Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса

Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса

Рассмотрены задачи вычислительной актуарной математики, динамического финансового анализа, оптимизации страхового бизнеса и возможность их решения с помощью параллельных вычислений на графических ускорителях. Оценка вероятности разорения и других показателей функционирования страховой компании выпол...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2014
Автор: Норкин, Б.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115780
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 112-125. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115780
record_format dspace
spelling Норкин, Б.В.
2017-04-12T08:46:44Z
2017-04-12T08:46:44Z
2014
Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 112-125. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115780
519.21
Рассмотрены задачи вычислительной актуарной математики, динамического финансового анализа, оптимизации страхового бизнеса и возможность их решения с помощью параллельных вычислений на графических ускорителях. Оценка вероятности разорения и других показателей функционирования страховой компании выполняется методом статистического моделирования Монте-Карло. Во многих случаях это единственно применимый метод. Поскольку вероятность разорения достаточно мала, для достижения приемлемой точности оценок может потребоваться астрономическое число стохастических экспериментов. Параллелизация метода Монте-Карло и использование графических ускорителей позволяют получить достаточно точный результат за приемлемое время. Представлены результаты численных экспериментов на разработанной системе актуарного моделирования, позволяющей использовать графический ускоритель, поддерживающий технологию Nvidia CUDA 1.3 и выше.
Розглянуто задачі обчислювальної актуарної математики, динамічного фінансового аналізу, оптимізації страхового бізнесу і можливість їх розв’язання за допомогою паралельних обчислень на графічних прискорювачах. Оцінка ймовірності розорення та інших показників функціонування страхової компанії здійснюється методом статистичного моделювання Монте-Карло. У багатьох випадках це єдиний застосовний метод. У зв’язку з тим, що ймовірність розорення досить мала, для досягнення прийнятної точності оцінок може знадобитися астрономічне число стохастичних експериментів. Паралелізація методу МонтеКарло та використання графічних прискорювачів дозволяє отримати достатньо точний результат за прийнятний час. Представлено результати чисельних експериментів на розробленій системі актуарного моделювання, що дозволяє використовувати графічний прискорювач з підримкою технології Nvidia CUDA 1.3 та вище.
Problems of computational actuarial mathematics, dynamic financial analysis, optimization of insurance business and the possibility of their solution by means of parallel computing on graphics accelerators are discussed. The ruin probability and other performance criteria of an insurance company are estimated by the Monte Carlo method. In many cases, this is the only applicable method. Since the ruin probability is small enough, to achieve an acceptable estimate accuracy it may be need an astronomical number of simulations. Parallelization of the Monte Carlo method and the use of graphical accelerators allow getting the desired result in a reasonable time. The results of numerical experiments on the developed system of actuarial modeling RISKUS, allowing the use of graphical accelerator that supports Nvidia CUDA 1.3 and higher are presented.
Работа выполнена частично при поддержке гранта Президента Украины для поддержки научных исследований молодых ученых, № GP/F49/121.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
Системний імітаційний аналіз і оптимізація страхового бізнесу
Simulation analysis and optimization of insurance business
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
spellingShingle Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
Норкин, Б.В.
Системный анализ
title_short Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
title_full Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
title_fullStr Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
title_full_unstemmed Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
title_sort системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса
author Норкин, Б.В.
author_facet Норкин, Б.В.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2014
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Системний імітаційний аналіз і оптимізація страхового бізнесу
Simulation analysis and optimization of insurance business
description Рассмотрены задачи вычислительной актуарной математики, динамического финансового анализа, оптимизации страхового бизнеса и возможность их решения с помощью параллельных вычислений на графических ускорителях. Оценка вероятности разорения и других показателей функционирования страховой компании выполняется методом статистического моделирования Монте-Карло. Во многих случаях это единственно применимый метод. Поскольку вероятность разорения достаточно мала, для достижения приемлемой точности оценок может потребоваться астрономическое число стохастических экспериментов. Параллелизация метода Монте-Карло и использование графических ускорителей позволяют получить достаточно точный результат за приемлемое время. Представлены результаты численных экспериментов на разработанной системе актуарного моделирования, позволяющей использовать графический ускоритель, поддерживающий технологию Nvidia CUDA 1.3 и выше. Розглянуто задачі обчислювальної актуарної математики, динамічного фінансового аналізу, оптимізації страхового бізнесу і можливість їх розв’язання за допомогою паралельних обчислень на графічних прискорювачах. Оцінка ймовірності розорення та інших показників функціонування страхової компанії здійснюється методом статистичного моделювання Монте-Карло. У багатьох випадках це єдиний застосовний метод. У зв’язку з тим, що ймовірність розорення досить мала, для досягнення прийнятної точності оцінок може знадобитися астрономічне число стохастичних експериментів. Паралелізація методу МонтеКарло та використання графічних прискорювачів дозволяє отримати достатньо точний результат за прийнятний час. Представлено результати чисельних експериментів на розробленій системі актуарного моделювання, що дозволяє використовувати графічний прискорювач з підримкою технології Nvidia CUDA 1.3 та вище. Problems of computational actuarial mathematics, dynamic financial analysis, optimization of insurance business and the possibility of their solution by means of parallel computing on graphics accelerators are discussed. The ruin probability and other performance criteria of an insurance company are estimated by the Monte Carlo method. In many cases, this is the only applicable method. Since the ruin probability is small enough, to achieve an acceptable estimate accuracy it may be need an astronomical number of simulations. Parallelization of the Monte Carlo method and the use of graphical accelerators allow getting the desired result in a reasonable time. The results of numerical experiments on the developed system of actuarial modeling RISKUS, allowing the use of graphical accelerator that supports Nvidia CUDA 1.3 and higher are presented.
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115780
citation_txt Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 112-125. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT norkinbv sistemnyiimitacionnyianalizioptimizaciâstrahovogobiznesa
AT norkinbv sistemniiímítacíiniianalízíoptimízacíâstrahovogobíznesu
AT norkinbv simulationanalysisandoptimizationofinsurancebusiness
first_indexed 2025-11-25T20:40:23Z
last_indexed 2025-11-25T20:40:23Z
_version_ 1850526173091594240
fulltext ÓÄÊ 519.21 Á.Â. ÍÎÐÊÈÍ ÑÈÑÒÅÌÍÛÉ ÈÌÈÒÀÖÈÎÍÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ È ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÑÒÐÀÕÎÂÎÃÎ ÁÈÇÍÅÑÀ1 Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû çàäà÷è âû÷èñëèòåëüíîé àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè, äèíàìè÷åñêîãî ôèíàíñîâîãî àíàëèçà, îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî áèçíåñà è âîçìîæíîñòü èõ ðåøåíèÿ ñ ïî- ìîùüþ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé íà ãðàôè÷åñêèõ óñêîðèòåëÿõ. Îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ è äðóãèõ ïîêàçàòåëåé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè âûïîëíÿåòñÿ ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Ìîíòå-Êàðëî. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýòî åäèí- ñòâåííî ïðèìåíèìûé ìåòîä. Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äîñòàòî÷íî ìàëà, äëÿ äîñòèæåíèÿ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè îöåíîê ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ àñòðîíîìè÷åñêîå ÷èñëî ñòîõàñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïàðàëëåëèçàöèÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî è èñïîëüçîâàíèå ãðàôè÷åñêèõ óñêîðèòåëåé ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî òî÷íûé ðåçóëüòàò çà ïðèåìëå- ìîå âðåìÿ. Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ íà ðàçðàáîòàííîé ñèñ- òåìå àêòóàðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùåé èñïîëüçîâàòü ãðàôè÷åñêèé óñêîðèòåëü, ïîääåðæèâàþùèé òåõíîëîãèþ Nvidia CUDA 1.3 è âûøå. Êëþ÷åâûå ñëîâà: âû÷èñëèòåëüíàÿ ñòðàõîâàÿ ìàòåìàòèêà, äèíàìè÷åñêèé ôèíàíñîâûé àíà- ëèç, èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå, îïòèìèçàöèÿ ñòðàõîâîãî áèçíåñà, ïðîöåññ ðèñêà, âåðî- ÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, ýôôåêòèâíàÿ ãðàíèöà, ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, GPGPU, CUDA. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ñóòü ñòðàõîâîãî áèçíåñà ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè ìàêñèìóìà ÷èñòîé ïðèáûëè ïðè äîñòàòî÷íûõ ñòðàõîâûõ ðåçåðâàõ äëÿ ïîêðûòèÿ ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé.  êà- ÷åñòâå ìåðû ðèñêà ìîæíî ïðèíÿòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, èëè íåïëàòåæåñïî- ñîáíîñòè êîìïàíèè, à ïðèáûëüíîñòü îöåíèâàòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ ïîëó÷åííûõ äèâèäåíäîâ è îñòàòêó êàïèòàëà â êîíöå ïëàíîâîãî ïåðèîäà âðåìåíè. Ïðè ýòîì âàæíî ñîáëþñòè òîíêèé áàëàíñ ìåæäó ïðèáûëüíîñòüþ è ðèñêàìè. Òàê, èçâåñò- íûé ïàðàäîêñ äå Ôèíåòòè [1; 2, Theorem 1.10(vi)] ñîñòîèò â òîì, ÷òî îïòè- ìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, ìàêñèìèçèðóþùàÿ ÷èñòóþ ñðåäíþþ äèñêîíòèðîâàííóþ ïðèáûëü (äèâèäåíäû) êîìïàíèè, ïðèâîäèò ê ðàçîðåíèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíè- öà (íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè). Äëÿ ôîðìàëüíîãî îïèñàíèÿ äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè ÷àñòî èñïîëü- çóåòñÿ êëàññè÷åñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ðèñêà (ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà), ìî- äåëèðóþùèé ñòîõàñòè÷åñêóþ ýâîëþöèþ êàïèòàëà ñòðàõîâîé êîìïàíèè [1–7].  ýòîé ìîäåëè, ñ îäíîé ñòîðîíû, êàïèòàë ìîíîòîííî è ëèíåéíî âîçðàñòàåò ñ òå÷å- íèåì âðåìåíè çà ñ÷åò íåïðåðûâíî ïîñòóïàþùèõ ïðåìèé, ñ äðóãîé — â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè (ïðèõîäà ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé) óáûâàåò íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷è- íó (òðåáîâàíèÿ). Êîìïàíèÿ ðàçîðÿåòñÿ, åñëè êàïèòàë ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå íóëÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî äàííûé ïðîöåññ íå îòðàæàåò ìíîãèõ àñïåêòîâ äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè, íàïðèìåð ïåðåñòðàõîâàíèå, èíâåñòèöèè, çàéìû, âûïëàòó äèâèäåíäîâ, âîçìîæíîñòü êàòàñòðîôè÷åñêèõ òðåáîâàíèé è äð. Ïîýòîìó äëÿ ìîäå- ëèðîâàíèÿ ðåàëüíîé ñòðàõîâîé êîìïàíèè èñïîëüçóþò ñòîõàñòè÷åñêèå èìèòàöè- îííûå ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî ôèíàíñîâîãî àíàëèçà [8–10], ó÷èòûâàþùèå âëèÿ- íèå ìíîãèõ óïðàâëÿþùèõ è ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ íà äèíàìèêó ðåçåðâîâ êîìïà- íèè.  êà÷åñòâå óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ïðèíèìàþò äîëè îò÷èñëåíèé â ñòðàõîâîé ðåçåðâ, îò÷èñëåíèÿ íà èíâåñòèöèîííóþ äåÿòåëüíîñòü, äèâèäåíäû, ïåðåñòðàõîâàíèå, òåêóùèå ðàñõîäû è äðóãèå ñòðàòåãè÷åñêèå ïàðàìåòðû óïðàâëå- 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ÷àñòè÷íî ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà Ïðåçèäåíòà Óêðàèíû äëÿ ïîääåðæêè íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé ìîëîäûõ ó÷åíûõ, ¹ GP/F49/121. © Á.Â. Íîðêèí, 2014 íèÿ, à â êà÷åñòâå âàæíûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ — óðîâåíü ñòðàõîâûõ âûïëàò (ïî îòíîøåíèþ ê ñòðàõîâûì ïðåìèÿì), äîõîäíîñòü èíâåñòèöèé, óðîâåíü èíôëÿöèè, óðîâåíü âûïëàò ïî äîãîâîðàì ïåðåñòðàõîâàíèÿ è äð. Ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû ìîäå- ëèðîâàíèÿ ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ íåîäíîçíà÷íû, à ñóòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Îäíîêðàòíîå ìîäåëèðîâàíèå òðàåêòîðèè èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëåé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ êîìïàíèè âî âðåìåíè íå äàåò ïîëíîãî ïðåäñòàâëå- íèÿ î êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ. Íåîáõîäèìî ïðîìîäåëèðîâàòü áîëüøîå ÷èñëî òðàåêòî- ðèé, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î âåðîÿòíîñòíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû êîìïàíèè. Òîãäà ìîæíî âû÷èñëèòü ëþáûå äåòåðìèíèðîâàííûå õàðàêòå- ðèñòèêè âûáðàííîé ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ: âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ íà çàäàííîì èí- òåðâàëå âðåìåíè, îæèäàåìûå äèâèäåíäû, îæèäàåìîå çíà÷åíèå îñòàòî÷íîãî ðåçåðâà è äð. Îäíàêî ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ îöåíêè ýòèõ ïîêàçàòåëåé, íàïðèìåð âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ àñòðîíîìè÷åñêîå ÷èñëî ñèìóëÿöèé, êîòîðîå íåâîçìîæíî âûïîëíèòü çà ïðèåìëåìîå âðåìÿ äàæå íà ñîâðåìåííûõ êîì- ïüþòåðàõ. Äàííàÿ ïðîáëåìà îñîçíàíà â ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêå, ïîýòîìó, íàïðèìåð, äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïðîöåññà ðèñêà ïîëó÷åíû ðàçíîîáðàçíûå ôîðìóëû ïðèáëèæåí- íîé îöåíêè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ [3–7]. Íî îíè íå ðàáîòàþò äëÿ áîëåå îáùèõ, à òåì áîëåå ðåàëüíûõ ìîäåëåé ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè. Óíèâåðñàëüíûì, à ÷àñòî åäèíñòâåííûì, ìåòîäîì ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî èìèòàöè- îííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Ìîíòå-Êàðëî. Íî îí ìîæåò ïîòðåáîâàòü îãðîìíîãî ÷èñëà ñèìóëÿöèé äëÿ äîñòèæåíèÿ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòè, ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü ðàçîðå- íèÿ îáû÷íî ÿâëÿåòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé [6]. Íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè äåñÿòè- ëåòíåé ñòðàõîâîé (êâàðòàëüíîé) ñòàòèñòèêè è äåñÿòèëåòíåãî ïëàíîâîãî ãîðèçîíòà ÷èñëî âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ ýâîëþöèè êàïèòàëà èìååò ïîðÿäîê 1064 , è ñîîòâåò- ñòâåííî âåðîÿòíîñòü êàæäîãî îòäåëüíîãî ñöåíàðèÿ ðàâíà 10 64� . Ïîëíûé ïåðåáîð òàêîãî êîëè÷åñòâà ñöåíàðèåâ, òî÷íîå âû÷èñëåíèå óñðåäíåííûõ ïîêàçàòåëåé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ êîìïàíèè ïî âñåì ñöåíàðèÿìè è âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ íå- âîçìîæíû íà ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðàõ. Îäíàêî íàðàùèâàíèå âû÷èñëèòåëüíîé ìîùíîñòè è ïàðàëëåëèçàöèÿ ïîçâîëÿþò ïðèáëèæåííî ðåøèòü ïðîáëåìó ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ.  ðàáîòàõ [11–13] ïàðàëëåëüíàÿ âåðñèÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (íàðÿäó ñ ïàðàëëåëüíûì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëè- æåíèé) ðåàëèçîâàíà íà êëàñòåðå èç íåñêîëüêèõ ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ è ïðè- ìåíåíà äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ êàê ôóíêöèè îò íà÷àëüíîãî êàïè- òàëà ñòðàõîâîé êîìïàíèè.  [14, 15] àíîíñèðîâàíà ïðîãðàììíàÿ ñèñòåìà, ïðåäíà- çíà÷åííàÿ äëÿ ïàðàëëåëüíîãî èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ýâîëþöèè ðåçåðâîâ ñòðàõîâîé êîìïàíèè (ïàðàëëåëüíûé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî) è ðåøåíèÿ ðàçíîîáðàç- íûõ àêòóàðíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷. Ñèñòåìà ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü ðàñ÷åòû êàê íà öåíòðàëüíîì (ìíîãîÿäåðíîì) ïðîöåññîðå, òàê è ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêîãî óñêîðèòåëÿ ñ ïðîãðàììíîé àðõèòåêòóðîé Nvidia CUDA [16], à òàêæå äåñÿòêè ìèë- ëèîíîâ ñèìóëÿöèé â ðåàëüíîì âðåìåíè, îïåðàòèâíî ìîäåëèðîâàòü ôóíêöèîíèðîâà- íèå ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïðè òåõ èëè èíûõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, îöåíèâàòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, ïðîãíîçèðîâàòü îæèäàåìûå ðåçóëüòàòû, èññëåäî- âàòü çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëåé ðàáîòû êîìïàíèè îò ëþáûõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåò- ðîâ, ñîïîñòàâëÿòü ðèñê è äîõîäíîñòü.  ñèñòåìå èñïîëüçóþò äàííûå ðåàëüíîé ñòðà- õîâîé ñòàòèñòèêè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå îïèñûâàþòñÿ ïðèíöèïû ðàáîòû íîâîé âåð- ñèè ñèñòåìû è ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Èñïîëüçîâàíèå ãðàôè÷åñêîãî óñêîðèòåëÿ (Nvidia GeForce GTX 560 2Gb) ïî- çâîëèëî ñîêðàòèòü âðåìÿ ðàñ÷åòîâ íà ïîðÿäîê ïî ñðàâíåíèþ ñ ïàðàëëåëüíûìè ðàñ÷åòàìè íà ÷åòûðåõúÿäåðíîì öåíòðàëüíîì ïðîöåññîðå Intel Core i5 3570K. Áî- ëåå òîãî, ñêîðîñòü âû÷èñëåíèé äåëàåò âîçìîæíûì ïîñëåäîâàòåëüíóþ (ïîêîîðäè- íàòíóþ) îïòèìèçàöèþ ðàáîòû êîìïàíèè ïî ïàðàìåòðàì ñ ó÷åòîì äîõîäíîñòè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 113 è ðèñêà. Îòìåòèì, ÷òî çàëîæåííûå â ñèñòåìå ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïà- ðàìåòðè÷åñêèìè, ò.å. çàâèñÿò îò êîíå÷íîãî íàáîðà ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ. Âñå âà- ðèàöèè óïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ îòîáðàæàþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîêàçàòåëåé ðà- áîòû êîìïàíèè, à èìåííî â ïëîñêîñòè «äîõîäíîñòü–ðèñê», ÷òî ïîçâîëÿåò âûïîë- íÿòü öåëåíàïðàâëåííûé ïåðåáîð çíà÷åíèé îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ. Îäíîâðåìåííûé êîíòðîëü äîõîäíîñòè è ðèñêà äàåò âîçìîæíîñòü â êàêîé-òî ìåðå ïðåîäîëåòü ïàðàäîêñ äå Ôèíåòòè. Îòìåòèì, ÷òî â [17, 18] óêàçàííûé ïàðàäîêñ ðàçðåøàëñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ ÿâíîãî îãðàíè÷åíèÿ íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ.  ðàáîòå [2] ðàññìàòðèâàþòñÿ (âû÷èñëèòåëüíî áîëåå ñëîæíûå) çàäà÷è ñòîõàñòè- ÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèåé. Èñïîëüçîâàíèå ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé, â ÷àñòíîñòè ìóëüòèÿäåðíûõ ãðà- ôè÷åñêèõ óñêîðèòåëåé, ÿâëÿåòñÿ íîâûì ïåðñïåêòèâíûì íàïðàâëåíèåì â âû÷èñ- ëèòåëüíîé àêòóàðíîé ìàòåìàòèêå. Ïðèìåíåíèå ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ îïòèìèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé â ñòîõàñòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè îáñóæäàëîñü åùå Äæ. Äàíöèãîì [19, 20].  ðàáîòå [21] ðàññìàòðèâàþòñÿ áëèçêèå âîïðîñû ïàðàëëåëüíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé íà ãðàôè÷åñêèõ óñêîðèòåëÿõ.  [22, 23] ãðàôè÷åñêèå óñêîðèòåëè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. ÏÐÎÖÅÑÑÛ ÐÈÑÊÀ ÊÀÊ ÌÎÄÅËÈ ÝÂÎËÞÖÈÈ ÐÅÇÅÐÂΠÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÈ Àãðåãèðîâàííûå ìîäåëè. Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ îáÿçàíà ïîääåðæèâàòü íåêîòî- ðûé óðîâåíü ñòðàõîâûõ ðåçåðâîâ äëÿ ïîêðûòèÿ òåêóùèõ ñëó÷àéíûõ ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèè ðåçåðâîâ x t ñòðàõîâîé êîìïàíèè èìååò âèä x u c d x ds S t Tt s t t� � � � � �� ( ( )) , 0 0 , (1) ãäå t — âðåìåííîé ïàðàìåòð ( )0 � �t T , x u0 0� � — íà÷àëüíûé êàïèòàë (ñòðàõîâîé ðåçåðâ), S zt k k N t � � � 1 — àãðåãèðîâàííûå ñëó÷àéíûå ñòðàõîâûå òðåáîâà- íèÿ, zk — ñëó÷àéíûå òðåáîâàíèÿ â ìîìåíòû ( )t tk1 � �� , ãäå âðåìåíà ti èìå- þò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fti ( ) , N t — ÷èñëî ïîñòóïèâøèõ ê ìîìåíòó t ñëó- ÷àéíûõ òðåáîâàíèé, c — àãðåãèðîâàííàÿ ñòðàõîâàÿ ïðåìèÿ â åäèíèöó âðåìåíè, d( ) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, âûðàæàþùàÿ èíòåíñèâíîñòü âûïëàò äèâèäåíäîâ è äðóãèõ îò÷èñëåíèé â çàâèñèìîñòè îò òåêóùèõ ðåçåðâîâ, 0 � �d c( ) . Çäåñü ôóíêöèÿ d( ) èìååò ñìûñë ïîçèöèîííîãî óïðàâëåíèÿ äèâèäåíäàìè. Íàïðèìåð, d x x b x x b x x b x ( ) ( ( )), ( ), , ( ), � � � � � � 0 ãäå b( ) — íåêîòîðàÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåìàÿ äèâèäåíä- íûì áàðüåðîì, � — äîëÿ êàïèòàëà, íå èñïîëüçóåìàÿ íà âåäåíèå áèçíåñà (íà- ïðèìåð, äèâèäåíäû). Ìèíèìàëüíûé äèâèäåíäíûé áàðüåð çàêîíîäàòåëüíî ðåãó- ëèðóåòñÿ [24, ñò. 30].  êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà–äå Ôèíåò- òè [1–7] (ñ âû÷èòàíèåì ïîñòîÿííûõ äèâèäåíäîâ d, 0 � �d c) óðàâíåíèå ýâîëþöèè êàïèòàëà èìååò âèä x u c d t z t Tt k k N t � � � � � � � �( ) , 1 0 , (2) ãäå { }z kk , , , ...�1 2 — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû òðåáîâàíèé ñ îáùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F ( ) è ñðåäíèì �, N t — öåëî÷èñëåí- 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 íàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì � (âðå- ìåííàÿ èíòåíñèâíîñòü ïðèõîäà òðåáîâàíèé â ýêñïîíåíöèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè). Ïåðåñòðàõîâàíèå ðèñêîâ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì àñïåêòîì ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè. Ñ îäíîé ñòîðîíû, äîõîä êîìïàíèè óìåíüøàåòñÿ íà âåëè÷èíó ïðåìèè, âûïëà÷èâàå- ìîé ïåðåñòðàõóþùèì êîìïàíèÿì, ñ äðóãîé — âåëè÷èíà ôàêòè÷åñêèõ ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé ê êîìïàíèè óìåíüøàåòñÿ çà ñ÷åò ÷àñòè÷íîãî ïîêðûòèÿ òðåáîâàíèé ïåðå- ñòðàõîâóþùèìè êîìïàíèÿìè.  ñòðàõîâîé ñòàòèñòèêå ïåðåñòðàõîâàíèå îòîáðàæà- åòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ïîêàçàòåëåé: îáúåì r è óäåëüíûé âåñ � (èñõîäÿùåãî) ïåðåñòðàõîâàíèÿ â îáùåì îáúåìå ïðåìèé, îáúåì q âõîäÿùåãî ïåðåñòðàõîâàíèÿ îò ðåçèäåíòîâ è íåðåçèäåíòîâ (èíîñòðàííûõ ïåðåñòðàõîâàòåëåé), óðîâåíü � ïåðåñòðà- õîâûõ âûïëàò (îòíîøåíèå ïåðåñòðàõîâûõ âûïëàò ê ñòîèìîñòè ïåðåñòðàõîâàíèÿ). Ñ ó÷åòîì ïåðåñòðàõîâàíèÿ óðàâíåíèå ýâîëþöèè ðåçåðâîâ (1) ïðèíèìàåò âèä x u c r d x ds S Q r t Tt t s t t� � � � � � � �� 0 0( ( )) ( ( )), , ãäå r c� � — ÷àñòü ïðåìèè, âûïëà÷èâàåìàÿ ïåðåñòðàõîâàòåëþ, Q rt ( ) — ðåçóëüòè- ðóþùèå àãðåãèðîâàííûå âûïëàòû ïî äîãîâîðàì ïåðåñòðàõîâàíèÿ äî ìîìåíòà t. Íà ïðàêòèêå ôèíàíñîâîå ñîñòîÿíèå êîìïàíèè ðåãèñòðèðóåòñÿ â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè, íàïðèìåð ïîêâàðòàëüíî [25, 26].  ýòîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñ- êàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèè ðåçåðâîâ x t ñòðàõîâîé êîìïàíèè èìååò âèä x x c r s q dt t t t t t t� � � � � ��1 ( ) , (3) ãäå t T� �0 1 1, , ..., — äèñêðåòíûé âðåìåííîé ïàðàìåòð, x u0 0� � — íà÷àëü- íûé êàïèòàë (ðåçåðâ), x t — òåêóùèé ñòðàõîâîé ðåçåðâ â ìîìåíò t, {ct, r t, d t, s qt t, } — ñîîòâåòñòâåííî ñóììàðíûå êâàðòàëüíûå ïðåìèè, çàòðàòû íà äîãîâî- ðû ïåðåñòðàõîâàíèÿ, äèâèäåíäíûå âûïëàòû, ñëó÷àéíûå ñòðàõîâûå òðåáîâàíèÿ è âûïëàòû ïî äîãîâîðàì ïåðåñòðàõîâàíèÿ çà ïåðèîä t.  êà÷åñòâå àãðåãèðîâàííîé ìîäåëè ñòðàõîâûõ âûïëàò â (3) ìîæíî èñïîëüçî- âàòü ñîîòíîøåíèå [18] s q c r ct t t t t t t t t t� � � � �� � � � �( ) , (4) ãäå � t t tr c� / — óðîâåíü çàòðàò íà ïåðåñòðàõîâàíèå, ( , )� �t t — ðåàëèçàöèÿ íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ( , )� � , ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ èç ñòðàõîâîé ñòàòèñòèêè. Íàïðèìåð, ïóñòü èçâåñòíà èñòîðè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà { }c r s q m , , , , , ...,�1 . Òîãäà â êà÷åñòâå ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåê- òîðà ( , )� � ìîæíî âçÿòü ÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ âåêòîðîâ {( / , / )s c q r , �1, ..., }m â áîðåëåâñêèå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà � 2 . ×àñòî äîñòóïíàÿ ñòðàõîâàÿ ñòàòèñòèêà èìååò âèä { }c r s q m , , , , ...,� �1 [25, 26].  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå äîãîâîðû ïåðåñòðàõîâàíèÿ ïîñòðîåíû ïî ïðî- ïîðöèîíàëüíîìó ïðèíöèïó, ò.å. q r c s s �� �( / ) , ñîîòíîøåíèå (4) ïðèîá- ðåòàåò âèä s q st t t t� � �( )1 � . Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ (íåïëàòåæåñïîñîáíîñòè) ( ) � � � � Pr { inf } 0 0 t T tx ñòðàõîâîé êîìïàíèè êàê ôóíêöèþ îò ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà { }xt . Ýòó âåðîÿòíîñòü ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ìåðó ðèñêà ïðè óïðàâëåíèè ñòðà- õîâîé êîìïàíèåé. Íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ (íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè) â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ñòðàõîâîé êîìïàíèè (2) ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì òðåáîâàíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä [3–7]: � � � � � � � � ( , , , , ) exp ( ) , , , , u c d u � � � � � � �� � � �� � � � � 1 1 1 0 1 0 � � (5) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 115 ãäå � ��� � �( ) / ( )c d 1.  äàííîì ñëó÷àå çàâèñèìîñòü � �( , , , , )u c d èçâåñòíà â ÿâíîì âèäå. Åñëè ðàñïðåäåëåíèå òðåáîâàíèé íå ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì, òî äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ñïðàâåäëèâà îöåíêà [3–7] �( , , , , )u c d F e Ru� � , (6) ãäå R — ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü (åñëè îí ñóùåñòâóåò) óðàâíåíèÿ � c d e F y dyRy � � � � � � ( ( ))1 1 0 .  áîëåå îáùåé ìîäåëè (1) çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ îò ïàðàìåòðîâ íåèçâåñòíà è ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òîëüêî ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Ôîðìóëà (5) â äàííîé ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ òåñòèðîâàíèÿ è íàñòðîéêè ìåòîäà Ìîí- òå-Êàðëî. Êðîìå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàñïðåäåëåíèå êà- ïèòàëà xT â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè T è ïîëó÷åííûõ äèâèäåíäîâ d x dss T ( ) 0 � , èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ è äèñïåðñèè â ýòîò ìîìåíò, à òàêæå çàâèñèìîñòü ýòèõ âåëè- ÷èí îò ðàçíîîáðàçíûõ ïàðàìåòðîâ. Ìîäåëèðîâàíèå ïîðòôåëÿ ñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ.  ñòðàõîâàíèè ïîä ïîðò- ôåëåì ïîíèìàåòñÿ ñòðóêòóðà àãðåãèðîâàííûõ ñòðàõîâûõ ïðåìèé, ïîëó÷åííûõ îò ðàçíûõ âèäîâ ñòðàõîâàíèÿ, à òàêæå ñòðóêòóðà ïëàòåæåé çà ïåðåñòðàõîâàíèå ðàç- ëè÷íûõ âèäîâ ðèñêîâ. Äèíàìèêà ñòðàõîâûõ ðåçåðâîâ ñ ó÷åòîì (ôèêñèðîâàííîé) ñòðóêòóðû ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ïðè ïîñòîÿííûõ äèâèäåíäàõ îïèñûâàåòñÿ ñëåäó- þùèìè ñîîòíîøåíèÿìè [18]: x x y z y z dt t i i i n i t i i t i i n � � � � � �� � � � �1 1 1 ( ) ( )� � , x u0 � , t T�1, ..., , 0 � �z yi i , i n� �1 1, ..., , 0 1 � � � � �d y ci i n . Çäåñü âåêòîðíàÿ ïåðåìåííàÿ y y yn� ( , ..., )1 çàäàåò (ôèêñèðîâàííóþ) ñòðóêòóðó ïîðòôåëÿ ñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ êîìïàíèè, ïðè÷åì yi çàäàåò ïðåìèþ â åäèíèöó âðåìåíè îò i-ãî âèäà ñòðàõîâàíèÿ; âåêòîðíàÿ ïåðåìåííàÿ z z zn� � �( )1 � çàäàåò ñòðóêòóðó ïîðòôåëÿ äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, ãäå ïåðåìåííàÿ zi çàäàåò ïëà- òó â åäèíèöó âðåìåíè çà ïåðåñòðàõîâàíèå ðèñêîâ â i-ì âèäå ñòðàõîâàíèÿ; ïå- ðåìåííàÿ x x x xT� � �( , )0 1 � îïèñûâàåò ñòîõàñòè÷åñêóþ äèíàìèêó ñòðàõîâûõ ðåçåðâîâ êîìïàíèè â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t T� 0 1, , ..., è ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåêòîðíîé âåëè÷èíîé; ïåðåìåííàÿ d çàäàåò äåòåðìèíèðîâàííûå îò- ÷èñëåíèÿ îò ïðåìèé, íå ñâÿçàííûå ñî ñòðàõîâûìè âûïëàòàìè (íàïðèìåð, íàëî- ãè, çàðïëàòà, ïîääåðæàíèå èíôðàñòðóêòóðû, äèâèäåíäû è ò.ä.).  íàñòîÿùåé ñòàòüå íå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïà- íèåé, ïîýòîìó ïåðåìåííûå y z d, , íå çàâèñÿò îò âðåìåíè. Ïàðàìåòð c çàäàåò ïëàíèðóåìûé îáúåì ïðåìèé ïî âñåì ñòðàõîâûì äîãîâîðàì â åäèíèöó âðåìå- íè; x u0 � — íà÷àëüíûé ðåçåðâíûé êàïèòàë; T — ïëàíîâûé ãîðèçîíò âðåìåíè (÷èñëî êâàðòàëîâ èëè ëåò, ó÷èòûâàåìûõ äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ). Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà c d zi i n � � � � � � � � � � � � 1 çàäàåò îò÷èñëåíèÿ â åäèíèöó âðåìåíè ñ ïðåìèé â ñòðàõîâûå ðåçåðâû êîìïàíèè. Âåëè÷èíû ( )� �1 t n t� �� çàäàþò (ñëó- ÷àéíûå) óáûòî÷íîñòè ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñòðàõîâàíèÿ i n�1, ..., íà åäèíèöó äî- õîäà îò ïðåìèé â åäèíè÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè (êâàðòàë, ãîä è ò.ï.) ñ íîìå- 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 ðîì t, ò.å. � i t iy — ñóììàðíûå ñòðàõîâûå âûïëàòû ïî i-ìó âèäó ñòðàõîâàíèÿ â ïåðèîä âðåìåíè t T�1, ..., . Âåëè÷èíà � i t çàäàåò ñëó÷àéíóþ äîõîäíîñòü îò ïå- ðåñòðàõîâàíèÿ ðèñêîâ i-ãî âèäà, ò.å. âûïëàòû îò ïåðåñòðàõîâùèêîâ, ïðèõîäÿ- ùèåñÿ íà åäèíèöó ïðåìèé ïåðåñòðàõîâùèêàì ïî ðèñêàì i-ãî âèäà. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÑÒÐÀÕÎÂÎÃÎ ÁÈÇÍÅÑÀ Còðàõîâîé áèçíåñ ïðåäïîëàãàåò ïîëó÷åíèå ìàêñèìóìà ÷èñòîé ïðèáûëè ïðè äîñòàòî÷íûõ ñòðàõîâûõ ðåçåðâàõ äëÿ ïîêðûòèÿ âîçìîæíûõ ñòðàõîâûõ òðåáîâà- íèé ñ çàäàííîé ñòåïåíüþ íàäåæíîñòè.  êîíêóðåíòíîé ñðåäå êîìïàíèÿ ñòðå- ìèòñÿ ñîõðàíèòü èëè óâåëè÷èòü ñâîþ äîëþ íà ðûíêå. Îïòèìèçàöèÿ â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè. Òðàäèöè- îííàÿ òåîðèÿ ìèêðîýêîíîìèêè ñòðàõîâàíèÿ îñíîâàíà íà ïîíÿòèè îæèäàåìîé ïî- ëåçíîñòè [3]. Ýêîíîìè÷åñêèå àãåíòû, âêëþ÷àÿ ñòðàõîâûå êîìïàíèè, âûáèðàþò ñâîå ïîâåäåíèå, èñõîäÿ èç ïðèíöèïà ìàêñèìèçàöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè. Ôóí- êöèè ïîëåçíîñòè ïîçâîëÿþò êà÷åñòâåííî îáúÿñíèòü ìíîãèå ÿâëåíèÿ ýêîíîìèêè, íî ìàëîïðèãîäíû äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, ïîñêîëüêó íå èçìåðèìû ôèçè÷åñ- êèìè èëè èíûìè ïðÿìûìè ìåòîäàìè. Äðóãîé ïîäõîä ê àíàëèçó ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè îñíîâàí íà èññëåäîâàíèè äîõîäíîñòè è ðèñêà (âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ).  êà÷åñòâå ìåðû äîõîäíîñòè ìîãóò èñ- ïîëüçîâàòüñÿ ñîáðàííûå äèâèäåíäû [1, 2, 17, 18], êàïèòàë êîìïàíèè â êîíöå ïëàíî- âîãî ïåðèîäà [6] èëè ñðåäíÿÿ äîõîäíîñòü ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè [27], à â êà÷åñòâå ìåðû ðèñêà — äèñïåðñèÿ êàïèòàëà [6], âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ [2, 6], åå ýêñïîíåíöè- àëüíûå îöåíêè ñâåðõó [27, 28], êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà [2, Ch. 4; 3, ðàçä. 14.5; 29], ìà- òåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìàêñèìàëüíûõ ñóììàðíûõ ïîòåðü [3, ðàçä. 13.6, 14.4, 14.5] è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè ñîáûòèÿ ðàçîðåíèÿ.  ýòîì ïîäõîäå îñíîâíàÿ ïðîáëåìà — âû÷èñëåíèå èëè îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Äàííîé ïðîáëå- ìå ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà [3–7].  ðàáîòå [17], ñëåäóÿ [1], ïðèìåíÿëñÿ äðóãîé êðèòåðèé îïòèìèçàöèè — óðî- âåíü ÷èñòîé ïðèáûëè (äèâèäåíäîâ), à äëÿ ðàçðåøåíèÿ ïàðàäîêñà äå Ôèíåòòè íà- êëàäûâàëîñü îãðàíè÷åíèå ñâåðõó íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Ïðè ýòîì âìåñòî òî÷- íîé âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ èñïîëüçîâàëàñü åå ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îöåíêà (ðàíåå òà- êîé ïðèåì ïðèìåíÿëñÿ â [27]). Äàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà Ëóíäáåðãà â ÿâíîì âèäå, èñêëþ÷èòü ñëîæíîå âåðîÿòíîñòíîå îãðà- íè÷åíèå èç ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è, äåêîìïîçèðîâàòü çàäà÷ó è âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Îí ïðèìåíÿëñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷ óïðàâ- ëåíèÿ ñòðàõîâûì áèçíåñîì, à èìåííî äëÿ âûáîðà íà÷àëüíîãî ñòðàõîâîãî ðåçåðâà, îïòèìèçàöèè òàðèôîâ, ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ (ñîñòàâà ñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ), äîãî- âîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äèâèäåíäíîé ïîëèòèêîé êîì- ïàíèè [17].  êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ îïòèìèçàöèè èñïîëüçîâàëèñü êàê ïàðàìåòðû äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, òàê è èíûå õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðà- õîâîé êîìïàíèè, íàïðèìåð öåíû ïîëèñîâ, óðîâíè èíâåñòèöèé â òó èëè èíóþ ñôå- ðó åå äåÿòåëüíîñòè. Èñêîìûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿëèñü óðîâåíü âûïëàò äèâèäåíäîâ è äðóãèå ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé, ðàññ÷èòàííûå êàê ôóíêöèè íà÷àëüíî- ãî êàïèòàëà. Ïîäîáíûé ïîäõîä äëÿ êîìïàíèè â öåëîì ðàññìîòðåí â [28]. Ïîëó÷åí- íûå ôóíêöèè ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ òåêóùåãî óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé, à èìåí- íî: â íèõ ïîäñòàâëÿåòñÿ òåêóùåå ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå êàïèòàëà è íàéäåííûå ïàðà- ìåòðû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ îïåðàòèâíîãî óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé. Îïòèìèçàöèÿ ñòðóêòóðû ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ïðè êîíå÷íîì ÷èñëå ñöå- íàðèåâ äëÿ ñëó÷àéíûõ äàííûõ.  îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà çàäà÷ó ïðèáëèæåííîé îïòèìèçàöèè ÷èñòîãî äîõîäà (äèâèäåíäîâ) ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïðè îãðàíè÷åíèè íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â ñëåäóþùåì âèäå [18]: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 117 d x y z dt i i � max , , ,{ } { } { } , x x y z y z dt t i i i n i t i i t i i n � � � � � �� � � � �1 1 1 ( ) ( )� � , x u0 � , t T�1, ..., , 0 � � �z y ci i , i n�1, ..., , z ci i n � � � 1 , x xT � � 0 , Pr { }x i Tt � � � �0 1 1, , ..., � . Çäåñü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — âåëè÷èíà äèâèäåíäîâ, ïîëó÷åííûõ â åäèíèöó âðåìåíè. Îïòèìèçàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïåðåìåííûì { } { } { }x y z dt i i, , , , i n�1, ..., , t T�1, ..., . Ïàðàìåòð c îáîçíà÷àåò ïëàíèðóåìûé îáúåì ïîñòóïàþùèõ ïðåìèé (çà âû÷åòîì îáÿçàòåëüíûõ òåêóùèõ ðàñõîäîâ). Âåêòîðíûå âåëè÷èíû � � �t t n t� � �( )1 � çàäàþò (ñëó÷àéíûå) óáûòî÷íîñòè ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñòðàõîâà- íèÿ i n�1, ..., íà åäèíèöó äîõîäà îò ïðåìèé â åäèíè÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè (êâàðòàë, ãîä è ò.ï.) ñ íîìåðîì t, ò.å. � i t iy — ñóììàðíûå ñòðàõîâûå âûïëàòû ïî i-ìó âèäó ñòðàõîâàíèÿ â ïåðèîä âðåìåíè t. Ñîîòâåòñòâåííî âåëè÷èíû � � �t t n t� � �( )1 � çàäàþò (ñëó÷àéíûå) äîõîäíîñòè ïåðåñòðàõîâàíèÿ ðèñêîâ âèäà i n�1, ..., â åäèíè÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè ñ íîìåðîì t, ò.å. � i t iz — ñóììàðíûå âûïëàòû ïî i-ìó âèäó ïåðåñòðàõîâàíèÿ â ïåðèîä âðåìåíè t. Îãðàíè÷åíèå x xT � � 0 çàäàåò îáÿçàòåëüíîå òðåáîâàíèå íà âåëè÷èíó îñòàòî÷íîãî ðåçåðâà â êîíå÷íûé ìîìåíò T , � � 0. Ôóíêöèÿ f x y d x i Tt i t( , , ) , , ...,{ } { } Pr { }� � �0 1 îïèñûâàåò âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ êîìïàíèè ïðè ñòðóêòóðå ( , )y z ïîðòôåëÿ ñòðàõîâûõ è ïåðåñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ è âåëè÷èíå äèâèäåíäîâ d. Íåñìîòðÿ íà ñòàòè÷íûé õàðàêòåð, äàííàÿ ïîñòàíîâêà ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé âû- ÷èñëèòåëüíîé çàäà÷åé, ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ — ðàçðûâíàÿ íåâû- ïóêëàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ýòà çàäà÷à îòíîñèòñÿ ê îäíîýòàïíûì ìîäåëÿì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (â äàííîì êîíòåêñòå îäíîýòàïíîñòü îçíà÷à- åò, ÷òî íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ìîäåëè { }y z di i, , — äåòåðìèíèðîâàííûå âåëè- ÷èíû, ò.å. íå çàâèñÿò îò ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ, õîòÿ âðåìåííûõ ýòàïîâ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî).  ñëó÷àå êîíå÷íîãî ÷èñëà ñöåíàðèåâ { }� �s t s t t T, , , ...,�1 , s S�1, ..., , èìåþùèõ âåðîÿòíîñòè { }p s Ss, , ...,�1 , äëÿ ñëó÷àéíûõ äàííûõ { }� �t t t T, , , ...,�1 â ðàáîòå [18] ïðåäëîæåíî ñâîäèòü äàííóþ çàäà÷ó ê ýêâèâàëåíò- íîé çàäà÷å ñìåøàííîãî öåëî÷èñëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: d x y z ds t i i s � max , , , ,{ } { } { } { } , x x y z y z ds t s t i i i n is t i is t i i n � � � � � �� � � � �1 1 1 ( ) ( )� � , x u0 � , t T�1, ..., , 0 � � �z y ci i , i n�1, ..., , 0 1 � � � � �d y ci i n , x xs T � � 0 , s S�1, ..., , x Ms t s s� � , s S�1, ..., , t T�1, ..., , �i i S � � � 1 , s �{ }0 1, , s S�1, ..., . Çäåñü M s — êîíñòàíòû òàêèå, ÷òî x Ms t s� � äëÿ âñåõ t T�1, ..., â ñöåíàðèè s, íàïðèìåð M u cT cT i t is t� � �(max ) , � 2 . Ïîëó÷åííóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ñ ïî- ìîùüþ ñîâðåìåííîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè, íà- ïðèìåð IBM ILOG CPLEX [30]. 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 Ïàðàëëåëüíîå èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå è îïòèìèçàöèÿ ñòðàõîâîãî áèçíåñà ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàôè÷åñêèõ óñêîðèòåëåé âû÷èñëåíèé. Ðàññìîò- ðåííûå â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìåòîäû îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî áèçíåñà èìåþò îãðàíè÷åííîå ïðèìåíåíèå, ïîñêîëüêó èñïîëüçóþò èäåàëèçèðîâàííûå ìîäåëè ýâîëþöèè ðåçåðâîâ è óïðîùåííûå ïîñòàíîâêè îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Êðîìå òîãî, íåäîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó ïðè êàêîì-òî îäíîì íàáîðå ïàðàìåòðîâ è çà- äàííîì ðàñïðåäåëåíèè ñëó÷àéíûõ äàííûõ, ãîðàçäî âàæíåå îïðåäåëèòü, êàê çàâè- ñèò ðåøåíèå îò èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ è ðàñïðåäåëåíèé. Àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä ê îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî áèçíåñà ñîñòîèò â èìèòàöèîííîì ìîäåëèðîâàíèè ïðî- öåññîâ ýâîëþöèè ðåçåðâîâ ñòðàõîâîé êîìïàíèè è ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêå (ìåòî- äîì Ìîíòå-Êàðëî) ïîêàçàòåëåé åå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ [8–10]. Îí ïðåäïîëàãàåò âûïîëíåíèå îãðîìíîé âû÷èñ- ëèòåëüíîé ðàáîòû è òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé [11–15]. Ñóòü ìåòîäà — íåçàâèñèìîå ïàðàëëåëüíîå ìîäåëèðîâàíèå áîëüøîãî ÷èñëà S òðà- åêòîðèé ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèè ðåçåðâîâ xt ñòðàõîâîé êîìïàíèè íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 T äëÿ çàäàííîãî íàáîðà ïàðàìåòðîâ ( , , , , )u c d � � è âû÷èñëåíèè äîëè p tS ( ) íåðàçîðèâøèõñÿ òðàåêòîðèé ê ìîìåíòó âðåìåíè t, à òàêæå ñðåäíåãî ÷èñòî- ãî äîõîäà (ïîëó÷åííûõ äèâèäåíäîâ) D S d x dtS s t s S s � �� � ( / ) ( )1 01 , ãäå { }x ts t s, 0 � � — òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà ðèñêà (1), (2) èëè (3) â s-ì èñïûòà- íèè, s — ìîìåíò ðàçîðåíèÿ èëè s T� , åñëè ðàçîðåíèÿ äî ìîìåíòà T â s-ì èñ- ïûòàíèè íå ïðîèçîøëî.  ïðîöåññå ïàðàëëåëüíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âû÷èñëèòåëü- íûå ÿäðà íå îáìåíèâàþòñÿ èíôîðìàöèåé, à ïî çàâåðøåíèè ìîäåëèðîâàíèÿ èí- ôîðìàöèÿ î òðàåêòîðèÿõ ñîáèðàåòñÿ íà îäíîì ÿäðå è ñòðîÿòñÿ ôóíêöèè p u c d TS ( , , , , , )� � è D u c d TS ( , , , , , )� � êàê ôóíêöèè òîãî èëè èíîãî ïàðàìåòðà. Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ îòîáðàæàþòñÿ â ïëîñêîñòè «èçìåíÿåìûé ïàðà- ìåòð–âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ» è â ïðîñòðàíñòâå «ðèñê–äîõîä», ò.å. â ïëîñêîñ- òè «âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ–ïîëó÷åííûå äèâèäåíäû». Òî÷íîñòü îöåíêè âåðîÿò- íîñòè ðàçîðåíèÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ýêñïîíåí- öèàëüíîãî íåðàâåíñòâà Õåôôäèíãà [31] Pr { }| ( , , , , , ) ( , , , , , ) | /p u c d T u c d T eS S� � � � � �� � � �2 2 2 , îòêóäà ( )10�k -äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ | |pN � èìååò âèä �k S k S( ) ( ln ln ) /� �2 10 2 . (7) Ðàçáðîñ çíà÷åíèé (ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå) äèâèäåíäîâ îöåíèâàåòñÿ ñòàíäàðò- íûìè ôîðìóëàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, íàïðèìåð, îöåíêà ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ äëÿ äèâèäåíäîâ èìååò âèä � S s t S s S S d x dt D s � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � 1 1 0 2 1 1 2 ( ) / . ÏÐÎÃÐÀÌÌÍÀß ÐÅÀËÈÇÀÖÈß ÏÀÐÀËËÅËÜÍÎÃÎ ÌÅÒÎÄÀ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ ÍÀ GPU ÄËß ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÀÊÒÓÀÐÍÎÉ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ ðàçðàáîòàíà ïðîãðàììíàÿ ñèñòåìà ñòðàõîâîãî ìîäåëè- ðîâàíèÿ [14, 15]. Ãðàôè÷åñêèé èíòåðôåéñ ñèñòåìû ïîçâîëÿåò èçó÷àòü çàâèñè- ìîñòü êàêîé-ëèáî ôóíêöèè ïîëåçíîñòè (íàïðèìåð, âåëè÷èíû ïîëó÷åííûõ äèâè- äåíäîâ èëè îñòàòî÷íîãî ðåçåðâà) îò ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ðàáîòû êîìïàíèè. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 119 Ìîæíî òàêæå ñòðîèòü çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ (èñïîëüçóåìîé â êà- ÷åñòâå ìåðû ðèñêà) îò ïàðàìåòðîâ. Ñèñòåìà ðàáîòàåò â ñðåäå ÌS Windows; äëÿ ãðàôè÷åñêîãî èíòåðôåéñà íåîáõîäèì .NET 4, ðàñ÷åòíàÿ ÷àñòü ìîæåò ôóíêöèî- íèðîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî íà ëþáîì ïðîöåññîðå àðõèòåêòóðû x86, íî ðåêîìåíäó- åòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïðîöåññîðà ñåìåéñòâà Intel Ivy Bridge. Åñëè â ñèñòåìå èìå- åòñÿ ãðàôè÷åñêèé óñêîðèòåëü, ïîääåðæèâàþùèé òåõíîëîãèþ ÑUDA 1.3 è âûøå, åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ óñêîðåíèÿ âû÷èñëåíèé (â äåñÿòü è áîëåå ðàç).  ñèñòåìå ðåàëèçîâàíû ñëåäóþùèå ôóíêöèè: � âûáîð ìîäåëè (êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì èëè ìîäåëü ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì); � çàãðóçêà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ è ñòàíäàðòíûé àíàëèç äàííûõ; � çàäàíèå èíòåðâàëîâ è ñåòêè äëÿ èçìåíÿåìûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè; � çàäàíèå ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (÷èñëà ñèìóëÿöèé); � çàäàíèå ïàðàìåòðîâ äëÿ ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëåíèé (ðàñïðåäåëåíèå íàãðóçêè ìåæäó âû÷èñëèòåëüíûìè ÿäðàìè GPU); � ñîõðàíåíèå è çàãðóçêà ïðîåêòà (äàííûõ è ïàðàìåòðîâ ìîäåëè); � âîçìîæíîñòü ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé íà CPU èëè GPU; � ïîñòðîåíèå è ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå çàâèñèìîñòåé âåðîÿòíîñòè ðàçîðå- íèÿ, ñóììàðíûõ äèâèäåíäîâ è îñòàòî÷íîãî ðåçåðâà îò ëþáîãî èññëåäóåìîãî ïà- ðàìåòðà; � îöåíêà îøèáîê ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ; � îòîáðàæåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ (ýôôåêòèâíîé ãðàíèöû) â ïëîñ- êîñòè «âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ–ñóììàðíûå äèâèäåíäû»; � îöåíêà ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé; � ïîìîùü ïîëüçîâàòåëþ; � âûâîä ðåçóëüòàòîâ â ïàìÿòü è íà ïå÷àòü. Ñèñòåìà ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü ðàáîòû êîìïàíèè îò ñëåäóþ- ùèõ ïàðàìåòðîâ: âðåìåííîé èíòåðâàë, íà÷àëüíûé êàïèòàë, ñóììàðíàÿ êâàðòàëü- íàÿ ïðåìèÿ, òåêóùèå ðàñõîäû, óðîâåíü ïåðåñòðàõîâàíèÿ, äîõîäíîñòü äåïîçèòíûõ âêëàäîâ, âåëè÷èíà è âåðîÿòíîñòü êàòàñòðîôè÷åñêèõ òðåáîâàíèé, ïàðàìåòðû äè- âèäåíäíîé ïîëèòèêè (äîëåâûå îò÷èñëåíèÿ, àáñîëþòíûå îò÷èñëåíèÿ, äèâèäåíä- íûé áàðüåð), ïàðàìåòðû çàêîíîäàòåëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ ñòðàõîâîãî áèçíåñà.  òåêóùåé âåðñèè ñèñòåìû â îäíîì öèêëå âû÷èñëåíèé (run) ìîæåò èçìåíÿòüñÿ òîëüêî îäèí ïàðàìåòð. Çà îäíó ìèíóòó ðàáîòû ñ ñèñòåìîé ìîæåò áûòü èññëåäîâà- íà çàâèñèìîñòü îò âñåõ ïàðàìåòðîâ. Ñèñòåìà ðàáîòàåò ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ, ïîëó- ÷åííûõ äëÿ êîíêðåòíûõ êîìïàíèé ïóòåì îáðàáîòêè èíôîðìàöèè èç óêðàèíñêèõ æóðíàëîâ «Ñòðàõîâà ñïðàâà», Insurance TÎÐ, à òàêæå ñ ñàéòà [25]. Äëÿ ðåàëèçàöèè ïàðàëëåëüíîãî ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî êëþ÷åâîå çíà÷åíèå èìååò ïðîáëåìà ïàðàëëåëüíîãî ãåíåðèðîâàíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà äëèííûõ íåçàâè- ñèìûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòîÿùèõ èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.  ïðîãðàììíîé ñðåäå CUDA [16] îíà ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ áèáëèîòåêè ãå- íåðèðîâàíèÿ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë CUDA CURAND [32]. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è íà ÷åòûðåõúÿäåðíîì Intel Core i5 3570K çàäåéñòâîâàí àïïàðàòíûé ãåíåðàòîð ñëó- ÷àéíûõ ÷èñåë (RdRand), âñòðîåííûé â ïðîöåññîðû ñåìåéñòâà Ivy Bridge [33]. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒΠÄëÿ ïðîâåäåíèÿ òåñòîâûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ èñïîëüçîâàëèñü êëàññè- ÷åñêàÿ ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà (2) ñ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûìè âåëè÷èíàìè òðåáîâàíèé è ìîäåëü ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (3). Äëÿ âåðîÿòíîñ- òè ðàçîðåíèÿ � �( , , , , )u c d ìîäåëü (2) äîïóñêàåò ïðîñòîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøå- íèå (5). ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû âûïîëíÿëèñü íà ïåðñîíàëüíîì êîìïüþòåðå ñî ñëåäóþùåé êîíôèãóðàöèåé: Intel Core i5 3570K, Nvidia GeForce GTX 560. 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 Óñêîðåíèå âû÷èñëåíèé íà GPU. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå âðåìåíè îöåíêè âå- ðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ äëÿ ïðîöåññà (3), (4) ñ ïàðàìåòðàìè T � 40, u �140, c �100 íà CPU è GPU. Âî âñåõ ýêñïåðèìåíòàõ ñêîðîñòü ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé íà GPU (Nvidia GeForce GTX 560 íà øòàòíûõ ÷àñòîòàõ) áîëåå ÷åì â äåñÿòü ðàç ïðåâîñõî- äèëà ñêîðîñòü ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé íà CPU (Intel Core i5 3570K íà øòàòíûõ ÷àñòîòàõ). Íà ðèñ. 1, à ïîêàçàíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ ïðè èçìåíåíèè äèâèäåíäíûõ îò÷èñëåíèé (îò 30 äî 40%) ñ òåêóùåãî êàïèòàëà, ïîëó÷åí- íûå íà GPU (òî÷êè) è CPU (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) ïðè îäíîì è òîì æå ÷èñëå 25 600 òðà- åêòîðèé íà îäíî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Çàòåíåííàÿ îáëàñòü ïîêàçûâàåò îøèáêó âû÷èñ- ëåíèé (7) ïðè k � 2 (99%-é äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë), îöåíåííóþ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Õåôôäèíãà. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî íåðàâåíñòâî Õåôôäèíãà ìàëîïðè- ãîäíî äëÿ îöåíîê òî÷íîñòè âåðîÿòíîñòåé ïîðÿäêà 10 2� è ìåíüøèõ, òàê êàê ðåàëü- íàÿ òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé (âåëè÷èíà êîëåáàíèé ïîêàçàíà ñïëîøíîé êðèâîé íà ðèñ. 1, à) íà ïîðÿäîê âûøå. Íà ðèñ. 1, á ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü îò âåëè÷èíû ïîëó÷åííûõ äèâèäåíäîâ (ýôôåêòèâíàÿ ãðàíèöà). Òî÷íîñòü è âðåìÿ îöåíêè ìàëûõ âåðîÿòíîñòåé ðàçîðåíèÿ íà GPU. Ñèñòå- ìà ïîçâîëÿåò îöåíèâàòü âåñüìà ìàëûå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ çà ïðèåìëåìîå âðåìÿ: íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ äî ïîðÿäêà10 7� êàê ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà «îò÷èñëå- íèÿ äèâèäåíäîâ» íà ñåòêå èç 30 òî÷åê îöåíèâàåòñÿ â ïðåäåëàõ îäíîé ìèíóòû. Ïðè (áëèçêèõ ê ðåàëüíûì) çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ u �140 (íà÷àëüíûé ñòðàõîâîé ðåçåðâ, ìëí ãðèâåí), c �100 (ñóììàðíàÿ êâàðòàëüíàÿ ïðåìèÿ, ìëí ãðèâåí), T �10 ëåò (âðå- ìåííîé èíòåðâàë), � �[ . , . ]0 12 0 15 (äîëÿ êàïèòàëà, åæåêâàðòàëüíî îò÷èñëÿåìàÿ íà âû- ïëàòó äèâèäåíäîâ) âðåìÿ ðàñ÷åòà ãðàôèêîâ çàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ îò � ñ íèçêîé (ðèñ. 2, à) è âûñîêîé (ðèñ. 2, á) òî÷íîñòÿìè 59,6 ñ è 4067 ñ ñîîòâåòñòâåííî. Ñêîðîñòü èìèòàöèîííûõ âû÷èñëåíèé ñîñòàâèëà 9,34 ìëí òðàåêòîðèé â ñåêóíäó. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 121 Ðèñ. 1 à á Äèâèäåíäíàÿ ñòàâêà, % Äèâèäåíäû Ðèñ. 2 à á Äèâèäåíäíàÿ ñòàâêà, % Äèâèäåíäíàÿ ñòàâêà, % � �10 7 � �10 7 Èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè âåðîÿòíîñòåé ðàçîðåíèÿ è ÷èñòîãî äîõîäà îò ïàðàìåòðîâ ñ ïîìîùüþ GPU. Ðàçðàáîòàííàÿ ñèñòåìà ñòðàõîâîãî ìîäåëèðîâà- íèÿ ïîçâîëÿåò â ðåàëüíîì âðåìåíè èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ðàçîðå- íèÿ è ÷èñòîãî äîõîäà (ñóììàðíûõ äèâèäåíäîâ, îñòàòî÷íîãî êàïèòàëà) ñòðàõî- âîé êîìïàíèè êàê ôóíêöèþ îò ëþáîãî ïàðàìåòðà ìîäåëè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî â îêíå èíòåðôåéñà ñèñòåìû çàäàòü ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ èçìå- íÿåìîãî ïàðàìåòðà, à òàêæå ÷èñëî ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé.  ÷èñëåííûõ ýêñïå- ðèìåíòàõ ïàðàìåòðû âàðüèðîâàëèñü â ñëåäóþùèõ ïðåäåëàõ: T � 40 êâàðòàëîâ, u �[ , ]0 140 , c �100 , îò÷èñëåíèÿ ñ òåêóùåãî êàïèòàëà íà äèâèäåíäû � �[ , . ]0 0 4 , óðîâåíü ïåðåñòðàõîâàíèÿ � �[ , . ]0 0 1 , áîëüøèå òðåáîâàíèÿ z c cLCS �[ . , ]0 67 , âåðî- ÿòíîñòü áîëüøîãî òðåáîâàíèÿ p �[ , . ]0 0 1 . Ñîêðàùåíèå âðåìåíè âû÷èñëåíèé äîñ- òèãàåòñÿ çà ñ÷åò ìàññèâíîãî ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ ìåòîäà ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëè- ðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêîãî óñêîðèòåëÿ GPU. Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû çàâèñè- ìîñòè âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ îò: à — ñòàðòîâîãî êàïèòàëà u �[ , ]0 140 ; á — óðîâíÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ � �[ , . ]0 01 ; â — ãîäîâîé ïðîöåíòíîé ñòàâêè � �[ , . ]0 0 1 ; 122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 Ðèñ. 3 à á ãâ ä å Ñòàðòîâûé êàïèòàë Óðîâåíü ïåðåñòðàõîâàíèÿ Ãîäîâàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà Âåëè÷èíà áîëüøèõ òðåáîâàíèé Âåðîÿòíîñòü áîëüøèõ òðåáîâàíèé Ïàðàìåòð îáÿçàòåëüíîãî ìèíèìàëüíîãî ðåçåðâà ã — âåëè÷èíû áîëüøèõ òðåáîâàíèé (â äîëÿõ îò ïðåìèè c �100 è ïðè âåðîÿòíîñòè òðåáîâàíèÿ pLCS � 001. ); ä — âåðîÿòíîñòè áîëüøèõ òðåáîâàíèé ( )z cLCS � �100 ; å — ïàðàìåòðà çàêîíîäàòåëüíîãî ðåãóëèðîâàíèè îáÿçàòåëüíîãî ìèíèìàëüíîãî ðåçåðâà (ìèíèìóì èç äîëè ïðåäøåñòâóþùèõ ãîäîâûõ òðåáîâàíèé è 18 % ïðåä- øåñòâóþùèõ ãîäîâûõ òðåáîâàíèé) ñ âîçìîæíîñòüþ áîëüøèõ òðåáîâàíèé z cLCS � 067. ñ âåðîÿòíîñòüþ pLCS � 001. ). Îïòèìèçàöèÿ ñòðàõîâîãî áèçíåñà ñ ïîìîùüþ ýôôåêòèâíîé ãðàíèöû. Âàæ- íåéøèì èíñòðóìåíòîì àíàëèçà è îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî, êàê è ëþáîãî äðóãîãî ðèñêîâîãî áèçíåñà, ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíàÿ ãðàíèöà [8–10]. Îíà îòîáðàæàåò íà îäíîì ãðàôèêå ñâÿçü ìåæäó äîõîäíîñòüþ áèçíåñà (ñðåäíèìè äèâèäåíäàìè) è ðèñêîì (âå- ðîÿòíîñòüþ ðàçîðåíèÿ). Èñïîëüçîâàíèå ýôôåêòèâíîé ãðàíèöû ïîçâîëÿåò â îïðåäå- ëåííîé ìåðå îáîéòè ïàðàäîêñ äå Ôèíåòòè, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðà- òåãèÿ íà÷èñëåíèÿ äèâèäåíäîâ ïðèâîäèò ê ðàçîðåíèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïðè âûáîðå äèâèäåíäíîé ñòðàòåãèè ìîæíî ó÷èòûâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Íà ðèñ. 4, a ïðèâåäåíà òàêàÿ ãðàíèöà äëÿ ñëåäóþùåãî íàáîðà ïàðàìåò- ðîâ: T � 40, u �140, c �100, z cLCS � , pLCS � 0 03. , � �[ , . ]0 0 1 . Ïóòåì íàâåäåíèÿ êóð- ñîðà íà òî÷êè ýôôåêòèâíîé ãðàíèöû ñèñòåìà ïîçâîëÿåò îòîáðàçèòü, êàêèì çíà÷åíè- ÿì ïåðåìåííîãî ïàðàìåòðà ñîîòâåòñòâóåò òà èëè èíàÿ òî÷êà. Ïðè âûáîðå îïòèìàëü- íîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü (ñëó÷àéíûå) çíà÷åíèÿ îñòàòî÷íîãî êàïèòàëà êîìïàíèè xT . Íà ðèñ. 4, á ïîêàçàíû ñîîòâåòñòâóþùèå çàâèñèìîñòè (ñ óêà- çàíèåì îøèáêè — ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ) ñðåäíèõ ïîëó÷åííûõ äèâèäåíäîâ è ñðåäíåãî îñòàòî÷íîãî êàïèòàëà îò óðîâíÿ îò÷èñëåíèé äèâèäåíäîâ � �[ , . ]0 01 . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ è äðóãèõ ïàðàìåòðîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè, à òàêæå èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòåé ýòèõ âåëè÷èí îò ïàðàìåòðîâ — íå- òðèâèàëüíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ïðîáëåìà àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè. Èñïîëüçîâàíèå ïà- ðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé è ãðàôè÷åñêèõ óñêîðèòåëåé ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü ÷èñ- ëåííûå ðàñ÷åòû â ñëîæíûõ îáùèõ àêòóàðíûõ ìîäåëÿõ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî, ïðè ýòîì ïðèåìëåìàÿ îòíîñèòåëüíàÿ òî÷íîñòü íà âåðîÿòíîñòÿõ ðàçîðåíèÿ ïîðÿäêà äî 10 106 7� �� äîñòèãàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè. Ðàçðàáîòàííàÿ ñèñòåìà àêòóàðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïîçâîëÿåò â ðåàëüíîì âðå- ìåíè çà ñ÷åò óñêîðåíèÿ âû÷èñëåíèé íà GPU èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ è îæèäàåìîãî ÷èñòîãî äîõîäà ñòðàõîâîé êîìïàíèè êàê ôóíêöèþ ëþáî- ãî ïàðàìåòðà óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé è, òàêèì îáðàçîì, äàåò âîçìîæíîñòü èçó÷èòü âëèÿíèå ôàêòîðîâ óïðàâëåíèÿ íà ôóíêöèîíèðîâàíèå ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Ñèñòå- ìà ïîçâîëÿåò òàêæå ñîïîñòàâëÿòü â ðåàëüíîì âðåìåíè äîõîäíîñòü è ðèñê ïðè âû- áîðå ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé è ïðåäîñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñêóþ àëüòåðíà- òèâó àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäàì îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî áèçíåñà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 123 Ðèñ. 4 à á Äèâèäåíäû À êò èâ û Äèâèäåíäíàÿ ñòàâêà Äèâèäåíäíàÿ ñòàâêà 0.051 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. F i n e t t i B . d e Su un’ impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio // Trans. of the XVth Intern. Congress of Actuaries. — 1957. — 2. —P. 433–443. 2. S c h m i d l i H . Stochastic control in insurance. — London: Springer-Verlag, 2008. — 254 p. 3. À ê ò ó à ð í à ÿ ìàòåìàòèêà / Í. Áàóýðñ, Õ. Ãåðáåð, Ä. Äæîíñ è äð. — Ì.: ßíóñ-Ê, 2001. — 656 ñ. 4. Ê î ð î ë å â  . Þ . , Á å í è í ã  . Å . , Ø î ð ã è í Ñ . ß . Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû òåîðèè ðèñ- êà. — 2-å èçä. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2011. — 620 c. 5. Ë å î í å í ê î Ì . Ì . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . , Ï à ð õ î ì å í ê î ß . Ì . , ß ä ð å í ê î Ì . É . Òåîðå- òèêî-éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Êè¿â: ²íôîðìòåõí³êà, 1995. — 380 ñ. 6. D a y k i n C . D . , P e n t i k ��a i n e n T . , P e s o n e n M. Practical risk theory for actuaries. — London; New York: Chapman and Hall, 1994. — 576 p. 7. E n c y c l o p e d i a of actuarial science / J.L. Teugels, B. Sundt (Eds.). — Chichester: Wiley, 2004. — Vol. 1. — 1197 p.; Vol. 2. — 1842 p. 8. K a u f m a n n R . , G a d m e r A . , K l e t t R . Introduction to dynamic financial analysis // ASTIN Bull. — 2001. — 31, N 1. — P. 213–249. 9. B l u m P . , D a c o r o g n a M . DFA — dynamic financial analysis // Encyclopedia of actuarial science / J.L. Teugels, B. Sundt (Eds.). — Chichester: Wiley, 2004. — 1. — P. 3342–3355. 10. H a r d y M . R . Dynamic financial modeling of an insurance enterprise // Encyclopedia of actuarial science / J.L. Teugels, B. Sundt (Eds.). — Chichester: Wiley, 2004. — 1. — P. 3618–3628. 11. N o r k i n B . Parallel computations in insurance business optimization // Proc. of the 1st Intern. Conf. on High Perform. Comput. (Oct. 12–14, 2011, Kyiv). — Kyiv, 2011. — P. 33–39. 12. Í î ð ê è í Á .  . Ðàñïàðàëëåëèâàíèå ìåòîäîâ îöåíêè ðèñêà áàíêðîòñòâà ñòðàõîâîé êîìïàíèè // Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü. — Êè¿â: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2010. — Ñ. 33–39. 13. Í î ð ê è í Á .  . Î âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà àâòîðåãðåññèè // Êîìï’þ- òåðíà ìàòåìàòèêà. — Êè¿â: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2011. — Ñ. 142–150. 14. Í î ð ê è í Á .  . Îá àêòóàðíûõ âû÷èñëåíèÿõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîðîâ // Òð. ìåæäóíàð. êîíô. «Âûñîêîïðîäóêòèâíûå âû÷èñëåíèÿ» (HPC-UA 2012, Êèåâ, 8–10 îêò. 2012 ã.). — Êèåâ: ÍÀÍ Óêðàèíû, 2012. — Ñ. 268–274. 15. N o r k i n B . V . On performing actuarial calculations on GPU // ³ñí. ÍÒÓÓ «Êϲ». ²íôîðìàòè- êà, óïðàâë³ííÿ òà îá÷èñëþâàëüíà òåõí³êà: Çá. íàóê. ïð. — Ê.: Âåê+, 2012. — ¹ 56. — C. 113–119. 16. Ï à ð à ë ë å ë ü í û å âû÷èñëåíèÿ íà GPU. Àðõèòåêòóðà è ïðîãðàììíàÿ ìîäåëü CUDA / À.Â. Áîðåñêîâ, À.À. Õàðëàìîâ, Í.Ä. Ìàðêîâñêèé è äð. — Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 2012. — 336 ñ. 17. Í î ð ê è í Á .  . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî äåëà // Êèáåðíåòèêà è ñèñ- òåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 1. — Ñ. 128–145. 18. Í î ð ê è í Á .  . Îá îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ // Ïðèêë. ñòàòèñòèêà. Àêòóàð. òà ô³í. ìàòåìàòèêà. — 2011. — ¹ 1–2. — C. 197–203. 19. D a n t z i g G . B . Need to do planning under uncertainty and the possibility of using parallel processors for this purpose // Ekonom.-mat. obzor. — 1987. — 23. — P. 121–135. 20. D a n t z i g G . B . , G l y n n P . W . Parallel processors for planning under uncertainty // Ann. Oper. Res. — 1990. — 22. — P. 1–21. 21. H a i z h e n W u . Parallel computing using GPUs. — March 1, 2011. — http:// ecs.victoria.ac.nz/ twiki/pub/EResearch/EcsTeslaResource/Parallel.Computing.Using.Graphics.Cards.pdf. 22. L i J . , H u X . , Z h a n l o n g P a n g Z . , Q i a n K . A parallel ant colony optimization algorithm based on fine-grained model with gpu-acceleration // Intern. J. Innov. Comput., Inform. and Control. — 2009. — 5, N 11(A). — P. 3707–3716. 23. Í ó ð ì è í ñ ê è é Å . À . , Ï î ç ä í ÿ ê Ï . Ë . Ðåøåíèå çàäà÷è ïîèñêà íàèìåíüøåãî ðàññòîÿíèÿ äî ïîëèòîïà ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàôè÷åñêèõ óñêîðèòåëåé // Âû÷èñë. òåõíîëîãèè. — 2011. — 16, âûï. 5 — C. 80–88. 24. Ç à ê î í Óêðà¿íè «Ïðî ñòðàõóâàííÿ» // ³äîì. Âåðõ. Ðàäè Óêðà¿íè (ÂÂÐ). — 1996. — ¹ 18. — Ñò. 78. — http://zakon1.rada.gov.ua/laws/show/85/96-âð. 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 25. Ç à ë å ò î â À . È . Ñòðàõîâàíèå â Óêðàèíå. — Êèåâ: Ìåæäóíàð. àãåíöèÿ «BeeZone», 2002. — 452 ñ. 26. http://forinsurer.com/. 27. Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññîâ ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996. — ¹ 5. — Ñ. 42–48. 28. S t a t i s t i c a l tools for finance and insurance / P. C�zek, W. H��ardle, R. Weron (Eds.). — N.Y.: Springer, 2005. — 517 p. 29. W a t e r s H . R . Some mathematical aspects of reinsurance // Insurance: Math. Econ. — 1983. — N 2. — P. 17–26. 30. IBM ILOG CPLEX V12.1. User’s manual for CPLEX. — Intern. Business Machines Corp., 2009. — 952 p. 31. H o e f f d i n g W . Probability inequalities for sums of bounded random variables // J. Amer. Statist. Assoc. — 1963. — 58. — P. 13–30. 32. NVIDIA, CUDA CURAND Library, 2010. 33. I n t e l Digital Random Number Generator (DRNG): Software Implementation Guide. — http:// software.intel.com/en-us/articles/intel-digital-random-number-generator-drng-software-implementati on-guide/. Ïîñòóïèëà 22.04.2013

Схожі ресурси