Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии

Рассмотрена задача математического моделирования процессов распространения загрязнений от системы точечных источников в воздушной среде. Для численного решения многомерных уравнений конвективной диффузии предложен подход, использующий идею расщепления и организацию вычислений с помощью явных схем бе...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Author:	Гладкий, А.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115809
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 76-88. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115809
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1158092025-06-03T16:25:10Z Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии Про дослідження алгоритмів розщеплення в задачах конвекції–дифузії Analysis of splitting algorithms in convection–diffusion problems Гладкий, А.В. Системный анализ Рассмотрена задача математического моделирования процессов распространения загрязнений от системы точечных источников в воздушной среде. Для численного решения многомерных уравнений конвективной диффузии предложен подход, использующий идею расщепления и организацию вычислений с помощью явных схем бегущего счета. Исследованы вопросы построения разностных схем расщепления, аппроксимации и устойчивости по начальным данным. Розглято задачу математичного моделювання процесів поширення забруднень від системи точкових джерел у повітряному просторі. Для чисельного розв’язання багатовимірних рівнянь конвективної дифузії запропоновано підхід, який використовує ідею розщеплення та організацію обчислень за допомогою явних схем біжучої хвилі. Досліджено питання побудови різницевих схем розщеплення, апроксимації та стійкості за початковими даними. The mathematical modeling of the propagation of contamination from point sources in the air is considered. An approach that uses the idea of splitting and point-to-point computing is proposed for the numerical solution of multi-dimensional convection-diffusion equations. The problems of the construction of splitting schemes, approximation, and stability on the initial data are investigated. 2014 Article Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 76-88. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115809 517:519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Гладкий, А.В. Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии Кибернетика и системный анализ
description	Рассмотрена задача математического моделирования процессов распространения загрязнений от системы точечных источников в воздушной среде. Для численного решения многомерных уравнений конвективной диффузии предложен подход, использующий идею расщепления и организацию вычислений с помощью явных схем бегущего счета. Исследованы вопросы построения разностных схем расщепления, аппроксимации и устойчивости по начальным данным.
format	Article
author	Гладкий, А.В.
author_facet	Гладкий, А.В.
author_sort	Гладкий, А.В.
title	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии
title_short	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии
title_full	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии
title_fullStr	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии
title_full_unstemmed	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии
title_sort	об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115809
citation_txt	Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 76-88. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT gladkijav obissledovaniialgoritmovrasŝepleniâvzadačahkonvekciidiffuzii AT gladkijav prodoslídžennâalgoritmívrozŝeplennâvzadačahkonvekcíídifuzíí AT gladkijav analysisofsplittingalgorithmsinconvectiondiffusionproblems
first_indexed	2025-11-25T15:41:10Z
last_indexed	2025-11-25T15:41:10Z
_version_	1849777478073057280
fulltext	ÓÄÊ 517:519.6 À.Â. ÃËÀÄÊÈÉ ÎÁ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÊÎÍÂÅÊÖÈÈ–ÄÈÔÔÓÇÈÈ Aííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ ðàñïðîñòðà- íåíèÿ çàãðÿçíåíèé îò ñèñòåìû òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ â âîçäóøíîé ñðåäå. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ óðàâíåíèé êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ïðåäëîæåí ïîäõîä, èñïîëüçóþ- ùèé èäåþ ðàñùåïëåíèÿ è îðãàíèçàöèþ âû÷èñëåíèé ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ ñõåì áåãóùåãî ñ÷åòà. Èññëåäîâàíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ, àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Êëþ÷åâûå ñëîâà: óðàâíåíèå êîíâåêöèè–äèôôóçèè, ìåòîäû ðàñùåïëåíèÿ, ÷èñëåííûé ìå- òîä, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, óñòîé÷èâîñòü. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåå âðåìÿ îõðàíà îêðóæàþùåé ñðåäû îò çàãðÿçíåíèé — îäíà èç íàè- áîëåå àêòóàëüíûõ ïðîáëåì, ÷òî îáóñëîâëåíî èíòåíñèâíûì àãðîòåõíè÷åñêèì è ïðîìûøëåííûì ðàçâèòèåì, îêàçûâàþùèì íà îêðóæàþùóþ ñðåäó ãëîáàëüíîå âîçäåéñòâèå. Â ÷àñòíîñòè, óõóäøåíèå êà÷åñòâà àòìîñôåðíîãî âîçäóõà ïðîèñõî- äèò âñëåäñòâèå âûáðîñîâ â àòìîñôåðó îòõîäîâ ïðîìûøëåííûõ ïðåäïðèÿòèé, âûõëîïíûõ ãàçîâ àâòîòðàíñïîðòà, à òàêæå ìãíîâåííûõ âûáðîñîâ, âîçíèêàþ- ùèõ â ÷ðåçâû÷àéíûõ ñèòóàöèÿõ [1–7]. Äëÿ ðåøåíèÿ ýêîëîãè÷åñêèõ çàäà÷, ñâÿ- çàííûõ ñ îöåíêîé ñèòóàöèîííûõ ðèñêîâ, èçó÷åíèåì äèíàìèêè ïðèðîäíûõ è òåõíîãåííûõ êàòàñòðîô, ïðîãíîçèðîâàíèåì èõ ïîñëåäñòâèé, íàèáîëåå ïåðñïåê- òèâíî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå [4, 6–11]. Îñíîâîé êîìïüþòåðíîé òåõíîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðî- öåññîâ ïåðåíîñà çàãðÿçíåíèé â àòìîñôåðíîì ñëîå ÿâëÿþòñÿ áàçîâûå ìîäåëè è ýô- ôåêòèâíûå ÷èñëåííûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñ- òíûõ ïðîèçâîäíûõ, ó÷èòûâàþùèå äèôôóçèîííûé ïåðåíîñ èññëåäóåìûõ ñóáñòàí- öèé è êîíâåêòèâíûé ïåðåíîñ, îáóñëîâëåííûé äâèæåíèåì ñðåäû [4, 8, 11–13]. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû, êîòîðûå ìîæíî ðåà- ëèçîâàòü â êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàììàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìíîãîïðîöåññîðíîé âû- ÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè äëÿ îïåðàòèâíîãî ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ. Â ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïåðåíîñà ïðèìåñè, à òàêæå âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ ðàñïðîñòðàíå- íèÿ çàãðÿçíåíèé â àòìîñôåðå. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíå- íèé êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ïðåäëîæåí ïîäõîä, èñïîëüçóþùèé èäåþ ðàñùåïëå- íèÿ [13–15] ñ ïîñëåäóþùåé ðåàëèçàöèåé ïîëó÷åííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ ñõåì áåãóùåãî ñ÷åòà [16]. Èññëåäîâàíû âîïðîñû àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷è- âîñòè ÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ðåàëèçàöèÿ ïðåäëî- æåííîãî ïîäõîäà ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé êîí- âåêòèâíîé äèôôóçèè íà ìíîãîïðîöåññîðíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåìàõ ñ ðàñïðå- äåëåííîé ïàìÿòüþ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñîêðàùàåò âðåìåííûå çàòðàòû ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíûìè àëãîðèòìàìè. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÏÅÐÅÍÎÑÀ ÇÀÃÐßÇÍÅÍÈÉ Â ÀÒÌÎÑÔÅÐÅ Ðàññìîòðèì â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ( , , )x y z íà âðåìåííîì èíòåðâàëå 0� �t T ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïåðåíîñà çàãðÿçíåíèé â îáëàñòè G ñ öèëèí- äðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ �G, ñîñòîÿùåé èç áîêîâîé ïîâåðõíîñòè �, íèæíåãî îñíîâàíèÿ �0 (ïðè z � 0) è âåðõíåãî îñíîâàíèÿ �H (ïðè z H� ). Äëÿ ìîäåëèðî- âàíèÿ ïðîöåññà êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ âðåäíûõ âå- ùåñòâ â àòìîñôåðå, ïðîèçâîäñòâåííûõ ïîìåùåíèÿõ, íà ïðîìïëîùàäêàõ è äðó- 76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 � À.Â. Ãëàäêèé, 2014 ãèõ èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå ìèãðàöèè ïðèìåñè [4, 8, 13] � � � � � � � � � � � � � C t u C x v C y w w C z Cg( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � z C z z C z z C z f� � �1 2 3 ( , , , )x y z t , ( , , )x y z G� , t T�( , ],0 (1) ãäå C x y z t( , , , ) — êîíöåíòðàöèÿ ïðèìåñè, ( , ,u v w) — êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêî- ðîñòè âîçäóøíûõ ìàññ V � ( , , )u v w , � � � �� ( , , )1 2 3 — êîýôôèöèåíòû òóðáó- ëåíòíîé äèôôóçèè, wg � const — ñêîðîñòü ãðàâèòàöèîííîãî îñåäàíèÿ ÷àñòèö ïðèìåñè, � — êîýôôèöèåíò òðàíñôîðìàöèè ïðèìåñè (áèîõèìè÷åñêîãî ðàçëî- æåíèÿ), ó÷èòûâàþùèé èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè, f x y z t( , , , ) — ôóíêöèÿ, õàðàê- òåðèçóþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå èñòî÷íèêîâ çàãðÿçíåíèÿ. Êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè âîçäóøíîãî ïîòîêà V � ( , , )u v w óäîâëåòâîðÿ- þò óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè (óñëîâèþ íåñæèìàåìîñòè ñðåäû) div V � � � � � � � � � � u x v y w z 0. (2) Óðàâíåíèå (1) ñ íåäèâåðãåíòíûìè êîíâåêòèâíûìè ñëàãàåìûìè ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðè èññëåäîâàíèè êðàåâûõ çàäà÷ ìèãðàöèè çàãðÿçíåíèé. Ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ çàñëóæèâàþò âíèìàíèÿ çàäà÷è ñ êîíâåêòèâíûìè ñëàãàåìûìè â äè- âåðãåíòíîé ôîðìå � � � � � � � � � � � � � C t uC x vC y w w C z C g( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � z C z z C z z C z f� � �1 2 3 ( , , , )x y z t , ( , , )x y z G� , t T�( , ].0 (3) Èñïîëüçóÿ óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè (2), ìîæíî ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå (3) â ýêâèâàëåíòíîì âèäå (1) è íàîáîðîò. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ îñîáåííî âàæíà çàïèñü êîíâåêòèâíûõ ÷ëåíîâ â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå, êîãäà óðàâíåíèå êîíâåêöèè–äèôôó- çèè èìååò âèä � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C t u C x v C y w w C z uC x vC y w g 1 2 ( ) ( ) ( ) ( w C z C g ) ) � � � � � � � � �� z C z z C z z C z f� � �1 2 3 ( , , , )x y z t , ( , , )x y z G� , t T�( , ].0 (4) Ñëåäóÿ [12], ìîæíî óñòàíîâèòü âàæíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà â óðàâíåíèÿõ (1), (3), (4), êîòîðûå ó÷èòûâàþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè äèñêðåòíûõ ìîäåëåé. Â ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â óðàâíåíèÿõ (1), (3) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè ñðåäû (2) îïåðàòîðû êîíâåêòèâíîãî ïåðå- íîñà áóäóò êîñîñèììåòðè÷íûìè â íåäèâåðãåíòíîé è äèâåðãåíòíîé ôîðìàõ. Îïå- ðàòîð êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà â óðàâíåíèè (4) áóäåò êîñîñèììåòðè÷íûì, äàæå åñëè óñëîâèå (2) íå âûïîëíÿåòñÿ. Äëÿ ïîñòîÿííî äåéñòâóþùèõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ çàãðÿçíåíèÿ öåëåñîîá- ðàçíî ïðåäñòàâèòü ïðàâóþ ÷àñòü f x y z( , , ) â âèäå f x y z Q x x y y z zi i i i i N ( , , ) ( ) ( ) ( )� � � � � � 1 , ãäå Qi — èíòåíñèâíîñòü âûáðîñà âðåäíîãî âåùåñòâà îò i-ãî èñòî÷íèêà; �( )� — äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà; ( , , )x y zi i i , i N�1, , — êîîðäèíàòû òî÷å÷íûõ èñòî÷íè- êîâ ïðèìåñè. Ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàëïîâûõ àýðîçîëüíûõ âûáðîñîâ â àòìîñôåðó â ìîìåíòû âðåìåíè ti , i N�1, , ñëåäóåò ïîëîæèòü f x y z t Q x x y y z z t ti i i i i i N ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � 1 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 77 Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ è óäàëåíèÿ âðåäíûõ âåùåñòâ â ïðîèçâîäñòâåííûõ ïîìåùåíèÿõ èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå (4) ñ ïðàâîé ÷àñòüþ âèäà f x y z Q x x y y z z q C x xi i i i i N j j( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � 1 ( ) ( ) y y z zj j j M � � � 1 , ãäå ( , , ) * x y zj j j ; q j Mj , ,�1 , — êîîðäèíàòû è îáúåìíûå ðàñõîäû òî÷å÷íûõ ñòîêîâ. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå âàðèàíòû ãðàíè÷íèõ óñëîâèé, êîòîðûå ñëåäóåò çà- äàòü íà ãðàíèöå îáëàñòè G [4, 8]. Îáîçíà÷èì � è � � ó÷àñòêè áîêîâîé ïîâåð- õíîñòè �, ãäå V nn � � �V 0 è Vn � 0 ñîîòâåòñòâåííî, à n — åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê �. Íà áîêîâîé ãðàíèöå ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ôîðìóëèðóþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, êîòîðûå ìîäåëèðóþò ïðîöåññû âòåêàíèÿ èëè âûòåêàíèÿ çà- ãðÿçíåíèÿ. Íà ÷àñòè ãðàíèöû �, ãäå âîçäóøíûå ìàññû âòåêàþò â ðàñ÷åòíóþ îá- ëàñòü, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êîíöåíòðàöèÿ çàãðÿçíåíèÿ èçâåñòíà. Êàê ïðàâèëî, çà- ãðÿçíåíèå, êîòîðîå âòåêàåò â G, íå ó÷èòûâàþò, ïîýòîìó íà ãðàíèöå � (ó÷àñòêà ãðàíèöû �, ãäå Vn � 0) ñòàâÿò óñëîâèå C \| � � 0. Ïðè íåîáõîäèìîñòè ó÷åòà çàãðÿç- íåíèÿ, êîòîðîå âòåêàåò, çàäàåòñÿ óñëîâèå C CS\| � � , åñëè Vn � 0. Â ñëó÷àå, êîãäà âîçäóøíûå ìàññû íà ãðàíèöå âûòåêàþò èç îáëàñòè G, äèô- ôóçèîííûì ïåðåíîñîì ïðåíåáðåãàþò ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíâåêòèâíûì, ïîýòîìó ïî- ëàãàþò, ÷òî � � � � C n � 0, ãäå � � — ÷àñòü ãðàíèöû, ãäå Vn � 0. Íà ïëîñêîñòè z � 0 â óñëîâèÿõ òâåðäîé ïîäñòèëàþùåé ïîâåðõíîñòè çàäàþò óñëîâèå � � � � C z z 0 0, åñëè çåìíàÿ ïîâåðõíîñòü îòðàæàåò ïîòîê ïðèìåñè ïîëíîñ- òüþ. Óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà � � � � � C z C z 0 0� �, , îçíà÷àåò, ÷òî çåìíàÿ ïîâåð- õíîñòü ïàäàþùèé íà íåå ïîòîê ïðèìåñè îòðàæàåò ëèøü ÷àñòè÷íî, ÷àñòü ïðèìåñè îñàæäàåòñÿ íà ïîâåðõíîñòè. Íà âåðõíåé ãðàíèöå ( )z H� âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà ñêîðîñòè âîçäóøíîãî ïîòîêà ðàâíà íóëþ, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå, êîòîðîå îçíà÷àåò îò- ñóòñòâèå äèôôóçèîííîãî ïåðåíîñà � � � � C z z H 0 èëè C z H\| .� � 0 Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðîöåñ- ñîâ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñëåäóåò äîïîëíèòü íà÷àëüíûì óñëîâèåì C C x y zt\| ( , , )� �0 0 . Âàæíîé ïðàêòè÷åñêîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ïå- ðåíîñà è ðàññåèâàíèÿ çàãðÿçíåíèé â ïðîìûøëåííûõ çîíàõ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ðåëüåôà ìåñòíîñòè. Ñëîæíîñòü òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â íåîáõîäèìîñòè ðàñ÷åòà êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ âîçäóøíûõ ìàññ. Ïðîñòåéøåé ìî- äåëüþ äëÿ îïèñàíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé (âñëåäñòâèå âëèÿíèÿ ðåëüåôà) ÿâëÿåòñÿ ìî- äåëü ïîòåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ. Â ýòîì ñëó÷àå âåêòîð ñêîðîñòè âîçäóøíûõ ìàññ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå V � grad p, ãäå p p x y z� ( , , ) — ïîòåíöèàë ñêîðîñòè. Ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (2), äëÿ p ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ëàïëàñà �p p x p y p z � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 0. (5) Äëÿ îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (5) ñòàâÿòñÿ ñëåäóþ- ùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Íà òâåðäûõ ñòåíêàõ ïðîèçâîäíàÿ ïîòåíöèàëà ïî íàïðàâ- ëåíèþ åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëè n ðàâíÿåòñÿ íóëþ, ïîýòîìó � � � � � � � � � � � � p n p n p x n x p y n y p z n( , ) cos ( , ) cos ( , ) cos (grad , )z � 0. 78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 Íà âõîäíîé ãðàíèöå (ãðàíèöå âòåêàíèÿ âîçäóøíîãî ïîòîêà) çíà÷åíèå íîð- ìàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè âîçäóøíîãî ïîòîêà Vn èçâåñòíî, ïîýòîìó òàêîé ïðîöåññ ìîäåëèðóåòñÿ óñëîâèåì � � �p n Vn/ . Íà âûõîäíîé ãðàíèöå (ãðàíèöå âû- òåêàíèÿ âîçäóõà) çàäàþò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè p pç� . Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ äàëüíåãî ïåðåíîñà çàãðÿçíåíèé â àòìîñôåðå öå- ëåñîîáðàçíî óïðîñòèòü îïèñàííóþ âûøå ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû óñðåäíåíèÿ. Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà ðàñïðî- ñòðàíåíèÿ àýðîçîëåé îò òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ çàãðÿçíåíèÿ íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ èñïîëüçóåòñÿ äâóìåðíîå óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C t u C x v C y C x C x y C y � � �1 2 � � � �Q t x x y yi i i i N ( ) ( ) ( ),� � 1 (6) òî, íåñìîòðÿ íà åãî ñõîäñòâî ñ (1), ïîä êîíöåíòðàöèåé C x y( , ) ñëåäóåò ïîíè- ìàòü óñðåäíåííóþ ïî âûñîòå ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîíöåíòðàöèþ ïðèìåñè. Ãðà- íè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (6) ôîðìóëèðóþòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÐÀÑÙÅÏËÅÍÈß Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ïðÿìûõ çàäà÷ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàãðÿç- íåíèé ðàçðàáîòàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ, êîòîðûå áàçèðóþòñÿ â îñíîâíîì íà ìåòîäàõ ðàñùåïëåíèÿ [14]. Ïðè ýòîì çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ïîñòðîåíèå ðàçíîñòíûõ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè, â ÷àñòíîñòè ñ ÿâíîé îðãàíèçàöèåé âû÷èñëåíèé. Äâóõøàãîâàÿ ñõåìà ðàñùåïëåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ. Èñïîëüçóÿ èäåþ óñòàíîâëåíèÿ [15], â îáëàñòè G G x l y l� � � � � � �� {0 01 2, , 0 3� �z l } ðàññìîòðèì ñõåìó ðàñùåïëåíèÿ íà äèôôåðåíöèàëüíîì è äèñêðåò- íîì óðîâíÿõ äëÿ óðàâíåíèÿ (5) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ïåðâîãî ðîäà. Â ðàì- êàõ ýòîãî ïîäõîäà ôîðìóëèðóåòñÿ íåñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à, ðåøåíèå êîòîðîé ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïðèáëèæàåòñÿ ê èñêîìîìó ðåøåíèþ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è. Òà- êèì îáðàçîì, âìåñòî óðàâíåíèÿ (5) ðàññìîòðèì íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå � � � p t p� (7) c ïðîèçâîëüíûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì. Íà äèôôåðåíöèàëüíîì óðîâíå îäíó èç âîçìîæíûõ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðåäñòàâëÿÿ (7) â îïåðàòîðíîì âèäå � � � � � p t A p A p1 2 0, A p p A p p1 20 5 0 5� � , , ,� � . Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè t ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7) èçâåñòíî, òîãäà äëÿ ìîìåíòà �t t� � � çíà÷åíèå p x y z t( , , , � ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ðÿäà Òåéëîðà â âèäå p x y z t p x y z t p x y z t t O( , , , � ) ( , , , ) ( , , , ) ( )� � � � � �� 2 � � � �p x y z t A p x y z t A p x y z t O( , , , ) [ ( , , , ) ( , , , )] ( )� �1 2 2 � �[ ] ( , , , ) ( )E A A p x y z t O� � �1 2 2 . (8) Ðàññìîòðèì äâå âñïîìîãàòåëüíûå çàäà÷è: � � � � � p t A p p x y z t p x y z t1 1 1 10, ( , , , ) ( , , , ), (9) � � � � � p t A p p x y z t p x y z t2 2 2 2 10, ( , , , ) ( , , , � ) (10) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðåøåíèÿ ðàñ- ñìàòðèâàåìûõ çàäà÷ (9), (10) â ìîìåíò âðåìåíè �t t� � � ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 79 p x y z t E A p x y z t O1 1 1 2( , , , � ) [ ] ( , , , ) ( )� �� , p x y z t E A p x y z t O2 2 2 2( , , , � ) [ ] ( , , , ) ( )� �� . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p x y z t p x y z t2 1( , , , ) ( , , , � )� , äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è èìååì p x y z t E A A p x y z t O2 1 2 2( , , , � ) [ ] ( , , , ) ( )� �� . (11) Ïðèíèìàÿ p x y z t p x y z t( , , , � ) ( , , , � )� 2 è ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (8) è (11), ïðè- õîäèì ê óòâåðæäåíèþ, ÷òî, ðåøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî çàäà÷è (9), (10), ïîëó÷àåì ðå- øåíèå óðàâíåíèÿ (7) â ìîìåíò âðåìåíè �t t� � � ñ ïîãðåøíîñòüþ O(�2). Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé (9), (10) â îáëàñòè G ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ðàçíîñòíóþ ñåòêó � � �h h h ix y z x x ih� � � � �{( , , ) : 1, i N� 0 1, ; y y jhj� � 2 , j N� 0 2, ; z z khk� � 3 , k N� 0 3, ; h l N� � � �� / , , , }1 2 3 , ãäå � h — ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ óçëîâ, à � h — ãðàíè÷íûõ óçëîâ. Îïðåäåëèì êîíå÷íîìåðíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H h ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñåòêå �h è ðàâíûõ íóëþ íà åå ãðàíèöå. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â H h çàäà- äèì ñîîòíîøåíèåì ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) � � � � x y z x y z h h h x y z h 1 2 3 , òîãäà íîðìà \| \| \| \| � � ( , ) . Äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî è ïîëîæèòåëüíîãî ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà A ìîæíî îïðåäåëèòü ýíåðãåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî H A ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäå- íèåì ( , ) ( , ) A A� è íîðìîé \| \| \| \| ( , ) A A� . Ïóñòü � � �� { }t t t n n N N Tn: , , ,0 — ðàâíîìåðíàÿ âðåìåííàÿ ñåòêà ñ øàãîì �. Â äàëüíåéøåì ïðè èññëåäîâàíèè íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ áóäåì ðàñ- ñìàòðèâàòü ñåòî÷íûå ôóíêöèè ( )tn äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà tn �� ñî çíà÷åíèÿ- ìè èç êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà H h , ò.å. ( )t Hn h� . Âî âíóòðåííèõ óçëàõ ( , , )x y zi j k â ìîìåíò âðåìåíè t tn� óðàâíåíèþ (9) ïî- ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íåÿâíóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó t xx n yy n zz n � � �� 0 5 01 1 1, ( ) , (12) ãäå — ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, è èñïîëüçóþòñÿ îáùåïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ òåî- ðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì [12] � � � �( , , , ) , , , ,x y z ti j k n i j k n n i j k , �t i j k n i j k n� �( ) / , , , , 1 , x i j k i j k h� �( ) / ,, , , ,1 1 x i j k i j k h� ( ) / ,, , , ,1 1 xx xx n x n x n h� � ( ) / 1. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû y , y , yy è z , z , zz . Ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà, ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèå (12) àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (9) ñ ïîãðåøíîñòüþ O h(\| \| )2 �� , \| \| ( ) /h h h h� � � 1 2 2 2 3 2 1 2 . ßâíóþ ñõåìó áåãóùåãî ñ÷åòà ìîæíî ïîëó÷èòü, çàìåíÿÿ â óðàâíåíèè (12) îïåðàòîðû x n�1, y n�1, z n�1 ñîîòâåòñòâóþùèìè îïåðàòîðàìè â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè t tn� . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ÿâíóþ ñõåìó áåãóùåãî ñ÷åòà t x n x n y n y n z n z n h h h � � � � � �1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1( ) ( ) ( ) � �� . (13) Äèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó (10) àïïðîêñèìèðóåì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì t xx n yy n zz n � � �� 0 5 01 1 1, ( ) , 80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 èç êîòîðîãî ïóòåì çàìåíû îïåðàòîðîâ x n�1, y n�1, z n�1 âûðàæåíèÿìè x n , y n z n, ïîëó÷èì ÿâíóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó t x n x n y n y n z n z n h h h � � � � � �1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1( ) ( ) ( ) � �� . (14) Ïðè ýòîì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (13) ïðè t tn� �1 ÿâëÿåòñÿ ñòàðòîâûì äëÿ ðàç- íîñòíîãî óðàâíåíèÿ (14). ×èñëåííóþ ðåàëèçàöèþ àëãîðèòìà ðàñùåïëåíèÿ (13), (14) ìîæíî ïðåäñòà- âèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èíòåðâàë � ìåæäó òî÷êàìè tn è tn�1 ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè; ïîëó÷åííóþ ïðîìåæóòî÷íóþ òî÷êó îáîçíà÷èì tn�1 2/ . Íà ïåð- âîé ÷àñòè èíòåðâàëà ðàññìàòðèâàåòñÿ ÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà 1 1 2 1 11 2 1 1 2 2 1 2 � ( ) ( ) ( )/ / /n n x n x n y n y n h h � � � � � � 1 3 1 2 h z n z n( ) ./ � �� (15) Íà âòîðîé ïîëîâèíå âðåìåííîãî èíòåðâàëà çàïèñûâàåòñÿ âòîðàÿ ïîäñèñòåìà 1 1 1 2 � ( )/n n� � � � � �� 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 h h h x n x n y n y n z n( ) ( ) (/ / � �� z n 1 2/ ) . (16) Â îòäåëüíîñòè êàæäîå èç ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (15), (16) íå àïïðîêñèìèðó- åò èñõîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (9), (10). Îäíàêî â ñîâîêóïíîñòè (15), (16) ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòíóþ ñõåìó áåãóùåãî ñ÷åòà, àïïðîêñèìèðóþùóþ èñõîä- íóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó. Äåéñòâèòåëüíî, ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ (15), (16), ïîëó÷àåì 1 1 2 1 11 1 1 1 2 2 1 1 2 � ( ) ( ) (/ /n n x n x n y n y n h h � � � � � � � ) ( )/� � �� 1 3 1 1 2 h z n z n � � � � � �1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 h h h x n x n y n y n z n z n( ) ( ) (/ / / )2 � �� , èëè, ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé, 1 1 � ( )n n� � � � � � � � �1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 h O h h x n x n y n y n( ) ( /\| \| ) (/ / / � / / /) ( )2 3 1 2 1 21 � �� h z n z n � � � �� xx n yy n zz n O h1 2 1 2 1 2 2 2/ / / ( /\| \| ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (15), (16) àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåíöèàëü- íîå óðàâíåíèå (7) ñ ïîãðåøíîñòüþ O h h(\| \| /\| \| )2 2 2 2� �� , ãäå ñëàãàåìîå �2 2/\| \|h âíîñèò äîïîëíèòåëüíûé âêëàä â ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. Ïîýòîìó òî÷íîñòü ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷àåìûõ ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíîñòíîé çàäà÷è (15), (16), áóäåò çàâèñåòü îò ñîîòíîøåíèÿ øàãîâ ñåòêè. Îòìåòèì, ÷òî âïåðâûå ÿâíàÿ ñõåìà áåãó- ùåãî ñ÷åòà áûëà ïðåäëîæåíà äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè [16]. Èññëåäóåì âàæíîå ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (13),(14) ïî íà- ÷àëüíûì äàííûì è ïîêàæåì åå ðàâíîìåðíóþ óñòîé÷èâîñòü. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà óðàâíåíèå (13). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 1 1 1 1 1 1 1 1 1h h h h x n x n x n x n x n x n tx( ) ( ) ( ) � � � � � � n xx n , (17) 1 2 1 2h h y n y n ty n yy n( ) � � � , 1 3 1 3h h z n z n tz n zz n( ) � � � , (18) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 81 óðàâíåíèå (13) ìîæíî ïåðåïèñàòü â îïåðàòîðíîì âèäå B At � � 0, (19) ãäå ëèíåéíûå îïåðàòîðû B A, äåéñòâóþò â ñåòî÷íîì ïðîñòðàíñòâå H h , B � � �E B0 , E — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à îïåðàòîðû A B, 0 îïðåäåëÿþòñÿ òàê: B h h h Ax n y n z n xx n yy n zz n 0 1 2 32 2 2 1 2 � � � � � � � � �, ( ). Êàê èçâåñòíî [13], íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ïî íà- ÷àëüíûì äàííûì äâóõñëîéíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû (19) ñ ñàìîñîïðÿæåííûìè ïî- ëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè îïåðàòîðàìè A, B îçíà÷àåò âûïîëíåíèå îïåðàòîðíîãî íåðàâåíñòâà B A� 0 5, � , (20) ïðè÷åì äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (19) ñïðàâåäëèâà îöåíêà \| \| \| \| \| \| \| \| n A n A � �1 , n N� 0, . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ñõåìå (19) ðàçíîñòíûé îïåðàòîð A, äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå H h , ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì è ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûì, ò.å. A A� , A E� � �� , const 0. Äëÿ ïðîâåðêè ñâîéñòâ ñàìîñîïðÿæåííîñòè è ïî- ëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè îïåðàòîðà B ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà B0 , çàìå÷àÿ, ÷òî x x xx y y yy z z zzh h h� � � � � � 0 5 0 5 0 51 2 3, , , , , , x x x y y y z z z� � � � � � � � �0 5 0 5 0 5, ( ), , ( ), , ( ) . (21) Òîãäà èìååì B E B E h h h h x xx y yy� � � � � �� 0 1 1 2 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � �� 2 23 3 h h z zz� � � � � � �E B A B h h hx y z 1 1 1 2 32 2 2 2 � � � � , � � � . Â ñèëó êîñîñèììåòðè÷íîñòè îïåðàòîðà B1 äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , )B ïîëó÷àåì ( , ) (( ) , ) ( , ) , ( , )B E B A � � � � �0 0 5 . Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû A B, ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûìè îïåðà- òîðàìè, ïîýòîìó óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (20), ïðèíèìàþùåå âèä ( , ) \| \| \| \| , ( , ) , ( , )B A A � � � � �2 0 5 0 5 , âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (13) áåçóñëîâíî óñòîé÷èâà. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü óñòîé÷èâîñòü óðàâíåíèÿ (14). Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 1. ßâíàÿ äâóõñëîéíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà áåãóùåãî ñ÷åòà (15), (16) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûì äàííûì â ýíåðãåòè÷åñêîé íîðìå \| \| \| \|� A . ×åòûðåõøàãîâàÿ ñõåìà ðàñùåïëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ êîíâåêöèè–äèô- ôóçèè. Äàííóþ ñõåìó ðàññìîòðèì â îáëàñòè G G x l y l� � � � � � �� { }0 01 2, íà ïðèìåðå äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C t u C x v C y C C x C y F x y t� � 2 2 2 2 ( , , ) (22) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ïåðâîãî ðîäà. Ïðè ýòîì êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè u u x y v v x y� �( , ), ( , ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íåñæèìàåìîñòè (2). Ïðåäñòàâèì u v, â âèäå ñóììû u u u� �� , v v v� �� , ãäå u u u� � � �0 5 0, ( \| \| ) , u u u � �0 5 0, ( \| \| ) , v v v� � � �0 5 0, ( \| \| ) , v v v � �0 5 0, ( \| \| ) . 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 Ïóñòü � — âðåìåííîé èíòåðâàë ìåæäó òî÷êàìè tn è tn�1. Ïîëó÷èì ÷åòû- ðåõøàãîâóþ ñõåìó ðàñùåïëåíèÿ íà äèôôåðåíöèàëüíîì óðîâíå, ïðåäñòàâèâ óðàâ- íåíèå (22) â îïåðàòîðíîì âèäå � � � � � � � C t A A A A C F( )1 2 3 4 , (23) ãäå A C u C x v C y C C x C y 1 2 2 2 2 1 2 4 1 4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , A C u C x v C y C C x C y 2 2 2 2 2 1 2 4 1 4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , A C u C x v C y C C x C y 3 2 2 2 2 1 2 4 1 4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , A C u C x v C y C C x C y 4 2 2 2 2 1 2 4 1 4 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó èìååì ñõåìó ðàñùåïëåíèÿ íà äèôôåðåíöèàëüíîì óðîâíå � � � � C t A C F1 1 1 1 4 0, C C C x y tn n n1 � � ( , , ), (24) � � � � C t A C F2 1 2 1 4 0, C Cn n 2 1 1� � , (25) � � � � C t A C F3 1 3 1 4 0, C Cn n 3 2 1� � , (26) � � � � C t A C F4 1 4 1 4 0, C C C Cn n n n 4 3 1 1 4 1� �� , . (27) Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû A ii , � 1 4, áóäåì àïïðîêñèìèðîâàòü ðàç- íîñòíûìè îïåðàòîðàìè, èñïîëüçóÿ äëÿ àïïðîêñèìàöèè êîíâåêòèâíûõ ñëàãàåìûõ ñõåìû ñ íàïðàâëåííûìè ðàçíîñòÿìè [12]. Â ýòîì ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèÿ âûðàæå- íèé u C x u C x � � � � � , îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòíûìè îïåðàòîðàìè �� u x , � � u x ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà, íàïðèìåð, îïåðàòîðó A1 â óçëàõ ( , )x yi j äâó- ìåðíîé ñåòêè ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå � � � � � � � � � � � � �1 2 4 4 1 1 1 1 1( ) ( )u vx n y n n xx n yy n . (28) Ïîñêîëüêó íà ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå �C A C h u C x h v C y O h1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 4 4 � � � � � � � � (\| \| ), ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âîçìóùåííûì êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè � � t x n y n n x nu v R h � � � � � � � � � �1 2 4 4 1 11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( x n� � �� 1 ) � �� 4 1 1 1 42 2 1 1( ) ( )R h fy n y n n , R h u 1 1 � � � � , R h v 2 2 � � � � (29) àïïðîêñèìèðóåò óðàâíåíèå (24) ñî âòîðûì ïîðÿäêîì òî÷íîñòè ïî ïðîñòðàí- ñòâó. Çäåñü f — ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, àïïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèþ F x y t( , , ). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 83 Åñëè â óðàâíåíèè (29) îïåðàòîðû x n y n� �1 1, çàìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèìè îïåðàòîðàìè ïðè t tn� , ïîëó÷èì íà ïåðâîì øàãå ñõåìû ðàñùåïëåíèÿ ÿâíóþ ðàç- íîñòíóþ ñõåìó áåãóùåãî ñ÷åòà � t x n y n nu v� � � � � � � �1 2 4 1 1 1( ) � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� 1 4 f n . (30) Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû áåãó- ùåãî ñ÷åòà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (25)–(27) � t x n y n nu v� � � � � �1 2 4 1 1 1( ) � � � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� 1 4 f n , (31) � t x n y n nu v� � � � � � �1 2 4 1 1 1( ) � � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� 1 4 f n , (32) � t x n y n nu v� � � � � � �1 2 4 1 1 1( ) � � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� 1 4 f n , (33) ãäå R h u 1 1 � � , R h v 2 2 � � . Ïðè ýòîì îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèé (30)–(32) â ìîìåíò âðåìåíè t tn� �1 ÿâëÿåòñÿ ñòàðòîâûì äëÿ óðàâíåíèé (31)–(33) ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì L u vn x n y n n 1 1 1 1 11 2 4 � � � � � � �� ( ) � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� , L u vn x n y n n 2 1 1 1 11 2 4 � � � � �� ( ) � � � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� , L u vn x n y n n 3 1 1 1 11 2 4 � � � � � �� ( ) � � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� , L u vn x n y n n 4 1 1 1 11 2 4 � � � � � �� ( ) � � � �� 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )R h R h x n x n y n y n � �� 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 ìîäèôèöèðîâàííûå ðàçíîñòíûå àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ Ai , i � 1 4, ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà äëÿ ðåàëèçàöèè ÿâíîé ÷åòûðåõøàãîâîé ñõå- ìû ðàñùåïëåíèÿ (30)–(33) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì: t n n nL f 1 1 11 1 4 0� �� , n n nx y t 1 � � ( , , ), (34) t n n nL f 2 2 1 2 1 4 0� �� , n n 2 1 1 � � , (35) t n n nL f 3 3 1 3 1 4 0� �� , n n 3 1 2 � � , (36) t n n nL f 4 4 4 1 1 4 0� �� , 4 3 1 1 4 1n n n n� �� , . (37) Óñòîé÷èâîñòü ñõåìû ðàñùåïëåíèÿ ïî íà÷àëüíûì äàííûì ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (34) èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, óðàâíåíèÿ (30). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì çàìîðîæåííûõ êîýôôèöèåíòîâ è ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (30) ïðè f n � 0 ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó (19). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîæäåñòâà (17), (18), ïîëó÷àåì ñëåäóþùååå óðàâíåíèå: � t x n y n nu v� � � �� 1 2 4 1 1 1( ) � � � �� 4 1 4 1 1 1 1 2 2 2( ) ( )R h R h tx n n ty n� � n � �� 0, (38) ãäå �1 � xx , � 2 � yy . Äàëåå ó÷òåì, ÷òî � x n x n x n x n tx n x n� �� 1 1( ) , � y n y n y n y n ty n y n� �� 1 1( ) , � n n n n t n n� �� 1 1( ) . Òåïåðü ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (38) ìîæíî çàïèñàòü â îïåðàòîðíîì âèäå (19), ãäå ëèíåéíûå îïåðàòîðû A B, äåéñòâóþò â ñåòî÷íîì ïðîñòðàíñòâå H h è îïðå- äåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè: A u v R Rx y � � � � � � � � � � � � 2 2 4 4 1 4 1 1 1 2 2( ) ( )� � , B u v h R h x y x �� 1 4 2 2 4 1 41 1 2 ( ) ( )1 2 �R y . Íà îñíîâàíèè (21) îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ A B, : A u h v h x y � � � �� 2 0 5 2 0 51 1 2 2� � , ,� � � � � � �� 4 4 1 4 1 1 1 2 2( ) ( )R R� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �h u R h v R1 1 1 2 24 4 1 4 4 1 � � ( ) ( )� � � � � � � � 2 4 2 2 � u v x y � � , B h u R h v �� 1 4 4 8 1 4 1 1 1 2( ) � �� 8 1 2 2( ) � � � � ��R � � � � �� 2 4 1 2 4 1 1 1 2 2 u h R v h R x ( ) ( ) � � � �� y � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 85 Ïðåäñòàâèì îïåðàòîðû A B, â âèäå A A A� �0 1, B B B� �0 1, ãäå A h u R h v R0 1 1 1 2 24 4 1 4 4 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �( ) ( )� � � � � �� 2 4 � � � � � � � 4 4 4 1 2� � , A u v x y 1 2 2 � � � � � � , B h u R h v0 1 1 1 21 4 4 8 1 4 �� ( ) � � � � � � �� 8 1 2 2( )R � � � � � � � � � � �� 1 4 8 8 1 1 2 2 �� ( ) ( )h u h v� � , B u h R v h R x 1 1 1 2 22 4 1 2 4 1 � �� ( ) ( ) � � �� y � � � � �� 4 41 2 u h v hx y � � . Ñëåäóÿ [13], ìîæíî ïîêàçàòü ñàìîñîïðÿæåííîñòü è ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäå- ëåííîñòü îïåðàòîðîâ A B0 0, â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , )� � . Ïîñêîëüêó A B1 1, — êîñîñèììåòðè÷íûå îïåðàòîðû, ( , )A1 0 � , ( , )B1 0 � . Ïîýòîìó óñëî- âèå óñòîé÷èâîñòè (20) ýêâèâàëåíòíî îïåðàòîðíîìó íåðàâåíñòâó B A0 00 5� , � . Çà- ìå÷àÿ, ÷òî B E h u h v A0 1 1 2 2 01 8 8 8 2 � � � � � � � � �� , çàïèøåì óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ñõåìû (38) â âèäå 1 8 8 8 2 2 1 1 2 2 0 0� � � � � � � � �� E h u h v A A� � . Äàííîå óñëîâèå âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ, ïîýòîìó íà ïåðâîì øàãå ðàñùåïëåíèÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (30) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûì äàííûì â ýíåðãåòè- ÷åñêîé íîðìå \| \| \| \|� A0 . Óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (31)–(33) èññëåäóåòñÿ àíàëîãè÷íî. Íàïðèìåð, íà òðåòüåì øàãå ðàñùåïëåíèÿ ðàçíîñòíóþ ñõåìó (32) ñ íóëåâîé ïðà- âîé ÷àñòüþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå äâóõñëîéíîé ñõåìû (19), îïåðàòîðû êîòîðîé A B, îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè A A A� �0 1, B B B� �0 1, ãäå A h u R h v R0 1 1 1 2 2 4 4 1 4 4 1 � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) \| \| ( )� � � � � � � �� 2 4 � � � � � � � � 4 4 1 2� � , A u v x y 1 2 2 � � � � \| \| , (39) B h u R h v 0 1 1 1 21 4 4 8 1 �� ( ) \| � \| ( ) 4 8 1 2 2� � � � � � � � � �� R � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 4 8 8 8 8 1 1 2�� h u h v � \| \| � � � � 2 , B u h R v h R x 1 1 1 2 2 2 4 1 2 4 1 � �� ( ) \| \| ( � � �� ) y � . (40) 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 Ñàìîñîïðÿæåííîñòü è ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòîðîâ A B0 0, â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , )� � ñëåäóåò èç àíàëèçà âûðàæåíèé (39), (40). Êðîìå òîãî, îïåðàòîðû A B1 1, êîñîñèììåòðè÷íû, ïîýòîìó âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ( , )A1 0 � , ( , )B1 0 � , à óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (20) ýêâèâàëåíòíî îïåðàòîðíî- ìó íåðàâåíñòâó B A0 00 5� , � . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî B E E h u h v A0 1 1 2 2 0 8 8 8 2 � � � � �� \| \| . Òåì ñàìûì óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ñõåìû (32) ïðèíèìàåò âèä íåðàâåíñòâà E E h u h v A A� � � � �� 8 8 8 2 2 1 1 2 2 0 0� �\| \| , êîòîðîå âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ. Àíàëîãè÷íî èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü óðàâíåíèé (31) è (33). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ñêî- ðîñòè âîçäóøíîãî ïîòîêà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2. ßâíûå äâóõñëîéíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû áåãóùåãî ñ÷åòà (30)–(33) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâû ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Îòñþäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì çàìîðîæåííûõ êîýôôèöèåíòîâ âûòåêà- åò àáñîëþòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ÷åòûðåõøàãîâîé ñõåìû ðàñùåïëåíèÿ áåãóùåãî ñ÷å- òà (34)–(37) ïî íà÷àëüíûì äàííûì. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðèâåäåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïåðåíîñà, ïîçâîëÿþ- ùèå èññëåäîâàòü ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàãðÿçíåíèé îò ñèñòåìû ñòàöèî- íàðíûõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ è ïðè çàëïîâîì âûáðîñå, ïðîöåññû ðàññåèâàíèÿ çàãðÿçíåíèé â ïðîèçâîäñòâåííûõ ïîìåùåíèÿõ, çàãðÿçíåíèÿ âîçäóøíîé ñðåäû ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè ïîòåíöèàëüíîãî òå÷åíèÿ è äð. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøå- íèÿ ìíîãîìåðíûõ íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ïðåäëî- æåí ïîäõîä, èñïîëüçóþùèé èäåþ ðàñùåïëåíèÿ è ðåàëèçàöèþ ïîëó÷åííûõ ðàç- íîñòíûõ ñõåì ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ ñõåì áåãóùåãî ñ÷åòà. Ðàññìîòðåíû è èññëåäî- âàíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ, àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè ÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Ðåàëèçàöèÿ ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ ïðîñòðàíñòâåííûõ íåñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé êîíâåêòèâ- íîé äèôôóçèè íà ìíîãîïðîöåññîðíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåí- íîé ïàìÿòüþ ïîçâîëèò â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñîêðàòèòü âðåìåííûå çàòðàòû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ì å ò î ä è ê à ðàñ÷åòà êîíöåíòðàöèé â àòìîñôåðíîì âîçäóõå âðåäíûõ âåùåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â âûáðîñàõ ïðåäïðèÿòèé. Îáùåñîþçíûé íîðìàòèâíûé äîêóìåíò (ÎÍÄ-86). — Ë.: Ãèäðî- ìåòåîèçäàò, 1987. — 93 ñ. 2. È ç ð à ý ë ü Þ . À . Ýêîëîãèÿ è êîíòðîëü ñîñòîÿíèÿ ïðèðîäíîé ñðåäû. — Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1984. — 560 ñ. 3. Ò è ù å í ê î Í . Ô . Îõðàíà àòìîñôåðíîãî âîçäóõà. Ðàñ÷åò ñîäåðæàíèÿ âðåäíûõ âåùåñòâ è èõ ðàñïðåäåëåíèå â âîçäóõå. — Ì.: Õèìèÿ, 1991. — 236 ñ. 4. Ç ã ó ð î â ñ ê è é Ì . Ç . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . , Õ ð ó ù Â . Ê . , Á å ë ÿ å â Í . Í . ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàãðÿçíåíèÿ â îêðóæàþùåé ñðåäå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1997. — 368 ñ. 5. À ò ì î ñ ô å ð í à ÿ òóðáóëåíòíîñòü è ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðèìåñåé / Ïîä ðåä. Ô.Ò.Ì. Íüèñòàäòà, Õ. Âàí Äîïà. — Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1985. — 352 ñ. 6. À ë î ÿ í À . Å . Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè è êèíåòèêè ãàçîâûõ ïðèìåñåé è àýðîçîëåé â àòìîñ- ôåðå. — Ì.: Íàóêà, 2008. — 415 ñ. 7. À ð ã ó ÷ è í ö å â Â . Ê . , À ð ã ó ÷ è í ö å â à À . Â . Ìîäåëè è ìåòîäû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îõðà- íû àòìîñôåðû, ãèäðîñôåðû è ïîäñòèëàþùåé ïîâåðõíîñòè. — Èðêóòñê: ÈÃÓ, 2001. — 114 ñ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 87 8. Ì à ð ÷ ó ê Ã . È . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â ïðîáëåìå îêðóæàþùåé ñðåäû. — Ì.: Íàó- êà, 1982. — 320 ñ. 9. Ã ð è í è í À . Ñ . , Î ð å õ î â Í . À . , Í î â è ê î â Â . Í . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â ýêîëîãèè. — Ì.: ÞÍÈÒÈ, 2003. — 270 ñ. 10. À ë î ÿ í À . Å . , Ï å í å í ê î Â . Â . , Ê î ç î ä å ð î â Â . Â . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â ïðîáëåìå îêðóæàþùåé ñðåäû // Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìà- òåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 2005. — 2. — Ñ. 279–351. 11. Ã ë à ä ê è é À . Â . , Ñ å ð ã ³ º í ê î ² . Â . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . , Ã ë à ä ê à Þ . A . Îñíîâè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ â åêîëîã³¿: — Ê.: ÍÒÓÓ «ÊÏ²», 2009. — 240 ñ. 12. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Â à á è ù å â è ÷ Ï . Í . ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ êîíâåê- öèè–äèôôóçèè. — Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2004. — 248 ñ. 13. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Â à á è ù å â è ÷ Ï . Í . Âû÷èñëèòåëüíàÿ òåïëîïåðåäà÷à. — Ì.: Åäèòî- ðèàë ÓÐÑÑ, 2003. — 784 ñ. 14. Ì à ð ÷ ó ê Ã . È . Ìåòîäû ðàñùåïëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 264 c. 15. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Í è ê î ë à å â Å . Ñ . Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íà- óêà, 1987. — 588 ñ. 16. Ñ à ó ë ü å â Â . Ê . Îá îäíîì ñïîñîáå ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé äèôôóçèè // ÄÀÍ. — 1957. — 115, ¹ 6. — Ñ. 1077–1080. Ïîñòóïèëà 29.10.2013

Об исследовании алгоритмов расщепления в задачах конвекции–диффузии

Institution

Similar Items