physical properties /
L. S. Bozbey, A. O. Kostikov, V. I. Tkachenko // Mode conversion, coherent structures and turbulence: Intern. conf.
MSS-14. – Space Research Institute, Moscow, 2014. – P. 322–328.
Поступила в редакцию 09.02.17
О. С. Цаканян,
канд. техн. наук
В. Н. Голощапов,
канд. техн. наук
С. В. Кошель,
канд. техн. наук
Н. Г. Ганжа
Институт проблем
машиностроения
им. А. Н. Подгорного
НАН Украины, г. Харьков,
e-mail: tsakoleg@rambler.ru
УДК 53.084;536.628.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТЕРЬ
УЧАСТКОВ МАГИСТРАЛЬНЫХ
ТЕПЛОПРОВОДОВ МЕТОДОМ ЭТАЛОНА
Розроблено методику вимірювань і конструкцію вимірювального приладу
для визначення рівня теплових втрат на будь-якій ділянці трубопроводів
незалежно від типу теплової ізоляції. Прилад являє собою встановлений на
трубу корпус з екранами на внутрішніх поверхнях і отворами знизу та зве-
рху для датчиків вимірювання температури й потоку повітря, якими ви-
значаються теплові втрати в навколишнє середовище. Попередньо прилад
градуюється в лабораторних умовах із застосуванням еталона теплової
потужності, в якому вона рівномірно розподілена поверхнею ділянки, що
імітує трубопровід. Еталон являє собою модель ділянки трубопроводу, що
містить нагрівач та інтегральний датчик температури. Змінюючи діа-
метр отвору в торцевих кришках приладу, його можна застосовувати для
вимірювання теплових втрат трубопроводів різного діаметра.
Ключові слова: теплові втра-
ти, вимірювання, еталон, тру-
бопровод.
Введение
На сегодняшний день десятки тысяч километров теплопроводов эксплуатируются с изношен-
ной или пришедшей в негодность теплоизоляцией. До 20% тепловой энергии теряется в окружаю-
щую среду. Качественная теплоизоляция позволяет минимизировать тепловые потери, которые рас-
О. С. Цаканян, В. Н. Голощапов, С. В. Кошель, Н. Г. Ганжа, 2017
|