О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии

Ставятся и решаются задачи управления трехмерным полем поперечных динамических смещений упругих плит конечной толщины по среднеквадратическому согласованию его с наперед заданным непрерывно определенным желаемым состоянием. Управляющими факторами считаются поверхностно распределенные внешнединамичес...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и системный анализ
Date:	2014
Main Authors:	Стоян, В.А., Двирничук, К.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115798
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 79-96. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115798
record_format	dspace
spelling	Стоян, В.А. Двирничук, К.В. 2017-04-12T19:16:45Z 2017-04-12T19:16:45Z 2014 О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 79-96. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115798 517.95:519.86:539.3 Ставятся и решаются задачи управления трехмерным полем поперечных динамических смещений упругих плит конечной толщины по среднеквадратическому согласованию его с наперед заданным непрерывно определенным желаемым состоянием. Управляющими факторами считаются поверхностно распределенные внешнединамические нагрузки, начальные и краевые возмущающие факторы, используемые отдельно, попарно и в комплексе. Описаны особенности решения этих задач для случая, когда начально определенные и краевые возмущения несущественны. Исследуются условия точности и однозначности полученных решений. Сормульовано та розв’язано задачі керування тривимірним полем поперечних динамічних зміщень пружних плит скінченної товщини по середньоквадратичному узгодженню його із завчасно заданим неперервно визначеним бажаним станом. Керуючими чинниками вважаються поверхнево розподілені зовнішньо-динамічні навантаження, початкові та крайові збурюючі фактори, взяті окремо, попарно і в комплексі. Описано особливості розв’язання цих задач у випадку, коли початкові і крайові збурення неістотні. Досліджено умови точності та однозначності отриманих розв’язків. The authors formulate and solve the control problems for the dynamics of three-dimensional field of transverse displacements of elastic plates of finite thickness coordinated with the mean square fixed continuous desired condition. The control factors are superficially distributed external dynamic loads, initial and boundary disturbing factors taken individually, in pairs, and all three together. The features of the solution of these problems are described for the case where some of the initial and boundary disturbances are not important. The conditions of the accuracy and uniqueness of the solutions are analyzed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии Про математичне моделювання задач керування динамікою товстих пружних плит. І. Керування при неперервно заданому бажаному стані Mathematical modeling of dynamic control problems for thick elastic plates. I. Control under continuous desired state Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии
spellingShingle	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии Стоян, В.А. Двирничук, К.В. Системный анализ
title_short	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии
title_full	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии
title_fullStr	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии
title_full_unstemmed	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии
title_sort	о математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. і. управление при непрерывно заданном желаемом состоянии
author	Стоян, В.А. Двирничук, К.В.
author_facet	Стоян, В.А. Двирничук, К.В.
topic	Системный анализ
topic_facet	Системный анализ
publishDate	2014
language	Russian
container_title	Кибернетика и системный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Про математичне моделювання задач керування динамікою товстих пружних плит. І. Керування при неперервно заданому бажаному стані Mathematical modeling of dynamic control problems for thick elastic plates. I. Control under continuous desired state
description	Ставятся и решаются задачи управления трехмерным полем поперечных динамических смещений упругих плит конечной толщины по среднеквадратическому согласованию его с наперед заданным непрерывно определенным желаемым состоянием. Управляющими факторами считаются поверхностно распределенные внешнединамические нагрузки, начальные и краевые возмущающие факторы, используемые отдельно, попарно и в комплексе. Описаны особенности решения этих задач для случая, когда начально определенные и краевые возмущения несущественны. Исследуются условия точности и однозначности полученных решений. Сормульовано та розв’язано задачі керування тривимірним полем поперечних динамічних зміщень пружних плит скінченної товщини по середньоквадратичному узгодженню його із завчасно заданим неперервно визначеним бажаним станом. Керуючими чинниками вважаються поверхнево розподілені зовнішньо-динамічні навантаження, початкові та крайові збурюючі фактори, взяті окремо, попарно і в комплексі. Описано особливості розв’язання цих задач у випадку, коли початкові і крайові збурення неістотні. Досліджено умови точності та однозначності отриманих розв’язків. The authors formulate and solve the control problems for the dynamics of three-dimensional field of transverse displacements of elastic plates of finite thickness coordinated with the mean square fixed continuous desired condition. The control factors are superficially distributed external dynamic loads, initial and boundary disturbing factors taken individually, in pairs, and all three together. The features of the solution of these problems are described for the case where some of the initial and boundary disturbances are not important. The conditions of the accuracy and uniqueness of the solutions are analyzed.
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115798
citation_txt	О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 79-96. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT stoânva omatematičeskommodelirovaniizadačupravleniâdinamikoitolstyhuprugihplitíupravlenieprinepreryvnozadannomželaemomsostoânii AT dvirničukkv omatematičeskommodelirovaniizadačupravleniâdinamikoitolstyhuprugihplitíupravlenieprinepreryvnozadannomželaemomsostoânii AT stoânva promatematičnemodelûvannâzadačkeruvannâdinamíkoûtovstihpružnihplitíkeruvannâprineperervnozadanomubažanomustaní AT dvirničukkv promatematičnemodelûvannâzadačkeruvannâdinamíkoûtovstihpružnihplitíkeruvannâprineperervnozadanomubažanomustaní AT stoânva mathematicalmodelingofdynamiccontrolproblemsforthickelasticplatesicontrolundercontinuousdesiredstate AT dvirničukkv mathematicalmodelingofdynamiccontrolproblemsforthickelasticplatesicontrolundercontinuousdesiredstate
first_indexed	2025-11-25T21:43:53Z
last_indexed	2025-11-25T21:43:53Z
_version_	1850560297046114304
fulltext	ÓÄÊ 517.95:519.86:539.3 Â.À. ÑÒÎßÍ, Ê.Â. ÄÂÈÐÍÈ×ÓÊ Î ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÈ ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÒÎËÑÒÛÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ. ². ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÏÐÈ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎ ÇÀÄÀÍÍÎÌ ÆÅËÀÅÌÎÌ ÑÎÑÒÎßÍÈÈ Àííîòàöèÿ. Ñòàâÿòñÿ è ðåøàþòñÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ òðåõìåðíûì ïîëåì ïîïåðå÷íûõ äè- íàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé óïðóãèõ ïëèò êîíå÷íîé òîëùèíû ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó ñîãëà- ñîâàíèþ åãî ñ íàïåðåä çàäàííûì íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûì æåëàåìûì ñîñòîÿíèåì. Óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè ñ÷èòàþòñÿ ïîâåðõíîñòíî ðàñïðåäåëåííûå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå íàãðóçêè, íà÷àëüíûå è êðàåâûå âîçìóùàþùèå ôàêòîðû, èñïîëüçóåìûå îòäåëüíî, ïîïàðíî è â êîìïëåêñå. Îïèñàíû îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà÷àëüíî îïðåäåëåííûå è êðàåâûå âîçìóùåíèÿ íåñóùåñòâåííû. Èññëåäóþòñÿ óñëîâèÿ òî÷íîñòè è îäíîçíà÷íîñòè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëåíèå, òîëñòûå óïðóãèå ïëèòû, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ìàòåìà- òè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Óïðóãèå äèíàìè÷åñêèå îáúåêòû â âèäå ïëàñòèí, îáîëî÷åê è òîëñòûõ ïëèò ÿâ- ëÿþòñÿ íåîòúåìëåìûì êîìïîíåíòîì òåõíè÷åñêîãî ïðîãðåññà. Ñëîæíîñòü èõ èññëåäîâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ëÿìå [1, 2], îïèñûâà- þùèå óïðóãî-äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû â òàêèõ ìåõàíè÷åñêèõ êîíñòðóêöèÿõ, â ñèëó ñâîåé óíèâåðñàëüíîñòè ñëèøêîì ãðîìîçäêè äëÿ ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñ- êîãî ðåøåíèÿ. Óðàâíåíèÿ, ïîñòðîåííûå [3, 4] ñ ó÷åòîì âûðîæäåííîñòè îäíîãî èç ðàçìåðîâ (òîëùèíû) ìåõàíè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ è áîëåå ïðèìåíèìûå äëÿ ïðàêòèêè, íå âñåãäà ýôôåêòèâíû ïðè êîíå÷íîñòè òàêîãî ðàçìåðà [5–7]. Ïðåî- äîëåòü ýòè äâå êðàéíîñòè óäàëîñü À.È. Ëóðüå â ðàáîòå [1], ãäå ñ ó÷åòîì ãåî- ìåòðèè óïðóãîãî îáúåêòà òðåõìåðíàÿ çàäà÷à ýëàñòîñòàòèêè òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ ñâåäåíà ê äâóõìåðíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè. Åãî èäåè, óñïåøíî ðàçâèòûå â [8], ïîçâîëèëè ïîñòðîèòü ïîäîáíóþ ìîäåëü è äëÿ çàäà÷è äèíàìèêè óïðóãîãî ñëîÿ êîíå÷íîé òîëùèíû, çàãðóæåííîãî, îäíàêî, òîëüêî îñåñèììåòðè÷åñ- êèìè ïîâåðõíîñòíûìè óñèëèÿìè. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ äèíàìèêè òàêîãî ñëîæíîãî ìåõàíè÷åñêîãî îáúåêòà ðàçðåøàþùèå óðàâíåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû òîëüêî â [9]. Ýòè óðàâíåíèÿ, êàê è óêàçàííûå âûøå, òî÷íî (áåç ìåõàíè÷åñêèõ ãèïîòåç) îïèñûâàÿ òðåõìåðíîå ïîëå ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ, ÿâëÿ- þòñÿ áåñêîíå÷íî âûñîêîãî ïîðÿäêà äâóõìåðíûìè (ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíà- òàì) äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïàðàìåòðè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ îò âûðîæ- äåííîé êîîðäèíàòû. Óðàâíåíèÿ îãðàíè÷åííîãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâóþò ïî òî÷íîñòè èçâåñòíûì ðàíåå òåîðèÿì èçãèáà è äèíàìèêè óïðóãèõ ïëèò è ìîãóò áûòü èññëåäîâà- íû êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ðåøåíèå óðàâíåíèé [8, 9] äàíî â [10], ãäå ïîñòðîåíî èíòåãðàëü- íîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê ïîâåðõíîñ- òíî çàãðóæåííîãî óïðóãîãî ñëîÿ êîíå÷íîé òîëùèíû. Ïðîáëåìà ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèé [9] ê èññëåäîâàíèþ äèíàìèêè òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ îñòàâàëàñü íåðåøåííîé, ïîñêîëüêó íà÷àëü- íî-êðàåâûå çàäà÷è â òàêîì ñëó÷àå íå ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû êîððåêòíî ïî êîëè÷åñòâó íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèé. Äëÿ åå ïðåîäîëåíèÿ â ðàáîòå [11] ïðè ðå- øåíèè ïðÿìûõ çàäà÷ ýëàñòîäèíàìèêè ïðèìåíåí ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëè- ðîâàíèÿ, ïðåäëîæåííûé â [12, 13]. Ýòî ïîçâîëèëî ïîñòðîèòü ðåøåíèå ñôîðìóëè- ðîâàííûõ â [11] íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äîâîëüíî ñëîæíûõ äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé [8, 9] íå òîëüêî ïðè êîëè÷åñòâåííîé íåïîëíîòå íà÷àëüíî-êðàåâûõ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 79 � Â.À. Ñòîÿí, Ê.Â. Äâèðíè÷óê, 2014 íàáëþäåíèé çà ïëèòîé, íî è ïðè èõ êà÷åñòâåííîì íåñîîòâåòñòâèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà. Â ÷àñòíîñòè, áûëè ðåøåíû çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ïîëÿ ïîïåðå÷íûõ óïðóãî-äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîé ïëèòû ïðè íåïîëíûõ ïî êîëè÷åñòâó è ïðî- ñòðàíñòâåííî-âðåìåííîìó ðàñïðåäåëåíèþ (íåïðåðûâíî â ïîäîáëàñòè èëè äàæå äèñ- êðåòíî) íà÷àëüíî-êðàåâûõ íàáëþäåíèÿõ çà åå ñîñòîÿíèåì. Íåðåøåííûìè, îäíàêî, îñòàëèñü áîëåå ñëîæíûå, àêòóàëüíûå è èíòåðåñíûå äëÿ èíæåíåðíîé ïðàêòèêè, âîï- ðîñû èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé ïëèò êîíå÷íîé òîëùèíû. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ òîëñòûìè óïðóãè- ìè ïëèòàìè â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû èíôîðìàöèè îá èõ íà÷àëüíî-êðàåâîì ñîñòîÿ- íèè ïðè äèñêðåòíî è íåïðåðûâíî çàäàííîì æåëàåìîì ñîñòîÿíèè ïëèòû. Ìåòîäè- êà ïñåâäîîáðàùåíèÿ ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ, èíòåãðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëü- íûõ ñèñòåì [14] ïîçâîëèëà, êàê è â [12, 13], ðåøèòü ýòè ñëîæíûå çàäà÷è äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà óïðàâëåíèå èññëåäóåìûì îáúåêòîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòíûìè äèíàìè÷åñêèìè óñèëèÿìè, íà÷àëüíûìè è êðàåâûìè âîçìóùåíèÿìè ïî îòäåëü- íîñòè, ïîïàðíî è â êîìïëåêñå. Íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû ñëó÷àè íåîãðàíè÷åííîñ- òè óïðóãîé ïëèòû ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì è åå äèíàìèêè íà íåîãðà- íè÷åííîì âðåìåííîì èíòåðâàëå, à òàêæå èññëåäîâàíû âîïðîñû òî÷íîñòè ïîëó- ÷åííûõ ðåøåíèé è ñôîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ ýëàñòîäèíàìèêè ïëèò. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÑËÎß Ðàññìîòðèì âîïðîñû èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè óïðóãîé ïëèòû, ñðåäèííàÿ ïî- âåðõíîñòü êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ Oxy äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x, y, z, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî òîëùèíà 2h ïëèòû ñîèçìåðèìà ñ åå ãåîìåòðè÷åñ- êèìè ðàçìåðàìè, à ãðàíè÷íûå ïîâåðõíîñòè z h� � íàõîäÿòñÿ ïîä äåéñòâèåì íîðìàëüíûõ ( )k �1 è êàñàòåëüíûõ ( )k � 2 ê íèì äèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé q x y z t k � ( , , , ) ( , )k �1 2 (çäåñü è äàëåå t — âðåìåííàÿ êîîðäèíàòà). Íå îãðàíè÷è- âàÿ (ïîêà) èññëåäóåìóþ ïëèòó ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì, ðàññìîòðèì åå êàê òîëñòûé óïðóãèé ñëîé òîëùèíû 2h. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðå- äåëÿþùèå ñèììåòðè÷åñêóþ è àíòèñèììåòðè÷åñêóþ ÷àñòè w x y z t k ( ) ( , , , )1 è w x y z t k ( ) ( , , , )2 ( , )k �1 2 ôóíêöèè w x y z t w x y z t k l k l ( , , , ) ( , , , )( ) , � � � 1 2 (1) ñìåùåíèé òàêîãî ñëîÿ, ïîñòðîåíû â [9]. Îáîçíà÷èâ u x y z t( , , , ) , v x y z t( , , , ) ñìåùåíèÿ òî÷åê ñëîÿ â íàïðàâëåíèè êîîð- äèíàòíûõ îñåé Ox, Oy, à d è � — îïåðàòîðû òàêèå, ÷òî � �� x yu v d u v( ), d x y( )� �� (çäåñü è äàëåå � � �x y t, , — ïðîèçâîäíûå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì x, y è âðåìåíè t) ïðè Q D D hD hD x y t ( ) ( , , ) ( )(( ) )cos ( ) sin (1 2 2 1 2 12� � � � � � � �� 2 2 ) D 4 1 2 1 1 2��D hD D hD sin ( ) cos ( ), Q D D hD D x y t ( ) ( , , ) ( )( ( ) ) sin ( ) cos (2 2 2 1 2 1 1 2� � � � � �� hD2 ) � � 4 2 2 1 2 2 ��D hD hD D cos ( ) sin ( ) , (2) 80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 d z D D zD D hD D x y t1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2( ) ( , , , ) ( ) sin ( ) sin ( ) � � � � � � � sin ( ) sin ( )hD D zD D 1 1 2 2 � � � � , d zx y t2 1( ) ( , , , )� � � � � � 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1d D hD zD D D zD � � � �(( ) )cos ( ) sin ( ) sin ( ) � D hD 1 2cos ( ) � � � � , d z D zD hD hDx y t1 2 2 2 1 2 2( ) ( , , , ) ( )cos( )cos( ) cos(� � � � � � � 1 2)cos( )zD , (3) d zx y t2 2( ) ( , , , )� � � � � � �2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1d D zD hD D D hD cos ( ) sin ( ) ( ( ) ) sin ( ) � � � �� D zD 1 2cos ( ) � � � � , ýòè óðàâíåíèÿ çàïèøåì â âèäå Q w x y z t d z ql x y t k l k l x y t k l( ) ( ) ( ) (( , , ) ( , , , ) ( , , , )� � � � � � � ) ( , , ) ( , , )x y t k l �1 2 . (4) Çäåñü � è � — êîíñòàíòû Ëÿìå [1, 2], õàðàêòåðèçóþùèå óïðóãèå ñâîéñòâà ñëîÿ, q x y t q x y t q x y t 1 1 1 1 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� �� , q x y t q x y t q x y t 2 1 2 2 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� � , q x y t q x y t q x y t 1 2 1 1 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� � , q x y t q x y t q x y t 2 2 2 2 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� �� , îïåðàòîðû �1, � 2 , Dm 2 ( , )m �1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè � � �1 2 2 2 � � � � � � � � � � � � , � 2 2 2� � ��x y , D c m m m t 2 2 21 � �� ( , )m �1 2 ÷åðåç óäåëüíóþ ïëîòíîñòü � ìàòåðèàëà ñëîÿ, ñêîðîñòè c2 � � � , c1 2 � �� ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ âîëí ðàñøèðåíèÿ è ñäâèãà, à Q l x y t ( ) ( , , )� � � , d z k l x y t ( ) ( , , , )� � � — îïåðàòîðû, äèôôåðåíöèàëüíîå ñîäåðæàíèå êîòîðûõ ïîëó÷èì ïîñëå âîçâðàùåíèÿ ñèìâîëàì � è Dm 2 ( , )m �1 2 èõ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñîäåð- æàíèÿ â ðàçëîæåíèÿõ ôóíêöèé sin ( )zD D m m , cos ( )zDm â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì zDm . Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (4), çàïèñàííûå ñ ðàçíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè, âêëþ÷àþò êàê êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ [1, 3] äâóõìåðíîé òåîðèè ïëàñòèí, òàê è èõ îáîáùåíèÿ [4], ïîëó÷åííûå íà áàçå íåêëàññè÷åñêèõ ìîäåëåé ìåõàíèêè äåôîð- ìèðîâàíèÿ óïðóãèõ ïëèò. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìåõàíè÷åñêèå ãèïîòåçû, ïîëîæåííûå â îñíîâó ïîñòðîåíèÿ ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèé ýòèõ ìîäåëåé, íå ïðåâûøàþò h3-ïîðÿäîê, çàïèøåì è äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû óðàâíåíèé (4) ñîîòâå- òñòâóþùåé òî÷íîñòè. Ïðè ýòîì äëÿ îñåñèììåòðè÷åñêîãî çàãðóæåíèÿ ðàññìàòðè- âàåìîãî ñëîÿ èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ [10]: Q hx y t t ( ) ( , , ) ( )1 24 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� h t 3 2 2 2 2 3 8 2 4 2 8 7 2 5 ! ( ) ( ) ( ) �� 2 2 2 t , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 81 Q x y t ( ) ( , , )2 � � � � � � � � � � � � � � h h t t� � � � � � � � � � � � � � �2 3 2 3 8 2 4 3 4 2 3 7 ! ( ) ( ) �� 2 2 2 t , d z zhx y t t1 1 2 2 ( ) ( , , , )� � � � � � � � � � � � � � � � , d zx y t2 1( ) ( , , , )� � � � � � � � � � � �� zd h z dt � � � � � � � � �2 1 2 2 1 3 3 22 2 3� ! � � � � � � � � �� 2 4 2 2 2 2 2 2 � � �� ( ) t , d z h zx y t t1 2 2 21 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( , , , )� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 � � � � � �� t , d zx y t2 2( ) ( , , , )� � � � � � � � � � � � �� hd h t1 1 3 3 4 2 2 3 2 2 2 ! � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 2hz d t � � � � �� , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè â [8]. Óðàâíåíèÿ (4), (2), (3), òî÷íî îïèñûâàÿ òðåõìåðíóþ êàðòèíó óïðóãèõ äèíà- ìè÷åñêèõ ñìåùåíèé w x y z t( , , , ), ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè êàê äëÿ àíàëèçà, òàê è äëÿ èõ ðåøåíèÿ. Áîëåå óäîáíà äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (4), à èìåííî [10] w x y z t G z q d k l k l k l( ) ( ) ( )( , , , ) ( , ) ( )� � � � � �� ( , , )k l �1 2 , (5) ãäå � � ( , , )x y t , � � � � �� ( , , )x y t , G z k l( ) ( , )� � � � � � � � � 1 2 3 1 2 1 2 1 ( ) ( , , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( �i d p p z q Q p p q ek l l i i p x � � � � �x p y y q t t dp dp dq ) ( ) ( )2 1 2 ( , , )k l �1 2 — ôóíêöèè, àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå êîòîðûõ ìîæíî ïîñòðîèòü [15] ñ ïðè- ìåíåíèåì òåîðèè èíòåãðàëüíûõ âû÷åòîâ [16]. Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî Q G z d zl x y t k l k l x y t ( ) ( ) ( )( , , ) ( , ) ( , , , ) (� � � � � � � � �� ) ( , , )k l �1 2 , (6) ãäå � � �( ' ) — �-ôóíêöèÿ Äèðàêà. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÈ ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÒÎËÑÒÛÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ Îñòàíîâèìñÿ íà âîïðîñàõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò â ñìûñëå óïðàâëåíèÿ ïîëåì ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé w x y z t( , , , ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òåëî ïëèòû âûðåçàíî öèëèíäðîì ( , )x y èç ðàññìîòðåííîãî âûøå óïðóãîãî ñëîÿ òîëùèíû 2h. Äèôôåðåíöèàëüíóþ ìîäåëü (4) äëÿ ñîñòàâ- ëÿþùèõ w x y z t k l( ) ( , , , ) ôóíêöèè w x y z t( , , , ) ñìåùåíèé âíóòðåííèõ òî÷åê ( , , )x y z S! 0 ïëèòû äîïîëíèì óñëîâèÿìè, îïðåäåëÿþùèìè åå íà÷àëüíî-êðàåâîå ñîñòîÿíèå. Ïðè ýòîì ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 — íà÷àëüíî-êðàåâîå ñîñòîÿíèå íàáëþäàåòñÿ íåïðåðûâíî: L w s Wr t t r 0 0 0( ) ( ) ( )\|� �� ( , , )r R� !1 0 0� " , (7) L w s W s� � � ( ) ( ) ( )� � ( , , )� � !1 R s " ; (8) — íà÷àëüíî-êðàåâîå ñîñòîÿíèå íàáëþäàåòñÿ äèñêðåòíî: L w s Wr t t rj j 0 0 0 0 0 ( ) ( )� �� !� � " ( ,j J r�1 , r R�1 0, ), (9) L w s W s s j j � � � " ( ) ( )� � � ! ( ,j J�1 � , � �1, )R . (10) Çäåñü è äàëåå Lr t 0 ( )� ( , )r R�1 0 è L� � ( )� ( , )� �1 R — ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëü- íûå îïåðàòîðû, � � ( , , )x y z , s t� ( , )� , "0 0# S , " # �S x yT ( , )$ $[ , ] [ , ]h h 0 T . Íå íàêëàäûâàÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà êîëè÷åñòâî R0 , R — íà÷àëüíî-êðà- åâûõ íàáëþäåíèé (7)–(10), íà îáëàñòè "0 , " , íà âûáîð òî÷åê � j 0 ( , )j J r�1 , s j ( , )j J�1 � ýòèõ îáëàñòåé, ñîîòíîøåíèÿ (7)–(10) äîïîëíèì óñëîâèÿìè, êîòîðûìè îïðåäåëèì æåëàåìîå ñîñòîÿíèå âíóòðåííèõ òî÷åê ñëîÿ ïðè t T![ , ]0 . Ýòè óñëî- âèÿ, êàê è íàáëþäåíèÿ (7)–(10), çàïèøåì íåïðåðûâíî è äèñêðåòíî â îáëàñòè " # � $S ST 0 0 0[ , ]T : L w s W si s i( ) ( ) ( )� � ( , , )i I s� !1 " , (11) L w s Wi s s s ijij ( ) ( ) \|� �� !" ( , , , )j J i Ii� �1 1 . (12) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà ñîñòîÿíèå ïëèòû âëèÿþò: — ïîâåðõíîñòíûå âíåøíåäèíàìè÷åñêèå óñèëèÿ q x y t k � ( , , ) ( , )k �1 2 , — íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïëèòû, îïðåäåëåííîå ôóíêöèÿìè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 èëè èõ çíà÷åíèÿìè Wrj 0 ( , , , )j J r Rr� �1 1 0 â òî÷êàõ � j 0 ( , )j J r�1 , — êðàåâîå ñîñòîÿíèå ïëèòû, îïðåäåëåííîå ôóíêöèÿìè W s� ( ) ( , )� �1 R èëè èõ çíà÷åíèÿìè W j� ( , , , )j J R� �1 1� � â òî÷êàõ s j 0 ( , )j J�1 � , ïîñòàâèì çàäà÷ó îïðåäåëèòü: îäèí èç âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ ïðè èç- âåñòíûõ äâóõ äðóãèõ, äâà âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ôàêòîðà ïðè èçâåñòíîì òðåòü- åì, òðè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ óïðàâëÿþùèõ ôàêòîðà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ââåäåííàÿ ñîãëàñíî (1) ôóíêöèÿ w s( ), ïîêîìïîíåíòíî (÷åðåç w s k l( ) ( )) óäîâëåò- âîðÿÿ óðàâíåíèþ (4), ñîãëàñíî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ ñîãëàñîâûâà- ëàñü ñ íà÷àëüíî-êðàåâûìè íàáëþäåíèÿìè (7)–(10) è ïðèáëèæàëàñü ê çíà÷åíè- ÿì, îïðåäåëåííûì ñîîòíîøåíèÿìè (11), (12) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè R0 , R , ïðè ëþáûõ "0 , " , � j 0 0!" , s j "! , sij !". Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðå- øåíèÿ óðàâíåíèé (4), îáúåäèíåííûå ñîãëàñíî (1), óäîâëåòâîðÿëè ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: % " 1 0 0 0 2 1 0 0 � � � �� ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) (\|L w s W d L wr t t r r R � � � � s W s ds R ) ( )) �� " 2 1 � � &�� ( ( ) ( ) ( )) min ( ) L w s W s dsi s i i I w s 2 1" , (13) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 83 % "2 0 0 0 2 11 0 0 � � � � � � � � � � � ! �� L w s Wr t t rj j J r R j r ( ) ( ) \| , � � 0 � � � � � � � � � � � ! �� L w s W s s j j JR j � � � � � " ( ) ( ) \| 2 11 � � &� ! �� ( ( ) ( ) ) min\| ( ) L w s Wi s s s ij j J i I w sij i " 2 11 . (14) Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ (13), (14), êàê è â [12, 13], ôóíêöèè w s k l( ) ( ) ( , , )k l �1 2 ïðåäñòàâèì ñóììîé w s w s w s w s k l k l k l k l( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )� � � � 0 , (15) â êîòîðîé w s G z q d k l k l k l S � � � � �� ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( )� � � � , w s G z q d k l k l k l S 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( )� � � �� , (16) w s G z q d k l k l k l S ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( )� � � �� ïðè � � ( , , )x y t , S S S� '� , S S S0 0 0� '� , S S S � '� , S S� � (( 0 ( � � ${ } Tz h ) [ , ]0 , S S z h0 0 0� � ( � � $ �( ) ( , ]{ } , S R S z h � � ( � � $(( \ ) )3 0 { } $ [ , ]0 T è íåèçâåñòíûõ ïîêà ôóíêöèÿõ q k l 0 ( ) ( ),� q k l ( ) ( )� . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñ ó÷åòîì (6) ñîñòàâëÿþùèå w s k l( ) ( ) ( , , )k l �1 2 ôóíêöèè w s( ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (4) òî÷íî ïðè ëþáûõ q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êðèòåðèè (13), (14) ðåøåíèÿ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå çàäà÷ çàïèøóòñÿ â âèäå % i q q k l k l k l & � min ( ) ( ) ( ), ( ) ( , , ) 0 1 2 � � ( , )i �1 2 (17) ïðè èçâåñòíûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ íàãðóçêàõ q k � ( )� ( , )k �12 è % i q q q k l k l k l k l & � min ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( , , ) � � � 0 1 2 ( , )i �1 2 , (18) åñëè âíåøíåäèíàìè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ q k � ( )� ( , )k �1 2 óïðàâëÿþùèå. Çàìåòèì, ÷òî ôèãóðèðóþùèå â (17) ôóíêöèè w s k l( ) ( ) ( , , )k l �1 2 óäîâëåòâîðÿ- þò óðàâíåíèÿì (4) è â ñëó÷àå, åñëè ïîëîæèòü w s G z q k l k l km l km l m Mk l � � � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) � � 1 , w s G z q k l k l km l km l m M k l 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) � � � � � , (19) w s G z q k l k l km l m M km l k l ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) � � � � � 1 ( , , )k l �12 . 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 Çäåñü q q km l k l km l( ) ( ) ( )( )� � ( , )( )m M k l�1 , q q km l k l km l 0 0 0( ) ( ) ( )( )� � ( , )( )m M k l�1 0 , q km l ( ) � � q k l km l ( ) ( )( )� ( , )( )m M k l�1 , à äëÿ k l, ,�1 2 � km l k k k ( ) ! � '� ) ) ) ( , )( )m M k l�1 , � km l k k k 0 0 0 0( ) ! � '� ) ) ) ( , )( )m M k l�1 0 , � km l k k k ) ) )( ) ! � '� ( , )( )m M k l�1 ïðè ) k km k S m M� � � �� ! �{ }� , ,1 , ) k km k S m M0 0 0 0 1� � � �� ! �{ }� , , , ) k km k S m M� � � �� ! �{ }� , ,1 è M M M k l k k ( ) � �� , M M M k l k k0 0 0 ( ) � �� , M M M k l k k ( ) � �� . Â ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèè (17), (18) çàïèøóòñÿ â âèäå % i q q k l k l k l & � min ( ) ( ) , ( , , ) 0 1 2 ( , )i �1 2 , (20) % i q q q k l k l k l k l & � min ( ) ( ) ( ) , , ( , , ) 0 1 2 ( , )i �1 2 , (21) ãäå q q m M k l km l k l( ) ( ) ( )( , , )� �col 1 , q q m M k l km l k l 0 0 0 1( ) ( ) ( )( , , )� �col , q q k l km l ( ) ( )( ,� col m M k l�1, )( ) . Çàìåòèì, ÷òî êðèòåðèè (18) è (21) ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèìè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé, íàáëþäàåìîé ñîãëàñíî (9), (10) èëè (7), (8), óïðó- ãîé ïëèòû ïî äîñòèæåíèè åþ íåîáõîäèìîãî ñîñòîÿíèÿ (11) è (12) ïîñðåäñòâîì ïîâåðõíîñòíûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé, îïðåäåëåííûõ íåïðåðûâíî (ôóíêöèÿìè q k l( ) ( )� ( , , )k l �12 ) èëè äèñêðåòíî (çíà÷åíèÿìè q m M km l k l( ) ( )( , )�1 ( , , )k l �1 2 ) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà äèíàìèêà ïëèòû óïðàâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòíûìè äèíàìè÷åñ- êèìè âîçìóùåíèÿìè â ïàðå ñ íà÷àëüíûìè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 èëè êðàåâûìè W s� ( ) ( , )� �1 R âîçìóùàþùèìè ôàêòîðàìè, ôóíêöèè %i ( , )i �1 2 â (18), (21) çàïèøóò- ñÿ ñîîòâåòñòâåííî â ñëåäóþùåì âèäå: % " 1 2 1 � � � � �� ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )L w s W s ds L w s W R i s i� � � � ( ))s ds i I 2 1" �� , % " 2 2 11 � � � � � � � � � � ! �� L w s W L s s j j JR i j � � � � � ( ) ( ) \| ( ) ( ) ; \| � � � � � � �� ! �� s s s ij j J i I w s W ij i " 2 11 (22) % " 1 0 0 0 2 1 0 0 � � � �� ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) (\|L w s W d L w sr t t r r R i s� � ) ( )) �� W s dsi i I 2 1" , % "2 0 0 0 2 11 0 0 0 � � � � � � � �� ! �� L w s Wr t t rj j J r R j r ( ) ( ) \| ,� �� ! �� L w s Wi s s s ij j J i I ij i ( ) ( ) . \| " 2 11 (23) . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 85 Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ïëèòîé ïîñðåäñòâîì âñåõ óïðàâëÿþùèõ ôàê- òîðîâ èñõîäíûìè áóäóò êðèòåðèè (17), (20), â êîòîðûõ % " 1 2 1 � � �� ( ( ) ( ) ( ))L w s W s dsi s i i I , % "2 2 11 � � � � � � � �� ! �� L w s Wi s s s ij j J i I ij i ( ) ( ) \| . (24) Çàìåòèì, ÷òî ïðåäëàãàåìàÿ äàëåå ìåòîäèêà ðåøåíèÿ çàäà÷ (17), (18) ïîçâî- ëèò íàéòè ôóíêöèè q k l( ) ( )� , q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� ( , , )k l �1 2 òîëüêî ïðè i � 2. Äèñêðåòíûå æå çíà÷åíèÿ q k l( ) , q k l 0 ( ) , q k l ( ) ( , , )k l �1 2 ýòèõ ôóíêöèé áóäóò íàéäåíû ñîãëàñíî (20), (21) ïðè ëþáîì i �1 2, . Ïðè îïðåäåëåííûõ âûøå %i ( , )i �1 2 ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷ (17), (18) èëè (20), (21) ôóíêöèè q k l( ) ( )� , q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� ( , , )k l �1 2 ëèáî èõ äèñ- êðåòíûå àíàëîãè q km l( ) ( , )( )m M k l�1 , q km l 0 ( ) ( , )( )m M k l�1 0 , q km l ( ) ( , )( )m M k l�1 ( , , )k l �1 2 ïîçâîëÿþò ñîãëàñíî (1), (16) è (1), (19) íàéòè ôóíêöèþ w s( ) ñîñòîÿíèÿ ïëèòû. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ëåãêî ìîæíî îïðåäåëèòü è ôóíêöèè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , W s� ( ) ( , )� �1 R èëè èõ äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ Wrj 0 ( , , , )j J r Rr� �1 1 0 , W j� ( , , , )j J R� �1 1� � äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ýòè ôóíêöèè óïðàâëÿþùèå. Ñëåäóþùèì áîëüøèì êëàññîì çàäà÷ ïî óïðàâëåíèþ ðàññìàòðèâàåìîé ïëè- òîé ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è ïî äîñòèæåíèþ íåîáõîäèìîãî ñîñòîÿíèÿ (11), (12) â ñëó÷àÿõ, êîãäà ôóíêöèè q k � ( )� ( , )k �12 èçâåñòíû, à óïðàâëåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè, êðàåâûìè èëè íà÷àëüíî-êðàåâûìè âîçìóùàþùèìè ôàêòîðàìè, îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , W s� ( ) ( , )� �1 R . Â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå óêàçàííûõ çàäà÷ ñâåäåòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ôóíêöèé q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� ( , , )k l �1 2 òàêèõ, ÷òîáû q q k l k l 0 2 ( ) ( )( ), ( )� � %!Arg min ( , , )k l �1 2 (25) ïðè %2 , çàäàííîì ñîãëàñíî (22)–(24) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè äèñêðåòíîì îïðå- äåëåíèè ôóíêöèé q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� ( , , )k l �1 2 çàäà÷à (25) çàìåíèòñÿ çàäà÷åé ïî- ñòðîåíèÿ âåêòîðîâ q k l 0 ( ) , q k l ( ) ( , , )k l �1 2 ñîãëàñíî êðèòåðèþ q q k l k l i0 ( ) ( ), %!Arg min ( , , , )k l i �1 2 , (26) â êîòîðîì, êàê è âûøå, %i ( , )i �1 2 îïðåäåëåíû â (22)–(24). Íàéäåííûå ñîãëàñíî (25), (26) ôóíêöèè q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� ( , , )k l �1 2 èëè èõ äèñ- êðåòíûå àíàëîãè q k l 0 ( ) , q k l ( ) ( , , )k l �1 2 ñ ó÷åòîì (1), (16) èëè (1), (19) ïîçâîëÿþò ïî- ñòðîèòü ôóíêöèþ w s( ), à ñîãëàñíî (7), (8) èëè (9), (10) — îïðåäåëèòü è íà÷àëüíî- êðàåâûå âîçìóùàþùèå ôàêòîðû Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , W s� ( ) ( , )� �1 R èëè Wrj 0 ( , , , )j J r Rr� �1 1 0 , W j� ( , , , )j J R� �1 1� � . Çàìåòèì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ïðè ðåøåíèè ëþáîé èç óêàçàííûõ âûøå çàäà÷ ôóíêöèÿ w s( ), îïðåäåëåííàÿ ñîãëàñíî (1), òî÷íî «óëàâëèâàåò» ìåõàíèêó óïðó- ãî-äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé, îïèñàííûõ ñîîòíîøåíèÿìè (1), (4), è ñ òî÷íîñòüþ 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 2 � min ( )w s i% ( , )i �1 2 (27) ñîãëàñóåòñÿ ñ íà÷àëüíî-êðàåâûìè íàáëþäåíèÿìè è æåëàåìûì ñîñòîÿíèåì, îïðåäåëåííûìè â (7), (8), (11) è (9), (10), (12) ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøåíèÿ ðàñ- ñìîòðåííûõ çàäà÷ â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîçíà÷íû. Óñëîâèÿ èõ îäíîçíà÷íîñòè óñòàíîâèì â ïðîöåññå ðåøåíèÿ îòäåëüíûõ çàäà÷. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÒÎËÑÒÛÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ Ñ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎ ÇÀÄÀÍÍÛÌ ÆÅËÀÅÌÛÌ ÑÎÑÒÎßÍÈÅÌ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ äèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé q k � ( )� ( , )k �1 2 , êîòîðûå ðåøàëè áû çàäà÷ó (7), (8), (11), (13). Îñîáåííîñòè èñ- ïîëüçîâàíèÿ ìåòîäèêè [12, 13] äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ïðåäïîëàãà- þò îïðåäåëåíèå óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé q k � ( )� ( , )k �1 2 âåêòîðàìè q q m M k km k � � �� col ( , , )1 ( , )k �1 2 çíà÷åíèé q q km k km � � �� ( )� äàííûõ ôóíêöèé â òî÷êàõ � km S� �! ( , )m M k � �1 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïðåäñòàâëåííóþ ñîãëàñíî (1), (15), (19) ôóíêöèþ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé w s( ) òî÷åê ïëèòû ïîäñòàâèì â (7), (8), (11). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðàçðåøàþ- ùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé A s q W s( ) ( )� (28) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ q q m M k l km l k l( ) ( ) ( )( , , )� �col 1 , q q m M k l km l k l 0 0 0 1( ) ( ) ( )( , , )� �col , q q m M k l km l k l ( ) ( ) ( )( , , )� �col 1 çíà÷åíèé q q km l k l km l( ) ( ) ( )( )� � ( , )( )m M k l�1 , q q km l k l km l 0 0 0( ) ( ) ( )( )� � ( , )( )m M k l�1 0 , q q km l k l km l ( ) ( ) ( )( )� � ( , )( )m M k l�1 óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé q k l( ) ( )� , q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� ( , , )k l �12 â òî÷- êàõ � km l k ( ) !) ( , )( )m M k l�1 , � km l k 0 0( ) !) ( , )( )m M k l�1 0 , � km l k )( ) ! ( , )( )m M k l�1 ( , , )k l �1 2 . Ïðè ýòîì q q q q k l k l k l k l� � �col ((( , , ), , ), , )( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 , W s W s s W W s s ( ) ( ), ( ), ( ), � ! ! ! � � � � � � � � � � " " " 0 0� � , A s A s s j A k j l k j l( ) (( ( ), ), , ) (( ( ) ( ) ( )� ! � str str str 1 2 1 3" � , ), , ) (( ( ), ), , )( ) �! � ! � � � � � � � � � � " " 0 3 1 3 1 3 j A s s j k j lstr � � � � � � � � � �� , , , ,k l1 2 1 2 ; W s W s i Ii( ) ( ( ), , )� �col 1 ( )s!" , W Wr 0 0( ) ( ( )� �� col , r R�1 0, ) ( )�!"0 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 87 W s W s ( ) ( ( )� col � , � �1, )R ( )s!" , A s L G z m M k l i s k l km l k11 1( ) ( ) ( ) (( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � l i I) ), , )�1 , A s L G z m M k l i s k l km l 12 0 0 1( ) ( ) ( )( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � k l i I( ) ), , )�1 , A s L G z m M k l i s k l km l 13 1( ) ( ) ( )( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � k l i I( ) ), , )�1 , A L G z m k l r t k l km l t21 0 0 ( ) ( ) ( ) \|( ) ( ( ( ) ( , ) ,� � �� col str 1 1 0, ), , )( )M r R k l � , A L G z m k l r t k l km l t22 0 0 0 ( ) ( ) ( ) \|( ) ( ( ( ) ( , ) ,� � �� col str � �1 1 0 0, ), , )( )M r R k l , A L G z m k l r t k l km l t23 0 0 ( ) ( ) ( ) \|( ) ( ( ( ) ( , ) ,� � �� col str � �1 1 0, ), , )( )M r R k l , A s L G z m M k l k l km l k31 1( ) ( ) ( )( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � � � ( ) ), , )l R� �1 , A s L G z m M k l k l km l 32 0 1( ) ( ) ( )( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � � � 0 1 k l R( ) ), , )� � , A s L G z m M k l k l km l 33 1( ) ( ) ( )( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � � � k l R( ) ), , )� �1 ( , , )k l �1 2 . Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî êðèòåðèé (13) ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ýòîì ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó (21) ïðè %1, îïðåäåëåííîì â (13), èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, %1 & min q , (29) èç (28) íàõîäèì [12, 13] q q q P A v P P vq w! � � � � �* { }: 2 2 2 ïðè ïðîèçâîëüíîì v v R v R v R k l M k l M k l M k l k l k l � ! ! !col ((( , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ), , ), , )k l� �1 2 1 2 è P A s A s ds PT ij i j i j 2 1 12� � + � � � ( ) ( ) [ ] ( ) , , , A A s W s ds A iw T wi� � � + � ( ) ( ) ( , , ) ( ) col 1 12 . Îòñþäà q q R q Q A v Q P v v k l k l M k l w k l k lk l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :! � ! � � ,* { 1 1 2 k l M R k l ( ) ( ) ! }, (30) q q R q Q A v Q P k l k l M k l w k l k lk l 0 0 2 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :! � ! � � * { 2 0 0v v R k l M k l , !( ) ( ) }, (31) q q R q k l k l M k l * ( ) ( ) ( ) :! � ! �{ � � , !Q A v Q P v v R k l w k l k l k l M k l 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ( , , )k l �1 2 , (32) ãäå P Q i k l ik l 2 1 3 1 2 1 2� � � � �col ((( , , ), , ), , )( ) — ìàòðèöà, ïñåâäîîáðàòíàÿ ê P2 , à ñèìâîë ( )+ îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Ðåøåíèå (30)–(32) áóäåò îäíîçíà÷íûì ( )v - 0 , åñëè det P2 0. . (33) Òî÷íîñòü ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåìû (28) îïðåäåëÿåò è òî÷íîñòü ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ïðè ýòîì 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 min ( ( ) ( ) ( )) ( ( ( ) \| w s r t t r r R L w s W d L0 0 0 2 1 0 0 � � �� " � � � ) ( ) ( ))w s W s ds R � � � � �� " 2 1 � � � � � � �� ( ( ) ( ) ( )) min ( ( ) ( ))L w s W s ds A s q W si s i i I q 2 1" ds ( )+ � � 2 � � �� ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )W s W s ds W W d W s W s dT T T " " 0 0 0 � � � s A P Aw T w " � � 2 . Ê ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó, òàêîìó, ÷òîáû ( ( ) ( )) min ( ) A s q W s ds q & + � 2 , îáðà- ùåíèþ ñèñòåìû (28) ñâîäèòñÿ è ðåøåíèå çàäà÷è ïî óïðàâëåíèþ äèíàìèêîé ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ïëèòû ïîñðåäñòâîì çíà÷åíèé q km l( ) ( , )( )m M k l�1 ôóíêöèé q k l k l( ) ( ) ( , , )� �1 2 , à òàêæå ôóíêöèé Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 íà÷àëüíûõ ôàêòîðîâ, ôóíê- öèé W s� ( ) ( , )� �1 R êðàåâûõ ôàêòîðîâ, ôóíêöèé Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , W s� ( ) ( , )� �1 R íà÷àëüíî-êðàåâûõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ðåøå- íèþ çàäà÷è (29) ïðè %1, îïðåäåëåííîì ñîãëàñíî ôîðìóëàì (22)–(24) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì äëÿ ïåðâîãî âàðèàíòà óïðàâëåíèÿ W s W s s W s s ( ) ( ), ( ), � ! ! � � �� " " , A s A s s j A s k j l k j l ( ) (( ( ), ), , ) (( ( ) ( ) ( ) � ! � str str str 1 3 1 3" , ), , ) , , , , , s j k l ! � � � � � � � � � � � � � �� " 1 3 1 2 1 2 � � � � , (34) äëÿ âòîðîãî âàðèàíòà W s W s s W ( ) ( ), ( ), � ! ! � � �� " "0 0� � , A s A s s j A k j l k j l ( ) (( ( ), ), , ) (( ( ) ( ) ( ) � ! � str str str 1 2 1 3" � , ), , ) , , ), , , ) �! � � � � � � � � � � � � � �� "0 1 3 1 2 1 2 j k l � � � � � � , (35) äëÿ òðåòüåãî — W s W s s( ) ( ( ), )� !" , A s A s s j k l k j l( ) (((( ( ), ), , ), , ), , )( )� ! � � �str 1 1 3 1 2 1 2" . (36) Ñîîòíîøåíèå (30) ñ îïðåäåëåííûìè ñîãëàñíî (34)–(36) âåêòîðíîé è ìàòðè÷- íîé ôóíêöèÿìè W s( ), A s( ) äàåò àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà q k l( ) ( , , )k l �1 2 çíà÷åíèé q km l( ) ( , )( )m M k l�1 ( , , )k l �1 2 ôóíêöèè óïðàâëÿþùèõ ïîâåðõíîñòíûõ äèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 . Âûðàæåíèÿ (30)–(32) äëÿ êîìïî- íåíò q k l( ) , q k l 0 ( ) , q k l ( ) ( , , )k l �1 2 óïðàâëÿþùå-ìîäåëèðóþùåãî âåêòîðà q ñîîòíîøå- íèÿìè (1), (15), (19) îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ w s( ) ñìåùåíèé òî÷åê ïëèòû, à ñëåäîâà- òåëüíî, è ôóíêöèé Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , W s� ( ) ( , )� �1 R íà÷àëüíî-êðàåâûõ óïðàâëÿ- þùèõ âîçìóùåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèþ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷. Óñëîâèÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 89 òî÷íîñòè è îäíîçíà÷íîñòè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿìè (27), (33), çàïèñàííûìè ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (34)–(36) ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è. Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (7), (8) ÷åðåç ôóíêöèþ w s( ) îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëü- íî-êðàåâûå óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ è äëÿ çàäà÷ äèíàìèêè ðàññìàòðèâàåìîé ïëèòû ïðè èçâåñòíûõ ôóíêöèÿõ q k � ( )� ïîâåðõíîñòíûõ äèíàìè÷åñêèõ óñèëèé. Âåêòîðû q k l 0 ( ) , q k l ( ) çíà÷åíèé ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé q k l 0 ( ) ( )� è q k l ( ) ( )� , èñïîëüçó- åìûå â (19) è ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è (26) ïðè i �1 , îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿìè (31), (32), ãäå â îòëè÷èå îò (34)–(36) èìååì W s W s s W s s ( ) ~ ( ), ~ ( ), � ! ! � � � � � � � � " " , A s A s s A s s A s k l k l k l ( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ( ) ( ) ( ) � ! ! str 12 13 32 " " ), ) ( ( ), ) , , , ( )s A s s k l k l! ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � " " 33 1 2 1,2 � � � �� , (37) W s W s s W ( ) ~ ( ), ~ ( ), � ! ! � � � � � � � � " "0 0� � , A s A s s A s s A k l k l k l ( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ( ) ( ) ( ) � ! ! str 12 13 22 " " �), ) ( ( ), ) , , , ( )� � �! ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � " "0 23 0 1 2 1 A k l k l ,2 � � � �� , (38) W s W s s( ) ( ~ ( ), )� !" , A s A s s A s s k k l k l( ) (((( ( ), ), ( ( ), )), ,( ) ( )� ! ! �str 12 13 1" " 2 1 2), , )l � (39) ïðè ~ ( ) ( ( ), , )W s W s i Ii� �col 1 , W s W s L w si i i s( ) ( ) ( ) ( )� � � ( , )i I�1 , ~ ( ) ( ( ), , )W W r Rr 0 0 01� �� col , W W L w sr r r t t 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) \|� �� ( , )r R�1 0 , ~ ( ) ( ( ), , )W s W s R � �col � � 1 , W s W s L w s� � � � ( ) ( ) ( ) ( )� � � ( , )� �1 R è w s w s k l k l � � � � �( ) ( )( ) , 1 2 äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà óïðàâëåíèå äèíàìèêîé ïëèòû âûïîë- íÿåòñÿ íà÷àëüíûìè, êðàåâûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçäåéñòâèÿìè ñîîòâåòñòâåííî. Ñ ó÷åòîì óïðîùåíèé (37)–(39) â ñèñòåìå (28) óñëîâèå (33) îïðåäåëÿåò îäíî- çíà÷íîñòü ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷. Òî÷íîñòü èõ ðåøåíèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ìèíèìóìîì çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì âûáðàííûõ %i ( , )i �1 2 , êàê è âûøå, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì min min ( ( ) ( )) ( ) ( ) w s i q A s q W s ds% � + � 2 . ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ïîñòàíîâîê è ðåøåíèé ïðèâåäåííûõ çàäà÷ ïî óïðàâëå- íèþ äèíàìèêîé òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò ïî äîñòèæåíèè ñîñòîÿíèÿ (11) äëÿ ñëó- ÷àÿ, êîãäà âëèÿíèåì êðàåâûõ âîçìóùåíèé W s� ( ) ( , )� �1 R (ñì. (8)) íà ôóíê- 90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 öèþ w s( ) ñîñòîÿíèÿ ïëèòû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ðàññìàòðèâàÿ èññëåäóåìóþ ïëèòó êàê òîëñòûé óïðóãèé ñëîé òîëùèíû 2h, ïîñòðîèì ðåøåíèå çàäà÷ ïî îïðåäåëåíèþ óïðàâëÿþùèõ ôàêòîðîâ q k l( ) ( , , )k l �1 2 , Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , êàæ- äîãî îòäåëüíî è â êîìïëåêñå, ñîãëàñíî êðèòåðèþ %1 & min ( )w s (40) ïðè %1, îïðåäåëåííîì ñîãëàñíî (23), åñëè óïðàâëåíèå âûïîëíÿåòñÿ äèñêðåòíû- ìè çíà÷åíèÿìè q km l( ) ( , )( )m M k l�1 ôóíêöèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 ïîâåðõíîñòíûõ äè- íàìè÷åñêèõ íàãðóçîê, è îïðåäåëåííîì ñîãëàñíî (24), åñëè óïðàâëåíèå âûïîë- íÿåòñÿ ôóíêöèÿìè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 íà÷àëüíûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùå- íèé ñîâìåñòíî ñ äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè ôóíêöèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 èëè áåç íèõ. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 è W si ( ) ( , )i I�1 â (23), (24) îïðå- äåëåíû ñîãëàñíî (7) è (11) ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøåíèå çàäà÷è (40), (23) ïî îïðåäåëåíèþ âåêòîðà q k l( ) ( , , )k l �1 2 çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 ïðè èçâåñòíûõ Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , W si ( ) ( , )i I�1 , êàê è â (13), ñâåäåòñÿ ê ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó îáðàùåíèþ ñèñòåìû ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé (28), â êîòîðîé q q q k l k l k l� � �col ((( , ), , ), , )( ) ( ) 0 1 2 1 2 , W s W s s W ( ) ( ), ( ), � ! ! � � �� " "0 0� � , (41) A s A s s A s s A k l k l k l ( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ( ) ( ) ( ) � ! ! str 11 12 21 " " �), ) ( ( ), ) , , , ( )� � �! ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � " "0 22 0 1 2 1 A k l k l ,2 � � � �� . Ðåøåíèåì ñèñòåìû (28), çàïèñàííîé ñ ó÷åòîì (41), ïðè êîòîðîì ( ( ) ( )) min ( ) A s q W s ds q & + � 2 , (42) áóäåò [12, 13] q q q P A v P P vq w! � � � � �* { }: 2 2 2 (43) ïðè ïðîèçâîëüíîì v v R v R k l k l M k l M k l k l � ! ! � �col ((( , ), , ), , )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 , ïñåâäîîáðàòíîé ê P A s A s ds PT ij i j i j 2 1 8� � � � + � ( ) ( ) [ ] , , ( ) ìàòðèöå P Q i k l ik l 2 1 2 1 2 1 2� � � � �col ((( , , ), , ), , )( ) è A A s W s ds A iw T wi� � � + � ( ) ( ) ( , , ) ( ) col 1 8 . Çàìåòèì, ÷òî, êàê è âûøå, èíòåãðèðîâàíèå çäåñü âûïîëíÿåòñÿ ïî îáëàñòè èçìåíå- íèÿ àðãóìåíòà s, v - 0 ïðè det P2 0. , à ïðè îïðåäåëåííîì â (23) %1 èìååì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 91 2 1 2 � � � + �min min ( ( ) ( )) ( ) ( ) w s q A s q W s ds% � � � � �( ( )) ( ) ( ( )) ( )W s W s ds W W d A P AT T w T w " " 0 0 2 0 � � � . (44) Âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ q k l( ) ( , , )k l �1 2 çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïîëó÷èì èç (43). Ïðè ýòîì q q R q Q A v Q P v v k l k l M k l w k l k l k k l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :! � ! � � ,* 1 1 2 ( ) ( ) l M R k l !� � � � � � . (45) Ñîîòíîøåíèåì q q R q Q A v Q P k l k l M k l w k l k lk l 0 0 2 0 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :! � ! � � * v v R k l M k l , ! � � � � � � 0 0( ) ( ) , (46) çàïèñàííûì ñîãëàñíî (43), îïðåäåëÿþòñÿ è âåêòîðû çíà÷åíèé ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé q k l 0 ( ) ( )� ( , , )k l �1 2 , êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëåçíû ïðè ïîñòðîåíèè çàâè- ñèìîñòè (1) ñìåùåíèé w s( ). Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì w s k l ( ) ( ) - 0 ( , , )k l �1 2 . Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà óïðàâëåíèå äèíàìèêîé áåñêîíå÷íîé â ïëàíå óïðóãîé ïëè- òû âûïîëíÿåòñÿ âåêòîðàìè q k l( ) ( , , )k l �1 2 çíà÷åíèé ôóíêöèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 ïî- âåðõíîñòíî ðàñïðåäåëåííûõ óñèëèé ñîâìåñòíî ñ ôóíêöèÿìè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 íà- ÷àëüíûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé, ðàçðåøàþùàÿ ñèñòåìà ôóíêöèî- íàëüíûõ óðàâíåíèé (28) åùå áîëeå óïðîñòèòñÿ, ïîñêîëüêó òåïåðü W s W s s( ) ( ( ), )� !" , A s A s s A s s k k l k l( ) (((( ( ), ), ( ( ), )), ,( ) ( )� ! ! �str 11 12 1" " 2 1 2), , )l � . (47) Ñ ó÷åòîì (47) óïðîùàþòñÿ è âûðàæåíèÿ (45) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ q k l( ) ( , , )k l �12 çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 , à ñëåäîâàòåëüíî, è q k � ( )� ( , )k �1 2 . Ôóíêöèè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 , ðàçðåøàþùèå çàäà÷ó (40), ïîëó÷èì èç ñîîòíîøåíèÿ (7) ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî ôóíêöèè (1), â êîòîðîé ïðè îïðåäå- ëåííûõ â (19) w s k l � ( ) ( ) è w s k l 0 ( ) ( ) ( , , )k l �12 èìååì w s w s w s k l k l k l( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )� � � 0 ( , , )k l �1 2 . (48) Òî÷íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü ïîëó÷åííîãî ïðè ýòîì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëÿåò- ñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (44) è (33), çàïèñàííûìè ñ ó÷åòîì (47) ïðè %1, ïðèâåäåí- íîì â (22). Äàëüíåéøèì óïðîùåíèåì ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà óïðàâëåíèå ïëèòîé (ñëîåì) âûïîëíÿåòñÿ ôóíêöèÿìè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 ïðè èçâåñ- òíûõ ïîâåðõíîñòíûõ íàãðóçêàõ q k � ( )� ( , )k �1 2 . Ýòè ôóíêöèè ïîëó÷èì ïîñëå ïîä- ñòàíîâêè âûðàæåíèé (1) è (48) â (7) ïðè âåêòîðàõ q k l 0 ( ) ( , , )k l �1 2 òàêèõ, ÷òî ( ( ) ( ) ( )) min ( ) ( , , ) L w s W s dsi s i i I q k l k l � &�� 2 1 1 2 0" . (49) 92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 Ðåøåíèå çàäà÷è (49) ñâåäåòñÿ ê ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó îáðàùåíèþ ñèñòå- ìû (28), â êîòîðîé q q k l k l� � �col (( , , ), , )( ) 0 1 2 1 2 , A s A s s k l k l( ) ((( ( ), ), , ), , )( )� ! � �str 12 1 2 1 2" , (50) W s W s s( ) ( ~ ( ), )� !" . Ïðè ýòîì êîìïîíåíòû q k l 0 ( ) ( , , )k l �1 2 âåêòîðà q îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî (46) ïðè v v R k l k l M k l � ! � �col (( , , ), , )( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 , A A s W s ds A iw T wi� � � + � ( ) ~ ( ) ( , , ) ( ) col 1 4 è P Q k l k l 2 2 1 2� � �col ( , , , )( ) — ìàòðèöå, ïñåâäîîáðàòíîé ê P A s A s dsT 2 � � + � ( ) ( ) ( ) � � �[ ] , ,Pij i j i j 1 4 . Çàìåòèì, ÷òî v - 0 ïðè det P2 0. , à òî÷íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (49) ïî äîñòèæåíèè ôóíêöèåé w s( ) ñîñòîÿíèÿ W si ( ) ( , )i I�1 îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé 2 2 1 � � � � � � � � �� min ( ( ) ( ) ( )) min ( )w s i s i i I L w s W s ds " q A s q W s ds( ( ) ( )) ( ) � + � 2 � � �( ~ ( )) ~ ( )W s W s ds A P AT w T w " 2 . (51) ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ, ÑÂÎÁÎÄÍÛÕ ÎÒ ÍÀ×ÀËÜÍÛÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ Áëèçêèìè ê ðàññìîòðåííûì çàäà÷àì ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ óñòàíîâèâ- øåéñÿ (íà÷àëüíûå âîçìóùåíèÿ îòñóòñòâóþò) äèíàìèêîé íàáëþäàåìîé ñîãëàñ- íî (8) óïðóãîé ïëèòû êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, ôóíêöèÿ w s( ) ñîñòîÿíèÿ êîòîðîé ñî- ãëàñíî êðèòåðèþ (40) äîëæíà äîñòèãàòü îïðåäåëåííîãî ñîîòíîøåíèåì (11) æå- ëàåìîãî ñîñòîÿíèÿ W si ( ) ( , )i I�1 . Ïðè ýòîì %1 âûáèðàåòñÿ â âèäå (22), åñëè óïðàâëåíèå âûïîëíÿåòñÿ ïîâåðõíîñòíûìè äèíàìè÷åñêèìè íàãðóçêàìè q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 , è â âèäå (24), åñëè óïðàâëÿþùèìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè êðàåâûõ âîç- ìóùàþùèõ ôàêòîðîâ W s� ( ) ( , )� �1 R ñîâìåñòíî ñ ôóíêöèÿìè q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 èëè áåç íèõ. Êàê è âûøå, ðàçðåøàþùèìè äëÿ ýòèõ çàäà÷ áóäóò ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíå- íèÿ (28), â êîòîðûõ: à) ïðè óïðàâëåíèè ïîñðåäñòâîì âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòíî ðàñïðå- äåëåííûõ íàãðóçîê q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 q q q k l k l k l� � �col ((( , ), , ), , )( ) ( ) 1 2 1 2 , W s W s s W s s ( ) ( ), ( ), � ! ! � � �� " " , (52) A s A s s A s s A s k l k l k l ( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ( ) ( ) ( ) � ! ! str 11 13 31 " " ), ) ( ( ), ) , , , , ( )s A s s k l k l! ! � � � � � � � � � � � � � � � � � � " " 33 1 2 1 2, � � � �� ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 93 á) ïðè óïðàâëåíèè ïîñðåäñòâîì íàãðóçîê q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 , äåéñòâóþùèõ ñî- âìåñòíî ñ ôóíêöèÿìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ êðàåâûõ âîçìóùåíèé W s� ( ) ( , )� �1 R , q q q k l k l k l� � �col ((( , ), , ), , )( ) ( ) 1 2 1 2 , W s W s s( ) ( ( ), )� !" , (53) A s A s s A s s k k l k l( ) (((( ( ), ), ( ( ), )), ,( ) ( )� ! ! �str 11 13 1" " 2 1 2), , )l � ; â) ïðè óïðàâëåíèè ÷åðåç êðàåâûå âîçìóùàþùèå ôàêòîðû W s� ( ) ( , )� �1 R (íàãðóçêè q k l( ) ( )� ( , , )k l �1 2 èçâåñòíû) q q k l k l� � �col (( , , ), , )( ) 1 2 1 2 , W s W s s( ) ( ~ ( ), )� !" , (54) A s A s s k l k l( ) ((( ( ), ), , ), , )( )� ! � �str 13 1 2 1 2" . Ðåøåíèåì óðàâíåíèé (28), íàéäåííûì ñîãëàñíî (42), äëÿ óêàçàííûõ ñëó÷àåâ áóäåò ñîîòíîøåíèå (43), â êîòîðîì ìàòðèöà P2 è âåêòîð Aw îïðåäåëåíû ñ ó÷åòîì (52)–(54), v v R v R k l k l M k l M k l k l � ! ! � �col ((( , ), , ), , )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 äëÿ ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àåâ, v v R k l k l M k l � ! � �col (( , , ), , )( ) ( ) 1 2 1 2 äëÿ òðåòüåãî ñëó÷àÿ. Êàê è âûøå, v - 0, åñëè det P2 0. . Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ òî÷íîñòü 2 2 � + �min ( ( ) ( )) ( ) q A s q W s ds ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè �2 2 � � � � �( ( )) ( ) ( ( ) ) ( )W s W s ds W s W s d A P AT T w T w " " , 2 2 � � �( ( )) ( )W s W s ds A P AT w T w " , 2 2 � � �( ~ ( )) ~ ( )W s W s ds A P AT w T w " äëÿ êàæäîãî èç ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ. Ïðè ýòîì w s w s w s k l k l k l( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )� � � ( , , )k l �1 2 , (55) ãäå w s k l � ( ) ( ) è w s k l ( ) ( ) ( , , )k l �1 2 ñîîòíîøåíèÿìè (19) îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç íàé- äåííûå ñîãëàñíî (52)–(54) âåêòîðû q k l( ) , q k l ( ) ( , , )k l �1 2 . Óïðàâëÿþùèå êðàåâûå âîçìóùàþùèå ôàêòîðû W s� ( ) ( , )� �1 R , êîòîðûå îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíè- åì (8) è èìåþò ìåñòî â çàäà÷àõ á) è â), ïîëó÷èì ïîñëå ïîäñòàíîâêè (55) â (8). 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÎÉ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ, ÍÅ ÍÀÁËÞÄÀÅÌÛÕ ÏÎ ÍÀ×ÀËÜÍÎ-ÊÐÀÅÂÛÌ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌ Ðàññìîòðåííûå çàäà÷è ïî óïðàâëåíèþ äèíàìèêîé êîíå÷íûõ è áåñêîíå÷íûõ òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò, âîçìóùåííûõ è íåâîçìóùåííûõ íà÷àëüíî-êðàåâûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçäåéñòâèÿìè, ðåøàëèñü áåç îãðàíè÷åíèé íà êîëè÷åñ- òâî R0 è R íàáëþäåíèé (7), (8) çà ýòèìè âîçäåéñòâèÿìè. Âîçìîæåí, î÷åâèä- íî, ñëó÷àé, êîãäà èìåþùèåñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå âîçìóùåíèÿ íå íàáëþäàþòñÿ âîîáùå. Â òàêîì âàðèàíòå â ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèÿõ (28), èç êîòîðûõ ñî- ãëàñíî (30)–(32) íàõîäÿòñÿ âåêòîðû q k l( ) , q k l 0 ( ) , q k l ( ) ( , , )k l �1 2 çíà÷åíèé óïðàâ- ëÿþùå-ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé q k l( ) ( )� , q k l 0 ( ) ( )� , q k l ( ) ( )� , èìåþò ìåñòî ñëåäóþ- ùèå óïðîùåíèÿ: — äëÿ çàäà÷ ñ íåíàáëþäàåìûì íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (7) ôóíêöèè Wr 0 ( )� ( , )r R�1 0 â îïðåäåëåíèè âåêòîð-ôóíêöèè W s( ) è áëîêè A s k j l 2 ( ) ( ) ( , , , , )k l j� �1 2 1 3 â ìàòðè÷íîé ôóíêöèè A s( ) îòñóòñòâóþò; — äëÿ çàäà÷ ñ íåíàáëþäàåìûì êðàåâûì ñîñòîÿíèåì (8) ôóíêöèè W s� ( ) ( , )� �1 R è áëîêè A s k j l 3 ( ) ( ) ( , , , , )k l j� �1 2 1 3 âåêòîðíîé è ìàòðè÷íîé ôóíêöèé W s( ) è A s( ) îòñóòñòâóþò. Ñ ó÷åòîì ýòèõ îñîáåííîñòåé ëåãêî ìîæíî çàïèñàòü âñå ðàçðåøàþùèå ñîîò- íîøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â äàííîé ðàáîòå ðåøåíû ñëîæíûå çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè îäíîãî èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ îáúåêòîâ ìåõàíèêè òâåðäîãî äåôîðìèðóåìîãî òåëà — òîëñòîé óïðóãîé ïëèòû ïðîèçâîëüíîé êîíôèãóðàöèè, çàãðóæåííîé íîðìàëüíî è êàñàòåëüíî îïðåäåëåííûìè ïîâåðõíîñòíûìè äèíàìè÷åñêèìè óñè- ëèÿìè. Çàäà÷è ïîñòàâëåíû è ðåøåíû íà îñíîâå ïîëóòðåõìåðíîé òåîðèè èçãèáà óïðóãèõ ïëèò, òðåõìåðíîå ïîëå ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê êîòîðûõ îïèñàíî äâóõìåðíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè áåñêîíå÷íî âûñîêîãî ïîðÿäêà. ×àñòíûì ñëó÷àåì ýòèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîñòðîåííûå íà ãèïîòåçå Êèðõãîôà–Ëÿâà, à òàêæå èõ óòî÷íåíèÿ, ïîëó÷åííûå íà áàçå ðàçëè÷íûõ óïðóãî-äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé äåôîðìèðîâàíèÿ. Â äàííîé ñòàòüå èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîãî ïîëÿ ïîïåðå÷íûõ ñìåùåíèé ïëèòû âåäåòñÿ ñ óäåðæàíèåì âñåõ ÷ëåíîâ äèôôåðåíöè- àëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè åå äèíàìèêè. Òðóäíîñòè ïîëíîãî è êîððåêòíî- ãî çàäàíèÿ, òðåáóåìîãî ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ, íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèé ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ïëèòû ýôôåêòèâíî ïðåîäîëåíû ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñîãëàñîâàíèè ñ íèìè òî÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðåøåíèé ñëîæíûõ äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðåäëîæåííûé â ðàáîòå ïîäõîä ïîçâîëèë áåç îãðàíè÷åíèé íà êîëè÷åñòâî îãðàíè÷èòü è êà÷åñòâî íà÷àëüíî-êðàåâûõ íàáëþäåíèé çà ñîñòîÿ- íèåì ïëèòû. Îíè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû âî âñåé ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè ïëèòû è íà âñåé åå ãðàíèöå, çàäàíû òîëüêî â ÷àñòè ýòîé îáëàñòè è ÷àñòè ãðà- íèöû, èìåòü äèñêðåòíûé õàðàêòåð. Ðàññìîòðåíû ðåøåíèÿ çàäà÷è öåëåíàïðàâ- ëåííîãî óïðàâëåíèÿ äèíàìèêîé ïëèòû, ïðÿìûå çàäà÷è ýëàñòîäèíàìèêè êîòîðîé îïèñàíû â [11]. Öåëü óïðàâëåíèÿ — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ñîãëàñîâà- íèå ïîëÿ ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé ïëèòû ñ íåïðåðûâíî (äàëåå è äèñêðåòíî) çàäàííûì æåëàåìûì ñîñòîÿíèåì. Óïðàâëÿþùèìè ôàêòîðàìè â ðàññìîòðåííûõ çàäà÷àõ âûñòóïàþò ïîâåðõíîñòíî ðàñïðåäåëåííûå âíåøíåäèíà- ìè÷åñêèå óñèëèÿ, íà÷àëüíûå è êðàåâûå âîçìóùàþùèå âîçäåéñòâèÿ, èñïîëüçóå- ìûå îòäåëüíî, ïîïàðíî è â êîìïëåêñå. Â ðàáîòå îïèñàíû îñîáåííîñòè ðåøå- íèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äëÿ ñëó÷àåâ äèíàìèêè íåîãðàíè÷åííîãî â ïëàíå óïðóãî- ãî ñëîÿ è óñòàíîâèâøåéñÿ äèíàìèêè ïëèò êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ. Âñå çàäà÷è ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 95 äîâåäåíû äî àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Óñòàíîâëåíà îöåíêà òî÷íîñòè òàêèõ ðå- øåíèé, à ñ ó÷åòîì íåïîëíîòû èñõîäíûõ äàííûõ â ïîñòàíîâêå çàäà÷è ñôîðìó- ëèðîâàíû è óñëîâèÿ èõ îäíîçíà÷íîñòè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ë ó ð ü å À . È . Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. — Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1955. — 370 ñ. 2. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëè- ðîâàíèå è èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1991. — 432 ñ. 3. Ò è ì î ø å í ê î Ñ . Ï . , Â î é í î â ñ ü ê è é - Ê ð è ã å ð Ñ . Ïëàñòèíû è îáîëî÷êè. — Ì.: Ôèç- ìàòëèò, 1966. — 635 ñ. 4. Ã ð è ã î ë þ ê Ý . È . , Ñ å ë å ç î â È . Ò . Ìåõàíèêà òâåðäûõ äåôîðìèðóåìûõ òåë. Òîì 5: Íåêëàñ- ñè÷åñêèå òåîðèè êîëåáàíèé ñòåðæíåé, ïëàñòèí è îáîëî÷åê. — Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1973. — 272 ñ. 5. Ã ð è ã î ð å í ê î ß . Ì . , Ñ à â ó ë à ß . Ã . , Ì ó õ à È . Ñ . Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå çàäà÷è óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ îáîëî÷åê ñëîæíîé ôîðìû è ìåòîäû èõ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ // Ïðèêëàä. ìåõàíèêà. — 2000. — 36, ¹ 8. — Ñ. 3–27. 6. Ã ð è ã î ð å í ê î ß . Ì . , Â ë à é ê î â Ã . Ã . , Ã ð è ã î ð å í ê î À . ß . ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåõàíèêè îáîëî÷åê íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé. — Ê.: Àêàäåìïåðèîäèêà, 2006. — 472 ñ. 7. Í å ì è ø Þ . Í . , Õ î ì à È . Þ . Íàïðÿæåííî-äåôîðìèðóåìîå ñîñòîÿíèå íåòîíêèõ îáîëî÷åê è ïëàñòèí. Îáîáùåííàÿ òåîðèÿ (Îáçîð) // Ïðèêëàä. ìåõàíèêà. — 1993. — 29, ¹ 11. — Ñ. 3–34. 8. Ñ ò î ÿ í Â . À . Îá àëãîðèòìå ïîñòðîåíèÿ ïîëóòðåõìåðíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ýëàñòîäèíàìèêè òîëñòûõ ïëèò // Òàì æå. — 1976. — 12, ¹ 7. — Ñ. 39–44. 9. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Ê ïîñòðîåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2012. — ¹ 4. — Ñ. 74–83. 10. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Îá èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ // Òàì æå. — 2013. — ¹ 1. — Ñ. 70–82. 11. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Î ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè òðåõìåðíîãî ïîëÿ ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíà- ëèç. — 2013. — ¹ 6. — Ñ. 58–72. 12. Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . , Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðÿìèõ òà îáåðíåíèõ çàäà÷ äèíàì³êè ñèñòåì ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. — Ê.: Íàóê. äóì- êà, 2002. — 361 ñ. 13. Ñ ò î ÿ í Â . À . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. — Ê.: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. — 310 ñ. 14. Ê è ð è ÷ å í ê î Í . Ô . , Ñ ò î ÿ í Â . À . Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íûõ è èíòåã- ðàëüíûõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1998. — ¹ 3. — Ñ. 90–104. 15. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â ³ ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Äî ïîáóäîâè ³íòåãðàëüíîãî åêâ³âàëåíòó ë³í³éíèõ äèôå- ðåíö³àëüíèõ ìîäåëåé // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2012. — ¹ 9. — Ñ. 36–43. 16. Ã ð è ù å í ê î Î . Þ . , Ë ÿ ø ê î Ñ . ² . Òåîð³ÿ ôóíêö³é êîìïëåêñíî¿ çì³ííî¿. — Ê.: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2009. — 495 ñ. Ïîñòóïèëà 10.04.2013 96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3

О математическом моделировании задач управления динамикой толстых упругих плит. І. Управление при непрерывно заданном желаемом состоянии

Institution

Similar Items