Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем

Представлен метод построения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, использование которых в математическом моделировании позволяет значительно сократить объем вычислений. Приведены примеры построения изоморфных пар на основе систем двойных и квадриплексных чисел. Запропоновано метод побудови і...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Электронное моделирование
Дата:	2016
Автори:	Калиновский, Я.А., Бояринова, Ю.Е., Синькова, Т.В., Сукало, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2016
Теми:	Вычислительные процессы и системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115850
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, Т.В. Синькова, А.С. Сукало // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 67-83. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-115850
record_format	dspace
spelling	Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. Сукало, А.С. 2017-04-14T11:13:52Z 2017-04-14T11:13:52Z 2016 Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, Т.В. Синькова, А.С. Сукало // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 67-83. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115850 004.94 Представлен метод построения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, использование которых в математическом моделировании позволяет значительно сократить объем вычислений. Приведены примеры построения изоморфных пар на основе систем двойных и квадриплексных чисел. Запропоновано метод побудови ізоморфних гіперкомплексних числових систем, використання яких в математичному моделюванні дозволяє значно скоротити об’єм обчислень. Наведено приклади побудови ізоморфних пар на базі систем подвійних і квадриплексних чисел. A method for construction of isomorphous hypercomplex numbers systems has been proposed. Their use in mathematical modeling allows reducing considerably the volume of computations. The examples of construction of isomorphous pairs on the basis of the systems of doubling quadriplex numbers are presented.A method for construction of isomorphous hypercomplex numbers systems has been proposed. Their use in mathematical modeling allows reducing considerably the volume of computations. The examples of construction of isomorphous pairs on the basis of the systems of doubling quadriplex numbers are presented. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем Construction of High Dimensional Isomorphic Hypercomplex Numerical Systems Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем
spellingShingle	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. Сукало, А.С. Вычислительные процессы и системы
title_short	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем
title_full	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем
title_fullStr	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем
title_full_unstemmed	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем
title_sort	построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем
author	Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. Сукало, А.С.
author_facet	Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. Сукало, А.С.
topic	Вычислительные процессы и системы
topic_facet	Вычислительные процессы и системы
publishDate	2016
language	Russian
container_title	Электронное моделирование
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
format	Article
title_alt	Construction of High Dimensional Isomorphic Hypercomplex Numerical Systems
description	Представлен метод построения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, использование которых в математическом моделировании позволяет значительно сократить объем вычислений. Приведены примеры построения изоморфных пар на основе систем двойных и квадриплексных чисел. Запропоновано метод побудови ізоморфних гіперкомплексних числових систем, використання яких в математичному моделюванні дозволяє значно скоротити об’єм обчислень. Наведено приклади побудови ізоморфних пар на базі систем подвійних і квадриплексних чисел. A method for construction of isomorphous hypercomplex numbers systems has been proposed. Their use in mathematical modeling allows reducing considerably the volume of computations. The examples of construction of isomorphous pairs on the basis of the systems of doubling quadriplex numbers are presented.A method for construction of isomorphous hypercomplex numbers systems has been proposed. Their use in mathematical modeling allows reducing considerably the volume of computations. The examples of construction of isomorphous pairs on the basis of the systems of doubling quadriplex numbers are presented.
issn	0204-3572
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/115850
citation_txt	Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, Т.В. Синькова, А.С. Сукало // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 67-83. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT kalinovskiiâa postroenievysokorazmernyhizomorfnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistem AT boârinovaûe postroenievysokorazmernyhizomorfnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistem AT sinʹkovatv postroenievysokorazmernyhizomorfnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistem AT sukaloas postroenievysokorazmernyhizomorfnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistem AT kalinovskiiâa constructionofhighdimensionalisomorphichypercomplexnumericalsystems AT boârinovaûe constructionofhighdimensionalisomorphichypercomplexnumericalsystems AT sinʹkovatv constructionofhighdimensionalisomorphichypercomplexnumericalsystems AT sukaloas constructionofhighdimensionalisomorphichypercomplexnumericalsystems
first_indexed	2025-11-25T10:03:01Z
last_indexed	2025-11-25T10:03:01Z
_version_	1850512145410686976
fulltext	ÓÄÊ 004.94 ß.À. Êàëèíîâñêèé 1 , ä-ð òåõí. íàóê, Þ.Å. Áîÿðèíîâà 1, 2 , êàíä. òåõí. íàóê, Ò.Â. Ñèíüêîâà 1 , À.Ñ. Ñóêàëî 1 , àñïèðàíòêà 1 Èí-ò ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03113, Êèåâ, óë. Í. Øïàêà, 2, òåë. 4542138, e-mail: kalinovsky@i.ua), 2 Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò» (Óêðàèíà, 03113, Êèåâ, ïð-ò Ïîáåäû, 37, e-mail: ub@ua.fm) Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì Ïðåäñòàâëåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì, èñ- ïîëüçîâàíèå êîòîðûõ â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ èçîìîðôíûõ ïàð íà îñíîâå ñèñòåì äâîéíûõ è êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ³çîìîðôíèõ ã³ïåðêîìïëåêñíèõ ÷èñëîâèõ ñèñòåì, âèêî- ðèñòàííÿ ÿêèõ â ìàòåìàòè÷íîìó ìîäåëþâàíí³ äîçâîëÿº çíà÷íî ñêîðîòèòè îá’ºì îá÷èñ- ëåíü. Íàâåäåíî ïðèêëàäè ïîáóäîâè ³çîìîðôíèõ ïàð íà áàç³ ñèñòåì ïîäâ³éíèõ ³ êâàäðèï- ëåêñíèõ ÷èñåë. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ãèïåðêîìïëåêñíàÿ ÷èñëîâàÿ ñèñòåìà, òàáëèöà Êåëè, èçîìîðôèçì, ïðîöåäóðà óäâîåíèÿ, ëèíåéíûé îïåðàòîð. Îáúåì âû÷èñëåíèé ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ íàó÷íî-òåõíè÷åñêèõ çàäà÷ ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò èõ îðãàíèçàöèè. Îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ îðãàíèçàöèè âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò èñõîäíîãî ïðåä- ñòàâëåíèÿ èíôîðìàöèè ê òàêîìó âèäó, ïðè êîòîðîì îïåðèðîâàíèå ñ äàí- íûìè ñòàíîâèòñÿ áîëåå ïðîäóêòèâíûì. Òàê, íàïðèìåð, ïåðåõîä îò ÷èñåë ê èõ ëîãàðèôìàì ïîçâîëÿåò çàìåíèòü îïåðàöèè óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ çíà÷è- òåëüíî ìåíåå òðóäîåìêèìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ. Èäåÿ ïåðåõîäà îò îäíèõ îáúåêòíûõ ïðîñòðàíñòâ ê äðóãèì ïðîäóê- òèâíà è â îáëàñòè ãèïåðêîìïëåêñíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ýòîìó ñïîñîáñòâóåò òîò ôàêò, ÷òî ñðåäè ìíîæåñòâà ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì (Ã×Ñ) ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè ñóùåñòâóþò ïîäìíîæåñòâà èçîìîðôíûõ ìåæ- äó ñîáîé ñèñòåì. Íàïîìíèì, ÷òî äâå Ã×Ñ ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò òàêîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, ÷òî îáðàç îïåðàöèè íàä îïåðàíäàìè â îäíîé Ã×Ñ ðàâåí îïåðàöèè íàä îáðàçàìè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 67 � ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî, 2016 ýòèõ æå îïåðàíäîâ â äðóãîé Ã×Ñ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàêèå-ëèáî âû÷èñëåíèÿ ìîæíî äåëàòü â ëþáîé èçîìîðôíîé Ã×Ñ. Ïðè ýòîì ðåçóëüòàò áóäåò òîò æå ñ ó÷åòîì ïåðåâîäà äàííûõ è ðåçóëüòàòîâ èç îäíîé ñèñòåìû â äðóãóþ. Äâå èçîìîðôíûå Ã×Ñ ïîäîáíû îòíîñèòåëüíî îïðåäåëÿþùèõ èõ îïå- ðàöèé, îäíàêî ñóùåñòâóþò è âåñüìà èíòåðåñíûå îòëè÷èÿ. Èçâåñòíî, ÷òî òàáëèöû óìíîæåíèÿ èçîìîðôíûõ Ã×Ñ ìîãóò áûòü ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íû ïî ÷èñëó íóëåâûõ ÿ÷ååê: â ñèëüíîçàïîëíåííîé Ã×Ñ ìàëî íóëåé, â ñëàáîçà- ïîëíåííîé — ìíîãî. Êàê ñëåäñòâèå, îïåðèðîâàíèå ñ ãèïåðêîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè â ñèëüíîçàïîëíåííîé Ã×Ñ ñîïðÿæåíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ âûïîë- íåíèÿ áîëüøåãî ÷èñëà îïåðàöèé íàä âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, ÷åì â ñëà- áîçàïîëíåííîé. Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà ñèñòåìó äâîéíûõ ÷èñåë W è èçîìîðôíóþ åé ñèñòåìó îðòîãîíàëüíûõ äâîéíûõ ÷èñåë R R W� � 1, òàáëèöû Êåëè êîòîðûõ èìåþò ñëåäóþùèé âèä: W e 1 e 2 W 1 E 1 E 2 e 1 e 1 e 2 E 1 E 1 0 e 2 e 2 e 1 E 2 0 E 2 Êàê âèäíî èç ýòèõ òàáëèö, äëÿ óìíîæåíèÿ äâîéíûõ ÷èñåë â ñèñòåìå W òðåáóåòñÿ ÷åòûðå âåùåñòâåííûõ óìíîæåíèÿ, à â ñèñòåìåW1 — òîëüêî äâà. Áîëåå ïîäðîáíî ýòîò ïðîöåññ ðàññìîòðåí äàëåå. Îïûò ðàçðàáîòêè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ ïðèìåíåíèåì Ã×Ñ ñâè- äåòåëüñòâóåò î íåîáõîäèìîñòè ïðèìåíåíèÿ îáîèõ âèäîâ Ã×Ñ: ñèëüíîçà- ïîëíåííûõ — äëÿ èäåíòèôèêàöèè ìîäåëåé, ñëàáîçàïîëíåííûõ — äëÿ èí- òåíñèôèêàöèè ñàìîãî ïðîöåññà ìîäåëèðîâàíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ óñ- ïåøíîãî èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäîâ Ã×Ñ â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè íåîáõîäèìî èìåòü ìíîæåñòâî ïàð èçîìîðôíûõ Ã×Ñ ðàçëè÷íûõ ðàçìåð- íîñòåé è òèïîâ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíî íåáîëüøîå ÷èñëî òàêèõ ïàð, îñîáåííî âûñîêèõ ðàçìåðíîñòåé. Öåëü äàííîé ðàáîòû — ñîçäàíèå ìå- òîäîâ ãåíåðàöèè ïàð èçîìîðôíûõ Ã×Ñ âûñîêèõ ðàçìåðíîñòåé, èõ ïîëó- ÷åíèå è èçó÷åíèå ñâîéñòâ äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè âû÷èñëèòåëü- íûõ ïðîöåññîâ. Èçîìîðôèçì Ã×Ñ. Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû Ã1 è Ã 2 íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, Ã Ã1 2� , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå âçàèìíî îä- íîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå L ïðîñòðàíñòâà Ã1 íà ïðîñòðàíñòâî Ã 2, ÷òî âûïîë- íÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: L a b L a L b( ) ( ) ( )� � � , (1) L a b L a L b( ) ( ) ( )� � � , (2) ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 ãäå a b Ã, � 1, L a L b Ã( ), ( )� 2. Îïåðàöèè óìíîæåíèÿ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ðàçëè÷àþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè â Ã1 è Ã 2. Èç (2) ñëåäóåò, ÷òî Ã1 è Ã 2 — ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñ áàçèñàìè ñîîòâåòñòâåííî e e e en�{ , , ... , }1 2 è f f f f n�{ , , ... , }1 2 . Ïîýòîìó ìåæäó íèìè ìîæíî óñòà- íîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñ ìàòðèöåé A: e f f fn n1 11 1 12 2 1� � � � ... e f f fn n2 21 1 22 2 2� � � � ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) e f f fn n n nn n� � � � 1 1 2 2 ... . Ïðè ýòîì äåòåðìèíàíò ìàòðèöû A îòëè÷åí îò íóëÿ, \|\| \|\|A 0 , (4) ïîñêîëüêó A èìååò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå A�1. Êàê âûòåêàåò èç òåîðèè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, äëÿ êàæäîé ïàðû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ áàçèñîâ ìîæíî íàéòè âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ëèíåé- íîå ïðåîáðàçîâàíèå (3), êîòîðîå ïåðåâîäèò îäèí áàçèñ â äðóãîé, è íàîáî- ðîò. Îäíàêî âûïîëíåíèå îäíîâðåìåííî ñ òðåáîâàíèåì (1) òðåáîâàíèÿ (2), êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, íå âñåãäà âîçìîæíî. Åñëè a a e i n i i� � � 1 , b b e i n i i� � � 1 , òî èõ ïðîèçâåäåíèå ab a b e i n i n k n i j ij k k� � � � � � � 1 1 1 , à ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ýòîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååò âèä L ab L a b e i n i n k n i j ij k k i n j n k ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 � � 1 n ij k i j ka b L e ( ) . Íî ñîãëàñíî (1) L e fk s n ks s( ) � � � 1 . Ïîýòîìó L ab a b f i n i n k n s n ks ij k i j s( ) � � � � � � � � � 1 1 1 1 . (5) Âìåñòå ñ òåì, L a L b a L e b L e a i n i i j n j j i n k n ik( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 i k j n s n js j sf b f � � � � � 1 1 � � � � � � � � � � � i n j n k n s n y n ik js ks y i j ya b f 1 1 1 1 1 . (6) Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 69 Ïðèðàâíèâàÿ â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (5) è (6) âûðàæåíèÿ ïðè îäè- íàêîâûõ a b ei j r 1, ïîëó÷aeì n3 íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îò n2 íåèçâåñòíûõ ij : k n s n ks ij k k n s n r n ik js ks r � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 , i j k n, , , ... ,�1 . (7) Ñèñòåìà (7) ïåðåîïðåäåëåíà, íî âñåãäà èìååò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Îäíàêî íàëè÷èå íåòðèâèàëüíûõ âåùåñòâåííûõ ðåøåíèé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (4) íå ãàðàíòèðóåòñÿ. Ïîýòîìó, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî íåòðèâèàëüíîå âåùåñòâåííîå ðåøåíèå ñ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ (4), òî ýòè äâå Ã×Ñ, Ã1 è Ã 2, ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè òàêèõ ðåøåíèé íåò, òî îíè íåèçîìîðôíû. Èçîìîðôíûé ïåðåõîä ñîõðàíÿåò íóëåâîé è åäèíè÷íûé ýëåìåíòû ñèñ- òåì, ò.å. íóëåâîé è åäèíè÷íûé ýëåìåíòû ñèñòåìû Ã1 ïðåâðàùàþòñÿ ñîîò- âåòñòâåííî â íóëåâîé è åäèíè÷íûé ýëåìåíòû ñèñòåìû Ã 2. Â ðàáîòàõ [1, 2] ïîêàçàíî, ÷òî ëþáàÿ ñèñòåìà Ã ðàçìåðíîñòè n � 2, áàçèñ êîòîðîé e e e�{ , }1 2 ñîäåðæèò åäèíè÷íûé ýëåìåíò e1, è e pe qe2 2 1 2� � , p q R, � , ÿâëÿåòñÿ èçî- ìîðôíîé îäíîé èç òðåõ êàíîíè÷åñêèõ ñèñòåì: ñèñòåìå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C, ñèñòåìå äâîéíûõ ÷èñåë W è ñèñòåìå äóàëüíûõ ÷èñåë D. Êðèòåðèåì èçîìîðôíîñòè ÿâëÿåòñÿ çíàê âåëè÷èíû p q� 2 4/ : p q C D W � � � � � � � � � � �� 2 4 0 0 0 , , . Ðàññìîòðèì èçîìîðôèçì ñèñòåìû äâîéíûõ ÷èñåë W e( , )2 è R R� � �W f1 2( , ), òàáëèöû Êåëè êîòîðûõ ïðèâåäåíû âûøå. Åäèíè÷íûå ýëåìåíòû â ñèñòåìàõ � è � òàêèå [1]: � � e1, � � �f f1 2 . Îïåðàòîð èçîìîðôèçìà èìååò âèä [1] L e f f e f f : , , 1 1 2 1 2 � � � � � � � L f e e f e e � � � � � � � � 1 1 1 2 2 1 2 2 2 : ( ) / , ( ) / . (8) Îïðåäåëèì ïðàâèëà ïðåîáðàçîâàíèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïóñòü çàäàíû ÷èñëà M m e m e W� � �1 1 2 2 , N n f n f W� � �1 1 2 2 1 è èçâåñòíî, ÷òî M L N� ( ). Òîãäà, êàê ïîêàçàíî â [1], m n n1 1 2� � , n m m1 1 2 2� �( ) / , m n n2 1 2� � , n m m2 1 2 2� �( ) / . ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 Ðàññìîòðèì èçîìîðôèçì íåêàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû òðèïëåêñíûõ ÷èñåë T e( , )3 è ïðÿìîé ñóììû âåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë R C f� ( , )2 : T e( , )3 e 1 e 2 e 3 R C f� ( , )2 f 1 f 2 f 3 e 1 e 1 e 2 e 3 f 1 f 1 0 0 e 2 e 2 ( ) /e e 3 1 2� � e 2 f 2 0 f 2 f 3 e 3 e 3 � e 2 e 1 f 3 0 f 3 � f 2 Îïåðàòîð èçîìîðôèçìà èìååò âèä [1] L e f f e f e f f : , , , 1 1 2 2 3 3 1 2 � � � � � � � � � �� L f e e f e e f e � � � � � � � � � � �� 1 1 1 3 2 1 3 3 2 2 2: ( ) / , ( ) / , . Ïðèâåäåì ïðàâèëà ïðåîáðàçîâàíèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë [1]. Ïóñòü çàäàíû ÷èñëà M m e m e m e T� � � �1 1 2 2 3 3 , N n f n f n f R C� � � � �1 1 2 2 3 3 è èçâåñòíî, ÷òî M L N� ( ). Òîãäà m n n1 1 3� � , n m m1 1 2 2� �( ) / , m n n2 1 3� � , n m2 3� � , m n3 2� � , n m m3 1 2 2� �( ) / . Ðàññìîòðèì èçîìîðôèçì ñèñòåì êâàäðèïëåêñíûõ K e( , )4 è áèêîìï- ëåêñíûõ ÷èñåë C C f� ( , )4 : K e( , )4 e 1 e 2 e 3 e 4 C C f� ( , )4 f 1 f 2 f 3 f 4 e 1 e 1 e 2 e 3 e 4 f 1 f 1 f 2 0 0 e 2 e 2 � e 1 e 4 � e 3 f 2 f 2 � f 1 0 0 e 3 e 3 e 4 � e 1 � e 2 f 3 0 0 f 3 f 4 e 4 e 4 � e 3 � e 2 e 1 f 4 0 0 f 4 � f 3 Êàê ñëåäóåò èç [1], L e f f e f f e f f e f f : , , , , 1 1 3 2 2 4 3 2 4 4 1 3 � � � � � � � � � � � � � �� L f e e f e e f e e f e � � � � � � � � � 1 1 1 4 2 2 3 3 1 4 4 2 2 2 2 : ( ) / , ( ) / , ( ) / , ( � � � �� e3 2) / . (9) Ïóñòü çàäàíû ÷èñëà M m e m e m e m e K� � � � �1 1 2 2 3 3 4 4 , N n f� �1 1 � � � � �n f n f n f C C2 2 3 3 4 4 è èçâåñòíî, ÷òî M L N� ( ). Òîãäà Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 71 , . ., m n n1 1 4� � , n m m1 1 3 2� �( ) / , m n n2 2 3� � � , n m m2 4 2 2� �( ) / , m n n3 1 4� � , n m m3 4 2 2� � �( ) / , m n n4 2 3� � , n m m4 1 3 2� � �( ) / . Äëÿ äàëüíåéøèõ ïîñòðîåíèé è ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò Ã×Ñ â âèäå ïðÿìûõ ñóìì Ã×Ñ ìåíüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Ïðîñòåéøàÿ èç òàêèõ Ã×Ñ — ñèñòåìà äâîéíûõ ÷èñåë W1, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðÿìîé ñóììîé äâóõ ñèñòåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R: W R R1 � � . Êàê âè- äèì, åñëè Ã×Ñ åñòü ïðÿìàÿ ñóììà, Ã Ã i k k� � �1 , òî ðàçìåðíîñòü Ã×Ñ ðàâíà ñóììå ðàçìåðíîñòåé âõîäÿùèõ â íåå Ã×Ñ: dim dimÃ Ã i k i� � � 1 . Òàáëèöà óì- íîæåíèÿ ïîäîáíûõ Ã×Ñ èìååò äèàãîíàëüíûé âèä: íà ãëàâíîé äèàãîíàëè íàõîäÿòñÿ òàáëèöû óìíîæåíèÿ ñèñòåì ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, à â îñòàëü- íûõ êëåòêàõ òàáëèöû — íóëè. Ã×Ñ äèàãîíàëüíîãî âèäà ëåãêî ñòðîèòü, çíàÿ òàáëèöû óìíîæåíèÿ Ã×Ñ ìåíüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Âñå àðèôìåòè÷åñêèå, àëãåáðàè÷åñêèå è ôóíêöèî- íàëüíûå îïåðàöèè è ïðîöåäóðû ñâîäÿòñÿ ê òàêèì æå äåéñòâèÿì îòäåëüíî â êàæäîé ñèñòåìå ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè. Ïîýòîìó òðóäîåìêîñòü îïåðàöèé â íèõ ìåíüøàÿ, ÷åì â Ã×Ñ íåäèàãîíàëíîãî âèäà. Ïðîöåäóðû óäâîåíèÿ Ã×Ñ. Ñóùåñòâóþò äâà òèïà ïðîöåäóð óäâîå- íèÿ: ïðîöåäóðû Êåéëè—Äèêñîíà (ÊÄ-ïðîöåäóðà) è ïðîöåäóðû Ãðàññìàíà— Êëèôôîðäà (ÃÊ-ïðîöåäóðà). ÊÄ-ïðîöåäóðû ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü âïîëíå íîðìèðîâàííûå Ã×Ñ ðàç- ìåðíîñòè 2n , ãäå n N� — ïîðÿäîê óäâîåíèÿ [3—7]. Ïðè n � 4 îíè íåàñ- ñîöèàòèâíûå. ÃÊ-ïðîöåäóðû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü áîëåå øèðîêèå êëàññû Ã×Ñ êàê ïî ðàçìåðíîñòè, òàê è ïî ñâîéñòâàì [5, 8]. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîöåññ óäâîåíèÿ ïî ÃÊ-ïðîöåäóðå, êîòîðàÿ áóäåò èñïîëüçîâàíà äàëåå. Â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå Ã×Ñ îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Ã e n( , ), ãäå e e e en�{ , , ... , }1 2 — áàçèñ Ã e n( , ), n — ðàçìåðíîñòü Ã×Ñ Ã e n( , ). Â ñëó÷àå, êîãäà ðå÷ü èäåò î Ã×Ñ êîíêðåòíîãî òèïà, îíà áóäåò îáîçíà÷åíà èìåíåì ñâîåãî òèïà, êàê, íàïðèìåð, ðàññìîòðåííàÿ âûøå ñèñòåìà äâîéíûõ ÷èñåë W e( ). Â ýòîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ìîæíî íå óêàçûâàòü, òàê êàê îíà èçâåñòíà èç òèïà Ã×Ñ. Îäíàêî èìÿ áàçèñà óêàçûâàòü íóæíî, òàê êàê ïðè óäâîåíèè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äâà ýêçåìïëÿðà îäíîé è òîé æå Ã×Ñ, íî èõ áàçèñû ñëåäóåò ðàçëè÷àòü. ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 Ââåäåì îáîçíà÷åíèå îïåðàòîðà óäâîåíèÿ ñèñòåìû Ã e n1( , ) ñèñòåìîé Ã f2 2( , ): Ä (Ã e n1( , ), Ã f2 2( , )). Ðåçóëüòàòîì âûïîëíåíèÿ îïåðàòîðà óäâîå- íèÿ Ä ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ Ã×Ñ (êîììóòàòèâíàÿ) ðàçìåðíîñòè 2n, áàçèñ êîòîðîé ef áóäåò òàêèì: ef e f e f e f e f e f e fn n�{ , , , , ... , , }1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 , ò.å. Ä (Ã e n1( , ), Ã f2 2( , )) = Ã ef n3 2( , ). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åííîé Ã×Ñ ðàâíà 2n èñêëþ÷èòåëüíî âñëåäñòâèå êîììóòàòèâíîñòè Ã×Ñ Ã1 è Ã 2. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â îá- ùåì ñëó÷àå áûëà áû ðàâíîé 4n. Ðàññìîòðèì óäâîåíèå Ä (Ã e1 2( , ), Ã f2 2( , )) = Ã ef3 4( , ). Áàçèñ ñèñòåìû Ã ef3 4( , ): ef e f e f e f e f�{ , , , }1 1 1 2 2 1 2 2 . Âûïîëíèì ñëåäóþùèå ñèìâîëè÷åñ- êèå ïðåîáðàçîâàíèÿ òàáëèöû óìíîæåíèÿ ñèñòåìû Ã ef3 4( , ), îñíîâàííûå íà êîììóòàòèâíîñòè âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì: Ã 3 e f 1 1 e f 1 2 e f 2 1 e f 2 2 Ã 3 e f 1 1 e f 1 2 e f 2 1 e f 2 2 e f 1 1 e e f f 1 1 1 1 e e f f 1 1 1 2 e e f f 1 2 1 1 e e f f 1 2 1 2 e f 1 1 e e Ã 1 1 2 e e Ã 1 2 2 e f 1 2 e e f f 1 1 1 2 e e f f 1 1 2 2 e e f f 1 2 1 2 e e f f 1 2 2 2 � e f 1 2 (10) e f 2 1 e e f f 1 2 1 1 e e f f 1 2 1 2 e e f f 2 2 1 1 e e f f 2 2 1 2 e f 2 1 e e Ã 1 2 2 e e Ã 2 2 2 e f 2 2 e e f f 1 2 1 2 e e f f 1 2 2 2 e e f f 2 2 1 2 e e f f 2 2 2 2 e f 2 2 Èçìåíèâ ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñèñòåìû Ã ef3 4( , ), à èìåííî ef e f e f e f e f�{ , , , }1 1 2 1 1 2 2 2 , ÷òî ðàâíîñèëüíî ïåðåìåíå ìåñò âòî- ðîé è òðåòüåé ñòðîê è ñîîòâåòñòâåííî ñòîëáöîâ òàáëèöû óìíîæåíèÿ ñèñ- òåìû Ã ef3 4( , ), ïîëó÷èì òàêóþ áëî÷íóþ òàáëèöó óìíîæåíèÿ: Ã ef 3 4( , ) e f 1 1 e f 2 1 e f 1 2 e f 2 2 e f e f 1 1 2 1 f f Ã 1 1 1 f f Ã 1 2 1 e f e f 1 2 2 2 f f Ã 1 2 1 f f Ã 2 2 1 Çàìåòèì, ÷òî â òàáëèöàõ (10) è (11) âûíåñåííûå ñèìâîëè÷åñêè ïðîèç- âåäåíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñàìè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òàáëèöó óìíîæå- íèÿ «ñâîåé» Ã×Ñ: â (10) — Ã e1 2( , ), â (11) — Ã f2 2( , ). Ïîëó÷åííûé ðåçóëü- òàò ïðèâîäèò ê âûâîäó î êîììóòàòèâíîñòè ïðîöåäóðû óìíîæåíèÿ îòíîñè- òåëüíî ñâîèõ îïåðàíäîâ. Ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà, à òàêæå åãî îáîáùåíèå ïðèâåäåíî äàëåå. Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 73 . . (11) Ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòà óäâîåíèÿ ñ ïîìîùüþ áëî÷íûõ òàáëèö ïîç- âîëÿåò áûñòðî ïîñòðîèòü êîíå÷íóþ òàáëèöó óìíîæåíèÿ. Ïðîöåäóðà óä- âîåíèÿ ôàêòè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òî êîìïîíåíòû ãèïåðêîìïëåêñíîãî ÷èñëà äëÿ äàííîé Ã×Ñ óæå íå ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, à åñòü ÷èñëà, ïðè- íàäëåæàùèå êàêîé-ëèáî Ã×Ñ ðàçìåðíîñòè 2. Îíè ìîãóò ïðèíàäëåæàòü Ã×Ñ ëþáîé ðàçìåðíîñòè. Â ýòîì ñëó÷àå ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åííîé Ã×Ñ áóäåò íå óäâàèâàòüñÿ ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîé, à óìíîæàòüñÿ íà ðàçìåðíîñòü òîé Ã×Ñ, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòû èñõîäíîé Ã×Ñ. Â îòëè÷èå îò ïðîöåäóðû óäâîåíèÿ íàçîâåì òàêîé ïðîöåññ ïðîöåäóðîé óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè Ã×Ñ. Îïåðàòîð óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè îáîçíà- ÷èì, êàê è îïåðàòîð óäâîåíèÿ ðàçìåðíîñòè, Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) = Ã ef nm3( , ). Áàçèñ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ñîñòîèò èç nm ýëåìåíòîâ: ef e f e f e f e f e f e f e fm m n�{ , , ... , , , , ... , , ... ,1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 , }e fn m . Ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòà óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ñ ïîìîùüþ áëî÷- íûõ òàáëèö ïîçâîëÿåò áûñòðî ïîñòðîèòü òàáëèöó óìíîæåíèÿ. Áëî÷íàÿ òàáëèöà â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ áàçèñà ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ëèáî n n� áëîêîâ ðàçìåðàìè m m� , ëèáî m m� áëîêîâ ðàçìåðàìè n n� . Îïåðàòîð óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè è åãî ñâîéñòâà. Ïðè èñïîëü- çîâàíèè ïðîöåäóðû óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè áàçèñ ïîëó÷àåìûõ Ã×Ñ ñîñ- òîèò èç ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ èñõîäíûõ Ã×Ñ. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ êîììóòàòèâíîñòü áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ îòíîñèòåëüíî èõ ïðîèçâåäåíèÿ. Ïîýòîìó, íåçàâèñèìî îò ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ Ã×Ñ â îïåðàòîðå óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè, ïîëó÷åííûå áàçèñû áóäóò îäèíàêî- âûìè. À çíà÷èò, áóäóò èäåíòè÷íûìè è òàáëèöû óìíîæåíèÿ Ã×Ñ, ïîëó÷åí- íûõ ïðè ïåðåñòàíîâêå èõ â îïåðàòîðå óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó î êîììóòàòèâíîñòè ïðîöåäóðû óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè îòíîñèòåëüíî ñâîèõ îïåðàíäîâ. Òåîðåìà 1. Åñëè Ã e n1( , ) è Ã f m2( , ) êîììóòàòèâíû è e f f ei j j i� , � �i n1, ..., ,� �j m1, ..., , òî Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) � Ä (Ã f m2( , ), Ã e n1( , )). Ïðè ýòîì èçîìîðôèçì óñòàíàâëèâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ñòðîê è ñòîëáöîâ òàá- ëèö óìíîæåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) = �Ã ef nm( , ), a Ä (Ã f m2( , ), Ã e n1( , )) = ��Ã fe nm( , ). Èç êîììóòàòèâíîñòè ýëåìåíòîâ áàçèñîâ e f f ei j j i� âûòåêàåò êîììóòàòèâíîñòü áàçèñîâ { } { }e f f e� , îòêóäà ñëåäóåò �Ã ef nm( , ) � ��Ã fe nm( , ), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ê îäíîé è òîé æå Ã×Ñ ïðèìåíÿþòñÿ ïðî- öåäóðû óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòåé ðàçëè÷íûìè Ã×Ñ, ðàçìåðíîñòè êîòîðûõ ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 îäèíàêîâû. Òîãäà â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ ðàçëè÷íûå Ã×Ñ îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè, íî, â îáùåì ñëó÷àå, íåèçîìîðôíûå ìåæäó ñîáîé. Îäíàêî, åñëè äëÿ óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ïðèìåíÿþòñÿ èçîìîðôíûå Ã×Ñ, òî è ðåçóëüòàòû óìíîæåíèÿ òàêæå áóäóò èçîìîðôíûìè ìåæäó ñîáîé. Ýòî âû- òåêàåò èç ñëåäóþùåé òåîðåìû. Òåîðåìà 2. Ïóñòü Ã f m2( , )) � (Ã g m3( , ). Òîãäà Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) � � Ä (Ã e n1( , ), Ã g m3( , )), ò.å. óìíîæåíèå ðàçìåðíîñòè îäíîé è òîé æå Ã×Ñ èçîìîðôíûìè Ã×Ñ ïðèâîäèò ê èçîìîðôíûì Ã×Ñ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìî ïîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå íåâûðîæ- äåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî áàçèñû ïîëó÷åííûõ Ã×Ñ. Ïóñòü Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) = (Ã ef nm4( , ), Ä (Ã e n1( , ), Ã g m3( , )) = Ã eg mn5( , ) . Ïîñêîëüêó Ã 2 � Ã 3, ñóùåñòâóåò ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå L1, ïåðåâîäÿùåå áàçèñ{ }f â áàçèñ{ }g : L1: f gi j m ij j� � � 1 , � �i m1, ..., , det \|\| \|\| ij 0. (12) Òîãäà áàçèñ{ }e f ïðåîáðàçóåòñÿ òàê: e f e gk i j m ij k j� � � 1 , � �i m1, ..., , � �k m1, ..., . Ýòî — òàêæå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ìàòðèöà êîòîðîãî èìååò ðàç- ìåðû mn mn� . Â êàæäîé ñòðîêå ìàòðèöû òîëüêî m íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ ij . Äàííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî ïîñòðîèòü òàê, ÷òî íà ãëàâ- íîé äèàãîíàëè åãî ìàòðèöû áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ n êâàäðàòíûõ ìàòðèö ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ L1(m m� ). Îïðåäåëèòåëü ýòîãî ëèíåéíîãî ïðå- îáðàçîâàíèÿ (det )L n 1 0 . Ïðåäñòàâèì áîëåå íàãëÿäíî ñòðóêòóðó ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ n � 3, m � 2. Ïóñòü f g g1 11 1 12 2� � , f g g2 21 1 22 2� � . Òîãäà e f e g e g e g e g e g e g1 1 11 1 1 12 1 2 2 1 2 2 3 1 3 20 0 0 0� � � � � � , e f e g e g e g e g e g e g1 2 21 1 1 22 1 2 2 1 2 2 3 1 3 20 0 0 0� � � � � � , e f e g e g e g e g e g e g2 1 1 1 1 2 11 2 1 12 2 2 3 1 3 20 0 0 0� � � � � � , e f e g e g e g e g e g e g2 2 1 1 1 2 21 2 1 22 2 2 3 1 3 20 0 0 0� � � � � � , e f e g e g e g e g e g e g3 1 1 1 1 2 2 1 2 2 11 3 1 12 3 20 0 0 0� � � � � � , e f e g e g e g e g e g e g3 2 1 1 1 2 2 1 2 2 21 3 1 22 3 20 0 0 0� � � � � � . Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 75 Ñîãëàñíî (12) äåòåðìèíàíò ìàòðèöû ýòîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ! îòëè÷åí îò íóëÿ. Â îáùåì ñëó÷àå ! � "det \|\| \|\| ) ij n 0. Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå íåâûðîæäåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïåðåâîäÿùåãî áàçèñ Ã ef nm4( , ) â áàçèñ Ã eg mn5( , ). Çíà- ÷èò, ýòè Ã×Ñ èçîìîðôíû: Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) � Ä (Ã e n1( , ), Ã g m3( , )), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Ïóñòü åñòü äâå ïàðû èçîìîðôíûõ ìåæäó ñîáîé ñèñòåì Ã e n1( , ) � Ã f m3( , ) è Ã g n2( , ) � Ã h m4( , ), òàê ÷òî e L g� 1 , èëè e gi j n ij j� � � 1 , f L h� 2 , èëè f hk l m kl l� � � 1 # . Êàê âèäèì, ñèñòåìû Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) è Ä (Ã g n3( , ), Ã h m4( , )), ïîëó÷åí- íûå óìíîæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè, èçîìîðôíû, è èõ èçîìîðôèçì âûòåêàåò èç òåîðåì 1 è 2: Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) � Ä (Ã e n1( , ), Ã f m4( , )) � � Ä (Ã e n4( , ), Ã f m1( , )) � Ä (Ã e n4( , ), Ã f m3( , )) = Ä (Ã e n3( , ), Ã f m4( , )). Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê ïîñòðîèòü ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñâÿçû- âàþùåå ñèñòåìû Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) è Ä (Ã g n3( , ), Ã h m4( , ))? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 3. Ïóñòü Ã e n1( , ) � Ã f n3( , ) è Ã g m2( , ) � Ã h m4( , ), e L g� 1 , f L h� 2 . Òîãäà Ä (Ã e n1( , ), Ã f m2( , )) � Ã ef mn5( , )� Ã gh mn6( , )� Ä (Ã g n3( , ), Ã h m4( , )) è ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðå- âîäÿùåå áàçèñ{ }e f â áàçèñ{ }gh . Ïåðâàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ äîêàçàíà âûøå. Èñêîìîå ëèíåéíîå ïðåîá- ðàçîâàíèå èìååò âèä e f g h g hi k j n ij j l m kl l j n ij l m kl j l� � � � � � � � � � 1 1 1 1 # # , � �i n1, ..., , � �k m1, ..., . (13) Íåâûðîæäåííîñòü ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (13) ìîæíî äîêàçàòü òàêæå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2. Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïàð èçîìîðôíûõ Ã×Ñ âûñîêèõ ðàçìåðíîñòåé. Ñ ïîìîùüþ òåîðåì 1—3 ìîæíî ñòðîèòü ðÿäû èçîìîðôíûõ ïàð Ã×Ñ, à òàêæå îïåðàòîðû èçîìîðôèçìà. Èíòåðåñ ê âîçìîæíîñòè êîíñòðóèðîâàíèÿ ïàð ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 èçîìîðôíûõ Ã×Ñ âûñîêîé ðàçìåðíîñòè, îäíà èç êîòîðûõ ñèëüíîçàïîë- íåííàÿ, à äðóãàÿ — ñëàáîçàïîëíåííàÿ, âîçíèê ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî â ñâÿçè ñ èñïîëüçîâàíèåì Ã×Ñ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Äëÿ ñîçäàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, êàê ïðàâèëî, íóæíû ñèëüíîçàïîëíåí- íûå Ã×Ñ, à ïðè âû÷èñëåíèÿõ âûãîäíåå ïðèìåíÿòü èçîìîðôíûå ñëàáî- çàïîëíåííûå Ã×Ñ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíî ñîêðàùàåòñÿ êîëè- ÷åñòâî âû÷èñëåíèé. Ñëàáîçàïîëíåííîé ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ òàêàÿ Ã×Ñ, â òàáëèöå óìíîæåíèÿ êîòîðîé ìíîãî íóëåâûõ ÿ÷ååê. Â ñèëüíî- çàïîëíåííîé Ã×Ñ íóëåâûõ ÿ÷ååê ìàëî èëè îíè âîîáùå îòñóòñòâóþò. Ïðîñ- òåéøèìè ïðèìåðàìè òàêèõ Ã×Ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðà ñëåäóþùèõ èçîìîðôíûõ Ã×Ñ:W W� 1. Ìåòîä ñîçäàíèÿ ïàð èçîìîôíûõ Ã×Ñ âûñîêèõ ðàçìåðíîñòåé çàêëþ- ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ïðîöåäóðû óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòåé. Ïðè ýòîì, êàê âèäíî èç (10), åñëè ê îäíîé è òîé æå Ã×Ñ ïðèìåíÿòü óìíîæåíèå ñèëüíîçàïîëíåííîé Ã×Ñ, òî ïîëó÷èòñÿ ñèëüíîçàïîëíåííàÿ ñèñòåìà, åñëè ïðèìåíÿòü óìíîæåíèå ñëàáîçàïîëíåííîé Ã×Ñ, òî ïîëó÷èòñÿ ñëàáîçàïîë- íåííàÿ ñèñòåìà. Ñàìûì çàìå÷àòåëüíûì ïðè òàêîì ïðîöåññå óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2 ïîëó÷åííûå Ã×Ñ áóäóò èçîìîðôíûìè, åñëè èçîìîðôíû ñèñòåìû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ óìíîæàåòñÿ ðàçìåðíîñòü. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 3 ñòðîèòñÿ ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå èç îäíîé ñèñòåìû â äðóãóþ è îáðàòíî. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ñèñòåì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçîìîðôíûõ ïàð Ã×Ñ íà îñíîâå ñèñòåìû äâîéíûõ ÷èñåë. Ïóñòü Ã e1 2( , ) � W e( , )2 � W f1 2( , ) � Ã f3 2( , ) è Ã g2 2( , ) � � W g( , )2 �W h1 2( , ) � Ã h4 2( , ) . Èç (8) ñëåäóåò L e f f e f f 1 1 1 2 2 1 2 : , , � � � � � � � L g h h g h h2 1 1 2 2 1 2 : , , � � � � � � � L f e e f e e 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 � � � � � � � � : ( ) / , ( ) / , L h g g h g g2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 � � � � � � � � : ( ) / , ( ) / . (14) Ïðèìåíèì ïðîöåäóðó óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ê ñèñòåìàì Ã1 è Ã 2 è ê ñèñòåìàì Ã 3 è Ã 4: Ä (Ã e1 2( , ), Ã g2 2( , )) � Ã eg5 4( , ), Ä (Ã f3 2( , ), Ã h4 2( , )) � Ã fh6 4( , ) . Íà îñíîâàíèè òåîðåì 2 è 3 ñèñòåìû Ã 5 è Ã 6 èçîìîðôíû. Ïîñòðîèì èõ òàáëèöû óìíîæåíèÿ íà îñíîâå áëî÷íûõ òàáëèö óìíîæåíèÿ (10): Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 77 Ã 5 e g 1 1 e g 1 2 e g 2 1 e g 2 2 Ã 5 e g 1 1 e g 1 2 e g 2 1 e g 2 2 e g 1 1 e e Ã 1 1 2 e e Ã 1 2 2 e g 1 1 e g 1 1 e g 1 2 e g 2 1 e g 2 2 e g 1 2 $ e g 1 2 e g 1 2 e g 1 1 e g 2 2 e g 2 1 e g 2 1 e e Ã 1 2 2 e e Ã 2 2 2 e g 1 2 e g 2 1 e g 2 2 e g 1 1 e g 1 2 e g 2 2 e g 2 2 e g 2 2 e g 1 2 e g 1 2 e g 1 1 Ã 6 f h 1 1 f h 1 2 f h 2 1 f h 2 2 Ã 6 f h 1 1 f h 1 2 f h 2 1 f h 2 2 f h 1 1 f f Ã 1 1 4 f f Ã 1 2 4 f h 1 1 f h 1 1 0 0 0 f h 1 2 $ f h 1 2 0 f h 1 2 0 0 f h 2 1 f f Ã 1 2 4 f f Ã 1 1 4 f h 2 1 0 0 f h 2 1 0 f h 2 2 f h 2 2 0 0 0 f h 2 2 Êàê âèäèì, ñèñòåìà Ã eg5 4( , ) — ñèëüíîçàïîëíåííàÿ, à ñèñòåìà Ã fh6 4( , ) — ñëàáîçàïîëíåííàÿ. Â òî æå âðåìÿ, îíè èçîìîðôíû, êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîðåì 1 è 2. Ïîñòðîèì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñâÿçûâàþùåå áàçèñû { }eg è{ }fh â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2, (11) è (14): e g f f h h f h f h f h f h1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2� � � � � � �( ) ( ) , e g f f h h f h f h f h f h2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2� � � � � � �( ) ( ) , e g f f h h f h f h f h f h1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2� � � � � � �( ) ( ) , e g f f h h f h f h f h f h2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2� � � � � � �( ) ( ) . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî äåòåðìèíàíò ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ îòëè÷åí îò íóëÿ, ò.å. îíî èìååò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïðîùå ïîñòðîèòü ïî îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì (14): f h e g e g e g e g1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 4� � � �( ) / , f h e g e g e g e g2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 4� � � �( ) / , f h e g e g e g e g1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 4� � � �( ) / , f h e g e g e g e g2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 4� � � �( ) / . Ìíîãîñèìâîëüíûå îáîçíà÷åíèÿ ìîæíî çàìåíèòü îäíîñèìâîëüíûìè: e g mi j j i� � �2 1( ) , f h Mi j j i� � �2 1( ) , i �1 2, , j �1 2, . Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûå Ã×Ñ W m( ) ( , )2 4 è W M 1 2 4( ) ( , ), ãäå ïîêàçàòåëü â âåðõíèõ ñêîáêàõ — ïîðÿäîê óäâîåíèÿ èñõîäíûõ ñèñòåì W è W1, ïðè ýòîì W m( ) ( , )2 4 �W M 1 2 4( ) ( , ): ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 W ( )2 m 1 m 2 m 3 m 4 W 1 2( ) M 1 M 2 M 3 M 4 m 1 m 1 m 2 m 3 m 4 M 1 M 1 0 0 0 m 2 m 2 m 1 m 4 m 3 � M 2 0 M 2 0 0 m 3 m 3 m 4 m 1 m 2 M 3 0 0 M 3 0 m 4 m 4 m 3 m 2 m 1 M 4 0 0 0 M 3 m M M M M1 1 2 3 4� � � � , M m m m m1 1 2 3 4 4� � � �( ) / , m M M M M2 1 2 3 4� � � � , M m m m m2 1 2 3 4 4� � � �( ) / , m M M M M3 1 2 3 4� � � � , M m m m m3 1 2 3 4 4� � � �( ) / , m M M M M4 1 2 3 4� � � � , M m m m m4 1 2 3 4 4� � � �( ) / . Ïðîäîëæèì ïðîöåññ óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè: Ä (W m( ) ( , )2 4 , W e( , )2 ) � W em( ) ( , )3 8 è Ä (W M 1 2 4( ) ( , ),W f1 2( , )) �W fM 1 3 8( ) ( , ). Èç òåîðåì 1 è 2 ñëåäóåò W em( ) ( , )3 8 �W fM 1 3 8( ) ( , ). Ïîñòðîèì áëî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ýòèõ ñèñòåì: W ( )3 e m m 1 1 2 ( , ... , ) e m m 2 1 2 ( , ... , ) W 1 3( ) f M M 1 1 4 ( , ... , ) f M M 2 1 4 ( , ... , ) e m m 1 1 2 ( , ... , ) e W m 1 2 4 ( ) ( , ) e W m 2 2 4 ( ) ( , ) f M M 1 1 4 ( , ... , ) f W M 1 1 2 4 ( ) ( , ) 0 4 1 2 W M ( ) ( , ) e m m 2 1 2 ( , ... , ) e W m 2 2 4 ( ) ( , ) e W m 1 2 4 ( ) ( , ) f M M 2 1 4 ( , ... , ) 0 4 1 2 W M ( ) ( , ) f W M 1 1 2 4 ( ) ( , ) ×èñëî óìíîæåíèé ïðè ïåðåõîäå ê ñëàáîçàïîëíåííûì ñèñòåìàì äëÿ ýòîãî êëàññà ñîêðàùàåòñÿ â n ðàç. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçîìîðôíûõ ïàð Ã×Ñ íà îñíîâå ñèñòåìû êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïóñòü Ã e K e C C f Ã f7 94 4 4 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � è Ã g K g C C h Ã h8 104 4 4 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � . Êàê ïîêàçàíî âûøå, åñòü ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ (8). Ïðèìåíèì ïðîöåäóðó óìíîæåíèÿ ðàçìåðíîñòè ê ñèñòåìàì Ã 7 è Ã 8: Ä (Ã e7 4( , ), Ã g8 4( , )) � Ã eg11 16( , ), è ê ñèñòåìàì Ã 3 è Ã 4: Ä (Ã f9 4( , ), Ã h10 4( , )) � Ã fh12 16( , ). Íà îñíîâàíèè òåîðåì 2 è 3 ñèñòåìû Ã eg11 16( , ) è Ã fh12 16( , ) èçîìîðôíû è èõ áëî÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä: Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 79 , . Ã 11 e g g 1 1 4 ( , ..., ) e g g 2 1 4 ( , ..., ) e g g 3 1 4 ( , ..., ) e g g 4 1 4 ( , ..., ) e g g 1 1 4 ( , ..., ) e K g 1 4( , ) e K g 2 4( , ) e K g 3 4( , ) e K g 4 4( , ) e g g 2 1 4 ( , ..., ) e K g 2 4( , ) � e K g 1 4( , ) e K g 4 4( , ) � e K g 3 4( , ) e g g 3 1 4 ( , ..., ) e K g 3 4( , ) e K g e 4 4 4( , ) � e K g 1 4( , ) � e K g 2 4( , ) e g g 4 1 4 ( , ..., ) e K g 4 4( , ) � e K g 3 4( , ) � e K g 2 4( , ) e K g 1 4( , ) C C� f h h 1 1 4 ( , ..., ) f h h 2 1 4 ( , ..., ) f h h 3 1 4 ( , ..., ) f h h 4 1 4 ( , ..., ) f h h 1 1 4 ( , ..., ) f C C 1 � f C C 2 � 0 f h h 2 1 4 ( , ..., ) f C C 2 � � �f C C 1 f h h 3 1 4 ( , ..., ) 0 f C C 3 � f C C 4 � f h h 4 1 4 ( , ..., ) f C C 4 � � �f C C 3 Òàáëèöû óìíîæåíèÿ â îäíîñèìâîëüíîì âèäå ìîæíî ïîñòðîèòü, ïðè- ìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ m e gk k n k n� �% &' ( )* � � �1 1 1 1(( ) mod ) , M f hk k n k n� �% &' ( )* � � �1 1 1 1(( ) mod ) , n � 4, k n�1 2, ..., : ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 , . Ã 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2 –1 4 –3 6 –5 8 –7 10 –9 12 –11 14 –13 16 –15 3 3 4 –1 –2 7 8 –5 –6 11 12 –9 –10 15 16 –13 –14 4 4 –3 –2 1 8 –7 –6 5 12 –11 –10 9 16 –15 –14 13 5 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 13 14 15 16 –9 –10 –11 –12 6 6 –5 8 –7 –2 1 –4 3 14 –13 16 –15 –10 9 –12 11 7 7 8 –5 –6 –3 –4 1 2 15 16 –13 –14 –11 –12 9 10 8 8 –7 –6 5 –4 3 2 –1 16 –15 –14 13 –12 11 10 –9 9 9 10 11 12 13 14 15 16 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 10 10 –9 12 –11 14 –13 16 –15 –2 1 –4 3 –6 5 –8 7 11 11 12 –9 –10 15 16 –13 –14 –3 –4 1 2 –7 –8 5 6 12 12 –11 –10 9 16 –15 –14 13 –4 3 2 –1 –8 7 6 –5 13 13 14 15 16 –9 –10 –11 –12 –5 –6 –7 –8 1 2 3 4 14 14 –13 16 –15 –10 9 –12 11 –6 5 –8 7 2 –1 4 –3 15 15 16 –13 –14 –11 –12 9 10 –7 –8 5 6 3 4 –1 –2 16 16 –15 –14 13 –12 11 10 –9 –8 7 6 –5 4 –3 –2 1 , Â ýòèõ òàáëèöàõ äëÿ ýêîíîìèè ìåñòà ïðèâåäåíû òîëüêî èíäåêñû ýëå- ìåíòîâ áàçèñà è çíàêè ïåðåä íèìè. Êàê âèäèì, ñèñòåìà Ã m11 16( , ) — ñèëüíîçàïîëíåííàÿ, à ñèñòåìà Ã M12 16( , ) — ñëàáîçàïîëíåííàÿ. Â òî æå âðåìÿ, îíè èçîìîðôíû, êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîðåì 1 è 2. Ïîñòðîèì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñâÿçûâàþùåå áàçèñû{ }m è{ }M â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2 è ïðåîáðàçîâàíèåì (8): m M M M M1 1 3 9 11� � � � , m M M M M9 5 7 13 15� � � � � , m M M M M2 2 4 10 12� � � � � , m M M M M10 6 8 14 16� � � � , m M M M M3 2 4 10 12� � � � � , m M M M M11 6 8 14 16� � � � , m M M M M4 1 3 9 11� � � � � , m M M M M12 5 7 13 15� � � � , m M M M M5 5 7 13 15� � � � � , m M M M M13 1 3 9 11� � � � � , m M M M M6 6 8 14 16� � � � , m M M M M14 2 4 10 12� � � � , m M M M M7 6 8 14 16� � � � , m M M M M15 2 4 10 12� � � � , m M M M M8 5 7 13 15� � � � , m M M M M16 1 3 9 11� � � � . Ñóùåñòâóåò è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïðîùå ïîñòðîèòü ïî îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì (9). ×èñëî óìíîæåíèé ïðè ïåðåõîäå ê ñëàáî- çàïîëíåííûì ñèñòåìàì äëÿ ýòîãî êëàññà ñîêðàùàåòñÿ â n / 2 ðàç. Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 81 Ã 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 0 0 5 6 0 0 0 2 2 –1 0 0 5 –5 0 0 3 0 0 3 4 0 0 7 8 4 0 0 4 –3 0 0 8 –7 5 5 6 0 0 –1 –2 0 0 6 6 –5 0 0 –2 1 0 0 7 0 0 7 8 0 0 –3 –4 8 0 0 8 –7 0 0 –4 3 9 0 9 10 0 0 13 14 0 0 10 10 –9 0 0 14 –13 0 0 11 0 0 11 12 0 0 15 16 12 0 0 12 –11 0 0 16 –15 13 13 14 0 0 –9 –10 0 0 14 14 –13 0 0 –10 9 0 0 15 0 0 15 16 0 0 –11 –12 16 0 0 16 15 0 0 –12 11 . Âûâîäû Ïðîäîëæåííûé ìåòîä ñèíòåçà èçîìîðôíûõ ïàð Ã×Ñ ðàçëè÷íîé ðàçìåð- íîñòè è ñòðóêòóðû ìîæåò áûòü ïðèìåíåí äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïàð áîëåå âûñî- êèõ ðàçìåðíîñòåé. Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà ìîæíî ñòðîèòü Ã×Ñ, êîìáèíèðóÿ ðàçëè÷íûå ïî òèïó è ðàçìåðíîñòè Ã×Ñ. Íàïðèìåð, íà îñíîâå èçîìîðôèçìà T R C� � ìîæíî ñòðîèòü ðÿäû èçîìîðôíûõ Ã×Ñ ðàçìåðíîñòè 3n . Íà îñíî- âå ýòîãî æå èçîìîðôèçìà è W W� 1 ìîæíî ïîëó÷àòü èçîìîðôíûå ïàðû ðàç- ìåðíîñòüþ 3n è òàê äàëåå. Èñïîëüçîâàíèå òàêèõ ïàð Ã×Ñ ïðèâîäèò ê ñóùåñò- âåííîìó ïîâûøåíèþ ýôôåêòèâíîñòè âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññîâ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñèíüêîâ Ì.Â., Êàëèíîâñêèé ß.À., Áîÿðèíîâà Þ.Å. Êîíå÷íîìåðíûå ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû. Îñíîâû òåîðèè. Ïðèìåíåíèÿ.— Êè¿â: ²í-ò ïðîáëåì ðåºñòðàö³¿ ³íôîðìàö³¿ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2010. — 389 ñ. 2. Ñèíüêîâ Ì.Â., Áîÿð³íîâà Þ.ª., Êàë³íîâñüêèé ß.Î. òà ³í. Ã³ïåðêîìïëåêñí³ ÷èñëîâ³ ñèñòåìè: îñíîâè òåîð³¿, ïðàêòè÷í³ âèêîðèñòàííÿ, á³áë³îãðàô³ÿ // ²í-ò ïðîáë. ðåºñòðàö³¿ ³íôîðìàö³¿ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — Ïðåïð. — Êè¿â, 2009. — 44 ñ. — Ðåæèì äîñòóïó: [Åëåêòðîííèé ðåñóðñ]. — http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/SinkovBoya- rinova.pdf. 3. Chaitin-Chatelån F., Meskauskas T., Zaoui A. Computation with Hypercomplex Numbers // GERFACS Technical Report TR/PA/00/69. — Ðåæèì äîñòóïà: [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — http://www.gerfacs.fr/ (2000). 4. Ñèëüâåñòðîâ Â.Â. Ñèñòåìû ÷èñåë // Ñîðîñîâñêèé îáðàçîâàòåëüíûé æóðíàë. — 1998. — ¹ 8. — Ñ. 121—127. 5. Baez J.C. The Octonions. — Ðåæèì äîñòóïà: [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — http://math/ ucr.edu/home/baez/_HLT74711112_HLT74711105_HLT74711120_HLT74711105ctonions/ octonions. html (2001). 6. Chaitin-Chatelån F., Meskauskas T., Zaoui A. Geometry and Algebra // CERFACS Techni- cal Report TR/PA/00/74. — Ðåæèì äîñòóïà: [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — http://cerfacs.fr/ algor/reports/2000/TR-PA-00-74.ps.gz (2000). 7. Chaitin-Chatelen F. The computing power of Geometry // CERFACS Technical Report TR/PA/99/74. — Ðåæèì äîñòóïà: [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — http://cerfacs.fr/algor/re- ports/2000/TR-PA-99-74.ps.gz (1999). 8. Êàíòîð È.Ë., Ñîëîäîâíèêîâ À.Ñ. Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà. — Ì. : Íàóêà, 1973. — 144 ñ. Ya.A. Kalinovsky, Y.E. Boyarinova, T.V. Sinkova, A.S. Sukalo CONSTRUCTION OF HIGH DIMENSIONAL ISOMORPHIC HYPERCOMPLEX NUMERICAL SYSTEMS A method for construction of isomorphous hypercomplex numbers systems has been proposed. Their use in mathematical modeling allows reducing considerably the volume of computations. The examples of construction of isomorphous pairs on the basis of the systems of doubling quad- riplex numbers are presented. K e y w o r d s: hypercomplex number system, Cayley’s table, isomorphism, doubling system, lin- ear operator. ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, Ò.Â. Ñèíüêîâà, À.Ñ. Ñóêàëî 82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 6 REFERENCES 1. Sinkov, M.V., Kalinovsky, Ya.O. and Boyarinova, Yu.E. (2010), Konechnomernyie giper- kompleksnyie chislovyie sistemy. Osnovy teorii. Primeneniya [Finite-dimensional hyper- complex number systems. Fundamentals of the theory. Applications], Infodruk, Kyiv, Ukraine. 2. Sinkov, M.V., Kalinovsky, Ya.O. and Boyarinova, Yu.E. (2009), Giperkompleksnyie chislo- vyie sistemy: Osnovy teorii, prakticheskoe primeneniye, bibliografiya [Hypercomplex numer- ical systems: Fundamentals of the theory, practical application, bibliography], NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine, available at: http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/ SinkovBoyarinova.pdf. 3. Chaitin-Chatelån, F., Meskauskas, T. and Zaoui, A. (2000), Computation with Hypercomplex Numbers, GERFACS Technical Report TR/PA/00/69, available at: http://www.gerfacs.fr. 4. Silvestrov, V.V. (1998), “Number systems”, Soros Educational Journal, no. 8, pp. 121-127. 5. Baez, J.C. (2001), The octonions, available at: http://math/ucr.edu/home/baez/Octonions/ octonions.html. 6. Chaitin-Chatelen, F., Meskauskas, T. and Zaoui, A. (2000), Geometry and algebra, CERFACS Technical Report TR/PA/00/74, available at: http://www.cerfacs.fr/algor/reports/2000/TR- PA-00-74.ps.gz. 7. Chaitin-Chatelen, F. (1999), The computing power of geometry, CERFACS Technical Report TR/PA/99/74, available at: http://www.cerfacs.fr/algor/reports/2000/TR-PA-99-74.ps.gz. 8. Kantor, I.L. and Solodovnikov, A.S. (1973), Giperkompleksnyie chisla [Hypercomplex num- bers], Nauka, Ìoscow, Russia. Ïîñòóïèëà 09.06.16; ïîñëå äîðàáîòêè 11.08.16 ÊÀËÈÍÎÂÑÊÈÉ ßêîâ Àëåêñàíäðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñò- ðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1965 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòå- ìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè. ÁÎßÐÈÍÎÂÀ Þëèÿ Åâãåíüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 1997 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå- äîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè. ÑÈÍÜÊÎÂÀ Òàòüÿíà Âëàäèìèðîâíà, íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1992 ã. îêîí÷èëà Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Êèåâñêèé ïîëè- òåõíè÷åñêèé èí-ò». Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû. ÑÓÊÀËÎ Àëèíà Ñåðãååâíà, àñïèðàíòêà Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàè- íû. Â 2013 ã. îêîí÷èëà Æèòîìèðñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû. Ïîñòðîåíèå âûñîêîðàçìåðíûõ èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 6 83

Построение высокоразмерных изоморфных гиперкомплексных числовых систем

Репозитарії

Схожі ресурси