Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях

Рассмотрено управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях. Достаточные условия асимптотической стабилизации этой системы пропорционально-дифференциальным регулятором получены с помощью подхода, основанного на прямом методе Ляпунова и технике Разумихина. Полученные аналитически...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2016
Main Authors:	Иванов, И.Л., Мартынюк, А.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2016
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Математическое моделирование и вычислительные методы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115846
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях / И.Л. Иванов, А.А. Мартынюк // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 3-14. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115846
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1158462025-02-23T17:33:17Z Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях Delayed Control of Power System under Pulse Perturbations Иванов, И.Л. Мартынюк, А.А. Математическое моделирование и вычислительные методы Рассмотрено управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях. Достаточные условия асимптотической стабилизации этой системы пропорционально-дифференциальным регулятором получены с помощью подхода, основанного на прямом методе Ляпунова и технике Разумихина. Полученные аналитические результаты представлены в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с совокупностью свободных параметров.Рассмотрено управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях. Достаточные условия асимптотической стабилизации этой системы пропорционально-дифференциальным регулятором получены с помощью подхода, основанного на прямом методе Ляпунова и технике Разумихина. Полученные аналитические результаты представлены в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с совокупностью свободных параметров. Розглянуто управління з запізненням енергосистемою при імпульсних збуреннях. Достатні умови асимптотичної стабілізації цієї системи пропорційно-диференціальним регулятором отримано за допомогою підходу, базованого на прямому методі Ляпунова та техніці Разуміхіна. Отримані аналітичні результати представлено у вигляді системи нелінійних алгебраїчних рівнянь з сукупністю вільних параметрів. The paper deals with the delayed control of a power system under the pulse perturbations. Suffcient conditions of asymptotic stabilization of this system by the delayed proportional differentional controller are obtained via developed approach, based on direct Lyapunov method and Razumikhin technique. Obtained analytical results are represented as a system of nonlinear algebraic inequalities with a set of free parameters. 2016 Article Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях / И.Л. Иванов, А.А. Мартынюк // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 3-14. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115846 531.36 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы
spellingShingle	Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы Иванов, И.Л. Мартынюк, А.А. Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях Электронное моделирование
description	Рассмотрено управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях. Достаточные условия асимптотической стабилизации этой системы пропорционально-дифференциальным регулятором получены с помощью подхода, основанного на прямом методе Ляпунова и технике Разумихина. Полученные аналитические результаты представлены в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с совокупностью свободных параметров.Рассмотрено управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях. Достаточные условия асимптотической стабилизации этой системы пропорционально-дифференциальным регулятором получены с помощью подхода, основанного на прямом методе Ляпунова и технике Разумихина. Полученные аналитические результаты представлены в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с совокупностью свободных параметров.
format	Article
author	Иванов, И.Л. Мартынюк, А.А.
author_facet	Иванов, И.Л. Мартынюк, А.А.
author_sort	Иванов, И.Л.
title	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях
title_short	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях
title_full	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях
title_fullStr	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях
title_full_unstemmed	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях
title_sort	управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Математическое моделирование и вычислительные методы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115846
citation_txt	Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях / И.Л. Иванов, А.А. Мартынюк // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 3-14. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT ivanovil upravlenieszapazdyvanieménergosistemojpriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT martynûkaa upravlenieszapazdyvanieménergosistemojpriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT ivanovil delayedcontrolofpowersystemunderpulseperturbations AT martynûkaa delayedcontrolofpowersystemunderpulseperturbations
first_indexed	2025-11-24T04:18:08Z
last_indexed	2025-11-24T04:18:08Z
_version_	1849643906687303680
fulltext	ÓÄÊ: 531.36 È.Ë. Èâàíîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, À.À. Ìàðòûíþê, àêàä. ÍÀÍ Óêðàèíû Èí-ò ìåõàíèêè èì. Ñ.Ï. Òèìîøåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, óë. Íåñòåðîâà, 3, òåë. (044) 4566140, e-mail: center@inmech.kiev.ua) Óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ Ðàññìîòðåíî óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùå- íèÿõ. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñòàáèëèçàöèè ýòîé ñèñòåìû ïðîïîðöèî- íàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûì ðåãóëÿòîðîì ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ ïîäõîäà, îñíîâàííîãî íà ïðÿìîì ìåòîäå Ëÿïóíîâà è òåõíèêå Ðàçóìèõèíà. Ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ñîâîêóïíîñòüþ ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ðîçãëÿíóòî óïðàâë³ííÿ ç çàï³çíåííÿì åíåðãîñèñòåìîþ ïðè ³ìïóëüñíèõ çáóðåííÿõ. Äîñòàò- í³ óìîâè àñèìïòîòè÷íî¿ ñòàá³ë³çàö³¿ ö³º¿ ñèñòåìè ïðîïîðö³éíî-äèôåðåíö³àëüíèì ðåãóëÿ- òîðîì îòðèìàíî çà äîïîìîãîþ ï³äõîäó, áàçîâàíîãî íà ïðÿìîìó ìåòîä³ Ëÿïóíîâà òà òåõí³ö³ Ðàçóì³õ³íà. Îòðèìàí³ àíàë³òè÷í³ ðåçóëüòàòè ïðåäñòàâëåíî ó âèãëÿä³ ñèñòåìè íåë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü ç ñóêóïí³ñòþ â³ëüíèõ ïàðàìåòð³â. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ýíåðãîñèñòåìà, óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó, ìåòîä Ðàçóìèõèíà, çàïàçäûâàíèå, èìïóëüñíîå âîçäåéñòâèå, óïðàâëåíèå. Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ýíåðãîñèñòåìû â øèðîêîì ñìûñëå îïðåäåëÿåòñÿ êàê òàêîå ñâîéñòâî, êîòîðîå ïîçâîëÿåò åé îñòàâàòüñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíî- âåñèÿ â íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ è âîçâðàùàòüñÿ ê íîðìàëüíîìó ñîñòîÿíèþ ïîñëå âîçäåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ [1]. Óñòîé÷èâîñòü ýíåðãîñèñòåì ÿâëÿåòñÿ âàæíûì àñïåêòîì îáåñïå÷åíèÿ áåçîïàñíîñòè èõ ðàáîòû [2—4]. Â ðàáîòàõ [5—10] ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè ýíåðãîñèñòåì ðàññìàòðè- âàåòñÿ äëÿ ìîäåëåé, â êîòîðûõ ó÷òåíî çàïàçäûâàíèå ïðè ïîñòóïëåíèè ñèãíàëà î ñîñòîÿíèè ñèñòåìû. Â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [8—10] îáñóæäàåòñÿ âëèÿíèå çàïàçäûâàíèÿ íà îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåò- ðîâ ýíåðãîñèñòåìû. Â íåêîòîðûõ íåáëàãîïðèÿòíûõ ñëó÷àÿõ ðàáîòà ýíåðãîñèñòåìû ïðîòå- êàåò â óñëîâèÿõ êðàòêîñðî÷íûõ âîçìóùåíèé, ïðèâîäÿùèõ ê ðåçêèì ïåðå- ïàäàì íàïðÿæåíèÿ. Ïðèìåðàìè òàêèõ âîçìóùåíèé ÿâëÿþòñÿ êîðîòêèå çàìû- ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 3 � È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê, 2016 �� êàíèÿ. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî âîçäåéñòâèå íà ðàáîòó ýíåðãîñèñòåìû óäàðîâ ìîëíèè, íå ïðèâîäÿùèõ ê êîðîòêèì çàìûêàíèÿì, òàêæå íîñèò èìïóëüñíûé õàðàêòåð [11]. Óñòîé÷èâîñòè ýíåðãîñèñòåì, â êîòîðûõ ó÷òåíû êàê çàïàçäû- âàíèå, òàê è èìïóëüñíûå âîçìóùåíèÿ, ïîñâÿùåíû ðàáîòû [12—14]. Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó ñòàáèëèçàöèè ìîäåëè ýëåêòðî-ýíåðãåòè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ ñ ïîìîùüþ ïðîïîðöèîíàëüíî- äèôôåðåíöèàëüíîãî ðåãóëÿòîðà ñ çàïàçäûâàíèåì. Ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ áîðåëåâñêèõ ìíî- æåñòâ X �R, Y n� R , n�N, îïðåäåëèì êëàññ ôóíêöèé PC X Y( , ), ñîñòîÿ- ùèé èç òàêèõ x X Y: � , ÷òî 1) x íåïðåðûâíû ñëåâà âåçäå íà X; 2) x îáëàäàþò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíûì ÷èñëîì òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì â âèäå dx dt f t x t� ( , ), t k� � , x I xk k( ) ( )� � , k�N, (1) è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ê íåé: x t t( ) ( )� 0 , t� �[ , ]� 0 , (2) ãäå x PC n� � �([ , ),� R ; f PC n n:[ , ) ([ , ), )� � � � �� R R — íåïðåðûâíà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó è ëèïøèöåâà ïî âòîðîìó; I k n:[ , ]� � �� R — íåïðå- ðûâíà,� k ��, êîãäà k ��. Èç ñôîðìóëèðîâàííûõ ïðåäïîëîæåíèé ñëåäóåò, ÷òî íà÷àëüíàÿ çàäà÷à (1), (2) îáëàäàåò åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì íà [ , )0 � . Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ V t x( , ) ïðèíàäëåæèò êëàññó K, åñëè âûïîë- íÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: V t x( , ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà ìíîæåñòâå T n R , ãäåT � � � � �[ , ) \{ }t k k0 � � N; ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ a êëàññà Õàíà òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà a x v t x(\|\| \|\|) ( , )� ïðè âñåõ ( , )t x n� R R ; ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim ( , ) ( , ) t k k v t x v x � � � � � 0 , lim ( , ) ( , ) t k k v t x v x � � � � 0 0 ïðè âñåõ k �1 2, , ... . Òåîðåìà 1 [15]. Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (1) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ v t x( , ) êëàññà K è ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ g : R R � , g ( )0 0� , g s( )�0, s�0, òàêèå, ÷òî d dt v t x t g v t x t( , ( ))\| ( ( , ( )))( )9 � � , È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 åñëè v t x t p v t x t( , ( )) ( ( , ( ))) �� äëÿ � �� [ , ]0 (óñëîâèå Ðàçóìèõèíà), ãäå p s s( )� ïðè s�0, p ( )0 0� , p s( )— íåïðåðûâíà; v x v xk k k k ( , ( )) ( , ( ))� � � � � . Òîãäà ñèñòåìà (1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ýíåðãåòè÷åñ- êîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì â âèäå M d dt P P Pi i mi ei i 2 2 � �� , t k� � , k�N, � ( ) ( ( ), � ( ))� � � � � �i k i i k i k I � , � � � �i k i k ( ) ( ) � , i n�1, ..., , (3) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè � i it t( ) ( )� , t t t0 0� � �� . (4) Çäåñü M i — èíåðöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ; � i t( ) — óãîë ïîâîðîòà ðîòîðà i-ãî ãåíåðàòîðà, � �i PC� � �( [ , ), )R ; Pmi — ïîñòîÿííûå, îòâå÷àþùèå çà ìåõà- íè÷åñêóþ ìîùíîñòü íà âàëó ìàøèíû; P Ci n � � ( , )R R — óïðàâëåíèå, çà- ïàçäûâàíèå êîòîðîãî � � 0; � k — ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå äëÿ � k � � � � �0 0 1 , ... ...,t k k � � N; lim k k �� ; I Cki � 1 2( , )R R ; �i C� �1 0( [ , ), )R ; Pei — àêòèâíûå ìîùíîñòè, îïðåäåëÿåìûå èç ñîîòíîøåíèÿ P E E Y E UYei j n i j ij i j i i n i� � � � 1 1sin ( ) sin,� � � , ãäå Ei — ý.ä.ñ. i-é ìàøèíû; Yii — ñîáñòâåííûå ïðîâîäèìîñòè ìàøèíû; Yij — âçàèìíûå ïðîâîäèìîñòè, Y Yij ji� , i j n, , ...,�1 ; Yi n, 1 — ïðîâîäèìîñòü i-ãî ãåíåðàòîðà ñ øèíàìè ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ; U — âåëè÷èíà ïîñòó- ïàþùåãî íàïðÿæåíèÿ. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî óðàâíåíèÿ (3) íå ñîäåðæàò äåìïôèðîâàíèÿ, ëþáîå íåíóëåâîå äåìïôèðîâàíèå, äîáàâëåííîå â ìîäåëü, íå ïðèâåäåò ê åå äåñòàáèëèçàöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçâåñòíû êîîðäèíàòû ðàâíîâåñèÿ � i 0, è äîïóñòèì, ÷òî P Pmi j n ij� � � 1 , ãäå P E B ii i i i� sin ( )� 0 è P E E Bij i j ij i j� �sin ( )� �0 0 ïðè i j� . Â ïåðåìåííûõ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèíåàðèçèðî- âàííóþ ñèñòåìó â âèäå M d x dt P x P x x a x t b xi i i i j j n ij i j i i i 2 2 1 1 � � � � � � � � ( ) ( ) � (� t ��), � ( ) ( ) � ( )x c x c xi k ki i k ki i k � � � � 1 2 , i n�1,..., , (5) Óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 5 ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x t ti i( ) ( )�� , t t t0 0� � �� , (6) ãäå cki1 è cki 2 — íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå; ai , bi — ïàðà- ìåòðû ïðîïîðöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî ðåãóëÿòîðà, i n�1,..., . Ïðåäïî- ëîæèì, ÷òî âåëè÷èíà çàïàçäûâàíèÿ � óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå �� k k �1 , k�N. Óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì. Ïóñòü Ri , Ti , i n�1,..., , — íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îáîçíà÷èì � � �� lim ( ) k k k1 , � i i i i i i i i i i i ib P M R M P M R b R a� � � ( ( )) ( ) (( )2 2 2 2 � 4R P a b R Mi i i i i( ) ( )) , �1 2 2 2 2 1 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i a M M b P R a P a R a b M P b M P � � ( ) ( ) � � �� 1 , � 2 2 2 2 2 2 1 2 i i i i i i i i i i i i i i i i a b M M b R a P b R M a b M a � � � � � � � ( ) � � � �� 1 , (7) � 3 2 2 4 4 i i i i i i i i i i i i i i R P M R R P a b R M b R a � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) , � 4 2 2 2 1 1 21 2 1 i i ki i i ki ki i ki i i i P c R M c c M c M P M R � � � � � ( ) ( ) ( i 2 ) , (8) P Pi j n ij� � � 1 , � � min{ ,{ } } , R i i n 2 1 , i i i i i i i i i i b P M R M P M R � � � � ( ) ( ) /2 1 2 22 � , (9) ~ max{\| \| } , � �1 1 3 4 � �i n i i ib P , ~ ( max , � �!" � � � � � � � �2 1 1 3 1 2 2 � # $ % & ' (� e e v e v v i n i i i v i , (10) ~ ( max , � �!" � � � � � � �3 1 2 3 1 2 2 � # $ % & ' (� e v e v i n i i i v i , (11) È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 � � � � � � � � � �� 2 2 2 1 3 2 3 2 3 3 ~ ~ ( ~ ~ ), ~ ( ~ ~ ) ~ ~ , ( åñëè 2 1 ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ , ~ ( ~ ~ )� � � � � � � � � � � 2 3 2 3 2 2 3 � � �� 1 2åñëè ) # $ * % * ~ ~ ,� ��3 1 (12) ~ ( max( ) , ( ) � �!" � � � � � �� 4 1 1 3 1 2 2 � � e e v e v v i n i i i v i # $ % & ' ( , (13) ~ ( max , ( ) � �!" � � � � � � ��5 1 2 3 1 2 2 � # $ % & ' (� e v e v i n i i i v i , ~ max{ } , � � � � � 6 2 1 3 4� � e v i n i i , (14) ~ ~ ~ ( ~ ~ ) ~ , ~ ( ~ ~ ) ~ ~ + � � � � � � � � � �� 2 21 5 4 5 6 4 5 5åñëè 4 1 1 4åñëè � � �� , ( ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ , ~ 2 4 5 4 5 4 6 � � �� ( ~ ~ ) ~ ~ .� � � ��4 5 5 ) # $ * % * 1 (15) Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (5) ïðè íåêîòîðûõ R Ti i, �R, i n�1,..., , v� R âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: 2� �� , (16) T M Ri i i� 2, (17) b R Mi i i � � , (18) 4 02R b R M P a P T b R ai i i i i i i i i i i( ) ( ) ( ) � � � � � , (19) � � � �v , (20) � + � �v , (21) T M R e T M c R c ci i i v i i ki i ki ki �� 2 2 2 2 1 2 1 2 1� ( ) ( ) c R c eki i ki v 1 2 2 2 2 � � � � � � � �� c T M Rki i i i2 2 2 0, (22) c c R e ki ki i v 2 2 2( ) � �. (23) Òîãäà ñèñòåìà (5) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà. Óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 7 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëîæèì � � ,, � � , ãäå , �0 — íåêîòîðûé ïàðàìåòð. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþV0( )x äëÿ ñèñòåìû (5): V M x M R x x T x P i n i i i i i i i i i j i j n ij0 1 2 2 1 2( ) ( � � ) , x � � � � � � ( )x x i j � 2 , ãäå x x x x� ( , ,..., )1 2 n , x i i ix , x� ( � ), i n�1,..., . Óñëîâèå (17) ãàðàíòèðóåò åå ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü. Íà îñíîâå ôóíêöèè V0( )x ïðè v ) 0 ïî- ñòðîèì êóñî÷íî-ýêñïîíåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ V ( )x , êîòîðóþ èñïîëüçóåì êàê ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà: V t V ev t k( , ) ( ) ( ) x x� � 0 � , t k k� [ )� - � 1 , k�N0, (24) ãäå � 0 0� . Äëÿ ýòîé ôóíêöèè ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ óñëîâèé òåîðåìû 1: dV t t dt v t ( , ( )) ( , )) ( ) x x 5 � �+ , t k� � , k�N, (25) åñëè pV t t V t t( , ( )) ( , ( ))x x� � � , � �- ."� �[ 2 , (26) ãäå+ �0, p�1— íåêîòîðûå ïàðàìåòðû; V Vk k k k( , ( )) ( , ( ))� � � � �0 0x x , k�N. (27) Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (24) â (25) è (26), ïîëó÷èì óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèèV0 ïðè t k k� ( )� - � 1 â âèäå dV t t dt v V t t0 5 0 ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) x x� � + , t k� � , k�N, (28) åñëè pV t e V tv 0 0( ( )) ( ( ))x x� � � , � �-� �[ )2 0 , ïðè � � �-k t/ �[ )2 0 , pV t e V t v tk k 0 0 1( ( )) ( ( )) ( ( ) ) x x� � � �� 0 � � � �� , � �-� �[ )2 0 , ïðè � � �-k t� �[ )2 0 , .(29) ãäå �� k k k� � 1 . Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî 1�0 ìíîæåñòâî 2� �� 1k k\| ,� k�N}êîíå÷íî, ïðè èññëåäîâàíèè àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè óñëîâèå (29) äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî, �0ìîæíî çàìåíèòü íåðàâåíñòâàìè pV t e V tv 0 0( ( )) ( ( ))x x� � � , � �-� �[ )2 0 , ïðè � � �-k t/ �[ )2 0 , pV t e V tv tk 0 0( ( )) ( ( ))( ( ) ) x x� � �� 0 � � �, � , � �-� �[ )2 0 , ïðè � � �-k t� �[ )2 0 , (30) ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå 23 �� ,k k k k� � �1 , \| , N} ôóíê- öèÿV t0( ( ))x äîïóñêàåò ýêñïîíåíöèàëüíóþ îöåíêó ïî t. È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 Ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè V0 âäîëü ñèñòåìû (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå d dt V t W x R x K t i n i i i i i i i 0 5 1 2 2( ( )) ( ( ) ( � ) ( )) ( ) , x x� � � � � � j i j n i ij i i j R P x x x � � � � 1 ( ), ãäå W b R M x P T b R a x x R P ai i i i i i i i i i i i i i i( ) ( ) � ( ) � (x � � � � � �2 i ix) 2; K t a x t x t b x t x ti i i i i i i( ) ( ( ) ( )) ( � ( ) � ( ))� � � � �� . Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ôîðì Wi i ( )x ãàðàíòèðóåòñÿ óñëîâèÿ- ìè (18) è (19) òåîðåìû 2. Ê ñëàãàåìûì K ti ( ), i n�1,..., , äàëåå áóäåì ïðèìå- íÿòü òåîðåìó Íüþòîíà—Ëåéáíèöà è âèä èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ â ôîð- ìå äåëüòà-ôóíêöèé. Ïðåäñòàâèì èõ â âèäå K t K t K ti ic i( ) ( ) ( )� � , ãäå K t a x s b P s p x s x sic t t i i i i j j n ij i j( ) ( ) ( ) ( ( ) (� � � � � 4 � � 1 1 )) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �ds � � � � 4b a x s b x s dsi t t i i i i � � �( ( ) � ( )) ; K t b s c x s c x si i t t t k ki i ki i� � � �( ) ( ) ( ( ) ( ) � ( [ , ) � � � � � 4 1 2 1 )) ds. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé � �-k t t� �[ )2 . Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ñëàãàåìîãî K ti ( ) ïîëó÷èì ðàâåíñòâî K t K ti ic( ) ( )� . Ïóñòü W W i n i( ) ( )x x� � � 1 . Ó÷èòûâàÿ ñîîò- âåòñòâóþùåå ýòîìó ñëó÷àþ óñëîâèå Ðàçóìèõèíà â (30), äëÿ âåëè÷èíû K t K t i n i( ) ( )� � � 1 íà îñíîâå èññëåäîâàíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ðå- ãóëÿðíûõ ïó÷êîâ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì [16] ïîëó÷àåì îöåíêó \| ( )\| ( ) ( ( ))( )K t W p e V t dsv t s t r t � � � � 4�� 3 2 1 0x x �� 4� �� 51 1 0 0p e V t ds p Vv t s t r t ( ) ( ( )) ( ) ( )x x , ãäå ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ 5i1, 5i 2, i n�1,..., , êîíñòàíòû � i , l �1 2 3, , , óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì � � � 5 � 65 1 1 1 1 2 � # $ % & ' (� max , ,i n i i i , � � � 5 2 1 2 1 � # $ % & ' (� max ,i n i i , Óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 9 � � 5 5 �3 1 1 2 2 3 1 4 2� � max{ ) } ,i n i i i i ib P , êîíñòàíòû Pi , � li , l �1 2 3, , , i n�1,..., , çàäàíû âûðàæåíèÿìè (7)—(9), à ôóíê- öèÿ � ( )p îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì � � � � � 5 � �( ) ( )p e pv e v v� � 1 1 2 3 , ãäå îïðåäåëÿåòñÿ èç (9). Â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ôóíêöèÿV t0( ( ))x äîïóñêàåò îöåíêó d dt V t p V t0 5 0( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) x x� � ��5 . Óñëîâèå (28) ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó � + �5 � � �v p( ) , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî íåðàâåíñòâ ñ ïðîèçâîëüíûìè ïàðàìåòðàìè + è p. Îáúåäè- íÿÿ ïî íèì ýòè íåðàâåíñòâà, ïîñëå ìèíèìèçàöèè âåëè÷èíû�5( )p ïî ïðîèç- âîëüíûì ïàðàìåòðàì 5i1, 5i 2, i n�1,..., , ïîëó÷èì óñëîâèå (20) òåîðåìû 2, äëÿ êîòîðîãî âåëè÷èíà � îïðåäåëåíà â (12). Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè óñëîâèè � �- �k t t� � �[ )2 , êîãäà íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðàçëè÷íûå óñëîâèÿ Ðàçóìèõèíà, òàêæå âûïîëíÿåò- ñÿ îöåíêà (17) òåîðåìû 2. Ïîëîæèì òåïåðü � �-k t t� �[ ). Òîãäà íà îñíîâå óñëîâèé Ðàçóìèõèíà ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâà V s ds e e pv V t t t v v 0 0 1 ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x x� � � � � 4 � � � � �, , V s ds e pv V t t t v 0 0 1 ( ( )) ( ( ))x x � 4 � � � � , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî i n i i i ic v vx R x K t e pv e � �� 1 1 2 3 1 ( � ) ( ) ( )) � �3 �� , � � � � �V0( )x . Îöåíèì äàëåå àíàëîãè÷íóþ ñóììó ñî ñëàãàåìûìè K ti�( ): i n i i i i i n i i i i kix R x K t b x R x c x � � � � � � 1 1 2 1( � ) ( ) ( � ) (( ) �� i k ki i kc x( ) ( ))� � �1 È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 � � � � � �1 2 1 1 3 2 1 2 3 2 i n i i i i i n i i ki i kx R x b c x5 5 �( � ) (( ) � ( ) � � �� c xki i k1 2( ))� , ãäå 53 0i � — íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (( ) � ( )c xki i k2 1� � � c x M x M R x x T xki i k i i i i i i i i i1 2 4 2 22( )) ( � � )� � , ãäå � 4i îïðåäåëÿåòñÿ èç (8). Îáîçíà÷èì äàëåå � � � 5 4 1 2 4 3 1 4 � # $ % & ' (� max ,i n i i i b . Òîãäà âåðíîé áóäåò îöåíêà 1 2 1 1 2 3 2 1 2 4 0 i n i i ki i k ki i k b c x c x V � � � � 5 � � �(( ) � ( ) ( )) ( (x � k )). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå � � 5 5 � 5 "�5 1 1 2 2 3 3 1 4 2 2� � max{(( ) } ,i n i i i i i ib P . Òîãäà àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà K t( ) ìîæåò áûòü îöåíåíà â âèäå \| ( )\|K t � � �+ 5( ) ( )p V0 x , ãäå + � � � � 5 � �3 � �,( ) ( ))p e pv e p e v v v� � �1 1 2 4 5 . Ïîýòîìó d dt V t p V t0 5 0( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) x x� � �+ 5 . Ïîëó÷èì ñåìåéñòâî íåðàâåíñòâ � + + 5 � � �v p( ) ñ ïðîèçâîëüíûìè ïàðàìåò- ðàìè + è p. Îáúåäèíÿÿ ïî íèì ýòè íåðàâåíñòâà ïîñëå ìèíèìèçàöèè âåëè- ÷èíû +5( )p ïî ïðîèçâîëüíûì ïàðàìåòðàì 5i1, 5i 2, 5i 3, i n�1,..., , ïîëó÷èì óñëîâèå (21) òåîðåìû 2 ñ âåëè÷èíîé +, îïðåäåëÿåìîé â (15). Çàïèøåì òåïåðü óñëîâèå (27), âîñïîëüçîâàâøèñü çàìåíîé (24). Ïî- ëó÷èì V e Vk v k k k 0 00 1( ( )) ( ( )) ( ) x x� �� , k�N. (31) Èç ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (31) ïðè âñåõ k, êðîìå ïðèíàäëåæàùèõ êîíå÷íîìó ìíîæåñòâó, ñëåäóåò îöåíêàV e Vk v k0 00( ( )) ( ( ))x x� ��, � , k�N. Ïîñêîëüêó v �0, äàííàÿ îöåíêà âñåãäà âåðíà äëÿ êîìïîíåíòîâ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, Óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 11 îòâå÷àþùèõ çà âçàèìîñâÿçè. Äëÿ ïðî÷èõ åå êîìïîíåíòîâ ïðè i n�1, ïîëó- ÷èì ñèñòåìó íåðàâåíñòâ M c x c x M R c x c x x T xi ki i ki i i i ki i ki i i i i( � ) ( � )1 2 2 1 2 22 � � e M x M R x x T xv i i i i i i i i �, ( � � )2 22 . (32) Îáúåäèíÿÿ ïî , óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (32) ìåæäó êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè, ïîëó÷àåì óñëîâèÿ (22) è (23) òåîðåìû 2. Òåîðåìà äîêàçàíà. Â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 óñëîâèÿ (22) è (23) ïîëó÷åíû íà îñíîâå àíàëèçà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëàãàåìûõ ôóíêöèè V0. Èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ïîäõîäà îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âîïðîñ çíàêîîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèè V0, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n ïðèâîäèò ê ìíîãîìåðíîé çàäà÷å çíàêîîïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ðåøåíèå êîòîðîé ìîæåò áûòü çàòðóäíèòåëüíûì. Óñëîâèå v ) 0, èñïîëüçóåìîå ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ëÿïóíîâà (24), â ñëó÷àå sup{ }� �k k � ��1 ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì. Îíî èñêëþ÷àåò âîç- ìîæíîñòü ñòàáèëèçèðóþùåãî ýôôåêòà îò èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ, ÷òî äëÿ äàííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðåäïîëîæåíèåì. Òàêèì îáðà- çîì, ìîäåëü ýíåðãîñèñòåìû áåç èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèé ïîëàãàåòñÿ àï- ðèîðè óñòîé÷èâîé. Âûâîäû Ïîëó÷åííûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ýíåðãî- ñèñòåìû ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ ìíîãî÷èñëåííûìè ñâîáîäíûìè ïàðàìåòðàìè. Èñïîëüçîâàíèå îòäåëüíûõ ñâîáîäíûõ ïàðà- ìåòðîâ ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîìó ãåíåðàòîðó, ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áîëåå ýôôåêòèâ- íûìè, ÷åì ðåçóëüòàòû ðàáîòû [13] äëÿ ñëó÷àÿ ýíåðãîñèñòåìû ñ ðàçëè÷- íûìè ãåíåðàòîðàìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Kundur P. Power System Stability and Control. — NY: McGraw-Hill, 1994. — 1176 p. 2. Pavella M., Ernst D., Ruiz-Vega D. Transient stability of power systems: a unified approach to assessment and control.— Boston: Kluver Academic Publisher, 2000. — 237 p. 3. Chang H.D., Chu C.C., Cauley G. Direct stability analysis of electric power systems using energy functions: Theory, applications, and perspective // Proc. of the IEEE. — 1995. — V. 13. — P. 1497—1529. 4. Ãðóéè÷ Ë.Ò., Ìàðòûíþê À.À., Ðèááåíñ-Ïàâåëëà Ì. Óñòîé÷èâîñòü êðóïíîìàñøòàáíûõ ñèñòåì ïðè ñòðóêòóðíûõ âîçìóùåíèÿõ. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1984. — 308 ñ. È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 5. Zribi M., Mahmoud M.S., Karkoub M., Lie T.T. H�-controllers for linearised time-delay power systems // IEE Proceedings-Generation, Transmission and Distribution. — 2000. — V. 147, ¹ 6. — P. 401—408. 6. Chaudhuri B., Majumder R., Pal B.C. Wide-area measurement-based stabilizing control of power system considering signal transmission delay / // IEEE Transactions on Power Sys- tems. — 2004. — V. 19, ¹. 4. — P. 1971—1979. 7. Yao W. et al. Delay-dependent stability analysis of the power system with a wide-area damp- ing controller embedded // IEEE Transactions on Power Systems. — 2011. — V. 26, ¹ 1. — P. 233—240. 8. Wu H., Ni H. , Heydt G.T. The impact of time delay on robust control design in power sys- tems // Power Engineering Society Winter Meeting, 2002, New York. — IEEE. — 2002. — P. 1511—1516. 9. Milano F., Anghel M. Impact of time delays on power system stability // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. — 2012. — V. 59, ¹ 4. — P. 889—900. 10. Jia H., Yu X., Yu Y., Wang C. Power system small signal stability region with time delay // In- tern. Journal of Electrical Power & Energy Systems. — 2008. — V. 30, ¹ 1. — P. 16—22. 11. Berger K., Anderson R. Â., Kroninger H. Parameters of lightning flashes // Electra. — 1975. — ¹ 41. — P. 23—37. 12. Ìàðòûíþê À.À., Èâàíîâ È.Ë. Î ñâÿçíîé óñòîé÷èâîñòè òðåõìàøèííîé ýíåðãîñèñòåìû ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2013. — ¹ 7. — Ñ. 64—71. 13. Èâàíîâ È.Ë. Óñòîé÷èâîñòü îäíîé ìîäåëè ýíåðãîñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì è èì- ïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì// Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè «Àíàëiòè÷íà ìåõàíiêà òà ¿¿ çàñòîñóâàííÿ». — 2012. — 9, ¹ 1. — Ñ. 114—127. 14. Èâàíîâ È.Ë. Ðåãóëèðîâàíèå ýíåðãîñèñòåì ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2014. — 36, ¹ 5. — Ñ. 17—26. 15. ²âàíîâ ².Ë. Ï³äõ³ä äî äîñë³äæåííÿ ñò³éêîñò³ ³ìïóëüñíèõ ñèñòåì ç çàï³çíåííÿì // Çá. ïðàöü ²í-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè «Ìàòåìàòè÷í³ ïðîáëåìè ìåõàí³êè òà îá÷èñ- ëþâàëüíî¿ ìàòåìàòèêè». — 2015. — 12, ¹ 5. — Ñ. 30—38. 16. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 576 ñ. I.L. Ivanov, A.A. Martynyuk DELAYED CONTROL OF POWER SYSTEM UNDER PULSE PERTURBATIONS The paper deals with the delayed control of a power system under the pulse perturbations. Suffcient conditions of asymptotic stabilization of this system by the delayed proportional differentional controller are obtained via developed approach, based on direct Lyapunov method and Razumikhin technique. Obtained analytical results are represented as a system of nonlinear algebraic inequalities with a set of free parameters. K e y w o r d s: power system, Lyapunov stability, Razumikhin approach, time delay, pulse effects, control. REFERENCES 1. Kundur, P. (1994), Power system stability and sontrol, McGraw-Hill, USA 2. Pavella, M., Ernst, D. and Ruiz-Vega, D. (2000), Transient stability of power systems: a uni- fied approach to assessment and control, Kluver Academic Publisher, Boston, USA. 3. Chang, H.D., Chu, C.C. and Cauley, G. (1995), Direct stability analysis of electric power systems using energy functions: Theory, applications, and perspective, Proceedings of the IEEE, Vol. 13, pp. 1497-1529. Óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ýíåðãîñèñòåìîé ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 13 4. Gruyich, L.T., Martynyuk, A.A. and Ribbens-Pavella, M. (1984), Ustoichivost krupno- masshtabnyh system pri strukturnykh vozmushcheniyakh [Large-scale systems stability un- der structural perturbations], Naukova dumka, Kiev, Ukraine. 5. Zribi, M., Mahmoud, M.S., Karkoub, M. and Lie, T.T. (2000), H�-controllers for linearised time-delay power systems, IEE Proceedings-Generation, Transmission and Distribution, Vol. 147, no. 6, pp. 401-408. 6. Chaudhuri, B., Majumder, R. and Pal, B.C. (2004), “Wide-area measurement-based stabiliz- ing control of power system considering signal transmission delay”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 19 no. 4, pp. 1971-1979. 7. Yao, W., Jiang, L., Wu, Q.H., Wen, J.Y. and Cheng, S.J. (2011), “Delay-dependent stability analysis of the power system with a wide-area damping controller embedded”, IEEE Trans- actions on Power Systems, Vol. 26 no. 1, pp. 233-240. 8. Wu, H., Ni, H. and Heydt, G.T. (2002), “The impact of time delay on robust control design in power systems”, Power Engineering Society Winter Meeting, IEEE, 2002, New York, pp. 1511- 1516. 9. Milano, F. and Anghel, M. (2012), “Impact of time delays on power system stability”, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, Vol. 59 no. 4, pp. 889-900. 10. Jia, H., Yu, X., Yu, Y. and Wang, C. (2008), “Power system small signal stability region with time delay”, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Vol. 30, no. 1, pp. 16- 22. 11. Berger, K., Anderson, R.Â. and Kroninger, H. (1975), “Parameters of lightning flashes”, Electra, no. 41, pp. 23-37. 12. Martynyuk, A.A. and Ivanov, I.L. (2013), “On the connective stability of three-machine power system under impulsive perturbations”, Dopovidi NAN Ukrainy, no. 7, pp. 64-71. 13. Ivanov, I.L. (2012), “Stability of a model of a power system with delay and pulse effects”, Analitychna mekhanika ta ii zastosuvannya. Zbirnyk prats Institutu Matematyky NAN Ukrainy, Vol. 9, no. 1, pp. 114-127. 14. Ivanov, I.L. (2014), “Regulation of power systems under impulsive perturbations”, Elekt- ronnoe modelirovanie, Vol. 36, no. 5, pp. 17-26. 15. Ivanov, I.L. (2015), “An approach for stability analysis of impulsive systems with delay”, Mathematychni problemy mekhaniky i obchyslyuvalnoi tekhniky. Zbirnyk prats Institutu Matematyky NAN Ukrainy, Vol. 12, no. 5, pp. 30-38. 16. Gantmakher, F.R. (1966), Teoriya matrits [The theory of matrices], Nauka, Moscow, USSR. Ïîñòóïèëà 04.11.16 ÈÂÀÍÎÂ Èãîðü Ëüâîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ìë. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ìåõàíèêè èì. Ñ.Ï. Òèìî- øåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 2007 ã. îêîí÷èë ×åðêàññêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Á. Õìåëü- íèöêîãî, â 2009 ã. — Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Ò. Øåâ÷åíêî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — óïðàâëåíèå è óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñíûì âîç- äåéñòâèåì. ÌÀÐÒÛÍÞÊ Àíàòîëèé Àíäðååâè÷, àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû, çàâ. îòäåëîì Èí-òà ìåõàíèêè èì. Ñ.Ï. Òèìîøåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1962 ã. îêîí÷èë ×åðêàññêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èí-ò. Îá- ëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ñèñòåì, ìîäåëèðóåìûõ îáûê- íîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè; óï- ðàâëåíèå äâèæåíèåì; òåîðèÿ êðóïíîìàñøòàáíûõ ñèñòåì (äåòåðìèðîâàííûõ, ñòîõàñòè÷åñ- êèõ, à òàêæå ñèíãóëÿðíî-âîçìóùåííûõ è èìïóëüñíûõ). È.Ë. Èâàíîâ, À.À. Ìàðòûíþê 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6

Управление с запаздыванием энергосистемой при импульсных возмущениях

Institution

Similar Items