Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов
Исследовано структурирование временных рядов (ВР) (в виде окна, фрагмента, сегмента или других структурных частей) и представление отдельного окна в виде 2D тензора Ξ с матрицей Х размерностью m х m (m • m равно числу элементов окна ВР) с последующим определением m-векторов u, v (с отдельными ограни...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 45-66. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115849 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. 2017-04-14T11:10:20Z 2017-04-14T11:10:20Z 2016 Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 45-66. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115849 512.64+517.5/512.643.5; 519.6 Исследовано структурирование временных рядов (ВР) (в виде окна, фрагмента, сегмента или других структурных частей) и представление отдельного окна в виде 2D тензора Ξ с матрицей Х размерностью m х m (m • m равно числу элементов окна ВР) с последующим определением m-векторов u, v (с отдельными ограничениями), которые для заданной матрицы данных X минимизируют критерий ||X-Kr uvT||²F +Pλ(u,v), где trace{(X - uvT)(X - uvT)T}; Pλ(u,v)—штрафная функция; -Kr—символ кронекеровой разности. Векторы u, v рассматриваются как подмножество упорядоченных пар, где вектор v играет роль функции принадлежности (v→[0, 1]). Показана целесообразность применения для этой цели процедуры сингулярной декомпозиции. Подмножество упорядоченных пар {u, v}, рассматриваемое как псевдонечетное множество, представляющее собой 2D тензор с матрицей размерностью 2 x m, позволяет сократить объем хранимой информации (m • m > 2 m), получить скрытые знания в форме спектра сингулярных величин и получить новые возможности для решения задач прогнозирования и идентификации аномалий ВР в результате использования инвариантов тензора. Досліджено структурування часових рядів (ЧР) (у вигляді вікна, фрагменту, сегменту або інших структурних частин) та представлення окремого вікна у формі 2D тензора Ξ с матрицею Х вимірністю m х m (m • m дорівнює кількості елементів вікна ЧР) з подальшим віднаходженням m-векторів u, v (з окремими обмеженнями), які для заданої матриці даних X мінімізують критерій ||X-Kr uvT||²F +Pλ(u,v), де trace{(X - uvT)(X - uvT)T}; Pλ(u,v) — штрафна функція; -Kr — символ кронекерової різниці. Вектори u, v розглядаються як підмножина впорядкованих пар, де вектор v відіграє роль функціі належності (v→[0, 1]). Показано доцільність використання для цієї мети процедури сингулярної декомпозиції. Підмножина впорядкованих пар {u, v}, що розглядається як псевдонечітка множина, яка представляє собою 2D тензор з матрицею вимірністю 2 x m, дозволяє скоротити обсяг інформації, що зберігається (m • m > 2 m), отримати додаткові приховані знання у формі спектра сингулярних величин і отримать нові можливості для розв’язку задач прогнозування та ідентифікації аномалій ЧР в результаті використання інваріантів тензора. A problem of structuring the time series (TS) (in a form of a window, fragment, segment or others structure parts) has been investigated, as well as presentation of a separate window in the form of 2D tensor Ξ with X matrix of dimensionality m x m (m • m is the number of window elements TS) with following determination of m -vectors u, v (with certain restrictions), which for the given matrix of data X minimize a criterion ||X-Kr uvT|²F +Pλ(u,v), where trace{(X - uvT)(X - uvT)T}; Pλ(u,v)— a penalty function, -Kr — a symbol of Kronecker difference. Vectors u, v are considered as a subset of ordered pairs, where vector v plays a role of membership function, i.e. (v →[0, 1]). The expediency of using the procedure of a singular decomposition for this purpose is shown. A subset of ordered pairs {u, v}, considered as psevdo FS, represents 2D tensor with the matrix of dimensionality 2 x m, allows us to shorten a body of stored information (m • m > 2 • m), to obtain hidden knowledge in the form of the spectrum of singular values and to obtain new possibilities in deciding the problems of forecasting and anomaly identifications of TS anomalies as the result of using the tensor invariants. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов Fuzzy Set Features of One-dimensional Time Series Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов |
| spellingShingle |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. Вычислительные процессы и системы |
| title_short |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов |
| title_full |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов |
| title_fullStr |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов |
| title_full_unstemmed |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов |
| title_sort |
нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов |
| author |
Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| author_facet |
Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| topic |
Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet |
Вычислительные процессы и системы |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Fuzzy Set Features of One-dimensional Time Series |
| description |
Исследовано структурирование временных рядов (ВР) (в виде окна, фрагмента, сегмента или других структурных частей) и представление отдельного окна в виде 2D тензора Ξ с матрицей Х размерностью m х m (m • m равно числу элементов окна ВР) с последующим определением m-векторов u, v (с отдельными ограничениями), которые для заданной матрицы данных X минимизируют критерий ||X-Kr uvT||²F +Pλ(u,v), где trace{(X - uvT)(X - uvT)T}; Pλ(u,v)—штрафная функция; -Kr—символ кронекеровой разности. Векторы u, v рассматриваются как подмножество упорядоченных пар, где вектор v играет роль функции принадлежности (v→[0, 1]). Показана целесообразность применения для этой цели процедуры сингулярной декомпозиции. Подмножество упорядоченных пар {u, v}, рассматриваемое как псевдонечетное множество, представляющее собой 2D тензор с матрицей размерностью 2 x m, позволяет сократить объем хранимой информации (m • m > 2 m), получить скрытые знания в форме спектра сингулярных величин и получить новые возможности для решения задач прогнозирования и идентификации аномалий ВР в результате использования инвариантов тензора.
Досліджено структурування часових рядів (ЧР) (у вигляді вікна, фрагменту, сегменту або інших структурних частин) та представлення окремого вікна у формі 2D тензора Ξ с матрицею Х вимірністю m х m (m • m дорівнює кількості елементів вікна ЧР) з подальшим віднаходженням m-векторів u, v (з окремими обмеженнями), які для заданої матриці даних X мінімізують критерій ||X-Kr uvT||²F +Pλ(u,v), де trace{(X - uvT)(X - uvT)T}; Pλ(u,v) — штрафна функція; -Kr — символ кронекерової різниці. Вектори u, v розглядаються як підмножина впорядкованих пар, де вектор v відіграє роль функціі належності (v→[0, 1]). Показано доцільність використання для цієї мети процедури сингулярної декомпозиції. Підмножина впорядкованих пар {u, v}, що розглядається як псевдонечітка множина, яка представляє собою 2D тензор з матрицею вимірністю 2 x m, дозволяє скоротити обсяг інформації, що зберігається (m • m > 2 m), отримати додаткові приховані знання у формі спектра сингулярних величин і отримать нові можливості для розв’язку задач прогнозування та ідентифікації аномалій ЧР в результаті використання інваріантів тензора.
A problem of structuring the time series (TS) (in a form of a window, fragment, segment or others structure parts) has been investigated, as well as presentation of a separate window in the form of 2D tensor Ξ with X matrix of dimensionality m x m (m • m is the number of window elements TS) with following determination of m -vectors u, v (with certain restrictions), which for the given matrix of data X minimize a criterion ||X-Kr uvT|²F +Pλ(u,v), where trace{(X - uvT)(X - uvT)T}; Pλ(u,v)— a penalty function, -Kr — a symbol of Kronecker difference. Vectors u, v are considered as a subset of ordered pairs, where vector v plays a role of membership function, i.e. (v →[0, 1]). The expediency of using the procedure of a singular decomposition for this purpose is shown. A subset of ordered pairs {u, v}, considered as psevdo FS, represents 2D tensor with the matrix of dimensionality 2 x m, allows us to shorten a body of stored information (m • m > 2 • m), to obtain hidden knowledge in the form of the spectrum of singular values and to obtain new possibilities in deciding the problems of forecasting and anomaly identifications of TS anomalies as the result of using the tensor invariants.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115849 |
| citation_txt |
Нечетко множественные характеристики одномерных временных рядов / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 45-66. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT minaevûn nečetkomnožestvennyeharakteristikiodnomernyhvremennyhrâdov AT filimonovaoû nečetkomnožestvennyeharakteristikiodnomernyhvremennyhrâdov AT minaevaûi nečetkomnožestvennyeharakteristikiodnomernyhvremennyhrâdov AT minaevûn fuzzysetfeaturesofonedimensionaltimeseries AT filimonovaoû fuzzysetfeaturesofonedimensionaltimeseries AT minaevaûi fuzzysetfeaturesofonedimensionaltimeseries |
| first_indexed |
2025-11-24T15:46:25Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:46:25Z |
| _version_ |
1850848603552088064 |
| fulltext |
ÓÄÊ 512.64+517.5/512.643.5; 519.6
Þ.Í. Ìèíàåâ, ä-ð òåõí. íàóê
Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, ïð-ò Êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1,
òåë. (044) 2495454, e-mail: min_14@ukr.net),
Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, êàíä. òåõí. íàóê, Þ.È. Ìèíàåâà, êàíä. òåõí. íàóê
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû
(Óêðàèíà, 03037, Êèåâ, Âîçäóõîôëîòñêèé ïð-ò, 31,
òåë.(044) 2486427; 2425462, e-mail: filimonova@nm.ru; jumin@big-mir.net)
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè
îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
Èññëåäîâàíî ñòðóêòóðèðîâàíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ (ÂÐ) (â âèäå îêíà, ôðàãìåíòà, ñåãìåíòà
èëè äðóãèõ ñòðóêòóðíûõ ÷àñòåé) è ïðåäñòàâëåíèå îòäåëüíîãî îêíà â âèäå 2D òåíçîðà � ñ
ìàòðèöåé Õ ðàçìåðíîñòüþ m � m (m � m ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ îêíà ÂÐ) ñ ïîñëåäóþùèì
îïðåäåëåíèåì m-âåêòîðîâ u, v (ñ îòäåëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè), êîòîðûå äëÿ çàäàííîé ìàò-
ðèöû äàííûõ X ìèíèìèçèðóþò êðèòåðèé || || ( , )X uv� �Kr
T
F P u v2
� , ãäå || ||X uv� �Kr
T
F
2
� � �trace{( ) ( ) }X uv X uv
T T T ; P u v� ( , )— øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ; �Kr — ñèìâîë êðîíåêåðîâîé
ðàçíîñòè. Âåêòîðû u, v ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð, ãäå
âåêòîð v èãðàåò ðîëü ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè (v � [0, 1]). Ïîêàçàíà öåëåñîîáðàçíîñòü
ïðèìåíåíèÿ äëÿ ýòîé öåëè ïðîöåäóðû ñèíãóëÿðíîé äåêîìïîçèöèè.
Ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð {u, v}, ðàññìàòðèâàåìîå êàê ïñåâäîíå÷åòíîå ìíî-
æåñòâî, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé 2D òåíçîð ñ ìàòðèöåé ðàçìåðíîñòüþ 2 � m, ïîçâîëÿåò ñîê-
ðàòèòü îáúåì õðàíèìîé èíôîðìàöèè (m � m > 2 m), ïîëó÷èòü ñêðûòûå çíàíèÿ â ôîðìå ñïåêòðà
ñèíãóëÿðíûõ âåëè÷èí è ïîëó÷èòü íîâûå âîçìîæíîñòè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ è
èäåíòèôèêàöèè àíîìàëèé ÂÐ â ðåçóëüòàòå èñïîëüçîâàíèÿ èíâàðèàíòîâ òåíçîðà.
Äîñë³äæåíî ñòðóêòóðóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿä³â (×Ð) (ó âèãëÿä³ â³êíà, ôðàãìåíòó, ñåãìåíòó àáî
³íøèõ ñòðóêòóðíèõ ÷àñòèí) òà ïðåäñòàâëåííÿ îêðåìîãî â³êíà ó ôîðì³ 2D òåíçîðà � ç ìàò-
ðèöåþ Õ âèì³ðí³ñòþ m � m (m � m äîð³âíþº ê³ëüêîñò³ åëåìåíò³â â³êíà ×Ð) ç ïîäàëüøèì â³äíà-
õîäæåííÿì m-âåêòîð³â u, v (ç îêðåìèìè îáìåæåííÿìè), ÿê³ äëÿ çàäàíî¿ ìàòðèö³ äàíèõ X ì³í³-
ì³çóþòü êðèòåð³é || || ( , )X u v� �Kr
T
F P u v2
� , äå || || {( ) ( ) }X uv X uv X uv� � � �Kr traceT
F
T T T2 ;
P u v� ( , ) — øòðàôíà ôóíêö³ÿ, �Kr — ñèìâîë êðîíåêåðîâî¿ ð³çíèö³. Âåêòîðè u, v ðîç-
ãëÿäàþòüñÿ ÿê ï³äìíîæèíà âïîðÿäêîâàíèõ ïàð, äå âåêòîð v â³ä³ãðຠðîëü ôóíêö³³ íàëåæ-
íîñò³ (v � [0, 1]). Ïîêàçàíî äîö³ëüí³ñòü âèêîðèñòàííÿ äëÿ ö³º¿ ìåòè ïðîöåäóðè ñèíãó-
ëÿðíî¿ äåêîìïîçèö³¿.
ϳäìíîæèíà âïîðÿäêîâàíèõ ïàð {u, v}, ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ ÿê ïñåâäîíå÷³òêà ìíîæèíà,
ÿêà ïðåäñòàâëÿº ñîáîþ 2D òåíçîð ç ìàòðèöåþ âèì³ðí³ñòþ 2 �m, äîçâîëÿº ñêîðîòèòè îáñÿã
³íôîðìàö³¿, ùî çáåð³ãàºòüñÿ (m � m > 2 m), îòðèìàòè äîäàòêîâ³ ïðèõîâàí³ çíàííÿ ó ôîðì³
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 45
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà, 2016
ñïåêòðà ñèíãóëÿðíèõ âåëè÷èí ³ îòðèìàòü íîâ³ ìîæëèâîñò³ äëÿ ðîçâ’ÿçêó çàäà÷ ïðîãíîçó-
âàííÿ òà ³äåíòèô³êàö³¿ àíîìàë³é ×Ð â ðåçóëüòàò³ âèêîðèñòàííÿ ³íâàð³àíò³â òåíçîðà.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, âðåìåííîé ðÿä, òåíçîðíàÿ äåêîìïîçèöèÿ,
ñèíãóëÿðíûå âåëè÷èíû, êðîíåêåðîâî ïðîèçâåäåíèå.
Ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû. Ñîâðåìåííûå ïîäõîäû ê ìîäåëèðîâàíèþ ìíîãî-
ìåðíûõ (ìíîãîêîìïîíåííûõ, ìíîãîôàêòîðíûõ) ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé â
çíà÷èòåëüíîé ìåðå îñíîâàíû íà ñâîéñòâàõ îäíîìåðíûõ (îäíîêîìïîíåò-
íûõ) ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé ñ ó÷åòîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ òåíçîðíûõ
äåêîìïîçèöèé (ïðîåêöèîííûå ìåòîäû)[1]. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò âûäå-
ëÿòü â áîëüøèõ ìàññèâàõ äàííûõ ñêðûòûå çíàíèÿ, ñóùåñòâóþùèå â èçó-
÷àåìîé ñèñòåìå èëè ïðîöåññå. Èñòîðè÷åñêè ñëîæèëîñü òàê, ÷òî àíàëèç
ìíîãîìåðíûõ è ñâåðõáîëüøèõ îáúåìîâ îäíîìåðíûõ äàííûõ (ñîâðåìåí-
íûé ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ è àíàëèçó ñëîæíûõ ïðîöåññîâ, îáúåêòîâ è
ñèñòåì, ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå Chemometrics) îáÿçàí ñâîèì ïîÿâëåíèåì
àíàëèòè÷åñêîé õèìèè. Îäíàêî â íàñòîÿùåå âðåìÿ îí ìíîãîêðàòíî ïåðåðîñ
ãðàíèöû îòðàñëè è ñòàë ïîâñåìåñòíî ïðèìåíÿåìûì ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ
îáëàñòÿõ è ñôåðàõ óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè, òðåáóþùèìè îáðàáîòêè áîëü-
øèõ ìàññèâîâ èíôîðìàöèè.
Îñîáûé èíòåðåñ â íàñòîÿùåå âðåìÿ âûçûâàåò àíàëèç òðàôèêà êîìïüþ-
òåðíûõ ñåòåé (ÊÑ), õàðàêòåðíûìè îñîáåííîñòÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âû-
ñîêàÿ ìåðíîñòü, ñâåðõáîëüøîé îáúåì îáðàáàòûâàåìîé èíôîðìàöèè, òðóä-
íîñòè ïîëó÷åíèÿ ñåìàíòè÷åñêîé îöåíêè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû è âîçìîæíîñòü
ïðèõîäà íåæåëàòåëüíîé èëè âðàæäåáíîé èíôîðìàöèè. Òàêàÿ èíôîðìàöèÿ,
ïðàêòè÷åñêè ñêðûòàÿ îò ðåàëüíîãî íàáëþäåíèÿ, â ñîñòîÿíèè ïîëíîñòüþ
ëèøèòü ñèñòåìó (ñåòü) âîçìîæíîñòè âûïîëíåíèÿ åþ ôóíêöèîíàëüíûõ çà-
äà÷ èëè äàæå ðàçðóøèòü. Âåñüìà âàæíûì ÿâëÿåòñÿ îáñòîÿòåëüñòâî, ñâÿ-
çàííîå ñ ðàçíîðîäíîñòüþ ïåðåäàâàåìûõ äàííûõ. Ïðè ïîïûòêå îãðàíè÷èòü
èññëåäîâàíèå òîëüêî ÷èñëîâûìè ôîðìàòàìè (áàéòû, ïàêåòû, ïîòîêè) óìåíü-
øàåòñÿ ðàçìåðíîñòü çàäà÷è, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåäîïóñòèìîé ïîòåðåé èíôîð-
ìàöèè, è ìîæåò ïðèâåñòè ê íåïðåäñêàçóåìûì ïîñëåäñòâèÿì.
Àíàëèç òðåõìåðíûõ èëè ìíîãîìåðíûõ ðÿäîâ — ñëîæíàÿ çàäà÷à. Ïðè
àíàëèçå òðàôèêà åå ïûòàþòñÿ ðåøèòü ïîñðåäñòâîì àíàëèçà ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè îäíîìåðíûõ ðÿäîâ. Îäíàêî â óñëîâèÿõ ãèïåðòðîôèðîâàííûõ îáúåìîâ
ýòî íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïîëíîöåííóþ ïåðâè÷íóþ èíôîðìàöèþ, â ÷àñò-
íîñòè ñêðûòóþ èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ ñîäåðæèòñÿ â ìíîãîìåðíûõ ìàññèâàõ.
Îñíîâíûå çàäà÷è àíàëèçà ìíîãîìåðíûõ è ñâåðõáîëüøèõ îáúåìîâ äàííûõ
îïðåäåëÿþòñÿ öåëüþ, ïîñòàâëåííîé èññëåäîâàòåëåì. Â òðàôèêå ÊÑ òàêîé
çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ èäåíòèôèêàöèÿ àíîìàëèé âðåìåííûõ ðÿäîâ (ÂÐ), òàê êàê
âûÿâëåíèå ñêðûòûõ çíàíèé — åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü èäåíòèôèöèðî-
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
âàòü àíîìàëèþ. Íåôîðìàëüíî ñêðûòûå çíàíèÿ — ýòî ïåðñîíàëüíîå çíà-
íèå, ïðèîáðåòàåìîå èíäèâèäóàëüíûì îïûòîì. Ýòî çíàíèå ìîæíî ïåðåäàòü
ïîñðåäñòâîì ïðÿìîãî êîíòàêòà «ñ ãëàçó íà ãëàç» èëè ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëü-
íûõ ïðîöåäóð èçâëå÷åíèÿ çíàíèé, ñâÿçàííûõ, êàê ïðàâèëî, ñ ïðåîáðàçîâà-
íèåì èñõîäíûõ äàííûõ.
Ôîðìàëüíî â ëèòåðàòóðå ïî èíòåëëåêòóàëüíîìó àíàëèçó äàííûõ (Data
Mining) ïîä ñêðûòûìè çíàíèÿìè ïîíèìàþò çíàíèÿ c òàêèìè ñâîéñòâàìè:
ðàíåå íå èçâåñòíûå, ò.å. òàêèå, êîòîðûå äîëæíû áûòü íîâûìè (à íå
ïîäòâåðæäàþùèìè êàêèå-òî ðàíåå ïîëó÷åííûå ñâåäåíèÿ);
íåòðèâèàëüíûå, ò.å. òàêèå, êîòîðûå íåëüçÿ ïðîñòî óâèäåòü (ïðè íå-
ïîñðåäñòâåííîì âèçóàëüíîì àíàëèçå äàííûõ èëè ïðè âû÷èñëåíèè ñòàòèñ-
òè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê);
ïðàêòè÷åñêè ïîëåçíûå, ò.å. òàêèå, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò öåííîñòü äëÿ
èññëåäîâàòåëÿ èëè ïîòðåáèòåëÿ;
äîñòóïíûå äëÿ èíòåðïðåòàöèè, ò.å. òàêèå, êîòîðûå ëåãêî ïðåäñòàâèòü â
íàãëÿäíîé äëÿ ïîëüçîâàòåëÿ ôîðìå è ëåãêî îáúÿñíèòü â òåðìèíàõ ïðåä-
ìåòíîé îáëàñòè.
Ïîëó÷èòü ñêðûòûå çíàíèÿ ïðèìåíèòåëüíî ê ÂÐ ìîæíî:
ìîäåëèðîâàíèåì ñòðóêòóðû ÂÐ;
ðåøåíèåì çàäà÷ êëàññèôèêàöèè (íàïðèìåð, èäåíòèôèêàöèÿ àíîìàëèé,
ïðèâîäèìûõ ê çàäà÷àì êëàññèôèêàöèè), ðàññìàòðèâàåìûõ â óñëîâèÿõ íå-
ïîëíîé èíôîðìàöèè;
ðåøåíèåì çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ÊÑ (â òîì ÷èñëå ðàííèé
ïðîãíîç àíîìàëèè), îñîáåííî ñ ó÷åòîì ÿâëåíèÿ ñàìîïîäîáèÿ.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òåíçîðíûå ìîäåëè ÂÐ è ìåòîäû èõ äåêîìïîçè-
öèè êàê ãëàâíûé èíñòðóìåíòàðèé ïîëó÷åíèÿ ñêðûòûõ çíàíèé.
Èññëåäîâàíèå è àíàëèç ìíîãîêîìïîíåíòíûõ è ñâåðõáîëüøèõ äàííûõ,
â òîì ÷èñëå ÂÐ, èñòîðè÷åñêè ñâÿçàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ãëàâíûõ
êîìïîíåíò [2]. Ýòî — ïåðâûé è íàèáîëåå ïðèìåíÿåìûé ìåòîä àíàëèçà ÂÐ,
êîòîðîìó ïîñâÿùåíî áîëüøîå ÷èñëî ðàáîò. Îäíàêî ñëîæíîñòü âîçíèêàþ-
ùèõ çàäà÷ çàñòàâëÿåò èñêàòü íîâûå ìåòîäû àíàëèçà. Öåëåñîîáðàçíîñòü
òàêîãî ïîèñêà íàèáîëåå ïîëíî ïðåäñòàâëåíà â ðàáîòàõ [3, 4] îá èçâëå÷åíèè
çíàíèé ÷åðåç ìàòðè÷íûå (òåíçîðíûå) äåêîìïîçèöèè (ÒÄ).
 ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèé óñòàíîâëåíî, ÷òî â äàííîì íàó÷íîì íà-
ïðàâëåíèè íåäîñòàòî÷íî èçó÷åíû ñëåäóþùèå âîïðîñû:
ñâÿçü ÒÄ ñ òåîðèåé íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (ÍÌ), òàê êàê îêíî (ôðàãìåíò)
ÂÐ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî íå òîëüêî òåíçîðîì, íî è ïîäìíîæåñòâîì
óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñî ñâîéñòâàìè ÍÌ;
àíàëèç îäíîìåðíûõ ÂÐ, òàê êàê, ðàññìàòðèâàÿ îáúåêò â ñòðóêòóðå
îêíî-ôðàãìåíò-ñåãìåíò-ðÿä íà óðîâíå ïðåäñòàâëåíèÿ îêíà ÂÐ 2D òåíçî-
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 47
ðîì ïðè ó÷åòå ìàññèâà ôðàãìåíòîâ (ðÿäà), â ðÿäå ñëó÷àåâ ñ íåîáõîäè-
ìîñòüþ ïðèõîäèì ê ìíîãîìåðíîìó 3D òåíçîðó.
Ïîêàæåì âîçìîæíîñòü ñîâìåñòíîãî ïðèìåíåíèÿ ÒÄ è àíàëèçà ÍÌ äëÿ
ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîìåðíîãî ÂÐ. Ýòî ìîæåò ïîìî÷ü â ïîèñêå íîâûõ çíà-
íèé, â ÷àñòíîñòè íîâûõ ïðèçíàêîâ èäåíòèôèêàöèè àíîìàëèé â ìíîãîìåð-
íîì òðàôèêå, õîòÿ âîçìîæíîñòè ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà çíà÷èòåëüíî øèðå
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Çàìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [5] ïîêàçàíà ýôôåêòèâ-
íîñòü ïðèìåíåíèÿ èíâàðèàíòîâ 2D òåíçîðîâ, ìîäåëèðóþùèõ ÂÐ, äëÿ ðå-
øåíèÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü çàäàí îäíîìåðíûé ÂÐ X
( ) { ( )}t
ix t� , i N�1, ,
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ôðàãìåíòîâ { ( )}( )X t
j
t
i , i I�1, , j f�1, . Êàæäûé
ôðàãìåíò ñîñòîèò èç îêîí ( ) ( )k
ix t , i I x�1, , k f�1, , ãäå f — ÷èñëî îêîí âî
ôðàãìåíòå: X x t
j
t k
i k
f( ) ( ){ ( )}� �1, X
( ) ( ){ }t
j
t
j
JX� �1. Ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
4
2
4
2
100 200 300 400 500 50 100 150 200 250 t50 100 150 200
1
0,5
X ( )t
a á â
0 0 0
Ðèñ. 1. Èñõîäíûé (à), íîðìàëüíûé (á) è àíîìàëüíûé (â) ôðàãìåíòû ÂÐ
105 15 20 25
W ST N 1
1
0,5
105 15 20 25
W ST N 2
1
0,5
105 15 20 25
W ST N 3
1
0,5
105 15 20 25
W ST N 4
1
0,5
5 15 20 2510
W ST N 5
1
0,5
0 0 0
00
Ýëåìåíòû
Ýëåìåíòû
Ðèñ. 2. Ïîñëåäîâàòåëüíûå îêíà ÂÐ â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè (ïåðâûå ïÿòü îêîí)
ìàòðèöèçàöèè ïðåäñòàâèì îêíî (èëè ôðàãìåíò) ÂÐ â âèäå òåíçîðà ñ ìàò-
ðèöåé m � n, ò.å. x t Ti x( )� = reshape (x ti( ), m, n), m � n = I x .  îáùåì ñëó÷àå
m � n, îäíàêî ïðåäïî÷òåíèå îòäàäèì ñëó÷àþ m = n, òàê êàê ïðè ýòîì ïîÿâ-
ëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè íàõîæäåíèÿ íîâûõ çíàíèé (ïðèçíà-
êîâ) è ñóùåñòâåííî óìåíüøàåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷è. Êðî-
ìå òîãî, ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ òðåíäà äëÿ âñåãî ñïåêòðà
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ò.å. òðåíäà îòäåëüíûõ èíâàðèàíòîâ òåíçîðíûõ ìî-
äåëåé ÂÐ, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâåííî èçìåíèòü ïðåäñòàâëåíèå î ïîâåäåíèè (â
òîì ÷èñëå òðåíäå) èñõîäíîãî ÂÐ è îòêðûâàåò îïðåäåëåííûå òåõíè÷åñêèå
âîçìîæíîñòè ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷.
Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåí ïðèìåð ðåàëüíîãî ÂÐ è äâóõ åãî ôðàãìåíòîâ, îäèí
èç êîòîðûõ ñîäåðæèò âíåäðåííûå àíîìàëèè, à íà ðèñ. 2 è 3 — îêíà
ôðàãìåíòîâ ÂÐ è èõ òåíçîðíûå ìîäåëè (â äàííîì ñëó÷àå 2D ìàòðèöû).
Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû äâà ñïîñîáà àíàëèçà ÂÐ. Ïåðâûé ñïîñîá (ðèñ. 4, à) —
âñå ïîñëåäîâàòåëüíûå îêíà (ñåãìåíòû èëè ôðàãìåíòû) ÂÐ, èìåþùèå ðàç-
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 49
Ðèñ. 3. Òåíçîðíûå (2D ìàòðè÷íûå) ìîäåëè ïîñëåäîâàòåëüíûõ îêîí ÂÐ (à) è èõ ïðåäñòàâëå-
íèå ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû bar3 ([xt1(:, :, 1) xt1(:, :, 2) xt1(:, :, 3) xt1(:, :, 4) xt1(:, :, 5)],’w’) (á)
xt1 (:, :, 1) = xt1 (:, :, 2) = xt1 (:, :, 3) =
0 19 0 70 0 50 0 66 0 73
0 68 0 38 0 90 0 34 0 31
0 30 0 86 0
, , , , ,
, , , , ,
, , ,82 0 29 0 84
0 54 0 85 0 64 0 34 0 57
0 15 0 59 0 82 0 53 0 37
, ,
, , , , ,
, , , , ,
0 70 0 79 0 98 0 14 0 66
0 55 0 96 0 27 0 01 0 28
0 44 0 52 0
, , , , ,
, , , , ,
, , ,25 0 89 0 47
0 69 0 88 0 88 0 20 0 06
0 62 0 17 0 74 0 30 0 99
, ,
, , , , ,
, , , , ,
0 58 0 23 0 21 0 57 0 42
0 42 0 58 0 38 0 79 0 30
0 52 0 76 0
, , , , ,
, , , , ,
, , ,78 0 06 0 87
0 33 0 53 0 68 0 60 0 02
0 43 0 64 0 46 0 05 0 77
, ,
, , , , ,
, , , , ,
xt1 (:, :, 4) = xt1 (:, :, 5) =
0 97 0 21 0 41 0 68 0 21
0 99 0 64 0 74 0 21 0 61
0 79 0 32 0
, , , , ,
, , , , ,
, , ,27 0 84 0 63
0 44 0 96 0 44 0 63 0 37
0 50 0 73 0 93 0 13 0 58
, ,
, , , , ,
, , , , ,
0 45 0 38 0 61 0 06 0 08
0 04 0 68 0 02 0 37 0 45
0 03 0 09 0
, , , , ,
, , , , ,
, , ,02 0 63 0 44
0 31 0 04 0 19 0 72 0 35
0 01 0 61 0 59 0 69 0 15
, ,
, , , , ,
, , , , ,
W ST N 1
1
0,5
0
W ST N 2 W ST N 3 W ST N 4 WT NS 5
1
1
3
35 5
1
0,5
0
1
1
3
3
5 5
1
0,5
0
1
1
3
3
5 5
1
0,5
0
1
1
3
3
5 5
1
0,5
0
1
1
3
35 5
à
á
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
Òåíçîð-îêíî 1 Òåíçîð-îêíî 2 Òåíçîð-îêíî n
. . .
Âåñü ÂÐ, ïðåäñòàâëåííûé òåíçîðîì ñ ìàòðèöåé n m�
×àñòè ÂÐ, ïðåäñòàâëåííûå òåíçîðîì ñ ìàòðèöåé n m�
Èñõîäíûé ÂÐ
(1 : 250)Àãðåãèðîâàííûé ÂÐ
(1 :10 : 250)
Òåíçîð-îêíî 1 Òåíçîð-îêíî 2 Òåíçîð-îêíî n
. . .
Ïîñëåäîâàòåëüíûå îêíà ÂÐ,
ïðåäñòàâëåííûå òåíçîð ìè ñ ìàòðèöàìèa n m�
Èñõîäíûé ÂÐ
(1 : 250)
4
3
2
1
0
4
3
2
1
0
0 150 200
0 150 200 250
a
á
x
t
5
Ðèñ. 4. Ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ äèíàìèêè ÂÐ: a — ñîâîêóïíîñòü àãðåãèðîâàííûõ ñåãìåí-
òîâ ( 1:25, 1:2:50, 1:3:75, …, 1:10:250); á — ñîâîêóïíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ îêîí ðàâíîé
äëèíû (ïåðâîå îêíî — l1 = m � n ýëåìåíòîâ, âòîðîå îêíî — l2 = m � n ýëåìåíòîâ, …..)
ëè÷íóþ äëèíó, ïðåäñòàâëÿþòñÿ òåíçîðàìè îäíîé ðàçìåðíîñòè. Âòîðîé
ñïîñîá (ðèñ. 4, á) îðèåíòèðîâàí íà ïðåäñòàâëåíèå ÂÐ êàê ñîâîêóïíîñòè
ïîñëåäîâàòåëüíûõ îêîí ðàâíîé äëèíû. Îáà ñïîñîáà ïðèãîäíû äëÿ èññëå-
äîâàíèÿ äèíàìèêè ÂÐ. Çàìåòèì, ÷òî ñðàâíåíèå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íàè-
áîëåå öåëåñîîáðàçíî ïðîâîäèòü â óñëîâèÿõ, êîãäà îíè èìåþò îäèíàêîâûå
ðàçìåðíîñòè. Òåíçîðû ñ ìàòðèöàìè ðàçëè÷íîé ðàçìåðíîñòè ìîãóò áûòü
ïðèâåäåíû ê òåíçîðàì ñ ìàòðèöàìè îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè ñ ïîìîùüþ
êðîíåêåðîâà ïðîèçâåäåíèÿ (ÊÏ) [6].
Åñëè ÷èñëî îêîí âî ôðàãìåíòå ÂÐ ðàâíî f, îêíó c íîìåðîì j ñîîòâåòñò-
âóåò òåíçîð-îêíî td (:, :, j), òî áëî÷íî-äèàãîíàëüíûé òåíçîð ôðàãìåíòà ÂÐ
èìååò âèä
TdN
td
td
td f
�
[ (:,:, )]
[ (:,:, )]
[ (:,:, )]
1 0
0 2 0
0 0
0
� �
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíûé òåíçîð âñåãî ÂÐ, íî ýëå-
ìåíòàìè äèàãîíàëè ÿâëÿþòñÿ òåíçîðû ôðàãìåíòà ÂÐ, â òî âðåìÿ êàê â ïåð-
âîì ñëó÷àå (ñì. ðèñ. 4, à) — òåíçîðû îêíà ÂÐ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñîâîêóï-
íîñòü 2D ìàòðèö-îêîí, ïðåäñòàâëÿþùèõ, íàïðèìåð, ôðàãìåíò ÂÐ, ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ñîâîêóïíîñòü ñëàéñîâ 3D òåíçîðà (ðèñ. 5).
Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî ó÷åò ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ îäíîìåðíîé çà-
äà÷è, â ÷àñòíîñòè èåðàðõè÷åñêè ñòðóêòóðèðîâàííîãî ÂÐ ïî ñõåìå îêíî-
ôðàãìåíò-ñåãìåíò-âåñü ÂÐ, ïðè óñëîâèè ïðåäñòàâëåíèÿ îêíà ÂÐ 2D òåí-
çîðîì òàêæå ïðèâîäèò ê ìíîãîìåðíûì òåíçîðàì. Ïóñòü îäíîìåðíûé ÂÐ èç
N ýëåìåíòîâ X xi i� �{ } 1
300 íàäî ïðåäñòàâèòü â âèäå òåíçîðíîé ìîäåëè, ñîñ-
òîÿùåé èç f ôðàãìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò k îêîí, ñîñòîÿùèõ
èç m ýëåìåíòîâ êàæäîå. Ýòî ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîé
ïðîöåäóðû Ìàòëàá (ðèñ. 6).
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 51
Òåíçîð-îêíî 1Òåíçîð-îêíî 2 Òåíçîð-îêíî n
. . .
. . .
Òåíçîð-îêíî 1
3 òåíçîðD
Ñîâîêóïíîñòü ìàòðèö2D
Òåíçîð-îêíî 2
Òåíçîð-îêíî n
Ðèñ. 5. Ìîäåëèðîâàíèå ñîâîêóïíîñòè 2D ìàòðèö 3D òåíçîðîì
Òåíçîðíàÿ ìîäåëü ñîñòîèò èç 2D ìàòðèö gt (:, :, 1:3, 1:4) ðàçìåðíîñòüþ
5� 5: ïåðâàÿ ìàòðèöà — gt (:, :, 1, 1), âòîðàÿ — gt (:, :, 2, 1), …, 12-ÿ — gt (:, :, 3,
4), îáùåå ÷èñëî ìàòðèö — 12. Íî ìàññèâ, èìåþùèé ÷åòûðå ðàçìåðíîñòè,
èíòåðïðåòèðóåòñÿ ñòàíäàðòíûì Ìàòëàáîì êàê îòëè÷íûé îò äâóõìåðíîãî.
Ê åãî îáðàáîòêå íå ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ìåòîäû è ìîäåëè Ìàòëàá,
îðèåíòèðîâàííûå íà 2D ìàòðèöû.
Âûñîêîïîðÿäêîâîå âíåøíåå ïðîèçâåäåíèå íåïîñðåäñòâåííî íå ïîä-
äåðæèâàåòñÿ â Ìàòëàá, íî ìîæåò áûòü èìïëåìåíòèðîâàíî. Íàïðèìåð,
X � a b c� � ìîæåò âû÷èñëÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóð Ìàòëàá: X = reshape
(kron (kron (c, b), a), I, J, K), ãäå I, J è K — äëèíû âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâåííî a,
b è c [7]. Ñ ïîìîùüþ Tensor Toolbox è ñâîéñòâà Kruskal-òåíçîðà, ýòî
ìîæåò áûòü ñäåëàíî òàê: X = full (ktensor (a, b, c)). Màòðèöèçàöèÿ òåíçîðà
âûïîëíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóð ïåðåñòàíîâîê è âîññòàíîâëåíèÿ ôîð-
ìû ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð:
X = rand(5,6,4,2); R = [2 3]; C = [4 1]; I = size(X); J = prod(I(R)); K = prod(I(C));
Y = reshape(permute(X,[R C]),J,K); % convert X to matrix Y;
Z = ipermute(reshape(Y,[I(R) I(C)]),[R C]); % convert back to tensor;
Ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (ïñåâäîÍÌ) êàê ñïîñîá ïðåä-
ñòàâëåíèÿ îêîí è ôðàãìåíòîâ ÂÐ. Ôîðìóëèðîâêà èäåè, ìàòåìàòè÷åñ-
êèé àïïàðàò [8]. Äëÿ çàäàííîé ìàòðèöû äàííûõ X íåîáõîäèìî íàéòè
n-âåêòîðû u, v (ó êîòîðûõ âîçìîæíî, íî íå îáÿçàòåëüíî, u �1). Îíè ìè-
íèìèçèðóþò êðèòåðèé || || ( , )X uv� �Kr
T
F P u v2
� , ãäå
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
Ðèñ. 6. Ïðèìåð ôîðìèðîâàíèÿ ÷åòûðåõìåðíîãî òåíçîðà ñ ó÷åòîì ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ
çàäà÷è: N = 300, f = 4, k = 3, m = 25 (N = f k m )
|| || {( ); ( ) } (X uv X uv X uv� � � � �
� �
� �Kr traceT
F
T T T
i
n
j
n
x2
1 1
ij i ju v� )2;
P u v�( , )�
� �
�
j n i n
n
j iP u v
1 1, ; ,
(| |, | |)� — øòðàôíàÿ ôóíêöèÿ; �Kr — ñèìâîë êðîíå-
êåðîâîé ðàçíîñòè; [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]A B A 1 1 Bm
m
n m� � �Kr è [ ],[ ]1 1n m , — åäèíè÷íûå
ìàòðèöû ðàçìåðíîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî n n� è m m� . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî
ìàòðèöû X, uvT ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íûå ðàçìåðíîñòè, ÷òî îáóñëîâëèâàåò
èñïîëüçîâàíèå êðîíåêåðîâîé ðàçíîñòè äëÿ èõ ñîãëàñîâàíèÿ.
Ñïîñîá ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è èçâåñòåí — àïïðîêñèìàöèÿ èñõîäíîãî
ìíîæåñòâà äàííûõ (ÌÄ), ðàññìàòðèâàåìîãî êàê òåíçîð ( â îáùåì ñëó÷àå
ìíîãîìåðíûé ìàñèâ) òàê íàçûâàåìûìè òåíçîðíûìè ðàçëîæåííèÿìè [9,
10], â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûìè ñèíãóëÿðíàÿ äåêîìïîçèöèÿ (SVD) m�n-
ìàòðèöû èìååò âèä X � � � �� � �1 1 1 2 2 2u v u v u vT T
r r r
T... , ñèíãóëÿðíûå âåëè-
÷èíû � � �1 2, ,..., r óïîðÿäî÷åíû: � � �1 2 0� � � �... r è � �i i� , ãäå � i —
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ XX
T. Âåêòîðû u1, v1, u2, v2,…, ur, vr — îðòîãîíàëüíû
r = rank (B) � min (m, n). Äëÿ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé ìîæíî îãðàíè-
÷èòüñÿ ìåíüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ðàçëîæåíèÿ, â ÷àñòíîì ñëó÷àå — îä-
íèì. Åñëè îêíî (ôðàãìåíò) ÂÐ { }x i i
I x
�1 àïïðîêñèìèðîâàí ïîäìíîæåñòâîì
óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (ÓÏ) (�1 1 1u vT, ), ïðåäñòàâëåííûì â âèäå ÊÏ�1 1 1u vT� ,
òî ìîæíî côîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó ïîèñêà áëèæàéøåãî ïîäìíîæåñòâà ÓÏ
x x
T�� , min
,x
T
x
T
F
x x
u v x
� �
� � �
X � �
� �1 1 1
2
, êîòîðîå èìååò ñåìàíòèêó ÍÌ, ò.å.
�x
T � [0, 1], õîòÿ ïîíÿòèå çíà÷èìîñòè õ â ñîñòàâå Õ óñëîâío.
Çàìåòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ÍÌ ~ { / }x x x� � ,�x � [ , ]0 1 , x U u� �{ }â âè-
äå òåíçîðíîé (êðîíåêåðîâîé) ãðàíóëû, ïðåäëîæåííîå â ðàáîòàõ [11—13] êàê
îäèí èç ýëåìåíòîâ ãðàíóëÿðíîãî êîìïüþòèíãà, îòêðûâàåò íîâûå âîçìîæ-
íîñòè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè.
Òåíçîðíûå àïïðîêñèìàöèè. Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè [14, 15] ìíî-
ãîìåðíûé ìàññèâ íàçûâàþò òåíçîðîì. Äàí k-ïîðÿäêîâûé òåíçîð A� � �
�
d dk1 ...
.
Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü âåêòîðû x i
d�� 1,y i
d�� 2 , ..., z i
dk�� , i = 1, ..., r,
�
d dk1� �...
, �
m n� , A� �
�
m n òàêèå, êîòîðûå ìèíèìèçèðóþò âûðàæåíèå
A � � � � � � � � �x y z x y zr r r1 1 1� � � , èëè argmin
( )rank� �
�
B r
A B . Çäåñü �
îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ íîðìó íà �
d dk1� �...
.  ñëó÷àå k = 2 ïðîáëåìà ïîë-
íîñòüþ ðåøåíà äëÿ óíèòàðíî èíâàðèàíòíîé íîðìû íà �
m n� â ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé Ýêêàðòà— Þíãà, â êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ ñëåäóþùåå: åñëè
A U V
A
� �� � �
�
�
i
i i i
u v
1
rank( )
, � �i i� �1, åñòü ñèíãóëÿðíàÿ äåêîìïîçèöèÿ
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 53
A� �
�
m n , òî ëó÷øàÿ ðàíã-r àïïðîêñèìàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðâûìè r
òåðìàìè â ïðèâåäåííîé âûøå ñóììå. Ëó÷øàÿ ðàíã-r àïïðîêñèìàöèÿ âû-
ñîêîïîðÿäêîâûõ òåíçîðîâ ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìîé îñîáîé âàæíîñòè â ìíîãî-
ìåðíîì àíàëèçå äàííûõ.
 ðàáîòå [16] ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÍÌ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî
îáû÷íîå ÷åòêîå ìíîæåñòâî (×Ì), ðàñïîëîæåííîå íà íàèìåíüøåì ðàññòîÿ-
íèè îò íåãî, ò.å. èìåþùåå íàèìåíüøóþ íîðìó (ïî îòíîøåíèþ ê íîðìå ÍÌ,
èëè íàèìåíåå óêëîíÿþùóþñÿ îò íîðìû ÍÌ, A A
F F
2 2
�
~
, ãäå
~
A — ÍÌ,
�
F
2
— êâàäðàò ôðîáåíèóñîâîé íîðìû, � � �
F
T2
trace ( )A A ). Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ðåøåíèå, íàïðèìåð, çàäà÷è A A� �
~
min
F
2
ïîçâîëÿåò íà îñíîâàíèè
ÍÌ ,
~
[ ]A= ai
a
i
ni� �1, �ai � [ , ]0 1 âû÷èñëèòü ×Ì A = ai
a
i
ni[ ]� �1, �ai� {0 or 1},
ãäå �ai — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ); �ai — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíê-
öèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ÍÌ è ×Ì ïðåäñòàâëåíû åäèíîîáðàçíî, íàïðèìåð êàê ïîä-
ìíîæåñòâà ÓÏ, ò.å. â âèäå ìàòðèöû ðàçìåðíîñòüþ 2�n èëè ìàòðèöû, ïîëó-
÷åííîé êàê ÊÏ âåêòîðîâ: ( )a
a�� èëè ( )a
a�� ðàçìåðíîñòüþ n n� .
 ðàáîòå [17] ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè � �
� � �E B M
F
2
ìîæåò áûòü âûïîëíåíî, åñëè èñïîëüçîâàòü îïåðàòîð âåê-
òîðèçàöèè vec, ò.å. îïåðàòîð ïîêîëîíêîâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðèöû. Åñëè
A — ìàòðèöà m � n, òî vec (A) = [ a (:, 1), a (:, 2), ..., a (:, n)], ãäå a (:, j) — j-ÿ
êîëîíêà ìàòðèöû A, j = 1, n, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ìèíèìèçàöèè �
êàê àïïðîêñèìàöèîííîé ïðîáëåìû. Èäåÿ ïðåîáðàçîâàòü ìàòðèöó E â äðó-
ãóþ ìàòðèöó �E, òàêóþ, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ, âîçíèêàþùàÿ â E B M� �
F
2
òî÷íî òàêàÿ æå, êàê ñóììà êâàäðàòîâ â � ( ) ( )E B M� �vec vec T
F
2
, ïðåäëîæå-
íà â ðàáîòå [17].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíî ÍÌ ~ [ / ]a= ai
a mi� 1 , ~a E� , ãäå Å — óíèâåð-
ñàëüíîå ìíîæåñòâî (ÓÌ); m —÷èñëî �-óðîâíåé. Ïðè ýòîì m n n� � ; ÔÏ —
�ai � [0,1]; ïîäìíîæåñòâî ÓÏ [ ]ai
a mi� 1 çàäàåòñÿ ýêñïåðòíî. Ïðåäñòàâèì
ÓÌ, íà êîòîðîì çàäàíî ÍÌ ~a E� , â âèäå òåíçîðà ñ ìàòðèöåé n n� :
[ : : ] { } [ ]min max ( , , )
,E E e eE j
m E n n
ij i j� � � ����� �1
reshape
1, n .
 ðàáîòå [17] ïîêàçàíî, ÷òî åñëè A� �
�
m n ïðè m = m1 m2 è n = n1 n2 è
B� �
�
m n1 1 , C� �
�
m n2 2 , òî A B C A B C� � � � �
F
T
F
( ) ( ) ( )vec vec . Åñëè
� ( )A A� èìååò ñèíãóëÿðíóþ äåêîìïîçèöèþ U AV
T
i=� � � ! "diag � , ãäå
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
C� �
�
m n2 2 , �1 — íàèáîëüøàÿ ñèíãóëÿðíàÿ âåëè÷èíà U (:, 1), à V (:, 1) —
ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû, òî ìàòðèöû B� �
�
m n1 1 è C� �
�
m n2 2 , îïðåäåëåííûå â
âèäå vec (B) = �1 U (:, 1) è vec (C) = V (:, 1), ìèíèìèçèðóþò A B C� �
F
.
Ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå èìååò òîò ôàêò, ÷òî åñëè m = m1 m2 , n = n1 n2 è
A� �
�
m n , C� �
�
m n2 2 çàäàíû, òî ìàòðèöà B = [bij], B� �
�
m n1 1 , ýëåìåíòû
êîòîðîé îïðåäåëåíû â âèäå
bij
ij
T
T
�
tr
tr
( )
( )
A C
C C
, 1 1� �i m , 1 1� �j n ,
ìèíèìèçèðóåò âûðàæåíèå A B C� �
F
, ãäå Aij = A ((i – 1) m2 + 1 : i � m2, j –
�1, n2 + 1 : j � n2. Àíàëîãè÷íî, åñëè ìàòðèöà B� �
�
m n1 1 ôèêñèðîâàíà, òî
ìàòðèöà C� �
�
m n2 2 , îïðåäåëåííàÿ â âèäå
cij
ij
T
T
�
tr
tr
( )
( )
�
A B
B B
, 1 2� �i m , 1 2� �j n ,
ìèíèìèçèðóåò âûðàæåíèå A B C� �
F
, ãäå
�
A ij = A (i : m2 : m, j : n2 : n).
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò íà îñíîâàíèè çàäàííîãî ÓÌ âû-
÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ (ïî Ô-íîðìå) ÔÏ èëè äëÿ ýêñïåðòíî âûáðàííîé ÔÏ
îïðåäåëèòü ðàöèîíàëüíóþ âåëè÷èíó ÓÌ. Ñõåìà ïðîöåäóðû ñèíãóëÿðíîé
äåêîìïîçèöèè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 7.
Îïðåäåëåíèå ÍÌ
~
F ïðåäïîëàãàåò ðåàëèçàöèþ äâóõ ïðîöåäóð:
1) çàäàíèå óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà #;
2) îòîáðàæåíèå èç # â åäèíè÷íûé èíòåðâàë, ò.å. � ~:
F
# $%&'(� .
Âåëè÷èíà � )~( )
F
äëÿ ) � # — ñóáúåêòèâíàÿ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè
ýëåìåíòà ) � # ÍÌ
~
F è âûðàæàåò ñòåïåíü ñîâìåñòèìîñòè çíà÷åíèÿ (èëè
îáúåêòà) )�# ñ ïîíÿòèåì
~
F. Åñëè# = R åñòü ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, òî
~
F — íå÷åòêàÿ âåëè÷èíà.  ñâîþ î÷åðåäü, ïðåäñòàâëåíèå ëþáîãî
ÓÌ (îäíîìåðíîãî ìàññèâà), â ÷àñòíîñòè#, ïðè ïîìîùè ïðîöåäóðû ñèíãó-
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 55
x x x n( ) ( ) ( )1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
*
+
,
,
,
-
.
�
/
/
/
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
X
� �
�u u u n( ) ( ) ( )1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
*
+
,
,
,
-
.
/
/
/
�
U
� �
� 1
�
�
2
1
2
�
� �
�
n
n
v
v
v
*
+
,
,
,
,
-
.
/
/
/
/
�
*
+
,
�
[ ]
[ ]
[ ]
( )
( )
( )
,
,
,
-
.
/
/
/
/
U
��
Ðèñ. 7. Ñõåìà ïðîöåäóðû ñèíãóëÿðíîé äåêîìïîçèöèè
Âõîäíûå äàííûå Ëåâûé
ñèíãóëÿðíûé âåêòîð Ñèíãóëÿðíûå
âåëè÷èíû
Ïðàâûé
ñèíãóëÿðíûé
âåêòîð
ëÿðíîé äåêîìïîçèöèè ìàòðèöèçèðîâàííîãî ìàññèâà ýêâèâàëåíòíî çàäà-
íèþ ïîäìíîæåñòâà ÓÏ [ ]) )1 2 òàêèõ, ÷òî ) )1 2� � # , abs ()2) � [0, 1],
)2
2 1� � . Ïðè ýòîì)2 ìîæåò èìåòü òðàêòîâêó, îòëè÷íóþ îò òðàêòîâêè ÔÏ
â òåîðèè ÍÌ.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ÍÌ ~ [ / ]x= x x� , �x � [ , ]0 1, x E u� �{ }, â
òåíçîðíîì ïðåäñòàâëåíèè. Íà ðèñ. 8 ïðåäñòàâëåíû ÍÌ, èìåþùèå ïðàêòè-
÷åñêè îäèíàêîâóþ Ô-íîðìó. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ~x ðàññìîòðåíî äëÿ äâóõ
ñëó÷àåâ:
1) Tx
x=x�� , ãäå �— ñèìâîë ÊÏ ;
2) Tx
x
n
x= x x n[ ; ...; ]1
1� � .
 ïåðâîì ñëó÷àå Tx — 2D òåíçîð ñ ìàòðèöåé n � n , âî âòîðîì ñëó÷àå —
ñ ìàòðèöåé 2 � n, ãäå n — ÷èñëî ýëåìåíòîâ (ÓÏ) â ñîñòàâå ÍÌ. Ô-íîðìà
Tx F
2
ðàâíà trace ( )T Tx x
T� , ãäå Ò — ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ.
À ë ã î ð è ò ì âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîÍÌ êàê áëèæàéøåãî ÊÏ íà ÓÌ
[2:7/8:9] â íîòàöèè Ìàòëàá:
1. Òåíçîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ÓÌ: tb = [2.00 4.63 7.25; 2.88 5.50 8.13;
3.75 6.38 9.00], âû÷èñëåíèå Ô-íîðìû: norm (tb, fro) = 17.84.
2. Ôîðìèðîâàíèå ýêñïåðòíî íàçíà÷åííîãî ÍÌ íà ÓÌ b = [2:7/8:9] �
� trimf (b, [a b c]).
3. Ñòàíäàðòíàÿ äåôàäçèôèêàöèÿ:
ÍÌ F a b a c b2 � trimf ([ : : ],[ , , ])� � 5.66
ÍÌ F a b a a b1 � trimf ([ : : ],[ , , ])� � 4.04
ÍÌ F a b a b b3 � trimf ([ : : ],[ , , ])� � 6.96.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
1
0,5
0
5 10
1
2 3
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
15
10
5
0
1 2 3 1 2 3
fs01
fs02
à á
Ðèñ. 8. Ñåìåéñòâî ÍÌ, áëèçêèõ ïî Ô-íîðìå: {~x �
� ~
6,
~
[ , ]6 2 9� }; 1, 3 — ãðàíè÷íûå ÍÌ —
F a b a a b1 � trimf ([ : : ],[ , , ])� , F a b3 � trimf ([ : : ],� [ , , ])a b b , ãäå �— øàã èçìåíåíèÿ ÓÌ; 2 —
èñõîäíîå ÍÌ < ïðèáëèçèòåëüíî 6 > ñ òðåóãîëüíîé ÔÏ, çàäàííîå íà E = [a, b] = [2, 9],
F a b2 � trimf ([ : : ],� [ , , ])a c b , a c b0 0 , ñ = 6
Ðèñ. 9. Ñòàíäàðòíîå ÍÌ ñ òðåóãîëüíîé ÔÏ, çàäàííîå êàê ïñåâäîìíîæåñòâî ÓÏ (à) è
ïñåâäîÍÌ, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ñèíãóëÿðíîé äåêîìïîçèöèè ÓÌ [2:7/8:9], ïðåäñòàâ-
ëåííîãî â âèäå ìàòðèöû 3 � 3 (á); — çíà÷åíèÿ; — ïñåâäîÔÏ
4. Ôîðìèðîâàíèå ïñåâäîÍÌ (ðèñ. 9)
4.1. Ïðîöåäóðà ñèíãóëÿðíîé äåêîìïîçèöèè: [u s v] = svd (tb);
4.2. Ôîðìèðîâàíèå ïñåâäîÍÌ
fs10 = sortrows ([abs (u(:, 1))*s(1, 1)*(abs (v(:, 1))) abs (v(:, 1))/ max (abs (v(:,
1)))]);
fs20 = sortrows ([abs (u(:, 1))*s(1, 1)*max (abs (v(:, 1)) abs (v(:, 1))/max (abs
(v(:, 1)))]);
fs30 = sortrows ([abs (u(:, 1))*s(1,1) abs (v(:, 1)).
Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèÿ ÓÌ â ôîðìå áëèæàéøåãî
êðîíåêåðîâà ïðîèçâåäåíèÿ (ÁÊÏ) èìååò âèä tb = u (:, 1) � s (1, 1)� v (:, 1)T).
Ýòî èíîãäà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî êîìïîíåíòà u (:, 1) � s (1, 1) ïîäìíîæåñòâà
ÓÏ íå ïðèíàäëåæèò ÓÌ, íà êîòîðîì çàäàíî ÍÌ. Ýòîò ñòàíäàðòíûé ñëó÷àé
ðàññìîòðåí â ëèòåðàòóðå [19]. Äëÿ åãî èçáåæàíèÿ ÁÊÏ íàõîäÿò ïðè íàëîæå-
íèè îãðàíè÷åíèé â âèäå u(:,1) � s(1,1)� ÓÌ èëè èñïîëüçóÿ øòðàôíûå ôóíê-
öèè. Ïðèìåíÿåìûå ìåòîäû â âèäå ïðîöåäóð fs01, fs02 ÿâëÿþòñÿ ôîðìîé
íàëîæåíèÿ îãðàíè÷åíèé èëè øòðàôíûõ ôóíêöèé.
5. Äåôàäçèôèêàöèÿ ñôîðìèðîâàííûõ ïîäìíîæåñòâ ÓÏ (ïñåâäîÍÌ)
âûïîëíåíà íà îñíîâàíèè âûðàæåíèé [ sum ( fs10 (:, 1) * fs10 (:, 2))/sum ( fs10
(:, 2)) sum ( fs20 (:, 1) * fs20 (:, 2))/sum ( fs20(:, 2))]
PsewdoFS
fs10 fs20 fs30
2.51 0.33 7.64 0.33 8.81 0.29
4.75 0.47 8.87 1.00 10.22 0.87
8.87 1.00 10.09 0.47 11.64 0.41
Äåôàäçèôèöèðîâàííûå çíà÷åíèÿ
fs10 fs20
6.63 8.96
Çàìåòèì, ÷òî def (F1) < fs10 < def (F3), ãäå def (F1), def (F3) — äå-
ôàäçèôèöèðîâàííûå çíà÷åíèÿ ñòàíäàðòíûõ ÍÌ èç ï. 3.
6. Âû÷èñëåíèå íîðì ïñåâäîÍÌ è èñõîäíîãî ÓÌ (ïðåäñòàâëåííîãî â
âèäå òåíçîðà)
norm (diag (tb), fro) norm (fs10, fro) norm (fs20, fro)
10.74 10.43 15.50
7. Ôîðìèðîâàíèå ÍÌ ñ òðåóãîëüíîé ÔÏ ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì êîì-
ïîíåíòîâ:
min (min ( ))
( ( ))
max (max ( ))
b
b
b
0
1
0
2
mean mean
*
+
,
,
,
-
.
/
/
/
�
.
.
.
00 0
550 1
900 0
*
+
,
,
,
-
.
/
/
/
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 57
Ô-íîðìà = 10.78; äåôàäçèôèöè-
ðîâàííîå çíà÷åíèå = 5.50.
Çàìåòíà ïðàêòè÷åñêàÿ áëèçîñòü Ô-íîðì ïñåâäîÍÌ, èñõîäíîãî ÓÌ è
ñòàíäàðòíîãî ÍÌ ñ òðåóãîëüíîé ÔÏ. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïðèâåäåíû â
òàáë. 1.
Ôîðìèðîâàíèå íîâûõ (äîïîëíèòåëüíûõ) õàðàêòåðèñòèê ÂÐ íà
îñíîâå ìåòîäîëîãèè ïñåâäîÍÌ. Ïóñòü çàäàí ÂÐ, ïîëó÷åííûé ñ ïîìîùüþ
ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ôðàãìåíò êîòîðîãî ïðèâåäåí íà ðèñ. 10.
Ñõåìà àíàëèçà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
( ) { , ..., }( ) ( ) ( )
1 � � �i x x x Ti
m
i x i
1
Òåíçîð-
îêíî
Ñèíã��
óëÿðíàÿ
äåêîìïîçèöèÿ
2
3
4
54
6
7
8
,
T i Xx F
i
F
( )
~ ( )2 2
� 9 .
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé ñõåìîé âûäåëèì â äàííîì ôðàãìåíòå îêíà, äëÿ
êîòîðûõ ñôîðìèðóåì 2D òåíçîðíûå ìîäåëè. Íà îñíîâàíèè ñèíãóëÿðíîé
äåêîìïîçèöèè ìîäåëåé ñôîðìèðóåì ïîäìíîæåñòâà ÓÏ ñîãëàñíî ïðèâå-
äåííîìó âûøå àëãîðèòìó.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
ÓÌ â âèäå ìàòðèöû ÏñåâäîÍÌ (ïîäìíîæåñòâà ÓÏ),
ïîëó÷åííûå ïîñðåäñòâîì ñèíãóëÿðíîé
äåêîìïîçèöèè ÓÌ [2 9]
[u s v] = (svd (tb))
Ñòàíäàðòíîå
ÍÌ b = [2:7/8:9];
y = trimf (b, [2 6 9])3 � 3 9 � 2
tb = bp = fsb1 = fsb2 = fsb3 =
2.00 4.63 7.25 2.00 1.00 2.00 0 2.00 1.00 2.00 0 2.00 0
2.88 5.50 8.13 2.88 1.00 2.88 0.22 2.88 0.88 2.88 0.13 2.88 0.22
3.75 6.38 9.00 3.75 1.00 3.75 0.44 3.75 0.75 3.75 0.25 3.75 0.44
4.63 1.00 4.63 0.66 4.63 0.63 4.63 0.38 4.63 0.66
5.50 1.00 5.50 0.88 5.50 0.50 5.50 0.50 5.50 0.88
6.38 1.00 6.38 0.88 6.38 0.38 6.38 0.63 6.38 0.88
7.25 1.00 7.25 0.58 7.25 0.25 7.25 0.75 7.25 0.58
8.13 1.00 8.13 0.29 8.13 0.13 8.13 0.88 8.13 0.29
9.00 1.00 9.00 0 9.00 0 9.00 1.00 9.00 0
norm(bp, 'fro')= norm (tb, 'fro') = norm (fsb1, 'fro') = norm (fsb2, 'fro') = norm (fsb3, 'fro') = norm (by, 'fro') =
18.09 17.84 17.92 17.93 17.93 17.91
Ïðèìå÷àíèÿ: 1. Îòëè÷èå â Ô-íîðìàõ äëÿ òåíçîðà, ñôîðìèðîâàííîãî íà ÓÌ, è ìàòðèö ïîä-
ìíîæåñòâ ÓÏ, ðàâíû (ÍÌ
~
,
~
,
~
2 6 9 ñ òðåóãîëüíîé ÔÏ, çàäàííûõ íà ÓÌ [2:7/8:9], ñîñòàâëÿåò
âåëè÷èíó â 1:2 %). 2. Ô-íîðìû ÓÌ, ïðåäñòàâëåííûõ â òåíçîðíîé ôîðìå (tb) è â ôîðìå ïîä-
ìíîæåñòâà ÓÏ ñîîòâåòñòâåííî 17.84 è 18.09, îòëè÷èå ñîñòàâëÿåò íå áîëåå 1%, ÷òî äîïóñ-
òèìî. 3.Ïðîöåäóðà SVD âûïîëíåíà äëÿ òåíçîðà Tx, ñôîðìèðîâàííîãî íà ÓÌ â âèäå Tx = re-
shape ([2:7/8:9], 3, 3). 4. Ïðîöåäóðà ÁÊÏ ðåàëèçîâàíà ïðè óñëîâèè, ÷òî ëåâûé ñèíãóëÿðíûé
âåêòîð çàäàí. 5. ÓÌ ñîñòîèò èç n2 ýëåìåíòîâ, ïðàâûé è ëåâûé ñèíãóëÿðíûé âåêòîðû u (:, 1) è
v (1, :) ñîäåðæàò ïî n âåëè÷èí. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ïðè ñðàâíåíèè Ô-íîðì
óêàçàííûõ îáúåêòîâ, â îáùåì ñëó÷àå diag ( )tb
F
2 � abs abs( (:, ) ( , )) ( ( ,: ))u s vT T
F
1 1 1 1
2
� .
Òàáëèöà 1
9 9 �
9
~
{ / }X x x�
�ÍÌ ïîäìíîæåñòâî
ÓÏ
� �
Íà ðèñ. 11 ïðåäñòàâëåíà òåíçîðíàÿ ìîäåëü ôðàãìåíòà ÂÐ, ñîñòîÿùàÿ
èç 2D òåíçîðîâ ñ ìàòðèöàìè 5 � 5 (ñì. ðèñ. 3), à íà ðèñ. 12 ïðèâåäåíû ïîä-
ìíîæåñòâà ÓÏ, âû÷èñëåííûå äëÿ êàæäîãî òåíçîð-îêíà ÂÐ. Ðåçóëüòàòû âû-
÷èñëåíèé ÍÌ-õàðàêòåðèñòèê ÂÐ, ïðåäñòàâëåííûõ â òåíçîðíîé ôîðìå, ïðè-
âåäåíû â òàáë. 2, à ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè îêîí ôðàãìåíòà ÂÐ —
â òàáë. 3.
Íà ðèñ. 13 ïðåäñòàâëåíû ñïåêòðû ñèíãóëÿðíûõ âåëè÷èí 2D òåíçîðîâ,
ìîäåëèðóþùèõ îêíà ÂÐ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè õàðàêòå-
ðèñòèêàìè ÂÐ.
Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ìîæíî ïî-
ëàãàòü, ÷òî 2D òåíçîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ÂÐ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñëåäóþ-
ùèå äîïîëíèòåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ÂÐ:
ïîäìíîæåñòâî ÓÏ, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ïñåâäîÍÌ, êîòîðîå ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ïðè àíàëèçå ÂÐ, â ÷àñòíîñòè äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ, èäåíòè-
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 59
0,8
0,6
0,4
0,2
50 100 150 200 t
x
0
Ðèñ. 10. Ôðàãìåíò èñõîäíîãî ÂÐ, ðàññìàòðèâàåìîãî êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îêîí (ïî 25
ýëåìåíòîâ â îêíå)
1
0,5
0
5
5
1
3
5 5
td (:, :, 1)
td (:, :, 2)
td (:, :, 10)
.
.
.
Ðèñ. 11. Òåíçîðíàÿ ìîäåëü ôðàãìåíòà èñõîäíîãî ÂÐ
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
Ôðàãìåíò
èññëåäóåìîãî
ÂÐ
Òåíçîðíàÿ ìîäåëü
îêíà ÂÐ
Ïîäìíîæåñòâî
ÓÏ
(ïñåâäîÍÌ)
def (
9
ÍÌ)
round (def
(
9
ÍÌ))
Áëèçîñòü ïî Ô-íîðìå
td((:,:,i) fs(:,:,i)
t x (t)
1 0.56 td (:,:,1) = fs (:,:,1) = 1.25/1.00 3.04 3.04
2 0.22 0.56 0.18 0.67 0.24 0.52 0.97 0.45
3 0.88 0.22 0.54 0.68 0.57 0.16 0.99 0.53
4 0.73 0.88 0.47 0.88 0.76 0.98 1.20 0.38
5 0.85 0.73 0.73 0.51 0.35 0.30 1.35 0.36
6 0.18 0.85 0.98 0.47 0.45 0.15 1.75 0.50
7 0.54 td (:,:,2) = fs (:,:,2) = 1.32/1.00 3.12 3.21
8 0.47 0.94 0.44 0.61 0.63 0.63 1.19 0.39
9 0.73 0.67 0.75 0.34 0.95 0.21 1.30 0.56
10 0.98 0.43 0.62 0.64 0.22 0.92 1.32 0.43
11 0.67 0.83 0.25 0.52 0.99 0.13 1.34 0.36
� 0.68 0.17 0.35 0.52 0.88 0.97 1.46 0.47
0.88 td (:,:,3) = fs (:,:,3) = 1.02/1.00 2.51 2.63
0.51 0.62 0.00 0.98 0.98 0.76 0.74 0.48
0.47 0.64 0.52 0.30 0.21 0.44 0.84 0.47
0.24 0.01 0.62 0.57 0.14 0.51 0.88 0.39
0.57 0.79 0.27 0.22 0.05 0.49 0.94 0.29
0.76 0.90 0.40 0.14 0.26 0.09 1.55 0.57
0.35 td (:, :,4) = fs (:,:,4) = 1.01/1.00 2.64 2.62
0.45 0.97 0.19 0.94 0.45 0.70 0.57 0.61
0.52 0.42 0.28 0.83 0.01 0.01 0.64 0.31
0.16 0.27 0.67 0.05 0.28 0.24 0.86 0.34
0.98 0.94 0.60 0.83 0.29 0.40 1.46 0.26
0.30 0.22 0.39 0.39 0.43 0.09 1.54 0.59
0.15 td (:,:,5) = fs (:,:,5) = 1.24/1.00 3.02 3.03
� 0.88 0.53 0.48 0.64 0.21 1.12 0.45
0.44 0.18 0.61 0.28 0.91 1.18 0.50
0.31 0.90 0.65 0.44 0.58 1.20 0.51
0.82 0.81 0.76 0.25 0.69 1.28 0.47
0.69 0.39 0.45 0.15 0.86 1.55 0.27
td (:,:,6) = fs (:,:,6) = 1.06/1.00 2.67 2.75
0.49 0.97 0.16 0.26 0.78 0.65 0.41
0.34 0.33 0.16 0.62 0.00 0.67 0.48
0.42 0.34 0.91 0.99 0.80 1.15 0.31
Òàáëèöà 2
ôèêàöèè àíîìàëèé, âîññòàíîâëåíèÿ ÂÐ, ñîêðàùåíèÿ îáúåìà õðàíèìîé
èíôîðìàöèè è ðåøåíèÿ äðóãèõ çàäà÷;
ñïåêòðû ñèíãóëÿðíûõ âåëè÷èí 2D òåíçîðîâ, ìîäåëèðóþùèõ îêíà ôðàã-
ìåíòà ÂÐ, ýôôåêòèâíîñòü êîòîðûõ îïèñàíà â ðàáîòå [5].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî íàä 9ÍÌ ìîæíî âûïîëíÿòü âñå îïåðàöèè íå÷åò-
êîé ìàòåìàòèêè àíàëîãè÷íî ñòàíäàðòíûì ÍÌ, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï íå÷åò-
êîãî ðàñøèðåíèÿ. Íàïðèìåð, ïóñòü çàäàíû äâà 9ÍÌ: fs1 (:, :) è fs2 (:, :).
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 61
Ôðàãìåíò
èññëåäóåìîãî
ÂÐ Òåíçîðíàÿ ìîäåëü îêíà ÂÐ
Ïîäìíîæåñòâî
ÓÏ
(ïñåâäîÍÌ)
def (
9
ÍÌ)
round (def
(
9
ÍÌ))
Áëèçîñòü
ïî Ô-íîðìå
t x (t) td ((:,:,i) fs (:,:,i)
0.38 0.12 0.80 0.78 0.64 0.21 1.21 0.52
0.13 0.52 0.16 0.43 0.23 0.20 1.57 0.48
0.14 td (:,:,7) = fs (:,:,7) = 1.15/1.00 2.83 2.92
0.38 0.98 0.78 0.40 0.58 0.52 0.92 0.46
0.64 0.62 0.16 0.69 0.68 0.37 0.99 0.55
0.78 0.06 0.03 0.87 0.32 0.65 1.12 0.39
0.43 0.14 0.85 0.68 0.51 0.87 1.40 0.43
0.17 0.41 0.25 0.14 0.45 0.87 1.40 0.39
0.37 td (:,:,8) = fs (:,:,8) = 0.93/1.00 2.31 2.36
0.98 0.53 0.47 0.33 0.43 0.39 0.51 0.38
0.46 0.96 0.61 0.43 0.08 0.33 0.75 0.30
0.87 0.59 0.14 0.15 0.55 0.26 0.97 0.53
0.15 0.02 0.21 0.55 0.02 0.51 1.12 0.40
0.44 0.18 0.99 0.09 0.64 0.46 1.14 0.57
0.92 td (:,:,9) = fs (:,:,9) = 1.22/1.00 2.90 2.93
240 0.98 0.81 0.60 0.84 0.15 0.47 0.82 0.26
241 0.46 0.47 0.66 1.00 0.95 0.35 0.94 0.49
242 0.34 0.52 0.58 0.66 0.74 0.30 1.27 0.42
243 0.21 0.20 0.76 0.12 0.87 0.04 1.29 0.55
244 0.32 0.58 0.16 0.59 0.16 0.38 1.60 0.46
245 0.90 td (:,:,10) = fs (:,:,10) = 0.99/1.00 2.80 2.80
246 0.07 0.13 0.43 0.87 0.46 0.07 0.44 0.46
247 0.25 0.14 0.17 0.15 0.34 0.25 0.68 0.63
248 0.02 0.38 0.37 0.44 0.21 0.02 1.00 0.40
249 1.00 0.64 0.98 0.92 0.32 1.00 1.51 0.30
250 0.10 0.78 0.46 0.98 0.90 0.10 1.70 0.39
Òàáë. 2. (Îêîí÷àíèå)
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
Ðèñ.12. Ïîäìíîæåñòâà ÓÏ (ïñåâäîÍÌ), ìîäåëèðóþùèå îêíà èñõîäíîãî ÂÐ
Ê
î
ì
ï
î
í
åí
òû
ì
í
î
æ
å
ñò
â
ñè
í
ãó
ë
ÿ
ð
í
û
õ
â
åë
è
÷
è
í
a
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Îêíà
Ðèñ.13. Ñïåêòðû ñèíãóëÿðíûõ âåëè÷èí 2D òåíçîðîâ, ìîäåëèðóþùèõ îêíà ôðàãìåíòà ÂÐ
Íîìåð îêíà
Çíà÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè îêíà
Ìèíèìàëüíîå Ñðåäíåå Ìàêñèìàëüíîå Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå
1 0.15 0.55 0.98 0.07
2 0.13 0.58 0.99 0.11
3 0.00 0.44 0.98 0.06
4 0.01 0.44 0.97 0.09
5 0.15 0.56 0.91 0.07
6 0.00 0.47 0.99 0.08
7 0.03 0.51 0.98 0.10
8 0.02 0.40 0.99 0.11
9 0.04 0.52 1.00 0.09
10 0.02 0.46 1.00 0.06
Òàáëèöà 3
Òîãäà 9ÍÌ fs3(:, :) = fs1 (:, :) 9* fs2 (:, :), ãäå 9* � {+, –, *, /} âû÷èñëÿåòñÿ â
ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì:
1. fs3 (:, 1) = fs1 (:,1) 9*. fs2 (:, 1), ãäå 9* îçíà÷àåò âûïîëíåíèå îïåðàöèè
òîëüêî äëÿ ïàðû óïîðÿäî÷åííûõ ýëåìåíòîâ;
2. fs3 (:, 2) = min [ fs1 (:, 2) , fs2 (:, 2)];
3. fs3 = { fs3 (:, 1) fs3 (:, 2)}.
Âûâîäû
1. Ñëîæíîñòü àíàëèçà ÂÐ, ñâÿçàííûõ ñ ðåàëüíûìè ïðèêëàäíûìè çàäà-
÷àìè, íàïðèìåð òðàôèêîì ÊÑ, îáóñëîâëåííóþ âûñîêîé ðàçìåðíîñòüþ çàäà-
÷è è íåäîñòàòêîì ïåðâè÷íûõ ïðèçíàêîâ, ìîæíî ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü
ïîñðåäñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ ÂÐ (è åãî îòäåëüíûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé — îêíî-
ôðàãìåíò-ñåãìåíò) â âèäå 2D òåíçîðîâ.
2. 2D òåíçîðû, ìîäåëèðóþùèå îòäåëüíûå ýëåìåíòû ÂÐ, íà îñíîâàíèè
ñèíãóëÿðíûõ äåêîìïîçèöèé ïîçâîëÿþò ñôîðìèðîâàòü ïîäìíîæåñòâà ÓÏ
(èãðàþùèå ðîëü ïñåâäîÍÌ), êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî
ñîêðàòèòü îáúåì õðàíèìîé èíôîðìàöèè è ðåøàòü çàäà÷è ïðîãíîçèðîâàíèÿ
ÂÐ íà îñíîâå èíâàðèàíòîâ òåíçîðíîé ìîäåëè, â ÷àñòíîñòè ñëåäà. Ñïåêòðû
ñèíãóëÿðíûõ çíà÷åíèé 2D òåíçîðîâ, ìîäåëèðóþùèõ îòäåëüíûå ýëåìåíòû
ÂÐ, ÿâëÿþòñÿ íîâûìè äîïîëíèòåëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (ñêðûòîå çíàíèå),
äàþùèìè âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü èíôîðìàòèâíîñòü ÂÐ.
3. Ó÷åò ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ îäíîìåðíîé çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè èåðàð-
õè÷åñêè ñòðóêòóðèðîâàííîãî ÂÐ ïî ñõåìå îêíî-ôðàãìåíò-ñåãìåíò-âåñü
ÂÐ, ïðè óñëîâèè ïðåäñòàâëåíèÿ îòäåëüíîãî îêíà ÂÐ 2D òåíçîðîì (ôðîí-
òàëüíûì ñëàéñîì) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü 3D ìîäåëü îäíîìåðíîãî ÂÐ, ò.å.
ìíîãîìåðíûé òåíçîð.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ýñáåíñåí Ê. Àíàëèç ìíîãîìåðíûõ äàííûõ. Èçáðàííûå ãëàâû/ Ïåð. ñ àíãë. Ñ.Â. Êó-
÷åðÿâñêîãî; ïîä ðåä. Î.Å. Ðîäèîíîâîé.—×åðíîãîëîâêà: Èçä-âî ÈÏÕ ÐÀÍ, 2005. —
160 ñ.
2. Dobos L., Abonyi J. On-line detection of homogeneous operation ranges by dynamic
principal component analysis based time-series segmentation // Chemical Engineering Sci-
ence. — 2012. — 75. — Ð. 96—105.
3. Ringberg H., Soule A, Rexford J.,Diot Cr. Sensitivity of PCA for Traffic Anomaly Detection //
SIGMETRICS’07, June 12—16, 2007.— San Diego, California, USA. — Copyright 2007
ACM 978-1-59593-639-4/07/0006
4. Skillicorn D. Data Mining and Knowledge Discovery Series. Understanding Complex
Datasets. Data Mining with Matrix Decompositions. Chapman & Hall/CRC — 2007. — 257 ð.
5. Ìèíàåâ Þ.Í., Æóêîâ È.À., Ôèëèìîíîâà Î.Þ. Ïðîãíîçèðîâàíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ â
òåíçîðíîì áàçèñå //Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2006. — 28, ¹ 2. — Ñ. 18—34.
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 63
6. Laub A.J. Matrix Analysis for Scientists and Engineers. — 2005. — 158 ð. — Èíòåðíåò-
ðåñóðñ: www. c-securehost.com/SIAM/ot91.html
7. SANDIA REPORT. SAND2006-7592. Efficient MATLAB computations with sparse and
factored tensors. Brett W. Bader and T.G. Kolda. Prepared by Sandia National Laboratories
Albuquerque. — New Mexico 87185 and Livermore, California 94550. — December 2006. —
48 p.
8. Shen H., Huang J.Z. Sparse principal component analysis via regularized low rank matrix
approximation / J. of Multivariate Analysis. — 2008. — 99 . — Ð. 1015—1034.
9. Alain Y. Kibangou Tensor decompositions and Applications. An overview and some contri-
butions. GIPSA-N_CS. — March 17, 2009. — 88 ð.
10. Brett W. Bader & Tamara G. Kolda. Tensor Decompositions, the MATLAB Tensor Tool-
box, and Applications to Data Analysis. Technical Report SAND2006-2081, Sandia Na-
tional Laboratories. New Mexico 87185 and Livermore, California 94550. — April 2006. —
39 p. Èíòåðíåò-ðåñóðñ — http://csmr.ca.sandia.gov/~tgkolda/.
11. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå-
÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ ãðàíóëÿðíîãî êîìïüþòèíãà // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2015. — 37, ¹ 1. — Ñ. 77— 95.
12. Ìèíàåâ Þ.Í. Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Êðîíåêåðîâû (òåíçîðíûå) ìîäåëè
íå÷åòêî-ìíîæåñòâåííûõ ãðàíóë // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014. — 50. —
¹ 4. — Ñ. 42—52.
13. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Òåíçîðíûå ìîäåëè ÍÌ-ãðàíóë è èõ
ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íå÷åòêîé àðèôìåòèêè // Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò. —
2013. — ¹ 2. — Ñ. 22—31.
14. Silva V.D., Lim L.-H. Tensor rank and the ill-posedness of the best low-rank approximation
problem. — Institute for Computational and Mathematical Engineering, Stanford Univer-
sity, Stanford, CA 94305-9025. E-mail: lekheng@ stanford.edu
15. Âîåâîäèí Â.Â., Âîåâîäèí Âë.Â. Ýíöèêëîïåäèÿ ëèíåéíîé àëãåáðû. Ýëåêòðîííàÿ ñèñ-
òåìà ËÈÍÅÀË. — ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2006. — 544 ñ.
16. Êîôìàí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ/ Ïåð.ñ ôðàíö. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü,
1982. — 432 ñ.
17. Van Loan C.F., Pitsianis N. Approximation with Kronecker Products/ M.S. Moonen et al.
(eds.) // Linear Algebra for Large Scale and Real-Time Applications. — Kluver Publishers. —
1993. — Ð. 293—314.
18. Dompierre P. Properties of Singular Value Decomposition Matrix Computations — CPSC
5006. — Èíòåðíåò-ðåñóðñ: www.cs.laurentian.ca/jdompierre/html/CPSC5006E_ F2010/
cours/ ch05_ SVD _Properties.pdf
19. Witten D.M., Tibshirani R., Trevor H. A penalized matrix decomposition, with applications
to sparse principal components and canonical correlation analysis // Biostatistics. — 2009. —
Vol. 10, ¹ 3. — Ð. 515— 534.
Yu.N. Minaev, O.Yu. Filimonova, J.I.Minaeva
FUZZY SET FEATURES OF ONE-DIMENSIONAL TIME SERIES
A problem of structuring the time series (TS) (in a form of a window, fragment, segment or others
structure parts) has been investigated, as well as presentation of a separate window in the form of
2D tensor �with X matrix of dimensionality m�m (m�m is the number of window elements TS)
with following determination of m -vectors u v, (with certain restrictions), which for the given
matrix of data X minimize a criterion || || ( , )X uv� �Kr
T
F P u v2
� , where || ||X uv� �Kr
T
F
2
� � �trace{( ) ( ) }X uv X uv
T T T ; P u v� ( , ) — a penalty function, �Kr — a symbol of Kronecker
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
difference. Vectors u, v are considered as a subset of ordered pairs, where vector v plays a role of
membership function, i.e. (v � [0, 1]) . The expediency of using the procedure of a singular de-
composition for this purpose is shown.
A subset of ordered pairs {u, v}, considered as psevdo FS, represents 2D tensor with the ma-
trix of dimensionality 2 � m, allows us to shorten a body of stored information (m � m > 2 � m), to
obtain hidden knowledge in the form of the spectrum of singular values and to obtain new possi-
bilities in deciding the problems of forecasting and anomaly identifications of TS anomalies as
the result of using the tensor invariants.
K e y w o r d s: fuzzy set, time row, tensor decomposition, singular values, Kronecker product.
REFERENCES
1. Esbensen, K. (2005), Analiz mnogomernykh dannykh. Izbrannyye glavy [Analysis of multi-
dimensional data, Selected chapters], Translated from English by S.V. Kucheryavsky, Ed by
O.Ye. Rodionovoy, Izdatelstvo IPHV RAN, Chernogolovka, Russia.
2. Dobos, L. and Abonyi, J. (2012), On-line detection of homogeneous operation ranges by dy-
namic principal component analysis based time-series segmentation, Chemical Engineering
Science,Vol. 75, pp. 96-105.
3. Ringberg, H., Soule, A., Rexford, J. and Diot Cr. (2007), Sensitivity of PCA for traffic
anomaly detection, SIGMETRICS’07, June 12-16, 2007, San Diego, California, USA. Copy-
right 2007 ACM 978-1-59593-639-4/07/0006
4. Skillicorn, D. (2007), Data mining and knowledge discovery series. Understanding complex
datasets. Data mining with matrix decompositions, Chapman & Hall/CRC, London, UK.
5. Minayev, Yu.N., Zhukov, I.A. and Filimonova, O.Yu. (2006), “Prediction of time deried in
tensor basis”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 28, no. 2, pp. 18-34.
6. Laub, A.J. (2005), Matrix analysis for scientists and engineers, available at: www. c-secu-
rehost.com/SIAM/ot91.html.
7. Bader, B.W. and Kolda, T.G. (2006), SANDIA REPORT. SAND2006-7592. Efficient
MATLAB computations with sparse and factored tensors, Sandia National Laboratories Al-
buquerque, New Mexico 87185 and Livermore, California 94550, USA.
8. Shen, H. and Huang, J.Z. (2008), Sparse principal component analysis via regularized low
rank matrix app-roximation, Journal of Multivariate Analysis, Vol. 99, pp.1015-1034.
9. Kibangou, A.Y. (2009), Tensor decompositions and Applications. An overview and some
contribu-tions. GIPSA-N_CS. March 17, 2009, 88 ð., Internet resource.
10. Bader, W.B. and Kolda, T.G. (2006), Tensor decompositions, the MATLAB Tensor Tool-
box, and applications to data analysis. Tensor decompositions. Multilinear operators for
higher-order decompositions. Technical Report SAND2006-2081, Sandia National Labora-
tories, April 2006, Albuquerque, New Mexico 87185 and Livermore, California 94550,
USA, 39 pp., available at: - http://csmr.ca.sandia.gov/~tgkolda/ .
11. Minayev, Yu.N., Filimonova, O.Yu. and Minayeva J.I. (2015), “Structured granules of
fuzzy set in the problems of granule computing”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 37, no. 1,
pp. 77-95.
12. Minayev, Yu.N., Filimonova, O.Yu. and Minayeva, J.I. (2014), “Kroneker (tenzor) models
of fuzzy-set granules, Kibernetika i sistemnyi analiz, Vol. 50, no. 4, pp. 42-52.
13. Minayev, Yu.N., Filimonova, O.Yu. and Minayeva, J.I. (2013), Tensor models of NM-gra-
nules and their use for solution of problems of fuzzy arithmetic, Iskusstvennyy intellekt, no. 2,
pp. 22-31.
14. Silva, V.D. and Lim, L.-H. Tensor rank and the ill-posedness of the best low-rank approxi-
mation problem, Institute for Computational and Mathematical Engineering, Stanford Uni-
versity, Stanford, CA 94305-9025.
Íå÷åòêî ìíîæåñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè îäíîìåðíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 65
15. Voyevodin, V.V. and Voyevodin, Vl.V. (2006), Entsiklopediya lineynoy algebry. Electron-
naya sistema LINEAL [Encyclopaedia of linear algebra. Electron system LINEAL], BKHV,
St-Petersburg, Russia.
16. Kofman, A. (1982), Vvedeniye v teoriyu nechetkikh mnozhestv [Introduction into the theory
of fuzzy sets], Translated from French, Radio i svyaz, Moscow, Russia.
17. Van Loan, C.F. and Pitsianis, N. (1993), Approximation with Kronecker products, Eds M.S.
Moonen et al., Linear Algebra for Large Scale and Real-Time Applications, Kluver Publish-
ers, Dodrecht, the Netherlands.
18. Dompierre, P. (2010), Properties of singular value decomposition matrix computations —
CPSC 5006, available at: www.cs.laurentian.ca/jdompierre/html/CPSC5006E_ F2010/ cours/
ch05_ SVD _Properties.pdf
19. Witten, D.M., Tibshirani, R. and Trevor, H. (2009), A penalized matrix decomposition, with
applications to sparse principal components and canonical correlation analysis, Biostatistics
Vol. 10, no. 3, pp. 515-534.
Ïîñòóïèëà 15.02.16;
ïîñëå äîðàáîòêè 05.09.16
ÌÈÍÀÅÂ Þðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì è
ñåòåé Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû.  1959 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé
ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ,
ïðèìåíåíèå èíòåëëåêòóàëüíûõ òåõíîëîãèé â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
ÔÈËÈÌÎÍÎÂÀ Îêñàíà Þðüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåð-
ñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû.  1989 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé èíæåíåðíî-ñòðîè-
òåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
ÌÈÍÀÅÂÀ Þëèÿ Èâàíîâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû îñíîâ èíôîðìàòèêè Êèåâñêîãî
íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, êîòîðûé îêîí÷èëà â 2008 ã.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6
|