Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств
Рассмотрена игровая задача о сближении траектории динамической системы с заданным множеством при отказе управляющих устройств на интервале времени заданной длины, но в неизвестный заранее начальный момент. На основе метода разрешающих функций предложено два подхода, позволяющих получить достаточные...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115802 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств / К.А. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 130-136. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860226475891884032 |
|---|---|
| author | Чикрий, К.А. |
| author_facet | Чикрий, К.А. |
| citation_txt | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств / К.А. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 130-136. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Рассмотрена игровая задача о сближении траектории динамической системы с заданным множеством при отказе управляющих устройств на интервале времени заданной длины, но в неизвестный заранее начальный момент. На основе метода разрешающих функций предложено два подхода, позволяющих получить достаточные условия окончания игры из заданных начальных положений за определенное гарантированное время.
Розглянуто ігрову задачу про зближення траєкторії динамічної системи з заданою множиною при відмові керуючих пристроїв на інтервалі часу заданої довжини, але в невідомий наперед початковий момент. На основі методу розв’язуючих функцій запропоновано два підходи, що дозволяють отримати достатні умови закінчення гри з заданих початкових положень за певний гарантований час.
The paper deals with the game problem of bringing the trajectory of a dynamic system to a given set under a failure of the control system on a time interval of known length but at the instant of time unknown a priori. Two approaches are proposed on the basis of the method of resolving functions, which make it possible to develop the sufficient conditions for the game termination in a certain guaranteed time starting from the given initial positions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:20:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
Ê.À. ×ÈÊÐÈÉ
ÎÁ ÈÃÐÎÂÎÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÈ ÄÂÈÆÅÍÈÅÌ ÏÐÈ ÂÐÅÌÅÍÍÎÌ
ÎÒÊÀÇÅ ÓÏÐÀÂËßÞÙÈÕ ÓÑÒÐÎÉÑÒÂ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà èãðîâàÿ çàäà÷à î ñáëèæåíèè òðàåêòîðèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
ñ çàäàííûì ìíîæåñòâîì ïðè îòêàçå óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ íà èíòåðâàëå âðåìåíè çàäàí-
íîé äëèíû, íî â íåèçâåñòíûé çàðàíåå íà÷àëüíûé ìîìåíò. Íà îñíîâå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé ïðåäëîæåíî äâà ïîäõîäà, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ
èãðû èç çàäàííûõ íà÷àëüíûõ ïîëîæåíèé çà îïðåäåëåííîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, èíòåã-
ðàë Àóìàíà, óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, ôîðìóëà Êîøè, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ èãðà ñáëèæåíèÿ ñ çàäàí-
íûì öèëèíäðè÷åñêèì òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì. Ïðîöåññ ðàçâèâàåòñÿ òàêèì îá-
ðàçîì, ÷òî â íåêîòîðûé àïðèîðè íåèçâåñòíûé ìîìåíò âðåìåíè âûõîäÿò èç ñòðîÿ
óïðàâëÿþùèå óñòðîéñòâà ïåðâîãî èãðîêà íà âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåìîíòà è
çàðàíåå èçâåñòíîå. Äàëåå ïðîöåññ ïðîäîëæàåòñÿ äî âûõîäà òðàåêòîðèè íà òåðìè-
íàëüíîå ìíîæåñòâî. Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ îêîí÷àíèÿ
èãðû è óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ýòîò ðåçóëüòàò.
Íà îñíîâå òåõíèêè ïîñòðîåíèÿ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [1, 2] óñòàíàâëèâàþò-
ñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû äâóõ òèïîâ. Ïðè îäíîì âàðèàíòå íà âðå-
ìåííîì ïðîìåæóòêå, ñëåäóþùèì íåïîñðåäñòâåííî çà ïðîìåæóòêîì îòêàçà
óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ, ñðàçó ëèêâèäèðóåòñÿ ñäâèã òðàåêòîðèè, âûçâàííûé ïî-
ëîìêîé, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ýòî âîçìîæíî, ñ ïîñëåäóþùèì ïðîäîëæåíèåì
ïðîöåññà è íàêîïëåíèåì ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè.  äðóãîì âàðèàíòå âåñü ïó÷îê
òðàåêòîðèé, ïîðîæäåííûé âñåâîçìîæíûìè óïðàâëåíèÿìè âòîðîãî èãðîêà íà àâà-
ðèéíîì ïðîìåæóòêå, ïðèâîäèòñÿ íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî.  ýòîì ñëó÷àå òðå-
áóåòñÿ âûïîëíåíèå íåêîòîðîãî óñëîâèÿ, ñâÿçûâàþùåãî âðåìÿ ëèêâèäàöèè
ïîëîìêè, îò êîòîðîãî çàâèñÿò ïàðàìåòðû ïó÷êà, è ðàçìåðû öåëåâîãî ìíîæåñòâà.
Àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à ðàññìàòðèâàëàñü â [3] íà îñíîâå ïðÿìûõ ìåòîäîâ
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [4]. Äàííàÿ ðàáîòà ïðèìûêàåò ê èññëåäîâàíèÿì [4–18].
ÑÕÅÌÀ Ñ ÍÅÏÎÑÐÅÄÑÒÂÅÍÍÛÌ ÓÑÒÐÀÍÅÍÈÅÌ ÏÎÑËÅÄÑÒÂÈÉ ÏÎËÎÌÊÈ
Ïóñòü çàäàí êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ
� ( ) ( )z A t z t u v� � ��� , z R n� , z t z( )0 0� , t t� �0 0, u U t� ( ), v V t� ( ), (1)
ãäå A t( ) — ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïîðÿäêà n, ýëåìåíòû êîòîðîé — èçìåðèìûå
ôóíêöèè, ñóììèðóåìûå íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå, îáëàñòè óïðàâëåíèÿ
U t( ) è V t( ), U t K R p( ) ( )� , V t K R q( ) ( )� , p q N, � , — èçìåðèìûå êîìïàêòîçíà÷-
íûå îòîáðàæåíèÿ ïðè t t� ��[ , )0 , N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíèõ ÷èñåë.
Ôóíêöèÿ �� ( )t èìååò âèä
��
� �
� �
( )
, [ , ],
, [ , ],
t
t h
t h
�
� �
� �
�
0
1
ãäå � � t0 — ìîìåíò îòêàçà óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ, h h, � 0, — âðåìÿ íà
óñòðàíåíèå ïîëîìêè, â êàêîé áû ìîìåíò îíà íè ïðîèçîøëà. Î÷åâèäíî, ÷òî
� � � �� � �( ) ( ) ( ) ( )t t t t h� � � � � � ,
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
Ê.À. ×èêðèé, 2014
ãäå �( )
, ,
, ,
t
t
t
� �
�
�
�
�
�
�
0
1
— ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà.
Òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M t*( ) èìååò öèëèíäðè÷åñêèé âèä:
M t M M t*( ) ( )� �0 , t t� ��[ , )0 , (2)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç R n , à M t( ) — èçìåðèìîå îòîáðàæå-
íèå ñî çíà÷åíèÿìè â K L( ), ãäå L M� �
0
.
Öåëè èãðîêîâ è èõ âçàèìíàÿ èíôîðìèðîâàííîñòü òðàäèöèîííû [4–7, 11–18].
Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è ñáëèæåíèÿ (1), (2) íà îñíîâå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � — îðòîïðîåêòîð, äåéñòâóþùèé èç
R n â L ; �( , )t � — ìàòðèöà Êîøè îäíîðîäíîé ñèñòåìû (1); ñèìâîë �* — îïåðà-
öèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî [4].
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t v t U t v( , , ) ( , ) ( ) ( , )� � � � � �� �� � , v V� ( )� ,
W t t U t V( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )*� � � � � � �� �� � , t t� �� 0 .
Óñëîâèå 1 (óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà): W t( , )� �� � � �t t� 0 .
Îòîáðàæåíèå W t( , )� çàìêíóòîçíà÷íî è èçìåðèìî ïî � [2]. Ïîýòîìó ñóùåñ-
òâóåò èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t , � � �( , ) ( , )t W t� , t t� �� 0 , êîòîðûé ñóììè-
ðóåì ïî � íà ïðîìåæóòêå [ , ]t t0 ïðè êàæäîì t. Çàôèêñèðóåì åãî è îáîçíà÷èì
� � � � � �( , , , ( , )) ( , ) ( , )t z t t t t z t d
t
t
0 0 0 0
0
� � � �� .
Ïóñòü
t t t* * ( , )� ��
� � � � �
�
�min : ( , ], [ ( , ) ( ) ( , )] [ ( ,s s h t t V t d W t
h
� �
�
�
� � � � � � �) ( , )]�
�
��
�
�
�
���
� � � �t d
h
s
�
.
 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå t è �, äëÿ êîòîðûõ ìîìåíò
t * êîíå÷åí.
Ââåäåì ðàçðåøàþùóþ ôóíêöèþ ïî ôîðìóëå
� �� ( , , )t v �
�
� � � � �sup {� � � � � � �0 0 0:[ ( , , ) ( , )] [ ( ) ( , , , ( , )W t v t M t t z t t )] , [ , ],
, [ , ].
*
*
�� �
�
�
} �
�
�
�
t
t0
Èíà÷å ãîâîðÿ, íà ïðîìåæóòêå îòêàçà óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ [ , ]� �� h è íà
ïðîìåæóòêå ëèêâèäàöèè ïîñëåäñòâèé àâàðèè ( , ]* � h t ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ
ïðèíèìàåò íóëåâûå çíà÷åíèÿ.
Åñëè t t� 0 è � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � , òî � �� ( , , )t v � �� äëÿ âñåõ v V� ( )� ,
� �[ , ]t t0 .  ñëó÷àå � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò
êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ.
Ïîëîæèì
T t z t t
t h t v V
t
t
( , , ( , )) : min
: ( )*
0 0 0
0
0
� �
�
� � � �
� � � ��
� �
�inf ( , , )t v d� � �
�
��
�
�
�
��
1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 131
è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò
t t t z t t T t zh h� � � � � � �( , , ( , )) min : ( , , ( , ))0 0 0 0� �{ }.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå 1, M t M t( ) ( )� co ïðè t t� 0 , äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà
( , )t z0 0 è èçìåðèìîãî ïî � ñåëåêòîðà � �( , )t , t t0 � � � ��� , îòîáðàæåíèÿ W t( , )�
èìååì th � ��. Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà ìíîæåñ-
òâî M t*( ) â ìîìåíò th , t th � [ , ]*� ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé êâàçèñòðàòåãèè, íå-
ñìîòðÿ íà îòêàç óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ ïåðâîãî èãðîêà â ëþáîé ìîìåíò íà
ïðîòÿæåíèè âðåìåíè h.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v t( ), t t� 0 , — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå
âòîðîãî èãðîêà, à � — ìîìåíò îòêàçà óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ (àâàðèè), êîòîðûå
àïðèîðè íåèçâåñòíû ïåðâîìó èãðîêó. Òîãäà åãî óïðàâëåíèå íóæíî îïðåäåëèòü íà
ïðîìåæóòêàõ [ , )t0 � , ( , ]*�� h t , ( , ]*t th , ãäå t t th
* * ( , )� � . Ïîñêîëüêó � — ìî-
ìåíò àâàðèè, à íà åå ëèêâèäàöèþ îòïóùåíî âðåìÿ h, òî íà ïðîìåæóòêå [ , ]� �� h
óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà îòñóòñòâóåò, à íà ñèñòåìó (1) äåéñòâóåò ëèøü âòîðîé
èãðîê â ñâîèõ èíòåðåñàõ. Ýòî íåãàòèâíîå âëèÿíèå íóæíî óñòðàíèòü íà ïðîìåæóò-
êå ( , ]*�� h t . Òàêèì îáðàçîì, íàêîïëåíèå ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè ïðîèçâîäèòñÿ
ëèøü íà ïðîìåæóòêàõ [ , )t0 � , ( , ]*t th . ×òîáû äåòàëèçèðîâàòü ýòîò ïðîöåññ, ðàñ-
ñìîòðèì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t v t v dh
t
t
( , ( )) ( , , ( ))� � � �1
0
� � � �� .
Îíà íåïðåðûâíà ïî t, íå âîçðàñòàåò, ïðè÷åì h t v( , ( ))0 1� � . Èç îïðåäåëåíèÿ ìî-
ìåíòà th âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò t
*
, t th*
� , ÷òî h t v( , ( ))
*
� � 0.
Òîãäà âîçìîæíû ëèøü äâà ñëó÷àÿ: t t* [ , )� 0 � è t t th*
*( , ]� .
 êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ òî÷êà t
*
ðàçäåëÿåò ìíîæåñòâî [ , ) ( , ]*t t th0 � � íà
àêòèâíûé è ïàññèâíûé ó÷àñòêè: íà àêòèâíîì ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ íàêàïëè-
âàåòñÿ, à íà ïàññèâíîì îíà ðàâíà íóëþ.
Ïóñòü t t
*
[ , )� 0 � , à � �( , , , ( , )) ( )t z t t M th h h0 0 � � . Ïðè v V� ( )� , � �[ , )
*
t t0
ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v u U t u v t t vh h h( , ) ( ): ( , )( ) ( , ) ( , , )� � � � � � � �� � � � � �{ � �
� � �[ ( ) ( , , , ( , ))]M t t z t th h h� �0 0 }. (3)
Ñîãëàñíî [2] îíî L B� -èçìåðèìî è çàìêíóòîçíà÷íî. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá
èçìåðèìîì âûáîðå â íåì ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v( , )� , ÿâëÿþ-
ùèéñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé.
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà àêòèâíîì ïðîìåæóòêå
u u v( ) ( , ( ))� � �� , � �[ , )
*
t t0 . (4)
Ïðè � � �[ , ) ( , ]
*
*t t th� ïîëîæèì â ñîîòíîøåíèè (3) � �� ( , , )t vh � 0, v V� ( )� ,
è âûáåðåì u v0 ( , )� â âèäå L B� -èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíî-
ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U v0 ( , )� . Òîãäà óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâ-
íîì ïðîìåæóòêå
u u v( ) ( , ( ))� � �� 0 , � � �[ , ) ( , ]*t t th0 � . (5)
Ïóñòü t t th*
*( , ]� , à � �( , , , ( , )) ( )t z t t M th h h0 0 � � . Òîãäà íà àêòèâíîì ïðîìå-
æóòêå [ , ) ( , )*
*
t t t0 � � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (4),
ãäå u v( , )� — L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U t( , )� . Íà
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ïàññèâíîì ïðîìåæóòêå [ , ]*t th óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà îïðåäåëÿåòñÿ âûðà-
æåíèåì (5), ãäå u v0 ( , )� — L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð îòîáðàæåíèÿ U t0 ( , )� .
Åñëè � �( , , , ( , )) ( )t z t t M th h h0 0 � � , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì
ìíîæåñòâå [ , ) ( , ]*t t th0 � � äàåòñÿ âûðàæåíèåì (5), ãäå u t0 ( , )� — ñåëåêòîð ìíî-
ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U t0 ( , )� , ñîîòâåòñòâóþùåãî íóëåâîé ðàçðåøàþùåé
ôóíêöèè â (3).
Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü óêàçàòü çàêîí óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà íà ïðî-
ìåæóòêå ëèêâèäàöèè ïîñëåäñòâèé àâàðèè ( , ]*�� h t . Ñîãëàñíî ïðåäûäóùèì âû-
êëàäêàì èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
[ ( , ) ( ) ( , )] [ ( , ) ( , )]
*
� � � � � � � � � ��
�
t V t d W t t dh h h h
h
t
� � �
�
�
�
��
�
h
.
Ïîñêîëüêó óïðàâëåíèå âòîðîãî èãðîêà íà ïðîìåæóòêå [ , ]� �� h ñòàíîâèòñÿ èç-
âåñòíûì ïåðâîìó èãðîêó â ìîìåíò �� h , åìó èçâåñòíà è âåëè÷èíà
[ ( , ) ( ) ( , )]� � � � � �
�
�
�
t v t dh h
h
� �
�
� .
 ðåçóëüòàòå èìååì âêëþ÷åíèå
� � � �� �
�
� [ ( , ) ( , )]
*
W t t dh h
h
t
�
.
Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà Àóìàíà [8] ñóùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ñåëåêòîð
�( ) ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W t th h( , ) ( , )� � �� , ÷òî
� ��
�
� ( )
*
d
h
t
�
.
Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v u U t u v th h h( , ) ( ): ( , )( ) ( , ) ( )� � � � � �
�� � � � � �{ }� 0 , v V� ( )� , � � �[ , ]*� h t .
 íåì ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u vh ( , )� , îïðåäåëÿþùèé óïðàâëå-
íèå ïåðâîãî èãðîêà
u u vh( ) ( , ( ))� � �� , � � �[ , ]*� h t
êàê èçìåðèìóþ ôóíêöèþ.
Ïîêàæåì, ÷òî óêàçàííûå çàêîíû óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà îáåñïå÷èâàþò
íóæíûé ðåçóëüòàò ïðè ëþáîì ïðîòèâîäåéñòâèè âòîðîãî èãðîêà.
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Êîøè, ïîëó÷èì â ñëó÷àå t t th*
*( , ]� âûðàæåíèå
� � � � � � �z t t t z t u v dh h h
t t
( ) ( , ) ( , )( ( ) ( ))
[ , ) ( *
� � �
�
� �
�
0 0
0 , ]
*
t
� �
� � � �
�
�
� �� � � � � � � � � �� �
�
�
�
( , ) ( ) ( , )( ( ) ( ))
*
t v d t u v dh
h
h
h
t
�( , )( ( ) ( )) .
*
t u v dh
t
th
� � � ��� (6)
Ïðèáàâèì è âû÷òåì îò ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (6) âåëè÷èíó � � �( , )t dh
t
th
0
� .
Òîãäà, ó÷èòûâàÿ çàêîíû âûáîðà óïðàâëåíèé â êàæäîì ñëó÷àå è ðàâåíñòâî íóëþ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 133
ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè � �� ( , , )t vh íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîìåæóòêàõ, ïîëó÷èì èç
ôîðìóëû (6)
� � � � � � �z t t z t t t v dh h h h
t
th
( ) ( , , , ( , )) ( , , ( ))� � �
!
�0 0 1
0
�"
"
#
$
%
%
� � � � � �� ( , , ( )) ( )t v M t dh h
t
th
0
.
Ïîñêîëüêó � � � �� ( , , ( ))t v dh
t
th
�� 1
0
ïðè ëþáûõ v( )� ïî ïîñòðîåíèþ ðàçðåøàþ-
ùåé ôóíêöèè, M t M th h( ) ( )� co , èìååì �z t M th h( ) ( )� . Àíàëîãè÷íîå âêëþ÷åíèå
ñëåäóåò èç ôîðìóëû Êîøè ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z t t M th h h0 0 � � .
ÏÐÈÂÅÄÅÍÈÅ ÏÓ×ÊÀ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ ÍÀ ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
Ðàññìîòðèì äðóãîé ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2). Äëÿ ýòîãî ââåäåì ìíî-
ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
M t
M t t V t d t h t
h
( , )
( ) [ ( , ) ( ) ( , )] ,*
�
� �
�
�
�
� � � � � �
�
� � � � � � � 0 0
0
,
( ), .M t t t� �
�
�
� �
(7)
Ïîëàãàåì, ÷òî âñå îáîçíà÷åíèÿ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ñîõðàíÿþòñÿ, à � �( , )t —
ôèêñèðîâàííûé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W t( , )� ,
äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Î÷åâèäíî, ÷òî M t( , )� îòîáðàæàåò ïàðó
( , )t � , t t h� �� �[ , ) \ ( , )0 � � , â K L( ).
Óñëîâèå 2: M t( , )� �� äëÿ t h� �� .
Ñ÷èòàÿ óñëîâèÿ 1 è 2 âûïîëíåííûìè, ââåäåì ðàçðåøàþùóþ ôóíêöèþ
� ��
* ( , , )t v �
�
� � � � �sup{� � � � � � �0 0 0:[ ( , , ) ( , )] [ ( , ) ( , , , (W t v t M t t z t t� , ))] ,
[ , ],
, [ , ] .
� ��
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
h
h0
(8)
Çàìåòèì, ÷òî íà àâàðèéíîì ó÷àñòêå [ , ]� �� h îòîáðàæåíèå M t( , )� íå îïðå-
äåëåíî, ïîñêîëüêó èìååò ìåñòî îòêàç óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ ïåðâîãî èãðîêà
è ñèñòåìà èì íå óïðàâëÿåìà. Äâèæåíèå ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò ñîáñòâåííûõ ðåñóð-
ñîâ (îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (1)) è âëèÿíèÿ âòîðîãî èãðîêà, ÷òî íà ìîìåíò óñòðàíå-
íèÿ íåèñïðàâíîñòåé �� h ñîçäàåò öåëîå ìíîæåñòâî ïîëîæåíèé ñèñòåìû (1) è
â äàëüíåéøåì öåëûé ïó÷îê òðàåêòîðèé. Ñîîòâåòñòâåííî ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ
íà ïðîìåæóòêå [ , ]� �� h ðàâíà íóëþ. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò, ÷òî íà ýòîì
ïðîìåæóòêå ìîæíî ïîëîæèòü M t( , )� ðàâíûì M t( ) èëè ëþáîìó äðóãîìó
êîìïàêòíîçíà÷íîìó îòîáðàæåíèþ.
Îáîçíà÷èì
t t t z t th h
t h t v V
* *
: (
( , , ( , )) min : min inf� � � � �
� � � �
0 0 0
0
�
� � �
� � �
)
* ( , , )� t v d
t
t
�
�
��
�
�
�
��
� 1
0
.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè ïîëîìêà îòñóòñòâóåò ( )h � 0 , òî îáå ñõåìû ïåðåõî-
äÿò â îáû÷íûé ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [2, 9].
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ 1 è 2, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå M t( ), t t� 0 , âûïóêëîçíà÷íî, äëÿ
íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 è íåêîòîðîãî èçìåðèìîãî ïî � ñåëåêòîðà � �( , )t ,
� � �( , ) ( , )t W t� , t t0 � � � ��� , âåëè÷èíà th
* � ��.
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
Òîãäà òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñ-
òâî â ìîìåíò th
* , t hh
* [ , ]� �� � , ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé êâàçèñòðàòåãèè ïðè îòêà-
çå óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ ïåðâîãî èãðîêà â ëþáîé ìîìåíò �, �� �[ , )*t t hh0 , ãäå
h — âðåìÿ ëèêâèäàöèè ïîëîìêè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v t( ), t t th�[ , ]*
0 , — óïðàâëåíèå âòîðîãî èãðîêà, � —
ìîìåíò îòêàçà óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ ïåðâîãî èãðîêà.
Ðàññìîòðèì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t v t v dh
t
t
* * *( , ( )) ( , , ( ))� � � �1
0
� � � �� .
Îíà íåïðåðûâíà, íå âîçðàñòàåò è h t v* ( , ( ))0 1� � . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå Êîøè
ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò t
*
0 , ÷òî h t v*
*
( , ( ))0 0� � . Ïîñêîëüêó t t
*
( , )0
0� ��
� � �( , )* *� &h th , ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v u U t u v t vh h
* * *( , ) ( ) : ( , )( ) ( , ) ( , )� � � � � � � �� � � � � �{ �
� � �[ ( , ) ( , , , ( , ))]* * *M t t z t th h h� � �0 0 }, (9)
ãäå
� �
� � � � � �
( , )
( , , ), , , ( , , , ( ,* *
*
* * *
v
t v t t z t th h h
�
� � �� &0
0 0 )) ( , ),
, , , ( , , , ( , )) (
*
*
* * *
�
� � � �
M t
t t z t t M t
h
h h
�
&0 0
0 0� � � � h
h h ht z t t M t
*
* * *
, ),
, ( , , , ( , )) ( , ),
�
�0 0 0� � � �
��
�
�
�
à v V� ( )� . Åãî L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v* ( , )� îïðåäåëÿåò óïðàâëåíèå ïåð-
âîãî èãðîêà
u u v( ) ( , ( ))*� � �� . (10)
Èç ôîðìóëû Êîøè è çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà (10), ó÷èòû-
âàÿ âûðàæåíèÿ (7), (8), óñëîâèÿ òåîðåìû è óñëîâèå 2, ïîëó÷àåì âêëþ÷åíèå
�z t M th h( ) ( )* * *� .
ÈËËÞÑÒÐÀÒÈÂÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ ñ ïðîñòûì äâèæåíèåì
� ( )z t u v� ��� , z R n� , | | | |u a� �1, | | | |v � 1 , t0 0� , z z( )0 0� ,
è òåðìèíàëüíûì ìíîæåñòâîì — �-îêðåñòíîñòüþ íà÷àëà êîîðäèíàò
M t M z z* *( ) : | | | |� � �{ }� ,
h — âðåìÿ, îòïóùåííîå íà óñòðàíåíèå ïîëîìêè.
Î÷åâèäíî, ÷òî M 0 0� { }, à M t M M( ) *� � . Ïîýòîìó L M R n� ��
0
, à îðòîïðî-
åêòîð � ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è çàäàåòñÿ åäèíè÷-
íîé ìàòðèöåé E. Ïîñêîëüêó A t( ) � 0, òî �( , )t t E0 � .
Óñëîâèå 1 âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè, ïîñêîëüêó a �1, à äëÿ âûïîëíåíèÿ
óñëîâèÿ 2 äîñòàòî÷íî, ÷òîáû � � h. Ïðèìåíèâ ñõåìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíê-
öèé è âû÷èñëèâ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ïîëó÷èì ãàðàíòèðîâàííûå âðåìåíà çà-
âåðøåíèÿ èãðû êàæäûì èç äâóõ îïèñàííûõ ñïîñîáîâ.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
ïðîñòîãî äâèæåíèÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 135
t t z
z h
a
hh h� �
� �
�
�* ( , , )
| | | |
0 0
1
0
0 �
,
îäíàêî óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí ðàçëè÷íû.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Íà îñíîâå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ïîëó÷åíî äâà òèïà äîñòàòî÷íûõ
óñëîâèé ïðèâåäåíèÿ òðàåêòîðèè íåñòàöèîíàðíîãî êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî
ïðîöåññà íà ïåðåìåííîå öèëèíäðè÷åñêîå ìíîæåñòâî ïðè âðåìåííîì îòêàçå
óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ íà èíòåðâàëå ôèêñèðîâàííîé äëèíû ñ çàðàíåå íåèç-
âåñòíûì íà÷àëüíûì ìîìåíòîì îòêàçà. Ðåçóëüòàòû èëëþñòðèðóþòñÿ íà ìîäåëü-
íîì ïðèìåðå èãðîâîé çàäà÷è ñ ïðîñòûì äâèæåíèåì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. C h i k r i i A . A . Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1997. — 424 p.
2. × è ê ð è é À . À . Îá îäíîì àíàëèòè÷åñêîì ìåòîäå â äèíàìè÷åñêèõ èãðàõ ñáëèæåíèÿ // Òð.
Ìàò. èí-òà ÐÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. — 2010. — 271. — Ñ. 76–92.
3. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Îá îäíîé çàäà÷å óïðàâëåíèÿ ñ íàðóøåíèÿìè â äèíàìèêå // Òð. Ìàò.
èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1988. — 185. — Ñ. 181–186.
4. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 2. — 576 ñ.
5. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Èãðîâûå çàäà÷è î âñòðå÷å äâèæåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 420 ñ.
6. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû
â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2006. — 264 ñ.
7. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1992. — 264 ñ.
8. A u m a n n R . J . Integrals of set valued functions // J. Math. Anal. Appl. — 1965. — 12. —
P. 1–12.
9. E I d å l m a n S . D . , C h i k r i i A . A . Dynamic game problems of approach for fractional-order
equations // Ukr. Math. J. — 2000. — 52, N 11. — P. 1787–1806.
10. × è ê ð è é À . À . , Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . Èãðîâûå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñ-
òåì ñ äðîáíûìè ïðîèçâîäíûìè Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. —
2001. — ¹ 6. — Ñ. 66–99.
11. P s c h e n i t c h n y i B . N . , C h i k r i i A . A . , R a p p o p o r t J . S . Group pursuit in differential
games // J. Leipzig Techn. High School (Germany). — 1982. — P. 13–27.
12. C h i k r i i A . A . Multi-valued mappings and their selections in game control problems // J. Autom.
and Inform. Sci. — 1995. — 27, N 1. — P. 27–39.
13. C h i k r i i A . A . The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. Math., Game
Theory and Algebra. — 1997. — 7, N 2/3. — P. 81–94.
14. Ï è ë è ï å í ê î Þ . Â . , × è ê ð è é À . À . Êîëåáàòåëüíûå êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû
// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1993. — 57. — ¹ 3. — Ñ. 3–14.
15. C h i k r i i A . A . , R a p p o p o r t J . S . , C h i k r i i K . A . Multi-valued mappings and their
selectors in the theory of conflict-controlled processes // Cybernetics and Systems Analysis. — 2007.
— 43, N 5. — P. 719–730.
16. × è ê ð è é À . À . , Ä ç þ á å í ê î Ê . Ã . Áèëèíåéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ïîèñêà äâèæóùèõ-
ñÿ îáúåêòîâ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1997. — ¹ 1. — Ñ. 92–107.
17. C h i k r i i A . A . , E i d å l m a n S . D . Game problems for fractional quasilinear systems //
Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — 44, N 7. — P. 835–851.
18. C h i k r i i A . A . , R a p p o p o r t J . S . Guaranteed result in differential games with terminal
payoff // Ann. Intern. Sci. Dyn. Games, New Trends Dyn. Games Appl. — Boston: Birkhauser,
1995. — 3. — P. 323–330.
Ïîñòóïèëà 02.09.2013
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115802 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:20:09Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чикрий, К.А. 2017-04-12T19:19:04Z 2017-04-12T19:19:04Z 2014 Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств / К.А. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 130-136. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115802 517.977 Рассмотрена игровая задача о сближении траектории динамической системы с заданным множеством при отказе управляющих устройств на интервале времени заданной длины, но в неизвестный заранее начальный момент. На основе метода разрешающих функций предложено два подхода, позволяющих получить достаточные условия окончания игры из заданных начальных положений за определенное гарантированное время. Розглянуто ігрову задачу про зближення траєкторії динамічної системи з заданою множиною при відмові керуючих пристроїв на інтервалі часу заданої довжини, але в невідомий наперед початковий момент. На основі методу розв’язуючих функцій запропоновано два підходи, що дозволяють отримати достатні умови закінчення гри з заданих початкових положень за певний гарантований час. The paper deals with the game problem of bringing the trajectory of a dynamic system to a given set under a failure of the control system on a time interval of known length but at the instant of time unknown a priori. Two approaches are proposed on the basis of the method of resolving functions, which make it possible to develop the sufficient conditions for the game termination in a certain guaranteed time starting from the given initial positions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств Про ігрове керування рухом при тимчасовій відмові керуючих пристроїв Motion game control under temporary failure of control unit Article published earlier |
| spellingShingle | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств Чикрий, К.А. Системный анализ |
| title | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств |
| title_alt | Про ігрове керування рухом при тимчасовій відмові керуючих пристроїв Motion game control under temporary failure of control unit |
| title_full | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств |
| title_fullStr | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств |
| title_full_unstemmed | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств |
| title_short | Об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств |
| title_sort | об игровом управлении движением при временном отказе управляющих устройств |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115802 |
| work_keys_str_mv | AT čikriika obigrovomupravleniidviženiemprivremennomotkazeupravlâûŝihustroistv AT čikriika proígrovekeruvannâruhompritimčasovíivídmovíkeruûčihpristroív AT čikriika motiongamecontrolundertemporaryfailureofcontrolunit |