О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения

О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения

Введены матричные разрешающие функции для исследования игровых задач динамики. Установлены достаточные условия сближения траектории конфликтно-управляемого процесса с цилиндрическим терминальным множеством. Рассмотрены случаи использования преследователем квазистратегий и контруправлений. Проведено...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2014
Автори: Чикрий, А.А., Чикрий, Г.Ц.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115787
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 44-63. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115787
record_format dspace
spelling Чикрий, А.А.
Чикрий, Г.Ц.
2017-04-12T08:54:31Z
2017-04-12T08:54:31Z
2014
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 44-63. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115787
517.977
Введены матричные разрешающие функции для исследования игровых задач динамики. Установлены достаточные условия сближения траектории конфликтно-управляемого процесса с цилиндрическим терминальным множеством. Рассмотрены случаи использования преследователем квазистратегий и контруправлений. Проведено сравнение гарантированных времен окончания игры для разных схем метода. Теоретические результаты иллюстрируются на модельном примере с простым движением в плоскости.
Введено матричні розв’язуючі функції для дослідження ігрових задач динаміки. Встановлено достатні умови зближення траєкторії конфліктно-керованого процесу з циліндричною термінальною множиною. Розглянуто випадки використання переслідувачем квазістратегій та контркерувань. Проведено порівняння гарантованих часів закінчення гри для різних схем методу. Теоретичні результати ілюструються на модельному прикладі з простим рухом в площині.
The concept of matrix resolving function is introduced to study dynamic game problems. The sufficient conditions are derived ensuring the possibility for the pursuer to bring the trajectory of a conflict-controlled process to the terminal set. The cases of using quasi-strategies and counter-controls by the pursuer are analyzed separately. Guaranteed times of the game termination for different method’s schemes are compared. The theoretical results are illustrated with a model example of “simple motions” on a plane.
Работа выполнена при поддержке ГФФИ Украины (проект Ф53.1/006).
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
Про матричні розв’язуючі функції в динамічних іграх зближення
Matrix resolving functions in dynamic pursuit games
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
spellingShingle О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
Чикрий, А.А.
Чикрий, Г.Ц.
Системный анализ
title_short О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
title_full О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
title_fullStr О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
title_full_unstemmed О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
title_sort о матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения
author Чикрий, А.А.
Чикрий, Г.Ц.
author_facet Чикрий, А.А.
Чикрий, Г.Ц.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2014
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Про матричні розв’язуючі функції в динамічних іграх зближення
Matrix resolving functions in dynamic pursuit games
description Введены матричные разрешающие функции для исследования игровых задач динамики. Установлены достаточные условия сближения траектории конфликтно-управляемого процесса с цилиндрическим терминальным множеством. Рассмотрены случаи использования преследователем квазистратегий и контруправлений. Проведено сравнение гарантированных времен окончания игры для разных схем метода. Теоретические результаты иллюстрируются на модельном примере с простым движением в плоскости. Введено матричні розв’язуючі функції для дослідження ігрових задач динаміки. Встановлено достатні умови зближення траєкторії конфліктно-керованого процесу з циліндричною термінальною множиною. Розглянуто випадки використання переслідувачем квазістратегій та контркерувань. Проведено порівняння гарантованих часів закінчення гри для різних схем методу. Теоретичні результати ілюструються на модельному прикладі з простим рухом в площині. The concept of matrix resolving function is introduced to study dynamic game problems. The sufficient conditions are derived ensuring the possibility for the pursuer to bring the trajectory of a conflict-controlled process to the terminal set. The cases of using quasi-strategies and counter-controls by the pursuer are analyzed separately. Guaranteed times of the game termination for different method’s schemes are compared. The theoretical results are illustrated with a model example of “simple motions” on a plane.
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115787
citation_txt О матричных разрешающих функциях в динамических играх сближения / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 44-63. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT čikriiaa omatričnyhrazrešaûŝihfunkciâhvdinamičeskihigrahsbliženiâ
AT čikriigc omatričnyhrazrešaûŝihfunkciâhvdinamičeskihigrahsbliženiâ
AT čikriiaa promatričnírozvâzuûčífunkcíívdinamíčnihígrahzbližennâ
AT čikriigc promatričnírozvâzuûčífunkcíívdinamíčnihígrahzbližennâ
AT čikriiaa matrixresolvingfunctionsindynamicpursuitgames
AT čikriigc matrixresolvingfunctionsindynamicpursuitgames
first_indexed 2025-11-25T22:46:30Z
last_indexed 2025-11-25T22:46:30Z
_version_ 1850573025103052800
fulltext ÓÄÊ 517.977 À.À. ×ÈÊÐÈÉ, Ã.Ö. ×ÈÊÐÈÉ Î ÌÀÒÐÈ×ÍÛÕ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈßÕ Â ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÈÃÐÀÕ ÑÁËÈÆÅÍÈß1 Àííîòàöèÿ. Ââåäåíû ìàòðè÷íûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè äëÿ èññëåäîâàíèÿ èãðîâûõ çàäà÷ äèíàìèêè. Óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñáëèæåíèÿ òðàåêòîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâ- ëÿåìîãî ïðîöåññà ñ öèëèíäðè÷åñêèì òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè èñ- ïîëüçîâàíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì êâàçèñòðàòåãèé è êîíòðóïðàâëåíèé. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí îêîí÷àíèÿ èãðû äëÿ ðàçíûõ ñõåì ìåòîäà. Òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëü- òàòû èëëþñòðèðóþòñÿ íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå ñ ïðîñòûì äâèæåíèåì â ïëîñêîñòè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, ìíîãîçíà÷- íîå îòîáðàæåíèå, óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òåîðåìà èçìåðèìîãî âûáîðà, ýêñòðåìàëüíûé ñå- ëåêòîð, H -âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ñîáñòâåííîå ÷èñëî, ñóïåðïîçèöèîííàÿ èçìåðèìîñòü, öè- ëèíäðè÷åñêîå òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî, èíòåãðàë Àóìàíà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Íàðÿäó ñ ìåòîäàìè äèíàìè÷åñêèõ èãð [1–5], ðàñêðûâàþùèìè ñòðóêòóðó èãðû è îðèåíòèðîâàííûìè íà ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé, ñóùåñòâóþò ïîä- õîäû, íàöåëåííûå íà ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî, ïî-âèäèìîìó, áîëåå îïðàâäàíî ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Ê òàêèì ïîäõîäàì ñëåäóåò îòíåñòè, ïðåæäå âñåãî, ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ïîíòðÿãèíà [1, 6] è ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7–9]. Ýòè ìåòîäû îáåñïå÷èâà- þò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ èãðû çà êîíå÷íîå âðåìÿ èç çàäàííûõ íà- ÷àëüíûõ ïîëîæåíèé. Îíè áàçèðóþòñÿ íà îäíîì è òîì æå ïðèíöèïå ïîñòðîåíèÿ óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà, èñïîëüçóþùåì óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, íà åãî îñíî- âå — òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà [10, 11], è òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ïðåä- ïîñûëêîé ê ïîÿâëåíèþ ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé áûëà çàäà÷à Ïîíòðÿãè- íà–Ìèùåíêî [1] îá óáåãàíèè îäíîãî èãðîêà îò ãðóïïû èç � ïðåñëåäîâàòåëåé â ïðîñòðàíñòâå R n è íàéäåííàÿ ïðè åå ðåøåíèè ìèíèìàêñèìèííàÿ ôóíêöèÿ � �( , )n [12, 13], êîòîðàÿ ïîñëóæèëà áàçîé äëÿ ôîðìàëèçàöèè ñèòóàöèè îêðóæåíèÿ äëÿ ïðîñòûõ äâèæåíèé [14] è ñïîñîáñòâîâàëà ðàçâèòèþ âïîñëåäñòâèè òåîðèè ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ [7, 15–17]. Ñî âðåìåíåì áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äàåò ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ïðàâèëà ïà- ðàëëåëüíîãî ñáëèæåíèÿ, à òàêæå ñïîñîáà ïðåñëåäîâàíèÿ ïî ëó÷ó [18]. Ôîðìàëè- çàöèÿ èãðîâîé çàäà÷è [19] ÷åðåç ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ïîçâîëèëà â åäèíîé ñõå- ìå ðàññìîòðåòü êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû ðàçëè÷íîé ïðèðîäû: ïðîöåñ- ñû, îïèñûâàåìûå ñèñòåìàìè äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé [20], èíòåãðàëüíûõ è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [20], óðàâíåíèé ñ äðîá- íûìè ïðîèçâîäíûìè [19, 21–23], èìïóëüñíûå ñèñòåìû è ñèñòåìû ïåðåìåííîé ñòðóêòóðû [24]. Âìåñòå ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâëåíèÿ ðàñ- ñìîòðåíû ðàçëè÷íûå èíòåãðàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ [25], à òàêæå íåñòàöèîíàðíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû [26]. Ïàðàëëåëüíî ñ ðàñøèðåíèåì ñôåðû ïðèìåíèìîñòè äàííîãî ìåòîäà ïðîâåäå- íû èññëåäîâàíèÿ ïî îïòèìèçàöèè ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè ñáëèæåíèÿ, ñâÿçàí- íûå ñ âûáîðîì ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòîðîâ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ Ïîíòðÿ- ãèíà [27].  ñâÿçè ñ îáîñíîâàíèåì ìåòîäà è çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèé ïåðâîãî èãðîêà áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ñâîéñòâî L B� -èçìåðèìîñòè ñïåöèàëüíûõ ìíîãî- 44 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÃÔÔÈ Óêðàèíû (ïðîåêò Ô53.1/006). � À.À. ×èêðèé, Ã.Ö. ×èêðèé, 2014 çíà÷íûõ îòîáðàæåíèé [28], èãðàþùèõ êëþ÷åâóþ ðîëü è îáåñïå÷èâàþùèõ â èòîãå ñóïåðïîçèöèîííóþ èçìåðèìîñòü ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ. Ïðèâëåêàòåëüíîé ñòîðîíîé ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òàêæå òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îí ïîçâîëÿ- åò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííóþ òåõíèêó íåëèíåéíîãî àíàëèçà (ìíîãî- çíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è èõ ñåëåêòîðîâ) [10, 11, 29, 30] äëÿ îáîñíîâàíèÿ èãðîâûõ êîíñòðóêöèé è ïîëó÷åíèÿ ñ èõ ïîìîùüþ íåîáõîäèìûõ ðåçóëüòàòîâ. Ïûòàÿñü ïîíÿòü ñîäåðæàòåëüíóþ ñóòü ìåòîäà, åãî ãåîìåòðèþ, ìîæíî ñäå- ëàòü âûâîä, ÷òî ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ëåæàùèå â îñíîâå ìåòîäà, îñóùåñòâëÿ- þò ïðèòÿæåíèå ñäâèíóòîé òåëåñíîé ÷àñòè òåðìèíàëüíîãî ìíîæåñòâà ê ïåðåñå÷å- íèþ ñ íåêîòîðûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì, ñâÿçàííûì ñ èãðîé. Ýòî ïðèòÿ- æåíèå ïðîèñõîäèò ëèøü â êîíóñå, íàòÿíóòîì íà óïîìÿíóòîå ìíîæåñòâî. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè äëÿ ìàíåâðà ïåðâîìó èã- ðîêó. Ïî ýòîé ïðè÷èíå â äàííîé ðàáîòå âìåñòî ñêàëÿðíîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàò- ðè÷íàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ äèàãîíàëüíîãî âèäà, ñ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû- ìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè. Òåì ñàìûì âîçäåéñòâèå ìàòðèöû ïî ðàçíûì íàïðàâ- ëåíèÿì ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Ýòî äàåò äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè â ïëàíå çàâåðøåíèÿ èãðû, ÷òî äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ïðèìåðå ñ ïðîñòûìè äâèæåíèÿìè â ïëîñêîñòè, êîãäà ñêàëÿðíûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè íå ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòó, à èñïîëüçîâàíèå ìàòðè÷íûõ ïîçâîëÿåò çàêîí÷èòü èãðó çà êîíå÷íîå âðåìÿ. Äàííàÿ ñòàòüÿ ïðèìûêàåò ê ðàáîòàì [1–9, 15–17, 19–26, 31–36] è ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ [8, 27, 28]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R n , n � 2 , z t g t t u v d t ( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � �� � � � � � 0 , t � 0. (1) Âåêòîð-ôóíêöèÿ g t( ), g R R n: � , R t t� � �{ }: 0 , èçìåðèìà ïî Ëåáåãó è ïî- ÷òè âåçäå îãðàíè÷åííà, ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � îïðåäåëåíà â òðåóãîëüíèêå � � �{ }( , ):t t� � 0 , èçìåðèìà ïî t è ñóììèðóåìà ïî � äëÿ êàæäîãî t R� � . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäà- åòñÿ ôóíêöèåé �( , )u v , �: U V R n� , íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåí- íûõ íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V , U K R m� ( ), V K R l� ( ), m, l — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )� , u R U: � , è v( )� , v R V: � , — èç- ìåðèìûå ôóíêöèè âðåìåíè. Çàäàíî òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * öèëèíäðè÷åñêîãî âèäà M M M* � �0 , (2) ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â R n , à M — êîìïàêò èç îðòîãîíàëüíî- ãî äîïîëíåíèÿ L ê M 0 â R n , M K L� ( ) . Ïåðâûé èãðîê ( )u ñòðåìèòñÿ âûâåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1) íà òåðìèíàëü- íîå ìíîæåñòâî çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à âòîðîé ( )v — ìàêñèìàëüíî îòòÿíóòü ýòîò ìîìåíò èëè âîîáùå èçáåæàòü âñòðå÷è òðàåêòîðèè ñ ìíîæåñòâîì. Ïðèíÿâ ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà, óñòàíîâèì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ îáåñ- ïå÷åíèÿ åìó îïðåäåëåííîãî ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 45 åñëè èãðà (1), (2) ïðîèñõîäèò íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà â òåêóùèé ìîìåíò t âûáèðàåì íà îñíîâå èíôîðìàöèè î g T( ) è ïðåäûñòîðèè vt ( )� , v v s s tt ( ) ( ): [ , ]� � �{ }0 , â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè u t u g T vt( ) ( ( ), ( ))� � , u t U( )� , t T�[ , ]0 , (3) èëè êîíòðóïðàâëåíèÿ [2, 5] u t u g T v t( ) ( ( ), ( ))� , t T�[ , ]0 , u t U( )� , ïðåäïèñàííîãî ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé [37]. Çàìåòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â âèäå (1) ïî- çâîëÿåò â åäèíîé ñõåìå ðàññìîòðåòü øèðîêèé êðóã ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöè- àëüíûõ ñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ â óñëîâèÿõ êîíôëèêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Îñîáåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1) ñîñòîèò â òîì, ÷òî äàííûå î íà÷àëüíîì ñîñòîÿ- íèè ïðîöåññà è áëîêå óïðàâëåíèÿ îòäåëåíû è àääèòèâíî âõîäÿò â ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (1). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî, êîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Êîøè, íàïðèìåð äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ïðîöåññîâ [2, 7]. Äëÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ, èíòåã- ðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ, äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, èìïóëüñíûõ ñèñòåì, ñèñòåì óðàâíåíèé ñ äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè ôóíêöèÿ g t( ) è ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � â ïðåäñòàâëåíèè (1) èìåþò êîíêðåòíûé âèä è îòðàæàþò ñîîòâåòñòâóþùèé òèï óðàâíåíèÿ. Îáîçíà÷èì � îðòîïðîåêòîð, äåéñòâóþùèé èç R n â L. Ïîëîæèâ � �( , ) ( , ) :U v u v u U� �{ }, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ W t v t U v( , , ) ( , ) ( , )� � � �� � , W t W t v v V ( , ) ( , , )� �� � � íà ìíîæåñòâàõ �V è ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Îòîáðàæåíèå W t( , )� ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå è çàìêíóòîçíà÷íî.  ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) W t v( , , )� ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ïî �, ��[ , ]0 t , ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Òîãäà W t( , )� èçìåðèìî ïî �, ��[ , ]0 t . Èç óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà [10] âûòåêàåò, ÷òî ïðè ëþáîì t 0 ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t òàêîé, ÷òî � � �( , ) ( , )t W t� , ( , )t � � . Îáîçíà÷èì �t t t W t t� � �{ }� � � � � �( , ) : ( , ) ( , ), [ , ]0 , � �� � t t 0 � , âûáåðåì íåêîòîðûé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t èç �t è ââåäåì ôóíêöèþ � � � � � �( , ( ), ( , )) ( ) ( , )t g t t g t t d t � � � � 0 .  ñèëó èñõîäíûõ ïðåäïîëîæåíèé ñåëåêòîð � �( , )t ÿâëÿåòñÿ ñóììèðóåìîé ïî �, ��[ , ]0 t , ôóíêöèåé ïðè ëþáîì t 0. Îáîçíà÷èì � � dim L è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ êâàäðàòíóþ äèàãîíàëü- íóþ ìàòðèöó A ïîðÿäêà � A � � � � � � �� � � � � � �� � � � 1 2 1 0 0 � �diag{ }, , , i � 0, i �1, ,� �, (4) 46 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 êîòîðóþ íàçûâàþò ìàòðèöåé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé [38]. Ó÷èòûâàÿ äèàãîíàëü- íûé âèä ìàòðèöû A, åå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì �� ( , , )1 � . Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A � �� � � �( , , ) ( , , ), :[ ( , , ) ( , )]t v W t v ti� � �{ 1 0� � � A M t g t t[ ( , ( ), ( , ))]� � ��� � }, A � � : � �V R 2 , R R R� � �� � �� � � � � . (5) Ôóíêöèþ g t( ) è âûáðàííûé ñåëåêòîð � ( , )t � ñ÷èòàåì ôèêñèðîâàííûìè. Ïîñêîëüêó âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, â ñèëó ïðåäïîëîæåíèé î ïàðàìåòðàõ ïðîöåññà (1), (2) îòîáðàæåíèå A � �( , , )t v çàìêíóòîçíà÷íî [8, 28] è âñåãäà ñîäåð- æèò �-ìåðíûé íóëü, òàê êàê 0� �W t v t( , , ) ( , )� � � � �( , )t � , v V� . Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ A t v t v t v t v ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) � � � �� � � � � � � �� � � � � 1 2 0 0 � � �� , i V R: � � , ôèãóðèðóþùàÿ â ïåðåñå÷åíèè èç (5), çàâèñèò îò ( , )t � � , v V� è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè, îáðàçóþùèìè ñåëåêòîð � � ��( , , ) ( ( , , ), , ( , , ))t v t v t v� 1 � ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v .  òî æå âðåìÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ �( , , )t v ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð èç � ñî- áñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A t v( , , )� , îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå �V . Å ñ ë è â í å ê î ò î ð û é ì î ì å í ò t è ì å å ì � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , ò î A � � �( , , ) ([ , ) [ , ))t v � �� � � ��0 0� � � ïðè ëþáûõ ��[ , ]0 t , v V� . Îáðàçóåì ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ ~( , , ) min ( , , ) ( , , ) ( , , ) , � � � � �� t v t v t v t v i i� � � sup A 1 , ~: � �V R . (6)  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, îáîçíà÷èì M ( , , ) ( , , ): min ( , , ) ~ ( , , ) , t v t v t v t v i i� � � � � � � � { } 1 ìàðãèíàëüíîå ìíîæåñòâî ñåëåêòîðîâ èç îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v . Èç [28] ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v è M ( , , )t v� L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , ��[ , ]0 t , v V� , è çàìêíó- òîçíà÷íû ïðè ëþáîì t. Ñåëåêòîðû îòîáðàæåíèÿ M ( , , )t v� íàçîâåì ýêñòðåìàëü- íûìè. Ñðåäè íèõ ïî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà [10] ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí, ÿâëÿþùèéñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî ( , )� v , ��[ , ]0 t , v V� , ïðè ëþáîì t. Çàôèêñèðóåì åãî äëÿ äàëüíåéøåãî è îáîçíà÷èì �*( , , )t v , �*: � �V R Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî T g t t v d t � � � � � �( ( ), ( , )) : ~ ( , , ( )) ( ) � � � � � � � � { inf }0 1 0 (7) è ôóíêöèþ t g T g� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � � �inf . Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü èíòåãðàëà áåðåòñÿ ïî âñåì äîïóñòèìûì óïðàâëåíèÿì âòîðîãî èãðîêà. Çàìåòèì, ÷òî ïî- ñêîëüêó A � �( , , )t v — L B� -èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , òî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 47 L B� -èçìåðèìîé ïî ( , )� v áóäåò è ôóíêöèÿ ~( , , ) �t v , à ñëåäîâàòåëüíî, îíà ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìà [8]. Ïîýòîìó èíòåãðàë â ñîîòíîøåíèè (7) èìååò ñìûñë. Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî ~( , , ) �t v � �� äëÿ ��[ , ]0 t , v V� , è â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå èíòåãðàëà â (7) åñòåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì ��, à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.  ñëó- ÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâî â âûðàæåíèè (7) íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ t 0, ïîëàãàåì T g� �( ( ), ( , ))� � � ��. Óñëîâèå 1. Åñëè T T g� � � � ��� �( ( ), ( , )) , òî äëÿ ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , )T v åãî óñå÷åííûå ñåëåêòîðû � � ��( , , ) ( ( , , ), , ( , , ))T v T v T v� 1 � , � � � � i i i i T v T v t t T ( , , ) ( , , ), [ , ), , [ , ], * � � � � � � 0 0 ÿâëÿþòñÿ ñåëåêòîðàìè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v , ��[ , ]0 T , v V� , äëÿ ëþáûõ t Ti �[ , ]0 , i �1, ,� �. Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ ti � 0 èëè t Ti � , i �1, ,� �, óñëîâèå 1 âûïîëíÿåòñÿ àâòîìà- òè÷åñêè â ñèëó óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è ïîñòðîåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî êàñàåòñÿ ëèøü âíóòðåííèõ òî÷åê îòðåçêà [ , ]0 T . Îáîçíà÷èì xi � � �( , , , , , , )0 0 1 0 0 , i � �1, , �, ïðè÷åì åäèíèöà ñòîèò íà i-ì ìåñòå, åäèíè÷íûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû A. Îíè îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L. Ïîëîæèì H x ii� � � �{ , , , }1 � è áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî M , M L� , ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì ìíî- æåñòâîì [39], åñëè M x L x x W xi M i x Hi � � � { }: ( , ) ( )� åñòü ïåðåñå÷åíèå 2� ïîëóïðîñòðàíñòâ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì, ãäå W x x x M i x M i( ) ( , )� � sup — îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà M [40], êîòîðàÿ, â ÷àñ- òíîñòè, ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ��. Èç âûïóêëîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî åñëè H — íå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, à åäèíè÷íàÿ ñôåðà â L, òî H-âû- ïóêëîñòü ñòàíîâèòñÿ îáû÷íîé âûïóêëîñòüþ. Óñëîâèå 2. Ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî M H-âûïóêëî, òî åãî îòíîñèòåëüíàÿ âíóòðåí- íîñòü â L íå ïóñòà. ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÇÀÂÅÐØÅÍÈß ÈÃÐÛ Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå- íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, à òàêæå óñëîâèÿ 1 è 2. Êðîìå òîãî, äëÿ çàäàííîé ôóíê- öèè g( )� è âûáðàííîãî ñåëåêòîðà � ( , )� � �� ìíîæåñòâî T g� �( ( ), ( , ))� � � �� è T T g� � � �� �( ( ), ( , )). Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà ìíîæåñòâî (2) â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (3). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v( )� , v T V:[ , ]0 , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíê- öèÿ. Èññëåäóåì ñíà÷àëà ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì L B� -èçìåðèìûé ýêñòðåìàëüíûé ñåëåêòîð �* ( , , )T v , ��[ , ]0 T , v V� , ìíîãîçíà÷íî- ãî îòîáðàæåíèÿ M ( , , )T v� . Äëÿ åãî ñêàëÿðíûõ êîìïîíåíò èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî � � � i i iT v T v* , , *( , , ) min ( , , )� �1 � � �i 1, ,� �, v V� . 48 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (7) ïîëó÷èì � � �i T T v d* ( , , ( )) 0 1� � � �i 1, ,� �, v( )� . (8) Ââåäåì íàáîð êîíòðîëüíûõ ôóíêöèé h t T v di i t ( ) ( , , ( ))*� � �1 0 � � �, i �1, �. Âñå ôóíêöèè �i T v* ( , , ), i �1, �, L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , à ïîý- òîìó ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìû. Ôóíêöèè h ti ( ), i �1, �, àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, îíè íå âîçðàñòàþò, òàê êàê �i T v* ( , , ) íåîòðèöàòåëüíû. Ê òîìó æå hi ( )0 1� . Íî ïîñêîëüêó h Ti ( ) 0 â ñèëó íåðàâåíñòâà (8), ñóùåñòâóþò òàêèå ìîìåíòû ti * , 0 t Ti * , i �1, ,� �, ÷òî h ti i( )* � 0, i �1, �. Î÷åâèäíî, ÷òî t t vi i * * ( ( ))� � . Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )*0 ti è [ , ]*t Ti íàçîâåì àêòèâíûìè è ïàññèâíûìè ñîîò- âåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì. Äëÿ ýòîãî ââåäåì óñå÷åííûå ôóíêöèè � � � � i i i i T v T v t t T ( , , ) ( , , ), [ , ), , [ , ], * * * � � � � � � 0 0 i �1, ,� �, è ðàññìîòðèì êîìïàêòîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U v u U T u v T T v M T g( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , , )[ ( , (� � � � � � � �� � � � �{ B� T T), ( , ))]� � }, (9) ��[ , ]0 T , v V� , ãäå ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ B( , , )T v� èìååò âèä B 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) t v T v T v T v � � � �� � � � � � � �� � � � � 1 2 � � �� , (10) ïðè÷åì åå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì � � �i T T v d( , , ( )) 0 1� � , i �1, ,� �.  ñèëó óñëîâèÿ 1 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � ��( , , ) ( ( , , ), , ( , , ))T v T v T v� 1 � ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v , ïîýòîìó îòîáðàæåíèå U v( , )� èìååò íåïóñòûå îáðàçû è L B� -èçìåðèìî [28]. Ïî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà [10] â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èçìåðè- ìûé ñåëåêòîð u v( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Îáîçíà÷èì u u v( ) ( , ( ))� � �� è ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà èíòåð- âàëå [ , ]0 T ðàâíûì u( )� .  ñëó÷àå � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì àíàëî- ãè÷íî ïðåäûäóùåé ñèòóàöèè ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ B( , , )T v� â ñîîòíîøåíèè (9) ïîëîæèì ðàâíîé íóëü-ìàòðèöå. Äàëåå ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûáîðå óïðàâëåíèé ïåðâûì èãðîêîì ïî óêàçàííûì ïðàâèëàì òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) áóäåò ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî â ìîìåíò T ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèÿõ âòîðîãî èãðîêà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 49 Åñëè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � , òî èç ïðåäñòàâëåíèÿ (1) èìååì � � � � � � � �z T g T T u v d T ( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � � � 0 . (11) Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (9)–(11), ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå � � � � � �z T E T v d T g T T T ( ) ( , , ( )) ( , ( ), ( , ))� � � � � � � � � � � �� B B 0 ( , , ( ))T v Md T � � � 0 � , (12) ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ïîñêîëüêó M ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì ìíîæåñòâîì è B( , , ( ))T v d E T � � � 0 � � , èç [39] ñëåäóåò B( , , ( ))T v Md M T � � � 0 � � , à çíà÷èò, �z T M( )� è ïîýòîìó z T M( ) *� . Ïóñòü � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Òîãäà èç âêëþ÷åíèÿ (12) ïðè íóëü-ìàòðèöå B( , , ( ))T v� � ïîëó÷èì � � �z T T g T T M( ) ( , ( ), ( , ))� � � . Çàìå÷àíèå 2. Åñëè âìåñòî óñëîâèÿ 2 èìååì âêëþ÷åíèå B( , , ( ))T v Md M T � � � 0 � � � �v( ) , (13) ãäå B( , , )T v� çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (10), òî òåîðåìà 1 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî M K L� ( ) , âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ H-âûïóêëûì. Âêëþ÷åíèå (13) âûïîëíåíî è ïåðåõîäèò â ïîòî÷å÷íîå ðàâåíñòâî, åñëè òåð- ìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì ( )M m� { } , à ïðè m � 0 — ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïîñëåäíÿÿ ñèòóàöèÿ ÷àùå âñåãî ðàññìàò- ðèâàåòñÿ â èãðîâûõ çàäà÷àõ ïðåñëåäîâàíèÿ–óáåãàíèÿ è ñîîòâåòñòâóåò òî÷íîìó ñîâïàäåíèþ êîîðäèíàò èãðîêîâ.  ÷àñòíîñòè, åñëè M * � { }0 , òî ïîëàãàåì M M0 0� � { }. Òîãäà L R n� , à � — îïåðàòîð òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Âêëþ÷åíèå (13) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè. Çàìå÷àíèå 3.  äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ çàäà÷à îá �-çàõâàòå ïî ãåîìåòðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì. Îíà ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà M ÿâëÿåòñÿ øàðîì ðàäèóñà �. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 1 ê àíàëèçó èãðû äîñòàòî÷- íî èñïîëüçîâàòü ëþáîé ïàðàëëåëåïèïåä M p , M Mp � , â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëü- íîãî ìíîæåñòâà è ïðèâîäèòü òðàåêòîðèþ ïðîöåññà íà ìíîæåñòâî M M p0 � , àâòî- ìàòè÷åñêè ðåøèâ ïðè ýòîì èñõîäíóþ çàäà÷ó. Çàìå÷àíèå 4. Ðàññìàòðèâàåìûé â ðàáîòàõ [7–9] ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíê- öèé ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðåäëàãàåìîé ñõåìû è ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîã- äà ìàòðèöà A â (4) ïðîñòàÿ, ò.å. �1 � � �� è A E� . Ñîäåðæàòåëüíî äàí- íûé ìåòîä íà ïðèìåðå ôîðìóëû (5), ãäå �1 � � �� , îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñ- òâî M t g t t� �� �( , ( ), ( , )) ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ïåðåñå÷åíèþ ñ ìíîæåñòâîì W t v t( , , ) ( , )� � �� , íàõîäÿñü â êîíóñå, íàòÿíóòîì íà M t g t t� �� �( , ( ), ( , )).  ñëó÷àå ìàòðèöû A ñ ðàçëè÷íûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè â ìåòîäèêå çàëîæåíû áî- ëåå øèðîêèå âîçìîæíîñòè. Çàìå÷àíèå 5. Ïîñêîëüêó ëþáàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ ê òðåóãîëüíîìó âèäó, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîòîðî- 50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 ãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè èñõîäíîé ìàòðèöû, à ëþáàÿ íîðìàëüíàÿ ìàò- ðèöà ( )* *AA A A� — ê äèàãîíàëüíîìó âèäó [38], ðàññìîòðåííàÿ ñèòóàöèÿ îò- êðûâàåò ïóòü äëÿ ñóùåñòâåííûõ îáîáùåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì â (5) áîëåå ñëîæ- íûõ ïî ñòðóêòóðå ïðèòÿãèâàþùèõ ìàòðèö. Òàê êàê ðå÷ü èäåò î âåùåñòâåííûõ ìàòðèöàõ, â ÷àñòíîñòè, ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ëþáûå ñèì- ìåòðè÷íûå è îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû [38]. ÇÀÂÅÐØÅÍÈÅ ÈÃÐÛ Â ÊËÀÑÑÅ ÊÎÍÒÐÓÏÐÀÂËÅÍÈÉ Ðàññìîòðåííàÿ ðàíåå ñõåìà ñáëèæåíèÿ ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé A t v( , , )� ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îñíîâíîé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7, 8]. Êàê âèäíî èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1, ïðåñëåäîâàòåëü â ìîìåíò t èñïîëüçóåò èíôîðìàöèþ î ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ vt ( )� óáåãàþùåãî, ÷òî ïðåäïèñûâàåò- ñÿ êâàçèñòðàòåãèåé [5]. Äàííàÿ èíôîðìàöèÿ íåîáõîäèìà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ ïåðåêëþ÷åíèÿ ti * , i �1, ,� �, ïðåðûâàþùèõ íàêîïëåíèå ôóíêöèé �i t v* ( , , ) è ðàçäåëÿþùèõ ñîîò- âåòñòâåííî àêòèâíûå è ïàññèâíûå ó÷àñòêè ñáëèæåíèÿ. Íà ýòèõ æå ïðîìåæóòêàõ ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò êîíòðóïðàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé [37]. Äàëåå íàéäåì óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû ïðîöåññà (1), (2), ïðè êîòî- ðûõ ñáëèæåíèå ìîæíî ðåàëèçîâàòü â êëàññå êîíòðóïðàâëåíèé, íå èñïîëüçóÿ ïðåäûñòîðèþ óïðàâëåíèÿ óáåãàþùåãî. Óñëîâèÿ ôîðìóëèðóþòñÿ äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè T , T T g� � � � ��� �( ( ), ( , )) . Óñëîâèå 3. Åñëè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � , à �* ( , , )T v — ýêñòðåìàëüíûé ñå- ëåêòîð îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v , òî ëþáàÿ L B� -èçìåðèìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ �( , , )T v , êîìïîíåíòû êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 0 � �i iT v T v( , , ) ( , , )* , ��[ , ]0 T , v V� , i �1, ,� �, ÿâëÿåòñÿ ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî óñëîâèå 3 — ñóùåñòâåííî áîëåå æåñòêîå ïðåäïîëîæå- íèå, ÷åì óñëîâèå 1. Îíî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì óñëîâèÿ âûïóêëîçíà÷íîñòè â ìåòîäå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [8]. Óñëîâèå 4. Ïðè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � ôóíêöèÿ inf v V T v � ~( , , ) � èçìåðèìà ïî ��[ , ]0 T è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî inf inf v T v V T T v d T v d ( ) ~ ( , , ( )) ~ ( , , ) � � �� � � � � � � 0 0 . Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ èãðîâîé çàäà÷è ñáëèæåíèÿ (1), (2) âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, ïðè÷åì äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è ñåëåêòîðà � ( , )� � �� ñóùåñòâóåò ÷èñëî T 0, T T g� � � � ��� �( ( ), ( , )) , òàêîå, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ 3 è 4. Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà ìíîæåñòâî (2) â ìî- ìåíò T ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî êîíòðóïðàâëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � . Ñ ó÷åòîì óñëî- âèÿ 4 îáîçíà÷èì � �( ) ( , ) * T T d T � � 0 , � � * ( , ) ~ ( , , )T T v v V � � inf , ~ ( , , ) min ( , , ) ( , , ) ( , , ) , � � � � �� T v T v T v T v i i� � � sup A 1 , è ïîëîæèì � �( , ) ( ) ( , ) * T T T� �1 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 51 Ïîñêîëüêó ( )T � 1 ïî îïðåäåëåíèþ, � � �( , ) ( , ) ( , , ) * *T T T vi � �v V , i �1, ,� �, �i T v* ( , , ) — êîîðäèíàòû ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , )T v , â ñèëó óñëî- âèÿ 3 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � � 0 ( , ) ( ( , ), , ( , ))T T T v � � � � ÿâëÿåòñÿ ñåëåêòîðîì ìíî- ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )T v ïðè ëþáîì v V� . Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U v u U T u v T A T M T g T* ( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )[ ( , (� � � � � � � �� � � � �{ � ), ( , ))]� T � }, (14) ãäå A T T T T T E( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � 0 0 � . Òàê êàê � ��0 ( , ) ( , , )T T v�A , v V� , ��[ , ]0 T , îòîáðàæåíèå U v* ( , )� ïðèíè- ìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ. Îíî çàìêíóòîçíà÷íî è L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v [28]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå â íåì ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v* ( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ ðàâíûì u u v* *( ) ( , ( ))� � �� , ��[ , ]0 T , ãäå v( )� , ��[ , ]0 T , — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî.  ñëó÷àå � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � âûáåðåì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïðî- ìåæóòêå [ , ]0 T â âèäå u u v0 0 * *( ) ( , ( ))� � �� , ãäå u v0 * ( , )� — íåêîòîðûé èçìåðèìûé ñå- ëåêòîð îòîáðàæåíèÿ U v* ( , )� ñ íóëåâîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé A T( , )� . Èññëåäóåì ïîâåäåíèå òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) ïðè óêàçàííûõ ïðàâèëàõ âû- áîðà óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì. Åñëè � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � , òî èç ðàâåíñòâà (11), ó÷èòûâàÿ (14), ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå � � � � � �z T T d T g T T T T ( ) ( , ) ( , ( ), ( , )) ( , )� � ! " # # $ % & & � ��1 0 Md T � 0 � . (15) Òàê êàê M K L�co ( ), à �( , )T , ��[ , ]0 T , — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ è � �( , )T d T 0 1� � , èìååì � �( , )T Md M T 0 � � è, ñëåäîâàòåëüíî, �z T M( )� . Ñëåäñòâèå 1.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ìåòîä ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè. Áîëåå òîãî, îäíèì èç ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòî- ðîâ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò v. Ïðèìåð ñ ïðîñòûìè äâèæåíèÿìè. Ïðîèëëþñòðèðóåì òåîðåìó 1 ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 2. Ïóñòü äèíàìèêà îáúåêòà çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì �z u v� � , z R� 2 , u U� , v V� , 52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 ãäå U x y R y x x� � � � � ! " # $ % & � � � ' ( ) ( , ) : , ,2 2 1 2 1 2 , V x y R y x x� � � � � ! " # $ % & � � � ' ( ) ( , ) : , ,2 2 1 2 0 , z x y� ( , ), à òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M *— íà÷àëî êîîðäèíàò. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðå- íèåì íà÷àëüíûõ ïîëîæåíèé z0 òàêèõ, ÷òî � � � � � �z x y x y R0 20 0{ }( , ): , . Ïðèìåíèì ñõåìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Òðàåêòîðèþ èñõîäíîãî êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå z t z u v d t ( ) ( ( ) ( ))� � ��0 0 � � �. Ñëåäîâàòåëüíî, g t z( ) � 0 , � ( , )t E� � , à �( , )u v u v� � , n � �� 2. Êðîìå òîãî, M M M* � � �0 0{ }. Ïîýòîìó L R� 2 , à îðòîïðîåêòîð � � E. Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà: W t U V x y R y x x( , ) ( , ) , , [ , / ]*� � � � � � � ��{ }2 2 0 1 2 , U V z z V U� � � �* :{ }, è èìååò ìåñòî ïîëíîå âûìåòàíèå [1, 7]: U V V U� � �* . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî U V�* ñîäåðæèò íóëü, äëÿ ïðîñòîòû ñåëåêòîð � �( , )t âûáåðåì òîæäåñòâåííî ðàâ- íûì íóëþ: � �( , )t * 0. Òîãäà � �( , ( ), ( , ))t g t t z� � 0 , à ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A 2 ( , , )t v� èìååò âèä A A2 2 1 2 1 2 00( , , ) ( ) ( , ), :t v v z U vi� � � � � � � � � �� � � �� � � � � � ' ( ) . (16)  äàííîì ïðèìåðå âñå îòîáðàæåíèÿ íå çàâèñÿò îò t è �. Äëÿ òîãî ÷òîáû ëó÷øå ïðåäñòàâèòü äåéñòâèå ìàòðèöû � � 1 2 � � �� � � �� , çàìåòèì, ÷òî � � � � � � � � � 1 2 1 2 1 0 1 0 � � �� � � �� � � � �� � � ��� � � �� � � �� � � � �� � � ��� � � �� � � �� � � 2 0 1 , ò.å. îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîåêòèðîâàíèå íà îñè àáñöèññ è îðäèíàò ñ ïîñëåäóþùèì óìíîæåíèåì ñîîòâåòñòâåííî íà ÷èñëà 1, 2 è ñëîæåíèåì. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå (16). Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ äî êîíöà, çàôèêñèðóåì � �z0 3 3( , ). Òîãäà A 2 0 1 2 2 1 1 02 01 6 0 0( ) ( , ) : , [ , / ] , ( , )v v� � � �{ } , A 2 1 1 2 2 1 1 12 01 3 1 2 1( ) ( , ) : , [ , / ] , ( / , )v v� � � � � �{ } . Ýêñòðåìàëüíûìè ñåëåêòîðàìè îòîáðàæåíèé M ( )v 0 è M ( )v1 , ãäå M ( , , )t v� � � M ( )v , ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû * ( ) ( , ) ,v 0 1 2 1 6 1 3 � � � � � � � � , * ( ) ( , ) ,v1 1 2 1 3 2 3 � � � � � � � � , ãäå � * *( , , ) ( )t v v� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 53 Ñîîòâåòñòâåííî, ó÷èòûâàÿ ~( , , ) ~ ( ) � t v v� , ïîëó÷àåì ~( ) v 0 1 6 � , ~ ( ) v1 1 3 � . Ìèíèìóì ïî v( )� â ñîîòíîøåíèè (7) äëÿ äàííîãî ïðèìåðà äîñòèãàåòñÿ íà ïîñòîÿííûõ óïðàâëåíèÿõ óáåãàþùåãî, à èìåííî ïðè v � ( , )0 0 , ïîýòîìó inf v t t v d t ( ) ~ ( , , ( )) � � � � � � 0 6 , à ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ t z2 0 0 6( , ) � . Äëÿ ëþáîé äðóãîé íà÷àëüíîé ïîçèöèè z0 â ïëîñêîñòè ëåãêî ïîñ÷èòàòü, àíà- ëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ ñáëèæåíèÿ. Ôîðìàëüíî óñëîâèå 1 äëÿ äàííîãî ïðèìåðà íå âûïîëíåíî, îíî èìååò ìåñòî ëèøü ïðè t t1 2� . Ýòî áîëåå ñëàáîå ïðåäïîëîæåíèå, íî åãî äîñòàòî÷íî äëÿ ðåøå- íèÿ çàäà÷è â ñèëó ñïåöèôèêè îáëàñòåé óïðàâëåíèÿ. Óñëîâèå 2 òàêæå íå èìååò ìåñòà, íî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå (13), êîòîðîå ïðèâåäåíî â çàìå÷àíèè 2. Óñëî- âèå 3 íå âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ñâÿçóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ 2 12� , è òåîðåìà 2 íå èìååò ìåñòà äëÿ íà÷àëüíîé òî÷êè, ó êîòîðîé êîîðäèíàòû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì y x0 02� . Îäíàêî åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà z0 íå ëåæèò íà ïðÿìîé y x� 2 , òî ñêàëÿð- íàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòîé ìàòðèöå A E� (ðàâíûå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû), ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçîâà- íèå ìàòðè÷íûõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äàåò âûèãðûø â ãàðàíòèðîâàííîì âðåìå- íè. Åñëè z0 ëåæèò íà ïðÿìîé y x� 2 , òî êîìïîíåíòû ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòîðîâ ðàâíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðè÷íàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ èìååò ðàâíûå äèàãî- íàëüíûå ýëåìåíòû è ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîé ìàòðèöå.  ýòîé ñèòóàöèè ìàòðè÷íûé ìåòîä ñîâïàäàåò ñ ìåòîäîì ñêàëÿðíûõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [8] è èñïîëüçîâàíèå ìàòðè÷íûõ íå äàåò âûèãðûøà â ãàðàíòèðîâàííîì âðåìåíè. ÌÎÄÈÔÈÖÈÐÎÂÀÍÍÀß ÑÕÅÌÀ Ñ ÌÀÒÐÈ×ÍÛÌÈ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÌÈ ÔÓÍÊÖÈßÌÈ Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ñõåìó ìåòîäà, êîòîðàÿ äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ èãðû â êëàññå êîíòðóïðàâëåíèé, íåñêîëüêî ìîäèôèöèðîâàâ èñõîäíóþ êîíñòðóêöèþ. Äëÿ ýòîãî ïðè óñëîâèè Ïîíòðÿãèíà, ôèêñèðîâàííîì ñåëåêòîðå � �( , )t è ìàò- ðè÷íîé ïðèòÿãèâàþùåé ôóíêöèè ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A A� �� �( , ) ( , , )t t v v V � � � , t � �� 0. Ïðè ëþáûõ ( , )t � � îíî èìååò íåïóñòîé îáðàç, òàê êàê, ïî êðàéíåé ìåðå, 0�A � �( , , )t v ïðè ëþáûõ ( , )t � � , v V� . Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, åñëè � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � äëÿ íåêîòîðîãî t, òî A � � �( , ) [ , ) [ , )t � �� � � ��0 0� � � , ��[ , ]0 t . Åñëè � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî îòîáðàæåíèå A � �( , )t çàìêíóòîçíà÷íî. Ñåëåêòî- ðû îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t — âåêòîð-ôóíêöèè � � ��( , ) ( ( , ), , ( , ))t t t� 1 � , ãäå �i t( , ) — ñêàëÿðíûå ôóíêöèè. Ïî àíàëîãèè ñ îáùåé ñõåìîé ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ~( , ) min ( , ) ( , ) ( , ) , � � � � �� t t t t i i� � � sup A 1 è ìàðãèíàëüíîå ìíîæåñòâî ñåëåêòîðîâ èç îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t M ( , ) ( , ) :~ ( , ) min ( , ) , t t t t i i� � � � � � � � { } 1 . 54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t , M ( , )t � èçìåðèìû ïî �, ��[ , ]0 t , è çàìêíó- òîçíà÷íû. Ïîýòîìó ñðåäè ýêñòðåìàëüíûõ ñåëåêòîðîâ îòîáðàæåíèÿ M ( , )t � ñó- ùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ïî �. Çàôèêñèðóåì åãî è îáîçíà÷èì �* ( , )t . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî +� � � �( ( ), ( , )) : ~ ( , )g t t d t � � � � � � � � , �, ' ( , ), �0 1 0 (17) è ôóíêöèþ + +� �� �0 ( ( ), ( , )) inf : ( ( ), ( , ))g t t g� � � � � � � �{ }. Åñëè �( , )t — èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð îòîáðàæåíèÿ A � �( , )t , òî ~( , ) �t — èçìåðèìàÿ ïî � ôóíêöèÿ è èíòåãðàë â (17) èìååò ñìûñë. Ïðè ýòîì, åñëè äëÿ íåêî- òîðîãî t èìååì � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � , òî ~( , ) �t � �� ïðè ��[ , ]0 t . Óñëîâèå 5. Åñëè + +� � � � ��� �( ( ), ( , ))g , òî äëÿ ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , )+ åãî óñå÷åííûé ñåëåêòîð � � ��( , ) ( ( , ), , ( , ))+ + +� 1 � , � � � � i i i t t ( , ) ( , ), [ , ], , [ , ], * + + + + � � � � � � 0 � �i ti d* ( , )+ 0 1� � , i �1, ,� �, (18) ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , )+ . Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå- íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, à òàêæå óñëîâèÿ 2 è 5. Ïðè ýòîì äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� è âûáðàííîãî ñåëåêòîðà � ( , )� � �� ìíîæåñòâî +� �( ( ), ( , ))g � � � �� è + +� � � �� �( ( ), ( , ))g . Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà ìíîæåñòâî (2) â ìîìåíò + ñ ïîìîùüþ êîíòðóïðàâëåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � . Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíûé ñåëåêòîð �* ( , )+ îòîáðàæåíèÿ M ( , )+ � . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî � � � i i i * , , *( , ) min ( , )+ +� �1 � � � �i 1 0, , , [ , ]� � � + . Èç íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (17) ïîëó÷èì � �i d* ( , )+ + �� 1 0 , i �1, ,� �. Ââåäåì êîíòðîëüíûå ôóíêöèè h t di i t ( ) ( , )*� � ��1 1 0 � �+ , i �1, �. Îíè íåïðåðûâíû ïî t, íå âîçðàñòàþò è hi ( )0 1� . Íî ïîñêîëüêó èç (17) âûòåêà- åò, ÷òî hi ( )+ 0, ñóùåñòâóþò òàêèå ìîìåíòû ti , ti �[ , ]0 + , ÷òî h ti i( ) � 0. Îïèøåì ïðîöåññ óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì. Ââåäåì ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ B( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + + + + � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� 1 2 0 0 � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 55 çàìåòèâ, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îáëàäàþò ñâîéñòâîì � �i d( , )+ + �� 1 0 , i �1, ,� �, è ðàññìîòðèì êîìïàêòîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U v u U u v M g1 ( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )[ ( , (� � � � � � � �� � � � �{ B� + + + + +), ( , ))]� + � }. (19)  ñèëó óñëîâèÿ 5 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � ��( , ) ( ( , ), , ( , ))+ + +� 1 � ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , )+ , ïîýòîìó îòîáðàæå- íèå U v1 ( , )� èìååò íåïóñòûå îáðàçû è L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v [28].  ñèëó òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èçìå- ðèìûé ñåëåêòîð u v1 ( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöè- åé [8]. Åñëè v( )� , v V:[ , ]0 + , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî, òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ïîëîæèì ðàâíûì u u v( ) ( , ( ))� � �� 1 , ��[ , ]0 + . Åñëè � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì àíàëî- ãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ, ãäå â ñîîòíîøåíèè (19) ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ B( , )+ � çàäàåòñÿ íóëü-ìàòðèöåé. Òàêèì îáðàçîì, åñëè � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � , òî èç ïðåäñòàâëåíèÿ (11) èìååì � � � � � � � �z g u v d( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))+ + � + + � � � 0 , à ñ ó÷åòîì (19) îòñþäà ïîëó÷èì âêëþ÷åíèå � � � � � �z E d g( ) ( , ) ( , ( ), ( , )) ( , )+ + + + + + + � � � � � � � � � � � �� B B 0 Md� 0 + � . (20) Ïîñêîëüêó âûïîëíåíî óñëîâèå 2 è B( , )+ + � �d E 0 � � , èìååì B( , )+ + � �Md M�� 0 , à ñëåäîâàòåëüíî, �z M( )+ � . Åñëè � �( , ( ), ( , ))+ + +g M� � , òî èç âêëþ÷åíèÿ (20) ïðè íóëü-ìàòðèöå B( , )+ � àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò �z M( )+ � . Çàìå÷àíèå 6. Âìåñòî óñëîâèÿ 2 äîñòàòî÷íî âêëþ÷åíèÿ B( , )+ + � �Md M�� 0 . Ïðè ýòîì îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè âñå óòâåðæäåíèÿ çàìå÷àíèé 2 è 3. ÑÕÅÌÀ Ñ ÔÈÊÑÈÐÎÂÀÍÍÛÌÈ ÒÎ×ÊÀÌÈ ÒÅËÅÑÍÎÉ ×ÀÑÒÈ ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ  ìåòîäå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [7, 8], êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (5) äëÿ ìíî- ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , )t v , ïðèòÿãèâàíèå ìíîæåñòâà M t g t t� �� �( , ( ), ( , )) ê ïåðåñå÷åíèþ ñ ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì W t v t( , , ) ( , )� � �� îñóùåñòâëÿ- ëîñü ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèè �( , , )t v E â êîíóñå, íàòÿíóòîì íà äàííîå ìíîæåñòâî.  ïðåäëîæåííîé ñõåìå ðàñøèðåíû âîçìîæíîñòè ïðèòÿ- ãèâàíèÿ. Ýòó ïðîöåäóðó îñóùåñòâëÿåò ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ A t v( , , )� ñ ðàçëè÷- íûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè. Ïðè ýòîì êàñàíèå ìíîæåñòâ ïðîèñõîäèò, 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 âîîáùå ãîâîðÿ, â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé â çàâèñèìîñòè îò èõ àðãóìåíòîâ. Äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñáëèæåíèÿ, êðîìå óñëîâèÿ Ïîí- òðÿãèíà è êîíå÷íîñòè ÷èñëà T , ÿâëÿþòñÿ â ñëó÷àå ñêàëÿðíûõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé — âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà M ( )M M� co , à ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé — áîëåå æåñòêîå óñëîâèå — H-âûïóêëîñòü ìíîæåñòâà M . Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò ýòèõ îãðàíè÷èòåëüíûõ óñëîâèé è ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ðàññìîòðèì ñõåìó, îðèåíòèðî- âàííóþ íà ñáëèæåíèå ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé íà âñþ èãðó òî÷êîé ìíîæåñ- òâà M , âûáîð êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì èãðîêîì. Îäíàêî ïðè ýòîì âîçìîæíî óâåëè÷åíèå ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè. Ïóñòü m M� , ïðè÷åì � �( , ) ( , ( ), ( , ))t m t g t t m� � � , � ( , )t t� �� . (21) Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A � �( , , , )t v m � � � � � � � � � � �� � � � � � �� �( , , ); : ( , ) ( � � 1 1 20 0 0 i t m W t � , , ) ( , )� � �v t� � � , , � , , ' ( , , ) , , . Ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåííûì óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è, ñëåäîâàòåëüíî, dom A � � � � V M . Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèå A � �( , , , )t v m ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç 2R � . Çàìåòèì, ÷òî ïðè ( , )t m � 0 èìååì A � � �( , , , ) [ , ) [ , )t v m � �� � � ��0 0� � � ïðè ëþáûõ ��[ , ]0 t , v V� . Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A � �( , , , )t v m ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîçíà÷íûì, L B� -èçìåðèìûì ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v [8] è ñîäåðæèò �-ìåðíûé íóëü ïðè ( , )t � � , v V� , m M� . Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ A t v m t v m t v m t v m ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) � � � �� � � � � 1 2 0 0 � � � �� � � � � � �� , �i V M R i: , , , � � �� 1 � , âõîäÿùàÿ â ñîîòíîøåíèå (21), èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, è åå ýëåìåíòû � � ��( , , , ) ( ( , , , ), , ( , , , ))t v m t v m t v m� 1 � îáðàçóþò ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , , )t v m , îäíîâðåìåííî ÿâëÿÿñü åå ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè. Ïîñòðîèì íà èõ îñíîâå ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ ~( , , , ) min ( , ( , , , ) ( , , , ) , � � � �� t v m t t v m t v m i i� � � sup A 1 �, , )v m , äåéñòâóþùóþ èç � �V M â R� . Åñëè òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â âûðàæåíèè äëÿ ~( , , , ) �t v m , òî îáîçíà÷èì M A( , , , ) ( , , , ) ( , , , ): min ( , , , t v m t v m t v m t i i� � � �� � � � � { 1 v m t v m, ) ~ ( , , , )� � }. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 57 Ýòî îòîáðàæåíèå L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v è çàìêíóòîçíà÷íî. Ïî- ýòîìó â ñèëó òåîðåìû èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýêñòðåìàëüíûé L B� -èçìåðèìûé ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v ñåëåêòîð. Çàôèêñèðóåì åãî è îáîçíà÷èì �* ( , , , )t v m . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî T� � � � �( ( ), ( , ), ) : ~ ( , , ( ), ) ( ) g m t t v m d v t � � � � � � � { inf0 1 0 � } (22) è åãî íàèìåíüøèé ýëåìåíò � � �� �( ( ), ( , ), ) inf ( ( ), ( , ), )g m g m� � � � � � �T .  ñèëó ñâîéñòâ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A � �( , , , )t v m ôóíêöèÿ ~( , , , ) �t v m L B� -èçìåðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , òàê êàê îíà ñîñòàâëåíà íà îñíîâå êîì- ïîíåíò ñåëåêòîðà �* ( , , , )t v m è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìà. À çíà÷èò, èíòåãðàë â ñîîòíîøåíèè (22) êîððåêòíî îïðåäåëåí. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ( , )t m � 0, òî ~( , , , ) �t v m � �� äëÿ ��[ , ]0 t , v V� , è çíà÷å- íèå èíòåãðàëà â (22) ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûì ��. Åñëè íåðàâåíñòâî â (22) íå èìååò ìåñòà ïðè t 0, òî ïîëîæèì T� �( ( ), ( , ), )g m� � � ��. Óñëîâèå 6. Åñëè äëÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êè m M� èìååì T T� � � � ��� �( ( ), ( , ), )g m , òî äëÿ ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , , )T v m åãî óñå÷åííûå ñåëåêòîðû � � ��( , , , ) ( ( , , , ), , ( , , , ))T T Tv m v m v m� 1 � � � � � ( , , , ) ( ( , , , ), [ , ), , [ , ], T T T v m v m t t i i � � � � � � 1 0 0 (23) ÿâëÿþòñÿ ñåëåêòîðàìè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A T� �( , , , )v m , ��[ , ]0 T , v V� , äëÿ ëþáûõ ti �[ , ]0 T , i �1, ,� �. Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå- íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Êðîìå òîãî, äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè g( )� , âûáðàííîãî ñå- ëåêòîðà � ( , )� � �� è ôèêñèðîâàííîé òî÷êè m M� èìååì T T� � � � ��� �( ( ), ( , ), )g m , ïðè÷åì âûïîëíåíî óñëîâèå 6. Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà àôôèííîå ìíîãîîá- ðàçèå M m0 � â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (3). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé ( , )T m � 0. Äëÿ êîìïîíåíò L B� -èçìåðèìîãî ýêñòðåìàëüíîãî ñåëåêòîðà �* ( , , , )T v m èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâî � � � i i iv m v m* , , *( , , , ) min ( , , , )T T� �1 � . Åñëè v( )� , ��[ , ]0 T , — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî, òî èç íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (22) ïîëó÷èì � � �i v m d* ( , , ( ), ) 0 1 T T� � � �i v1, ,� . Êîíòðîëüíûå ôóíêöèè h t v m di i t ( ) ( , , ( ), )*� � �1 0 � � �T , i �1, �, àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, íå âîçðàñòàþò è hi ( )0 1� , hi ( )T 0. Ïîýòîìó ñóùåñò- âóåò òàêîé ìîìåíò ti * , ÷òî h ti i( )* � 0 , ïðè÷åì t t vi i * * ( ( ))� � . 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 Ââåäåì óñå÷åííûå ôóíêöèè (23) �i v m( , , , )T ñ t ti i� * è ðàññìîòðèì îòîáðà- æåíèå U v u U v m m u v2 ( , ) : ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,� � � � � � �� � � � �{ B T T T T� )}, (24) ãäå B 0 0 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) T T T T � � � �� v m v m v m v m � � � � 1 2 � � � �� � � � � � �� . Çàìåòèì, ÷òî � � �1 0 1 1( , ( ), ) , , ,T v m d i v ti * � � � � .  ñèëó óñëîâèÿ 6 âåêòîð-ôóíêöèÿ �( , , , )T v m ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v ñåëåêòîðîì îòîáðàæåíèÿ A T� �( , , , )v m , ïîýòîìó îòîáðà- æåíèå U v2 ( , )� L B� -èçìåðèìî. Ñîãëàñíî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v2 ( , )� , ÿâëÿþùèéñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ ðàâíûì u u v( ) ( , ( ))� � �� 2 , ��[ , ]0 T . Ïðè ( , )T m � 0 óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà âûáåðåì àíàëîãè÷íî (24), íî ñ íóëåâîé ìàòðèöåé B( , , , )T � v m . Ïðîñëåäèì çà òðàåêòîðèåé ïðîöåññà (1), ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîèçâîëüíîìó äîïóñòèìîìó óïðàâëåíèþ óáåãàþùåãî è óêàçàííîìó óïðàâëåíèþ ïðåñëåäîâàòå- ëÿ. Åñëè ( , )T m � 0, òî, èìåÿ ïðåäñòàâëåíèå ïðîåêöèè òðàåêòîðèè � � � � � � � �z g u v d( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))T T T T � � � � 0 , ïðèáàâèâ è âû÷òÿ èç ïðàâîé ÷àñòè âåêòîðû � � �( , )T T 0 � d , m è èñïîëüçîâàâ âûðà- æåíèå (24), ïîëó÷èì � � � z E v m d m m( ) ( , , , ) ( , )T T T T � � � � � � � � � � �� B 0 . (25) Cëåäîâàòåëüíî, �z m(T) � ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà B( , , ( ), )T T � � �v m d E 0 � � . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò âûõîä òðàåêòîðèè íà àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå M m0 � â ìîìåíò T. Åñëè ( , )T m � 0, òî èç (25) àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò �z m( )T � . Óñëîâèå 7. Ôóíêöèÿ � �� ( ( ), ( , ), )g m� � � ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó ïî m, m M� . Îáîçíà÷èì � � � � �� � �� � � � � � � � � ( ( ), ( , )) min ( ( ), ( , ), )g g m m M è ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, ñîñòîÿùåå èç ýêñòðåìàëüíûõ ýëå- ìåíòîâ: M ( ( ), ( , )) : ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )g m M g g� � � � � � � � � � � �� � � � �� �{ , )m }. Ñëåäñòâèå 2.  ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû 4 ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè 7 òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà â ëþáóþ òî÷êó ìíîæåñòâà M g0 � � � �M ( ( ), ( , ))� â ìîìåíò �� ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (3). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 59 ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ Äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ïðè óñëîâèè Ïîíòðÿãèíà ðàññìîò- ðèì ãàðàíòèðîâàííûå âðåìåíà ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà Ïîíòðÿãèíà [1, 6–8] P( ( )) : ( ) ( , )g t g t M W t d t � � � � � � � , �, ' ( , ), �0 0 � � � (26) è ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ p g t t g( ( )) inf{ : ( ( ))� � � � �0 P }. Èíòåãðàëîì îò ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàë Àóìàíà. Êàê ïîêàçàíî â [8] â òåðìèíàõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ñîîòíîøåíèå (26) ìîæíî âûðà- çèòü â âèäå òàê íàçûâàåìîé ôóíêöèîíàëüíîé ôîðìû ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà [7]. Ñîõðàíèâ âñå ïðåäûäóùèå îáîçíà÷åíèÿ, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå C t c W t t c M t g t t( , ) :[ ( , ) ( , )] [ ( , ( ), ( , ))]� � � � � �� � � - � � �{ 0 �} (27) è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè �1 c t c c C t( , ) : ( , )� �� �sup { }, t � �� 0. Ââåäåì ìíîæåñòâî ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí P( ( ), ( , )) : ( , )g t c t d t � � � � � � � � , �, ' ( , ), �� � �0 1 0 è ìèíèìàëüíîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ p g t t g( ( ), ( , )) : ( ( ), ( , ))� � � � � � � � �� �inf { P }0 . Èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå P P( ( ), ( , ) ( ( ))g g� � � � �� � � � � �� ( , ) , ( )� g , à ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ [8, òåîðåìà 6] min ( ( ), ( , )) ( ( )) ( , )� � � � � � � � � � � p g p g � �g( ). Ñâÿçü ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà ñ ðàçðåøàþùèìè ôóíêöèÿìè ÷àñòè÷íî ïðîÿñ- íÿåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [7, 8]. Äëÿ òîãî ÷òîáû � � �g t M W t d t ( ) ( , )� � � 0 , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òàêîé ñåëåêòîð � ( , )t t� �� , ÷òî � �( , ( ), ( , ))t g t t M� � . Èç ïîñòðîåíèé ïðåäûäóùèõ ðàçäåëîâ, êàñàþùèõñÿ ðàçëè÷íûõ ñõåì ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, âûòåêàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âû- ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà: . ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � ��, ÷òî P( ( )) ( ( ), ( , ))g T g� � � � �� � � �g( ) è, ñëåäîâàòåëüíî, t g p g� �( ( ), ( , )) ( ( ))� � � � � �g( ); . ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � ��, ÷òî P( ( )) ( ( ), ( , ))g g� � � � �+� � � �g( ) 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, +� �( ( ), ( , )) ( ( ))g g� � � �P � �g( ) ; . ñóùåñòâóþò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � �� è òî÷êà m M� , ÷òî P( ( )) ( ( ), ( , ), )g g m� � � � �T� � , à çíà÷èò, � �� ( ( ), ( , ), ) ( ( ))g m p g� � � � � �g( ). Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âû- ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà: . èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå +� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))g T g� � � � � � � � � � � �g( ), ( , )� � è, ñëåäîâàòåëüíî, t g g� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � �+0 � � � � �g( ), ( , )� �; . ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèå T� �� �( ( ), ( , ), ) ( ( ), ( , ))g m T g� � � � � � � è ñîîòâåòñòâåííî t g m t g� �� �( ( ), ( , ), ) ( ( ), ( , ))� � � � � � � � � � � � �m M g, ( , ) , ( )� � . Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âû- ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà: . åñëè òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì ( )M m� { } , òî T g g m� �� �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ), )� � � � � � �T , t g g m� �� � �( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ), )� � � � � � � � � � � �g( ), ( , )� �; . åñëè òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî — àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå è âûïîëíåíî óñëîâèå 3, òî min ( ( ), ( , )) ( , )� � � � � � � � � � � t g p g= ( ( )) � �g( ); . åñëè òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ìíîãîîáðàçèåì, òî min ( ( ), ( , )) ( , )� � � � � � � � � � � +0 g p g= ( ( )) � �g( ). Èç óòâåðæäåíèÿ 3, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî âñå ðàññìîòðåííûå ìèíèìàëü- íûå ãàðàíòèðîâàííûå âðåìåíà ñîâïàäàþò, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 3, à òåðìè- íàëüíîå ìíîæåñòâî — àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ââåäåíû ìàòðè÷íûå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè äëÿ ðåøåíèÿ èãðîâûõ çàäà÷ ñáëèæåíèÿ. Ñ èõ ïîìîùüþ óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñáëèæåíèÿ òðàåêòîðèè ïðîöåññà çà êîíå÷íîå âðåìÿ ñ öèëèíäðè÷åñêèì òåðìè- íàëüíûì ìíîæåñòâîì â ñëó÷àå ñïåöèàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ. Îòäåëü- íî ðàññìîòðåíû ñèòóàöèè ñáëèæåíèÿ â êëàññå êâàçè- è ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé. Óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè âûáèðàþòñÿ â âèäå êîíòðóïðàâëåíèé íà îñíîâå òåîðåì èçìåðèìîãî âûáîðà ñåëåêòîðîâ èç L B� -èçìåðèìûõ çàìêíó- òîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ èõ ñóïåðïîçèöèîííàÿ èçìå- ðèìîñòü. Ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí. Ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé èëëþñòðèðóþòñÿ íà ïðîñòîì ìî- äåëüíîì ïðèìåðå, ïîêàçûâàþùåì ïðåèìóùåñòâî ìàòðè÷íûõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé íàä ñêàëÿðíûìè, îòêðûâàþùèõ íîâûå âîçìîæíîñòè â èçó÷åíèè èãðî- âûõ çàäà÷ äèíàìèêè. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 61 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — T. 2. — 576 ñ. 2. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Èãðîâûå çàäà÷è î âñòðå÷å äâèæåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 420 ñ. 3. P s c h e n i t c h n y B . N . �-strategies in differential games // Topics in Differential Games. — New York; London; Amsterdam: North Holland Publ. Co, 1973. — P. 45–99. 4. I s a a c s R . Differential games. — New York: John Wiley, 1965. — 480 p. 5. Ñ ó á á î ò è í À . È . , × å í ö î â À . à . Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 288 ñ. 6. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. — 65 ñ. 7. C h i k r i i A . A . Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. — 424 p. 8. × è ê ð è é À . À . Îá îäíîì àíàëèòè÷åñêîì ìåòîäå â äèíàìè÷åñêèõ èãðàõ ñáëèæåíèÿ // Òð. ÌÈ ÐÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. — 2010. — 271. — Ñ. 76–92. 9. C h i k r i i A . A . Quasilinear controlled processes under conflict, dynamical systems. 2 // J. Math. Sci. — 1996. — 80, N 1. — P. 1489–1518. 10. A u b i n J . - P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. — 461 p. 11. È î ô ô å À . Ä . , Ò è õ î ì è ð î â  . Ì . Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 480 ñ. 12. C h i k r i i A . A . The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. Math. Game Theory and Algebra. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94. 13. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , × è ê ð è é À . À . Î ðàçâèòèè íàó÷íûõ èäåé Á.Í. Ïøåíè÷íîãî â îáëàñ- òè îïòèìèçàöèè è ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óïðàâëåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 2. — Ñ. 3–28. 14. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Ïðîñòîå ïðåñëåäîâàíèå íåñêîëüêèìè îáúåêòàìè // Êèáåðíåòèêà. — 1976. — ¹ 3. — Ñ. 145–146. 15. à ð è ã î ð å í ê î Í . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ íåñêîëüêèìè äèíàìè÷åñêèìè ïðîöåññàìè. — Ì.: ÌÃÓ, 1980. — 198 ñ. 16. Á ë à ã î ä à ò ñ ê è õ À . È . , Ï å ò ð î â Í . Í . Êîíôëèêòíîå âçàèìîäåéñòâèå ãðóïï óïðàâëÿå- ìûõ îáúåêòîâ. — Èæåâñê: Èçä-âî «Óäìóðò. óí-ò», 2009. — 266 ñ. 17. × è ê ð è é À . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ íåñêîëüêèìè ïðåñëåäîâàòåëÿìè // Òð. Ìåæäó- íàð. ìàò. Öåíòðà èì. Ñ. Áàíàõà (Âàðøàâà). — 1985. — 14. — Ñ. 81–107. 18. Ë î ê ê À . Ñ . Óïðàâëåíèå ñíàðÿäàìè. — Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.-òåîðåò. ëèò., 1957. — 775 ñ. 19. × è ê ð è é À . À . , Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . Îáîáùåííûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè Ìèòòàã–Ëåôôëå- ðà â èãðîâûõ çàäà÷àõ äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñ- òåìíûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 3. — Ñ. 3–32. 20. × è ê ð è é À . À . , Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . , Ð ó ð å í ê î À . à . Ëèíåéíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöè- àëüíûå èãðû // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1998. — ¹ 2. — Ñ. 3–18. 21. C h i k r i i A . A . Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems // Int. J. Optim. Methods and Software. — 2008. — 23, N 1. — P. 39–72. 22. C h i k r i i A . A . Game dynamic problems for systems with fractional derivatives // Pareto Optimality, Game Theory and Equilibria. — New York: Springer, 2008. — 17. — P. 349–387. 23. C h i k r i i A . A . , M a t y c h y n I . I . , G r o m a s z e k K . , S m o l a r z A . Control of fractional-order dynamic systems under uncertainty // Modelling and Optimization / Ed. by J. Sikora. — Lublin (Poland): Publ. Lublin Univ. of Technol., 2011. — P. 3–56. 24. Ê ð è â î í î ñ Þ . à . , Ì à ò è ÷ è í È . È . , × è ê ð è é À . À . Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ðàçðûâíû- ìè òðàåêòîðèÿìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 220 ñ. 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 25. × è ê ð è é À . À . , Á å ë î ó ñ î â À . À . Î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíû- ìè îãðàíè÷åíèÿìè // Òð. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Óð. Î ÐÀÍ. — 2009. — 15, ¹ 4. — C. 290–301. 26. Î í î ï ÷ ó ê Þ . Í . , × è ê ð è é À ë . À . Àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ èãð ñáëèæåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — ¹ 4. — Ñ. 137–152. 27. C h i k r i i A . A . , K h o m i n A . V . Extremal selectors in differential pursuit games // Sybernetics and System Analysis. — P. I, 1988. — N 6. — P. 746–754; P. II, 1989. — N 2. — P. 193–203. 28. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíô- ëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 4. — Ñ. 40–64. 29. M o r d u k h o v i c h B . S . Variational analysis and generalized differentiation. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 2006, I — Basic Theory, 330. — 582 p., II — Applications, 331, — 612 p. 30. Á î ð è ñ î â è ÷ Þ . à . , à å ë ü ì à í Á . Ä . , Ì û ø ê è ñ À . Ä . , Î á ó õ î â ñ ê è é  .  . Ââå- äåíèå â òåîðèþ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé. — Ì.: Ëèáðî- êîì, 2010. — 226 ñ. 31. × è ê ð è é À . À . , × è ê ð è é à . Ö . Ãðóïïîâîå ïðåñëåäîâàíèå â äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñ- òíûõ èãðàõ // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. — 1984. — 20, ¹ 5. — Ñ. 802–810. 32. × è ê ð è é à . Ö . Èñïîëüçîâàíèå ýôôåêòà çàïàçäûâàíèÿ èíôîðìàöèè â äèôôåðåíöèàëüíûõ èã- ðàõ ïðåñëåäîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 90–105. 33. Ê ó í ö å â è ÷  . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2006. — 264 ñ. 34. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèå è íàáëþäåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. — Ì.: Íàó- êà, 1977. — 456 c. 35. O s i p o v Y u . S . , K r y a z h i m s k i i A . V . Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. — Basel: Gordon and Breach, 1995. — 625 p. 36. M a t y c h y n I . , C h i k r i i A . , G r o m a s z e k K . Dynamic games involving impulses // Book Current Problems in Information and Computational Technologies, 2 / Ed. by W. Wojcik and J. Sikora. — Lublin (Poland): Publ. Lublin Univ. of Technology, 2012. — P. 51–106. 37. H a j e k O . Pursuit games. — New York: Acad. press, 1975. — 12. — 266 p. 38. à à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 552 ñ. 39. Î ñ ò à ï å í ê î  .  . , À ì è ð ã à ë è å â à Ñ . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Å .  . Âûïóêëûé àíàëèç è äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Àëìàòû: Íàó÷.-èçäàò. öåíòð «Fûëûì», 2005. — 392 ñ. 40. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1973. — 470 ñ. Ïîñòóïèëà 05.06.2013 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 63

Схожі ресурси